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文档简介

专题09圆锥曲线

目录

题型一:圆锥曲线方程

易错点01忽略圆锥曲线定义中的限制条件

易错点02忽略圆锥曲线焦点的位置

易错点03求离心率范围时忽略离心率本身范围

易错点04求轨迹方程时忽略变量的取值范围

题型二:直线与圆锥曲线的位置关系

易错点05直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错

易错点06混淆“焦点弦”和“非焦点弦”

易错点07恒成立意义不明导致定点问题错误

题型一:圆锥曲线方程

易错点01:忽略圆锥曲线定义中的限制条件

般易错陷阱与避错攻略

典例4(24-25高三上•陕西榆林•期中)已知小瑞是平面内两个不同的定点,则“帆周-幽可为定直,是“动

点M的轨迹是双曲线''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】若帆4阴=°,则|5|=|加闻,此时,点M的轨迹是线段招入的垂直平分线,

所以,"帜耳I-为定值"n“动点M的轨迹是双曲线”;

若动点M的轨迹是双曲线,贝3班|-|“或为定值,

所以,“峥|-|“玛I为定值"u“动点M的轨迹是双曲线

因此,』吗|-阿以为定直,是“动点〃的轨迹是双曲线”的必要不充分条件

故选:B.

【易错剖析】

在解题时容易双曲线中定义中帜耳|-惘矶=2a<2c=|耳闾这一限制条件而错选C.

【避错攻略】

1、椭圆的定义

(1)定义:把平面内与两个定点B,&的距离的和等于常数(大于1HBI)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定

点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.

(2)几何表示:|MPi|+|MB|=2a(常数)且2a>\FiF2\.

【解读】在椭圆定义中,必须2a>吗/2|,这是椭圆定义中非常重要的一个条件;当2a=回巳|时,点的

轨迹是线段当2a<尸1BI时,动点轨迹不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这

一隐含的条件.

2、双曲线的定义

(1)定义:平面内与两个定点Fi,B的距离的差的绝对值等于非零常数(小于尸i&l)的点的轨迹叫双曲

线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距,焦距的一半称为半焦距.

⑵几何表示:IIMRI—阿巳||=2。(常数)(24<吗均).

【解读】(1)常数要小于两个定点的距离.

(2)如果没有绝对值,动点的轨迹表示双曲线的一支.

(3)当2a=|品&|时,动点的轨迹是以出为端点的两条方向相反的射线(包括端点).

⑷当2a>|尸1凡|时,动点的轨迹不存在.

3.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线/(/不经过点用的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线

的焦点,直线/叫做抛物线的准线.

【解读】(1)“一动三定”:一动点加;一定点F(即焦点);一定直线/(即准线);一定值1(即动点M到定

点尸的距离与到定直线/的距离之比为1).

(2)定义中,要注意强调定点厂不在定直线/上.当直线/经过点尸时,点的轨迹是过定点F且垂直于

定直线/的一条直线.

易错提醒:在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时,一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件,如

椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数;双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差

的绝对值是小于焦距的常数;二抛物线则要满足定点不在定直线上.

举一反三

1.(24-25高二上•北京•阶段练习)下列说法正确的个数是()

①动点尸(羽V)满足JY+。一2)2+旧+(y+2)2=4,则P的轨迹是椭圆

②动点尸(X,y)满足旧+(y一2)2+J尤2+(y+2)2=5,则P的轨迹是双曲线

③动点尸(x,y)满足到y轴的距离比到尸(L0)的距离小1,则P的轨迹是抛物线

④动点尸(x,y)满足Q一2)+丫2一5=o,则P的轨迹是圆和一条直线()

A.0B.1C.2D.3

2.(2025高三.全国.专题练习)已知点A(0,2),B(0,-2),C(3,2),若动点M(x,y)满足|肱1|+|AC=|MB|+怛C|

则点M的轨迹方程为()

A.9_?=]B.=l(y<-l)

22

C.尤2-上=1D.x2-^=l(x<-l)

33v7

3.(2024•陕西西安・一模)平面上动点M到定点尸(3,0)的距离比M到y轴的距离大3,则动点M满足的方

程为.

