圆的综合（解析版）-中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题26圆的综合

1.(2020•陕西中考)问题提出：

(1)如图1,在四边形N3CD中，AB=AD=3,ZBCD=ZBAD=90°,AC=4.求8C+CD的值.

问题解决：

(2)有一个直径为30cm的圆形配件O。，如图2所示.现需在该配件上切割出一个四边形孔洞O4BC,要求/

。=/8=60°,OA^OC,并使切割出的四边形孔洞O4BC的面积尽可能小，试问，是否存在符合要求的面积

最小的四边形O/8C?若存在，请求出四边形0/8C面积的最小值，及此时的长；若不存在，请说明理

由.

A

图I

VZBCD=ZBAD=90°,AD=AB,

ZB+ZADC=M0°,

可以将△NBC绕A点逆时针旋转90°得A4DE,

：.ZADE=ZB,AE=AC,NCAE=90°,

：.ZADE+ZADC=1SO°,

：.C.D、E在同一条直线上，

/.CD+DE=CE=42AC=4圾；

(2)如图2,

图2

连接。2,

VZAOC=60°,OA=OC,

.•.将绕。点顺时针旋转60°至△(%)£,连接2E,

:./BOE=60°,OE=OB,

是等边三角形，

：.BE=OB=15,/BEO=60°,ZCBE=ZABO=ZCEO,

：.ZCBE+ZCEB=60°,

：.ZBCE^nO°,

**S四边形OABC=S4AOB+SABCO=SACOE^S丛BCO

=SABOE-S^BCE

潞巧■S丛BCE，

4

要使四边形OABC的面积最小，就要使△BCE的面积最大,

作正48防，作它的外接圆。/,作直径尸C',

当C与C'重合时，SABCE最大，

S^BCE最大二-1.X15X（西X返）=—V3>

2234

••S四边形O4BC最小=匹«,

2

115

yOE-yL

此时OA=OC=—^-----=告=5«.

cos300返

2

2.（2021•德州中考）已知为△NCD的外接圆，AD=CD.

（1）如图1,延长4D至点2,使BD=4D,连接C5.

①求证：△NBC为直角三角形；

②若O。的半径为4,AD=5,求2c的值；

(2)如图2,若N4DC=90°,E为。。上的一点，且点。，E位于NC两侧，作△/£>£关于/。对称的图形△

ADQ,连接。C,试猜想QC,0。三者之间的数量关系并给予证明.

：.DB=DC.

：.DC^^AB.

2

...△45C为直角三角形;

•••AD=CD«

.•.。£»_1"且/〃=。〃.

：0。的半径为4,

.'.OA=OD=4.

设DH=x,贝IJOH=4-x,

'：AH2=OA2-OH2,

AH2=AD2-DH1,

.'.52-X2=42-(4-X)2.

解得：x=空.

8

空.

8

由①知：BCLAC,

,：OD±AC,

J.OD//BC.

,:AH=CH,

:.BC=2DH=运.

4

(2)QA,QC,。。三者之间的数量关系为：QC2=2QD2+QA2.理由:

延长。/交OO于点尸，连接。F,FC,如图，

VZADC=90°,AD=CD,

：.ZDAC^ZDCA^45Q.

：.ZDFA=ZE=ZDCA=45°,ZDFC=ZDAC=45°.

：.ZQFC=ZAFD+ZDFC=90°.

:.QC2=QF2+CF2.

'：/\ADQ"ADE关于AD对称，

AZDQA=ZE=45°,

：.ZDQA=ZDFA=45°,

：.DQ=DF.

.,.N0DF=18O°-NDQA-NQFD=9Q°.

：.DQ2+DF2=QF2.

即QF2=2DQ2.

\'ZQDF=ZADC=90°,

:./QDA=NCDF.

在和△万DC中，

rZQAD=ZDCF

<ZDQA=ZDFC=45°>

,DA=DC

:.△QDA/LFDC（//S）.

:.QA=FC.

：.QC2=2QD2+QA2.

3.（2021•湘潭中考）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分

害I.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”.

