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文档简介
专题05特殊三角形
厂考点类型
考点7:垂直平分线的性质
考点1:等腰三角形性质——等边对等角
考点8:垂直平分线的判定
考点9:直角三角形一斜边中线
模块四图形的性质
考点10:直角三角形——含30°角
05讲特殊三角形
考点11:直角三角形——含45°角
考点12:直角三角形一勾股定理
考点13:直角三角形——两角互余
匚下7知识一遍过
(一)等腰三角形的性质与判定
(1)性质
①等边对等角:两腰相等,底角相等,即AB=AC=NB=NC;
②三线合一:顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;
③对称性:等腰三角形是轴对称图形,顶角的平分线(或底边上的中线或底边上的高)所在的直线就是对
称轴.
(2)判定
①定义:有两边相等的三角形是等腰二角形;
②等角对等边:即若NB=NC,贝必ABC是等腰三角形.
注意:三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中,只要满足其中两个,其余均成立.
失分点警示:当等腰三角形的腰和底不明确时,需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30。,则另
外两个角的度数为30°、120。或75°、75°.
(二)等边三角形的性质与判定
(1)性质
①边角关系:三边相等,三角都相等且都等于眦.
②对称性:等边三角形是轴对称图形,三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.
(2)判定
①定义:三边都相笠的三角形是等边三角形;
②三个角都相等(均为60。)的三角形是等边三角形;
③任一内角为60。的等腰三角形是等边三角形.
即若AB=AC,且/B=60。,贝!!△ABC是等边三角形.
注意:(1)等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
(2)等边三角形有一个特殊的角60。,所以当等边三角形出现高时,会结合直角三角形30。角的性质,即
BD=iAB.
2
(三)角平分线与垂直平分线的性质
(1)角平分线
①性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.即若
Z1=Z2,PALOA,PBLOB,则用=阳
②判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上,即PA=PB。
(2)垂直平分线
①性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等.即若。垂直且平分力6,则阳=期
②判定:到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
(四)直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即NA+NB=2Q2;
(2)30。角所对的直角边等于斜边的二生.即若NB=30。,则AC=|包;
(3)斜边上的空线长等于斜边长的一半.即若CD是中线,则CD=^AB.
(4)勾股定理:两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即a?+b2=贮.
(五)直角三角形的判定
(1)有一个角是直鱼的三角形是直角三角形.即若/C=2QS则AABC是直角三角形;
(2)如果三角形一条边的中线等于这条边的二生,那么这个三角形是直角三角形.
即若AD=BD=£2,贝必ABC是直角三角形
(3)勾股定理的逆定理:若a?+b2=k,则AABC是直角三角形.
'看」考点一遍过
考点1:等腰三角形的性质一一等边对等角
典例1:(2024上•安徽马鞍山•八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末)如图,AABC三△4DE,点。在BC
上,若4氏4。=30。,则乙4DE的度数为()
A.60°B.65°C.70°D.75°
【答案】D
【分析】根据“全等三角形的对应角相等,对应边相等"可得4BAC=ND4E且4D=AB,由此可得4应40=
/.EAC=30°,由2D=48并根据三角形内角和定理即可求出乙4DE的度数.
本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理、等边三角形性质等知识,熟练掌握全等三角形的
性质和三角形内角和定理时解题的关键.
【详解】0A/1SC三△4DE,
..乙BAC=4DAE,S.AD=AB,
•*.Z-BAC-Z.CAD=Z-DAE-Z-CAD»
即NBAD=AEAC=30°.
又财。=AB,
11
../.ADE=/.ABC=j(180°-/.BAD}=其180。-30°)=75°.
故选:D.
【变式l】(2013上•江苏苏州•八年级统考期中)如图,△ABC中,以8为圆心,BC长为半径画弧,分别交AC、AB
于。、E两点,并连接BD、DE.若N4=30。,AB=AC,贝UNBDE的度数为()
A.67.5°B.52.5°C.45°D.75°
【答案】A
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点,熟练运用“等边对等角"求角的度数是解
题关键.
根据三角形内角和定理以及"等边对等角"可得N4BC=乙ACB=75°,再利用三角形的内角和定理可得
乙DBE=45°,最后再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出NBDE的度数即可.
