江西省多校联考2024-2025学年高二下学期第一次学情联合检测数学试题（原卷版+解析版）

2024-2025学年下学期江西省第一次学情联合检测高二数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．考查范围：选择性必修第一册占，选择性必修第二册第一章占.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的前4项依次为，则的一个通项公式为（）A. B. C. D.2.已知直线，若，则（）A. B. C.8 D.3.已知数列是首项为、公比为的等比数列，则（）A.12 B.4 C. D.4.已知数列满足，则的前5项的乘积为（）A. B. C. D.5.若直线l一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6.已知数列是等差数列，且，则的最大值为（）A. B. C. D.17.若，且数列是递减数列，数列是递增数列，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知为数列的前n项乘积，且，则满足的n的最小值为（）A.21 B.49 C.50 D.51二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列是公比为q等比数列，前n项和为，则（）A. B.C.当时， D.10.已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（）A.若与关于平面对称，则B.若，则A，B，C，D共面C.若，则A，B，C，D共面D.若三点共线，则11.已知数列是等差数列，公差，前n项和为，且，则（）A.时，最小 B.时，最小C.最小时，或9 D.最小时，或9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某公园有4条同心圆环步道，其长度构成公比为2的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为__________．13.已知等差数列的前n项和为，若，则___________．14.若数列满足，在中插入n个2，按照原有顺序构成数列，则数列的前480项和为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知数列，求的前10项和；（2）小明购买了价格分别为x元、y元的甲、乙两种学习用品，若1，x，y成等比数列，x，y，成等差数列，求x，y．16.记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国出生人数y（单位：万人）与年份代码x的统计数据：年份代码x12345出生人数y12001062956902954（1）根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求x与y的相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值：（若，则认为经验回归方程有价值）（2）从表中第2行的5个数据中任取3个数据，记取到大于1000的数据个数为X，求X的分布列与期望．参考数据与公式：回归方程中，相关系数．17已知数列满足．（1）证明：数列等比数列；（2）求数列的前n项和．18.已知双曲线一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，且．（1）求C的方程；（2）若动直线与C交于不同的两点，直线交于点E，证明：点E恒在椭圆上；（3）若过点且斜率不为0的直线l与C的左、右支分别交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为R，判断直线QR是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．19.已知数列满足：,．（1）证明：；（2）设，求的值；（3）求的通项公式，并证明：能被3整除．

2024-2025学年下学期江西省第一次学情联合检测高二数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．考查范围：选择性必修第一册占，选择性必修第二册第一章占.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的前4项依次为，则的一个通项公式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据规律，利用观察法求出通项即可.【详解】因为的前4项依次为，所以的一个通项公式为．故选：．2.已知直线，若，则（）A. B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，，利用斜率相等即可得到结果.【详解】因为，所以．验证当时，，两条直线平行.故选：D．3.已知数列是首项为、公比为的等比数列，则（）A.12 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式计算可得结果.【详解】由题意得，.故选：C.4.已知数列满足，则的前5项的乘积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件可得数列是等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果.【详解】由得，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴的前5项的乘积为．故选：C．5.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】应用向量法求线面角的正弦值，进而求余弦值.【详解】设直线l与平面所成的角为，则，所以．故选：A．6.已知数列是等差数列，且，则的最大值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】设数列的公差为d，结合题设易得，进而结合求解即可.【详解】设数列的公差为d，由，得，整理得，把该式看作关于d的一元二次方程，则，解得．故选：A．7.若，且数列是递减数列，数列是递增数列，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】讨论n为奇数和n为偶数，结合数列的单调性可得t的取值范围.【详解】∵数列是递减数列，∴当n为奇数时，，即，整理得，，∴，故，∵时，，∴，即.∵数列是递增数列，∴当n为偶数时，，即，整理得，，∴，故，∵时，，∴，即.综上得，的取值范围是．故选：C.8.已知为数列的前n项乘积，且，则满足的n的最小值为（）A.21 B.49 C.50 D.51【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，变形计算，得到，构造等差数列，求出，再解不等式即可.