浙教版九年级数学同步训练：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象（解析版）

第03讲二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的图象

心知识点梳理

一、二次函数y=ax2+bx+c(aw0)与y=a(x-h)2+k(aw0)之间的相互关系

1.顶点式化成一般式

从函数解析式y=a(x-丸)2+左我们可以直接得到抛物线的顶点(h,k),所以我们称

y=a(x—/z)2+左为顶点式，将顶点式y=a(x—/z)2+左去括号，合并同类项就可化成一般

式y=ax2+bx+c.

2.一般式化成顶点式

.(2b\rbpYpvi

y=ox2+bx+c=tzxH—x|+c=。x2H—x+———+c

Ia)a\2a)\2a)

(bY4ac-b2

—ClXHH------------,

I2a)4a

对照y=a(X—/?)2+左，可知/z=—_L,k=4aC~b.

2a4a

：.抛物线丁=。/+6%+。的对称轴是直线》=—2,顶点坐标星1b

2aI2-4aJ

要点：

i.抛物线丁=。f+法+。的对称轴是直线x=-2,顶点坐标是_L,4。

2aI2/4aJ

可以当作公式加以记忆和运用.

2.求抛物线>=。必+6%+。的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、

代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.

二、二次函数y=，/+》*+仪。40)的图象的画法

1.一般方法：列表、描点、连线；

2.简易画法：五点定形法.

其步骤为：

_(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M,并用虚

线画出对称轴.

(2)求抛物线y=ax2+6x+c与坐标轴的交点，

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C,再找

到点C关于对称轴的对称点D,将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线

连结起来.

要点：

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D,由

C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出

一对对称点A、B,然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，

三、二次函数y=ax?+》x+c(。#0)的图象

2

1.二次函数y=ax+bx+c(a丰0)图象与性质

函数二次函数y=a%2+法+。％、b、c为常数，aWO)

图象〃>0a<0

V

L

\JK

开口方向向上向下

直线元=—2

对称轴直线X=---

2a2a

（b4ac-b2y'b4ac-b2y

顶点坐标

12a'4aJI2〃’4aJ

2.二次函数y=ax2+bx+c(aH0)图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系

字母、字母的符号图象的特征

a>0开口向上

a

a<0开口向下

ab>0（a,b同号）对称轴在y轴左侧

b

ab<0（a,b异号）对称轴在y轴右侧

c=0图象过原点

cc>0与y轴正半轴相交

c<0与y轴负半轴相交

b2-4ac=0与X轴有唯一交点

b2-4acb2-4ac>0与X轴有两个交点

b2-4ac<0与x轴没有交点

、例1.已知二次函数y=f_4x+3.

⑴将y=f—4x+3化成y=a（x—h）~+k的形式;

(2)画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标;

2

_8.7-6-5-4-3-2-1?12345678X

【答案】⑴!=(*-2)2-1

(2)对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,-1)

(3)x<2

【分析】(1)利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平

方式，把一般式转化为顶点式.

(2)利用描点法画出图象；再根据(1)中的二次函数解析式直接写出答案；

(3)观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围.

【解析】(1)解：y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

则该抛物线解析式是产(尤-2)2-1；

(2)解:列表，

X01234

y30-103

描点，连线,

2.将二次函数y=2尤2—8x—1化成y=a(x—//)?+上的形式，结果为()

A.y=2(x-2)2—1B.y=2(x~4)2+32

C.y=2(x-2)2-9D.y=2(x—4)2-33

【答案】C

【解析】

【分析】

先把原抛物线化为：y=2(*-4x+4)-8T再写成抛物线的顶点式即可得到答案.

解：y=2x2-8x-l

=2(尤2-4%+4)—8—1

=2(x—2)2—9,

即y—2(x—2)2—9.

故选C.

【点睛】

本题考查的是抛物线的一般式化为顶点式，熟知配方法的应用是解题的关键.

