圆锥曲线-2025年高考数学复习易错题（原题版）

专题09圆锥曲线

目录

题型一：圆锥曲线方程

易错点01忽略圆锥曲线定义中的限制条件

易错点02忽略圆锥曲线焦点的位置

易错点03求离心率范围时忽略离心率本身范围

易错点04求轨迹方程时忽略变量的取值范围

题型二：直线与圆锥曲线的位置关系

易错点05直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错

易错点06混淆“焦点弦”和“非焦点弦”

易错点07恒成立意义不明导致定点问题错误

题型一：圆锥曲线方程

易错点01：忽略圆锥曲线定义中的限制条件

般易错陷阱与避错攻略

典例4(24-25高三上•陕西榆林•期中)已知小瑞是平面内两个不同的定点，则“帆周-幽可为定直，是“动

点M的轨迹是双曲线''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】若帆4阴=°，则|5|=|加闻，此时，点M的轨迹是线段招入的垂直平分线，

所以，"帜耳I-为定值"n“动点M的轨迹是双曲线”；

若动点M的轨迹是双曲线，贝3班|-|“或为定值，

所以，“峥|-|“玛I为定值"u“动点M的轨迹是双曲线

因此，』吗|-阿以为定直，是“动点〃的轨迹是双曲线”的必要不充分条件

故选：B.

【易错剖析】

在解题时容易双曲线中定义中帜耳|-惘矶=2a<2c=|耳闾这一限制条件而错选C.

【避错攻略】

1、椭圆的定义

（1）定义：把平面内与两个定点B，&的距离的和等于常数（大于1HBI）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定

点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.

（2）几何表示：|MPi|+|MB|=2a（常数）且2a>\FiF2\.

【解读】在椭圆定义中，必须2a>吗/2|,这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a=回巳|时，点的

轨迹是线段当2a<尸1BI时，动点轨迹不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这

一隐含的条件.

2、双曲线的定义

（1）定义：平面内与两个定点Fi，B的距离的差的绝对值等于非零常数（小于尸i&l）的点的轨迹叫双曲

线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，焦距的一半称为半焦距.

⑵几何表示：IIMRI—阿巳||=2。（常数）（24<吗均）.

【解读】（1）常数要小于两个定点的距离.

（2）如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支.

（3）当2a=|品&|时，动点的轨迹是以出为端点的两条方向相反的射线（包括端点）.

⑷当2a>|尸1凡|时,动点的轨迹不存在.

3.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线/（/不经过点用的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线

的焦点，直线/叫做抛物线的准线.

【解读】（1）“一动三定”：一动点加；一定点F（即焦点）；一定直线/（即准线）；一定值1（即动点M到定

点尸的距离与到定直线/的距离之比为1）.

（2）定义中，要注意强调定点厂不在定直线/上.当直线/经过点尸时，点的轨迹是过定点F且垂直于

定直线/的一条直线.

易错提醒：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如

椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差

的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上.

举一反三

1.（24-25高二上•北京•阶段练习）下列说法正确的个数是（）

①动点尸（羽V）满足JY+。一2）2+旧+（y+2）2=4,则P的轨迹是椭圆

②动点尸（X,y）满足旧+（y一2）2+J尤2+（y+2）2=5,则P的轨迹是双曲线

③动点尸（x,y）满足到y轴的距离比到尸（L0）的距离小1,则P的轨迹是抛物线

④动点尸（x,y）满足Q一2）+丫2一5=o,则P的轨迹是圆和一条直线（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2025高三.全国.专题练习）已知点A（0,2）,B（0,-2）,C（3,2）,若动点M（x,y）满足|肱1|+|AC=|MB|+怛C|

则点M的轨迹方程为（）

A.9_?=]B.=l（y<-l）

22

C.尤2-上=1D.x2-^=l（x<-l）

33v7

3.（2024•陕西西安・一模）平面上动点M到定点尸（3,0）的距离比M到y轴的距离大3,则动点M满足的方

程为.

■易错题通关.