【详解】因为，所以，且，两式相除得，所以，数列是首项为1、公差为1的等差数列，所以，所以令，得，所以满足条件的n的最小值为51．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列是公比为q的等比数列，前n项和为，则（）A. B.C.当时， D.【答案】ACD【解析】【分析】根据等比数列性质判断A；根据等比中项公式判断B；根据等比数列求和公式，变形计算判断CD.【详解】，故A正确；，故B错误；由求和公式易得C正确；，故D正确．故选：ACD．10.已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（）A.若与关于平面对称，则B.若，则A，B，C，D共面C.若，则A，B，C，D共面D.若三点共线，则【答案】BD【解析】【分析】对于A：利用“关于谁对称谁不变”即可求出B点坐标即可判断，对于B：利用共面向量定理可得B正确；对于C：利用共面向量定理的推论即可验证；对于D：利用共线向量定理即可求得结果.【详解】对于A，A与B关于平面对称，则，故A错误；对于B，由共面向量定理易知得B正确；对于C，因为，故C错误；对于D，，因为A，B，C共线，所以共线，所以，所以，故D正确．故选：BD．11.已知数列是等差数列，公差，前n项和为，且，则（）A.时，最小 B.时，最小C.最小时，或9 D.最小时，或9【答案】ACD【解析】【分析】由条件推出，求得，根据各选项逐一判断即得.详解】由得，所以，对于A，因，由，，可得时最小，故A正确；对于B，由A可得，当时，，当时，，故当时，，当时，，当时，，且，故时，最小，即B错误；对于C，因，当时，当时，当时，所以最小时或9，故C正确；对于D，因，当时因，当时，且，所以最小时，或9，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某公园有4条同心圆环步道，其长度构成公比为2的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为__________．【答案】960【解析】【分析】根据等比数列的通项公式列出关于首项和公比的方程，进而求出最长步道的长度.【详解】设这条同心圆环步道的长度构成的等比数列为，公比，首项为（），根据等比数列通项公式，可得.因为越大，的值越大，所以最短步道为，最长步道为.可得.已知最长步道与最短步道之差为，即，联立解得，，即最长步道为.故答案为：960.13.已知等差数列的前n项和为，若，则___________．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前n项和计算得解.【详解】等差数列中，，由，得，所以.故答案为：14.若数列满足，在中插入n个2，按照原有顺序构成数列，则数列的前480项和为___________．【答案】1215【解析】【分析】由题意，根据等差数列前项和公式求出数列项数和前480项中2的个数，再求出数列的前30项和即可.【详解】数列中从到的项数为：，令，得，且，所以数列的前480项中后面还有15项，则数列的前480项中2的个数为．由，得，故数列的前30项和是数列的前10项和，且和为，所以数列的前480项和为．故答案为：1215【点睛】难点点睛：本题的难点是推出数列的前480项中后面还有15项.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知数列，求的前10项和；（2）小明购买了价格分别为x元、y元的甲、乙两种学习用品，若1，x，y成等比数列，x，y，成等差数列，求x，y．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的求和公式计算；（2）运用等比中项和等差中项联立方程，计算即可.【详解】（1）因为，则数列是首项为、公比为2的等比数列，所以的前10项和为．（2）因为1，x，y成等比数列，x，y，成等差数列，所以，且即解得．16.记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国出生人数y（单位：万人）与年份代码x的统计数据：年份代码x12345出生人数y12001062956902954（1）根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求x与y的相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值：（若，则认为经验回归方程有价值）（2）从表中第2行的5个数据中任取3个数据，记取到大于1000的数据个数为X，求X的分布列与期望．参考数据与公式：回归方程中，相关系数．【答案】（1），有价值（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题干中的条件和公式，将数值代入即可求得线性回归方程与相关系数./（2）由表中第2行的5个数据中任取3个数据，且大于1000，故X的取值可为0，1，2，根据离散型随机变量求出各个的概率，即可求出分布列和期望.【小问1详解】由x的取值依次为1，2，3，4，5，得，因为经验回归方程为，所以，所以，所以．因为，所以该经验回归方程有价值．【小问2详解】X的取值依次为0，1，2，，所以X的分布列为X012P所以．17.已知数列满足．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义，结合已知条件即可证明；（2）利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为，所以，且，所以数列是首项为、公比为的等比数列．【小问2详解】由（1）知，，所以，所以，两式相减得，所以．18.已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，且．（1）求C的方程；（2）若动直线与C交于不同的两点，直线交于点E，证明：点E恒在椭圆上；（3）若过点且斜率不为0的直线l与C的左、右支分别交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为R，判断直线QR是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）证明见解析（3）是，【解析】【分析】（1）根据渐近线方程以及即可求解，（2）求解的直线方程，即可得交点E的坐标满足求解，（3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据对称性得定点在x轴上，求解QR的方程为，令即可求解.【小问1详解】因为，所以，因为C的一条渐近线方程为，所以，所以C的方程为．【小问2详解】证明：由（1）知，设，则，且，直线的方程分别为，相乘得，即，因为点E既在直线上，又在直线上，所以点E的坐标满足，所以点E恒在椭圆上．【小问3详解】设，则，设直线l的方程为，与联立得，所以，所以，直