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文档简介
专题02遇到中点如何添加辅助线模型
目录导航]
目录
例题讲模型]
............................................................................1
模型1.构造中位线模型.......................................................................1
模型2.构造中线模型..........................................................................2
模型3.构造倍长中线(或类中线)模型...........................................................4
习题练模型]
1............................................................................5
例题讲模型]
模型1.构造中位线模型
模型解读
情形1:当图形中出现两个中点时,考虑构造中位线.
条件:如图,在△ABC中,点。E分别为AB,AC的中点.
辅助线作法:连接。£.
结论:DE=^BC,DE||BC.
情形2:当图形中出现一个中点时,考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线.
①条件:如图1,在△ABC中,。是边的中点,且已知底边的长.
辅助线作法:过点D作BC的平行线,交AC于点E(或取AC的中点E,连接Z)E).
结论:DE=-BC.
2
②条件:如图2,在AABC中,。是边A8的中点.辅助线作法:过点A作A/〃CD,交3c的延长线于点F.
结论:DC=^AF-,ABDC^ABAF.
A
BC
图1图2
模型运用
例1.如图,矩形ABC。中,点E、点厂分别是BC和C。的中点,连接EF,若AC=4,则EF=
例2.如图,已知在RtAABC(AC>BC)中,4G4=90。,BC=6,。为AB边上的中点,过点。的直线
O尸将VABC的周长平分且交AC于点尸,则DF的长为
例3.如图,在平行四边形ABCD中,ZC=120°,AD=8,AB=4拒,点、H、G分别是边C。、BC上的动
点,连接A"、G",点E为的中点,点下为GH的中点,连接E尸,则所的最小值为
例4.如图,在VABC中,AC=6,3c=8,AB=10,E,尸分别为边AC,3C上的点,M,N分别为EF,
AB的中点.若AE=BF=4,则MN的长为
模型2.构造中线模型
模型解读
情形1:当遇到直角三角形斜边上的中点时,考虑作斜边上的中线.
条件:如图,在Rt^ABC中,乙48090°为斜边AC的中点.
辅助线作法:连接BD
结论:BD=CD=AD=^AC
情形2:当遇到等腰三角形底边上的中点时,考虑作底边上中线,利用“三线合一”解题.
条件:如图,在等腰△ABC中,。为底边BC的中点.
辅助线作法:连接AD
结论:4OJ_BC,NBAD-ACAD.
模型运用
例1.如图,已知RMABC,ZACB=90°,AB=10,AC=8,D,E,尸分别是三边AB,AC,BC上动点,
且NED尸=90。,G为EF中点,连结CG,则CG最小值为
例2.如图,在VABC中,AB=AC=16,BC=12,A3C于点尸,BE_LAC于点E,。为48的中点,M为
E尸的中点,则DW的长为
例3.如图,在VABC中,4)是BC边上的高线,CE是A3边上的中线,M=2CD,点尸是CE中点.
A
⑴求证:NDCE=ZADF;
(2)若Z8AC=90o,AE=6,AC=8,求。尸的长.
模型3.构造倍长中线(或类中线)模型
模型解读
情形1:当遇到三角形中存在中线时,考虑延长中线,作与中线相等的线段构造全等三角形.
条件:如图1,在△ABC中,是BC边的中线.
辅助线作法1:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.
辅助线作法2:过点B作BE〃AC,交的延长线于点E.
结论:△ACD%△EBD,AD=DE,BE=AC等.
情形2:当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时,考虑延长这条线段,作等线段构造全等三角形.
条件:如图2,在△ABC中,。是8C边的中点,点E是AB上一点,连接。E.
辅助线作法1:延长ED至点F,使DF=DE,连接CF.
辅助线作法2:过点C作CF//AB交ED的延长线于点F.
结论:△BDE妾△CDFE/AB,BE=CF等
模型运用
例1.如图1,在AABC中,点。为的中点,连接CD,若AC=6,8C=4,求C。的取值范围时学生分析,
决定延长C。到E,使CD=DE,连接AE,可得到进而在△AEC中得到CE的取值范围,
于是可求得CD的取值范围.
