数学-广东2025届高三下学期3月综合能力测试（燕博园联考CAT）试题+答案

扫答案广东省2025届高三年级综合能力测试(CAT)数学(新课标I卷)本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A=N,B={x|y=√x²-4x},则ANC&B)=A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3,4}2.在等差数列{a}中，若as+a₇+a₉=27,则2ag-a₉的值为A.18x12345y58且y对x呈现线性相关关系，则y与x的经验回归方程y=bx+a必经过的定点为A.(1,5)B.(2,7-m)C.(3,8)D.(5,11)4.在平面直角坐标系内，点A(0,1),B(b,b),直线l上的单位向量为若AB⊥I,则b的值为5.2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”,分别对应得分：1,2,3,4,5.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件A=“第一次得分5”,事件B=“第二次得分5”,则P(B|A)=数学试卷第1页(共4页)6.已知斜率为√3的直线过抛物线C:y²=4x的焦点F,且从上到下与C依次交于A、BAF=FB,则λ=AA7.在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M,N分别为AB,CC₁的中点，过直线MN的平面截该正方体的内切球O,所得截面圆的面积的最小值为A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i为虚数单位，复数z满足,则A.z的实部为3B.z的虚部为2i10.已知函)的部分图像如图所示，把函数f(x)的图得到函数g(x)的图像，则y个1EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up2(5),6)B.函数g(x)的图像关于直线对称C.若函数y=f(2x)在区间[0,m]上恰有4个不同的零点，则m的取值范围为|D.函数y=f(2x)g(x)的图像关于点对称11.已知数列{a}满足a+2+a≥2a+,数列{bn}满足bn=e”,T,为数列{bn}的前n项的积，B.bn+k+1·bnk-1<bn+k·bnC.若T100=1,则b₅₀bs₁≤1D.若a₁=1,a2025=2025,则a₈的最大值为12数学试卷第2页(共4页)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在二项式的展开式中，所有二项式系数和为64,则常数项为_.(用数字作答)13.已知F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且在第一象限，且BF垂直于x轴.若C的离心率为2,则AB的斜率为14.已知函数,且函数g(x)=f'(x),若不等式g(x+a)<g(2x)对任意的x∈(-○,-2)U(1,+)恒成立，则实数a的取值范围是_四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值；(3)讨论函数h(x)=f(x)-e+1在(0,+○)上的单调性.16.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2btanC=c(tanA+tanC).(ii)过边AC上一点P作AB,BC的垂线，垂足分别为D,E,求DE的最小值.17.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是边长为4的等边三角形，底面△ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形.数学试卷第3页(共4页)(2)若二面角P-AB-C的大小为求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.18.(17分)已知F,F₂是离心率为的椭圆C:)的左、右焦点，上顶点为A,(1)求椭圆C的方程.(2)若直线I₁与椭圆C交于两个不同的点M,N(i)若AM⊥AN,证明：直线l₁恒过定点P,并求出点P坐标；(ii)若点M,N关于直线对称，且OM⊥ON,O为坐标原点，求m的19.(17分)已知m,n∈N*,n≥2.设集合C={x|x=3k-2或x=3k-1,k∈N*,且k≤m},集合A={a|α=|x₁-y₁l+|x₂-v₂I+…+x,-yl=1,则称β为α的“相邻元”.