浙教版中考数学专项复习：解直角三角形章末八大题型总结（培优篇）含答案及解析

解直角三角形章末八大题型总结（培优篇）

＞题型梳理

【题型1利用设参数法求锐角三角函数值】.......................................................1

【题型2在网格中求锐角三角函数值】...........................................................2

【题型3特殊角的三角函数值的计算与应用】.....................................................3

【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】.................................................3

【题型5锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】..............................................5

【题型6灵活运用已知条件解直角三角形】.......................................................5

【题型7解双直角三角形】.....................................................................6

【题型8解直角三角形与四边形的综合应用】.....................................................7

►举一反三

【题型1利用设参数法求锐角三角函数值】

【例1】（2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级校考期末）如图，AB=BC=AD,AD1BC于点E,AC1CD,则

sinzB=.

【变式1-1]（2023秋•广西贺州・九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，DE1AB,BE=2,cos2=1,

则菱形的周长为—.

【变式1-2]（2023秋•山西运城•九年级统考期末）如图，在中，AACB=90°,点。是AB的中点,

连接CD,过点。作DE1CD交BC于点E,若tanA=BE=7,则DE的长为.

A

【变式1-3]（2023•山西太原•太原五中校考一模）如图，在△力8c中，"=3,8C=4,。、E分别在C4、CB

上，点F在aaBC内.若四边形CDFE是边长为1的正方形，贝UsinAFB4=.

AB

【题型2在网格中求锐角三角函数值】

【例2】（2023•湖北省直辖县级单位•校联考模拟预测）如图是6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格,

菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角（ZO）为60。，点4B,C,。都在格点上，且线段AB,CD相交

于点P,则taMBPD的值是（）

/WZ7

ODB

A-1B-1c-TD-T

【变式2-1]（2023•江苏宿迁•统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为I,每个小正方形

的顶点称为格点.点/、B、C三点都在格点上，贝kinn力BC=.

【变式2-2]（2023秋・上海•九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）如图，/、B、C三点在正

方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点/逆时针旋转得到使点夕落在射线NC上，贝UcosNB'CB

的值为.

【变式2-3］（2023・四川广元•统考二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，/a、4/?如

图所示，则sin（a+£）=（）

A.2B.立C.五D.立

7722

【题型3特殊角的三角函数值的计算与应用】

［例3］（2023春・山东泰安•九年级校考期末）在aABC中，若cosA=?,tanB=V3,则这个三角形一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【变式3-1］（2023秋・河北保定•九年级统考期末）计算：2sin30。+&cos45。一V^tan60。+（兀一逐）°

【变式3-2］（2023•上海嘉定・模拟预测）计算：

(l)|sin30°+£COS45。+sin30°tan60°；

⑵sin45°-cos45°+黑詈鬻+3tan2300+tan45°

cos30°,

【变式3-3］（2023秋•甘肃嘉峪关•九年级校考期末）在△ABC中，|2cosA-1|+（V3-tanB）2=0,则△ABC

的形状是.

【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】

［例4］（2023•江苏•九年级江阴市祝塘中学校考阶段练习）如图，长度为5的动线段AB分别与坐标系横轴、

纵轴的正半轴交于点A、点B,点O和点C关于AB对称，连接CA、CB,过点C作x轴的垂线段CD,

交x轴于点D

y

O]BDx

(1)移动点A,发现在某一时刻，^AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似，求这一时刻点C的坐标；

⑵移动点A,当tan/OAB=号时求点C的坐标.

【变式4-1](2023春・吉林长春•九年级校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸

板如图放置，直角顶点与原点。重合，顶点4、8恰好分别落在函数y=-1(><0),y=1(x>0)的图像上,

则sin/ZB。的值为()

【变式4-2](2023春・江苏连云港•九年级专题练习)如图，点。为坐标系原点，点/为y轴正半轴上一点,

点2为第一象限内一点，CM=AB,N04B=9O。，将△04B绕点。顺时针旋转一个锐角度数至△。4"，

此时反比例函数y=£(k>0)刚好经过。&,。夕的中点，则tan乙4。4=.