【详解】解:0XB=ac,
0ZXBC=乙4CB,
0ZX=30°,
ElzXBC=Z.ACB=1180°-30°)=75°,
团以8为圆心,BC长为半径画弧,
WE=BD=BC,
EINBDC=乙4cB=75°,
0ZCBD=180°-75°-75°=30°,
0ZDSE=75°-30°=45°,
0ZBED=乙BDE=|(180°-45°)=67.5°.
故选:A.
【变式2](2024上•四川内江,八年级统考期末)如图,AABC和AECD都是等腰直角三角形,aABC的顶点
A在△£•5)的斜边。E上.下列结论:其中正确的有()
①AACE34BCD②BD+AD=DE
③N£MB=4BCD@AE2+AD2=2BC2
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的性质,三角形全等的判定及性质,勾股定理.
由△力BC和△£1(?£)都是等腰直角三角形,可证NBCD=N4CE,进而根据"SAS"可证△ACE三△BCD,故结论
①正确;由八月。石三43。。可得8。=4凡进而可证结论②正确;由AABC和AECD都是等腰直角三角形
可得NC4B=ACBA=45°乙E=乙CDE=45°,从而证得NDB4=AACD,UDB=90。进而得到NDB4+
Z.DAB=90°,/.BCD+ZXCD=90°,因此4048=NDCB,故结论③正确;在Rt△ABD中,BD?+
在RtAZBC中,AC2+BC2=AB2,因此BO?+4。2=AC2+BC2,等量代换即可得至!ME?+=28c2,
故结论④正确.
【详解】团AABC和都是等腰直角三角形,
0C/1=CB,CE=CD,LBCA=ADCE=90°,
团匕BCA-Z-DCA=Z-DCE-Z.DCA,
BPzBCD=L.ACE,
^ACESABCD(SAS),故结论①正确;
(21AACE=△BCD,
鲂。=AE,
^BD+AD=AE+AD=DE,故结论②正确;
回乙BCA=乙DCE=90°,
BZ.CAB+/-CBA=90°,乙E+4CDE=90°,
BCA=CB,CE=CD,
^CAB=Z.CBA=45°,Z.E=乙CDE=45°,
[?]△ACE=△BCD,
^\Z-EAC=乙DBC,
^EAC=^ADC+“CD=45°+匕ACD,
乙DBC=/-ABC+ADBA=45°+/-DBA,
^Z-DBA=Z.ACD,
[?]△ACE=△BCD,
^BDC=^AEC=45°,
^ADB=乙ADC+(BDC=45°+45°=90°,
^DBA+/.DAB=90°,
^BCD+AACD=乙ACB=90°,
S^DAB=乙DCB,故结论③正确;
El在RtzkABD中,BD2+AD2=AB2,
在RtAABC中,AC2+BC2=AB2,
^\BD2+AD2=AC2+BC2,
团BD=AE,AC—BC,
S\AE2+AD2=2BC2,故结论④正确.
综上,正确的结论有4个.
故选:D
【变式3](2018•天津河东,八年级统考期末)如图AAOB三AADC,4。=ZD=90。,记4。4D=a,/.ABO=£,
当4。IIBC时,a与/?之间的数量关系为().
A.a+夕=90°B.a+2s=180°C.a=BD.a=2/3
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,熟记各性质并理清图中各角
度之间的关系是解题的关键.根据全等三角形的性质可得4B=AC,Z.BAO=ACAD,然后求出NB4C=a,
再根据等腰三角形两底角相等求出乙4BC,然后根据两直线平行,同旁内角互补表示出NOBC,整理即可.
【详角牟】解:•・・^AOB=LADC,
,•AB=ACfZ.BAO=Z.CAD,
•••Z-BAC=Z.OAD=a,
在△48C中,448c=|(180。-a)
•••AO||BC,
・•・(OBC=180°一乙0=180°-90°=90°,
•••£+)180。-a)=90。,
整理得a=2£.
故选:D.
考点2:等腰三角形的性质一一三线合一
典例2:(2024上•河北沧州•八年级统考期末)如图,等腰A/IBC的底边BC长为3,面积是6,腰力B的垂直
平分线EF分别交4B,AC于点E,F,若点。为底边BC的中点,点M为线段EF上一动点,则ABDM的周长
C.5.5D.6
【答案】C
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.如图,
连接力。,由题意点8关于直线EF的对称点为点A,推出4D的长为BM+MD的最小值即可.