对于整数H,若集合A存在一个子集B满足：(i)集合B中的元素个数为H;(ii)Va∈B,在集合B中都至少有n-1个“相邻元”,则称H是“好数”.(2)当m=2,n=9时，求证：4⁹-47是“好数”;(3)当n=2025时，若整数d,d₂,d₃满足0<d₁<d₂<d₃≤2022,证：(2m)²⁰2⁵-[m²025d(2m)¹+m²25d(2m)²+m2025d(2m)]是“好数”.扫答案数学试卷第4页(共4页)题号1235678DDCBDAB1.命题立意：试题主要考函数的定义域，集合的表示方法以及全集、子集、交集、补集的概念和运算，考查基本的运算求解能力.由于集合A={0,1,2,3,4,},B={x|x≤0或x≥4},则oB={x|0<x<4},A∩(B)={1,2,3}.故选D.2.命题立意：试题主要考查等差数列的概念、通项公式、基本性质等内容，考查基本的逻辑思维与推理能力，以及运算求解能力.3.命题立意：试题主要考查一元线性回归模型的含义、参数的统计意义，利用一元线性回归模型研究变量之间的随机关系并进行预测，考查知识获取能力和逻辑推理能力.故选C.4.命题立意：试题主要考查单位向量概念，直线的斜率，两运算求解能力和化归与转化的思想.由于,则,因为AB⊥l,则,解得或b=4.故选C.运算求解能力，逻辑推理能力，也考查考生分析问题和解决问题的能力.查数形结合思想，逻辑推理能力与运算求解的综合能力，体现解析几何的基本思想和基本方法.由于F(1,0),直线AB方程为y=√3(x-1),联立方程消去y,得3x²-10x+3=0, 显然xA>x,得xA=3,,|AF|=xA+1=4,,AF=3FB, λ=3.故选D.7.命题立意：试题主要考查考生熟悉的正方体、球等基综合性，创新性的考查要求.设T是线段MN的中点，则OT⊥MN,由勾股定理MN=√MB²+BN²=√6,OM=√2,球心O到MN距离,当OT垂直于过MN的平面时，截得内切球所得截面圆的面积最小，MN被球截得的弦长 此时圆的半径就是,面积为.故选A.8.命题立意：试题主要考查三个数值的大小比较，通过分析数值的共性与特点，作差、变形.试题重点考查考生分析问题的能力以及对数运算解决问题的能力.试题紧扣课程标准，题目经典，力图引导教学，符合基础性，综合性，应用性，创新性的考,b<c,则b<c<a.故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，题号99.命题立意：试题主要考查复数的概念，复数的基本运算.试题强调基础，注重对基本概念，基本思想方法的考查.本题能够稳定考生的紧张情绪，增强考生考试的信心，有利于考生在考试中正常发挥.由于,则二的实部为3,=的虚部为2,不是2i,由于|,z·z=|zl²=13,E=3-2i在复平面内对应的点(3,-2)在第四象限.故选ACD.10.命题立意：试题主要考查三角函数图像的识别与基本性质，三角的逻辑思维能力和运算求解能力，考查考生理性思维等数学学科索养.由于A=1,,则w=1,f(x)=sin(x+φ),令的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得单位长度，得到函数g(x)=sin2x,令则函数g(x)图像关于直线对选项C正确； 图像关于点对称，选项D正确.故选BCD.11.命题立意：试题主要考查数列的基本概念、力，运算求解能力和创新能力，考查考生的推理预判，数学应用、探索等数学学科素养.由于b=e,则b,>0,对于选项A:方法1:,将上述不等式累乘得：方法2:由-得bb₁≥b₂b,≥b₃b₆≥b,bs,即成立.故选项A正确.对于选项B:由于,则,整理得b++ba--1≥b+·b-,I≤k<n,故选项B错误.则(bs₀·b₃₁)5⁰≤b₁b₂b₃b₄…b,b₀0=To=1,得bsob₃₁≤1,故选项C正确.另外，a,-ag≥a₈-a,,a,-ag≥a-a₆,结合①②式得：,得：ag≤8,显然a=n符合题意，此时ag=8,综上所述，a的最大值为8.故选项D错误.故选AC.3由于2"=64,则n=6,二项式6的通项为：r=0,1,2,,6,令得r=4,故常数项是(-2)⁴C4=16×15=240.数，函数g(x)在区间(-,0)上单调递减，在区间(0,+)上单调递增得得四、解答题：本题共5小题，共77分。15.(13分)(1)由于f(x)=xlnx定义域为(0,+),,f(e)=e,f'(e)=2故曲线y=f(x)在点(e,e)处的切线方程为：y-e=(2)令f'(x)<0,则,令f'(x)>0,则,则函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增.