【变式4-3](2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试)在平面直角坐标系中,

点。为坐标系的原点，直线y=kx-当交x轴于点交y轴于点8,tanzO/lB=

y,

O\x

（1）求直线力B的解析式；

（2）在线段AB上有一点P,连接。P,设点尸的横坐标为K△4。「的面积为5,求S关于f的函数解析式（不

要求写出自变量f的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，在直线y=2x的第一象限上取一点D,连接AD,若S=15,乙40P+4BPO=2Z.AD0,

求点D的坐标.

【题型5锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】

【例（・全国•九年级假期作业）已知。=—,则一元二次方程/+久+解的情况是（）

512023sin30aa2=0

A.有两个相同的实数根B.有两个不同的实数根

C.没有实数根D.无法判断

【变式5-1］（2023秋•山东东营•九年级校联考阶段练习）关于x的一元二次方程/—2x+tana=0有两个相

等的实数根，则锐角a=.

【变式5-2］（2023•北京朝阳•九年级专题练习）a为锐角，且关于x的一元二次方程2/sina-x+1=0

有两个相等的实数根，则a=（）

A.30°B.45°C.30°或150°D.60°

【变式5-3］（2023春•九年级单元测试）若cosa是关于x的一元二次方程2x2—3百x+3=0的一个根，则

锐角a=.

【题型6灵活运用已知条件解直角三角形】

【例6】（2023秋・广东河源•九年级校考期末）在RtaABC中，NC=90。，c=8V3,乙4=60。，解这个直

角三角形.

【变式6-1］（2023秋・甘肃张掖•九年级校考期中）在A42C中，NC=90。，乙4,乙B,4c的对边分别为a,

b,c

（1）已知a=6,6=2遍，解这个直角三角形

（2）已知乙3=45。，a+b=6,解这个直角三角形

（3）已知sin4=±c=6,解这个直角三角形.

【变式6-2）（2023秋•江苏盐城•九年级统考期末）在Rt4ABe中，NC=90°,乙A—KB=30。，a-b=2遍-2,

解这个直角三角形.

【变式6-3］（2023秋•山东烟台•九年级统考期中）在A4BC中，已知NC=90°,b+c=30,AA-AB=30°.解

这个直角三角形.

【题型7解双直角三角形】

【例7】（2023秋•山西运城•九年级统考期末）如图，在△ABC中，BC=2,tanB=点。是BC延长线上

一点，tanZ-ACD=

4

⑴求点A至IjBD的距离；

（2）求sin4的值.

【变式7-1］（2023秋•安徽蚌埠•九年级校考期末）如图，在中，4。=90。，BC=4,点。是4C上

一点，连接BD.若tan4=1,tan^ABD=贝UCD=.

【变式7-2］（2023秋•陕西渭南•九年级统考期末）如图，在四边形2BCD中，乙B=90°,AB=2.连接力C,AC1

CD.若sinNaCB=：,tanN£MC=£求CD的长.

【变式7-3］（2023•湖北武汉•校考一模）如图，已知。为等腰内△ABC的腰上一点，CD绕点。逆时针旋

转90。至ED,连接BE,CE,M为BE的中点，则当tan/EDA=：时，丝=_____

2BC

c

【题型8解直角三角形与四边形的综合应用】

【例81（2023秋•湖南衡阳•九年级统考期末）如图，在矩形4BCD中，4B=8,BC=12,点E在4B上=5,

尸是4D上一点，将矩形沿PE折叠，点N落在点4处.连接AC,与PE相交于点R设力P=久.

⑴;

⑵若点/在NB4C的平分线上，求FC的长；

（3）求点4,。距离的最小值，并求此时tan乙4PE的值.

【变式8-1］（2023春•广东揭阳•九年级统考期末）如图，矩形4BCD的对角线AC,8。相交于点O,△COD关

于CD的对称图形为△CED.

EE

⑴求证：四边形OCED是菱形；

（2）连接力E,若CD=6cm,AD=|cm.

①求sin/EAD的值；

②若点尸为线段4E上一动点（不与点/重合），连接0P,一动点。从点。出发，以lcm/s的速度沿线段0P

匀速运动到点尸，再以|cm/s的速度沿线段P4匀速运动到点H到达点N后停止运动.设点0沿上述路线

运动到点A所需要的时间为t,求t的最小值.

