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文档简介
解直角三角形章末八大题型总结(培优篇)
>题型梳理
【题型1利用设参数法求锐角三角函数值】.......................................................1
【题型2在网格中求锐角三角函数值】...........................................................2
【题型3特殊角的三角函数值的计算与应用】.....................................................3
【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】.................................................3
【题型5锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】..............................................5
【题型6灵活运用已知条件解直角三角形】.......................................................5
【题型7解双直角三角形】.....................................................................6
【题型8解直角三角形与四边形的综合应用】.....................................................7
►举一反三
【题型1利用设参数法求锐角三角函数值】
【例1】(2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级校考期末)如图,AB=BC=AD,AD1BC于点E,AC1CD,则
sinzB=.
【变式1-1](2023秋•广西贺州・九年级统考期末)如图,在菱形ABCD中,DE1AB,BE=2,cos2=1,
则菱形的周长为—.
【变式1-2](2023秋•山西运城•九年级统考期末)如图,在中,AACB=90°,点。是AB的中点,
连接CD,过点。作DE1CD交BC于点E,若tanA=BE=7,则DE的长为.
A
【变式1-3](2023•山西太原•太原五中校考一模)如图,在△力8c中,"=3,8C=4,。、E分别在C4、CB
上,点F在aaBC内.若四边形CDFE是边长为1的正方形,贝UsinAFB4=.
AB
【题型2在网格中求锐角三角函数值】
【例2】(2023•湖北省直辖县级单位•校联考模拟预测)如图是6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格,
菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角(ZO)为60。,点4B,C,。都在格点上,且线段AB,CD相交
于点P,则taMBPD的值是()
/WZ7
ODB
A-1B-1c-TD-T
【变式2-1](2023•江苏宿迁•统考中考真题)如图,在网格中,每个小正方形的边长均为I,每个小正方形
的顶点称为格点.点/、B、C三点都在格点上,贝kinn力BC=.
【变式2-2](2023秋・上海•九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中)如图,/、B、C三点在正
方形网格线的交点处,若将△ACB绕着点/逆时针旋转得到使点夕落在射线NC上,贝UcosNB'CB
的值为.
【变式2-3](2023・四川广元•统考二模)如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,/a、4/?如
图所示,则sin(a+£)=()
A.2B.立C.五D.立
7722
【题型3特殊角的三角函数值的计算与应用】
[例3](2023春・山东泰安•九年级校考期末)在aABC中,若cosA=?,tanB=V3,则这个三角形一定是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
【变式3-1](2023秋・河北保定•九年级统考期末)计算:2sin30。+&cos45。一V^tan60。+(兀一逐)°
【变式3-2](2023•上海嘉定・模拟预测)计算:
(l)|sin30°+£COS45。+sin30°tan60°;
⑵sin45°-cos45°+黑詈鬻+3tan2300+tan45°
cos30°,
【变式3-3](2023秋•甘肃嘉峪关•九年级校考期末)在△ABC中,|2cosA-1|+(V3-tanB)2=0,则△ABC
的形状是.
【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】
[例4](2023•江苏•九年级江阴市祝塘中学校考阶段练习)如图,长度为5的动线段AB分别与坐标系横轴、
纵轴的正半轴交于点A、点B,点O和点C关于AB对称,连接CA、CB,过点C作x轴的垂线段CD,
交x轴于点D
y
O]BDx
(1)移动点A,发现在某一时刻,^AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似,求这一时刻点C的坐标;
⑵移动点A,当tan/OAB=号时求点C的坐标.
【变式4-1](2023春・吉林长春•九年级校考阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,将一块直角三角形纸
板如图放置,直角顶点与原点。重合,顶点4、8恰好分别落在函数y=-1(><0),y=1(x>0)的图像上,
则sin/ZB。的值为()
【变式4-2](2023春・江苏连云港•九年级专题练习)如图,点。为坐标系原点,点/为y轴正半轴上一点,
点2为第一象限内一点,CM=AB,N04B=9O。,将△04B绕点。顺时针旋转一个锐角度数至△。4",
此时反比例函数y=£(k>0)刚好经过。&,。夕的中点,则tan乙4。4=.
