中考数学一轮复习重难点强化训练：特殊三角形（知识串讲+13大考点）解析版

专题05特殊三角形

厂考点类型

考点7：垂直平分线的性质

考点1：等腰三角形性质——等边对等角

考点8：垂直平分线的判定

考点9：直角三角形一斜边中线

模块四图形的性质

考点10：直角三角形——含30°角

05讲特殊三角形

考点11：直角三角形——含45°角

考点12：直角三角形一勾股定理

考点13：直角三角形——两角互余

匚下7知识一遍过

(一)等腰三角形的性质与判定

(1)性质

①等边对等角:两腰相等，底角相等，即AB=AC=NB=NC；

②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;

③对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线(或底边上的中线或底边上的高)所在的直线就是对

称轴.

(2)判定

①定义：有两边相等的三角形是等腰二角形；

②等角对等边:即若NB=NC,贝必ABC是等腰三角形.

注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.

失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30。，则另

外两个角的度数为30°、120。或75°、75°.

(二)等边三角形的性质与判定

(1)性质

①边角关系：三边相等,三角都相等且都等于眦.

②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线（或角平分线或中线）所在的直线是对称轴.

（2）判定

①定义：三边都相笠的三角形是等边三角形；

②三个角都相等（均为60。）的三角形是等边三角形；

③任一内角为60。的等腰三角形是等边三角形.

即若AB=AC,且/B=60。，贝!!△ABC是等边三角形.

注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.

（2）等边三角形有一个特殊的角60。，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30。角的性质，即

BD=iAB.

2

（三）角平分线与垂直平分线的性质

（1）角平分线

①性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.即若

Z1=Z2,PALOA,PBLOB,则用=阳

②判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上，即PA=PB。

（2）垂直平分线

①性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等.即若。垂直且平分力6,则阳=期

②判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

（四）直角三角形的性质

(1)两锐角互余.即NA+NB=2Q2；

(2)30。角所对的直角边等于斜边的二生.即若NB=30。，则AC=|包；

(3)斜边上的空线长等于斜边长的一半.即若CD是中线，则CD=^AB.

(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即a?+b2=贮.

(五)直角三角形的判定

(1)有一个角是直鱼的三角形是直角三角形.即若/C=2QS则AABC是直角三角形;

(2)如果三角形一条边的中线等于这条边的二生，那么这个三角形是直角三角形.

即若AD=BD=£2，贝必ABC是直角三角形

(3)勾股定理的逆定理：若a?+b2=k，则AABC是直角三角形.

'看」考点一遍过

考点1:等腰三角形的性质一一等边对等角

典例1:(2024上•安徽马鞍山•八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末)如图，AABC三△4DE,点。在BC

上，若4氏4。=30。，则乙4DE的度数为()

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】D

【分析】根据“全等三角形的对应角相等，对应边相等"可得4BAC=ND4E且4D=AB,由此可得4应40=

/.EAC=30°,由2D=48并根据三角形内角和定理即可求出乙4DE的度数.

本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理、等边三角形性质等知识，熟练掌握全等三角形的

性质和三角形内角和定理时解题的关键.

【详解】0A/1SC三△4DE,

.­.乙BAC=4DAE,S.AD=AB,

•*.Z-BAC-Z.CAD=Z-DAE-Z-CAD»

即NBAD=AEAC=30°.

又财。=AB,

11

.­./.ADE=/.ABC=j(180°-/.BAD}=其180。-30°)=75°.

故选：D.

【变式l】(2013上•江苏苏州•八年级统考期中)如图，△ABC中，以8为圆心,BC长为半径画弧，分别交AC、AB

于。、E两点，并连接BD、DE.若N4=30。，AB=AC,贝UNBDE的度数为()

A.67.5°B.52.5°C.45°D.75°

【答案】A

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，熟练运用“等边对等角"求角的度数是解

题关键.

根据三角形内角和定理以及"等边对等角"可得N4BC=乙ACB=75°,再利用三角形的内角和定理可得

乙DBE=45°,最后再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出NBDE的度数即可.

【详解】解：0XB=ac,

0ZXBC=乙4CB,

0ZX=30°,

ElzXBC=Z.ACB=1180°-30°)=75°,

团以8为圆心，BC长为半径画弧，

WE=BD=BC,

EINBDC=乙4cB=75°,

0ZCBD=180°-75°-75°=30°,

0ZDSE=75°-30°=45°,

0ZBED=乙BDE=|(180°-45°)=67.5°.

故选：A.