【变式8-2]（2023春•湖南株洲•九年级统考期中）中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着勾股定

理，约1400年后的汉代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的证明.这

就是如图所示的“赵爽弦图"，若Isina-cosa|=?，则小正方形与直角三角形的面积比为（）

B.1：1C.2：V5D.1：5

【变式8-3]（2023秋•山西运城•九年级统考期末）如图，在口48。。中，对角线AC的垂直平分线分别交4D,

BC于点E,F,EF与力C相交于点。，连接AF,CE.

（1）求证：四边形力ECF是菱形；

（2）已知sinA4CF=g,CF=5,AB=6,请你写出sinB的值.

V

B

FC

解直角三角形章末八大题型总结（培优篇）

【题型1利用设参数法求锐角三角函数值】.......................................................1

【题型2在网格中求锐角三角函数值】...........................................................5

【题型3特殊角的三角函数值的计算与应用】.....................................................9

【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】................................................11

【题型5锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】..............................................17

【题型6灵活运用已知条件解直角三角形】......................................................19

【题型7解双直角三角形】.....................................................................22

【题型8解直角三角形与四边形的综合应用】....................................................27

►举一反三

【题型1利用设参数法求锐角三角函数值】

【例1】（2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级校考期末）如图，AB=BC=AD,4。18。于点£,ACLCD,则

sinz.^=.

A

/讣：

B

D

【答案w

【分析】设4B=BC=4。=1,AE-x,则。E=l—x,根据已知条件得出Z_£MC=NDCE,根据真切的定

义得出EC?=AE•£>£1=x(l—X),进而在中，AB2-AE2+BE2,勾股定理建立方程，解方程，

即可求解.

【详解】解：设48=8C=4。=1,AE=x,贝!-1-x

■.■AD1BC,AC1CD,

:"+/.DAC=90°,N。+4DCE=90°,

••Z-DAC=乙DCE,

•'•tanZ.DAC=tanzDCE,

ECDE

•,«一=—，

AEEC

：.EC2=AE-DE=x(l-x),

；.BE=1-EC=1-7%(1-x),

在RtZk/BE中，AB2=AE2+BE2,

*，*I2=/+(1__x)),

整理得，5%2=轨，

解得：x=0或％=

•.••scinB=AE—=4-

AB5

故答案为：

【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

【变式1-1](2023秋•广西贺州•九年级统考期末)如图，在菱形4BCD中，DE1AB,BE=2,cosA=，

则菱形的周长为—.

【分析】根据菱形的性质可得=BC=CD=2D,结合cosA=芸=&设力E=3k,贝!=5k,再建立

AD5

方程求解左的值，从而可得答案.

【详解】解：•••四边形48CD是菱形，

•'*AB=BC=CD=AD,

••,DE1AB,

：./LDEA=90°,

AAE3

J.cosA==—,

AD5

设AE=3k,则/。=5k,

:,BE=5k-3k=2k=2,

•••k=1,

-'-AD=5,

二菱形的周长=44D=4x5=20,

故答案为：20.

【点睛】本题考查的是菱形的性质，锐角三角函数的应用，熟记锐角的余弦的定义，并灵活应用是解本题的

关键.

【变式1-2]（2023秋•山西运城•九年级统考期末）如图，在Rta/IBC中，N4CB=90。，点。是4B的中点,

连接CD,过点。作DE1CD交BC于点E,若tanA=；,BE=7,则DE的长为.

A

CEB

【答案】15

【分析】由N"B=90。，tam4=；,可设力C=3x,BC=4x,由勾股定理得到48=5x,由直角角三角形

斜边上中线的性质得到CD=BD=AD=；AB=再证NA=乙DEC,求得DE=竽久，据此求解即可得到

228

答案.

【详解】解：・•・/-ACB=90°,tan4=%

.,.设AC=3x,BC=4x,

-'-AB=yjAC2+BC2=5x,

•・・。是48的中点，

.：CD=BD=AD=\AB=lx,

:.乙DCB=Z-DBC,

又DE1CD,

•-Z-A=乙DEC,

5

.•,taiM=tanzDFC=^=g=^

•'-CDLE=­15x,

8

：.CE=7CD2+DE2=下X,

•：BE=7,

25~

•••44%-----x=7,

8

解得％=8,

1q

.-.DE=—x8=15.