【变式4-3](2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试)在平面直角坐标系中,
点。为坐标系的原点,直线y=kx-当交x轴于点交y轴于点8,tanzO/lB=
y,
O\x
(1)求直线力B的解析式;
(2)在线段AB上有一点P,连接。P,设点尸的横坐标为K△4。「的面积为5,求S关于f的函数解析式(不
要求写出自变量f的取值范围);
(3)在(2)的条件下,在直线y=2x的第一象限上取一点D,连接AD,若S=15,乙40P+4BPO=2Z.AD0,
求点D的坐标.
【题型5锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】
【例(・全国•九年级假期作业)已知。=—,则一元二次方程/+久+解的情况是()
512023sin30aa2=0
A.有两个相同的实数根B.有两个不同的实数根
C.没有实数根D.无法判断
【变式5-1](2023秋•山东东营•九年级校联考阶段练习)关于x的一元二次方程/—2x+tana=0有两个相
等的实数根,则锐角a=.
【变式5-2](2023•北京朝阳•九年级专题练习)a为锐角,且关于x的一元二次方程2/sina-x+1=0
有两个相等的实数根,则a=()
A.30°B.45°C.30°或150°D.60°
【变式5-3](2023春•九年级单元测试)若cosa是关于x的一元二次方程2x2—3百x+3=0的一个根,则
锐角a=.
【题型6灵活运用已知条件解直角三角形】
【例6】(2023秋・广东河源•九年级校考期末)在RtaABC中,NC=90。,c=8V3,乙4=60。,解这个直
角三角形.
【变式6-1](2023秋・甘肃张掖•九年级校考期中)在A42C中,NC=90。,乙4,乙B,4c的对边分别为a,
b,c
(1)已知a=6,6=2遍,解这个直角三角形
(2)已知乙3=45。,a+b=6,解这个直角三角形
(3)已知sin4=±c=6,解这个直角三角形.
【变式6-2)(2023秋•江苏盐城•九年级统考期末)在Rt4ABe中,NC=90°,乙A—KB=30。,a-b=2遍-2,
解这个直角三角形.
【变式6-3](2023秋•山东烟台•九年级统考期中)在A4BC中,已知NC=90°,b+c=30,AA-AB=30°.解
这个直角三角形.
【题型7解双直角三角形】
【例7】(2023秋•山西运城•九年级统考期末)如图,在△ABC中,BC=2,tanB=点。是BC延长线上
一点,tanZ-ACD=
4
⑴求点A至IjBD的距离;
(2)求sin4的值.
【变式7-1](2023秋•安徽蚌埠•九年级校考期末)如图,在中,4。=90。,BC=4,点。是4C上
一点,连接BD.若tan4=1,tan^ABD=贝UCD=.
【变式7-2](2023秋•陕西渭南•九年级统考期末)如图,在四边形2BCD中,乙B=90°,AB=2.连接力C,AC1
CD.若sinNaCB=:,tanN£MC=£求CD的长.
【变式7-3](2023•湖北武汉•校考一模)如图,已知。为等腰内△ABC的腰上一点,CD绕点。逆时针旋
转90。至ED,连接BE,CE,M为BE的中点,则当tan/EDA=:时,丝=_____
2BC
c
【题型8解直角三角形与四边形的综合应用】
【例81(2023秋•湖南衡阳•九年级统考期末)如图,在矩形4BCD中,4B=8,BC=12,点E在4B上=5,
尸是4D上一点,将矩形沿PE折叠,点N落在点4处.连接AC,与PE相交于点R设力P=久.
⑴;
⑵若点/在NB4C的平分线上,求FC的长;
(3)求点4,。距离的最小值,并求此时tan乙4PE的值.
【变式8-1](2023春•广东揭阳•九年级统考期末)如图,矩形4BCD的对角线AC,8。相交于点O,△COD关
于CD的对称图形为△CED.
EE
⑴求证:四边形OCED是菱形;
(2)连接力E,若CD=6cm,AD=|cm.
①求sin/EAD的值;
②若点尸为线段4E上一动点(不与点/重合),连接0P,一动点。从点。出发,以lcm/s的速度沿线段0P
匀速运动到点尸,再以|cm/s的速度沿线段P4匀速运动到点H到达点N后停止运动.设点0沿上述路线
运动到点A所需要的时间为t,求t的最小值.