]1例3.若点(-1,3),(3,3)是二次函数丁=以2+法+。图像上的两点，则此二次函数的

对称轴是()

A.直线x=-lB.直线尤=0

C.直线x=lD.直线x=2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据抛物线的对称性，当两点纵坐标相等时，对称轴即为两点横坐标的平均数.

•••点(-1,3)和点(3,3)的纵坐标都为3,

•*.抛物线的对称轴为X=寸=1,

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键.

例4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=Y-4x-4向左平移3个单位，再向上平移

5个单位，得到抛物线的表达式为()

A.y=(x+l)2-13B.y=(x-5)2-13

C.y=(x-5)2-3D.y=(尤+1)2-3

【答案】D

【解析】

【分析】

先配方为顶点式，根据左加右减，上加下减的方法平移即可；

解：将抛物线丫=/一4%-4=(工一2)2—8先向左平移3个单位得丫=(彳-2+3)2—8,再向上平

移5个单位得y=(x+l)2_8+5=(;c+l)2_3；

故选D.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象的平移，准确计算是解题的关键.

二次函数y=f+4x+3的图象可以由二次函数y=Y的图象平移而得到，下列

平移正确的是()

A,先向左平移2个单位，再向上平移1个单位

B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位

C,先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

【答案】B

【解析】

【分析】

把二次函数y=炉+4x+3化为顶点坐标式,再观察它是怎样通过二次函数y=/的图象平移

而得到.

解：根据题意>=必+4犬+3=(x+2)2-1,按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由

二次函数y=Y先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到.

故选：B.

【点睛】

此题不仅考查了二次函数图像的平移规律，关键是把二次函数的一般式转化顶点式.

例6.已知抛物线>=一一2升机，若点尸(-2,5)与点。关于该抛物线的对称轴对称，

则点。的坐标是().

A.(4,5)B.(2,5)C.(3,5)D.(0,5)

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据抛物线的解析式求出其对称轴为x=l,然后利用抛物线的对称性求解即可.

解：•••抛物线的解析式为y=+

b

•••抛物线的对称轴为无==1,

2a

V点P(-2,5)与点Q关于该抛物线的对称轴对称,

/.2(4,5),

故选A.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线的对称性.

[、产7.若抛物线M：y=x

・2-（2根-1）彳一3与抛物线加1〉=炉+6》+“+2关于直线

X=1对称，则加，〃值为（）

13

A.m=一,九=一21B.m=—,n=-23

22

13

C.m=—,n=—19D.m=—,n=—21

22

【答案】D

【解析】

【分析】

分别求出由抛物线M与抛物线AT的对称轴，根据关于直线x=1对称列出关于m的方程求

出机，再找到抛物线〃与y轴的交点（。,-3）,由点（0,-3）关于直线x=l对称的点（2,-3）,把

（2,-3）代入抛物线“y=/+6x+〃+2,故可求出w的值.

由抛物线M：y=f-（2加-1口-3可知抛物线河的对称轴为直线》=二二，交y轴于点

（0,—3）,抛物线W：y=炉+6x+〃+2的对称轴为直线x=—]=—3,

;抛物线M：y=%2—（2加一1）X—3与抛物线M'：y=x1+6x+〃+2关于直线x=l对称，

•••♦¥一山1,解得

•••点（0,—3）关于直线X=1对称的点（2,-3）,在抛物线“：y=x2+6x+n+21.,

把点（2,-3）代入得一3=4+12+〃+2,

解得〃=-21,

故选D

【点睛】

此题主要考查二次函数的对称性，解题的关键是熟知二次函数对称轴的求解方法、函数对称

性的应用.

【解析】

【分析】

假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定

另一个图象的位置，看是否和图象相符即可求解.