【变式2](2024上•四川内江,八年级统考期末)如图，AABC和AECD都是等腰直角三角形，aABC的顶点

A在△£•5)的斜边。E上.下列结论：其中正确的有()

①AACE34BCD②BD+AD=DE

③N£MB=4BCD@AE2+AD2=2BC2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理.

由△力BC和△£1(?£)都是等腰直角三角形，可证NBCD=N4CE,进而根据"SAS"可证△ACE三△BCD,故结论

①正确；由八月。石三43。。可得8。=4凡进而可证结论②正确；由AABC和AECD都是等腰直角三角形

可得NC4B=ACBA=45°乙E=乙CDE=45°,从而证得NDB4=AACD,UDB=90。进而得到NDB4+

Z.DAB=90°,/.BCD+ZXCD=90°,因此4048=NDCB,故结论③正确;在Rt△ABD中，BD?+

在RtAZBC中，AC2+BC2=AB2,因此BO?+4。2=AC2+BC2,等量代换即可得至!ME?+=28c2,

故结论④正确.

【详解】团AABC和都是等腰直角三角形，

0C/1=CB,CE=CD,LBCA=ADCE=90°,

团匕BCA-Z-DCA=Z-DCE-Z.DCA,

BPzBCD=L.ACE,

^ACESABCD(SAS),故结论①正确；

(21AACE=△BCD,

鲂。=AE,

^BD+AD=AE+AD=DE,故结论②正确；

回乙BCA=乙DCE=90°,

BZ.CAB+/-CBA=90°,乙E+4CDE=90°,

BCA=CB,CE=CD,

^CAB=Z.CBA=45°,Z.E=乙CDE=45°,

[?]△ACE=△BCD,

^\Z-EAC=乙DBC,

^EAC=^ADC+“CD=45°+匕ACD,

乙DBC=/-ABC+ADBA=45°+/-DBA,

^Z-DBA=Z.ACD,

[?]△ACE=△BCD,

^BDC=^AEC=45°,

^ADB=乙ADC+（BDC=45°+45°=90°,

^DBA+/.DAB=90°,

^BCD+AACD=乙ACB=90°,

S^DAB=乙DCB,故结论③正确；

El在RtzkABD中，BD2+AD2=AB2,

在RtAABC中，AC2+BC2=AB2,

^\BD2+AD2=AC2+BC2,

团BD=AE,AC—BC,

S\AE2+AD2=2BC2,故结论④正确.

综上，正确的结论有4个.

故选：D

【变式3]（2018•天津河东,八年级统考期末）如图AAOB三AADC,4。=ZD=90。,记4。4D=a,/.ABO=£,

当4。IIBC时，a与/?之间的数量关系为（）.

A.a+夕=90°B.a+2s=180°C.a=BD.a=2/3

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并理清图中各角

度之间的关系是解题的关键.根据全等三角形的性质可得4B=AC,Z.BAO=ACAD,然后求出NB4C=a,

再根据等腰三角形两底角相等求出乙4BC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出NOBC,整理即可.

【详角牟】解：•・・^AOB=LADC,

,•AB=ACfZ.BAO=Z.CAD,

•••Z-BAC=Z.OAD=a,

在△48C中，448c=|（180。-a）

•••AO||BC,

・•・（OBC=180°一乙0=180°-90°=90°,

•••£+)180。-a)=90。，

整理得a=2£.

故选：D.

考点2：等腰三角形的性质一一三线合一

典例2：(2024上•河北沧州•八年级统考期末)如图，等腰A/IBC的底边BC长为3,面积是6,腰力B的垂直

平分线EF分别交4B,AC于点E,F,若点。为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则ABDM的周长

C.5.5D.6

【答案】C

【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.如图,

连接力。，由题意点8关于直线EF的对称点为点A,推出4D的长为BM+MD的最小值即可.

【详解】解：如图，连接

A

BC

D

•・•△/8。是等腰三角形，点。是8。边的中点,

・•・AD1BC,

ii

•••S〉ABC=3BC-AD=-x3-AD=6,

AD=4,

EIEF是线段ZB的垂直平分线，

国点B关于直线EF的对称点为点A,

•••力D的长为BM+MD的最小值，

0A8DM的周长最短为4。+BD=AD+^BC=5.5,

故选：C.

【变式11（2023上•新疆喀什•八年级校联考期中）如图，"=48=8。，乙4BD=90。，BC=6,则ABCD

的面积为（）

A.9B.6C.10D.12

【答案】A

【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助

线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

首先作2E18c于E,作OF1CB交CB的延长线于F.根据等腰三角形三线合一的性质，得出CE=BE=\BC,

证明AABE三ABDF,得出△BCD的高即为EB,即可求得面积.

