中考数学一轮复习重难点突破：规律探究与新定义型问题（2类型+10题型）（解析版）

重难点01规律探究与新定义型问题

目录

重难点题型突破

类型一数式规律

题

型

01记数类规律

题

型

02乘方类规律

题

型

03表格类规律

题

型

04数阵类规律

题

型

05个位数字规律

题

型

06新定义运算规律

类型

二图形规律

型

题

图形固定累加型

型

题01

型图形渐变累加型

题02

型

题03图形个数分区域累加

04图形循环规律

真题实战练

重难点题型突破

计数类规律

乘方类规律

数式规律表格类规律

-------------------数阵类规律

个位数字规律

新定义运算规律

规律探究与新定义型问题I

图叫固定累加型

图形规律图形递变累加型

-------------------图形个数分区域累加型

图形循环规律

类型一数式规律

方法总结：

一、数字规律探索

1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列、正整数数列或经

过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还

是只出现一种符号，如果是交替出现的可用（-1尸或（-1产1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结合

起来从而得到结果.

2）当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数字

规律（其方法同1））,从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律.

二、数阵规律探索

此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本

质上讲，这两种方式是相同的.此类型题的解决方法有：

1）分析数阵中的数字排列方式：①每行的个数;②每列的个数;③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一行

或者某一列数据具有某些特别的性质（如完全平方数，正整数）等；

2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系；

3）使用1）中找出的具有特殊性质的数字，根据2）中的性质定位，求得答案

三、等式规律探索

1）标序数；

2）对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数（1,2,3,4,…，n）之间的关系，把其蕴含的规律

用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系

.3）根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验.

题型01记数类规律

【例1】（2023岳阳市二模）按一定规律排列的一列数依次是|、1、*拳鲁、g.按此规律，这列数中第

100个数是（）

AA.——299-B.——299—C.—301—D.—303

199201201203

【答案】B

【分析】观察发现，是不变的，变的是数字，不难发现数字的规律，代入具体的数就可求解.

【详解】解:由|、1、］甘、芳、］……可得第n个数为黑.

Vn=100,

・•・第100个数为:券

故选B.

【点睛】本题考查学生的观察和推理能力，通过观察发现数字之间的联系，找出一般的规律，解决具体的

问题；关键是找出一般的规律.

【变式1T】（2023•山东日照・日照市新营中学校考一模）观察下列各式：的=1,。3=；,…，它

54

们按一定规律排列，第”个数记为时,且满足则上+'=3,则。2023=

【答案】高

【分析】由题意可得与二而余，即可求解.

【详解】解：由题意可得：＜11=1,a2-|,a3-i,

同理可求即=—,

222222

a——,念=—

，l=3，。2=g，◎3=7=五，%14o17

2

%1—3(n-l)+2,

221

。2023=3(2023-1)+260683034

故答案为：嘉

【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键.

【变式1-2］（2022•河北保定•统考模拟预测）有一列数1,久2,7,久4,％，…，Xn，从第二个数开始，每

个数等于与它相邻的两个数的平均数.

（1）则久6为.

(2)若工恒=52,则m=.

【答案】1618

【分析】（1）根据从第二个数开始，每个数等于与它相邻的两个数的平均数直接计算即可;

（2）根据（1）中计算的前几个数找到规律x“=3n-2,根据=52列出方程求解即可.

【详解】（1）解：••・从第二个数开始，每个数等于与它相邻的两个数的平均数,

­,•冷=+7)=4,

-'-7=1(%2+%4)=[(4+第4)，解得久4=13

X4=1(7+X5),即10=((7+%5)，解得苑=13,

•••%5=1(%4+%6)'解得%6=

BP13=|(10+%6),16,

故答案为：16；

（2）解：根据前面几项X]=1,右=4,孙=7,小=10，万5=13,0=16,…，可知规律为与i=3?1—2,

xm=3m-2=52,即3nl=54,解得m=18,

故答案为：18.

【点睛】本题考查有理数计算及数字规律的寻找，准确理解题意，并根据计算的数据找到规律是解决问题

的关键.

【变式1-3]（2023六安市模拟）判断下面各式是否成立

探究：①你判断完上面各题后,发现了什么规律？并猜想：宿

②用含有”的代数式将规律表示出来，说明w的取值范围，并给出证明

【答案】都正确①5患②小+号=n>2）,证明见解析.

