江西省多校联考2024-2025学年高二下学期第一次学情联合检测数学试题(原卷版+解析版)_第1页
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文档简介

2024-2025学年下学期江西省第一次学情联合检测高二数学试卷试卷共4页,19小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.考查范围:选择性必修第一册占,选择性必修第二册第一章占.2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的前4项依次为,则的一个通项公式为()A. B. C. D.2.已知直线,若,则()A. B. C.8 D.3.已知数列是首项为、公比为的等比数列,则()A.12 B.4 C. D.4.已知数列满足,则的前5项的乘积为()A. B. C. D.5.若直线l一个方向向量为,平面的一个法向量为,则直线l与平面所成角的余弦值为()A. B. C. D.6.已知数列是等差数列,且,则的最大值为()A. B. C. D.17.若,且数列是递减数列,数列是递增数列,则的取值范围是()A. B. C. D.8.已知为数列的前n项乘积,且,则满足的n的最小值为()A.21 B.49 C.50 D.51二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知数列是公比为q等比数列,前n项和为,则()A. B.C.当时, D.10.已知A,B,C,D是空间直角坐标系中的四点,P是空间中任意一点,则()A.若与关于平面对称,则B.若,则A,B,C,D共面C.若,则A,B,C,D共面D.若三点共线,则11.已知数列是等差数列,公差,前n项和为,且,则()A.时,最小 B.时,最小C.最小时,或9 D.最小时,或9三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.某公园有4条同心圆环步道,其长度构成公比为2的等比数列,若最长步道与最短步道之差为,则最长步道为__________.13.已知等差数列的前n项和为,若,则___________.14.若数列满足,在中插入n个2,按照原有顺序构成数列,则数列的前480项和为___________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(1)已知数列,求的前10项和;(2)小明购买了价格分别为x元、y元的甲、乙两种学习用品,若1,x,y成等比数列,x,y,成等差数列,求x,y.16.记2020~2024年的年份代码依次为1,2,3,4,5,下表为2020~2024年中国出生人数y(单位:万人)与年份代码x的统计数据:年份代码x12345出生人数y12001062956902954(1)根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为,求x与y的相关系数r,并判断该经验回归方程是否有价值:(若,则认为经验回归方程有价值)(2)从表中第2行的5个数据中任取3个数据,记取到大于1000的数据个数为X,求X的分布列与期望.参考数据与公式:回归方程中,相关系数.17已知数列满足.(1)证明:数列等比数列;(2)求数列的前n项和.18.已知双曲线一条渐近线方程为,左、右顶点分别为,且.(1)求C的方程;(2)若动直线与C交于不同的两点,直线交于点E,证明:点E恒在椭圆上;(3)若过点且斜率不为0的直线l与C的左、右支分别交于P,Q两点,点P关于x轴的对称点为R,判断直线QR是否过定点,若是,求出该定点;若不是,请说明理由.19.已知数列满足:,.(1)证明:;(2)设,求的值;(3)求的通项公式,并证明:能被3整除.