【详解】解：作4EJ.8C于E,作DF_LCB交C8的延长线于尸

-AB=AC,BC=6f

1

・•.CE=BE=-BC=3,

•・•乙ABD=90°,DF1CB,

•••乙ABC+乙DBF=乙BDF+乙DBF,

••・Z-ABC=Z-BDF,

vAE1BC,

・•・^AEB=乙BFD=90。，

在和△BOF中，

^ABC=乙BDF

Z-AEB=乙BFD,

、AB=BD

.*.△ABE-△BDF(AAS),

・•.DF=BE=34BCO的高即为OF,

11

・•・SPCD=2BC-DF=-x6x3=9.

故选：A.

【变式2](2023上•山东聊城•八年级校考阶段练习)如图，已知等边△ABC中，点。是AC的中点，点E是

延长线上的一点，且CE=CD,DMLBC,垂足为求证：点M是BE的中点.

【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键.连接

根据等边三角形的性质可得408c=30。，再利用三角形的外角性质推出4E=30。，从而得到△BOE为等腰

三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证.

【详解】证明：如图，连接BD.

团在等边△ZBC中，点。是/C的中点,

SZ.DBC=-/-ABC=3x60。=30°,乙4cB=60°.

22

BCE=CD,

⑦乙CDE=Z-E.

^Z.ACB=乙CDE+乙E,

0Z£=-AACB=30°,

2

0ZPSC=NE=30°,

^BD=ED,

0ABDE为等腰三角形.

又EIDM1BC,

回点M是BE的中点.

【变式3】（2023上•江西南昌•八年级校考阶段练习）如图，在ATIBC中，AB=AC,CD垂直4B于D,P为BC

上的任意一点，过P点分别作PE14B,PF1CA,垂足分别为E,F.

⑴若P为BC边中点，贝UPE,PF,CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？

（2）若P为线段BC上任意一点，则（1）中关系还成立吗？

【答案】（1）CD=PE+PF,理由见解答

（2）（1）中关系还成立，理由见解答

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，在解决一题多变的时候，基本思路是相同的，注意通过不同的方

法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用.

（1）如图，连接P4根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；

（2）连接P4根据三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】（1）解CD=PE+PF,

理由：如图工，连接24,

团CD1AB于D,PE148于E,PF14c于F,

回S△力BC=xCD,S^PAB=鼻48xPE,S^p^(j=->1CxPF,

又回S4BC=S2PAB+S^PAC

^ABxCD=-ABxPE+-ACxPF,

222

团48=AC

BCD=PE+PF；

(2)(1)中关系还成立，

理由：连接P4,

vCD1AB,PE1ABtPF1AC,

=

■:^LABC=鼻"^xCD,S,AB3ABxPE,S^PAC=-i4CxPF,

又•••^LABC=S^PAB+SM/C，

111

・•・-ABxCD=-ABxPE+-ACxPF,

222

•・•AB=AC

・•.CD=PE+PF.

【变式4](2023上•全国•八年级课堂例题)如图①所示，点O,E在△ABC的边BC上，AB=AC.

①②

(1)若求证：BD=CE.

⑵如图②所示，若=尸为DE的中点，Z.BAF=70°,求乙C的度数.

【答案】⑴见解析

(2)20°

【分析】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的

平分线互相重合.

（1）过4作4F1BC于F,根据等腰三角形的性质得出BF=CF,DF=EF,即可求出答案；

（2）证明BF=CF,根据等腰三角形的性质得出即可.

【详解】（1）证明：如图，过4作4F18C于F,

•••BF=CF,DF=EF,

：.BF-DF=CF-EF,

BD=CE；

(2)解：・・・8D=CE,F为0E的中点，

・•.BD+DF=CE+EF,

・・・BF=CF,

•・•AB=AC,

•••AF1BC,

•••^AFC=90°,Z.CAF=^BAF=70°,

・•.ZC=9O°-7O°=2O°.

【变式5](2024上•江苏•八年级姜堰区实验初中校考周测)如图，A4BC中，4D是边BC上的高，E、F分别

是CF、48的中点，且DC=BF.

⑴判断并说明DE与CF的位置关系；

（2）若4B=10,CF=8,求DE.

【答案】（1）DE1CF,理由见解析;

(2)DE=3.

【分析】（1）连接DF,由2D是边BC上的高，贝叱4DB=90。，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一

半得出DC=DF,最后由等腰三角形的"三线合一小性质即可；

（2）由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解；

此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和勾股定理，解题的关键是熟练掌

握知识点的应用.