■易错题通关.

22

1.(24-25高三上•广西•阶段练习)已知圆Q:(x+3)+/=81和C2:(x-3)+/=1,若动圆P与圆G内切,

同时与圆G外切,则该动圆圆心的轨迹方程为()

.x2y20尤2y2]„x2y2.cx?/1

A.——+—=1B.—+—=1C.—+—=1D.——+—=1

1672592516169

2.(2024・安徽池州・二模)已知圆O:V+=4和两点A(-m,0)0)(m>0),P为圆。所在平面内的动点,

记以PA为直径的圆为圆以PB为直径的圆为圆N,则下列说法一定正确的是()

A.若圆"与圆。内切,则圆N与圆。内切

B.若圆M与圆0外切,则圆N与圆。外切

C.若〃2=1,且圆M与圆。内切,则点尸的轨迹为椭圆

D.若根=3,且圆M与圆0外切,则点P的轨迹为双曲线

3.(24-25高二上.全国•课后作业)已知点4(-1,0),3(1,0),动点P(x,y)满足|刑+|冏=1,则动点尸的轨

迹是()

A.椭圆B.直线C.线段D.不存在

4.(24-25高三下•全国•课后作业)动点”(无,。满足方程5/x-l)2+(y-2)2=|3x+4y+12],则点M的轨迹

是()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

5.(24-25高二上•黑龙江•期中)(多选)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2,0),B(2,0),尸是一个动

点,则()

A.若|胡+归却=6,则点尸的轨迹为椭圆

B.若41Tp同=2,则点尸的轨迹为双曲线

c.^\PA+PB\=\PA-PB\,则点尸的轨迹为直线

D.若网=2阀,则点尸的轨迹为圆

6.(2024.河北.模拟预测)(多选)已知平面内点A(-l,0),8(1,0),点尸为该平面内一动点,则()

A.|上4|+|依|=4,点P的轨迹为椭圆B.|上4|-|尸目=1,点P的轨迹为双曲线

C.|以卜|?狎=1,点尸的轨迹为抛物线D.谒=2,点尸的轨迹为圆

7.(2025高三・全国・专题练习)在平面直角坐标系xOv中,已知点日一后,0)、0MM周一|班|=2,

点M的轨迹为C,则C的方程为.

8.(24-25高三下•湖北荆州•开学考试)已知动点M(x,y)到定点尸(1,0)与定直线》=0的距离的差为1.则动

点M的轨迹方程为.

易错点02:忽略圆锥曲线焦点的位置

,易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高三上•江苏无锡・期中)求长轴长是短轴长的3倍,且过点(3,-1)的椭圆的标准方程()

——+—=1

B.8282

182

9

C.《+匚1或专+服=1

D.二1

182y93

【答案】c

【分析】分析可知,。=36,对椭圆的焦点位置进行分类讨论,将点的坐标代入椭圆方程,求出〃的值,即

可得出椭圆的标准方程.

【详解】由题意可知,a-3b,

22

若椭圆的焦点在X轴上,则椭圆的标准方程为器+51,

将点的坐标代入椭圆方程可得舒9+我1=1,解得从=2,

22

此时,椭圆的标准方程为二+匕=1;

182

22

若椭圆的焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为二+二=i,

9b?b2

1QQO

将点的坐标代入椭圆方程可得本+2=1,解得k,

此时,椭圆的标准方程为会十麦"

22

综上所述,椭圆的标准方程为三r+乙v=1或82+—82-1.

182§

故选:C.

【易错剖析】

本题容易忽略对椭圆焦点位置的讨论而漏解.

【避错攻略】

1.椭圆的标准方程

焦点在X轴上焦点在y轴上

2222

标准方程^r+^=vl(a>b>0)^v+^r=l(a>b>0)

焦点(-C,0)与(c,0)(0,一c)与(0,c)

a,b,c的关系c2=a2—b2

【解读】(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原

点,椭圆的对称轴为坐标轴.