故函数f(x)的极小值为,无极大值.7分(3)由于函数h(x)=xlnx-e+1,令g(x)=h'(x)=Inx+1-e(x>0),则在区间(0,+)上单调递减，且,g'(1)=1-e<0,故,使,当且仅当即x₀=1时，等号成立，显然，等号不成立，故h'(x)<0,故h(x)在(0,+)上是减函数.13分16.(15分)化归与转化等数学思想.(1)在△ABC中，A+C=π-B,sin(A+C)=sin由2btanC=c(tanA+tanC)及正弦定理得，2sini(2)(i)如图1,在△ABC中，,由正弦定理得，即,得b=AC=4(√3-1).方法1:单变量法=2x²-4x+8=2(x-1)²+6.方法2:四点共圆如图1,由PD⊥AB,PE⊥AC,故P,E,B,D四点共圆，且BP为该圆直径.由正弦定理得,故求DE的最小值等价于求BP的最小值.当BP15分方法3:建系坐标法以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2,则A(2,0),B(-2,0),直线BC:y=x+2,直线AC:y=-√3(x-2).设D(t,0),则P(t,-√3(t-直线PE:y=-(x-t)-√3(t-2).17.(15分)13分15分位置关系，考查二面角、直线与平面所成角、空间直角坐标系，考查考生想象能力和运算求解能力，重点突出对基础性和综合性的考查.取AC的中点H,连接BH,PH,则BH⊥AC.方法1:在△PHB中，PH=HB=2√2,PB=4,则∠PHB=90°.由于PH⊥HB,PH⊥AC,HB⊥AC=H,则PH⊥平面ABC.又PHc平面PAC,故平面PAC⊥平面ABC.7分方法2:由于PH⊥AC,BH⊥AC,则∠PHB是二面角P-AC在△PHB中，PH=HB=2√2,PB=4,则∠PHB=90°.故二面角P-AC-B为直二面角，即平面PAC⊥平面ABC.7分(2)方法1:以B为坐标原点，以BC,BA所在直线为x轴、V轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0),C(4,0,0),A(0,4,0).9分由于△PAB是边长为4的等边三角形，二面角P-AB-C的平面角为则P(√3,2,3).设直线PA与平面PBC所成角为θ,设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z).由于,故直线PA与平面PBC所成角的正弦值为15分取AB的中点为O,连接OP,OH.在等边△PAB中，AB⊥OP,则OH⊥AB(三垂线定理的逆定理),则∠POH就是二面角P-AB-C的平面角，即9分在△POH中，PO=2√3,,则H在△ABC内.作HN⊥BC于N,连PN,则PN⊥BC(三垂线定理).设直线PA与平面PBC所成角为θ,设点A到平面PBC的距离为d.由于HN=OB=2,PN=√2²+3²=√13,Vp-Ac=Va-PBc,,得13分18.(17分)设直线/:y=kx+n(n≠1),M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).由△=64k²n²-4(4k²+1)(4n²-4)>0得，n²<4k²+1.由于A(0,1),因为AMIAN,AM=(x₁,y₁-1),AN=(x₂,y₂-1),且AM·把代入(*)式，得满足n²<4k²+1,故直线方程消去得(1十代入5m²n²-4m²-4=0,得11m⁴-24m²-80=0,得m²=4或(舍),当m²=4时，1,满足,故m=±2.17分19.(17分)命题立意：试题主要考查元素、集合、子集、绝对值运算等基础知识；考查学生的逻辑思维，运算求解，独立思考和创新应用等能力，同时重点考查学生应用所学知识分析问题，解决问题的能力；重点考查从特殊到一般，转化与化归，分类讨论等数学思想与方法.(1)α=(1,4,1)的“相邻元”为：(2,4,1),(1,5,1),(1,4,2).3分(2)因为m=2,所以C={1,2,4,5}.设A={a|α=(x,x₂,,x,),x,∈{1,2,4,5}},显然A中每一个元素恰有9个“相邻元”.设U={u|u=(1,1,u₃,…,u₉),u,∈{1,2,4,5}},构造B=OU,则集合B中的元素个数为4⁹-4⁷.对集合B中的任意元素b=(b,,b₂,…,b₉),在集合U中至多存在一个u=(1,1,u₃,…,u₉),满足|b₁-1|+|b₂-1|+|b₃-u₃|+…+|b,-u,|=1,从而b=(b,b₂,…,b)