【变式8-2](2023春•湖南株洲•九年级统考期中)中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着勾股定
理,约1400年后的汉代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的证明.这
就是如图所示的“赵爽弦图",若Isina-cosa|=?,则小正方形与直角三角形的面积比为()
B.1:1C.2:V5D.1:5
【变式8-3](2023秋•山西运城•九年级统考期末)如图,在口48。。中,对角线AC的垂直平分线分别交4D,
BC于点E,F,EF与力C相交于点。,连接AF,CE.
(1)求证:四边形力ECF是菱形;
(2)已知sinA4CF=g,CF=5,AB=6,请你写出sinB的值.
V
B
FC
解直角三角形章末八大题型总结(培优篇)
【题型1利用设参数法求锐角三角函数值】.......................................................1
【题型2在网格中求锐角三角函数值】...........................................................5
【题型3特殊角的三角函数值的计算与应用】.....................................................9
【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】................................................11
【题型5锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】..............................................17
【题型6灵活运用已知条件解直角三角形】......................................................19
【题型7解双直角三角形】.....................................................................22
【题型8解直角三角形与四边形的综合应用】....................................................27
►举一反三
【题型1利用设参数法求锐角三角函数值】
【例1】(2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级校考期末)如图,AB=BC=AD,4。18。于点£,ACLCD,则
sinz.^=.
A
/讣:
B
D
【答案w
【分析】设4B=BC=4。=1,AE-x,则。E=l—x,根据已知条件得出Z_£MC=NDCE,根据真切的定
义得出EC?=AE•£>£1=x(l—X),进而在中,AB2-AE2+BE2,勾股定理建立方程,解方程,
即可求解.
【详解】解:设48=8C=4。=1,AE=x,贝!-1-x
■.■AD1BC,AC1CD,
:"+/.DAC=90°,N。+4DCE=90°,
••Z-DAC=乙DCE,
•'•tanZ.DAC=tanzDCE,
ECDE
•,«一=—,
AEEC
:.EC2=AE-DE=x(l-x),
;.BE=1-EC=1-7%(1-x),
在RtZk/BE中,AB2=AE2+BE2,
*,*I2=/+(1__x)),
整理得,5%2=轨,
解得:x=0或%=
•.••scinB=AE—=4-
AB5
故答案为:
【点睛】本题考查了解直角三角形,勾股定理,熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.
【变式1-1](2023秋•广西贺州•九年级统考期末)如图,在菱形4BCD中,DE1AB,BE=2,cosA=,
则菱形的周长为—.
【分析】根据菱形的性质可得=BC=CD=2D,结合cosA=芸=&设力E=3k,贝!=5k,再建立
AD5
方程求解左的值,从而可得答案.
【详解】解:•••四边形48CD是菱形,
•'*AB=BC=CD=AD,
••,DE1AB,
:./LDEA=90°,
AAE3
J.cosA==—,
AD5
设AE=3k,则/。=5k,
:,BE=5k-3k=2k=2,
•••k=1,
-'-AD=5,
二菱形的周长=44D=4x5=20,
故答案为:20.
【点睛】本题考查的是菱形的性质,锐角三角函数的应用,熟记锐角的余弦的定义,并灵活应用是解本题的
关键.
【变式1-2](2023秋•山西运城•九年级统考期末)如图,在Rta/IBC中,N4CB=90。,点。是4B的中点,
连接CD,过点。作DE1CD交BC于点E,若tanA=;,BE=7,则DE的长为.
A
CEB
【答案】15
【分析】由N"B=90。,tam4=;,可设力C=3x,BC=4x,由勾股定理得到48=5x,由直角角三角形
斜边上中线的性质得到CD=BD=AD=;AB=再证NA=乙DEC,求得DE=竽久,据此求解即可得到
228
答案.
【详解】解:・•・/-ACB=90°,tan4=%
.,.设AC=3x,BC=4x,
-'-AB=yjAC2+BC2=5x,
•・・。是48的中点,
.:CD=BD=AD=\AB=lx,
:.乙DCB=Z-DBC,
又DE1CD,
•-Z-A=乙DEC,
5
.•,taiM=tanzDFC=^=g=^
•'-CDLE=15x,
8
:.CE=7CD2+DE2=下X,
•:BE=7,
25~
•••44%-----x=7,
8
解得%=8,
1q
.-.DE=—x8=15.
8
故答案为:15.
【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角函数、直角三角形斜边上中线的性质,掌握三角函数,直角三角形
中线的性质是解题的关键.
