圆热考模型（5种类型+17种模型+模型解读）-2025年中考数学一轮复习（原卷版）

Ay、一rsi

第八早圆

重难点10几何热考题四圆热考模型

（5种类型17种模型+模型解读+专题训练）

【题型汇总】

模型结论：CE=DE,BC^BD,AC=AD

【模型进阶】条件：①AB过圆心0；②CDLAB；③AB平分CD（CD不是直径）④AB平分C4D或C5D.

模型结论：若已知四个条件中的两个，那么可推出另外两个，简称“知二得二”，解题过程中应灵活运用该

定理.

常见辅助线做法（考点）：

1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造RtA,用勾股，求长度；

【补充】在构造RtAODE中，半径0D,弦心距0E,弦长CD,拱高BE四个量知二推二.

2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.

1.（2024•北京・中考真题）如图，。。的直径4B平分弦CD（不是直径）.若AD=35。，则NC=°

2.（2023•浙江衢州•中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽力BCD是矩形.当

餐盘正立且紧靠支架于点A,。时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于cm.

3.（2023・湖南岳阳・中考真题）如图，在。。中，4B为直径，BD为弦，点C为方D的中点，以点C为切点的切

线与力B的延长线交于点E.

（1）若NA=30。,48=6,则四的长是（结果保留兀）；

⑵C=?则冷——•

题型02圆哥定理

1）弦切角模型

条件如图，直线BC与。0相切，线段AB是。。的弦

图示

研

CB

结论弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一

半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数.

1.（2022九年级上•全国・专题练习）如图，直线4。与小4BC的外接圆相切于点A,若4B=60°,贝此C4D等

C.90°D.120°

2.如图，BD为圆。的直径，直线ED为圆。的切线，4C两点在圆上，AC平分NB4D且交BD于F点.若N4DE=

C.116°D.142°

3.如图，已知直线与以A8为直径的半圆相切于点C,NA=28。.

⑴求/ACM的度数；

（2）在上是否存在一点Q,使为什么？

4.(21-22九年级上•山东聊城•期中)顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.如图

①所示：朋切。。于点A,A8是。。的一条弦，/孙B就是。。的一个弦切角.经研究发现：弦切角等于

它夹弧所对的圆周角.根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题.

(1)如图1,阴是。。的切线，A为切点，AC为直径，夹弧所对的圆周角为NC.求证：ZPAB^

ZC.

(2)如图2,用是。。的切线，A为切点，/必2夹弧所对的圆周角为NZ).求证：ZPAB=ZD.

(3)如图3,为半。。的直径，。为圆心，C,。为半。。上两点，过点C作半。。的切线CE交AQ的

延长线于点E,若CELA。，且BC=1,AB=3,求。E的长.

1.(2024・四川乐山•模拟预测)如图，在。。中，弦4B1弦CD,垂足为E,若AE=2,BE=6,DE=3,

则。。的面积是()

C11

A.207rB.137rC.—TTD.—71

44

2.（23-24九年级•江苏•假期作业）如图，在。。中，弦AB、CD相交于点P,且PD<PC.

（2）若P4=3,PB=8,CD=10,求PD.

3.（22-23九年级上•山西忻州•期末）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突

然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等）,

任务：（1）请将上述证明过程补充完整.

根据:

（2）小刚又看到一道课后习题，如图2,AB是。。的弦，P是力B上一点，AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,

4.（2023・河南信阳•三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并

写出证明过程.已知：如图①，弦ZB,CD交于点P,求证:

（2）如图②，已知4B是。。的直径，4B与弦CD交于点P,且4B1CD于点P,过Z）作。。的切线，交B4的

延长线于E,。为切点，若4P=2,。。的半径为5,求4E的长.

/.BCD=ZX,BC=10,BD=6,贝MB的长是（）

B

32SO

A.8B.—C.12D.—

33

2.(22-23九年级上•山西吕梁・期末)阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务.