8

故答案为：15.

【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角函数、直角三角形斜边上中线的性质，掌握三角函数，直角三角形

中线的性质是解题的关键.

【变式1-3］（2023•山西太原•太原五中校考一模）如图，在△48C中，4C=3,BC=4,D,E分别在C4、CB

上，点F在△4BC内.若四边形CDFE是边长为1的正方形，贝Usin/FBA=.

【答案】曹

【分析】连接4尸，过点尸作FG_L4B于G,根据正方形的性质得到4D=2,BE=3,根据勾股定理得到k=1,

BF=V10,即可解答.

【详解】解：连接力F,过点F作FG14B于G,

•••四边形CDFE是边长为1的正方形,

■■.CD=CE=DF=EF=1,"=AADF=90°,

■.■AC=3,BC=4,

-，-AD=2,BE=3,

.'.AB=yjAC2+BC2=5,AF=VAD2-DF2=V5,BF=y/BE2+EF2=V10,

设BG=x,

-'-AG=5—x,

•：FG2=AF2-AG2=BF2-BG2,

•■•5-（5-x）2=10-x2,解得：x=3,

■.FG=y/BF2-BG2=1,

-'-smZ，.厂FB》A=—FG=——V10，

BF10

故答案为：曙.

【点睛】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.

【题型2在网格中求锐角三角函数值】

【例2】（2023•湖北省直辖县级单位•校联考模拟预测）如图是6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格,

菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角（N。）为60。，点4B,C,。都在格点上，且线段ZB,CD相交

于点P,则tan/BPD的值是（）

C

A.-B.-C.—D.—

3232

【答案】D

【分析】如图取格点E,连接EC、DE.设小菱形的边长为1.首先证明N4PC=NECD,再证明NCDE=90。,

根据tan/APC=tan/ECD,即可解决问题.

【详解】解：如图取格点E,连接EC、DE.设小菱形的边长为1.

■■■AC=BE,AC\\BE

••・四边形ACEB是平行四边形,

:.EC||AB,

Z.APC—Z.ECD,

依题意乙。=60。，则△OCD是等边三角形,

贝此CD。=60°,4EDB=30°,

•••乙CDE=90°,

•••CD=2,DB=BE=1,

如图所示，过点B作BF_LDE,•••DB=BE=1,

:/BDF=-x60°=30°,BF=-DB=

222

■-DF=VDF2—BF2=J了-G）=Jl—1=J=当，

又一DF=FE

.■.DE=DF+FE=—+—=V3,

22

•••tanzfiPD=tanzXPC=tanzFCD=—=—

CD2

故选：D.

【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助

线，构造直角三角形解决问题.

【变式2-1]（2023•江苏宿迁•统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形

的顶点称为格点.点/、B、C三点都在格点上，贝Usin/4BC=.

【答案】Y

【分析】取4B的中点D,连接力C,CD,先根据勾股定理可得4C=BC==遍，再根据等腰三角形的

三线合一可得CD14B,然后根据正弦的定义即可得.

AC=Vl2+32=V10,BC=Vl2+32=V10,CD=Vl2+22=V5,

AC=BC,

又•.•点。是4B的中点,

•••CDLAB,

.CDV5V2

・•・smZ.ABC=—==一

BCV102

故答案为：

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题

关键.

【变式2-2]（2023秋・上海•九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）如图，/、B、C三点在正

方形网格线的交点处，若将△4C8绕着点/逆时针旋转得到使点落在射线NC上，贝UcosNB'CB

的值为.

【答案】g

【分析】取网格点。点，连接BD,BB',由网格利用勾股定理得：BC=屈,CD=V2,BD=2a,即有

CD2+BD2=BC2,可得△CDB是直角三角形，贝UBD1B工，问题随之得解.

【详解】解：如图所示：取网格点。点，连接BD,BB',

由网格利用勾股定理得：BC=V10,CD=V2,BD=2A/2,

：.CD2+BD2=BC2,

・•.△CD8是直角三角形,

则BQ1B'C,

••・COSN夕CB若畸若

故答案为：Y

【点睛】本题考查了利用网格图求解角的余弦函数值的知识，理解余弦的意义，作出合理的辅助线，是解答

本题的关键.