⑴请回答:
①如图1,连接BE,由已知和作图能得到AADC/的理由是.
A.SSSB.SASC.AASD.HL
②求得C。的取值范围是.
A.4<CD<6B.4<CD<6C.1<CD<5D.1<CD<5
⑵如图2,RE分别是VABC的边AC,8c的中点,求证:DE//AB,S.DE=^AB.
(3)如图3,在等边三角形ABC中,点尸为射线BC位于点C右侧的一个动点,将线段PC绕点P逆时针旋转
120。得到线段尸。,点C的对应点为点。,连接50,点。为80的中点,连接C0.若4?=3,当CQ=%CP
时,直接写出3尸的长度.
习题练模型
一、单选题
1.如图,在AABC中,AB=9,AC=7,。为8C中点,则线段力。的取值范围是()
A.7<AD<9B.1<AD<4C.2<AD<16D.1<AD<8
2.如图,在四边形ABC。中,E、尸分别是边A3、AO的中点,且所=2,CD=3,BC=5,若ZAFE=65。,
则NADC的度数是()
A.145°B.150°C.155°D.165°
3.如图,在VA3C中,点。在BC边上,E,尸分别是线段AC,8。的中点.若AB=AD,EF=3,贝|AC=
()
4.如图所示,在四边形A3。中,AB=2下,CD=2y/3,ZAB。=30。,ZBDC=120°,E,尸分别是AZ),5c
边的中点,则EF的长为()
A.272B.2A/3C.#D.由
5.如图,VABC中,ZC=90°,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D、E分别在边AC,3c上滑动,
且DE=6,若点M、N分别是OE、AB的中点,则"N的最小值为()
二、填空题
6.如图,在VABC中,AC=2+V3,NC4B=120。,。是BC的中点,E是AB上一点.若£>E平分VABC
的周长,则。E的长为.
A
CDD
7.如图,在平行四边形A5CD中,AD=2AB,CE_LAB于点E,M是4。的中点,XCEM=40°,贝U
ZAME=____.
AMD
8.如图,在VABC中,AB=7,BC=11,点。是AC的中点,DE//BC,若NA£S=90。,则DE的为______.
A
DL
9.如图,VA3C中,。为BC的中点,E是AD上一点,连接BE并延长交AC于尸.若BE=AC,AF=2,
CF-8.那么所■的长廊为
A
/K
B^D----XC
10.如图,在VABC中,NC=90。,。为边AB的中点,E,尸分别为边AC,BC上的点,且AE=AD,BF=BD,
连接班'.
C
4DB
(1)ZEDF=_____;
(2)若DE=EF=壶,则线段48的长为_____.
三、解答题
11.如图,AD为VABC的中线,E为AD的中点,3E的延长线交AC于点R求证:CF=2AF.
12.【感知】
(1)如图1,在VABC中,2E分别是边AB,AC的中点.则DE和2C的位置关系为,数量关系为
【应用】
(2)如图2,在四边形ABC。中,E,尸分别是边AB,AD的中点,若BC=10,CD=8,EF=3,ZAFE=50°,
求NADC的度数.
【拓展】
(3)如图3,在四边形ABC。中,AC与3。相交于点E,M,N分别为的中点,分别交AC,B£)于
息F,G,EF=EG.求证:BD=AC.
图1图2
(1)若AC=3C,如图1,E、尸分别在3C、AC边上,且A尸=4,8E=3,则EF=_;
(2)若AC与BC不等,如图2,E、下分别在BC、AC边上,求证团AF2+BE2=EF2;
14.如图①,在四边形ABCD中,AD//BC,点E是。C的中点,若AE是々AD的平分线.
ADA
(1)求证:BE是一ABC的平分线
(2)线段AB,AD,BC之间的数量关系是二
问题探究:如图②.在四边形A8CD中,AB//CD,AF与。C的延长线交于点R点E是BC的中点,
若AE是/BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.
15.如图,VA5c中,点。在边BC
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