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文档简介
专题09圆锥曲线
目录
题型一:圆锥曲线方程
易错点01忽略圆锥曲线定义中的限制条件
易错点02忽略圆锥曲线焦点的位置
易错点03求离心率范围时忽略离心率本身范围
易错点04求轨迹方程时忽略变量的取值范围
题型二:直线与圆锥曲线的位置关系
易错点05直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错
易错点06混淆“焦点弦”和“非焦点弦”
易错点07恒成立意义不明导致定点问题错误
题型一:圆锥曲线方程
易错点01:忽略圆锥曲线定义中的限制条件
般易错陷阱与避错攻略
典例4(24-25高三上•陕西榆林•期中)已知小瑞是平面内两个不同的定点,则“帆周-幽可为定直,是“动
点M的轨迹是双曲线''的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若帆4阴=°,则|5|=|加闻,此时,点M的轨迹是线段招入的垂直平分线,
所以,"帜耳I-为定值"n“动点M的轨迹是双曲线”;
若动点M的轨迹是双曲线,贝3班|-|“或为定值,
所以,“峥|-|“玛I为定值"u“动点M的轨迹是双曲线
因此,』吗|-阿以为定直,是“动点〃的轨迹是双曲线”的必要不充分条件
故选:B.
【易错剖析】
在解题时容易双曲线中定义中帜耳|-惘矶=2a<2c=|耳闾这一限制条件而错选C.
【避错攻略】
1、椭圆的定义
(1)定义:把平面内与两个定点B,&的距离的和等于常数(大于1HBI)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定
点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
(2)几何表示:|MPi|+|MB|=2a(常数)且2a>\FiF2\.
【解读】在椭圆定义中,必须2a>吗/2|,这是椭圆定义中非常重要的一个条件;当2a=回巳|时,点的
轨迹是线段当2a<尸1BI时,动点轨迹不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这
一隐含的条件.
2、双曲线的定义
(1)定义:平面内与两个定点Fi,B的距离的差的绝对值等于非零常数(小于尸i&l)的点的轨迹叫双曲
线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距,焦距的一半称为半焦距.
⑵几何表示:IIMRI—阿巳||=2。(常数)(24<吗均).
【解读】(1)常数要小于两个定点的距离.
(2)如果没有绝对值,动点的轨迹表示双曲线的一支.
(3)当2a=|品&|时,动点的轨迹是以出为端点的两条方向相反的射线(包括端点).
⑷当2a>|尸1凡|时,动点的轨迹不存在.
3.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线/(/不经过点用的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线
的焦点,直线/叫做抛物线的准线.
【解读】(1)“一动三定”:一动点加;一定点F(即焦点);一定直线/(即准线);一定值1(即动点M到定
点尸的距离与到定直线/的距离之比为1).
(2)定义中,要注意强调定点厂不在定直线/上.当直线/经过点尸时,点的轨迹是过定点F且垂直于
定直线/的一条直线.
易错提醒:在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时,一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件,如
椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数;双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差
的绝对值是小于焦距的常数;二抛物线则要满足定点不在定直线上.
举一反三
1.(24-25高二上•北京•阶段练习)下列说法正确的个数是()
①动点尸(羽V)满足JY+。一2)2+旧+(y+2)2=4,则P的轨迹是椭圆
②动点尸(X,y)满足旧+(y一2)2+J尤2+(y+2)2=5,则P的轨迹是双曲线
③动点尸(x,y)满足到y轴的距离比到尸(L0)的距离小1,则P的轨迹是抛物线
④动点尸(x,y)满足Q一2)+丫2一5=o,则P的轨迹是圆和一条直线()
A.0B.1C.2D.3
2.(2025高三.全国.专题练习)已知点A(0,2),B(0,-2),C(3,2),若动点M(x,y)满足|肱1|+|AC=|MB|+怛C|
则点M的轨迹方程为()
A.9_?=]B.=l(y<-l)
22
C.尤2-上=1D.x2-^=l(x<-l)
33v7
3.(2024•陕西西安・一模)平面上动点M到定点尸(3,0)的距离比M到y轴的距离大3,则动点M满足的方
程为.