2222

(2)两种椭圆琶=1,京+标=1(。>6>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2

+,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.

(31项和尸项谁的分母大,焦点就在谁的轴上.

2.双曲线的标准方程

焦点位置焦点在X轴上焦点在y轴上

图形,23

4

标准方程京一泊1s0,6>0)^-^=l(a>0,6>0)

焦点坐标Fi(-c,0),F2(C,0)Fi(0)-c:,F2(0,C)

a,b,c的关系c1=a2+b2

【解读】(1)焦点Fl,尸2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项

走”,若f项的系数为正,则焦点在X轴上;若V项的系数为正,那么焦点在y轴上,即f,y2的系数异

号.

⑵标准方程中的两个参数。和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线定形的条件,注意这里的〃

一/与椭圆中的〃=〃一/相区别.其中c>a,c>%,而a,b无大小要求.

3.抛物线的标准方程

图形标准方程焦点坐标准线方程

y2=2px(p>0)碓,o)X=~~

12

y1=-2px(p>0)心,0x=-

I)2

j^=2py(p>0)y=~-

工J2

y

j^=~2py(p>0)《0—y=-

V)/2

【解读】(1)只有抛物线的顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上时,抛物线才具有标准形式.

(2)标准方程的特征:等号的一边是某个变量的平方,等号的另一边是另一个变量的一次单项式.

⑶抛物线标准方程中参数p的几何意义:抛物线的焦点到准线的距离.

(4)焦点在一次项变量对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时,开口向坐标轴

的正方向;当系数为负时,开口向坐标轴的负方向.

易错提醒:由于建系的方案不同,三种圆锥曲线的标准方程是不同的,椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两

种情况,二抛物线则有四种方程,故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时,一定要先定位,即分析焦点位

置,不确定要讨论,在定量,即求a,4c或p的值.

举一反三

1.(24-25高二上•天津和平・期末)已知双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,实轴长为2,则双曲线C的标

准方程为()

V-1

A.------1B.X2

~416

222

C.一匕=1或匕一炉=1D.X2=-4x2=]

~4164

2.(24-25高三上•四川雅安•诊断测试)已知椭圆反+且=1的离心率为左,则匹=()

mn2m

C.4或5D.g或2

A.2B-z

3.(24-25高三上•陕西宝鸡・期末)顶点在原点,且过点(-2,4)的抛物线的标准方程是

易错题通关

1.(2025高三・全国・专题练习)已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,且过点尸(一5,4),Q(0,6),

则椭圆的方程为()

2222

AA.——%+—y=1iB.工+匕=1

45363645

22

c+=1D.工+匕=1

-^i?3625

2.(24-25高二上•河北衡水•期末)过点(2,2)且与椭圆9/+3/=27有相同焦点的双曲线方程为()

AfB9♦D.21

686824

y2

3.(23-24高三下.安徽・期末)已知双曲线C:工-=1,则=3”是“双曲线C的离心率为旧”的()

m"i+3

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.(24-25高三上•河南•阶段练习)顶点在原点,关于>轴对称,并且经过点的抛物线方程为()

211

A.y=­xB.J2——XC.x2=4yD.X2=-4y

44

5.(24-25高三上•山西太原•阶段练习)已知椭圆C:工+>2=1,则"=2”是“椭圆C的离心率为变”的()

m2

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

22

6.(24-25高三上•上海杨浦•阶段练习)与椭圆工+乙=1有相等的焦距,且过圆丁+/一6彳一8丁=0的圆心

6338

的椭圆的标准方程为.

7.(23-24高二上.江苏南通・期末)写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为.

①实轴长为4;②渐近线方程为,=±2》

8.(2024•陕西榆林•二模)已知抛物线C经过点4(3,3),写出C的一个标准方程:.

9.(24-25高二上•江苏盐城•阶段练习)分别求符合下列条件的椭圆的标准方程:

22

(1)过点尸(-3,2),且与椭圆]+5=1有相同的焦点.

(2)经过两点(2,-虚),.