（1）特例感知：在图①中，若/8=100,求NC的长；

（2）知识探究：如图②，作的内接正五边形；

①作两条相互垂直的直径AW、AI；

②作ON的中点尸，以P为圆心，P/为半径画弧交。河于点°；

③以点/为圆心，N0为半径，在O。上连续截取等弧，使弦连接/氏

则五边形ABCDE为正五边形.

在该正五边形作法中，点0是否为线段（W的黄金分割点？请说明理由；

（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密

切的联系.

延长题（2）中的正五边形N3CDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段尸。的黄金分割

点，请利用题中的条件，求cos72。的值.

解：（1）根据黄金分割点的意义，

得AB-AC=«-1

'AC'

；/2=100,

."C=50遥-50；

(2)。是线段。河的黄金分割点，理由如下：

设OO的半径为％则。尸=1•,

2

尸=、0P240A2=苧、

：.OQ=QP-0P=匡.-1•=述］•,MQ=OM-OQ=r-遥］.=&-辰

22222

.MQ=2==3一^^=(3-V^)

"0Q娓TV5-1(V5-1)(V5+1)2

2r

即。是线段。河的黄金分割点；

(3)如图③，作P”_L4E于"，

由题可知，AH=HE,

•••正五边形的每个内角都为(5-2)X18004-5=108°,

；.NPEH=180°-108°=72°,

即cos/P£77=cos72°=旦11,

PE

•••点E是线段PD的黄金分割点，

•DE-V5-1

•-------------,

PE2

又,：DE=AE,HE=AH=LE,

2

.­.cos72°=EH=I^.=1XAE=1XDE=VL1.

PEPE2PE2PE4

图③

4.（2021•广州中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=L+4分别与x轴，y轴相交于/、3两点，点

2

P（X,/）为直线/在第二象限的点.

（1）求/、3两点的坐标；

(2)设△P/。的面积为S,求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(3)作△尸NO的外接圆OC,延长PC交0C于点°,当△尸。。的面积最小时，求OC的半径.

解：(1):直线y=/x+4分别与x轴，y轴相交于42两点，

当x=0时，y=4；

当y=0时，x=-8,

：.A(-8,0),B(0,4)；

(2),・,点尸(x,y)为直线/在第二象限的点，

••P(x,~^~x+4)，

••^/\APO~QAX(~^~x+4)=4X(/x+4)=2X+16(8<x<0)；

・・・S=2x+16(-8<x<0)；

(3)9：A(-8,0),B(0,4),

OA=8,05=4,

在RtZXZOB中，由勾股定理得：

^^7OA2-K)B2=782+42=4>/5,

在。。中，・・,尸0是直径，

AZPOQ=90°,

NBAO=NQ,

；・tan。=tanN8/O=工，

•・•・P0二1,

0Q2

：.OQ=2OP,

.••s»o0=}pxOQ=4OPX20P=op2.

/.当S^POQ最小时，则OP最小，

•.•点尸在线段N3上运动，

.,.当时，。尸最小，

；•S/UOB=/xOAx0B卷xABX0P，

._OAXQB8X4875

廿AB=廿5，

*.*sing=sinZBAO,

•・O•-P二OB,

PQAB

•~~5~4

「PQy

：.PQ=8,

；.OC半径为4.

5.（2021•泰州中考）如图，在O。中，4B为直径,P为AB上一点,P/=l,PB=m（加为常数，且%>0）.过点

尸的弦CD_l/8,0为Rk一动点（与点2不重合），AHLQD,垂足为连接BQ.

⑴若"2=3.

①求证：NOAD=60°；

②求毡的值；

DH

（2）用含加的代数式表示世，请直接写出结果；

DH

（3）存在一个大小确定的OO,对于点Q的任意位置，都有BQ1-2DH2+PB2的值是一个定值，求此时N。的

度数.