■易错题通关.
22
1.(24-25高三上•广西•阶段练习)已知圆Q:(x+3)+/=81和C2:(x-3)+/=1,若动圆P与圆G内切,
同时与圆G外切,则该动圆圆心的轨迹方程为()
.x2y20尤2y2]„x2y2.cx?/1
A.——+—=1B.—+—=1C.—+—=1D.——+—=1
1672592516169
2.(2024・安徽池州・二模)已知圆O:V+=4和两点A(-m,0)0)(m>0),P为圆。所在平面内的动点,
记以PA为直径的圆为圆以PB为直径的圆为圆N,则下列说法一定正确的是()
A.若圆"与圆。内切,则圆N与圆。内切
B.若圆M与圆0外切,则圆N与圆。外切
C.若〃2=1,且圆M与圆。内切,则点尸的轨迹为椭圆
D.若根=3,且圆M与圆0外切,则点P的轨迹为双曲线
3.(24-25高二上.全国•课后作业)已知点4(-1,0),3(1,0),动点P(x,y)满足|刑+|冏=1,则动点尸的轨
迹是()
A.椭圆B.直线C.线段D.不存在
4.(24-25高三下•全国•课后作业)动点”(无,。满足方程5/x-l)2+(y-2)2=|3x+4y+12],则点M的轨迹
是()
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
5.(24-25高二上•黑龙江•期中)(多选)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2,0),B(2,0),尸是一个动
点,则()
A.若|胡+归却=6,则点尸的轨迹为椭圆
B.若41Tp同=2,则点尸的轨迹为双曲线
c.^\PA+PB\=\PA-PB\,则点尸的轨迹为直线
D.若网=2阀,则点尸的轨迹为圆
6.(2024.河北.模拟预测)(多选)已知平面内点A(-l,0),8(1,0),点尸为该平面内一动点,则()
A.|上4|+|依|=4,点P的轨迹为椭圆B.|上4|-|尸目=1,点P的轨迹为双曲线
C.|以卜|?狎=1,点尸的轨迹为抛物线D.谒=2,点尸的轨迹为圆
7.(2025高三・全国・专题练习)在平面直角坐标系xOv中,已知点日一后,0)、0MM周一|班|=2,
点M的轨迹为C,则C的方程为.
8.(24-25高三下•湖北荆州•开学考试)已知动点M(x,y)到定点尸(1,0)与定直线》=0的距离的差为1.则动
点M的轨迹方程为.
易错点02:忽略圆锥曲线焦点的位置
,易错陷阱与避错攻略
典例(24-25高三上•江苏无锡・期中)求长轴长是短轴长的3倍,且过点(3,-1)的椭圆的标准方程()
——+—=1
B.8282
182
9
C.《+匚1或专+服=1
D.二1
182y93
【答案】c
【分析】分析可知,。=36,对椭圆的焦点位置进行分类讨论,将点的坐标代入椭圆方程,求出〃的值,即
可得出椭圆的标准方程.
【详解】由题意可知,a-3b,
22
若椭圆的焦点在X轴上,则椭圆的标准方程为器+51,
将点的坐标代入椭圆方程可得舒9+我1=1,解得从=2,
22
此时,椭圆的标准方程为二+匕=1;
182
22
若椭圆的焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为二+二=i,
9b?b2
1QQO
将点的坐标代入椭圆方程可得本+2=1,解得k,
此时,椭圆的标准方程为会十麦"
22
综上所述,椭圆的标准方程为三r+乙v=1或82+—82-1.
182§
故选:C.
【易错剖析】
本题容易忽略对椭圆焦点位置的讨论而漏解.
【避错攻略】
1.椭圆的标准方程
焦点在X轴上焦点在y轴上
2222
标准方程^r+^=vl(a>b>0)^v+^r=l(a>b>0)
焦点(-C,0)与(c,0)(0,一c)与(0,c)
a,b,c的关系c2=a2—b2
【解读】(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原
点,椭圆的对称轴为坐标轴.