【详解】解:如图,连接
A
BC
D
•・•△/8。是等腰三角形,点。是8。边的中点,
・•・AD1BC,
ii
•••S〉ABC=3BC-AD=-x3-AD=6,
AD=4,
EIEF是线段ZB的垂直平分线,
国点B关于直线EF的对称点为点A,
•••力D的长为BM+MD的最小值,
0A8DM的周长最短为4。+BD=AD+^BC=5.5,
故选:C.
【变式11(2023上•新疆喀什•八年级校联考期中)如图,"=48=8。,乙4BD=90。,BC=6,则ABCD
的面积为()
A.9B.6C.10D.12
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质,三角形全等的判定与性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助
线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
首先作2E18c于E,作OF1CB交CB的延长线于F.根据等腰三角形三线合一的性质,得出CE=BE=\BC,
证明AABE三ABDF,得出△BCD的高即为EB,即可求得面积.
【详解】解:作4EJ.8C于E,作DF_LCB交C8的延长线于尸
-AB=AC,BC=6f
1
・•.CE=BE=-BC=3,
•・•乙ABD=90°,DF1CB,
•••乙ABC+乙DBF=乙BDF+乙DBF,
••・Z-ABC=Z-BDF,
vAE1BC,
・•・^AEB=乙BFD=90。,
在和△BOF中,
^ABC=乙BDF
Z-AEB=乙BFD,
、AB=BD
.*.△ABE-△BDF(AAS),
・•.DF=BE=34BCO的高即为OF,
11
・•・SPCD=2BC-DF=-x6x3=9.
故选:A.
【变式2](2023上•山东聊城•八年级校考阶段练习)如图,已知等边△ABC中,点。是AC的中点,点E是
延长线上的一点,且CE=CD,DMLBC,垂足为求证:点M是BE的中点.
【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形,熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键.连接
根据等边三角形的性质可得408c=30。,再利用三角形的外角性质推出4E=30。,从而得到△BOE为等腰
三角形,利用等腰三角形三线合一的性质即可得证.
【详解】证明:如图,连接BD.
团在等边△ZBC中,点。是/C的中点,
SZ.DBC=-/-ABC=3x60。=30°,乙4cB=60°.
22
BCE=CD,
⑦乙CDE=Z-E.
^Z.ACB=乙CDE+乙E,
0Z£=-AACB=30°,
2
0ZPSC=NE=30°,
^BD=ED,
0ABDE为等腰三角形.
又EIDM1BC,
回点M是BE的中点.
【变式3】(2023上•江西南昌•八年级校考阶段练习)如图,在ATIBC中,AB=AC,CD垂直4B于D,P为BC
上的任意一点,过P点分别作PE14B,PF1CA,垂足分别为E,F.
⑴若P为BC边中点,贝UPE,PF,CD三条线段有何数量关系(写出推理过程)?
(2)若P为线段BC上任意一点,则(1)中关系还成立吗?
【答案】(1)CD=PE+PF,理由见解答
(2)(1)中关系还成立,理由见解答
【分析】本题考查了等腰三角形的性质,在解决一题多变的时候,基本思路是相同的,注意通过不同的方
法计算同一个图形的面积,来进行证明结论的方法,是非常独特的,也是一种很好的方法,注意掌握应用.
(1)如图,连接P4根据三角形的面积公式列方程即可得到结论;
(2)连接P4根据三角形的面积公式即可得到结论.
【详解】(1)解CD=PE+PF,
理由:如图工,连接24,
团CD1AB于D,PE148于E,PF14c于F,
回S△力BC=xCD,S^PAB=鼻48xPE,S^p^(j=->1CxPF,
又回S4BC=S2PAB+S^PAC
^ABxCD=-ABxPE+-ACxPF,
222
团48=AC
BCD=PE+PF;
(2)(1)中关系还成立,
理由:连接P4,
vCD1AB,PE1ABtPF1AC,
=
■:^LABC=鼻"^xCD,S,AB3ABxPE,S^PAC=-i4CxPF,
又•••^LABC=S^PAB+SM/C,
111
・•・-ABxCD=-ABxPE+-ACxPF,
222
•・•AB=AC
・•.CD=PE+PF.
【变式4](2023上•全国•八年级课堂例题)如图①所示,点O,E在△ABC的边BC上,AB=AC.
①②
(1)若求证:BD=CE.
⑵如图②所示,若=尸为DE的中点,Z.BAF=70°,求乙C的度数.
【答案】⑴见解析
(2)20°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质的应用,注意:等腰三角形的底边上的高,底边上的中线,顶角的
平分线互相重合.