解：A、根据一次函数图象知道。＜0,与y轴的交点不是（0,1）,故选项错误；

B、根据二次函数的图象知道。＜0,同时与y轴的交点是（0,1）,但是根据一次函数的图

象知道。＞0,故选项错误；

C、根据图象知道两个函数图象与y轴的交点坐标为（0,1）,同时也知道。＞0,故选项正

确；

D、根据一次函数图象知道。＜0,根据二次函数的图象知道。＞0,故选项错误.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系，首先根据一次函数的图象

得到系数的取值范围，然后利用系数的取值范围确定函数图象的大致位置即可求解.

【答案】（—1,0）

【解析】

【分析】

根据表格数据，该二次函数的对称轴为直线x=-1,即可得出顶点坐标.

解：由表可知，该二次函数的对称轴为直线x=-1,

当X=-1时，y=0,

二次函数y=办?+6x+c图象的顶点坐标是（-1,0），

故答案为：（-1,0）.

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质，由图表得出二次函数的对称轴是解答的关键.

m例10.有一个二次函数y=a（x-无）2的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：

甲：开口向下；乙：对称轴是直线x=2；丙：与y轴的交点到原点的距离为2,满足上述全

部特点的二次函数的解析式为.

【答案】y=-1（x-2）2

【解析】

【分析】

由开口向下，可知。＜0,对称轴是直线x=2,可得仁2,与y轴的交点到原点的距离为2,

可得与y轴的交点的坐标为（0,±2）,利用待定系数法求出解析式.

解：•.•二次函数y=a（x/）2的图象开口向下，

:对称轴为直线k2,

：.k=2,

...二次函数产a（x-k）2的解析式为（x-2）2,

•••与y轴的交点到原点的距离为2,

.•.与y轴交于点（0,2）或（0,-2）,

把（0,2）代入得，2=4a,

a=~（舍去），

2

把（0,-2）代入得，-2=4a,

._1

••a=—,

2

解析式为：y=.

故答案为：y=-；（x-2）\

【点睛】

本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，此题是开放题，解题的关键理解题意.注

意利用待定系数法求函数解析式.

立例

11.已知二次函数＞=依2+法+。的图象如图所示，对称轴为直线x=l,则

a-b+c0；4a+2b+c0.（填“＞”，"="，或，＜”）

【答案】=>

【解析】

【分析】

由图象可得当A-1时y=0；由图象可判断出当时，y>0,可求得答案.

解：：对称轴为直线x=l，一交点为(3,0),则另一交点为(-1,0)

.•.当x=-l时，y=0,

a—b+c=0；

\•当x=2时，y>0,

.,.4a+2b+c>0；

故答案为：=,>.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象为抛物线，

b

当a>0,抛物线开口向上；对称轴为直线x=-=；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c),

2a

熟练掌握二次函数的性质是关键.

］例12.一次函数y=Ax+4与二次函数>=办2+。的图象的一个交点坐标为(1,2),另

一个交点是该二次函数图象的顶点，则左=,a=,c=.

【答案】-2-24

【解析】

【分析】

把(1,2)代入一次函数可求鼠把抛物线顶点(0,c)代入一次函数解析式可求c,再代入(L2)

可求a.

解：把(1,2)代入得,左+4=2,

解得发=一2,

一次函数解析式为V=-2x+4,

又：二次函数顶点为(0©,

代入y=-2x+4得，

c=4,

把(1,2)代入二次函数表达式得a+c=2,

解得a=-2,

故答案为：k=-2,a=-2,c=4.

【点睛】

本题考查了一次函数与二次函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，根据

抛物线的特征确定顶点坐标.

例13.已知抛物线y=/-2fcc+公+左一2的顶点在坐标轴上，贝11左=.

【答案】0或2

【解析】

【分析】

把抛物线解析式化为顶点式，再根据顶点在坐标轴上，求出左值即可.

解：抛物线y=尤--2fcv+左一+左-2化为顶点式为：y={x—k)2+k—2,

当顶点在x轴上时，左-2=0,解得，k=2；

当顶点在y轴上时，左=0；

故答案为：0或2.