2222
(2)两种椭圆琶=1,京+标=1(。>6>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2
+,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
(31项和尸项谁的分母大,焦点就在谁的轴上.
2.双曲线的标准方程
焦点位置焦点在X轴上焦点在y轴上
图形,23
4
标准方程京一泊1s0,6>0)^-^=l(a>0,6>0)
焦点坐标Fi(-c,0),F2(C,0)Fi(0)-c:,F2(0,C)
a,b,c的关系c1=a2+b2
【解读】(1)焦点Fl,尸2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项
走”,若f项的系数为正,则焦点在X轴上;若V项的系数为正,那么焦点在y轴上,即f,y2的系数异
号.
⑵标准方程中的两个参数。和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线定形的条件,注意这里的〃
一/与椭圆中的〃=〃一/相区别.其中c>a,c>%,而a,b无大小要求.
3.抛物线的标准方程
图形标准方程焦点坐标准线方程
y2=2px(p>0)碓,o)X=~~
12
y1=-2px(p>0)心,0x=-
I)2
j^=2py(p>0)y=~-
工J2
y
j^=~2py(p>0)《0—y=-
V)/2
【解读】(1)只有抛物线的顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上时,抛物线才具有标准形式.
(2)标准方程的特征:等号的一边是某个变量的平方,等号的另一边是另一个变量的一次单项式.
⑶抛物线标准方程中参数p的几何意义:抛物线的焦点到准线的距离.
(4)焦点在一次项变量对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时,开口向坐标轴
的正方向;当系数为负时,开口向坐标轴的负方向.
易错提醒:由于建系的方案不同,三种圆锥曲线的标准方程是不同的,椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两
种情况,二抛物线则有四种方程,故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时,一定要先定位,即分析焦点位
置,不确定要讨论,在定量,即求a,4c或p的值.
举一反三
1.(24-25高二上•天津和平・期末)已知双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,实轴长为2,则双曲线C的标
准方程为()
V-1
A.------1B.X2
~416
222
C.一匕=1或匕一炉=1D.X2=-4x2=]
~4164
2.(24-25高三上•四川雅安•诊断测试)已知椭圆反+且=1的离心率为左,则匹=()
mn2m
C.4或5D.g或2
A.2B-z
3.(24-25高三上•陕西宝鸡・期末)顶点在原点,且过点(-2,4)的抛物线的标准方程是
易错题通关
1.(2025高三・全国・专题练习)已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,且过点尸(一5,4),Q(0,6),
则椭圆的方程为()
2222
AA.——%+—y=1iB.工+匕=1
45363645
22
c+=1D.工+匕=1
-^i?3625
2.(24-25高二上•河北衡水•期末)过点(2,2)且与椭圆9/+3/=27有相同焦点的双曲线方程为()
AfB9♦D.21
686824
y2
3.(23-24高三下.安徽・期末)已知双曲线C:工-=1,则=3”是“双曲线C的离心率为旧”的()
m"i+3
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4.(24-25高三上•河南•阶段练习)顶点在原点,关于>轴对称,并且经过点的抛物线方程为()
211
A.y=xB.J2——XC.x2=4yD.X2=-4y
44
5.(24-25高三上•山西太原•阶段练习)已知椭圆C:工+>2=1,则"=2”是“椭圆C的离心率为变”的()
m2
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
22
6.(24-25高三上•上海杨浦•阶段练习)与椭圆工+乙=1有相等的焦距,且过圆丁+/一6彳一8丁=0的圆心
6338
的椭圆的标准方程为.
7.(23-24高二上.江苏南通・期末)写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为.
①实轴长为4;②渐近线方程为,=±2》
8.(2024•陕西榆林•二模)已知抛物线C经过点4(3,3),写出C的一个标准方程:.
9.(24-25高二上•江苏盐城•阶段练习)分别求符合下列条件的椭圆的标准方程:
22
(1)过点尸(-3,2),且与椭圆]+5=1有相同的焦点.
(2)经过两点(2,-虚),.