【变式2-3](2023•四川广元•统考二模)如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，Na、N0如

图所示，则sin(a+0)=()

V7C.日D.在

772

【答案】A

【分析】连接。E,利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出Na=30。，同理可得出NCDE=ACED=

30°=z.a,由乙4EC=60。结合N4ED=^AEC+4CED可得出乙4EO=90°,设等边三角形的边长为a,则

AE=2a,DE3a,利用勾股定理可得出力D的长，由三角函数定义即可得出答案.

【详解】解：连接DE,如图所示:

E

在△ABC中，ZXFC=120°,BA=BC,

■■■/.a=30°,

同理得：4CDE=ACED=30°=za.

又,.ZEC=60°,

；ZAED=^AEC+MED=90°.

设等边三角形的边长为a,贝ME=2a,DE=2xsin60°xa=V3a,

■■.AD=VAE2+DE2=J（2a）2+（V3a）2=V7a,

.Z.rjxAE2a2V7

.•.sin（a+^）=-=^=—

故选：A

【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于Na+N0的

直角三角形是解题的关键.

【题型3特殊角的三角函数值的计算与应用】

［例3］（2023春•山东泰安•九年级校考期末）在△居（?中，若cosA=y,tanB=V3,则这个三角形一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】A

【详解】试题解析：vcos^=y,tanB=V3,

.•.乙4=45°,Z5=6O°.

.­.zC=180o-45°-60o=75°.

・•・△/8C为锐角二角形.

故选A.

【变式3-1］（2023秋•河北保定•九年级统考期末）计算：2sin3（T+&cos45。一百tan6（T+（兀一%）°

【答案】0

【分析】先计算特殊角三角函数值和零指数暴，再根据二次根式的混合计算法则求解即可.

【详解】解：原式=2x［+&x曰-WxB+1=1+1—3+1=0.

【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键.

【变式3-2］（2023・上海嘉定・模拟预测）计算：

（l）|sin30°+^cos450+sin30°tan60°；

⑵sin45O.345。++3taM3。。+翳.

【答案】（1）过等

⑵2+警

【分析】（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘法，再算加法;

（2）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减.

【详解】（1）解：原式=3x[+^x?+（xB

=中+如

422

3V3

=—I-----

42

3+2V3

=---------------

4，

⑵原式*X分暮+3X等+专

2

1,1,1,2V3

=-H-----1-3QXv-4------

2233

2V3

=1+1+—

=2+理

3

【点睛】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算

的运算顺序和计算法则是解题关键.

【变式3-3]（2023秋•甘肃嘉峪关•九年级校考期末）在△ABC中，|2cos2-1|+（百-tanBp=0,则△ABC

的形状是.

【答案】等边三角形

【分析】先根据非负数的性质求出2cos4-1=0,V3-tanB=0,再根据三角函数作答.

【详解】'-'\2cosA—1|+（V3—tanB）=0,

••・2cos4—1=0,V3—tanB=0,

即cos/=I，tanB=V3,

•-Z-A=60°,乙B=60°,

••.zC=60°,

则4ABC一定是等边三角形，

故答案为:等边三角形.

【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的

关键.

【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】

【例41（2023•江苏•九年级江阴市祝塘中学校考阶段练习）如图，长度为5的动线段AB分别与坐标系横轴、

纵轴的正半轴交于点A、点B,点O和点C关于AB对称，连接CA、CB,过点C作x轴的垂线段CD,

⑴移动点A,发现在某一时刻，^AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似，求这一时刻点C的坐标;

（2）移动点A,当tanNOAB=3时求点C的坐标.

【答案】⑴点C的坐标为（牛,乎）；（2）C（W，W）.

【分析】（1）根据轴对称的性质得：AB是OC的垂直平分线，由垂直平分线的性质得：OB=BC,OA=AC,

△AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似，存在两种情况：

①当NABONCBD时，②当NABONBCD时，根据角的关系分别计算点C的坐标即可；

（2）先根据三角函数定义求OB=遍，OA=2V5,利用面积法得OG和OC的长，根据等角的三角函数可知:

OG=2BG,证明△BGOs/^CDO,列比例式可得结论.