【详解】（］）解：DE±CF,理由如下：

连接。尸，

EL40是边BC上的高,

回乙4DB=90°,

BF是4B的中点，

团DF=AF=BF,

WC=BF,

团DC=DF,

M是CF的中点，

0PE1CF；

(2)由(1)得：DE1CF,DC=DF=^AB=5,

=EF=工。尸=4,4CED=90°,

2

在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE=y/CD2-CE2=V52-42=3.

考点3：等腰三角形判定

典例3：（2024上•湖南常德•八年级校联考期末）如图所示，在△ABC中，BE平分乙4BC,DE\\BC.

(1)求证：ABDE是等腰三角形；

(2)若NZ=30°,ZC=70°,求NBDE的度数.

【答案】⑴见解析

⑵100°

【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理；

(1)由角平分线的定义得NDBE=乙CBE,由平行线的性质得NDEB=乙CBE,等量代换得NDBE=乙DEB,

即可求证；

(2)由三角形内角和定理得乙4BC=180°-N4—NC=80°,由平行线的性质得NBDE+乙DBC=180°,

即可求解；

掌握性质及等腰三角形的判定方法是解题的关键.

【详解】(1)证明：:BE平分乙4BC,

•••Z-DBE=乙CBE,

•・,DEWBC,

•••zJDEB=Z.CBE,

•••乙DBE=乙DEB,

DB=DE,

••.△引用是等腰三角形；

(2)解：・・•5=30°,乙C=70°

.•・/.ABC=180°--ZC

=180°-30°-70°

=80°,

•••DE\\BCf

•••LBDE+乙DBC=180°,

•••乙BDE=180°-80°=100°.

【变式1](2024上•甘肃武威,八年级校联考期末)如图，在AABC中，入4cB=90。，CE是斜边力B上的高,

角平分线BD交CE于点M.

(2)若4B=10,4C=8,求CM的长度.

【答案】⑴见解析

(2)3

【分析】(1)根据角平分线平分角，对顶角相等，以及等角的余角相等，推出NCD2=乙CMD,进而得到CM=

CD,即可得证；

(2)作。尸，48于点P,角平分线的性质得到CD=DF,勾股定理求出48的长，等积法求出CD的长，即可.

【详解】(1)证明：EIBD平分N4BC,

回乙CBD=Z.ABD,

^ACB=90°fCELAB,

^\Z-CBD+乙CDB=90°,Z.ABD+Z.BME=90°,

团4BME=Z.CMD,

^Z.ABD+乙CMD=90°,

^CDB=Z.CMD,

团CM=CD,

HACOM是等腰三角形；

(2)作DF,4B于点孔如图所示,

c

^Z.DCB=90°,80平分NZBC,

国DC=DF,

^ACB=90°fAB=10,AC=8,

SBC=7AB2—AC2=V102-82=6,

回S-RC=S4BCD+S^ADB‘

「ACBCBCCD+ABDF

团-----

222

pn8x66CD10DF

即一=------1-------,

222

解得CD=DF=3,

由（1）知：CM=CD,

fflCM=3,

即CM的长度为

【点睛】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的性质，勾股定理，等积法求线段的长.掌握相关知识点，

并灵活运用，是解题的关键.

【变式2］（2024上•湖南长沙•八年级统考期末）如图，在AABC中，8。平分N/1BC,C。平分N&CB,过点。作

BC的平行线与4B,4C分别相交于点M,N.若AB=5,AC=6,求AAMN的周长.

【答案】11

【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MB。和ACN。都是等腰三角形，从而可得M8=M。,

NO=NC,进而可得C-MN=48+4：,进行计算即可解答.

【详解】解:■.MN||BC,

•••4MOB=Z.OBC,/.N0C=/.OCB,

•••8。平分N4BC,。。平分N4CB,

A.OBC=Z.MBO,Z-ACO=乙OCB,

・•・乙MOB=^MBO,乙NOC=LACO,

・•.MB=MO,NC=NO,

vAB—5,AC—6,

C“MN=ZM+AN+MN

=AM+AN+MO+ON

=AM+AN+MB+NC

=AB+AC

=5+6

=11,

・・.△4MN的周长为

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的

性质可证等腰三角形是解题的关键.

【变式3］（2023上•江苏苏州•八年级校考阶段练习）如图，将矩形/BCDCAB<AD）沿BO折叠后，点C落

在点E处，且BE交AD于点F,若=6,BC=8.

⑴求DE的长；

（2）求4DEF的面积；

⑶求△DBF中F点到8。边上的距离.

