安徽省阜阳市部分学校 2025届高三1月大联考（新课标卷）数学试题（原卷版+解析版）

绝密★启用前2025届高三1月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，且，则（）A.0 B.1 C. D.32.已知向量，，若，则（）A B.4 C.1 D.3.已知函数在上的导函数为，且满足，则（）A. B. C.2 D.14.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.已知抛物线：的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，点为轴上一点（，，三点不共线），满足的面积是面积的2倍，则直线的斜率为（）A.1 B. C. D.8.已知函数的定义域为，且，，，，则（）A.2 B. C.1 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.B.的虚部为CD.在复平面内对应的点位于第二象限10.若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.B.在上单调递减C.若在上有且仅有2个零点，则实数取值范围是D.若在上的最大值为，则实数的最大值为11.如图①，密闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内装有一定体积的水，容器的底面半径，为容器下底面的直径．如图②，将该容器绕点倾斜后，当且倾斜过程中水面只与容器侧面接触，不与容器底面接触时，水面与容器侧面相交线上的点到容器下底面距离的最大值与最小值分别为，；当时，水的最大深度为，则下列说法正确的是（）A.若水面形状为椭圆，则该椭圆的短轴长为2B.若水面形状为椭圆，则该椭圆离心率为C.若容器的高为4，，则D.若容器的高为4，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将某大型出版公司所有打字员每分钟的平均打字数统计如图所示，则可以估计该公司打字员每分钟的平均打字数的中位数为______．13.将3种不同的蔬菜随机地种植到4块不同的实验田中去，每种蔬菜都要种植且只能种植到一块实验田中，每块实验田可以种植多种蔬菜．设每块实验田中种植的蔬菜种数的最大值为，则______．14.已知双曲线：左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，则双曲线的离心率为______；若直线的斜率大于零，且圆为的内切圆，则圆的半径为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角，，所对的边分别为，，，，且．（1）求证：；（2）从下面3个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求的周长．①，；②，；③，．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件作答，按第一个解答计分．16.在长方体中，，为的中点，平面，且．（1）求的值；（2）求点到平面的距离．17.已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于，两点（均异于点），且直线与的斜率之和为0．证明：直线的斜率为定值，并求出该定值．18.已知函数．（1）若为函数的极值点，求的值；（2）若在定义域上不单调，求的取值范围；（3）若有两个极值点，，且，求的取值范围．19.设和是整数数列，如果且，都有，我们就称数列和为强相关的．（1）若数列和为强相关的，且，都有，且，求数列的通项公式．（2）若数列和为强相关的，证明：．（3）若数列和为强相关的，判断命题“，使得对于某个，从中任取一个数，这个数是的概率大于49%”是否为真．若为真，说明理由；若不为真，请给出反例．

绝密★启用前2025届高三1月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，且，则（）A.0 B.1 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根据子集的定义判断即可.【详解】因为集合，，且，所以当时，，此时，符合题意；当时，，此时不是的子集，不符合题意；当时，，此时不是的子集，不符合题意，故选：A.2.已知向量，，若，则（）A. B.4 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的坐标运算求出，再根据向量平行的坐标运算求解即可.【详解】因为向量，，所以，又因为，所以，即，故选：B.3.已知函数在上的导函数为，且满足，则（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】求导，通过赋值即可求解；【详解】由，求导可得：，令，可得，所以，故选：A4.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式和特值法，结合充分条件与必要条件的定义可得答案.【详解】若，取，则，故充分性不成立，若，则，故必要性成立，∴若，则“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】画出轴截面，根据列方程求解即可.【详解】画出圆锥的轴截面如图设内切球的球心为，半径为，则，，所以，又，即，解得，故选：B.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式进行化简，再根据同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】因为，所以，两边平方得，即，即，即，故，故选：D.7.