易错点03:求离心率范围时忽略离心率本身范围

,易错陷阱与避错攻略

22

典例(24-25高三上•山东滨州•阶段练习)设耳耳分别为椭圆C:,+3=l(a>b>0)的左、右焦点,M在

cib

椭圆上运动时,至少有两个位置使得叫,M7"则椭圆C的离心率范围是.

【答案】[孝,1]

【分析】探求动点M的轨迹,找出a,b,c满足的不等关系,再转化为离心率解之即可.

【详解】因为动点M满足班,班,所以加在以耳耳为直径的圆上.

又因为M在椭圆上运动时,至少有两个位置使得加耳^MF2,

所以,

则〃<,<〃,即

同除/得l-e24/<l,解之得变Ve<l.

2

故答案为:[#』]

【易错剖析】

本题容易忽略椭圆的离心率满足(0,1)这一范围而出错.

【避错攻略】

求离心率范围的方法

技巧1:建立关于«和C的一次或二次方程与不等式.

技巧2:利用线段长度的大小建立不等关系.£,鸟为椭圆二+/=1(.>6>0)的左、右焦点,p为椭

圆上的任意一点,\PF^[a-c,a+cy耳,名为双曲线工一与=1(。>(),6>0)的左、右焦点,/>为双曲线上

a2b2

的任一点,\PFx\>c-a.

技巧3:利用角度长度的大小建立不等关系.小居为椭圆£+工=1的左、右焦点,尸为椭圆上的动

a2b1

点,若ZRPFz=e,则椭圆离心率e的取值范围为sin?4e<l.

技巧4:利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系.

技巧5:涉及尸片•尸工的关系式利用基本不等式,建立不等关系.

易错提醒:圆锥曲线的率的范围是有限定的,椭圆的离心率范围是ee(O,l),而双曲线的离心率范围是

(1,+a)),在求范围的时候要时刻注意.

叁举一反三

22

1.(24-25高三上•北京•期中)椭圆—+多=1(。>6>0)上存在一点p满足片尸_L巴尸,耳鸟分别为椭圆的

ab

左右焦点,则椭圆的离心率的范围是()

A.(0,1]B.(0当C.[1,D0.[争)

22

2.(2024.全国•模拟预测)在平面直角坐标系xOv中,已知双曲线♦-4=1(。>0,6>0)左、右顶点为A,B,

若该双曲线上存在点P,使得尸4尸8的斜率之和为1,则该双曲线离心率的范围为()

2222

3.(23-24高三上.河北邢台.期末)设椭圆=+1=l(a>/,>0)与双曲线与一3=1,若双曲线的一条渐近

abab

线的斜率大于好,则椭圆的离心率e的范围是____.

2

,易错题通关

丫2v?Tt

1.(2021•黑龙江哈尔滨.三模)双曲线C:号一2=1(a>0,&>0)右焦点为歹2,过F?倾斜角为彳的直

线与双曲线右支交于A,B两点,则双曲线离心率的范围为()

A.(1,72)D.[I"

22

2.(23-24高二上.湖南郴州.期末)已知耳,月是椭圆C:=+A=l(a>0>0)的两个焦点,点”在C上,若

ab

使鸟为直角三角形的点M有8个,则C的离心率的范围是()

D-

6>0)的右焦点为尸,P、Q是椭圆上关于原点对

称的两点,M、N分别是P2。尸的中点,若以跖V为直径的圆过原点,则椭圆的离心率e的范围是.

22

4.(23-24高二上•云南昆明•期末)已知双曲线=1的焦点在y轴上,则离心率e的范围为_______

m-24-m

丫2V23

5.(24-25高二上•辽宁大连•期中)已知双曲线「-与=1伍>0,6>0)的渐近线方程为了=土;x,则其离心

ab4

率为.