【变式1-3](2023•山西太原•太原五中校考一模)如图,在△48C中,4C=3,BC=4,D,E分别在C4、CB
上,点F在△4BC内.若四边形CDFE是边长为1的正方形,贝Usin/FBA=.
【答案】曹
【分析】连接4尸,过点尸作FG_L4B于G,根据正方形的性质得到4D=2,BE=3,根据勾股定理得到k=1,
BF=V10,即可解答.
【详解】解:连接力F,过点F作FG14B于G,
•••四边形CDFE是边长为1的正方形,
■■.CD=CE=DF=EF=1,"=AADF=90°,
■.■AC=3,BC=4,
-,-AD=2,BE=3,
.'.AB=yjAC2+BC2=5,AF=VAD2-DF2=V5,BF=y/BE2+EF2=V10,
设BG=x,
-'-AG=5—x,
•:FG2=AF2-AG2=BF2-BG2,
•■•5-(5-x)2=10-x2,解得:x=3,
■.FG=y/BF2-BG2=1,
-'-smZ,.厂FB》A=—FG=——V10,
BF10
故答案为:曙.
【点睛】本题考查了正方形的性质,锐角三角函数,勾股定理,掌握勾股定理是解题的关键.
【题型2在网格中求锐角三角函数值】
【例2】(2023•湖北省直辖县级单位•校联考模拟预测)如图是6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格,
菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角(N。)为60。,点4B,C,。都在格点上,且线段ZB,CD相交
于点P,则tan/BPD的值是()
C
A.-B.-C.—D.—
3232
【答案】D
【分析】如图取格点E,连接EC、DE.设小菱形的边长为1.首先证明N4PC=NECD,再证明NCDE=90。,
根据tan/APC=tan/ECD,即可解决问题.
【详解】解:如图取格点E,连接EC、DE.设小菱形的边长为1.
■■■AC=BE,AC\\BE
••・四边形ACEB是平行四边形,
:.EC||AB,
Z.APC—Z.ECD,
依题意乙。=60。,则△OCD是等边三角形,
贝此CD。=60°,4EDB=30°,
•••乙CDE=90°,
•••CD=2,DB=BE=1,
如图所示,过点B作BF_LDE,•••DB=BE=1,
:/BDF=-x60°=30°,BF=-DB=
222
■-DF=VDF2—BF2=J了-G)=Jl—1=J=当,
又一DF=FE
.■.DE=DF+FE=—+—=V3,
22
•••tanzfiPD=tanzXPC=tanzFCD=—=—
CD2
故选:D.
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助
线,构造直角三角形解决问题.
【变式2-1](2023•江苏宿迁•统考中考真题)如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形
的顶点称为格点.点/、B、C三点都在格点上,贝Usin/4BC=.
【答案】Y
【分析】取4B的中点D,连接力C,CD,先根据勾股定理可得4C=BC==遍,再根据等腰三角形的
三线合一可得CD14B,然后根据正弦的定义即可得.
AC=Vl2+32=V10,BC=Vl2+32=V10,CD=Vl2+22=V5,
AC=BC,
又•.•点。是4B的中点,
•••CDLAB,
.CDV5V2
・•・smZ.ABC=—==一
BCV102
故答案为:
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦,熟练掌握正弦的求解方法是解题
关键.
【变式2-2](2023秋・上海•九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中)如图,/、B、C三点在正
方形网格线的交点处,若将△4C8绕着点/逆时针旋转得到使点落在射线NC上,贝UcosNB'CB
的值为.
【答案】g
【分析】取网格点。点,连接BD,BB',由网格利用勾股定理得:BC=屈,CD=V2,BD=2a,即有
CD2+BD2=BC2,可得△CDB是直角三角形,贝UBD1B工,问题随之得解.
【详解】解:如图所示:取网格点。点,连接BD,BB',
由网格利用勾股定理得:BC=V10,CD=V2,BD=2A/2,
:.CD2+BD2=BC2,
・•.△CD8是直角三角形,
则BQ1B'C,
••・COSN夕CB若畸若
故答案为:Y
【点睛】本题考查了利用网格图求解角的余弦函数值的知识,理解余弦的意义,作出合理的辅助线,是解答
本题的关键.