(1)过4作4F1BC于F,根据等腰三角形的性质得出BF=CF,DF=EF,即可求出答案;
(2)证明BF=CF,根据等腰三角形的性质得出即可.
【详解】(1)证明:如图,过4作4F18C于F,
•••BF=CF,DF=EF,
:.BF-DF=CF-EF,
BD=CE;
(2)解:・・・8D=CE,F为0E的中点,
・•.BD+DF=CE+EF,
・・・BF=CF,
•・•AB=AC,
•••AF1BC,
•••^AFC=90°,Z.CAF=^BAF=70°,
・•.ZC=9O°-7O°=2O°.
【变式5](2024上•江苏•八年级姜堰区实验初中校考周测)如图,A4BC中,4D是边BC上的高,E、F分别
是CF、48的中点,且DC=BF.
⑴判断并说明DE与CF的位置关系;
(2)若4B=10,CF=8,求DE.
【答案】(1)DE1CF,理由见解析;
(2)DE=3.
【分析】(1)连接DF,由2D是边BC上的高,贝叱4DB=90。,再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一
半得出DC=DF,最后由等腰三角形的"三线合一小性质即可;
(2)由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解;
此题考查了等腰三角形的性质,直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和勾股定理,解题的关键是熟练掌
握知识点的应用.
【详解】(])解:DE±CF,理由如下:
连接。尸,
EL40是边BC上的高,
回乙4DB=90°,
BF是4B的中点,
团DF=AF=BF,
WC=BF,
团DC=DF,
M是CF的中点,
0PE1CF;
(2)由(1)得:DE1CF,DC=DF=^AB=5,
=EF=工。尸=4,4CED=90°,
2
在Rt△CDE中,由勾股定理得:DE=y/CD2-CE2=V52-42=3.
考点3:等腰三角形判定
典例3:(2024上•湖南常德•八年级校联考期末)如图所示,在△ABC中,BE平分乙4BC,DE\\BC.
(1)求证:ABDE是等腰三角形;
(2)若NZ=30°,ZC=70°,求NBDE的度数.
【答案】⑴见解析
⑵100°
【分析】本题考查了平行线的性质,等腰三角形的判定,三角形内角和定理;
(1)由角平分线的定义得NDBE=乙CBE,由平行线的性质得NDEB=乙CBE,等量代换得NDBE=乙DEB,
即可求证;
(2)由三角形内角和定理得乙4BC=180°-N4—NC=80°,由平行线的性质得NBDE+乙DBC=180°,
即可求解;
掌握性质及等腰三角形的判定方法是解题的关键.
【详解】(1)证明::BE平分乙4BC,
•••Z-DBE=乙CBE,
•・,DEWBC,
•••zJDEB=Z.CBE,
•••乙DBE=乙DEB,
DB=DE,
••.△引用是等腰三角形;
(2)解:・・•5=30°,乙C=70°
.•・/.ABC=180°--ZC
=180°-30°-70°
=80°,
•••DE\\BCf
•••LBDE+乙DBC=180°,
•••乙BDE=180°-80°=100°.
【变式1](2024上•甘肃武威,八年级校联考期末)如图,在AABC中,入4cB=90。,CE是斜边力B上的高,
角平分线BD交CE于点M.
(2)若4B=10,4C=8,求CM的长度.
【答案】⑴见解析
(2)3
【分析】(1)根据角平分线平分角,对顶角相等,以及等角的余角相等,推出NCD2=乙CMD,进而得到CM=
CD,即可得证;
(2)作。尸,48于点P,角平分线的性质得到CD=DF,勾股定理求出48的长,等积法求出CD的长,即可.
【详解】(1)证明:EIBD平分N4BC,
回乙CBD=Z.ABD,
^ACB=90°fCELAB,
^\Z-CBD+乙CDB=90°,Z.ABD+Z.BME=90°,
团4BME=Z.CMD,
^Z.ABD+乙CMD=90°,
^CDB=Z.CMD,
团CM=CD,
HACOM是等腰三角形;
(2)作DF,4B于点孔如图所示,
c
^Z.DCB=90°,80平分NZBC,
国DC=DF,
^ACB=90°fAB=10,AC=8,
SBC=7AB2—AC2=V102-82=6,
回S-RC=S4BCD+S^ADB‘
「ACBCBCCD+ABDF
团-----
222
pn8x66CD10DF
即一=------1-------,
222
解得CD=DF=3,
由(1)知:CM=CD,
fflCM=3,
即CM的长度为
【点睛】本题考查等腰三角形的判定,角平分线的性质,勾股定理,等积法求线段的长.掌握相关知识点,
并灵活运用,是解题的关键.