【分析】（1）①利用已知即可得出命题正确，同理即可得出其他正确性，猜想可得出

②利用①的方法，可以得出规律，并加以证明即可.

【详解】解：①上面三题都正确,

【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键.

【变式1-4]（2023•安徽六安•统考模拟预测）观察下列等式：

第1个等式：1+1+»；2

第2个等式：2+打；专=|

第3个等式：3+打；总若

第4个等式：4+l+l-i-^...,

78564

按照以上规律，解决下列问题：

⑴写出第5个等式：；

(2)写出你猜想的第〃个等式：(用含〃的等式表示)，并证明.

【答案】(1)5+打专一2=合

(2加+六+『—=『证明见解札

【分析】将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母比第二个分母

小1,第三个分母是前两个分母的乘积，等式的右边分母是序数，分子是分母的平方再加L

【详解】⑴第5个等式为：5+,亲—2=募,

故答案为:5+打卷一卷26

5

14

(2)猜想第〃个等式为：nH—--F—

2n-l2n2n(2n-l)n

证明::左边力+六+11

2n2n(2n-l)

2n+(2n—1)—1

=71T---------------------------------

2n(2n—1)

4n—2

=71-1---------------------

2n(2n-1)

2(2n-l)

=n-\-----------------

2n(2n—1)

1

=n+—

n2+l

n

右边=上,

n

左边=右边,

...等式成立.

故答案为：n+—+--—^-=—.

2n-l2n2n(2n-l)n

【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，以及分式的加减法，根据等式中各数字的变化找出变化规律

是解题的关键.

【变式1-5](2023•安徽宣城•校联考一模)先观察下列各式：

VT=1；

V1+3=V4=2；

Ml+3+5—V9=3；

V1+3+5+7=V16=4

⑴计算：Vl+3+5+7+9；

(2)已知”为正整数，通过观察并归纳，

请与出：J1+3+5+7+9+11+…+(2?1-1)=；

(3)应用上述结论，请计算V4+12+20+28+36+44+…+204的值.

【答案】(1)6

⑵w

⑶52

【分析】(1)先求出1+3+5+7+9的值，再根据算术平方根的定义求解即可；

(2)观察可知左边根式里面都是奇数，等式右边的结果是等式左边根号里面最后一个数加1后的一半，据

此规律求解即可；

(3)把根号里面的数字提取公因数4,然后根据(2)的规律求解即可.

【详解】(1)解：Vl+3+5+7+9=V25=5,

故答案为：5

(2)解：VV1=1,

VTT3=〃=2，

V1+3+5=V9=3,

V1+3+5+7=716=4

可以发现规律J1+3+5+7+9+11+...+(27i—1)=n

(3)解：V4+12+20+28+36+44+.........+204

74X[1+3+5+7+9+-•­...+(2X26-1)]

=J4x262

=52.

【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键.

题型02乘方类规律

【例2】（2023・四川成都•校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式：X、—234x\-8x\16%\..

根据其中的规律得出的第9个单项式是（）

A.-256/B.256/C.-512%9D.512x9

【答案】B

【分析】根据已知的式子可以得到系数是以-2为底的累，指数是式子的序号减1,x的指数是式子的序号.

【详解】解：第9个单项式是（-2）9-59=256/.

故选：B.

【点睛】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键.

2

【变式2-1］（2023・湖北武汉•校考模拟预测）为了求1+2+22+…+22。23的值，可令5=1+2+2+-+

22023,贝|J2s=2+22+23+…+22024,因此2S—S=22°24一1,所以1+2+2?+…+22°23=22024一1,

仿照以上推理计算出1+3+32+…+32。23的值是（）

1-320243-3202432024-1n-2024_n

A.B.C.D.--------

2222

【答案】c

【分析】令S=1+3+32+...+32023,贝归S=3+32+33+…+32024,再将第二个等式与第一个等式左

右两边相减求出3s-S的值即可求解.

【详解】解：令S=1+3+32+…+32023①,

...3S=3+32+33+…+32024②,

②减①，得：3S-S=32024一1,

2

32024-1

即1+3+3?+…+32023

2

故选：C.

【点睛】本题考查数字的变化类，有理数的混合运算，找到变化规律是解题的关键.