22

6.(23-24高二上.江西南昌・期中)设小尸2是椭圆G:=+七=1(4>伪>0)与双曲线

a{

22

02:三-2=13>。也>0)的公共焦点,曲线C-G在第一象限内交于点“,N不鸣=90。,若椭圆的

a2b2

离心率6e,则双曲线的离心率的范围是

22

7.(24-25高三上•湖北•阶段练习)已知VA3C是椭圆三+3=l(a>b>0)的内接三角形,其中原点。是

ab

VABC的重心,若点A的横坐标为且a,直线3C的倾斜角为:兀,则椭圆的离心率为___.

__________2_6

易错点04:求轨迹方程时忽略变量的取值范围

,易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高二上•河南平顶山•阶段练习)在平面直角坐标系中,已知VA5C的顶点4(-2,0),3(2,0),其

内切圆圆心在直线x=l上,则顶点C的轨迹方程为()

222

A.--一^-=l(x>1)B.x2-^-=l(x>l)

453

2222

C.—+^=1(0<X<1)D.—+^=1(O<X<1)

9594

【答案】B

【分析】根据三角形内切圆的性质,结合双曲线的定义,可得答案.

【详解】如图,设VABC与圆的切点分别为RE,尸,则有|物=|相=2,忸尸|=|/=1,|C»|=|CF|,所以

|G4|-|CB|=3-1=2.

根据双曲线定义,所求轨迹是以A,8为焦点,实轴长为2的双曲线的右支(右顶点除外),

2

即c=2、。=1,又°2="+62,所以廿=3,所以方程为f一]_=1。>1).

故选:B.

【易错剖析】

本题容易忽略自变量的取值范围而出错而出错.

【避错攻略】

求轨迹方程的方法

1.直接法

利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下:

第一步:建系:建立适当的坐标系

第二步:设点:设轨迹上的任一点尸(无,y)

第三步:列式:列出有限制关系的几何等式

第四步:代换:将轨迹所满足的条件用含为y的代数式表示,如选用距离和斜率公式等将其转化为

的方程式化简

注:若求动点的轨迹,则不但要求出动点的轨迹方程,还要说明轨迹是什么曲线.

2.定义法

根据动点满足的几何条件判断出轨迹的类型,然后求出轨迹方程.

3.相关点法

如果动点尸的运动是由另外某一点p的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知

曲线方程),则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点p的坐标,然后把p的坐标代入已知曲线方程,

即可得到动点尸的轨迹方程.

4.交轨法

在求动点的轨迹方程时,存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常常可以先解方程组得出

交点(含参数)的坐标,再消去参数得出所求轨迹的方程,该方法经常与参数法并用,和参数法一样,通

常选变角、变斜率等为参数.

易错提醒:|求轨迹方程时,要注意准确确定范围,应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件,求出方

程后要考虑相应的限制条件,避免因考虑不全面致错.

举一反三

1.(24-25高三上•湖南邵阳•阶段练习)一动圆P过定点Af(-3,0),且与己知圆N:+/=16外切,

则动圆圆心尸的轨迹方程是()

丫2d丫2丫2

A.--y=1(-^^2)B.—+^=l(x>^

C.y-^-=l(%<-2)D.^+y=l(%<-2)

2.(24-25高二上•湖南长沙•期中)已知4,8两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线相交于点M,且

直线AM的斜率与直线3M的斜率的差是2,则点M的轨迹方程为()

A.^=-x2+l(x^±l)

B.y=d+i(xw±i)

C.x=-y2+l(y^±1)

D.%=/+1("±1)

3.(24-25高三上•山东滨州•阶段练习)已知VABC的顶点A(3,0),5(-3,0),且周长为16,求顶点。的轨

迹方程.

易错题通关

1.(24-25高二上•福建莆田•期中)己知圆£:(x+3)2+J?=1和圆G:(x_3)2+丁=9,动圆M同时与圆G及

圆a相外切,则动圆圆心”的轨迹方程是()

22

A.—+/=1B.元2+匕=i

88

22

C.---V2=l(x>l)D.x2-^=l(x<-l)

88

22

2.(24-25高三上•山东青岛•阶段练习)已知椭圆C:土+匕=1,从C上任意一点尸向》轴作垂线段PP',P为

164

垂足,则线段PP的中点M的轨迹方程为()