22

1.（24-25高三上•广西•阶段练习）已知圆Q:（x+3）+/=81和C2:（x-3）+/=1,若动圆P与圆G内切,

同时与圆G外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（）

.x2y20尤2y2]„x2y2.cx?/1

A.——+—=1B.—+—=1C.—+—=1D.——+—=1

1672592516169

2.（2024・安徽池州・二模）已知圆O:V+=4和两点A（-m,0）0）（m>0）,P为圆。所在平面内的动点，

记以PA为直径的圆为圆以PB为直径的圆为圆N,则下列说法一定正确的是（）

A.若圆"与圆。内切，则圆N与圆。内切

B.若圆M与圆0外切，则圆N与圆。外切

C.若〃2=1,且圆M与圆。内切，则点尸的轨迹为椭圆

D.若根=3,且圆M与圆0外切，则点P的轨迹为双曲线

3.（24-25高二上.全国•课后作业）已知点4（-1,0）,3（1,0）,动点P（x,y）满足|刑+|冏=1,则动点尸的轨

迹是（）

A.椭圆B.直线C.线段D.不存在

4.（24-25高三下•全国•课后作业）动点”（无，。满足方程5/x-l）2+（y-2）2=|3x+4y+12],则点M的轨迹

是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

5.（24-25高二上•黑龙江•期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2,0）,B（2,0）,尸是一个动

点，则（）

A.若|胡+归却=6,则点尸的轨迹为椭圆

B.若41Tp同=2,则点尸的轨迹为双曲线

c.^\PA+PB\=\PA-PB\,则点尸的轨迹为直线

D.若网=2阀，则点尸的轨迹为圆

6.（2024.河北.模拟预测）（多选）已知平面内点A（-l,0）,8（1,0）,点尸为该平面内一动点，则（）

A.|上4|+|依|=4,点P的轨迹为椭圆B.|上4|-|尸目=1,点P的轨迹为双曲线

C.|以卜|?狎=1,点尸的轨迹为抛物线D.谒=2,点尸的轨迹为圆

7.（2025高三・全国・专题练习）在平面直角坐标系xOv中，已知点日一后,0）、0MM周一|班|=2,

点M的轨迹为C,则C的方程为.

8.（24-25高三下•湖北荆州•开学考试）已知动点M（x,y）到定点尸（1,0）与定直线》=0的距离的差为1.则动

点M的轨迹方程为.

易错点02：忽略圆锥曲线焦点的位置

，易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•江苏无锡・期中）求长轴长是短轴长的3倍，且过点（3,-1）的椭圆的标准方程（）

——+—=1

B.8282

182

9

C.《+匚1或专+服=1

D.二1

182y93

【答案】c

【分析】分析可知，。=36,对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出〃的值，即

可得出椭圆的标准方程.

【详解】由题意可知，a-3b,

22

若椭圆的焦点在X轴上，则椭圆的标准方程为器+51,

将点的坐标代入椭圆方程可得舒9+我1=1，解得从=2,

22

此时，椭圆的标准方程为二+匕=1;

182

22

若椭圆的焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为二+二=i,

9b?b2

1QQO

将点的坐标代入椭圆方程可得本+2=1,解得k,

此时，椭圆的标准方程为会十麦"

22

综上所述，椭圆的标准方程为三r+乙v=1或82+—82-1.

182§

故选：C.

【易错剖析】

本题容易忽略对椭圆焦点位置的讨论而漏解.

【避错攻略】

1.椭圆的标准方程

焦点在X轴上焦点在y轴上

2222

标准方程^r+^=vl(a>b>0)^v+^r=l(a>b>0)

焦点(-C,0)与(c,0)(0,一c)与(0,c)

a,b,c的关系c2=a2—b2

【解读】（1）椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原

点，椭圆的对称轴为坐标轴.

2222

（2）两种椭圆琶=1,京+标=1（。>6>0）的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>b>0,a2=b2

+，；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同.

（31项和尸项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.

2.双曲线的标准方程

焦点位置焦点在X轴上焦点在y轴上

图形,23

4

标准方程京一泊1s0,6>0)^-^=l(a>0,6>0)

焦点坐标Fi(-c,0),F2(C,0)Fi(0)-c：，F2(0,C)

a,b,c的关系c1=a2+b2

【解读】(1)焦点Fl,尸2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项

走”，若f项的系数为正，则焦点在X轴上；若V项的系数为正，那么焦点在y轴上，即f,y2的系数异

号.

⑵标准方程中的两个参数。和b,确定了双曲线的形状和大小，是双曲线定形的条件，注意这里的〃

一/与椭圆中的〃=〃一/相区别.其中c>a,c>%,而a,b无大小要求.

3.抛物线的标准方程

图形标准方程焦点坐标准线方程

y2=2px(p>0)碓,o)X=~~

12

y1=-2px(p>0)心,0x=-

I)2

j^=2py(p>0)y=~-

工J2

y

j^=~2py(p>0)《0—y=-

V)/2

【解读】(1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式.