【变式2-3](2023•四川广元•统考二模)如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,Na、N0如
图所示,则sin(a+0)=()
V7C.日D.在
772
【答案】A
【分析】连接。E,利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出Na=30。,同理可得出NCDE=ACED=
30°=z.a,由乙4EC=60。结合N4ED=^AEC+4CED可得出乙4EO=90°,设等边三角形的边长为a,则
AE=2a,DE3a,利用勾股定理可得出力D的长,由三角函数定义即可得出答案.
【详解】解:连接DE,如图所示:
E
在△ABC中,ZXFC=120°,BA=BC,
■■■/.a=30°,
同理得:4CDE=ACED=30°=za.
又,.ZEC=60°,
;ZAED=^AEC+MED=90°.
设等边三角形的边长为a,贝ME=2a,DE=2xsin60°xa=V3a,
■■.AD=VAE2+DE2=J(2a)2+(V3a)2=V7a,
.Z.rjxAE2a2V7
.•.sin(a+^)=-=^=—
故选:A
【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律,构造出含一个锐角等于Na+N0的
直角三角形是解题的关键.
【题型3特殊角的三角函数值的计算与应用】
[例3](2023春•山东泰安•九年级校考期末)在△居(?中,若cosA=y,tanB=V3,则这个三角形一定是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
【答案】A
【详解】试题解析:vcos^=y,tanB=V3,
.•.乙4=45°,Z5=6O°.
..zC=180o-45°-60o=75°.
・•・△/8C为锐角二角形.
故选A.
【变式3-1](2023秋•河北保定•九年级统考期末)计算:2sin3(T+&cos45。一百tan6(T+(兀一%)°
【答案】0
【分析】先计算特殊角三角函数值和零指数暴,再根据二次根式的混合计算法则求解即可.
【详解】解:原式=2x[+&x曰-WxB+1=1+1—3+1=0.
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算,熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键.
【变式3-2](2023・上海嘉定・模拟预测)计算:
(l)|sin30°+^cos450+sin30°tan60°;
⑵sin45O.345。++3taM3。。+翳.
【答案】(1)过等
⑵2+警
【分析】(1)先将特殊角三角函数值代入,然后先算乘法,再算加法;
(2)先将特殊角三角函数值代入,然后先算乘方,再算乘除,最后算加减.
【详解】(1)解:原式=3x[+^x?+(xB
=中+如
422
3V3
=—I-----
42
3+2V3
=---------------
4,
⑵原式*X分暮+3X等+专
2
1,1,1,2V3
=-H-----1-3QXv-4------
2233
2V3
=1+1+—
=2+理
3
【点睛】本题考查特殊角三角函数值,二次根式的混合运算,掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算
的运算顺序和计算法则是解题关键.
【变式3-3](2023秋•甘肃嘉峪关•九年级校考期末)在△ABC中,|2cos2-1|+(百-tanBp=0,则△ABC
的形状是.
【答案】等边三角形
【分析】先根据非负数的性质求出2cos4-1=0,V3-tanB=0,再根据三角函数作答.
【详解】'-'\2cosA—1|+(V3—tanB)=0,
••・2cos4—1=0,V3—tanB=0,
即cos/=I,tanB=V3,
•-Z-A=60°,乙B=60°,
••.zC=60°,
则4ABC一定是等边三角形,
故答案为:等边三角形.
【点睛】本题考查了非负数的性质,三角函数,等边三角形的判定,数量掌握特殊角的三角函数值是解题的
关键.
【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】
【例41(2023•江苏•九年级江阴市祝塘中学校考阶段练习)如图,长度为5的动线段AB分别与坐标系横轴、
纵轴的正半轴交于点A、点B,点O和点C关于AB对称,连接CA、CB,过点C作x轴的垂线段CD,
⑴移动点A,发现在某一时刻,^AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似,求这一时刻点C的坐标;
(2)移动点A,当tanNOAB=3时求点C的坐标.
【答案】⑴点C的坐标为(牛,乎);(2)C(W,W).
【分析】(1)根据轴对称的性质得:AB是OC的垂直平分线,由垂直平分线的性质得:OB=BC,OA=AC,
△AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似,存在两种情况:
①当NABONCBD时,②当NABONBCD时,根据角的关系分别计算点C的坐标即可;
(2)先根据三角函数定义求OB=遍,OA=2V5,利用面积法得OG和OC的长,根据等角的三角函数可知:
OG=2BG,证明△BGOs/^CDO,列比例式可得结论.