备用图

解：（1）①连接OC,如图:

：.AB=AP+PB=4,

：.OA=OD=1-AB=2,

2

；.0P=04-4P=1=4P,

尸是CM中点，

又CDLAB,

:.CD是04的垂直平分线，

：.AD=0D=0A=2,即△/(?£)是等边三角形,

：.ZOAD=60°；

②连接如图：

•.18是。。直径，

ZAQB=90°,

'：AH±DQ,

:.NAHD=90°,

：.ZAQB=ZAHD,

VAQ=AQ-

ZADH=ZABQ,

：.4ADHS&4BQ,

•BQ=AB

"DHAD"

由①知：4B=4,AD=2,

.•.世=2；

DH

AZADB=90°,

ZADB=ZAPD,

又NPAD=NDAB,

：./XAPD^£\ADB,

AD=AP,

"ABAD'

'：AP=\,PB=m,

'.AB—1+m,>田

1+mAD

•"AD=yjl+jf»

与(i)中②同理，可得：斑=3殳，

DHAD

.寻曾=后

DHV1+m

(3)由(2)得四=痂，

DH

：.BQ=y[i^-DH,即802=(1+加)•。//2,

：.BQ2-2DH2+PB2=Cl+m>DH2-2DH2+m2=(w-^•DH2+m2,

2222

若BQ-2DH+PB是定值，则（加-1"OH+加2的值与DH无关,

当心=1时，B®-2DH2+PB2的定值为1,此时P与。重合，如图:

c

"JABLCD,CM=OD=1,

...△NOD是等腰直角三角形，

：.ZOAD=45°,

,•,BD=BD-

AZBQD=45°,

故存在半径为1的o。，对Q的任意位置，都有BQ2-2DH2+PB2是定值1,此时N2QD为45°.

6.（2021•宜昌中考）如图，在菱形N8CD中，。是对角线8。上一点（BO>DO）,OELAB,垂足为E,以。E为

半径的。。分别交DC于点交£。的延长线于点尸，EF与DC交于点G.

（1）求证：8c是的切线；

（2）若G是。尸的中点，OG=2,0G=1.

①求命的长；

②求ND的长.

解：（1）证明：如图1,过点。作。ML8c于点初,

,:BD是菱形/BCD的对角线，

NABD=NCBD,

\'OM±BC,OELAB,

：.0E=0M,

是。。的切线.

图1

(2)①如图2,

图2

：G是。厂的中点，OF=OH,

:.OG=LOH,

2

'：AB//CD,OE±AB,

：.OF.LCD,

：.NOGH=90°,

.•.sinZG//O=A,

2

：.ZGHO=30°,

：.ZGOH=60°,

：.ZHOE=nO0,

；0G=2,

：.OH=4,

由弧长公式得到黄的长：12丝4X兀=2.

1803

②如图3,过工作ZNLBD于点N,

'：DG=\,OG=2,OE=OH=4,

；.OD=泥，02=2旄，

2

△DOGsADAN,

••-O-D-二DG,

ADDN

7.(2021•宁波中考)如图1,四边形/BCD内接于。。,AD为直径，俞上存在点E,满足金=而，连结BE并延

长交CD的延长线于点尸，BE与AD交于点、G.

(1)若/£>8C=a,请用含a的代数式表示//GB.

(2)如图2,连结CE,CE=BG.求证：EF=DG.

(3)如图3,在(2)的条件下，连结CG,AD=2.

①若tan/4D2=^,求△FG。的周长.

②求CG的最小值.

图3

ZABG=ZDBC=a,

：.ZAGB^90°-a；

(2)为。。的直径,

AZBCD=90°,

:.NBEC=/BDC=90。-a,

：.ZBEC=/AGB,

VZCEF=180°-Z.BEC,ZBGD=1SO°-ZAGB,

：.ZCEF=ZBGDf

又•：CE=BG,NECF=NGBD,

:•△CFEQABDG(ASA),

:.EF=DG；

(3)①如图，连接。E,

----------------7C

・・・5。为。。的直径，

；・NA=NBED=90°,

在RtZXZAD中，tanNADB=遮,40=2,

；・AB=y^~XAD=73,

2

AE=CD-

.1.AE+DE=C^DE)

即面=翁，

:.AD=CE9

,:CE=BG,

:・BG=AD=2,

•・•在RtZ^45G中，sinN/GB=3^=

AZAGB=60°,AG=l-BG=l,

：.EF=DG=AD-AG=1,

•・•在RtZXOEG中，ZEGD=60°,

.•.£G=4G=LDE=

2222

在Rt△F££>中，^F=7EF2+DE2='