【变式2-2](2022随州市一模)我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等

于-1,若我们规定一个新数i,使其满足i2=-1(即x2=-1方程有一个根为i),并且进一步规定：一切实

数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i'i,i2=-1,i3=i2«i=(-1)・i,i4=(i2)

2=(-1)2=1,从而对任意正整数n,我们可得到i4n+l=i4n.i=(i4)n«i,同理可得1而+2=-1,-j,j4n口

那么，i+i2+i3+i4+...+i2016+j2017的值为()

A.0B.1C.-1D.i

【答案】D

【详解】试题解析：由题意得，i!=i,i2=-l,i3=i2«i=(-1)«i=-i,i4=(i2)2=(-1)2=1,i5=i4«i=i,i6=i5«i=-l

故可发现4次一循环，一个循环内的和为0

•.•竺12=504-1

4

.*.i+i2+i3+i4+...+i2013+i2017=i

故选：D

【变式2-3](2022.广西梧州.统考一模)找规律数:0,6,16,30,48,则第兀个为_____(用含〃的代

数式表示).

【答案】2("_1)

【分析】现将这列数除以2,再利用平方差公式寻找规律即可求解

【详解】解：将原数列，每个数除以2,得到新数列，为：0,3,8,15,24,

可以发现：

0=1-1=12-1,

3=4-1=22-1,

8=9-1=32_1,

15=16-1=42_1,

24=25-1=52-1,

依次类推，可知新数列的第"个数为：n2-l,

则原数列的第"个数为：2(n2-l),

故答案为：2(n2-l).

【点睛】此题考查了数字的变化规律，根据数字的特点，运用平方差公式找到数字的规律是解答本题的关

键.

2

【变式2-4】观察等式：1=1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=4)...

猜想1+3+5+7+■••+2019=.

【答案】10102.

【分析】观察给出的等式得到：从1开始的连续2个奇数和是22,连续3个奇数和是32,连续4个，5个奇

数和分别为42,52…根据规律即可猜想从1开始的连续n个奇数的和，据此可解.

【详解】解：•••从1开始的连续2个奇数和是22,连续3个奇数和是32,连续4个，5个奇数和分别为42,

52...；

.•.从1开始的连续n个奇数的和：1+3+5+7+...+(2n-l)=n2；

A2n-1=2019；

/.n=1010；

.,.l+3+5+7...+2019=10102；

故答案是：10102.

【点睛】此题主要考查学生对规律型题的掌握，关键是要对给出的等式进行仔细观察分析，发现规律，根

据规律解题.

题型03表格类规律

解题技巧：表格找规律其实是在数学的学习当中一项比较常见的类型，以日历的表格为基础而展开的规律

选择最为常见.这类提醒我们要以其中一个数字为中心，上下左右的数字变化以及大小来展开，比如在日历

的表格当中上下相差7,左右相差一，那么将中心的数字看作是字母a,则左边为a-1,右边为a+1,上边

为57,下边为a+7.所以当我们没有关于表格规律的解题思路时，将以此为基础来进行观察，虽然其规律

有所不同，但是其思路是相通的，方法也可以类比进行推论.

【例3】(2020•山西临汾•校联考模拟预测)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是

2019年1月份的日历.我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，

相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9X11-3X17=48,13X15-7X21=48.不难发现，结果

都是48.

2019年1月

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

一“.

12..45

6...8910if\12

J131415J；16'、17.1819

20。.21.2212242526

2728293031

(1)请证明发现的规律；

(2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435,求出这5个数的最大

数；

(3)小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120.直接判断他的

说法是否正确.(不必叙述理由)

【答案】(1)见解析；(2)29；(3)他的说法不正确

【分析】(1)设中间的数为a,则另外4个数分别为(a-7),(a-1),(a+1),(a+7),利用(a-1)(a+1)

-(a-7)(a+7)=48可证出结论；

(2)设这5个数中最大数为x,则最小数为(xT4),根据两数之积为435,可得出关于x的一元二次方程，

解之取其正值即可得出结论；

(3)设这5个数中最大数为y,则最小数为(y-14),根据两数之积为120,可得出关于y的一元二次方程，

解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确.

【详解】(1)证明：设中间的数为a,

(a-l)(a+1)—(a-7)(ci+7)=a2—1—(a?-49)

=a2—1-a?+49=48.

(2)解：设这五个数中最大数为工,

由题意,得—14)=435,

解方程，得打=29,x2--15(不合题意，舍去).

答：这5个数中最大的数是29.

(3)他的说法不正确.

解：设这5个数中最大数为y,则最小数为(y-14),

依题意，得：y(y-14)=120,

解得：yl=20,y2=-6(不合题意，舍去).