易错点03:求离心率范围时忽略离心率本身范围
,易错陷阱与避错攻略
22
典例(24-25高三上•山东滨州•阶段练习)设耳耳分别为椭圆C:,+3=l(a>b>0)的左、右焦点,M在
cib
椭圆上运动时,至少有两个位置使得叫,M7"则椭圆C的离心率范围是.
【答案】[孝,1]
【分析】探求动点M的轨迹,找出a,b,c满足的不等关系,再转化为离心率解之即可.
【详解】因为动点M满足班,班,所以加在以耳耳为直径的圆上.
又因为M在椭圆上运动时,至少有两个位置使得加耳^MF2,
所以,
则〃<,<〃,即
同除/得l-e24/<l,解之得变Ve<l.
2
故答案为:[#』]
【易错剖析】
本题容易忽略椭圆的离心率满足(0,1)这一范围而出错.
【避错攻略】
求离心率范围的方法
技巧1:建立关于«和C的一次或二次方程与不等式.
技巧2:利用线段长度的大小建立不等关系.£,鸟为椭圆二+/=1(.>6>0)的左、右焦点,p为椭
圆上的任意一点,\PF^[a-c,a+cy耳,名为双曲线工一与=1(。>(),6>0)的左、右焦点,/>为双曲线上
a2b2
的任一点,\PFx\>c-a.
技巧3:利用角度长度的大小建立不等关系.小居为椭圆£+工=1的左、右焦点,尸为椭圆上的动
a2b1
点,若ZRPFz=e,则椭圆离心率e的取值范围为sin?4e<l.
技巧4:利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系.
技巧5:涉及尸片•尸工的关系式利用基本不等式,建立不等关系.
易错提醒:圆锥曲线的率的范围是有限定的,椭圆的离心率范围是ee(O,l),而双曲线的离心率范围是
(1,+a)),在求范围的时候要时刻注意.
叁举一反三
22
1.(24-25高三上•北京•期中)椭圆—+多=1(。>6>0)上存在一点p满足片尸_L巴尸,耳鸟分别为椭圆的
ab
左右焦点,则椭圆的离心率的范围是()
A.(0,1]B.(0当C.[1,D0.[争)
22
2.(2024.全国•模拟预测)在平面直角坐标系xOv中,已知双曲线♦-4=1(。>0,6>0)左、右顶点为A,B,
若该双曲线上存在点P,使得尸4尸8的斜率之和为1,则该双曲线离心率的范围为()
2222
3.(23-24高三上.河北邢台.期末)设椭圆=+1=l(a>/,>0)与双曲线与一3=1,若双曲线的一条渐近
abab
线的斜率大于好,则椭圆的离心率e的范围是____.
2
,易错题通关
丫2v?Tt
1.(2021•黑龙江哈尔滨.三模)双曲线C:号一2=1(a>0,&>0)右焦点为歹2,过F?倾斜角为彳的直
线与双曲线右支交于A,B两点,则双曲线离心率的范围为()
A.(1,72)D.[I"
22
2.(23-24高二上.湖南郴州.期末)已知耳,月是椭圆C:=+A=l(a>0>0)的两个焦点,点”在C上,若
ab
使鸟为直角三角形的点M有8个,则C的离心率的范围是()
D-
6>0)的右焦点为尸,P、Q是椭圆上关于原点对
称的两点,M、N分别是P2。尸的中点,若以跖V为直径的圆过原点,则椭圆的离心率e的范围是.
22
4.(23-24高二上•云南昆明•期末)已知双曲线=1的焦点在y轴上,则离心率e的范围为_______
m-24-m
丫2V23
5.(24-25高二上•辽宁大连•期中)已知双曲线「-与=1伍>0,6>0)的渐近线方程为了=土;x,则其离心
ab4
率为.