【答案】⑴今

【分析】(1)易证BF=FD,在直角△ABF中，根据勾股定理就可以求出DF的长；

(2)由折叠的性质得BE=BC=8,DE=CD=6,zF=90°,EF=BE-BF=由4°旌=-EF-DE,

42

SRDBF=S&BDE-SADEF即可得出结果；

(3)由勾股定理得出BD的长，设F到BD边上的距离为无，贝USA°BF=|BD-％，即可得出结果.

【详解】(1)解：团四边形4BCD是矩形，

瓦W=BC=8,AB=CD=6,乙4=90°,AD||BC,

^/.DBC=Z.FDB,由折叠性质得：/.DBC=Z.DBE,

^Z-FDB=乙FBD,

WF=FD,

设4F=x,则BF=DF=8—x.

在RtzXABF中，由勾股定理得：AB2+AF2=BF2,即：62+%2=(8-%)2,

解得：%=

p4

725

⑦DF=8--=—；

44

(2)解：由折叠的性质得：BE=BC=8,DE=CD=4,ZE=90°,EF=BE-BF=8

44

i1721

团S△DEF=-EF-DE=-x-x6=—

2244f

1I2175

S〉DBF=S"DE~S^DEF=3BE-DE—6=-x8x6——=—；

(3)解：BD=y/AD2+AB2=V82+62=10,设尸到BD边上的距离为h,

则SADBF^-BD-h,即：-^-xlOh,解得：八=竺，

2424

团尸到BD边上的距离为竺.

4

【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性质，

运用三角形面积公式计算是解题的关键.

考点4：等边三角形性质

典例4：(2024上•江西赣州•八年级统考期末)如图，A4BC是等边三角形，已知AE=CD,BQ14D于Q,

BE与2。交于点P,下列结论中不一定成立的是().

E

BDC

A.NAPE=NCB.BP=2PQC.AQ=BQD.AE+BD=AB

【答案】C

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；根据等边三角形的性质可得力B=AC,

Z.BAE=NC=60°,再利用边角边证明△43后和4C4D全等.然后得到Nl=Z2,结合角的关系，得到“PE=

ZC；根据△BAE=△ACD,得至IU&BE=，进而得至l」Z_8PQ=60°,再木艮据8Q14。，得至IJ/P8Q=30°,

即可证明BP=2PQ.由4C4D全等对应边相等得到力D=BE；再结合边的关系，得到4c=AB；

即可得到答案.

【详解】解：如图所示：

•••AB=AC,乙BAE=ZC=60°,

在△43£1和4C4D中，

■AB=AC

/.BAE=NC=60°,

.AE=CD

.-.AABESACAD(SAS),

•••zl=z2,

Z.BPQ=z2+z3=zl+z3=Z.BAC=60°,

.­./.APE=ZC=60°,故A正确；

•・•△ABE=△CAD,

••・(ABE=Z.CAD,

•・•乙BAP+Z,CAD=乙BAC=60°,

・•・乙ABP+(BAP=60°,

••・(BPQ=Z.ABP+乙BAP=60°,

vBQ1ADf

・•・乙BQP=90°,

・・・(PBQ=30°,

・•.BP=2PQ.

故B正确；

-AC=BC.AE=DC,

BD=CE,

AE+BD=AE+EC=AC=AB,

故D正确，

无法判断BQ=2Q,

故C错误，

故选：C.

【变式1X2024上•全国•九年级专题练习)如图，。是等边△ABC边AB上的一点，且AD:DB=1:2,现将△ABC

折叠，使点C与。重合，折痕为EF,点E,F分别在力C和BC上，贝|CE:CF=()

【答案】B

【分析】本题考查翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，借助翻折变换的性质

得到DE=CE,DF=CF,证明△aED-AB。尸，再根据相似三角形的性质可得结论.解题的关键是掌握相

似三角形的判定与性质.

【详解】解：设=则DB=2k,

0A4BC为等边三角形，

EL4B=AC=3k,乙4=NB=NC=Z.EDF=60°,

^EDA+Z.FDB=180°-Z.EDF=120°,

又回NED力+Z.AED=180°-ZX=120°,

^Z-DEA=Z.FDB,

ElAAEDBDF,

由折叠，得：CE=DE,CF=DF

国△力ED的周长为4k,△BDF的周长为5k,

0AAED与ABDF的相似比为4:5

EICE:CF=DE-.DF=4:5.

故选：B.

【变式2】（2024上•湖北恩施•八年级统考期末）如图，AABC是等边三角形，点。是4B边上一点，连接CD,

点E是CD上一点，ACAE=/.BCD,则下列结论正确的是（）

【答案】B

【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，三角形全等判定与性质等知识.根据等边三角

形性质得到乙4ED=60°,即可B选项正确；若4E=AD,则乙4ED=/.ADE=60°,根据乙4OE>NB可以

得到A选项错误；延长力E交BC于点F,证明△4CFdCBD,得到CF=BD,根据CE*CF,得到CE丰BD,

得至!IC选项错误；证明N4EC=120°,乙BDC=120°-Z.BCD,从而得至IU2EC丰乙BDC,得至！JD选项错误.