米勒定理

米勒(1436—1476)是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得

三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作.下面是米勒定理(又称切割线定理)的证明过程

已知：如图1,P4与O。相切于点A,PB与。。相交于点8,C.

求证：PA2=PB-PC.

证明：如图2,连接力C,OA,0C.

为。。的切线，：.0A1PA,."1+42=90。.

"：0A=OC,.\Z2=Z3.

WO+Z.2+Z3=180°,+2Z2=180°.

VAC=AC,:.乙0=2乙B,

(1)请完

(2)应用：如图3,P力是。。的切线，PC经过。。的圆心。，且PB=OB=2,割线PDE交。。于点Q,E,

PE=5,求PD的长.

3.(2024.湖北武汉.模拟预测)阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧

洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书.下

面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比

例中项.即，如图1,,是。。的切线，直线力D为。。的割线，贝•4D.下面是切割线定理的

证明过程(不完整):

连接B。并延长交。。于点E,连接CE、BC.

图2•••AB是。。的切线，0B是O。的半径,

BE是。。的直径，

•••乙BCE=90°().

乙E+乙CBE=90°.

•••乙E=乙CDB(),

•••Z.BAC=Z.DAB,

■■.AABCADB,

_AB_AC

"AD~AB'

AAB2=AC-AD.

任务：

(1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；

(2)如图2,己知4B是o。的直径,4C是o。的切线,4为切点，割线CF与4B于点E,且满足CD:DE-.EF=1:2:1,

AC=8,求48的长.

4)割线定理

类型基础模型模型变形

条件在。0中，弦AB与弦CD的延长线相交于点P,点P在00若从圆外一点P引圆的两条割线PAB和PMN,

且割线PMN经过圆心，r为。0的半径

外

1.如图，PAB为O。的割线，且P2=2B=3,P。交O。于点C,若PC=2,则。。的半径的长为

2.（2021.河南洛阳・二模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离.当直线与圆有两个公

共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线.割线也有一些相关的定理.比如，割线定理：从

圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.下面给出了不完整的定理“证明一”,

请补充完整.

已知：如图①，过。。外一点P作。。的两条割线，一条交。。于4、B点，另一条交。。于C、D点、.

求证：PA-PB=PC-PD.

证明一：连接力。、BC,

：乙4和NC为附所对的圆周角，.

又；NP=NP,.

^PA-PB=PC-PD.

研究后发现，如图②，如果连接AC、BD,即可得到学习过的圆内接四边形4BDC.那么或许割线定理也可

以用圆内接四边形的性质来证明.请根据提示，独立完成证明二.

证明二：连接力C、BD,

3.（23-24九年级下•内蒙古赤峰•阶段练习）旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的

证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例.比

例线段还可以写成等积式，如箸=篇可以写为AB-MN=CD-EF.

新知探究:如图1,0。中,4B,CD是两条相交的弦，交点为尸,（不再添加辅助线）,求证:P力=PC-PD；

类比探究：如图2,尸是。。外一点，PAB,PCD是。。的两条割线，与。。交点分别为A,B,C,。.请

写出PA,PB,PC,PD的等积关系式，并说明理由.

延伸结论：如图2,。。中，点尸是。。外一点，PC是。。的切线，切点为C,P48是过圆心。的一条割线，

交O。于A和B点，请直接写出探究PC,PA,PB之间的数量关系.

题型03四点共圆

四点共圆模型的判定:

图1图2图3

判定方法1：如图1,若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）.

适用范围：题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆.

判定方法2：如图2,同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆.

判定方法3：如图3,若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.

1.（22-23九年级上•河北保定•期末）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边4B重合，其中量角器0

刻度线的端点N与点A重合，射线CP从。I处出发，沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半

圆弧交于点E,第12秒时，点E在量角器上对应的读数是（）

A.18°B.36°C.72°D.144°

2.（202L浙江嘉兴.中考真题）如图，在ZL4BC中，ABAC=90°,AB=AC=5,点。在AC上，且4。=2,点E

是42上的动点，连结DE,点F,G分别是BC,DE的中点，连接2G,FG,当AG=FG时，线段DE长为（）

3.（22-23九年级上•广东深圳•期末）如图，等边△ABC中，AB=6,P为力B上一动点，PD1BC,PE1AC,

则DE最小值为.