(2)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式.

⑶抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离.

(4)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴

的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.

易错提醒：由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两

种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位

置，不确定要讨论，在定量，即求a,4c或p的值.

举一反三

1.（24-25高二上•天津和平・期末）已知双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,实轴长为2,则双曲线C的标

准方程为（）

V-1

A.------1B.X2

~416

222

C.一匕=1或匕一炉=1D.X2=-4x2=]

~4164

2.（24-25高三上•四川雅安•诊断测试）已知椭圆反+且=1的离心率为左，则匹=（）

mn2m

C.4或5D.g或2

A.2B-z

3.（24-25高三上•陕西宝鸡・期末）顶点在原点，且过点（-2,4）的抛物线的标准方程是

易错题通关

1.（2025高三・全国・专题练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点尸（一5,4）,Q（0,6）,

则椭圆的方程为（）

2222

AA.——%+—y=1iB.工+匕=1

45363645

22

c+=1D.工+匕=1

-^i?3625

2.（24-25高二上•河北衡水•期末）过点（2,2）且与椭圆9/+3/=27有相同焦点的双曲线方程为（）

AfB9♦D.21

686824

y2

3.（23-24高三下.安徽・期末）已知双曲线C：工-=1,则=3”是“双曲线C的离心率为旧”的（）

m"i+3

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.（24-25高三上•河南•阶段练习）顶点在原点，关于>轴对称，并且经过点的抛物线方程为（）

211

A.y=­xB.J2——XC.x2=4yD.X2=-4y

44

5.（24-25高三上•山西太原•阶段练习）已知椭圆C:工+>2=1,则"=2”是“椭圆C的离心率为变”的（）

m2

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

22

6.（24-25高三上•上海杨浦•阶段练习）与椭圆工+乙=1有相等的焦距，且过圆丁+/一6彳一8丁=0的圆心

6338

的椭圆的标准方程为.

7.（23-24高二上.江苏南通・期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为.

①实轴长为4；②渐近线方程为，=±2》

8.（2024•陕西榆林•二模）已知抛物线C经过点4（3,3）,写出C的一个标准方程：.

9.（24-25高二上•江苏盐城•阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：

22

（1）过点尸（-3,2）,且与椭圆］+5=1有相同的焦点.

（2）经过两点（2,-虚），.

易错点03：求离心率范围时忽略离心率本身范围

，易错陷阱与避错攻略

22

典例（24-25高三上•山东滨州•阶段练习）设耳耳分别为椭圆C:，+3=l（a>b>0）的左、右焦点，M在

cib

椭圆上运动时，至少有两个位置使得叫，M7"则椭圆C的离心率范围是.

【答案】［孝，1］

【分析】探求动点M的轨迹，找出a,b,c满足的不等关系，再转化为离心率解之即可.

【详解】因为动点M满足班，班，所以加在以耳耳为直径的圆上.

又因为M在椭圆上运动时，至少有两个位置使得加耳^MF2,

所以,

则〃<，<〃，即

同除/得l-e24/<l,解之得变Ve<l.

2

故答案为：［#』］

【易错剖析】

本题容易忽略椭圆的离心率满足（0,1）这一范围而出错.

【避错攻略】

求离心率范围的方法

技巧1：建立关于«和C的一次或二次方程与不等式.

技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系.£,鸟为椭圆二+/=1（.>6>0）的左、右焦点，p为椭

圆上的任意一点，\PF^[a-c,a+cy耳,名为双曲线工一与=1（。>（）,6>0）的左、右焦点，/>为双曲线上

a2b2

的任一点，\PFx\>c-a.

技巧3：利用角度长度的大小建立不等关系.小居为椭圆£+工=1的左、右焦点，尸为椭圆上的动

a2b1

点，若ZRPFz=e，则椭圆离心率e的取值范围为sin?4e<l.

技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系.

技巧5：涉及尸片•尸工的关系式利用基本不等式，建立不等关系.

易错提醒：圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是ee（O,l）,而双曲线的离心率范围是

（1,+a））,在求范围的时候要时刻注意.