【详解】（1）连接OC,交于G,

•••点。和点C关于4B对称,

・••4B是。C的垂直平分线，

•••OB=BC,0A=AC,

・•・Z.ABO=Z.ABC,

•・•Z.AOB=乙BDC=90°,

・・.44。8和以点8、D、C为顶点的三角形相似，存在两种情况：

①当乙/B。=ZCBO时，Z.ABO=/-ABC=乙CBD=60°,

・♦・乙BAO=(BCD=30°,

vAB=5,

I515

OB=BC=-AB=-BD=-BC=

22t24

•*.OD=OB+BD=—I—=—,CD=——f

2444

•・・喑韦

②当N/B。=4BCO时，乙ABO=4ABC=^BCD,

・•・ABIICD,

vCD1%轴，

・・・AB11轴，此种情况不成立；

综上所述，2M08和以点2、D、C为顶点的三角形相似，这一时刻点C的坐标为(3,竽)；

1OR

(2)・.・tan^OAB=-=一，

v72OA

设。8=X,贝I」。4=2%,

x2+(2%)2=52,

x=b或一通(舍)，

•••0B—y/5,0A—2^/5,

SAAOB=2>OB=3AB•OG、

V5»2V5=50G,

OG=2,

・•・OC=2OG=4,

乙GOB=Z-OAB,

-1pf,

・••tanZ.GOB=tanzOXB=-=—,

2OG

・♦・OG=1,

・•.OB=V5,

乙GOB=Z.DOC,Z.BGO=4CO。,

：・ABGO

OGBG

：.-----=------,

ODCD

.2_1

••—，

ODCD

.•・OD=2CD,

OD-—,CD,

55

，陪考

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、三角函数、等腰三角形的性质及相似三角形的性质，解题的关键是

△AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似时分不同情况解决问题.

【变式4-1](2023春・吉林长春•九年级校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸

板如图放置，直角顶点与原点。重合，顶点4、2恰好分别落在函数y=—[(久<0),y=1(x>0)的图像上,

则sinzAB。的值为()

A.-B.—C.-D.—

3455

【答案】D

【分析】点4B落在函数y=-：(%<0),y=；Q>0)的图像上，根据反比例函数的几何意义，可得直角

三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形力0B的两条直角边的

比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案.

【详解】解：过点4、B分别作力Dlx轴，BElx轴，垂足为。、E,

y

•・・点a在反比例函数y=-1(x<0)上，点B在y=1(x>0)上,

^AAOD=5，S^BOE=2,

又乙AOB=90°

Z.AOD=乙OBE,

:AAOD〜AOBE,

2_Sa，。。_1

©-S^BOE~4'

,OA_1

••OB・2，

设。Z=m,贝!JOB=2m,AB=-Jm2+(2m)2=V5m,

在RtZ\40B中，sin/AB。="=普=虫.

ABV5m5

故选：D.

【点睛】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角

边与斜边的比，求出sin/ABO的值.

【变式4-2](2023春•江苏连云港•九年级专题练习)如图，点。为坐标系原点，点/为y轴正半轴上一点,

点8为第一象限内一点，。力=4B,^OAB=90°,将△(MB绕点。顺时针旋转一个锐角度数至△04'B',

此时反比例函数y=1(fc>0)刚好经过。4,0B，的中点，则tan/TlCM'=.

【分析】如图，过4作AH104于H,过夕作夕Q14”于Q,证明△4。“三△夕4Q,设4（犯九），可得。”=

rrr

AQ=n,A'H=BQ=m,B(m+n,n—m)f可得。4,OB'的中点坐标为：QQm+n,|n—

2

可得;小九=；/一；巾2,整理得(7)+Q-1=0,再解方程即可得到答案.

【详解】解：如图，过4作4H1O4于H,过夕作夕QJ.4H于Q,

：./.OHA'=/.A'QB=90°,而404®=90。，

：./.OA'H+/.B'A'Q=900=^B'A'Q+^A'B'Q,

：.^OA'H=/.A'B'Q,

■：OA'=A'B',

■■.AA'OH=AB'A'Q,设4(m,72),

■■.OH=A'Q=n,A'H=B'Q=m,

n,n—m),

OB'的中点坐标为：Qm+|n,|n-

•・•反比例函数y=|(fc>0)刚好经过。4,。夕的中点，

112£12£

4mn=4-n—4m,

••・©+C)T=。，

解得：2=二手或2=三亚(不合题意舍去)，

n2n2

；.tan乙4。4=—=走二；

n2

故答案为：亨.