2024-2025学年下学期江西省第一次学情联合检测高二数学试卷试卷共4页,19小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.考查范围:选择性必修第一册占,选择性必修第二册第一章占.2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的前4项依次为,则的一个通项公式为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据规律,利用观察法求出通项即可.【详解】因为的前4项依次为,所以的一个通项公式为.故选:.2.已知直线,若,则()A. B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】根据题意,,利用斜率相等即可得到结果.【详解】因为,所以.验证当时,,两条直线平行.故选:D.3.已知数列是首项为、公比为的等比数列,则()A.12 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式计算可得结果.【详解】由题意得,.故选:C.4.已知数列满足,则的前5项的乘积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件可得数列是等比数列,利用等比数列的通项公式可得结果.【详解】由得,∴数列是以为首项,为公比的等比数列,∴,∴的前5项的乘积为.故选:C.5.若直线l的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则直线l与平面所成角的余弦值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】应用向量法求线面角的正弦值,进而求余弦值.【详解】设直线l与平面所成的角为,则,所以.故选:A.6.已知数列是等差数列,且,则的最大值为()A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】设数列的公差为d,结合题设易得,进而结合求解即可.【详解】设数列的公差为d,由,得,整理得,把该式看作关于d的一元二次方程,则,解得.故选:A.7.若,且数列是递减数列,数列是递增数列,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】讨论n为奇数和n为偶数,结合数列的单调性可得t的取值范围.【详解】∵数列是递减数列,∴当n为奇数时,,即,整理得,,∴,故,∵时,,∴,即.∵数列是递增数列,∴当n为偶数时,,即,整理得,,∴,故,∵时,,∴,即.综上得,的取值范围是.故选:C.8.已知为数列的前n项乘积,且,则满足的n的最小值为()A.21 B.49 C.50 D.51【答案】D【解析】【分析】根据已知条件,变形计算,得到,构造等差数列,求出,再解不等式即可.【详解】因为,所以,且,两式相除得,所以,数列是首项为1、公差为1的等差数列,所以,所以令,得,所以满足条件的n的最小值为51.故选:D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知数列是公比为q的等比数列,前n项和为,则()A. B.C.当时, D.【答案】ACD【解析】【分析】根据等比数列性质判断A;根据等比中项公式判断B;根据等比数列求和公式,变形计算判断CD.【详解】,故A正确;,故B错误;由求和公式易得C正确;,故D正确.故选:ACD.10.已知A,B,C,D是空间直角坐标系中的四点,P是空间中任意一点,则()A.若与关于平面对称,则B.若,则A,B,C,D共面C.若,则A,B,C,D共面D.若三点共线,则【答案】BD【解析】【分析】对于A:利用“关于谁对称谁不变”即可求出B点坐标即可判断,对于B:利用共面向量定理可得B正确;对于C:利用共面向量定理的推论即可验证;对于D:利用共线向量定理即可求得结果.【详解】对于A,A与B关于平面对称,则,故A错误;对于B,由共面向量定理易知得B正确;对于C,因为,故C错误;对于D,,因为A,B,C共线,所以共线,所以,所以,故D正确.故选:BD.11.已知数列是等差数列,公差,前n项和为,且,则()A.时,最小 B.时,最小C.最小时,或9 D.最小时,或9【答案】ACD【解析】【分析】由条件推出,求得,根据各选项逐一判断即得.详解】由得,所以,对于A,因,由,,可得时最小,故A正确;对于B,由A可得,当时,,当时,,故当时,,当时,,当时,,且,故时,最小,即B错误;对于C,因,当时,当时,当时,所以最小时或9,故C正确;对于D,因,当时因,当时,且,所以最小时,或9,故D正确.故选:ACD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.某公园有4条同心圆环步道,其长度构成公比为2的等比数列,若最长步道与最短步道之差为,则最长步道为__________.【答案】960【解析】【分析】根据等比数列的通项公式列出关于首项和公比的方程,进而求出最长步道的长度.【详解】设这条同心圆环步道的长度构成的等比数列为,公比,首项为(),根据等比数列通项公式,可得.因为越大,的值越大,所以最短步道为,最长步道为.可得.已知最长步道与最短步道之差为,即,联立解得,,即最长步道为.故答案为:960.13.已知等差数列的前n项和为,若,则___________.【答案】##【解析】【分析】根据给定条件,利用等差数列性质,结合前n项和计算得解.【详解】等差数列中,,由,得,所以.故答案为:14.若数列满足,在中插入n个2,按照原有顺序构成数列,则数列的前480项和为___________.【答案】1215【解析】【分析】由题意,根据等差数列前项和公式求出数列项数和前480项中2的个数,再求出数列的前30项和即可.【详解】数列中从到的项数为:,令,得,且,所以数列的前480项中后面还有15项,则数列的前480项中2的个数为.由,得,故数列的前30项和是数列的前10项和,且和为,所以数列的前480项和为.故答案为:1215【点睛】难点点睛:本题的难点是推出数列的前480项中后面还有15项.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(1)已知数列,求的前10项和;(2)小明购买了价格分别为x元、y元的甲、乙两种学习用品,若1,x,y成等比数列,x,y,成等差数列,求x,y.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)根据等比数列的求和公式计算;(2)运用等比中项和等差中项联立方程,计算即可.【详解】(1)因为,则数列是首项为、公比为2的等比数列,所以的前10项和为.(2)因为1,x,y成等比数列,x,y,成等差数列,所以,且即解得.16.记2020~2024年的年份代码依次为1,2,3,4,5,下表为2020~2024年中国出生人数y(单位:万人)与年份代码x的统计数据:年份代码x12345出生人数y12001062956902954(1)根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为,求x与y的相关系数r,并判断该经验回归方程是否有价值:(若,则认为经验回归方程有价值)(2)从表中第2行的5个数据中任取3个数据,记取到大于1000的数据个数为X,求X的分布列与期望.参考数据与公式:回归方程中,相关系数.【答案】(1),有价值(2)分布列见解析,【解析】【分析】(1)根据题干中的条件和公式,将数值代入即可求得线性回归方程与相关系数./(2)由表中第2行的5个数据中任取3个数据,且大于1000,故X的取值可为0,1,2,根据离散型随机变量求出各个的概率,即可求出分布列和期望.【小问1详解】由x的取值依次为1,2,3,4,5,得,因为经验回归方程为,所以,所以,所以.因为,所以该经验回归方程有价值.【小问2详解】X的取值依次为0,1,2,,所以X的分布列为X012P所以.17.已知数列满足.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)利用等比数列的定义,结合已知条件即可证明;(2)利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为,所以,且,所以数列是首项为、公比为的等比数列.【小问2详解】由(1)知,,所以,所以,两式相减得,所以.18.已知双曲线的一条渐近线方程为,左、右顶点分别为,且.(1)求C的方程;(2)若动直线与C交于不同的两点,直线交于点E,证明:点E恒在椭圆上;(3)若过点且斜率不为0的直线l与C的左、右支分别交于P,Q两点,点P关于x轴的对称点为R,判断直线QR是否过定点,若是,求出该定点;若不是,请说明理由.【答案】(1)(2)证明见解析(3)是,【解析】【分析】(1)根据渐近线方程以及即可求解,(2)求解的直线方程,即可得交点E的坐标满足求解,(3)联立直线与椭圆方程得韦达定理,即可根据对称性得定点在x轴上,求解QR的方程为,令即可求解.【小问1详解】因为,所以,因为C的一条渐近线方程为,所以,所以C的方程为.【小问2详解】证明:由(1)知,设,则,且,直线的方程分别为,相乘得,即,因为点E既在直线上,又在直线上,所以点E的坐标满足,所以点E恒在椭圆上.【小问3详解】设,则,设直线l的方程为,与联立得,所以,所以,直

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