叁举一反三

22

1.（24-25高三上•北京•期中）椭圆—+多=1（。>6>0）上存在一点p满足片尸_L巴尸，耳鸟分别为椭圆的

ab

左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（）

A.（0,1]B.（0当C.[1,D0.[争）

22

2.（2024.全国•模拟预测）在平面直角坐标系xOv中，已知双曲线♦-4=1（。>0,6>0）左、右顶点为A,B,

若该双曲线上存在点P,使得尸4尸8的斜率之和为1,则该双曲线离心率的范围为（）

2222

3.（23-24高三上.河北邢台.期末）设椭圆=+1=l（a>/,>0）与双曲线与一3=1,若双曲线的一条渐近

abab

线的斜率大于好，则椭圆的离心率e的范围是____.

2

,易错题通关

丫2v?Tt

1.（2021•黑龙江哈尔滨.三模）双曲线C：号一2=1（a>0,&>0）右焦点为歹2，过F?倾斜角为彳的直

线与双曲线右支交于A,B两点，则双曲线离心率的范围为（）

A.(1,72)D.[I"

22

2.（23-24高二上.湖南郴州.期末）已知耳,月是椭圆C:=+A=l（a>0>0）的两个焦点，点”在C上，若

ab

使鸟为直角三角形的点M有8个，则C的离心率的范围是（）

D-

6>0）的右焦点为尸，P、Q是椭圆上关于原点对

称的两点，M、N分别是P2。尸的中点，若以跖V为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是.

22

4.（23-24高二上•云南昆明•期末）已知双曲线=1的焦点在y轴上，则离心率e的范围为_______

m-24-m

丫2V23

5.（24-25高二上•辽宁大连•期中）已知双曲线「-与=1伍>0,6>0）的渐近线方程为了=土;x,则其离心

ab4

率为.

22

6.（23-24高二上.江西南昌・期中）设小尸2是椭圆G：=+七=1（4>伪>0）与双曲线

a{

22

02：三-2=13>。也>0）的公共焦点，曲线C-G在第一象限内交于点“，N不鸣=90。，若椭圆的

a2b2

离心率6e，则双曲线的离心率的范围是

22

7.（24-25高三上•湖北•阶段练习）已知VA3C是椭圆三+3=l（a>b>0）的内接三角形，其中原点。是

ab

VABC的重心，若点A的横坐标为且a,直线3C的倾斜角为:兀，则椭圆的离心率为___.

__________2_6

易错点04：求轨迹方程时忽略变量的取值范围

,易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二上•河南平顶山•阶段练习）在平面直角坐标系中，已知VA5C的顶点4（-2,0）,3（2,0）,其

内切圆圆心在直线x=l上，则顶点C的轨迹方程为（）

222

A.--一^-=l(x>1)B.x2-^-=l(x>l)

453

2222

C.—+^=1(0<X<1)D.—+^=1(O<X<1)

9594

【答案】B

【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案.

【详解】如图，设VABC与圆的切点分别为RE,尸，则有|物=|相=2,忸尸|=|/=1,|C»|=|CF|,所以

|G4|-|CB|=3-1=2.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A,8为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(右顶点除外)，

2

即c=2、。=1,又°2="+62,所以廿=3,所以方程为f一］_=1。>1).

故选：B.

【易错剖析】

本题容易忽略自变量的取值范围而出错而出错.

【避错攻略】

求轨迹方程的方法

1.直接法

利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下:

第一步：建系：建立适当的坐标系

第二步：设点：设轨迹上的任一点尸(无,y)

第三步：列式：列出有限制关系的几何等式

第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含为y的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为

的方程式化简

注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线.

2.定义法

根据动点满足的几何条件判断出轨迹的类型，然后求出轨迹方程.

3.相关点法

如果动点尸的运动是由另外某一点p的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐标满足某已知

曲线方程)，则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点p的坐标，然后把p的坐标代入已知曲线方程，

即可得到动点尸的轨迹方程.

4.交轨法

在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出

交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通

常选变角、变斜率等为参数.

易错提醒：|求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方

程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错.

举一反三

1.(24-25高三上•湖南邵阳•阶段练习)一动圆P过定点Af(-3,0),且与己知圆N：+/=16外切，

则动圆圆心尸的轨迹方程是()

丫2d丫2丫2

A.--y=1(-^^2)B.—+^=l(x>^

C.y-^-=l(%<-2)D.^+y=l(%<-2)

2.(24-25高二上•湖南长沙•期中)已知4,8两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线相交于点M,且

直线AM的斜率与直线3M的斜率的差是2,则点M的轨迹方程为()

A.^=-x2+l(x^±l)

B.y=d+i(xw±i)

C.x=-y2+l(y^±1)

D.%=/+1("±1)

3.(24-25高三上•山东滨州•阶段练习)已知VABC的顶点A(3,0),5(-3,0),且周长为16,求顶点。的轨

迹方程.