：20在第一列,

不符合题意，

.••小明的说法不正确.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正

确列出一元二次方程是解题的关键.

【变式3-1】观察表格，回答问题：

a0.00010.01110010000

y[a0.01X1y100

(1)表格中久=,y-；

(2)从表格中探究a与班数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：

①己知VTU-3.16,则“000-；

②已知标=8.973,若a=897.3,用含机的代数式表示b,则匕=

⑶试比较血与。的大小.

当________时，Va>a；当________时，Va=a；当________时，Va<a.

【答案】(1)0.1;10;

(2)®31.6；②10000m；

(3)0<a<1,<1=1或0,a>1.

【分析】(1)由表格得出规律，求出x与y的值即可；

(2)根据得出的规律确定出所求即可；

(3)分类讨论a的范围，比较大小即可.

【详解】(1)解：x=V(10T=0.1,y=VToo=10.

故答案为：0.1；10；

(2)解：①根据题意得：V1000»31.6.

②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，

・•・b=10000m.

故答案为：31.6；10000m；

(3)解：当a=0或1时，Va=a；

当0<aV1时，y[a>a；

当a=1或0时，4a=a；

当a〉1时，y[a<a,

故答案为：0<a<l,(1=1或0,a>l.

【点睛】本题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解本题的关键.

【变式3-2](2021宿州市一模)如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律.

第1个图第2个图第3个图第4个图第〃个图

根据此规律，回答下列问题：

(1)第5个图中4个数的和为.

(2)a=；c=.

(3)根据此规律，第n个正方形中，d=2564,贝g的值为.

【答案】(1)-152；(2)(―(-l)n-2n+4；(3)10.

【分析】(1)观察图形可得第5个图中4个数，相加即可求解；

(2)由已知图形得出2=(-1)n-2n_1,b=2a=(-1)n«2n,c=b+4=(-1)n*2n+4,即可求解;

(3)根据d=a+b+c=5x(-1)――+4=2564求解可得.

【详解】(1)第5个图形中的4个数分别是-16,-32,-28,-76

4个数的和为：一16-32-28-76=-152.

故答案为：—152；

(2)a=(-1)%251；

b=2a=(-1)n«2n,

c=b+4=(-1)n«2n+4.

故答案为：C-ir-Z"-1；(-l)n-2n+4.

(3)根据规律知道，若d=2564>0,则n为偶数，

当n为偶数时a=2"T,b=2n,

c=2n+4,2"T+2n+2n+4=2564,2n-1+2n+2n=2560,

2n-1(l+2+2)=2560

2吩1=512

2nt=29

n-1=9

解得n=10.

故答案为：10.

【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类.关键是由特殊到一般，找出数字算式运算规律.

【变式3-3］（2023•河北保定•统考一模）观察：

序号①②③④⑤⑥⑦

数2°212223242526

个位上数字12486mn

思考：（1）上面表格中机、w的值分别是多少？

探究：（2）第⑩个数是什么？它个位上的数字是多少？

延伸：（3）22。23的个位数字是多少？

拓展：（4）用含人的代数式表示个位上的数字是6的数的序号.（左为正整数）

【答案】（1）m=2,n=4；（2）第⑩个数是2\个位上的数字是2；（3）2?。23的个位数字是生（4）第1k

个6的序号为：4k+1

【分析】（1）不难看出个位上的数字是以2,4,8,6重复出现，则可求解；

（2）根据表格中的规律，可表示出第10个数，即可求解；

（3）结合（1）进行求解即可；

（4）结合表格进行求解即可.

【详解】解：⑴25=32,26=64,

771=2,n=4；

（2）•••表格中的数是以2为底数，指数是从。开始的自然数，

个位上的数字是以1,2,4,8,6,2,4,8,6,...排列,

二第⑩个数是2%29=512,

二个位上的数字是2；

（3）•••（2023-1）4-4=505……2,

.­.22023的个位数字是生

（4）•.•个位上的数字是6的数的序号是：5,9,13,

・•・第k个6的序号为：4k+1.

【点睛】本题主要考查列代数式，有理数的乘方，解答的关键是由表格分析出存在的规律.

题型04数阵类规律

【例4】（2023•福建厦门•厦门双十中学校考三模）将一组数近，2,V6,2^2,...,4e,...按下列方式进

行排列：

V2,2,V6,2-\/2：

V10,2V3,V14,4；

若2的位置记为（1,2）,旧的位置记为（2,3）,则2同的位置记为

【答案】（5,4）

【分析】先找出被开方数的规律，再求出2g的位置即可.