4.（2021.湖北随州•中考真题）如图，在RtAABC中，Z.ACB=90°,。为2B的中点,。0平分乙4OC交4c于

点G,OD=OA,BD分别与ZC,OC交于点E,F,连接4D,CD,则器的值为_____；若CE=CF,则条的值

BCOF

为.

5.（2024・上海•模拟预测）如图1,AD,BD分另!］是A4BC的内角ABAC,“BC的平分线且NB4c<90。，过

A作4E14D,交BD延长线于E.

图1图2

(1)CD,EC,求证：A,D,C,E四点共圆;

（2）如图2,若4E=4B,BD-.DE=2:3,求乙4BC的余角的正切值；

（3）若AABC与A/IDE相似，请直接写出ABAC的正弦值以及其对应受里的值.

SLABC

2）定边对定角共圆模型（判定方法2）

1.（2024•浙江金华・二模）如图，ATIBC和ACDE都是等边三角形，AC=4,连接力E,BD,尸为直线4E,BD

的交点，连接CF,当线段BF最长时，CF的值是（）

A.1B.—C.2D.2V3

3

2.（2022.江苏无锡・中考真题）"BC是边长为5的等边三角形，△OCE是边长为3的等边三角形，直线2D

与直线AE交于点?如图，若点。在AA8C内，ZDBC=2O°,则°；现将AOCE绕点C旋转

1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是.

3.（21-22九年级上•福建福州•期中）如图，在即A4BC中，NB4c=90。，zABC=40°,将AABC绕A点顺时

针旋转得到AADE,使。点落在BC边上.

（1）求NBAD的度数；

（2）求证：A、D、B、E四点共圆.

4.（22-23九年级下•福建南平咱主招生）如图，在四边形4BC0中力B=4。=4。=b，且4G1BD,垂足

为G,4G延长线交CD于F,交8C的延长线于E.

（1）求证：A,B,C,尸四点共圆；

（2）求证：4E-4F为定值.

5.（2022•贵州遵义・中考真题）探究与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用

上述结论进行探究.

提出问题：

如图1,在线段4C同侧有两点B,D,连接力D,AB,BC,CD,如果NB=ND,那么力，B,C,D四点在同

一个圆上.

图1

探究展示：

如图2,作经过点力，C,D的O0,在劣弧4C上取一点E（不与A,C重合），连接AE,CE则以EC+=180°

•••^AEC+NB=180°

.••点4B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

.•.点B,。在点力，C,E所确定的。。上（依据2）

.••点4,B,C,E四点在同一个圆上

（1）反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：;依据2：.

（2）图3,在四边形4BCD中，N1=N2,Z3=45°,贝此4的度数为

（3）拓展探究：如图4,已知AABC是等腰三角形，=2C,点。在BC上（不与BC的中点重合），连接40.作

点C关于4D的对称点E,连接EB并延长交AD的延长线于F,连接4E,DE.

图4

①求证：A,D,B,E四点共圆；

②若AB=2&,AD-AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.

3）定边对双直角共圆模型（判定方法5）

①定边对双直角共圆模型（同侧型）

1.（2023九年级•全国•专题练习）如图①，若是Rt△48c和RtADBC的公共斜边，则4、B、C、。在以

BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”.如图②，AABC的三条高4D、BE、CF相交于点H,则图②中“四

点共圆”的组数为

2.（2021・湖北鄂州•中考真题）如图，四边形4BDC中,AC=BC,Z.ACB=90°,AD1BD于点D.若BD=2,

CD=4V2,则线段AB的长为.

3.（2020•湖北武汉•二模）如图，等腰RSABC中，zACB=90°,D为BC边上一点，连接AD.