易错题通关

1.(24-25高二上•福建莆田•期中)己知圆£:(x+3)2+J?=1和圆G：(x_3)2+丁=9,动圆M同时与圆G及

圆a相外切，则动圆圆心”的轨迹方程是（）

22

A.—+/=1B.元2+匕=i

88

22

C.---V2=l（x>l）D.x2-^=l（x<-l）

88

22

2.（24-25高三上•山东青岛•阶段练习）已知椭圆C:土+匕=1,从C上任意一点尸向》轴作垂线段PP',P为

164

垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为（）

2222

A.1^+Y=l（xwO）B.%2+y2=4（x^0）C.^-+^-=1（x^0）D.x2+y2=8（x*0）

3.（24-25高二上•江苏南通•阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，A（-2,0）,B（2,0）,动点C和。分别位于>

正半轴和负半轴上，若|OC|-|8|=1,则AC和的交点Af的轨迹方程为（）

A.国+闻=4（,彳0）B.x2+y2=4（y^0）

c.3+y2=i（"0）D.-^-y1=1（J*0）

4.（24-25高三上•广东•开学考试）（多选）设A8两点的坐标分别是（T,0）,（1,o）,直线AM,8M相交于点M,

设直线A"、2M的斜率分别为心包，下列说法正确的是（）

4

A.当%#2=-§时，点”的轨迹是椭圆的一部分

4

B.当左他=§时，点M的轨迹是双曲线的一部分

C.当勺-&=2时，点"的轨迹是抛物线的一部分

D.当仁+&=2时，点Af的轨迹是椭圆的一部分

5.（2024高三・全国・专题练习）在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点到点耳（-2,0）,乙（2,0）的距离之

积为定值彳（彳>0），且曲线C经过坐标原点，若点尸（为,%）为曲线C上一点，则（）

A.曲线C的方程为y+力2=4卜2-力

B.点卜20,0）在曲线C上

C.0<|J0|<1

D.看+y；e[0,8]

6.（24-25高三上•全国•课后作业）已知0知：/+2苫+;/-35=0,过点N（l,0）且斜率不为零的直线/交

于A,8两点，过点N作NC〃4W交于C,贝U|CW|+|CN|=；点C的轨迹方程为

7.（24-25高二上・江苏南通•阶段练习）己知点。（2,-12）是椭圆的一个焦点，且椭圆经过4（-7,0）,3（7,0）两

点，则椭圆的另一个焦点O的轨迹方程为一.

8.（24-25高二上•上海•期中）已知平面直角坐标系中8（—2,0）、C（2,0）.若A为动点且满足|相|-卜。=g忸。，

则动点A的轨迹方程为.

\DM\3

9.（24-25高二上•江苏南通•阶段练习）如图，OP1.X轴，垂足为。，点河在。P的延长线上，且王才=5，

当点?在圆炉+尸=4上运动时，点M的轨迹方程为.

题型二：直线与圆锥曲线的位置关系

易错点05：直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错

,易错陷阱与避错攻略

典例（2024.四川南部县模拟）过点P（3,l）作直线1与抛物线/=-4.r只有一个交点，这样的直线/有

________条（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】当直线/斜率不存在时，I：尤=3,与抛物线无交点，不合题意；

，满足题意;

当直线/斜率为零时，/：y=l,与抛物线有且仅有一个交点—,1j

当直线/斜率不为零时，x—3=］。-1）,

K.

即x=（（y—i）+3,

尤=7■（厂1）+3,

由，k'得4+⑥+12%—4=0,

J2=14X

贝II/=16—4612々-4）=0,解得左」1t,

满足题意的直线/有两条；

综上所述，过点P（3,l）与抛物线y2=-4x只有一个交点的直线/有3条.

【易错剖析】

本题容易忽略对斜率不存在、二次方程的二次项系数是否为零的讨论.

【避错攻略】

1.直线与圆锥曲线的位置关系

（1）直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点（特殊情况除外），相切有一个交点，

相离无交点.

（2）判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线I的方程Ax+By+C=O代入圆锥曲线C的方

程.消去y（或X）得到一个关于变量x（或y）的方程或a^+by+c^O）.