2222

A.1^+Y=l(xwO)B.%2+y2=4(x^0)C.^-+^-=1(x^0)D.x2+y2=8(x*0)

3.(24-25高二上•江苏南通•阶段练习)在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(2,0),动点C和。分别位于>

正半轴和负半轴上,若|OC|-|8|=1,则AC和的交点Af的轨迹方程为()

A.国+闻=4(,彳0)B.x2+y2=4(y^0)

c.3+y2=i("0)D.-^-y1=1(J*0)

4.(24-25高三上•广东•开学考试)(多选)设A8两点的坐标分别是(T,0),(1,o),直线AM,8M相交于点M,

设直线A"、2M的斜率分别为心包,下列说法正确的是()

4

A.当%#2=-§时,点”的轨迹是椭圆的一部分

4

B.当左他=§时,点M的轨迹是双曲线的一部分

C.当勺-&=2时,点"的轨迹是抛物线的一部分

D.当仁+&=2时,点Af的轨迹是椭圆的一部分

5.(2024高三・全国・专题练习)在平面直角坐标系xOy中,曲线C上的点到点耳(-2,0),乙(2,0)的距离之

积为定值彳(彳>0),且曲线C经过坐标原点,若点尸(为,%)为曲线C上一点,则()

A.曲线C的方程为y+力2=4卜2-力

B.点卜20,0)在曲线C上

C.0<|J0|<1

D.看+y;e[0,8]

6.(24-25高三上•全国•课后作业)已知0知:/+2苫+;/-35=0,过点N(l,0)且斜率不为零的直线/交

于A,8两点,过点N作NC〃4W交于C,贝U|CW|+|CN|=;点C的轨迹方程为

7.(24-25高二上・江苏南通•阶段练习)己知点。(2,-12)是椭圆的一个焦点,且椭圆经过4(-7,0),3(7,0)两

点,则椭圆的另一个焦点O的轨迹方程为一.

8.(24-25高二上•上海•期中)已知平面直角坐标系中8(—2,0)、C(2,0).若A为动点且满足|相|-卜。=g忸。,

则动点A的轨迹方程为.

\DM\3

9.(24-25高二上•江苏南通•阶段练习)如图,OP1.X轴,垂足为。,点河在。P的延长线上,且王才=5,

当点?在圆炉+尸=4上运动时,点M的轨迹方程为.

题型二:直线与圆锥曲线的位置关系

易错点05:直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错

,易错陷阱与避错攻略

典例(2024.四川南部县模拟)过点P(3,l)作直线1与抛物线/=-4.r只有一个交点,这样的直线/有

________条()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】当直线/斜率不存在时,I:尤=3,与抛物线无交点,不合题意;

,满足题意;

当直线/斜率为零时,/:y=l,与抛物线有且仅有一个交点—,1j

当直线/斜率不为零时,x—3=]。-1),

K.

即x=((y—i)+3,

尤=7■(厂1)+3,

由,k'得4+⑥+12%—4=0,

J2=14X

贝II/=16—4612々-4)=0,解得左」1t,

满足题意的直线/有两条;

综上所述,过点P(3,l)与抛物线y2=-4x只有一个交点的直线/有3条.

【易错剖析】

本题容易忽略对斜率不存在、二次方程的二次项系数是否为零的讨论.

【避错攻略】

1.直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离;相交有两个交点(特殊情况除外),相切有一个交点,

相离无交点.

(2)判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线I的方程Ax+By+C=O代入圆锥曲线C的方

程.消去y(或X)得到一个关于变量x(或y)的方程或a^+by+c^O).

①当今0时,可考虑一元二次方程的判别式/,有/>0时,直线/与曲线C相交;/=0时,直线/与

曲线C而相切;/<0时,直线/与曲线C相离.

②当。=0时,即得到一个一次方程,贝也与C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线

/与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线,则直线/与抛物线的四对称轴平行或重合.