【变式2](2024上•湖南长沙•八年级统考期末)如图,在AABC中,8。平分N/1BC,C。平分N&CB,过点。作
BC的平行线与4B,4C分别相交于点M,N.若AB=5,AC=6,求AAMN的周长.
【答案】11
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MB。和ACN。都是等腰三角形,从而可得M8=M。,
NO=NC,进而可得C-MN=48+4:,进行计算即可解答.
【详解】解:■.MN||BC,
•••4MOB=Z.OBC,/.N0C=/.OCB,
•••8。平分N4BC,。。平分N4CB,
A.OBC=Z.MBO,Z-ACO=乙OCB,
・•・乙MOB=^MBO,乙NOC=LACO,
・•.MB=MO,NC=NO,
vAB—5,AC—6,
C“MN=ZM+AN+MN
=AM+AN+MO+ON
=AM+AN+MB+NC
=AB+AC
=5+6
=11,
・・.△4MN的周长为
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质,平行线的性质,熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的
性质可证等腰三角形是解题的关键.
【变式3](2023上•江苏苏州•八年级校考阶段练习)如图,将矩形/BCDCAB<AD)沿BO折叠后,点C落
在点E处,且BE交AD于点F,若=6,BC=8.
⑴求DE的长;
(2)求4DEF的面积;
⑶求△DBF中F点到8。边上的距离.
【答案】⑴今
【分析】(1)易证BF=FD,在直角△ABF中,根据勾股定理就可以求出DF的长;
(2)由折叠的性质得BE=BC=8,DE=CD=6,zF=90°,EF=BE-BF=由4°旌=-EF-DE,
42
SRDBF=S&BDE-SADEF即可得出结果;
(3)由勾股定理得出BD的长,设F到BD边上的距离为无,贝USA°BF=|BD-%,即可得出结果.
【详解】(1)解:团四边形4BCD是矩形,
瓦W=BC=8,AB=CD=6,乙4=90°,AD||BC,
^/.DBC=Z.FDB,由折叠性质得:/.DBC=Z.DBE,
^Z-FDB=乙FBD,
WF=FD,
设4F=x,则BF=DF=8—x.
在RtzXABF中,由勾股定理得:AB2+AF2=BF2,即:62+%2=(8-%)2,
解得:%=
p4
725
⑦DF=8--=—;
44
(2)解:由折叠的性质得:BE=BC=8,DE=CD=4,ZE=90°,EF=BE-BF=8
44
i1721
团S△DEF=-EF-DE=-x-x6=—
2244f
1I2175
S〉DBF=S"DE~S^DEF=3BE-DE—6=-x8x6——=—;
(3)解:BD=y/AD2+AB2=V82+62=10,设尸到BD边上的距离为h,
则SADBF^-BD-h,即:-^-xlOh,解得:八=竺,
2424
团尸到BD边上的距离为竺.
4
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识,熟练掌握折叠的性质,
运用三角形面积公式计算是解题的关键.
考点4:等边三角形性质
典例4:(2024上•江西赣州•八年级统考期末)如图,A4BC是等边三角形,已知AE=CD,BQ14D于Q,
BE与2。交于点P,下列结论中不一定成立的是().
E
BDC
A.NAPE=NCB.BP=2PQC.AQ=BQD.AE+BD=AB
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质;根据等边三角形的性质可得力B=AC,
Z.BAE=NC=60°,再利用边角边证明△43后和4C4D全等.然后得到Nl=Z2,结合角的关系,得到“PE=
ZC;根据△BAE=△ACD,得至IU&BE=,进而得至l」Z_8PQ=60°,再木艮据8Q14。,得至IJ/P8Q=30°,
即可证明BP=2PQ.由4C4D全等对应边相等得到力D=BE;再结合边的关系,得到4c=AB;
即可得到答案.