【详解】解：回△ABC是等边三角形，

0Z4CB=NB=60°,AC=CB,

S\Z.CAE-Z.BCD,

^AED=/-CAE+^ACE=乙BCD+/.ACE=乙ACB=60°,故B选项正确，符合题意;

若4E=AD,贝！U/EO=/-ADE=60°,

^Z-ADE>乙B,

团A选项错误，不符合题意；

如图，延长/E交于点R

在和中，

Z.ACF=£B

Z-CAF=乙DCB,

、AC=CB

回△/CFCBD,

国CF=BD,

团CEHCF,

团CEW8D,故C选项错误，不符合题意；

团乙4EO=60°,

团乙4EC=120°,

团4BOC=180°-LB—乙BCD=120°一乙BCD,

团乙4ECWMDC,故D选项错误，不符合题意.

故选：B

【变式3］（2023上•山东临沂・九年级校考阶段练习）如图，△ZBC为等边三角形，点。，E分别在边BC,

上，/ADE=60。若8。=4DC,DE=2.4,则40的长为（）

A

【答案】c

【分析】先根据"两角对应相等,两三角形相似"证明△BDE-△C4D,则可得罪=弟由BD=4DC可得器=£

由此可得器即可求出的2D长.

AD5

本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形

的判定和性质是解题的关键.

【详解】自A48C为等边三角形，

NB="=60°,BCAC.

•••乙ADB=Z.ADE+Z.BDE=Z.CAD+乙C,Z.ADE=4C,

•••Z-BDE=Z.CAD,

BDE~△CAD,

.BD_DE

••AC~AD'

VBD=4DC,

BC=5DC,

-BD-=一,4

DC5

.BD_4

,,—―j

AC5

-D-E——4,

AD5

-2.-4=一4,

AD5

解得力。=3.

故选：C

考点5：等边三角形判定

典例5：(2022上•北京•八年级校联考期末)如图，E是N4。B的平分线上一点，EC1。B于C,ED1于

D,连接CD交。E于点F,若NAOB=60°.

⑴求证：△OCD是等边二角形;

(2)若DE=6,求线段OF的长.

【答案】⑴见解析

(2)9

【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30。直角三

角形的性质；

(1)求出DE=CE,证明已△ODEmRtAOCE(HL),可得。D=0C,再根据等边三角形的判定得出结论；

(2)根据含30。直角三角形的性质求出。E=2DE=12,EF=：DE=3,进而可得OF的长.

【详解】(1)证明：回点E是N40B的平分线上一点，EC1OB,ED10A,垂足分别是C,D,

国DE—CE,

在RtAODE与RtAOCE中，(丝=£3

^OE=OE

团Rt△ODE=Rt△OCE(HL),

BOD=OC,

团乙/OB=60°,

团△OCD是等边三角形；

(2)解：回△0C0是等边三角形，。尸是NCOO的平分线，

团OE1DC,

回乙4。8=60°,

团440E=乙BOE=30°,

BOE=2DE=12,

国乙ODF=60°,ED10A,

团乙EDF=30°,

WF=-DE=3,

2

团OF=OE-EF=12-3=9.

【变式1](2023上•江苏宿迁•八年级校联考期中)如图，△48。和4。。£者8是等边三角形，且点A、。、E

在一条直线上，AD与BC相交于点M,BE与CD相交于点N.

求证：

(1MD=BE；

⑵ACMN是等边三角形.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与

性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.

(1)证明△4C0=△BCE(SAS),贝Ij/O=BE；

(2)由(1)得：XACD任BCE,即=证明△ZCM三△BCN(ASA),贝！JCM=CN,进而可

证△”0可是等边三角形.

【详解】(1)证明：团△ZBC和△CDE都是等边三角形，

^\BC=AC,CE=CD,^BCA=Z.ECD=60°,

国乙BCA+乙BCD=乙ECD+乙BCD,乙BCD=60°,

⑦匕BCE=Z.ACD,

在△4CD和ABCE中，

AC=BC

团NZCD=乙BCE,

CD=CE

团△ZCO=△BCE(SAS),

囿40=BE；

(2)证明：由(1)得：2ACD任BCE,

SZ.DAC=Z.EBC,

在AACM和ABCN中，

/.MAC=乙NBC

0AC=BC,

.^ACM=60°=乙BCN

SAACMSABCN(ASA),

0CM=CN,

[azMCW=60°,

0AMCN是等边三角形.