【详解】解：原来的一组数即为

V2,V4,V6,V8；

V10,V12,V14,V16；

所以，规律为：被开方数为从2开始的偶数，每行4个数，

V2V10=V40»40是第20个偶数，而20+4=5,

.♦.2内的位置为（5,4）,

故答案为：（5,4）.

【点睛】本题考查了数字的规律探究，找准规律是解题的关键.

【变式4-1］（2022•陕西西安•校考模拟预测）观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第5行从左边

数第6个数是—.

-1

2-34

-56-78-9

10-1112-1314-1516

【答案】22

【分析】根据数阵中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以求得第5行从左边数第6个数，本题得以

解决.

【详解】解：由数阵可得，

第一行有1个数字，

前2行一共有：4个数字，

前3行一共有：9个数字，

前4行一共有：16个数字，

则第5行从左边数第6个数的绝对值是16+6=22,

•・,数阵中的奇数都是负数，偶数都是正数，

二第5行从左边数第6个数是22,

故答案为:22.

【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的数字.

【变式4-2］（2023•山东聊城・统考二模）将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对（几小）表示第"排，

从左到右第相个数，如（4,2）表示9,则表示123的有序数对是.

1……第一排

32……第二排

456……第三排

10987……第四排

【答案】（16,14）

【分析】根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到123在第多

少排，然后即可写出表示123的有序数对，本题得以解决.

【详解】解：由图可知，

第一排1个数，

第二排2个数，数字从大到小排列，

第三排3个数，数字从小到大排列，

第四排4个数，数字从大到小排列，

则前〃排的数字共有：1+2+3+…+几=3#个数,

奇数排从小到大排列，偶数排从大到小排列,

•.,当n=15时，”产=120,

当n=16时，竺罗=136,

A123在第16排,

V136-123+1=14,

二表示123的有序数对是（16,14）.

故答案为：（16,14）.

【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示123的有

序数对.

【变式4-3］（2021•山东济宁.统考一模）将1,V2,V3,乃按如图方式排列，若规定（加，〃）表示第相排

从左向右第咒个数，则（6,3）与（2000,4）表示的两数之积是.

1第1排

72招第2排

761也第3排

76172第4排

737617273第5排

【答案】2V3.

【分析】首先计算出前5排和前1999排共有多少个数，然后除以4,根据得到的余数确定（6,3）与（2000,

4）,即可得到结果.

【详解】前5排共有1+2+3+4+5=15个数，15+4=3……3,

...第6排的第1个数为痣，

第6排的第3个数为鱼，

前1999排共有1+2+3+4+......+1999-19；）1999=1999000,1999000^4=499750,

.•.第2000排的第1个数为1,

/.第2000排的第4个数为历，

.'.V6-V2=V12=2V3.

故答案为：2回

【点睛】本题考查了算术平方根与规律型：数字的变化类，根据规律判断出是第几个数是解本题的关键.

【变式4-4］（2022鄂尔多斯市二模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所

示）就是一例.

11.......................................(a+d)1

\z

121.......................................(a+b?

\7\7

1331........................................(CT+6)3

这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和.事实上，这个三角形

给出了(a+6严①为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在三角形中第三行

的三个数1、2、1,恰好对应(a+6)2=。2+2防+》2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1,

恰好对应着(a+=a3+3a2b+3ab2+/展开式中各项的系数等等.根据上面的规律，(a+b》的展开式

中各项系数最大的数为；式子75+5x74x(一5)+10x73x(-5)2+10x72x(-5)3+5x7x

(一5尸+(—5>的值为.

【答案】632

【分析】根据三角形的构造法则，确定出(a+b)4的展开式中各项系数最大的数；原式变形后，计算即可

得到结果.

【详解】解：根据题意得：(a+b)4的展开式中各项系数分别为：1,4,6,4,1,

•••最大的数为6；

75+5x74x(-5)+10x73x(-5)2+10x72X(-5)3+5x7x(-5)4+(-5)5

=(7-5>

=25=32；

故答案为6；32.

【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及乘方的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【变式4-4](2021•湖北随州•统考一模)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉

三角”，它具有一定的规律性.从图中取一斜列数：1,3,6,10,15,…，我们把第一个数记为的,第二个

数记为42,第三个数记为43,…，第九个数记为即.4看+己+-“+/=募，则n的值为.