【详解】(1)连接OC,交于G,
•••点。和点C关于4B对称,
・••4B是。C的垂直平分线,
•••OB=BC,0A=AC,
・•・Z.ABO=Z.ABC,
•・•Z.AOB=乙BDC=90°,
・・.44。8和以点8、D、C为顶点的三角形相似,存在两种情况:
①当乙/B。=ZCBO时,Z.ABO=/-ABC=乙CBD=60°,
・♦・乙BAO=(BCD=30°,
vAB=5,
I515
OB=BC=-AB=-BD=-BC=
22t24
•*.OD=OB+BD=—I—=—,CD=——f
2444
•・・喑韦
②当N/B。=4BCO时,乙ABO=4ABC=^BCD,
・•・ABIICD,
vCD1%轴,
・・・AB11轴,此种情况不成立;
综上所述,2M08和以点2、D、C为顶点的三角形相似,这一时刻点C的坐标为(3,竽);
1OR
(2)・.・tan^OAB=-=一,
v72OA
设。8=X,贝I」。4=2%,
x2+(2%)2=52,
x=b或一通(舍),
•••0B—y/5,0A—2^/5,
SAAOB=2>OB=3AB•OG、
V5»2V5=50G,
OG=2,
・•・OC=2OG=4,
乙GOB=Z-OAB,
-1pf,
・••tanZ.GOB=tanzOXB=-=—,
2OG
・♦・OG=1,
・•.OB=V5,
乙GOB=Z.DOC,Z.BGO=4CO。,
:・ABGO
OGBG
:.-----=------,
ODCD
.2_1
••—,
ODCD
.•・OD=2CD,
OD-—,CD,
55
,陪考
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、三角函数、等腰三角形的性质及相似三角形的性质,解题的关键是
△AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似时分不同情况解决问题.
【变式4-1](2023春・吉林长春•九年级校考阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,将一块直角三角形纸
板如图放置,直角顶点与原点。重合,顶点4、2恰好分别落在函数y=—[(久<0),y=1(x>0)的图像上,
则sinzAB。的值为()
A.-B.—C.-D.—
3455
【答案】D
【分析】点4B落在函数y=-:(%<0),y=;Q>0)的图像上,根据反比例函数的几何意义,可得直角
三角形的面积;根据题意又可知这两个直角三角形相似,而相似比恰好是直角三角形力0B的两条直角边的
比,再利用勾股定理,可得直角边与斜边的比,从而得出答案.
【详解】解:过点4、B分别作力Dlx轴,BElx轴,垂足为。、E,
y
•・・点a在反比例函数y=-1(x<0)上,点B在y=1(x>0)上,
^AAOD=5,S^BOE=2,
又乙AOB=90°
Z.AOD=乙OBE,
:AAOD〜AOBE,
2_Sa,。。_1
©-S^BOE~4'
,OA_1
••OB・2,
设。Z=m,贝!JOB=2m,AB=-Jm2+(2m)2=V5m,
在RtZ\40B中,sin/AB。="=普=虫.
ABV5m5
故选:D.
【点睛】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质,将面积比转化为相似比,利用勾股定理可得直角
边与斜边的比,求出sin/ABO的值.
【变式4-2](2023春•江苏连云港•九年级专题练习)如图,点。为坐标系原点,点/为y轴正半轴上一点,
点8为第一象限内一点,。力=4B,^OAB=90°,将△(MB绕点。顺时针旋转一个锐角度数至△04'B',
此时反比例函数y=1(fc>0)刚好经过。4,0B,的中点,则tan/TlCM'=.
【分析】如图,过4作AH104于H,过夕作夕Q14”于Q,证明△4。“三△夕4Q,设4(犯九),可得。”=
rrr
AQ=n,A'H=BQ=m,B(m+n,n—m)f可得。4,OB'的中点坐标为:QQm+n,|n—
2
可得;小九=;/一;巾2,整理得(7)+Q-1=0,再解方程即可得到答案.
【详解】解:如图,过4作4H1O4于H,过夕作夕QJ.4H于Q,
:./.OHA'=/.A'QB=90°,而404®=90。,
:./.OA'H+/.B'A'Q=900=^B'A'Q+^A'B'Q,
:.^OA'H=/.A'B'Q,
■:OA'=A'B',
■■.AA'OH=AB'A'Q,设4(m,72),
■■.OH=A'Q=n,A'H=B'Q=m,
n,n—m),
OB'的中点坐标为:Qm+|n,|n-
•・•反比例函数y=|(fc>0)刚好经过。4,。夕的中点,
112£12£
4mn=4-n—4m,
••・©+C)T=。,
解得:2=二手或2=三亚(不合题意舍去),
n2n2
;.tan乙4。4=—=走二;
n2
故答案为:亨.