已知抛物线：的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，点为轴上一点（，，三点不共线），满足的面积是面积的2倍，则直线的斜率为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直线的方程为，联立，得，设，，因为的面积是面积的2倍，得，进而得到答案.【详解】由题意知，点，设直线的方程为，，联立，得，所以，因为点为轴上一点，的面积是面积的2倍，所以，又因为三点共线，所以，即，即，所以，即，所以，故选：D.8.已知函数的定义域为，且，，，，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】先求出的周期为和函数关于对称，进而求出的值，即可求出答案.【详解】由可得：，所以函数的周期为，由可得函数关于对称，所以，又，，所以，又，，，，所以故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点位于第二象限【答案】AD【解析】【分析】根据复数的四则运算得，再根据复数的相关概念，以及复数的几何意义逐项判断即可.【详解】由，得，对于A，，故A正确；对于B，的虚部为3，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，在复平面内对应的点为，位于第二象限，故D正确.故选：AD．10.若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.B.在上单调递减C.若在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是D.若在上的最大值为，则实数的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】由三角函数的平移变化求出，再根据三角函数的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数，故A正确；对于B，，又在上单调递减，所以在上单调递减，故B正确；对于C，令，可得，解得：，当时，当时，当时，故若上有且仅有2个零点，所以，即实数的取值范围是，故C正确；对于D，，令，则或，解得：或，故若在上的最大值为，则实数的最大值为，故D错误.故选：ABC.11.如图①，密闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内装有一定体积的水，容器的底面半径，为容器下底面的直径．如图②，将该容器绕点倾斜后，当且倾斜过程中水面只与容器侧面接触，不与容器底面接触时，水面与容器侧面相交线上的点到容器下底面距离的最大值与最小值分别为，；当时，水的最大深度为，则下列说法正确的是（）A.若水面形状为椭圆，则该椭圆的短轴长为2B.若水面形状为椭圆，则该椭圆的离心率为C.若容器的高为4，，则D.若容器的高为4，，则【答案】BD【解析】【分析】当水面形状为椭圆，根据圆柱底面半径和倾斜角的几何关系，得出短半轴长，长半轴长，进而可判断A，B；时，水的体积，当时，根据水的体积不变列方程，代入容器的高和解方程可判断C，D.【详解】对于A，当容器倾斜时，水面形成一个椭圆．椭圆的短轴长等于圆柱底面的直径，即．因此，该椭圆的短轴长为4，而不是．故A是错误的．对于B，当容器倾斜时，短半轴长，长半轴长，所以，故B正确；对于C，当时，水的体积，当时，水的体积保持不变，此时水的体积可以看作是一个底面为弓形的柱体，设容器高为，根据水的体积不变可得：，(该式是根据水的体积的两种表示方法列出的，左边是竖直放置时水的体积，右边是倾斜放置时水的体积，由一个矩形和一个半圆柱组成)，若容器的高为4，，，代入上式可得：，设，则，此方程无解，故C错误.对于D，若容器的高为4，，，代入上式可得：，设，则，解方程可得：，所以，故D正确；故选：BD.【点睛】关键点睛：本题CD选项的关键点在于根据水的体积的两种表示方法列出，左边是竖直放置时水的体积，右边是倾斜放置时水的体积，由一个矩形和一个半圆柱组成.最后代入数据解方程即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将某大型出版公司所有打字员每分钟的平均打字数统计如图所示，则可以估计该公司打字员每分钟的平均打字数的中位数为______．【答案】360【解析】【分析】由中位数的概念结合面积即可求解；【详解】第一个矩形面积为，第二个矩形面积为：，前两个个面积和为：，第三个矩形面积为：，所以中位数为：，故答案为：36013.将3种不同的蔬菜随机地种植到4块不同的实验田中去，每种蔬菜都要种植且只能种植到一块实验田中，每块实验田可以种植多种蔬菜．设每块实验田中种植的蔬菜种数的最大值为，则______．【答案】【解析】【分析】根据题意，的可能取值为1，2，3，分别求出，再由这些概率利用期望计算公式求得.【详解】由题意可知，3种不同的蔬菜种植在4块不同的实验田有三种不同的情况：情况一：1块种3种蔬菜，其余3块都种0种蔬菜；情况二：1块种2种蔬菜，1块种1种蔬菜，其余2块都种0种蔬菜；情况三：其中3块各种1种蔬菜，剩下1块种0种蔬菜.故的可能取值为1，2，3，,,