【点睛】

本题考查了二次函数顶点坐标，解题关键是熟练运用配方法把二次函数化成顶点式.

[,]例14.已知二次函数y=Y+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

X-i01234

y1052125

A(〃L4,yJ,3(m+6,%)两点都在该函数的图象上，若%=%，则根的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据表中的对应值得到x=l和x=3时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线x=2,由于

yi=y2,所以A(m—4,%),3(m+6,%)是抛物线上的对称点，贝U2-(m-4)=加+6-2,然后

解方程即可.

解：Vx=l时，y=2；x=3时，y=2,

•••抛物线的对称轴为直线x=2,

3（祖+6,%）两点都在该函数的图象上，yi=y2,

点A（m—4,%），3。九+6,%）是抛物线上的对称点，

2—（机—4）=机+6—2,

解得：m=l.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

、'例15.已知点A、B在二次函数y=ax2+bx+c的图像上（A在B右侧），且关于

图像的对称轴直线x=2对称，若点A的坐标为（m,1）,则点B的坐标为.（用

含有m的代数式表示）

【答案】（4—m,1）

【解析】

【分析】

先确定抛物线的对称轴为x=2,然后求出点A（m,1）关于直线x=2的对称点即可.

解：,二次函数y=x?+bx+c的图象的对称轴为直线x=2,

，点A和点B关于直线x=2对称，

，点B的横坐标为4-m,即B（4-m,1）,

故答案为：（4-m,1）

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

:例16.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形。AB的斜边OA在x轴上,

且。4=4,如果抛物线yuaN+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过0、A、5三点，

那么a+b+c=.

【答案】I

【解析】

【分析】

根据等腰直角三角形的性质求得A(4,0),B(2,-2),抛物线>=G2+扇+6向下平移4

个单位后得到y=ax2+bx+c-4,然后把0、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、

b、c的值，进而即可求得a+b+c的值.

解：：等腰直角三角形OA8的斜边OA在x轴上，且04=4,

AA(4,0),B(2,-2),

抛物线y=ax2+Zzx+c向下平移4个单位后得到y=ax2+bx+c-4,

:平移后恰好能同时经过。、4B三点、,

c-4=0

v16a+4Z?+c—4=0,

4。+2。+c-4=-2

,1

a=­

2

解得卜=-2,

c=4

6z+/?+c——2+4——,

22

故答案为万.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的

解析式，求得点的坐标是解题的关键.

，蹑踪就线

一、单选题

1.二次函数y=-Y+/+4经过(-2,〃)和(4,〃)两点，则〃的值是()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【分析】根据(-2,“)和(4,〃)可以确定函数的对称轴x=l,再由对称轴的x=]=i,即可求

解.

【解析】解：抛物线,=-/+云+4经过(-2,〃)和(4,〃)两点，

可知函数的对称轴x=1,

.\b=2；

y——+2x+4,

将点（-2,〃）代入函数解析式，可得〃=T；

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题

的关键.

2.将抛物线y=3/向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为

（）

A.y=3（尤+1）2—2B.y=3（x+l）2+2C.y=3（尤一1）?一2D.y=3（x-l）2+2

【答案】D

【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3尤2的顶点坐标为（0,0）,则抛物线＞=3x2向

右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1,2）,然后再根据顶点

式即可得到平移后抛物线的解析式.

【解析】解：•••抛物线》=3x2的顶点坐标为（0,0）,

抛物线y=3d向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1,2）,

平移后抛物线的解析式为y=3（尤-丁+2.

故选：D.

【点睛】此题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律：上

加下减，左加右减.

+区+3如图所示，那么，=/+（6—1巾+3的图象可能是（）

【答案】D

【分析】根据已知二次函数y=-/+6x+3的图象，得出6<0,进而判断y=f+S-l）x+3

的图象，即可求解.