22
6.(23-24高二上.江西南昌・期中)设小尸2是椭圆G:=+七=1(4>伪>0)与双曲线
a{
22
02:三-2=13>。也>0)的公共焦点,曲线C-G在第一象限内交于点“,N不鸣=90。,若椭圆的
a2b2
离心率6e,则双曲线的离心率的范围是
22
7.(24-25高三上•湖北•阶段练习)已知VA3C是椭圆三+3=l(a>b>0)的内接三角形,其中原点。是
ab
VABC的重心,若点A的横坐标为且a,直线3C的倾斜角为:兀,则椭圆的离心率为___.
__________2_6
易错点04:求轨迹方程时忽略变量的取值范围
,易错陷阱与避错攻略
典例(24-25高二上•河南平顶山•阶段练习)在平面直角坐标系中,已知VA5C的顶点4(-2,0),3(2,0),其
内切圆圆心在直线x=l上,则顶点C的轨迹方程为()
222
A.--一^-=l(x>1)B.x2-^-=l(x>l)
453
2222
C.—+^=1(0<X<1)D.—+^=1(O<X<1)
9594
【答案】B
【分析】根据三角形内切圆的性质,结合双曲线的定义,可得答案.
【详解】如图,设VABC与圆的切点分别为RE,尸,则有|物=|相=2,忸尸|=|/=1,|C»|=|CF|,所以
|G4|-|CB|=3-1=2.
根据双曲线定义,所求轨迹是以A,8为焦点,实轴长为2的双曲线的右支(右顶点除外),
2
即c=2、。=1,又°2="+62,所以廿=3,所以方程为f一]_=1。>1).
故选:B.
【易错剖析】
本题容易忽略自变量的取值范围而出错而出错.
【避错攻略】
求轨迹方程的方法
1.直接法
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下:
第一步:建系:建立适当的坐标系
第二步:设点:设轨迹上的任一点尸(无,y)
第三步:列式:列出有限制关系的几何等式
第四步:代换:将轨迹所满足的条件用含为y的代数式表示,如选用距离和斜率公式等将其转化为
的方程式化简
注:若求动点的轨迹,则不但要求出动点的轨迹方程,还要说明轨迹是什么曲线.
2.定义法
根据动点满足的几何条件判断出轨迹的类型,然后求出轨迹方程.
3.相关点法
如果动点尸的运动是由另外某一点p的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知
曲线方程),则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点p的坐标,然后把p的坐标代入已知曲线方程,
即可得到动点尸的轨迹方程.
4.交轨法
在求动点的轨迹方程时,存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常常可以先解方程组得出
交点(含参数)的坐标,再消去参数得出所求轨迹的方程,该方法经常与参数法并用,和参数法一样,通
常选变角、变斜率等为参数.
易错提醒:|求轨迹方程时,要注意准确确定范围,应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件,求出方
程后要考虑相应的限制条件,避免因考虑不全面致错.
举一反三
1.(24-25高三上•湖南邵阳•阶段练习)一动圆P过定点Af(-3,0),且与己知圆N:+/=16外切,
则动圆圆心尸的轨迹方程是()
丫2d丫2丫2
A.--y=1(-^^2)B.—+^=l(x>^
C.y-^-=l(%<-2)D.^+y=l(%<-2)
2.(24-25高二上•湖南长沙•期中)已知4,8两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线相交于点M,且
直线AM的斜率与直线3M的斜率的差是2,则点M的轨迹方程为()
A.^=-x2+l(x^±l)
B.y=d+i(xw±i)
C.x=-y2+l(y^±1)
D.%=/+1("±1)
3.(24-25高三上•山东滨州•阶段练习)已知VABC的顶点A(3,0),5(-3,0),且周长为16,求顶点。的轨
迹方程.
