专题13 等腰三角形中的分类讨论模型（原卷版）

专题13等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰方法：两圆一线具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）例1．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对例2．（2023·四川达州·八年级校考期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为（

）A． B．或 C． D．以上都不对例3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（）A． B．或 C．或 D．例4．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A． B．或 C．或 D．例5．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是以为顶角的等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（

）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个例6．（2023·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．例7．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）从一个等腰三角形的顶角引出的一条射线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，则这个等腰三角形的顶角为．例8．（2023·甘肃兰州·八年级校考期中）如图，建立平面直角坐标系，点坐标为，若是以为腰的等腰三角形，且点在轴上，则满足条件的的坐标是．例9．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．

(1)的长为__________；（用含的代数式表示）(2)若点在的角平分线上，求的值；(3)在整个运动中，求出是等腰三角形时的值．例10．（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，．

(1)求直线的函数表达式；(2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标；(3)点是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．课后专项训练1．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（）A．10 B．11 C．6或8 D．10或112．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出()

A．7个 B．6个 C．4个 D．3个3．（2022·北京九年级阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2022·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角度数为（

）A． B． C．或 D．或6．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）等腰三角形中一个角为，则它的底角为（

）A．或 B．或 C．或 D．7．（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（

）

A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或48．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为．9．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是，则底角的度数是．19．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为．11．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，在直线或直线上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有_______个．12.（2022·湖南·长沙八年级阶段练习）如图，在中，，，在坐标轴上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有__________个.13．（2022·河南·郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是___________．14．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）在中，，垂直平分分别交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．15．（2023秋·河南郑州·八年级校考阶段练习）如图所示的三角形纸片中，，，，将沿某一条直线剪开（该直线需经过点A），使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，则剪出的等腰三角形的面积是．16．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，的值为．17．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）如图，在中，，分别是和的高．若，

（1）的长为()；（2）在的腰上取一点M，当是等腰三角形时，长为()18．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，已知在中，．过三角形顶点的一条直线将分割为两个等腰三角形．求的度数．

19．（2022春·陕西铜川·七年级统考期末）如图，在中，，，点为上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求的度数．

20．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，中，，垂足为，，，．(1)求证：；(2)点为上一点，连接，若为等腰三角形，求的长．21．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N