【解析】解：二次函数y=—/+"+3的图象，开口向下，对称轴在丁轴左侧，贝口%=-5<0,

：.b<0,

：.b-l<0

卜_]

则、=炉+（>-1"+3的图象，开口向上，对称轴为直线x=一丁>0,与，轴交于点（。,3）,

-2

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

4.将抛物线y=；/+l绕顶点旋转180。，则旋转后的抛物线的解析式为（）

A.y=—2/+1B.y=—2x2—1

11

C.y=——x9+1D.y=——x29-1

22

【答案】C

【分析】根据抛物线、=：犬+1,可得顶点坐标为（0,1）,开口向上，抛物线绕顶点旋转180。

后，开口向下，顶点和抛物线形状没有改变，即可得到答案.

【解析】解：：抛物线y=（无?+1的顶点坐标为（。，1）,开口向上，

抛物线y=g1+l绕顶点旋转180。后所得的抛物线顶点坐标为（0,1）,开口向下，

•••旋转后的抛物线的解析式为：y=~x2+l.

故选C.

【点睛】本题主要考查抛物线的旋转变换，掌握抛物线的顶点式与旋转变换是解题的关键.

5.把抛物线y=Y+6.x+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线

y=X2-4x+3,则以。的值分别为（）

A.&=—12,c=32B.b=4fc=—3C.b=0,c=6D.b=4fc=6

【答案】D

【分析】将抛物线y=#-4x+3化成顶点式，再根据“左加右减，上加下减”，采取逆推的方

法可得抛物线y=炉+云+c的解析式.

【解析】解：将抛物线y=#-4x+3化成顶点式为y=（x-2）2-1,

将抛物线y=f-4x+3向左平移4个单位，再向上平移3个单位得新抛物线解析式为

即y=J+4x+6,

・二抛物线y=x2+bx+c的解析式为y=Y+4x+6,

「.Z?=4,c=6,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数平移的特征，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关

键.

6.如图，二次函数丁=讣2+区+C（〃。0）的图象如图4所示，则反比例函数y=。0）和

一次函数,=法+。在同一直角坐标系中的图象可能是（）.

【答案】C

【分析】根据二次函数丁=依2+灰+。（。#0）的图象开口向上，得出。>0,与y轴交点在y

b

轴的负半轴，得出c<0,禾U用对称轴尸-丁〉0,得出b<0,然后对照四个选项中的图象

2a

判定即可.

【解析】解：因为二次函数>=以2+"+。的图象开口向上，得出。>0,与y轴交点在y轴

b

的负半轴，得出c<0,利用对称轴％=--->0,得出6<0,

2a

所以一次函数y=bx+c经过二、三、四象限，反比例函数y=g经过一、三象限.

X

A.一次函数y=M+c经过一、三、四象限，反比例函数y=三经过二、四象限，不符合题

X

思；

B.一次函数y=6x+c经过一、二、三象限，反比例函数y=@经过二、四象限，不符合题

X

思；

C.一次函数y=6无+C经过二、三、四象限，反比例函数>经过一、三象限，符合题意;

X

D.一次函数y=6x+c经过一、三、四象限，反比例函数y=4经过一、三象限，不符合题

X

思；

故选：C.

【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图

象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键.

7.二次函数y=ad+bx+c的图象如图所示，下列结论簿误的是（）

A.抛物线开口向上B.方程依2+foc+c=0的解为%=1,X2=3

C.抛物线对称轴为直线x=2D.抛物线与y轴交点坐标为（0,2）

【答案】D

【分析】根据图象可得开口方向、与y轴交点坐标、与x轴的交点坐标，由此可求对称轴和

对应方程的解.

