大连一模高中数学试卷

大连一模高中数学试卷一、选择题

1.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，则$f(1)$的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_1+a_5=12$，$a_2+a_4=10$，则$a_3$的值为：

A.6

B.7

C.8

D.9

3.已知圆$x^2+y^2=4$，圆心为$O(0,0)$，点$A(2,0)$，则圆上与直线$OA$垂直的弦长为：

A.2

B.4

C.$\sqrt{2}$

D.2$\sqrt{2}$

4.已知$a,b,c$为等比数列的连续三项，且$a+b+c=8$，$abc=27$，则$a^2+b^2+c^2$的值为：

A.24

B.25

C.26

D.27

5.已知函数$y=x^2-4x+3$，则函数的图像与$x$轴的交点坐标为：

A.$(1,0)$和$(3,0)$

B.$(2,0)$和$(1,0)$

C.$(3,0)$和$(2,0)$

D.$(2,0)$和$(1,0)$

6.已知函数$y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$，则函数的图像与$x$轴的交点个数为：

A.1

B.2

C.3

D.4

7.已知函数$y=\sinx+\cosx$，则函数的最大值为：

A.$\sqrt{2}$

B.2

C.$\sqrt{3}$

D.1

8.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=20$，$S_8=40$，则$a_6$的值为：

A.2

B.3

C.4

D.5

9.已知圆$x^2+y^2=9$，圆心为$O(0,0)$，点$A(3,0)$，则圆上与直线$OA$平行的弦长为：

A.3

B.6

C.$\sqrt{3}$

D.2$\sqrt{3}$

10.已知函数$y=\frac{1}{x^2+1}$，则函数的图像与$x$轴的交点个数为：

A.0

B.1

C.2

D.3

二、判断题

1.在直角坐标系中，若点$A(1,2)$关于$y$轴的对称点为$B$，则点$B$的坐标为$(-1,2)$。（）

2.若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，首项为$a_1$，则$a_n=a_1+(n-1)d$。（）

3.在平面直角坐标系中，若直线$y=kx+b$的斜率$k>0$，则该直线必经过第一象限和第三象限。（）

4.对于任意实数$x$，函数$f(x)=x^2$的图像关于$y$轴对称。（）

5.在三角形中，若两边之和大于第三边，则这三边可以构成一个三角形。（）

三、填空题

1.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2-n$，则该数列的首项$a_1$等于________。

2.在直角坐标系中，点$A(2,3)$和点$B(-4,5)$之间的距离为________。

3.函数$f(x)=x^3-3x+2$的图像与$x$轴的交点个数为________。

4.若等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，且$a_1=3$，$a_3=12$，则$q$的值为________。

5.圆$(x-1)^2+(y+2)^2=9$的圆心坐标为________。

四、简答题

1.简述二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像特征，并说明如何通过图像判断函数的开口方向、顶点坐标以及与$x$轴的交点情况。

2.证明：对于任意实数$x$，有恒等式$(x+1)^2-(x-1)^2=4x$。

3.已知函数$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，求函数的定义域，并化简函数表达式。

4.在平面直角坐标系中，已知点$A(2,3)$和点$B(-4,5)$，求直线$AB$的斜率和截距。

5.解不等式组$\begin{cases}2x-3y>6\\x+4y\leq8\end{cases}$，并画出解集在平面直角坐标系中的区域。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$在$x=2$处的导数值。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=3$，公差$d=2$，求第$10$项$a_{10}$和前$10$项和$S_{10}$。

3.解方程组$\begin{cases}2x+3y=7\\x-2y=1\end{cases}$。

4.计算圆$(x-3)^2+(y-2)^2=16$的周长和面积。

5.已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$，求$f(x)$在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司计划生产一批产品，每件产品的成本为$30$元，售价为$50$元。公司预计销售$500$件，但为了促销，决定对每件产品进行折扣优惠。

案例分析：

（1）假设折扣为$x$（$0\leqx\leq1$），即售价为$50x$元，求公司的总利润$P$与折扣$x$的关系式。

（2）如果公司希望总利润达到$10000$元，求折扣$x$应该是多少？

（3）分析折扣$x$的变化对总利润$P$的影响。

2.案例背景：某班级有$30$名学生，其中男生和女生的比例分别为$2:3$。班级组织了一次数学竞赛，成绩分布如下：满分$100$分，前$10\%$的学生得满分，接下来的$20\%$的学生得$90$分，再接下来的$30\%$的学生得$80$分，以此类推。

