数学-海南省天一大联考2024-2025学年高三学业水平诊断(三)试题和答案

海南省2024—2025学年高三学业水平诊断(三)数学.答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.B3.D4.A5.D6.A7.B8.D二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的9.AD10.BCD11.ABD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解析(I)由bcosC+ccosB=2acosA及正弦定理得sin(B+C)=sinA=2sinAcosA,………………(2分)因为sinA≠0,所以2cosA=1,即,………………(4分)又因为A∈(0,π),所以……………(6分)(Ⅱ)由题意得外接圆半径,要使外接圆的半径最小,只需a最小,………(8分)22一bc≥2bc一bc=bc=4,……(11分)当且仅当b=c=2时取等号,此时a=2,所以,即外接圆半径的最小值为…………(13分)16.解析(I)因为△ABC是等腰直角三角形,AD是斜边BC上的中线,所以BD丄AD,CD丄AD.………………………(2分)由于翻折不改变PD与AD的垂直关系,所以PD丄AD.……………………(3分)又因为PD∩BD=D,…………………………(4分)所以AD丄平面PBD.…………………………(5分)(Ⅱ)以点D为坐标原点,—,的方向分别为x轴、Y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得BD=PD=2,PB=2\,所以匕BDP=,………(7分)故D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,-1,\),………(8分)则A=(-2,2,0),=(0,3,-\),设平面PAB的法向量为n=(a,b,C),则即取同理得平面PAD的一个法向量为m=(0,\,1).………(12分)因为所以平面PAD与平面PAB夹角的余弦值为\.………(15分)17.解析(I)因为当ABⅡx轴时,|AB|=4\,所以点(2\,2)在C上,所以8-4=1.①…………………………(2分)2因为C的焦距为4\,所以a2+b2=(2\)2=8.②………(3分)联立①②,解得a2=b2=4,所以C的方程为-=1.…………………(5分)(Ⅱ)设l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).得(k2-1)x2+4kx+8=0,因为l与C的左支有两个交点,所以解得所以且因为以AB为直径的圆与x轴相切,所以=,即l的斜率为……………………(15分)18.解析(I)由题意,得fl(x)=(x+1)ex--2(a-1)x-1.…………(1分)因为fl(1)=2e-1-2(a-1)-1=2e-2a,所以由题意得2e-2a=2e-4,解得a=2.…………………(4分)(Ⅱ)当a=1时,f(x)=xex-lnx-x-1,y=bf(x)+(1-b)xex=b(xex-lnx-x-1)+(1-b)xex=xex-blnx-bx-b.则当b≤0时,g/(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)不存在极值.…………………(6分)令h(x)=xex-b,则h/(x)=(x+1)ex>0在(0,+∞)上恒成立,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增.又h(0)=-b<0,h(b)=b(eb-1)>0,所以存在唯一的x0∈(0,b),使得h(x0)=0.…(8分)0)时,h(x)<0,即g/(x)<0,g(x)单调递减,0,+∞)时,h(x)>0,即g/(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)仅在x=x0处取得极小值,符合题意,故当g(x)只有一个极值点时,实数b的取值范围为(0,+∞).…………(10分)(Ⅲ)由f(x)=xex-lnx-(a-1)x2-x-1≥0,参变分离得设则a-1≤k(x)min.……………(11分)因为xex=elnx+x,所以令t=lnx+x,因为x>0,所以t∈R.设φ(t)=et-t-1,于是φ/(t)=et-1.令φ/(t)=0,则t=0,当t>0时,φ/(t)>0,当t<0时,φ/(t)<0,所以φ(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以φ(t)min=φ(0)=0,即elnx+x-(lnx+x)-1的最小值为0,即k(x)min=0.………(15分)所以a-1≤0,即a≤1.故实数a的取值范围为(-∞,1].…………(17分)19.解析(I)第1轮试验中有1个红球,1个黑球,2个白球,摸出红球,即试验成功的概率为,……………(1分)摸出黑球且试验成功的概率为,……………………(3分)所以第1轮试验成功的概率……………(4分)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up0(a),^)…………(8分)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up0(y),^)………………(9分)当试验轮数足够大,即i足够大时,x接近于0,则y接近于0.782,故预测成功志愿者的比例为0.782.………………………(10分)(Ⅲ)依题意,n轮试验失败的概率为1-pn,设