【解析】A.由图象得：抛物线开口向上，故此结论正确；

2

B.由图象得:与X轴的交点坐标为（1,0）,（3,0）,所以方程ax+bX+c=0的解为%=1,x?=3,

故此结论正确；

C.3-x=x-1,解得x=2,所以抛物线对称轴为直线x=2,故此结论正确；

D.由图象得：顶点坐标为（2,-1）,可设y=a（无一l）（x-3）,-l=«（2-l）（2-3）,解得a=l,

y=Y-4尤+3抛物线与y轴交点坐标为（0,3）,故此结论错误.

故选：D.

【点睛】本题考查了由二次函数的图象获取开口方向、与坐标轴交点坐标和对称轴问题，正

确获取信息，理解二次函数与坐标轴的交点坐标，与对应方程之间的关系，会求对称轴是解

题的关键.

8.在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=-ox2+3x-c与、=2/一3了一。+4关于苫轴对称，

贝ija+2c的值为（）

A.0B.-4C.4D.-1

【答案】C

【分析】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可解答.

【解析】解：：»=-依2+3尤-<?与丁=2彳2_3彳-0+4关于工轴对称，

,»—y~2x——3x—c+。，即CLX^—3x+c=2x——3x—c+。，

（a=2缶=2

，解得：,.

[c=-c+a[c=l

a+2c=4.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，根据关于X轴对称的坐标特征把抛物线

y=-ax2+3x-c化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键.

9.若抛物线y=-/+4x-2向上平移〃7（"7>0）个单位后，在-1<尤<4范围内与x轴只有一个

交点，则机的取值范围是（）

A.m>2B.0<m<2C.0<m<7D.2<m<7

【答案】D

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标结合图象求解.

【解析】解：y=*+4x-2,

抛物线对称轴为直线x=-《-4=2,

2

设平移后抛物线解析式为y=-x2+4x-2+m,

当直线x=-l与抛物线交点在x轴下方，直线尤=4与抛物线交点在x轴上或x轴上方满足题

-zfe.

月、，

|-l-4-2+m<0

即1，

[―16+16-2+m>0

解得：2<m<7.

故选D.

【点睛】本题考查了二次函数与不轴交点问题，解题的关键是掌握二次函数和方程及不等式

的关系，通过数形结合求解.

10.如图，已知二次函数丁="2+区+《。。0）的图象如图所示，对于下列结论，其中正确

结论的个数是（）

①abc>0；

②（a+c）2一/_Q.

③3a+c=0；

④若m为任意实数；则anf-+bm-b>-6a.

【答案】C

【分析】由抛物线开口向上，交y轴于负半轴，可判断。>0,c<0,再结合抛物线的对称

轴即可判断6,进而可判断①；将抛物线转化为交点式，可得。=-3。，然后即可判断②③;

分别计算07+加7+c与-6a+6+c,变形比较即可判断④，从而可得答案.

【解析】解：•••抛物线开口向上，交y轴于负半轴，

a>0,c<0,

:抛物线的对称轴是直线x=-l,

2a

b=2a>0,

abc<0,故①错误；

・・,抛物线过点(—3,0),(1,0),

y=々(％+3)(%-1)=加+2改一3〃,

c=-3a,

・，.3a+c=0,故③正确；

/.(a+c)2-b2=(a-3a丫-(2a)2=0,故②正确；

若m为任意实数,贝Uam2+bm+c=am2+2am—3a=«(m+l)2—4a>—4a,

:一6a+Z?+c=-6a+2a—3a=-7a,a>0,

am2+bm+c>—6a+b+c,

BPtzm2+bm—b>—6a,故④正确；

综上，正确的结论有3个；

故选：C

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及相关代数式的变形，熟练掌握二次函数的图

象与性质、灵活进行二次函数一般式与交点式的转化是解题的关键.

二、填空题

11.抛物线y=3x2-6x+5的顶点坐标为.

【答案】(1,2)

【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，然后即可写出抛物线的顶点坐标.

【解析】解：：抛物线y=3N-6x+5=3(x-1)2+2,

•••该抛物线的顶点坐标为(1,2),

故答案为：(1,2).