案例分析：

（1）求该班级数学竞赛的平均分。

（2）若要使班级的平均分提高$1$分，至少需要有多少名学生的分数提高$10$分？

（3）分析学生分数分布对班级平均分的影响，并提出提高班级整体成绩的建议。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一种产品，每件产品的直接成本为$20$元，固定成本为$1000$元。该产品售价为$30$元，市场需求函数为$Q=50-2P$，其中$Q$为市场需求量，$P$为产品售价。求：

（1）工厂的利润函数$L(P)$；

（2）为了最大化利润，工厂应该设定多少售价？

（3）如果市场需求量增加到$Q=60-2P$，工厂的利润将如何变化？

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$x$、$y$、$z$，其体积$V=xyz$。已知长方体的表面积$S=2(xy+xz+yz)$，且$x+y+z=6$。求：

（1）长方体的最大体积；

（2）当体积最大时，长方体的表面积是多少？

3.应用题：某城市计划修建一条新道路，道路的长度为$L$，宽度为$W$。道路的修建成本为每米长度$C_1$元，每米宽度$C_2$元。已知$C_1=200$元/米，$C_2=150$元/米。城市希望道路的总成本不超过$60000$元。求：

（1）道路的最大可能长度和宽度；

（2）如果道路的长度和宽度相等，那么道路的面积是多少？

4.应用题：某班级有$40$名学生，其中$20$名男生和$20$名女生。男生和女生分别参加数学和语文考试，成绩分布如下：男生数学平均分为$80$分，语文平均分为$70$分；女生数学平均分为$75$分，语文平均分为$85$分。求：

（1）整个班级数学和语文的平均分；

（2）如果要将班级的总平均分提高$1$分，那么至少需要有多少名学生的成绩提高$10$分？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.B

2.A

3.B

4.B

5.A

6.B

7.A

8.C

9.D

10.C

二、判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.3

2.5$\sqrt{13}$

3.3

4.4

5.(1,2)

四、简答题

1.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像特征包括：

-开口方向：当$a>0$时，开口向上；当$a<0$时，开口向下。

-顶点坐标：顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。

-与$x$轴的交点情况：根据判别式$b^2-4ac$的值，判断交点个数和位置。

2.证明：$(x+1)^2-(x-1)^2=x^2+2x+1-(x^2-2x+1)=4x$。

3.函数$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$的定义域为所有$x\neq1$的实数。化简得$f(x)=x-3$。

4.直线$AB$的斜率$k=\frac{5-3}{-4-2}=-\frac{1}{3}$，截距$b=3$。

5.解不等式组得到解集为$x\in(-\infty,2)\cup(2,4)$，解集区域为两条平行线$x=2$和$x=4$之间的带状区域。

五、计算题

1.$f'(x)=3x^2-12x+9$，$f'(2)=3\times2^2-12\times2+9=3$。

2.$a_{10}=a_1+(10-1)d=3+9\times2=21$，$S_{10}=\frac{10}{2}\times(a_1+a_{10})=5\times(3+21)=120$。

3.解得$x=3$，$y=1$。

4.周长$C=2\pi\times4=8\pi$，面积$A=\pi\times4^2=16\pi$。

5.函数在$[1,2]$上递减，在$[2,3]$上递增，故最大值为$f(2)=\frac{1}{4}$，最小值为$f(3)=\frac{1}{5}$。

六、案例分析题

1.（1）$P=(50x-30)(50-2x)-1000$；

（2）$x=0.5$；

（3）折扣越高，利润越低。

2.（1）最大体积为$V=8$，当$x=y=z=2$；

（2）表面积为$S=52$。

3.（1）最大长度为$L=20$米，最大宽度为$W=20$米；

（2）道路面积为$400$平方米。

4.（1）数学平均分为$75$分，语文平均分为$80$分；

（2）至少需要$4$名学生的成绩提高$10$分。

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学的主要知识点，包括：

-代数：二次函数、等差数列、等比数列、函数的图像和性质、不等式。

-几何：平面直角坐标系、直线方程、圆的方程、三角形的性质。

-应用题：利润最大化、成本优化、数据统计分析。

各题型所考察的知识点详解及示例：

-选择题：