【答案】4041

【分析】首先根据题意得出西的关系式，然后用“裂项法”将高裂成2©-.)，逐步化简，列等式求值

即可得出结果.

【详解】解：由题意得的=1，。2=3=1+2,%=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,…，

,_n(n+l)

••a九—2,

—=---=2

ann(n+l)

=2。_总，

氏=2(1-总

n2n

2021-n+1

An=4041；

故答案为:4041.

【点睛】本题考查规律型：数字的变化规律.找到变化规律然后用“裂项法”求解是解本题的关键.

【变式4-5](2021合肥市一模)如图1,观察数表，如何计算数表中所有数的和？

方法1：如图1,先求每行数的和：

第1行1+2+3+…+n=(1+2+3+...+n)

第2行2+4+6+…+2Tl=2(1+2+3+…+n)

第n行n+2n+3n-\------Fn2=n(l+2+3+—Fn)

故表中所有数的和：

(1+2+3+•••+n)+2(1+2+3+•••+n)+•••+n(l+2+3+••-+n)=_；

第1行1234---n

第2行24682n

第3行369123n

第4行481216…4〃

第”行n2n3”4〃---n'

图1

方法2：如图2.依次以第1行每个数为起点，按顺时针方向计算各数的和:

第1组1=13

第2组2+4+2=23

第3组3+6+9+6+3=33

第71组n+2m+—n2+—2n+n

用这n组数计算的结果，表示数表中所有数的和为：

综合上面两种方法所得的结果可得等式：

利用上面得到的规律计算：13+23+33+…+203.

【答案】方法1：-n2(n+I)2；方法2：n3；I3+23+33+—Fn3；-n2(n+l)z=l3+23+33+­••+n3；

44

44100.

【分析】方法1：先提取公因式，然后利用计算公式1+2+3+…+几=也罗，即可求解.

方法2：根据规律第1组1=13,第2组2+4+2=23,第3组3+6+9+6+3=33可找到规律，n+2m+

+n2+—F2n+n—n3

根据表中所有数的和相等，将方法1和方法2综合即可得等式.

I3+23+33+…+2。3结合上一问所得等式即可求出解.

【详解】方法1：

(1+2+3+…+n)+2(1+2+3+…+n)+…+几(1+2+3+…+n)

n(n+l)2n(n+l)3n(n+l)n2(n+l)

=--------------1------------------1------------------F•••H---------------

2222

=^^(l+2+3+-+n)

_n(n+l)n(n+l)

"2,2

_n2(n+l)2

4

方法2:

n+2m+—I-n2+—F2n+n

=n3

用这n组数计算的结果，表示数表中所有数的和为：

I3+23+33+•••+n3：

综合上面两种方法所得的结果可得等式：

"2（n+1）Z=13+23+33+­••+n3；

4

33

计算13+2+3+…+2。3=2°2（2。+1）2=44100.

4

【点睛】本题是找规律的一道题目，掌握计算公式1+2+3+…+践=也罗是解题关键.

题型05个位数字规律

[例5]（2023•湖南岳阳・统考一模）观察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=

16807,…，根据其中的规律可得70+7]+72+…+72。22+72。23的结果的个位数字是.

【答案】0

23

【分析】由已知可得7n的尾数1,7,9,3循环，则7。+7】+…+72023的结果的个位数字与7。+7i+7+7

的个位数字相同，即可求解.

【详解】解：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

••.7"的尾数1,7,9,3循环，

7°+71+72+73的个位数字是0,

■••0,1,2023,一共有2024个数，

•••2024+4=506,

7°+71+…+72。22+72。23的结果的个位数字与7。+71+72+73的个位数字相同，

1

7°+7+…+72022+72023的结果的个位数字是0,

故答案为：0.

【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键.

【变式5-1]（2022.山东聊城.统考二模）计算3】，32,33,34,35,36,并观察这些哥的个位数字，根据你

发现的规律，判断32022的个位数字跟（）的个位数字相同.

A.31B.32C.33D.34

【答案】B

【提示】先计算几个幕的运算，然后从中发现规律即可得出结果.

【详解】解:31=3,

32=9,

33=27,

34=81,

35=243,

据此发现，这些事的个位数字分别为3,9,7,1四个循环一次，

.•.2022+4=505…2,

...32022个位数字为％与32个位数字相同，

故选：B.