【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线解析式化为顶点式.

12.若抛物线y=/+a+3经过点8(2,3),则该抛物线的对称轴为.

【答案】x=l

【分析】将3(2,3)代入抛物线解析式>=/+板+3,即可求得6,从而求得抛物线的解析式，

即可求得对称轴.

【解析】将3(2,3)代入抛物线解析式y=-+匕尤+3可得，

3=4+»+3,

解得b=-2,

抛物线为y=x2—2尤+3,

抛物线的对称轴为x==1，

故答案为X=l.

【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式以及求抛物线的对称轴，求出抛物线的的

解析式是解题的关键.

13.抛物线y=ax2+6x+c的符号问题：

(1)”的符号由抛物线的确定；

(2)b的符号由抛物线的确定;

(3)c的符号由抛物线确定；

(4)的符号由抛物线的确定；

(5)a+6+c的符号由_____在抛物线上的点的位置确定；

(6)a-b+c的符号由______在抛物线的点的位置确定；

(7)2a+6的符号由抛物线与的位置确定；

(8)2〃-6的符号由抛物线与的位置确定.

【答案】开口方向对称轴的位置与y轴交点所在位置与x轴交点的个

数x=lx=-1对称轴x轴的交点开口方向对称轴

【分析】由抛物线的开口方向判断〃与。的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的关系,

然后根据对称轴及抛物线与X轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断

【解析】解：（1）a的符号由抛物线的开口方向确定；

（2）b的符号由抛物线的对称轴的位置确定；

（3）c的符号由抛物线与y轴交点所在位置确定；

（4）62-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定；

（5）a+b+c的符号由尤=1在抛物线上的点的位置确定；

（6）a-b+c的符号由x=-1在抛物线的点的位置确定；

（7）2a+6的符号由抛物线对称轴与x轴交点的位置确定；

（8）2a-6的符号由抛物线开口方向与对称轴的位置确定.

故答案是：（1）开口方向；（2）对称轴的位置；（3）与y轴交点所在位置；（4）与x轴

交点的个数；（5）x=l；（6）产-1；（7）对称轴；x轴的交点；（8）开口方向；对称轴.

【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数产ax2+6x+c系数符号由

抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定.

14.已知二次函数y=-尤2+履-左+1的图像顶点在x轴上，贝!|后=

【答案】2

【分析】根据二次函数的顶点公式得出顶点纵坐标，令其等于零即可解出.

4x(-1)(-％+1)-左2

4ac-b2

【解析】解：由题意得，顶点纵坐标为:

4a4x(-1)

4次(_1)(_左+1)_后2

即:

4x(-1)一’

解得：k=2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查二次函数顶点的公式，关键在于理解顶点纵坐标为零.

15.若二次函数厂炉-2彳-3的图象上有且只有一个点到x轴的距离等于相，则根的值为

【答案】4

【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线广1,顶点为（1,-4）,由图象上恰好

只有一个点到无轴的距离为m可得m=4.

【解析】解：,.,>=尤2-2尤-3=（尤-1）2-4,

抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线k1,顶点为（1,-4）,

顶点到x轴的距离为4,

V函数图象有一个点到x轴的距离为m,

m=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键.

16.如图，抛物线>=内2+法-3与y轴交于点C,与X轴交于A,8两点03=00=304,

则该抛物线的解析式是—.

【答案】y=d-2x-3

【分析】根据抛物线与y轴交于点C易得点C的坐标为C（0,-3）,根据03=00=304,可

得点A、8的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式.

【解析】当x=0时,y=-3,.-.C（0,-3）,

0C=3,

**.OB=3,0A=1,

.•.3（3,0）,A（-l,0）,

将3（3,0）,A（—l,0）代入y=&+6x-3得，

j0=9a+36-3

[0=a-b-3，

叫[Ia=,l

•••该抛物线的解析式是y=V-2x-3.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是本题的关键.