①当今0时，可考虑一元二次方程的判别式/,有/>0时，直线/与曲线C相交；/=0时，直线/与

曲线C而相切；/<0时，直线/与曲线C相离.

②当。=0时，即得到一个一次方程，贝也与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线

/与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线/与抛物线的四对称轴平行或重合.

2.圆锥曲线的弦长公式

设直线与圆锥曲线的交点坐标为A（xi,?），8（X2,>2）,则\AB\=—十改|尤i—x2|=

■\l（1+严）［〈Xl+X2）2—4X1X21或|AB|=yj1+力yi―，2l

=yj（1+为［⑴+m）2—4yM，左为直线斜率且以o.

易错提醒：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x（或y）,得到关于y（或X）

的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需

讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.

举一反三

1.（24-25高三上•北京•阶段练习）若直线/：，=左（》-2）与双曲线C:9=1恰好有一个交点，则直线/的

斜率的所有可能值为.

2.（24-25高二上•河南南阳•阶段练习）（多选）已知直线/：y^kx+1,双曲线C：/-V=1.以下说法正确

的是（）

A.当左=0时，直线/与双曲线只有一个公共点

B.直线/与双曲线只有一个公共点时，kf或-叵

C.当上＜-0或左,应时，直线/与双曲线没有公共点

D.当-0＜女＜后时，直线/与双曲线有两个公共点

2

3.（243高三上广东广州•阶段练习）已知椭圆C:人与=|,直线/：＞=%+根，若椭圆c上存在两点关

于直线/对称，则根的取值范围是（）

(42变］（42克］

A.B.C.D.

一丁彳33J4'4

777

易错题通关

1.（24-25高三上•北京•阶段练习）过点（1,4）且与抛物线V=4x恰有一个公共点的直线的条数为（）

A.0B.1C.2D.3

22

2.（24-25高二上・北京•阶段练习）设直线/：＞=兀+加与椭圆氏±+匕=1相交于A、3两点，当相变化时,

43

线段A5的中点所在的直线方程为（）

434

A.y=-xB.y=­x

3

34

C.y=——xD.y=——x

43

3.（24-25高二上•广西北海•期中）（多选）若直线/与双曲线£-9

1的左、右两支各有一个交点，贝IJ/的

315

方程可以是（）

A.y=45x+lB.y=x+lC.y=3xD.y—5/2%+5/2^-1

2

4.（24-25高三上・北京・期末）直线y=%（x-3）与双曲线亍-y21的右支只有一个公共点，则上的取值范围

为一

丫2V21

5.（24-25高二上•陕西西安•阶段练习）双曲线於-3二1与直线/：》=-耳光+根（MER）的公共点个数

22_

6.（24-25高三上.陕西汉中•阶段练习）已知椭圆区会+方=1（"＞10）的长轴长是短轴长的&倍，且椭圆E

经过点（0,1）.

⑴求椭圆E的标准方程;

(2)直线/：y=Mx-2)交椭圆E于M,N两点,若线段"N中点的横坐标为：，求直线/的方程.

7.已知直线/：y=2x+m,椭圆C：了+2=1.试求当切取何值时，直线/与椭圆C：

(1)有两个不同的公共点；

(2)有且只有一个公共点.

8.对称轴都在坐标轴上的双曲线过点(括,2),(2,-")，斜率为Z的直线/过点P(l,1).

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若直线/与双曲线有两个交点，求斜率左的取值范围；

(3)是否存在实数%使得直线/与双曲线交于A,B两点，且点尸恰好为AB中点？为什么？

易错点06:混淆“焦点弦”和“非焦点弦”

，易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高三上•山东青岛•阶段练习)顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2*-、+1=0所得弦长为至

的抛物线方程为_______________

【答案】9=12%或>2=_软

【详解】设所求抛物线方程为丁=奴(0*0)①，直线方程变形为y=2x+l②.

设直线与抛物线交于A,B两点，将②代入①整理得

+(4—a)x+l=0,贝U|A同=+2?)["4—4x-^-=^/15.

解得。=12或a=T.故所求抛物线方程为I?=12x或丁=_4x.

【易错剖析】

本题容易忽略斜率不存在的情况而造成漏解.

【避错攻略】

斜率为6左。0)直线/与抛物线交于A&,%),5(%，%)两点，若求弦\^\的长•

(1)一般弦长公式：=Jl+k?.卜］=J1+:-.

(2)焦点弦长：设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦，A(5,％),B8,%),则弦长

\AB\=\AF\+\BF\=xl+x2+p.