,所以.故答案为：.14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，则双曲线的离心率为______；若直线的斜率大于零，且圆为的内切圆，则圆的半径为______．【答案】①.2②.##【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质及双曲线的定义求出的值，再结合双曲线中的关系求出，从而可求出双曲线的离心率；对于求内切圆的半径，先求出直线的斜率，则可求出直线的方程，代入双曲线方程可求出点的坐标，从而可求出，然后利用三角形面积与周长关系求解即可.【详解】由，得，则，因为过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，所以或，所以，得，所以，得，解得，所以离心率为，因为直线的斜率大于零，是腰长为8的等腰三角形，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以直线的斜率为，因为，所以直线为，由，得，解得或，因为直线的斜率大于零，点在第一象限，所以，，所以，所以，因为，所以，设圆的半径为，则，所以，解得.故答案为：2，【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率问题，考查双曲线的焦点三角形问题，解题的关键是根据题意结合双曲线的定义在等腰中求出直线的斜率，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角，，所对的边分别为，，，，且．（1）求证：；（2）从下面3个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求的周长．①，；②，；③，．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件作答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）选择条件①不合题意；选择条件②周长为，选择条件③，周长为【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，通过已知条件进行三角函数的恒等变换即可证明.（2）根据不同条件，选择条件①结合正弦定理与余弦定理，以及题干得到不合题意；选择条件②和条件③，根据正弦定理通过建立方程求解三角形的三边，进而得到周长.【小问1详解】根据正弦定理(R为三角形外接圆半径)，已知，则，因为,所以或,因为，所以，故,若，则，由正弦定理得，又，故，，即若，则,与已知矛盾舍去.结论得证.【小问2详解】选择条件①：，，由，得，但，所以该条件不符合要求,不选条件①.选择条件②：，，由，得，由余弦定理，将代入得，整理得：，解得：或，当时，，此时不合题意舍去.当时，，此时周长为，选择条件③：，，由正弦定理(R三角形外接圆半径)，得，把代入得，由及余弦定理得，整理得，将，代入整理得，令，即，解得或，又，所以或，当时，，，此时,不合题意舍去，当时，，，三角形周长为16.在长方体中，，为的中点，平面，且．（1）求的值；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由面面平行的性质得，，可得四边形为平行四边形，即可利用向量的线性运算求解，或者建立空间直角坐标系，写出与的坐标，根据坐标运算求解，或者利用面面平行的性质得为平行四边形，为平行四边形，根据线段长度关系求解，（2）建系，求解平面的法向量，利用点面距离的公式求解，或者将求点到平面的距离转化为求点到平面的距离，利用锥体的体积公式，结合等体积法求解【小问1详解】连接．由平面平面，且平面平面，平面平面，所以．解法一：连接，．同理可得，所以四边形为平行四边形，所以，所以，即．解法二：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设，则，，，由，得，即，则，又，所以．解法三：连接，．由平面平面，且平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四边形为平行四边形，所以．连接，因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，又为的中点，所以，所以．【小问2详解】由（1）中解法二的空间直角坐标系可得，，，所以，，设为平面的法向量，则即令，得为平面的一个法向量．又，所以点到平面的距离．解法二：由（1）知，，又平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离即为点到平面的距离．在Rt中，，，所以，在Rt中，，设点到平面的距离为，由得，所以，所以点到平面距离为．17.已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于，两点（均异于点），且直线与的斜率之和为0．证明：直线的斜率为定值，并求出该定值．【答案】（1）（2）证明过程见解析，定值为.【解析】【分析】（1）建立方程组，求解未知数；（2）设直线方程，联立方程组，化简即可.【小问1详解】由题意可知，，解得，则椭圆的方程为.【小问2详解】当直线斜率不存在时，直线与的斜率之和不会为0．设点，直线，由消去并整理，得，则，则则，整理，得，因直线不过点，则，所以.故直线的斜率为定值，定值为.【点睛】关键点点睛：本题为圆锥曲线中直线过定点问题，本题的关键在于此二元二次方程的化简问题，该题中求解斜率为定值，故其中为常数必为此二元二次方程的因式，而另一个因式必为题中增根，即.18.已知函数．（1）若为函数的极值点，求的值；（2）若在定义域上不单调，求的取值范围；（3）若有两个极值点，，且，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由为函数的极值点，得，从而求出的值；（2）由在定义域上不单调，可得在上有解，从而求出的取值范围；（3）由（2）知，当，有两个极值点，且，将化简为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而求出取值范围.【小问1详解】由题意得，因为为函数的极值点，所以，解得，经检验，当时，为函数的极值点，所以.【小问2详解】因为的定义域为，，要使在定义域上不单调，则在上有解，即在上有解，由得，当且仅当时取等号，当时，，在上单调，不符合题意，所以的取值范围为.【小问3详解】由（2）知，当，有两个极值点，由，则，，所以，因为，所以设则，又当时，，且，则，故，则在上单调递减，则，即的取值范围为.19.