17.已知抛物线y=f-6x+8的顶点为P,与x轴相交于M,N两点（点M在点N左侧），

平移此抛物线，使点尸平移后的对应点P'落在无轴上，点M平移后的对应点M'落在y轴上,

则平移后的抛物线解析式为.

2

【答案】y=x-2x+l

【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出N,P点坐标,

进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式.

【解析】解：当y=。，贝Uo=x2-6x+8,

/.（X-2）（%-4）=0,

解得：占=2,无2=4,

,■,M（2,0）,N（4,0）,

,y=x2—6x+8=(x—3)2—1,

尸点坐标为:(3,-1),

平移该抛物线，使点尸平移后的对应点尸'落在九轴上，点M平移后的对应点落在y轴

上，

••・抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移2个单位长度即可，

，平移后的解析式为：y=(x-3+2)2-l+l=x2-2x+l.

故答案为：y=x2-2x+l.

【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向

和距离是解题关键.

18.如图，二次函数y=ax?+bx+c(a/))的图象经过点(1,2)且与x轴交点的横坐标分

别为XI,X2,其中-1<X1<O,1<X2<2,下列结论：①4a+2b+c<0,②2a+b<0,③b2+8a

>4ac,@a<-1,其中结论正确的有.

【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根

据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【解析】解：由抛物线的开口向下知a<0,

与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c>0,

b

对称轴为X=--<1,

2a

Va<0,

:.2a+b<0,

而抛物线与X轴有两个交点，，b2-4ac>0,

当x=2时，y=4a+2b+c<0,

当x=l时，a+b+c=2.

..4ac-b2

•------L,

4〃

.*.4ac-b2<8a,

b2+8a>4ac,

•；①a+b+c=2,则2a+2b+2c=4,

②4a+2b+c<0,

③a-b+c<0.

由①,③得到2a+2c<2,

由①,②得到2a-c<-4,4a-2c<-8,

上面两个相加得到6a<-6,

故答案为：①②③④.

【点睛】本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物

线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等.

三、解答题

19.已知二次函数-3x+g.

⑴请把二次函数的解析式化成y=q（X-h）2+左的形式（直接写出结果），并写出图象的顶

点坐标和对称轴；

（2）请在如图所示的坐标系内画出函数的图象（不必列表）.

【答案】（l）y=T（x-3）2-2,顶点坐标为（3,-2）,对称轴为直线尤=3；

⑵见解析

【分析】（1）利用配方法得到y=；（尤-3）2-2,然后根据二次函数的性质得到抛物线的

顶点坐标、对称轴；

（2）求出抛物线与无轴，y轴的交点坐标，结合抛物线的顶点坐标，描点后画出二次函数的

图象即可.

【解析】⑴解：：尸92-3》+3=3.3)2-2,

抛物线的顶点坐标为(3,-2),对称轴为直线x=3；

(2)当y=0时，即Jx2-3x+1*=0,

22

解得刈=1,X2=5,

・••抛物线与x轴的交点坐标为(1,0),(5,0),

当x=o时，y=|_，

抛物线与y轴的交点坐标为(0,,

又：抛物线的顶点坐标为(3,-2),

，函数图象如图，

【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，正确求出二次函数顶点坐标是解题关键.

20.二次函数y=Y+fov+c的图象经过点(1,-8),(5,0).

⑴求b,c的值；

⑵求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.

【答案】(1)6的值为T,。的值为-5；(2)顶点坐标为(2,-9),对称轴为直线x=2

【分析】(1)把两点的坐标分别代入二次函数解析式可求得力、。的值；

(2)把函数解析式化为顶点式则可求得答案.

【解析】解：(1)二次函数y=V+bx+c的图象经过点(1,-8),(5,0),

11+b+c=-85/日的=-4

-'-l25+5b+c=0,斛侍==-5'

即6的值为T,c的值为-5；

⑵由(1)