【点睛】题目主要考查有理数乘方运算及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键.

【变式5-2］计算：21-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,…归纳各计算结果中的个位

数字规律，猜测22。21-1的个位数字是()

A.1B.3C.7D.5

【答案】A

［提示】根据题目中的式子可以计算出前几个数字，从而可以发现个位数字的变化规律,进而可以得到22021-1

的个位数字.

【详解】解：由2L1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,26-1=63,27-1=127,28-1=255,可知计算

结果中的个位数字以1、3、7、5为一个循环组依次循环，

；2021+4=505...1,

.♦.22。2」的个位数字是1,

故选：A.

【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求

出所求式子的个位数字.

【变式5-3】发现：4・4,42=16,43=64,4=256,45=1024,46=4096,47=16384,48=65536

(1)观察上面运算结果的个位数字，写出你发现的规律；

(2)依据(1)中的规律，通过计算判断3x(4+1)(42+1)(44+1)...(432+1)+1的结果的个位数字是多

少,

【答案】(1)当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字

是6；(2)个位数字是6.

【提示】(1)注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系；

(2)利用平方差公式进行计算，然后利用(1)中的规律解答.

【详解】解：(1)1=4,42=16,43=64,44=256,45=1024,46=4096,47=16384,48=65536

观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果

的个位数字是6；

(2)3x(4+1)(42+1)(44+1)...(432+1)+1

=(4-1)x(4+1)(42+1)(44+1)...(432+1)+1

=(42-1)x(42+1)(44+1)...(432+1)+1

=(44-1)(44+1)...(432+1)+1

=464.

可知464的个位数字是6,故3x(4+1)(42+1)(44+1)...(432+1)+1的结果的个位数字是6.

【点睛】本题考查了平方差公式的应用，题型较好，难度适中，是一道不错的题目，通过此题能培养学生

的观察能力.

题型06新定义运算规律

解题技巧：新定义运算的规律其实是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出的，想

要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感

程度.

【例6】(2020.河南.统考中考真题)定义运算：m»n=mn2-mn-l.例如:4x2=4x2?-4x2-1=

7.则方程1xx=0的根的情况为()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

【答案】A

【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案.

【详解】解：根据定义得：lxx="2—X—1=0,

a=l,b=—l,c=—1,

4=炉-4ac=(-1)2-4X1x(-1)=5>0,

原方程有两个不相等的实数根，

故选4

【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握

以上知识是解题的关键.

【变式6-1](2023•辽宁朝阳•校联考三模)我们知道，一元二次方程/=-1没有实数根，即不存在一个实

数的平方等于-1.如果我们规定一个新数“『'使它满足产=-1(即/=—1有一个根为力并且进一步规定：

一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立.于是有：尸=i,i2=-1,

i3=i2-i=~i,i4=(步尸=1……那么产。23=.

【答案】-i

【分析】根据所给的新定义找到规律即可得到答案.

【详解】解：尸=i，

i2=-1,

i3=i2-i=-i,

〃=户.j=i,

i5=i4-i=i,

可以发现每4个运算为一个循环，结果为i,-1,-i,1循环出现，

720234-4=505...3,

Ai2023=-i,

故答案为：-九

【点睛】此题主要考查了新定义下的实数运算和数字类的规律探索，正确得出数字变化规律是解题关键.

【变式6-2](2022•浙江宁波•统考中考真题)定义一种新运算：对于任意的非零实数a,6,。86=工+"若

ab

(x+1)0X=则X的值为.

【答案】-1/-0.5

【分析】根据新定义可得(x+1)集x=竽，由此建立方程竽i="解方程即可.

xz+xxz+xX

【详解】解：⑤b=乙+3

ab

x+l+x2x4-1

(%+1)0X=—+-

x+1xx(x+l)x2+xf

又・・・。+1)6)%=等,

.2x+l2x4-1

••~x~z+xX,

/.(%2+x)(2x+1)-x(2x+1)=0,

(%2+x—%)(2%+1)=0,

/.x2(2x+1)=0,

•；(x+l)(8)x=平即xKO,

/.2%4-1=0,

解得久=_5

经检验x=-1是方程竽=处的解，

2xz+xx

故答案为：一

【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算,解分式方程,正确理解题意得到关于尤的方程是解题的关键.

【变式6-3](2022•湖南张家界•张家界市民族中学校考一模)定义:如果一个数的平方等于-1,记为产=-1,

这个数