【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，求解锐角的

正切，熟练的建立方程求解是解本题的关键.

【变式4-3](2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试)在平面直角坐标系中,

点。为坐标系的原点，直线y=依一自交x轴于点4交y轴于点3,tan^OAB=

(1)求直线AB的解析式；

(2)在线段4B上有一点尸，连接OP,设点尸的横坐标为，，aaop的面积为s,求s关于/的函数解析式(不

要求写出自变量/的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，在直线y=2%的第一象限上取一点D,连接2D,若S=15,乙40P+Z.BPO=2乙ADO,

求点D的坐标.

【答案】(1)丫=三万一至；(2)S=--t+-；(3)(6,12).

4242

【分析】(1)先根据解析式求出点8坐标，再用三角函数求出点N坐标，代入解析式即可；

(2)用t表示点尸的纵坐标，利用三角形面积公式列出函数解析式即可；

(3)根据S=15求出点尸坐标，得出乙4OP+NBPO=2N4DO=90。，作NE1OD于E,作ERLON于凡

设点D坐标为(a,2a),点E坐标为(b,26),根据勾股定理列出方程即可.

【详解】解：(1)当尸0时，y=-y,点3的坐标为(0,-y),OB=^-,

3

^tanZ-OAB=

4

04=10,/点坐标为(10,0),代入y=kx—至得，0=10k—竺，解得，k=三，

OA4224

直线4B的解析式为y=：x—当；

(2)把点尸的横坐标t代入y="一号得，丫=?一章

•・•点P在线段4B上，

r»1y八z315、目口c1575

，S=-X10X(——t+—),即5=——t+

(3)当S=15时，15=--C+-,解得，t=6,代入y=2t-£得，y=—3,

4242

点尸的坐标为(6,-3),

•.•点3的坐标为（0,-y）,

••,BP=j62+（-3+y）2=y,

:・BP=OB,

,"BOP=Z.BPO,

^AOP+乙BPO=（BOP+Z-AOP=90°,

•・・NZOP+乙BPO=2440。,

・•・乙4。。=45°,

作NE1OD于E,作瓦UCM于尸，设点。坐标为（a,2a）,点E坐标为（b,26）,

OE=y/OF2+EF2=遍b,AF=\0-b,

■：AE2=EF2+AF2,AE2=OA2-OE2

2222

•••IO-（V56）=（2b）+（10-b）,解得，瓦=0（舍去），b2=2,

则点E坐标为（2,4）,AE=DE=V42+82-4A/5,

OD=2V5+4V5=6V5,

,・,点。坐标为（a,2a）,

2=

•■•a+4a2=180,解得，%_=6,a2-6（舍去），

【点睛】本题考查了一次函数的综合，解题关键是求出函数解析式，利用函数图象上点的坐标，根据勾股定

理列出方程.

【题型5锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】

[例5]（2023・全国•九年级假期作业）已知sin30。=—,则一元二次方程/+ax+2=。解的情况是（）

a

A.有两个相同的实数根B.有两个不同的实数根

C.没有实数根D.无法判断

【答案】C

【分析】先利用sin30°=少求出a的值，即可得到一元二次方程，再根据根的判别式』=所—4ac的值即可

a

选择.

【详解】由sin3(T=3,

a

1a+1

2a

a=-2

则有/-2x+2=0

由/=b2—4ac=(-4)2—4x1x2=-4<0

所以方程无实根.

故选C

【点睛】本题考查特殊度数的三角函数值和一元二次方程的根的情况.熟练利用一元二次方程的根判别式/=

b2-4ac是判断一元二次方程根的情况的关键.

【变式5-1](2023秋•山东东营•九年级校联考阶段练习)关于x的一元二次方程x2-2x+tana=0有两个相

等的实数根，则锐角a=.

【答案】45°

【分析】根据判别式的意义得到A=(-2)2-4tana=0,则tana=l,然后利用特殊角的三角函数值求a的

值.