【变式2](2023上•广东广州,八年级铁一中学校考期中)如图，在AABC中，AB=AC,ABAC=120°,AD

是BC上的中线，E是AC的中点，连接

⑴求证：AADE为等边三角形;

(2)若2D=3,求力B的长.

【答案】⑴见解析

(2)6

【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角的性质，等边三角形的判定，熟记各性质

是解题的关键.

(1)首先根据三角形内角和定理和等边对等角得到NB=4C=30。，然后根据等腰三角形三线合一性质得

到NC4D=60。，进而得到4D=14C=AE,即可证明出△力DE为等边三角形；

(2)利用30。角直角三角形的性质求解即可.

【详解】(1)^BAC=120°,AB=AC,AD是BC上的中线，

0ZB="=30°,AD1BC,/.CAD=-/.BAC=60°,

2

EL4D=-AC=AE,

2

0A力DE为等边三角形;

(2)回乙8=Z.C=30°,AD1BC,

BAB=2AD=6.

【变式3】(2023上•江苏盐城•八年级统考期中)已知：如图，等边AABC中，点E在边BC上，CD||AB,

且CD=BE.

(1)求证：XABE力ACD；

(2)判断AZDE的形状，并说明理由.

【答案】⑴见解析

⑵等边三角形，理由见解析

【分析】(1)根据等边三角形的性质得AB=4C/BAC=60。,再根据"两直线平行，内错角相等"得乙48=60。,

然后根据S4S可得答案；

(2)根据全等三角形的性质得4E=40,^BAE=^CAD,再说明4£ME=60。，即可得出△力OE是等边三角

形.

【详解】(1)回△ABC等边三角形，

MB=AC,ABAC=60°.

0CD||AB,

=60°.

回CD=BE,

I3AABE^AACD；

(2)△4DE是等边三角形.理解如下：

[?]△ABE^LACD,

^\AE=AD,Z-BAE=Z.CAD,

^\Z-BAC=Z-BAE+Z.CAE=Z-CAD+Z.CAE=60°,

即皿1E=6O。,

0A4DE是等边三角形.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等边三角形的判定，灵活选择判定定

理是解题的关键.

考点6：等边三角形判定与性质综合

典例6：(2024上•山西吕梁•八年级统考期末)如图，△48C是等腰三角形，2B=AC,点E分别在边BC,

北上，将ACDE沿着DE折叠，点C的对应点厂恰好落在4B上，且CD=C'B.

⑴求证：△力C'E是等腰三角形；

(2)连接CC，交DE于点F,若乙4=60°,AB=8,求DF的长度.

【答案】⑴证明见解析

(2)DF=2

【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，特殊角

的直角三角形的应用.

(1)利用折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定证明即可.

(2)利用等边三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形性质计算即可.

【详解】(1)根据折叠的性质，得CD=C'D/ECB=Z.ECD.

SCD=C'B,

0CD=CD=C'B,

^Z.C'BD=乙C'DB,

SAB=AC,

EINC'B。=Z.ECB,

^/.C'BD=Z.ECB=乙C'BD=/.C'DB=Z.ECD,

EIC'E||BC,

^AC'E=/.ABC=^AEC=Z.ACB,

^AC=AE,

故△力C'E是等腰三角形.

(2)MB=AC,N4=60°,AB=8,

团△力BC是等边三角形，

EL4B=BC=8,Z.ACE=/.ABC=/.AEC=/.ACB=60°,

0ABDL是等边三角形，

0BZ)=DC=BC=CD=-BC=4,

2

EL4C'=BC=-AB=4,

2

^DCF=-^ACB=30°,

2

根据折叠性质，得NDFC=90。,

助y—2.

【变式1](2024上•湖南邵阳•八年级统考期末)如图1,点4C、E在同一条直线上，在AACB和△ECD中,

CA=CB,CD=CE,N力CB=乙DCE=a,AD,BE相交于点M.

⑴求证：XADCm4BEC；

(2)用含a的式子表示N&例B的度数;

(3)如图2,当a=60。时，取4D,BE的中点分别为点P、Q,连接CP,CQ,PQ,判断△CPQ的形状，并加

以证明.

【答案】(1)见解析

(2)Z-AMB=a

⑶等边三角形，证明见解析

【分析】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识;

(1)根据已知条件，证明AaCD三△BCE(SAS),可得结论.

(2)利用全等三角形的性质解决问题即可.

(3)由条件先证明△4PCmABQC,=^QCB,则可证明△PCQ为正三角形.