（1）如图1,作BE1AD延长线于E,连接CE,求证：ZAEC=45°；

（2）如图2,P为AD上一点，且NBPD=45。，连接CP.

①若AP=2,求AAPC的面积；

②若AP=2BP,直接写出sinzACP的值为.

②定边对双直角共圆模型（异侧型）

1.（2024•广东深圳•三模）如图，△力BC中，NABC=45°,NR4C=75°,BC=声，点尸是BC上一动点，PDVAC

于。，。《148于£,在点尸的运动过程中，线段DE的最小值为（）

A

A.3V3-3B.2C.更D.三

352

2.（22-23九年级上•广东梅州•阶段练习）如图，在四边形ABCD中，乙48C=乙4DC=90。，E是AC的

中点，F是BD的中点，若ABAC=15°,乙EMC=45。，CD=4,贝!IEF的长为（）

A.V2B.2V2C.2D.2A/3

3.（2024•河南安阳.三模）数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动.

模型感知:

小明同学善于观察思考，如图1,在AABC和△力BD中，4C=ND=90。，他发现当两个直角三角形共斜边

时，取斜边中点。，根据斜边中线等于斜边的一半，易知。4=OB=OC=。£»,由圆的定义可知,4B,C,D

四点共圆，贝I有NC4D=NCBD,其依据是

操作判断:

小明同学把等腰直角三角板2BC的直角顶点C绕着直角三角板OEF的斜边中点旋转，其中NE=30。，直线4c

与DF相交于点G,边BC与DE相交于点H.

深入探究：

（2）将图2中的△力BC旋转到图3所示的位置，请判断G”与的数量关系是否发生变化，并说明理由.

应用:

（3）如图3,已知。尸=6,若等腰直角三角板48C绕点C继续旋转，边与0E的交点H始终在线段DE上,

当点H为DE的三等分点时，直接写出ACG”的面积.

4.（2024.陕西西安•模拟预测）“乐思”小组开展探究四点共圆的条件活动时，得到结论：对角互补的四边形

的四个顶点共圆，该小组继续利用上述结论进行探究.

⑴问题探究：如图，四边形4BCD为矩形，BE平分N2BC,交4D于点R^AEC=90°.

①判断A、B、C、E四点是否共圆？填（“是”或“不是"）

②COSNACE=

（2）问题解决：如图，某公园内有一个五边形人工湖2BCDE,已知乙4=NB=NC=90。，BC=800米，

tanzXCB=点F是4B上一点，且BF=24F,点G是直线4E上一点，夏季来临，为了增加游客的安全性，

4

欲在其中央建造一个以FG为斜边的等腰直角AFMG型救助站，如图所示，已知湖岸ED=400米，点N是ED

上的中点，MN是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造价为每米300元，求当造价最低时，四边形

4FMG的面积为多少？并求出通道的最低造价.

4）对角互补共圆模型（判定方法3）

1.（2023•河南南阳•三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的

对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆.在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复

杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整.

DCDC

特殊情况分析

⑴如图1,正方形ABCD中，点P为对角线4c上一个动点，连接PD,将射线PD绕点P顺时针旋转N4DC的度

数，交直线BC于点Q.

小明的思考如下：

连接。Q,

■■■ADWCQ,AADC=乙DCQ=90°,

■■.AACQ=ADAC,（依据1）

“DPQ=90°,

:ZDPQ+乙DCQ=180°,

•••点。、P、Q、C共圆，

"PDQ=乙PCQ,乙DQP=4PCD,（依据2）

:.乙PDQ=Z.DQP,

：.DP=QP.（依据3）

填空：①依据1应为,

②依据2应为,

③依据3应为；

一般结论探究

（2）将图1中的正方形ABC。改为菱形A8CD,其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2

的形式证明，若不成立，请说明理由；

结论拓展延伸

（3）如图2,若N2DC=120。，2。=3,当△PQC为直角三角形时，请直接写出线段PQ的长.