易错题通关
1.(24-25高二上•福建莆田•期中)己知圆£:(x+3)2+J?=1和圆G:(x_3)2+丁=9,动圆M同时与圆G及
圆a相外切,则动圆圆心”的轨迹方程是()
22
A.—+/=1B.元2+匕=i
88
22
C.---V2=l(x>l)D.x2-^=l(x<-l)
88
22
2.(24-25高三上•山东青岛•阶段练习)已知椭圆C:土+匕=1,从C上任意一点尸向》轴作垂线段PP',P为
164
垂足,则线段PP的中点M的轨迹方程为()
2222
A.1^+Y=l(xwO)B.%2+y2=4(x^0)C.^-+^-=1(x^0)D.x2+y2=8(x*0)
3.(24-25高二上•江苏南通•阶段练习)在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(2,0),动点C和。分别位于>
正半轴和负半轴上,若|OC|-|8|=1,则AC和的交点Af的轨迹方程为()
A.国+闻=4(,彳0)B.x2+y2=4(y^0)
c.3+y2=i("0)D.-^-y1=1(J*0)
4.(24-25高三上•广东•开学考试)(多选)设A8两点的坐标分别是(T,0),(1,o),直线AM,8M相交于点M,
设直线A"、2M的斜率分别为心包,下列说法正确的是()
4
A.当%#2=-§时,点”的轨迹是椭圆的一部分
4
B.当左他=§时,点M的轨迹是双曲线的一部分
C.当勺-&=2时,点"的轨迹是抛物线的一部分
D.当仁+&=2时,点Af的轨迹是椭圆的一部分
5.(2024高三・全国・专题练习)在平面直角坐标系xOy中,曲线C上的点到点耳(-2,0),乙(2,0)的距离之
积为定值彳(彳>0),且曲线C经过坐标原点,若点尸(为,%)为曲线C上一点,则()
A.曲线C的方程为y+力2=4卜2-力
B.点卜20,0)在曲线C上
C.0<|J0|<1
D.看+y;e[0,8]
6.(24-25高三上•全国•课后作业)已知0知:/+2苫+;/-35=0,过点N(l,0)且斜率不为零的直线/交
于A,8两点,过点N作NC〃4W交于C,贝U|CW|+|CN|=;点C的轨迹方程为
7.(24-25高二上・江苏南通•阶段练习)己知点。(2,-12)是椭圆的一个焦点,且椭圆经过4(-7,0),3(7,0)两
点,则椭圆的另一个焦点O的轨迹方程为一.
8.(24-25高二上•上海•期中)已知平面直角坐标系中8(—2,0)、C(2,0).若A为动点且满足|相|-卜。=g忸。,
则动点A的轨迹方程为.
\DM\3
9.(24-25高二上•江苏南通•阶段练习)如图,OP1.X轴,垂足为。,点河在。P的延长线上,且王才=5,
当点?在圆炉+尸=4上运动时,点M的轨迹方程为.
题型二:直线与圆锥曲线的位置关系
易错点05:直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错
,易错陷阱与避错攻略
典例(2024.四川南部县模拟)过点P(3,l)作直线1与抛物线/=-4.r只有一个交点,这样的直线/有
________条()
A.1B.2
C.3D.4
【答案】C
【解析】当直线/斜率不存在时,I:尤=3,与抛物线无交点,不合题意;
,满足题意;
当直线/斜率为零时,/:y=l,与抛物线有且仅有一个交点—,1j
当直线/斜率不为零时,x—3=]。-1),
K.
即x=((y—i)+3,
尤=7■(厂1)+3,
由,k'得4+⑥+12%—4=0,
J2=14X
贝II/=16—4612々-4)=0,解得左」1t,
满足题意的直线/有两条;
综上所述,过点P(3,l)与抛物线y2=-4x只有一个交点的直线/有3条.
【易错剖析】
本题容易忽略对斜率不存在、二次方程的二次项系数是否为零的讨论.
【避错攻略】
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离;相交有两个交点(特殊情况除外),相切有一个交点,
相离无交点.
(2)判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线I的方程Ax+By+C=O代入圆锥曲线C的方
程.消去y(或X)得到一个关于变量x(或y)的方程或a^+by+c^O).
①当今0时,可考虑一元二次方程的判别式/,有/>0时,直线/与曲线C相交;/=0时,直线/与
曲线C而相切;/<0时,直线/与曲线C相离.
②当。=0时,即得到一个一次方程,贝也与C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线
/与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线,则直线/与抛物线的四对称轴平行或重合.