【详解】(1)证明：如图1中，

图I

•••Z-ACB=Z-DCE=a,

回乙ACB+乙BCD=Z.DCE+乙BCD,

Z.ACD=乙BCE,

在△ZCD和△BCE中，

CA=CB

Z.ACD=乙BCE,

CD=CE

ACD=△BCE(SAS).

(2)解：设/D交于点。，

图I

:△ACD=△BCE,

•••Z.CAD=Z.CBE,

•••Z.AOC=Z.BOM,

・•.Z.BMO—Z-ACO—a,

即乙4MB=a.

(3)解：结论：ACPQ是等边三角形，理由如下:

B

ACD=△BC,

•••AD=BE,Z-PAC=Z-QBC,

P>Q分别是a。、BE的中点，

AP=BQ,

在Aapc和ABQC中，

"AP=BQ

/.PAC=Z.QBC,

.AC=BC

APC兰ABQC(SAS),

•••CP=CQ,^PCA=乙QCB,

：.乙PCQ=乙ACB=60°,

・•.△CPQ是正三角形.

【变式2](2024上•安徽马鞍山•八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末)已知，如图△4BC,E是BC上一

点，ABAC=^AEB=a,△ABC角平分线BD交2E于H,G为DH中点，延长4G交BC于尸.

⑴求证：AH=AD；

(2)若a=80。，NC=40。，求证：AF=AB.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌

握相关性质定理是解题的关键.

(1)根据角平分线的定义得出"BD=NDBC,结合三角形的内角和定理得出NBHE=NAHD=N4DH,即

可求证AH=AD；

(2)先根据：三线合一得出4G1BD,进而得出B4=BF.根据三角形的内角和定理得出NABF=60。，则

△4BF为等边三角形，即可求证BA=BF=4F.

【详解】(1)证明：加。平分乙48C,

SZ.ABD=Z.DBC,

又回NB4C=NAEB,^ABD+^BAC+Z.BDA=180°,AAEB+AEBD+ABHE=180°

=Z.AHD=乙ADH,

EL4W=AD.

(2)证明：^AH=AD,G为DH中点，

EL4G1BD,

EIBD平分NABC,

ElZfiXF=Z.BFA,

0BX=BF.

又la/BAC=80°,ZC=40°,

0ZXBF=60°,

0A力BF为等边三角形，

SBA=BF=4F.

【变式3】(2024上,湖南长沙•八年级统考期末)如图，点P,M,N分别在等边△ABC的各边上，且MP1

于点P,MN1BC于点M,PN14C于点N.

⑴求证：△PMN是等边三角形;

(2)若4c=12cm,求CM的长.

【答案】⑴见解析

(2)4cm

【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定与性质，含30。角的直角三

角形的特征.

(1)根据等边三角形的性质得出乙4==〃=60。进而得出NMP8=乙NMC=乙PNA=90°,再根据平

角的意义即可得出4NPM=乙PMN=乙MNP,即可得出结论；

(2)易证得△PBM=△MCN=△N4P(AAS),得出P4=BM=CN,PB=MC=AN,从而求得+PB=

AB=12cm,根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM,即可求得的长，进而

得出MC的长.

【详解】(1)证明：•「△ABC为等边三角形,

Z.A=Z-B=Z-C=60°,

vMPLAB,MN1BC,PNLAC,

・•.Z.MPB=乙NMC=乙PNA=90°,

.:乙PMB=90。一乙B,乙MNC=90。一乙C,^APN=90°-Z.^,

・•・乙PMB=乙MNC=乙APN,

•・•(NPM=90°-乙APN,乙PMN=90°-4MB,乙MNP=90°-乙MNC,

・••乙NPM="MN=乙MNP,

・•.△PMN是等边三角形；

Z.B=/.C=Z-A

(2)•••乙BPM=乙CMN=乙ANP，

PA=BM=CN

.*.△PBM=△MCN=△NAP(AAS),

・•.PA=BM=CN,PB=MC=AN,

BM+PB=AB=12cm,

Z-A=Z-B—£.C—60°,

••・乙BMP=30°,

・•・2PB=BM,

2PB+PB=12cm,

.・.PB=4cm,

••・CM=4cm.

考点7：垂直平分线的性质

典例7：(2024上,安徽合肥•八年级统考期末)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是NB4C的角平分

线，MF垂直平分力E,垂足为点X,分别交48、AD,力C于点N、G、F,交CB的延长线于点M,连接EF,

下列结论中错误的是()

1

A.ZM=ADAEB.^DAE=|{/.ABC-zC)

C.EF||A