2.（2023•山东日照•中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面

内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论.解决以下问题：

如图1,△ABC中，AB=AC,NBAC=a（60。<a<180。）.点。是BC边上的一动点（点。不与8,C重

合），将线段力。绕点A顺时针旋转a到线段4E,连接BE.

图2番用图

（1）求证：A,E,B,。四点共圆；

（2）如图2,当4。=CD时，O。是四边形的外接圆，求证：AC是。。的切线;

（3）已知a=120。，BC=6,点M是边BC的中点，此时OP是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心尸与点

M距离的最小值.

3.（2024.广东东莞.三模）综合探究

小明同学在学习"圆''这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助

圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件.小明同学已经

学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补.因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下

是小明同学的探究过程，请你补充完整.

⑴【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：,如果

该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据.

（2）【验证】如图1,在四边形ABCD中，^ABC+^ADC=180°,请在图1中作出过点4、B、C三点的。。，

并直接判断点。与。。的位置关系.（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法）

（3）【证明】已知：如图1,在四边形ABCZ）中，^ABC+^ADC=180°,

求证：点2、B、C、。四点共圆.

证明：过4B、C三点作。。，假设点。不在。。上，

则它有可能在圆内（如图2）,也有可能在圆外（如图3）.

假设点。在O。内时，如图2,延长CD交。。于点E,连结AE,

•••ZXDOADE4的外角，ZXDC>/-AEC,

•••四边形ABCE是。。的内接四边形，+=180°,

又•••AABC+AADC=180°,^ADC=乙AEC.

这与乙4DC>乙4EC相矛盾，所以假设不成立，所以点。不可能在O。内.

请仿照以上证明，用反证法证明“假设点。在。。外”（如图3）的情形

5）四点共圆的性质与判定综合

1.（23-24九年级下.黑龙江绥化・期中）【模型呈现：材料阅读】

如图①，在四边形48CD中，对角线4C,8。相交于点尸，若AP-PC=BP-PD,则可判定A,B,C,。四

点共圆.

(1)在图①中，若有AP•PC=BP•PD,ABAC=30。，/.ABC=80°,贝!INBDC=_,/.ADC=_；

【模型改编：问题解决】

(2)如图②，A4BC和ADCE均为等边三角形，连接BD交于点、尸,AC交BD于点M,连接CF.求证:

A,B,C,尸四点共圆；

【模型拓广：问题延伸】

(3)如图③，在RtAZBC中，ZXBC=90°,将△ABC绕着点C顺时针旋转得到△EDC,连接BD,AE,直

线8。与直线4E交于点F.

①若AC=3BC,BD=4,贝必尸的长为二

②若AB=2,BC=1,当NBCD=90。时，DF的长为

图①图②图③

2.(22-23九年级上•湖南长沙•阶段练习)定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共

圆，简称“四点共圆我们学过了“圆的内接四边形的对角互补''这一定理，它的逆命题“对角互补的四边形

四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法.除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证明“四点共

圆”.如图1,在线段A8同侧有两点C,D.连接力D,AC,BC,BD,如果NC=ND,那么A,B,C,四

点共圆”

⑴如图2,已知四边形力BCD中，对角线力C、BD相交于点尸，点E在CB的延长线上，下列条件：①N1=2

②/2=N4：③45=^ADC：@PA-PC=PB-PD.其中，能判定A,3,C,O“四点共圆”的条件有：

(2)如图3,直线y=%+6与x轴交于点A,与y轴交于点2,点C在x轴正半轴上，点。在y轴负半轴上,

若A,B,C,。“四点共圆”，且N4DC=105。，求四边形力BCD的面积；

（3）如图4,已知△ABC是等腰三角形,48=47,点。是线段上的一个动点（点。不与点B重合，且8。<CD,

连结AD,作点C关于力。的对称点E,连接EB并延长交AD的延长线于尸，连接AE,DE.

①求证：A,D,B,四点共圆”；

②若AB=2a,ADTF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由.

3.（24-25九年级上•江苏徐州•期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共

圆，简称“四点共圆在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对

角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证.