FG+DG+DF=空巨，

2

:ZGD的周长为史无；

2

②如图，过点C作。用」3尸于〃，

:.BD=CF,/CFH=NBDA,

VZBAD=ZCHF=90°,

:.ABADmACHF(AAS),

：.FH=AD,

;AD=BG,

：.FH=BG,

'：ZBCF=90°,

：.ZBCH+ZHCF=90°,

,:NBCH+NHBC=9Q°,

：.ZHCF=ZHBC,

,：ZBHC=ZCHF=90°,

:.丛BHCs丛CHF,

.BH=CH

"CHFH"

设GH=x,

：.BH=2-x,

：.C用=2(2-x),

在RtZ\G〃C中，CG2=G〃2+C7/2,

：.CG2=X2+2(2-x)=(x-1)2+3,

当x=l时，CG2的最小值为3,

；.CG的最小值为

8.(2021•温州中考)如图，在平面直角坐标系中，经过原点O,分别交x轴、y轴于点/(2,0),B(0,8),

连结/反直线CAf分别交O"于点。，£(点。在左侧)，交x轴于点C(17,0),连结

(1)求的半径和直线CM的函数表达式；

(2)求点D,E的坐标；

(3)点尸在线段NC上，连结尸E.当/NEP与△08。的一个内角相等时，求所有满足条件的。尸的长.

解：⑴VZAOB=90°,

为。”的直径,

•.•点〃■是48的中点，则点加(1,4),

则圆的半径为AM^7(2-1)2+42=

设直线CW的表达式为>=履+6,则17k+b=0

k+b=4

故直线CM的表达式为y=-*+1；

(2)设点。的坐标为(x,-Ar+_lj_),

44

由4M=«j得:(x-1)2+(-1.X+1L-4)2=(百方2,

44

解得x=5或-3,

故点。、£的坐标分别为(-3,5)、(5,3)；

(3)过点。作。“_L08于点〃，则。H=3,BH=8-5=3=DH,

故/。8。=45°,

由点/、E、B、D的坐标得，4E=q（5―2）2+（0-3）2=3^"^，

同理可得：BD=3近,08=8,

①当4080=45。时，

则为等腰直角三角形，EPLAC,

故点P的坐标为（5,0）,

故。尸=5；

②时，

AEAP=ZDBO,

③时，

ZEAP=ZDBO,

：.AEAPsAOBD,

AAE=AP；即心巨解得/尸二旦，

OBBD83724

则PO=2+^-=XL,

44

综上所述，OP为5或10或工L

4

9.（2021•泰安中考）如图1,。为半圆的圆心，C、。为半圆上的两点，且而=向.连接/C并延长，与8。的延

长线相交于点E.

（1）求证：CD=ED；

（2）AD与OC,8c分别交于点足H.

①若CF=CH,如图2,求证：CF・AF=FO,AH；

②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求NC的值.

图2

(1)证明：如图1中，连接8C.

图1

••,DC=BD>

ZDCB=ZDBC,

是直径,

:.NACB=NBCE=9Q°,

AZE+ZDBC=90°,NECD+NDCB=90°,

ZE=ZDCE,

：.CD=ED.

(2)①证明：如图2中,

ZCFH=ZCHF,

'：NAFO=ZCFH,

NAFO=NCHF,

BD=CD-

：.ZCAD=ZBAD,

:.AAFOsL4HC,

A-FOF

AHCH

A-FOF

，，

AHCF

：.CF'AF=OF'AH.

②解：如图3中，连接交BC于G.设。G=x,则。G=2-x.

,•,CD=BD)

：.ZCOD^ZBOD,

'：OC=OB,

：.OD±BC,CG=BG,

在RtAOCG和RtABGD中，则有22-N=P-(2-x)2,

.,.x=工，即OG=工，

44

；OA=OB,

：.OG是△/3C的中位线，

；.OG=LC,

2

.•./c=工.

2

10.(2020•广州中考)如图，o。为等边△48C的外接圆，半径为2,点。在劣弧篇上运动(不与点4,8重合),

连接DB,DC.

(1)求证：DC是的平分线；

(2)四边形/D2C的面积S是线段。C的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由;

(3)若点N分别在线段C4,C8上运动(不含端点)，经过探究发现，点