2.圆锥曲线的弦长公式

设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(xi,?),8(X2,>2),则\AB\=—十改|尤i—x2|=

■\l(1+严)[〈Xl+X2)2—4X1X21或|AB|=yj1+力yi―,2l

=yj(1+为[⑴+m)2—4yM,左为直线斜率且以o.

易错提醒:在判断直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或X)

的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需

讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,只有二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不存在的情形.

举一反三

1.(24-25高三上•北京•阶段练习)若直线/:,=左(》-2)与双曲线C:9=1恰好有一个交点,则直线/的

斜率的所有可能值为.

2.(24-25高二上•河南南阳•阶段练习)(多选)已知直线/:y^kx+1,双曲线C:/-V=1.以下说法正确

的是()

A.当左=0时,直线/与双曲线只有一个公共点

B.直线/与双曲线只有一个公共点时,kf或-叵

C.当上<-0或左,应时,直线/与双曲线没有公共点

D.当-0<女<后时,直线/与双曲线有两个公共点

2

3.(243高三上广东广州•阶段练习)已知椭圆C:人与=|,直线/:>=%+根,若椭圆c上存在两点关

于直线/对称,则根的取值范围是()

(42变](42克]

A.B.C.D.

一丁彳33J4'4

777

易错题通关

1.(24-25高三上•北京•阶段练习)过点(1,4)且与抛物线V=4x恰有一个公共点的直线的条数为()

A.0B.1C.2D.3

22

2.(24-25高二上・北京•阶段练习)设直线/:>=兀+加与椭圆氏±+匕=1相交于A、3两点,当相变化时,

43

线段A5的中点所在的直线方程为()

434

A.y=-xB.y=­x

3

34

C.y=——xD.y=——x

43

3.(24-25高二上•广西北海•期中)(多选)若直线/与双曲线£-9

1的左、右两支各有一个交点,贝IJ/的

315

方程可以是()

A.y=45x+lB.y=x+lC.y=3xD.y—5/2%+5/2^-1

2

4.(24-25高三上・北京・期末)直线y=%(x-3)与双曲线亍-y21的右支只有一个公共点,则上的取值范围

为一

丫2V21

5.(24-25高二上•陕西西安•阶段练习)双曲线於-3二1与直线/:》=-耳光+根(MER)的公共点个数

22_

6.(24-25高三上.陕西汉中•阶段练习)已知椭圆区会+方=1(">10)的长轴长是短轴长的&倍,且椭圆E

经过点(0,1).

⑴求椭圆E的标准方程;

(2)直线/:y=Mx-2)交椭圆E于M,N两点,若线段"N中点的横坐标为:,求直线/的方程.

7.已知直线/:y=2x+m,椭圆C:了+2=1.试求当切取何值时,直线/与椭圆C:

(1)有两个不同的公共点;

(2)有且只有一个公共点.

8.对称轴都在坐标轴上的双曲线过点(括,2),(2,-"),斜率为Z的直线/过点P(l,1).

(1)求双曲线的标准方程;

(2)若直线/与双曲线有两个交点,求斜率左的取值范围;

(3)是否存在实数%使得直线/与双曲线交于A,B两点,且点尸恰好为AB中点?为什么?

易错点06:混淆“焦点弦”和“非焦点弦”

,易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高三上•山东青岛•阶段练习)顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2*-、+1=0所得弦长为至

的抛物线方程为_______________

【答案】9=12%或>2=_软

【详解】设所求抛物线方程为丁=奴(0*0)①,直线方程变形为y=2x+l②.

设直线与抛物线交于A,B两点,将②代入①整理得

+(4—a)x+l=0,贝U|A同=+2?)["4—4x-^-=^/15.

解得。=12或a=T.故所求抛物线方程为I?=12x或丁=_4x.

【易错剖析】

本题容易忽略斜率不存在的情况而造成漏解.

【避错攻略】

斜率为6左。0)直线/与抛物线交于A&,%),5(%,%)两点,若求弦\^\的长•

(1)一般弦长公式:=Jl+k?.卜]=J1+:-.

(2)焦点弦长:设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(5,%),B8,%),则弦长

\AB\=\AF\+\BF\=xl+x2+p.

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