图1图2图3

【验证猜想】

已知：四边形力BCD中，ZX+ZC=180°

求证：A、B、C、。四点共圆

证明：过点A、B、。作。。，假设点C不在。。上，则点C在。。外或。。内

若点C在。。外，如图1,设BC交。。于C，，连接DC',则

•••四边形是O。的内接四边形，

•••ZX+^DC'B=180°.

•••乙4+NC=180°,

•••乙DC'B=ZC

与乙DC'B>NC矛盾，故点C不可能在圆外;

若点C在圆内，

（1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A,B,。的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明；

【深入探究】

得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此

基础上展开探究：

（2）如图3,在线段4B同侧有两点C,D,连接AC,BC,AD,BD.如果NC=ND,那么A、B、C、。四

点共圆，请完成证明(如需辅助圆，画出示意图即可)；

【结论应用】

应用以上结论，解决下列问题：

(3)如图4,在四边形2BCD中，zl=Z4,乙2=30。，则43=°；

(4)如图5,△4BC中NC4B=^CBA=50。，点E在力B上，连接CE,作点8关于CE的对称点夕，连接9C,

B'E,AB'CE=18。求乙B'EA的度数；

【拓展延伸】

(5)如图6,AB=BC=5,N2BC=60。，点。为平面内一动点，连接ZM、DB,若始终有乙4DB=60。,

当四边形2BCD周长最大时，DC与BD的数量关系是多少？(直接写出答案).

1.(22-23九年级上•江苏扬州・期末)【学习心得】

小雯同学在学习完"圆''这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问

题变得非常容易.

例如：如图，在AABC中，AB=AC,ABAC=90。，。是AZBC外一点，S.ADAC,求ZBDC的度数.若

以点A为圆心，A3长为半径作辅助圆。4则C,。两点必在上，ABAC是。4的圆心角，NBDC是

的圆周角，贝叱BDC=45。.

(1)【初步运用】如图，在四边形48CD中，NBA。=nBCD=90。，乙BDC=24。，求NB2C的度数；

(2)【方法迁移】如图，已知线段力B和直线I,用直尺和圆规在/上作出所有的点P,使得乙4PB=30。(不写

作法，保留作图痕迹)；

AB

⑶【问题拓展】

①如图，已知矩形ABC。，AB=2,BC=m,M为CD上的点.若满足N71M8=45。的点M恰好有两个，则m

的取值范围为.

②如图，在△ABC中，ABAC=45。，2。是8C边上的高，且B0=6,CD=2,求4。的长.

2.（2023・浙江绍兴・中考真题）如图，矩形4BCD中，4B=2逐,BC=8.点P是BC边上一动点，点M为线

段AP上一动点.^ADM=/.BAP,则的最小值为（）.

C.2.4D.V21-4

21

3.（21-22九年级上.山东烟台・期末）如图，4B是半圆。的直径，点C是半圆。的中点，点。是弧BC上一

点，连接4D,作CH14。于点H,连接若半圆直径为4,则在点。移动的过程中,的最小值是.

7.（2024・吉林长春.模拟预测）阅读理解:

图1图2图3

（1）【学习心得】

小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使

问题变得非常容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.

①类型一：“定点+定长”：如图1,在△ABC中，AB=AC,^BAC=44°,。是AABC外一点，S.AD=AC,

求NBDC的度数.

解:若以点A（定点）为圆心，48（定长）为半径作辅助圆。4,（请你在图1上画圆）则点C、Z）必在。4上，

NBAC是。力的圆心角，而NBDC是圆周角，从而可容易得到NBDC=

②类型二：“定角+定弦”：如图，RtAABC中，AB1BC,AB=6,BC=4,尸是△4BC内部的一个动点，

且满足NP4B=NPBC,求线段CP长的最小值.

解：-.-^ABC=90°,；ZABP+/.PBC=90°,♦••/P4B=NPBC,：.ABAP+4ABP=90°,

.♦.4PB=,（定角）

•••点尸在以AB（定弦）为直径的。。上，请完成后面的过程.