【详解】解：根据题意得△=(-2)2-4tana=0,

所以tana=l,

所以锐角a=45。.

故答案为：45°.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+6x+c=0(存0)的根与A=〃-4ac有如下关系：当公

>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程无实数根.也

考查了特殊角的三角函数值.

【变式5-2](2023•北京朝阳•九年级专题练习)a为锐角，且关于x的一元二次方程2/sina-x+1=0

有两个相等的实数根，则a=()

A.30°B.45°C.30°或150°D.60°

【答案】B

【详解】试题解析：关于x的一元二次方程N-2&$也01丁+1=0有两个相等的实数根,

4=（-2V2sina）—4=0,

整理得：sina=当

a为锐角，

•••a=45°.

故选B.

【变式5-3]（2023春•九年级单元测试）若cosa是关于x的一元二次方程2x2—3百x+3=0的一个根，则

锐角a=.

【答案】30°

【分析】先求出方程的两个根，再根据特殊角的函数值即可得出

【详解】••,2x2—3百x+3=0

A=^b2-4ac=V3>0,方程有两个不相等的实数根

-b+y/b2-4ac3V3+V3

•••X=--------------------=-------------

2a2X2

■,■X]=V3,X2=-^

,."cosa是关于x的一元二次方程2X2—35/^X+3=0的一个根，且cos30°=^

•••a=30°

【点睛】本题考查了余弦函数的计算，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键.

【题型6灵活运用已知条件解直角三角形】

【例6】（2023秋•广东河源•九年级校考期末）在RtZ\ABC中，zC=90°,c=8遮，NA=60。，解这个直

角三角形.

【答案】见解析

【分析】根据含有30度角的直角三角形的性质以及勾股定理解决此题.

【详解】解:如图.

在Rt△ABC中，ZC=90°,c=AB=8>/3,44=60°,

NB=180°-zC-=30°.

•••AC=-AB=4V3.

2

•••BC==7AB2-AC2=J(8何2一(4A/3)2=12.

【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质

以及勾股定理是解决本题的关键.

【变式6-1](2023秋・甘肃张掖•九年级校考期中)在AIBC中，NC=90。，乙4,乙8,NC的对边分别为a,

b,c

(1)已知a=6,b=2y/3,解这个直角三角形

(2)已知乙5=45。，a+b=6,解这个直角三角形

(3)已知siib4=5c=6,解这个直角三角形.

【答案】(1)c=4A/3；(2)a=b=3,c=3A/2；(3)a=3,b=3V3

【分析】(1)直角三角形中知两边，求第三边，运用勾股定理即可

(2)Z-B=45°,即Q=b,a+b=6,即可知a=b=3.再运用勾股定理即可

(3)sinA=-=其中c=6,即可求解.

c2

【详解】解：依题意

(1)在Rt^ABC中，ZC=90°,

•­•a=6,b=2A/3,

・•・根据勾股定理M+b2=c?得，c=Va2+b2=JG2+(2A/3)2=4V3,

・•・c=4A/3；

(2)•・•乙B=45°,

.・・ABC为等腰直角三角形，

•・•a+b=6,

a=b=3,

・•・根据勾股定理得：c=Va2+b2=V32+32=3V2,

••・c=3V2,

・•・此三角形的三边分别为：a=3A/2,b-3V2,c=6；

(3)•・•在△ZBC中，4c=90。，

・•・sinA=-=

c2

•・•c=6,

1

•••a=-c=Q3,

2

根据勾股定理得：b=Vc2-a2=V62-32=3V3,

,此三角形的三边分别为：a=3,b—3百，c—6.

【点睛】此题主要考查直角三角形勾股定理的运用，要掌握三角形“知二求三”的技巧，熟练运用勾股定理.

【变式6-2]（2023秋•江苏盐城•九年级统考期末）在Rt21ABe中，"=90°,zX-zB=30。，a—b=2百—2,

解这个直角三角形.

【答案】a=2聒、6=2、c=4

【分析】利用三角形内角和定理构建方程组求出N8的值，再利用正切的定义得a=Bb,解方程组求出

a,b,即可解决问题.

【详解】解：由题意知：｛父二建券，解得：｛片二黑,

“a

•