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,求解锐角的
正切,熟练的建立方程求解是解本题的关键.
【变式4-3](2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试)在平面直角坐标系中,
点。为坐标系的原点,直线y=依一自交x轴于点4交y轴于点3,tan^OAB=
(1)求直线AB的解析式;
(2)在线段4B上有一点尸,连接OP,设点尸的横坐标为,,aaop的面积为s,求s关于/的函数解析式(不
要求写出自变量/的取值范围);
(3)在(2)的条件下,在直线y=2%的第一象限上取一点D,连接2D,若S=15,乙40P+Z.BPO=2乙ADO,
求点D的坐标.
【答案】(1)丫=三万一至;(2)S=--t+-;(3)(6,12).
4242
【分析】(1)先根据解析式求出点8坐标,再用三角函数求出点N坐标,代入解析式即可;
(2)用t表示点尸的纵坐标,利用三角形面积公式列出函数解析式即可;
(3)根据S=15求出点尸坐标,得出乙4OP+NBPO=2N4DO=90。,作NE1OD于E,作ERLON于凡
设点D坐标为(a,2a),点E坐标为(b,26),根据勾股定理列出方程即可.
【详解】解:(1)当尸0时,y=-y,点3的坐标为(0,-y),OB=^-,
3
^tanZ-OAB=
4
04=10,/点坐标为(10,0),代入y=kx—至得,0=10k—竺,解得,k=三,
OA4224
直线4B的解析式为y=:x—当;
(2)把点尸的横坐标t代入y="一号得,丫=?一章
•・•点P在线段4B上,
r»1y八z315、目口c1575
,S=-X10X(——t+—),即5=——t+
(3)当S=15时,15=--C+-,解得,t=6,代入y=2t-£得,y=—3,
4242
点尸的坐标为(6,-3),
•.•点3的坐标为(0,-y),
••,BP=j62+(-3+y)2=y,
:・BP=OB,
,"BOP=Z.BPO,
^AOP+乙BPO=(BOP+Z-AOP=90°,
•・・NZOP+乙BPO=2440。,
・•・乙4。。=45°,
作NE1OD于E,作瓦UCM于尸,设点。坐标为(a,2a),点E坐标为(b,26),
OE=y/OF2+EF2=遍b,AF=\0-b,
■:AE2=EF2+AF2,AE2=OA2-OE2
2222
•••IO-(V56)=(2b)+(10-b),解得,瓦=0(舍去),b2=2,
则点E坐标为(2,4),AE=DE=V42+82-4A/5,
OD=2V5+4V5=6V5,
,・,点。坐标为(a,2a),
2=
•■•a+4a2=180,解得,%_=6,a2-6(舍去),
【点睛】本题考查了一次函数的综合,解题关键是求出函数解析式,利用函数图象上点的坐标,根据勾股定
理列出方程.
【题型5锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】
[例5](2023・全国•九年级假期作业)已知sin30。=—,则一元二次方程/+ax+2=。解的情况是()
a
A.有两个相同的实数根B.有两个不同的实数根
C.没有实数根D.无法判断
【答案】C
【分析】先利用sin30°=少求出a的值,即可得到一元二次方程,再根据根的判别式』=所—4ac的值即可
a
选择.
【详解】由sin3(T=3,
a
1a+1
2a
a=-2
则有/-2x+2=0
由/=b2—4ac=(-4)2—4x1x2=-4<0
所以方程无实根.
故选C
【点睛】本题考查特殊度数的三角函数值和一元二次方程的根的情况.熟练利用一元二次方程的根判别式/=
b2-4ac是判断一元二次方程根的情况的关键.
【变式5-1](2023秋•山东东营•九年级校联考阶段练习)关于x的一元二次方程x2-2x+tana=0有两个相
等的实数根,则锐角a=.
【答案】45°
【分析】根据判别式的意义得到A=(-2)2-4tana=0,则tana=l,然后利用特殊角的三角函数值求a的
值.