（2）【问题解决】

如图3,在矩形4BCD中，已知2B=6,BC=8,点尸是BC边上一动点（点尸不与8,C重合），连接力P,

作点B关于直线4P的对称点M,则线段MC的最小值为.

⑶【问题拓展】

如图4,在正方形2BCD中，AD=4,动点E,尸分别在边。C,CB上移动，且满足OE=CF.连接力E和DF,

交于点P.点E从点。开始运动到点C时，点尸也随之运动，请直接写出点尸的运动路径长.

题型06定角定高模型

1.（2023・重庆・模拟预测）在直角AABC中，^ABC=90°,乙4cB=60。，点。是AABC外一点，连接4D,

以4。为边作等边△ADF.

图1图2图3

⑴如图1,当点P在线段BC上，DF交"于点且2F平分ABAC,若力F=e+鱼，求A/IDM的面积;

(2)如图2,连接FB并延长至点E,使得FB=BE,连接CE、DE、CD,证明：DE=WCD；

(3)如图3,旋转AADF使得DF落在乙4BC的角平分线上，M、N分别是射线B48c上的动点，且始终满足

Z.MDN=60°,连接MN,若BC=&,请直接写出△MDN的面积最小值.

2.(2024九年级上.江苏.专题练习)辅助圆之定角定高求解探究

图①图②图③

⑴如图①，已知线段48,以4B为斜边，在图中画出一个直角三角形；

(2)如图②，在△ABC中，AACB=60。，CD为2B边上的高，若CD=4,试判断是否存在最小值，若存在，

请求出力B最小值；若不存在，请说明理由；

(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCO中，乙4=45。，

NB=ND=90。，CB=CD=6V2,点、E、F分另！J为ZB、AD上的点，若保持CE1CF,那么四边形4ECF的

面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由.

3.(2022.江西・中考真题)问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的

直角三角板PEF("=90。,〃=60。)的一个顶点放在正方形中心。处，并绕点。逆时针旋转，探究直角三

角板PEF与正方形48CD重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2).

（1）操作发现：如图1,若将三角板的顶点尸放在点。处，在旋转过程中，当。F与0B重合时，重叠部分的面

积为;当。F与BC垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为S,在旋转

过程中，重叠部分的面积Si与S的关系为；

（2）类比探究：若将三角板的顶点厂放在点。处，在旋转过程中，。E,OP分别与正方形的边相交于点N.

①如图2,当BM=CN时，试判断重叠部分AOMN的形状，并说明理由；

②如图3,当CM=CN时，求重叠部分四边形。MCN的面积（结果保留根号）；

（3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心。处，该锐角记为NGO”（设NGO”=a）,将NGO”

绕点。逆时针旋转，在旋转过程中，NGOH的两边与正方形48CD的边所围成的图形的面积为S2,请直接写

出S2的最小值与最大值（分别用含a的式子表示），

（参考数据：sinl5°=痣cosl5°=后­，tan15°=2—V3）

44

4.（2019•河南•二模）在RMA8C中，乙4cB=90°,4B=近,4。=2,过点B作直线m〃4C,将2L48C绕点C

顺时针旋转得到（点4B的对应点分别是40）,射线C4,C夕分别交直线小于点P,Q.

（1）问题发现：如图1所示，若P与4重合，贝吐4C4的度数为

（2）类比探究：如图2,所示，设与BC的交点为M,当M为49中点时，求线段PQ的长；

（3）拓展延伸：在旋转过程中，当点P,Q分别在CA,C夕的延长线上时，试探究四边形P49Q的面积是否

存在最小值，若存在，直接写出四边形P4夕Q的最小面积；若不存在，请说明理由

题型07最大张角模型

1.(2023•广西北海•二模)综合与实践

【问题提出】

(1)如图1,在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到4点时，乙已

跟随冲到B点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员

对球门的视角越大，足球越容易被踢进.请结合你所学知识，求证：乙MBN＞乙MAN.