2.圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(xi,?),8(X2,>2),则\AB\=—十改|尤i—x2|=
■\l(1+严)[〈Xl+X2)2—4X1X21或|AB|=yj1+力yi―,2l
=yj(1+为[⑴+m)2—4yM,左为直线斜率且以o.
易错提醒:在判断直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或X)
的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需
讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,只有二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不存在的情形.
举一反三
1.(24-25高三上•北京•阶段练习)若直线/:,=左(》-2)与双曲线C:9=1恰好有一个交点,则直线/的
斜率的所有可能值为.
2.(24-25高二上•河南南阳•阶段练习)(多选)已知直线/:y^kx+1,双曲线C:/-V=1.以下说法正确
的是()
A.当左=0时,直线/与双曲线只有一个公共点
B.直线/与双曲线只有一个公共点时,kf或-叵
C.当上<-0或左,应时,直线/与双曲线没有公共点
D.当-0<女<后时,直线/与双曲线有两个公共点
2
3.(243高三上广东广州•阶段练习)已知椭圆C:人与=|,直线/:>=%+根,若椭圆c上存在两点关
于直线/对称,则根的取值范围是()
(42变](42克]
A.B.C.D.
一丁彳33J4'4
777
易错题通关
1.(24-25高三上•北京•阶段练习)过点(1,4)且与抛物线V=4x恰有一个公共点的直线的条数为()
A.0B.1C.2D.3
22
2.(24-25高二上・北京•阶段练习)设直线/:>=兀+加与椭圆氏±+匕=1相交于A、3两点,当相变化时,
43
线段A5的中点所在的直线方程为()
434
A.y=-xB.y=x
3
34
C.y=——xD.y=——x
43
3.(24-25高二上•广西北海•期中)(多选)若直线/与双曲线£-9
1的左、右两支各有一个交点,贝IJ/的
315
方程可以是()
A.y=45x+lB.y=x+lC.y=3xD.y—5/2%+5/2^-1
2
4.(24-25高三上・北京・期末)直线y=%(x-3)与双曲线亍-y21的右支只有一个公共点,则上的取值范围
为一
丫2V21
5.(24-25高二上•陕西西安•阶段练习)双曲线於-3二1与直线/:》=-耳光+根(MER)的公共点个数
22_
6.(24-25高三上.陕西汉中•阶段练习)已知椭圆区会+方=1(">10)的长轴长是短轴长的&倍,且椭圆E
经过点(0,1).
⑴求椭圆E的标准方程;
(2)直线/:y=Mx-2)交椭圆E于M,N两点,若线段"N中点的横坐标为:,求直线/的方程.
7.已知直线/:y=2x+m,椭圆C:了+2=1.试求当切取何值时,直线/与椭圆C:
(1)有两个不同的公共点;
(2)有且只有一个公共点.
8.对称轴都在坐标轴上的双曲线过点(括,2),(2,-"),斜率为Z的直线/过点P(l,1).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线/与双曲线有两个交点,求斜率左的取值范围;
(3)是否存在实数%使得直线/与双曲线交于A,B两点,且点尸恰好为AB中点?为什么?
易错点06:混淆“焦点弦”和“非焦点弦”
,易错陷阱与避错攻略
典例(24-25高三上•山东青岛•阶段练习)顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2*-、+1=0所得弦长为至
的抛物线方程为_______________
【答案】9=12%或>2=_软
【详解】设所求抛物线方程为丁=奴(0*0)①,直线方程变形为y=2x+l②.
设直线与抛物线交于A,B两点,将②代入①整理得
+(4—a)x+l=0,贝U|A同=+2?)["4—4x-^-=^/15.
解得。=12或a=T.故所求抛物线方程为I?=12x或丁=_4x.
【易错剖析】
本题容易忽略斜率不存在的情况而造成漏解.
【避错攻略】
斜率为6左。0)直线/与抛物线交于A&,%),5(%,%)两点,若求弦\^\的长•
(1)一般弦长公式:=Jl+k?.卜]=J1+:-.
(2)焦点弦长:设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(5,%),B8,%),则弦长
\AB\=\AF\+\BF\=xl+x2+p.
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