【详解】解:根据题意得△=(-2)2-4tana=0,
所以tana=l,
所以锐角a=45。.
故答案为:45°.
【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程a/+6x+c=0(存0)的根与A=〃-4ac有如下关系:当公
>0时,方程有两个不相等的实数根;当A=0时,方程有两个相等的实数根;当A<0时,方程无实数根.也
考查了特殊角的三角函数值.
【变式5-2](2023•北京朝阳•九年级专题练习)a为锐角,且关于x的一元二次方程2/sina-x+1=0
有两个相等的实数根,则a=()
A.30°B.45°C.30°或150°D.60°
【答案】B
【详解】试题解析:关于x的一元二次方程N-2&$也01丁+1=0有两个相等的实数根,
4=(-2V2sina)—4=0,
整理得:sina=当
a为锐角,
•••a=45°.
故选B.
【变式5-3](2023春•九年级单元测试)若cosa是关于x的一元二次方程2x2—3百x+3=0的一个根,则
锐角a=.
【答案】30°
【分析】先求出方程的两个根,再根据特殊角的函数值即可得出
【详解】••,2x2—3百x+3=0
A=^b2-4ac=V3>0,方程有两个不相等的实数根
-b+y/b2-4ac3V3+V3
•••X=--------------------=-------------
2a2X2
■,■X]=V3,X2=-^
,."cosa是关于x的一元二次方程2X2—35/^X+3=0的一个根,且cos30°=^
•••a=30°
【点睛】本题考查了余弦函数的计算,熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键.
【题型6灵活运用已知条件解直角三角形】
【例6】(2023秋•广东河源•九年级校考期末)在RtZ\ABC中,zC=90°,c=8遮,NA=60。,解这个直
角三角形.
【答案】见解析
【分析】根据含有30度角的直角三角形的性质以及勾股定理解决此题.
【详解】解:如图.
在Rt△ABC中,ZC=90°,c=AB=8>/3,44=60°,
NB=180°-zC-=30°.
•••AC=-AB=4V3.
2
•••BC==7AB2-AC2=J(8何2一(4A/3)2=12.
【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质、勾股定理,熟练掌握含30度角的直角三角形的性质
以及勾股定理是解决本题的关键.
【变式6-1](2023秋・甘肃张掖•九年级校考期中)在AIBC中,NC=90。,乙4,乙8,NC的对边分别为a,
b,c
(1)已知a=6,b=2y/3,解这个直角三角形
(2)已知乙5=45。,a+b=6,解这个直角三角形
(3)已知siib4=5c=6,解这个直角三角形.
【答案】(1)c=4A/3;(2)a=b=3,c=3A/2;(3)a=3,b=3V3
【分析】(1)直角三角形中知两边,求第三边,运用勾股定理即可
(2)Z-B=45°,即Q=b,a+b=6,即可知a=b=3.再运用勾股定理即可
(3)sinA=-=其中c=6,即可求解.
c2
【详解】解:依题意
(1)在Rt^ABC中,ZC=90°,
••a=6,b=2A/3,
・•・根据勾股定理M+b2=c?得,c=Va2+b2=JG2+(2A/3)2=4V3,
・•・c=4A/3;
(2)•・•乙B=45°,
.・・ABC为等腰直角三角形,
•・•a+b=6,
a=b=3,
・•・根据勾股定理得:c=Va2+b2=V32+32=3V2,
••・c=3V2,
・•・此三角形的三边分别为:a=3A/2,b-3V2,c=6;
(3)•・•在△ZBC中,4c=90。,
・•・sinA=-=
c2
•・•c=6,
1
•••a=-c=Q3,
2
根据勾股定理得:b=Vc2-a2=V62-32=3V3,
,此三角形的三边分别为:a=3,b—3百,c—6.
【点睛】此题主要考查直角三角形勾股定理的运用,要掌握三角形“知二求三”的技巧,熟练运用勾股定理.
【变式6-2](2023秋•江苏盐城•九年级统考期末)在Rt21ABe中,"=90°,zX-zB=30。,a—b=2百—2,
解这个直角三角形.
【答案】a=2聒、6=2、c=4
【分析】利用三角形内角和定理构建方程组求出N8的值,再利用正切的定义得a=Bb,解方程组求出
a,b,即可解决问题.
【详解】解:由题意知:{父二建券,解得:{片二黑,
“a
•
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