【数学理解】

德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2,已知点4,B是NMON的边OM上的

两个定点，C是。N边上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与ON边相切于点C时，N4CB最大，人们称这

一命题为米勒定理.

【问题解决】

(2)如图3,已知点力，B的坐标分别是(0,1),(0,3),C是x轴正半轴上的一动点，当△ABC的外接圆OD与

x轴相切于点C时，N力CB最大，当“CB最大时，求点C的坐标.

2.(2022•广西桂林・中考真题)如图，某雕塑位于河段上，游客尸在步道上由点。出发沿02方向

行走.已知乙4。2=30。，MN=2OM=40m,当观景视角NMPN最大时，游客尸行走的距离。尸是米.

3.(2023•湖南永州•二模)问题探究与应用实践

(一)问题探究：

如图(1),已知直线1与水平视线m互相垂直，A,B在I上，C在zn上，ZACB叫做“视角”，点C叫做“视点”，

OM是过4B,C三点的圆.当视点C在直线山上移动时，视角ZACB的大小会发生改变，可以证明：当视点C恰

是OM的切点时，视角乙4cB最大，此时观察4B的效果最佳.当视角N4CB最大时：分别以直线加，1为x轴和

y轴建立平面直角坐标系，如图（2）.

（1）如果此时点A的坐标为（0,4）,点8的坐标为（0,1）,试求圆心M的坐标及tan乙4cB的值；

（2）如果此时点A,B的坐标分别为（0,a）,（0,b）,请求出视点C的坐标.（用a,b的代数式表示）

（二）应用实践：

应用上述结论，让我们解决如下问题：

（3）如图（3）,48是广场上挂的一个大屏幕电视，直线CE是水平视线，屏幕最高点A和最低点B到水平视线

CE的距离分别为8米和4米.小明在水平视线上观看电视节目，当他的视角最大时,视点（在水平视线CE上）

到直线2B的距离约是多少？（结果保留一位小数，参考数据：V2«1.414,V3«1.732,75«2,236）

4.（2021・福建厦门•二模）一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对

的圆外角.

（1）证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角；

（2）应用（1）的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队

计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示.该文物PQ高度为96cm,放置文物

的展台Q。高度为168cm,如图2所示.为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的

视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点。、参观者的眼睛A所形成的NP4Q）,则分隔参观者与展台

的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由.（说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通

常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高）

频数39Q

学生人数）30

[5]8181

IIIII________n|___________________________________

140144148152156160身高7cm

图1图2

5.（23-24九年级上.江苏镇江•期中）【提出问题】如图1,直线I是足球场底线，力B是球门，点P是射门点,

连接P4PB，则N2PB叫做射门角.如图2,在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门48进攻，

当甲带球冲到Q点时，乙跟随冲到P点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自

己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由.

【经验感知】如图3,若球员在直线MN上跑动，随时准备射门，是否存在某一点S,使得射门角N4SB最大.人

们发现：当且仅当经过4、B两点的圆与直线MN相切于点S时，N4S8最大，并称此时的N4SB为最大射门

角.如图4,2B为球门，直线/是足球场的底线，直线爪12,垂足为C,若4B=2a,BC=a,球员丙带球沿

直线山向底线I方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是N4SB.

（1）尺规作图：作经过4B两点并且与直线小相切于点S的。。（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求出最大射门角N4S8的度数.

【理解应用】

（1）如图5,正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿CD方向进攻，最好的射

点在（）

A.点CB.点。或点EC.线段DE（异于端点）上一点D.线段CD（异于端点）上一点

（2）如图6,矩形CDEF是足球场的示意图，其中宽CD=66m,球门A8=8m,且AC=80.点P、Q分别

是DE、CF上的点，DP=7m,NDPQ=135°,一位左前锋球员戊从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员戊在PQ

上何处才能使射门角（乙4SB）最大，直接写出此时PS的长度.

题型08阿基米德折弦定理

1.（2023•内蒙古包头•三模）阅读下面材料，完成相应的任务：

阿基米德（Zrchimedes