【详解】解:如图所示:
•••AB=AC,乙BAE=ZC=60°,
在△43£1和4C4D中,
■AB=AC
/.BAE=NC=60°,
.AE=CD
.-.AABESACAD(SAS),
•••zl=z2,
Z.BPQ=z2+z3=zl+z3=Z.BAC=60°,
../.APE=ZC=60°,故A正确;
•・•△ABE=△CAD,
••・(ABE=Z.CAD,
•・•乙BAP+Z,CAD=乙BAC=60°,
・•・乙ABP+(BAP=60°,
••・(BPQ=Z.ABP+乙BAP=60°,
vBQ1ADf
・•・乙BQP=90°,
・・・(PBQ=30°,
・•.BP=2PQ.
故B正确;
-AC=BC.AE=DC,
BD=CE,
AE+BD=AE+EC=AC=AB,
故D正确,
无法判断BQ=2Q,
故C错误,
故选:C.
【变式1X2024上•全国•九年级专题练习)如图,。是等边△ABC边AB上的一点,且AD:DB=1:2,现将△ABC
折叠,使点C与。重合,折痕为EF,点E,F分别在力C和BC上,贝|CE:CF=()
【答案】B
【分析】本题考查翻折变换的性质,相似三角形的判定和性质,等边三角形的性质,借助翻折变换的性质
得到DE=CE,DF=CF,证明△aED-AB。尸,再根据相似三角形的性质可得结论.解题的关键是掌握相
似三角形的判定与性质.
【详解】解:设=则DB=2k,
0A4BC为等边三角形,
EL4B=AC=3k,乙4=NB=NC=Z.EDF=60°,
^EDA+Z.FDB=180°-Z.EDF=120°,
又回NED力+Z.AED=180°-ZX=120°,
^Z-DEA=Z.FDB,
ElAAEDBDF,
由折叠,得:CE=DE,CF=DF
国△力ED的周长为4k,△BDF的周长为5k,
0AAED与ABDF的相似比为4:5
EICE:CF=DE-.DF=4:5.
故选:B.
【变式2】(2024上•湖北恩施•八年级统考期末)如图,AABC是等边三角形,点。是4B边上一点,连接CD,
点E是CD上一点,ACAE=/.BCD,则下列结论正确的是()
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质,三角形外角定理,三角形全等判定与性质等知识.根据等边三角
形性质得到乙4ED=60°,即可B选项正确;若4E=AD,则乙4ED=/.ADE=60°,根据乙4OE>NB可以
得到A选项错误;延长力E交BC于点F,证明△4CFdCBD,得到CF=BD,根据CE*CF,得到CE丰BD,
得至!IC选项错误;证明N4EC=120°,乙BDC=120°-Z.BCD,从而得至IU2EC丰乙BDC,得至!JD选项错误.
【详解】解:回△ABC是等边三角形,
0Z4CB=NB=60°,AC=CB,
S\Z.CAE-Z.BCD,
^AED=/-CAE+^ACE=乙BCD+/.ACE=乙ACB=60°,故B选项正确,符合题意;
若4E=AD,贝!U/EO=/-ADE=60°,
^Z-ADE>乙B,
团A选项错误,不符合题意;
如图,延长/E交于点R
在和中,
Z.ACF=£B
Z-CAF=乙DCB,
、AC=CB
回△/CFCBD,
国CF=BD,
团CEHCF,
团CEW8D,故C选项错误,不符合题意;
团乙4EO=60°,
团乙4EC=120°,
团4BOC=180°-LB—乙BCD=120°一乙BCD,
团乙4ECWMDC,故D选项错误,不符合题意.
故选:B
【变式3](2023上•山东临沂・九年级校考阶段练习)如图,△ZBC为等边三角形,点。,E分别在边BC,
上,/ADE=60。若8。=4DC,DE=2.4,则40的长为()
A
【答案】c
【分析】先根据"两角对应相等,两三角形相似"证明△BDE-△C4D,则可得罪=弟由BD=4DC可得器=£
由此可得器即可求出的2D长.
AD5
本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质,熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形
的判定和性质是解题的关键.
【详解】自A48C为等边三角形,
NB="=60°,BCAC.
•••乙ADB=Z.ADE+Z.BDE=Z.CAD+乙C,Z.ADE=4C,
•••Z-BDE=Z.CAD,
BDE~△CAD,
.BD_DE
••AC~AD'
VBD=4DC,
BC=5DC,
-BD-=一,4
DC5
.BD_4
,,—―j
AC5
-D-E——4,
AD5
-2.-4=一4,
AD5
解得力。=3.
故选:C
考点5:等边三角形判定
典例5:(2022上•北京•八年级校联考期末)如图,E是N4。B的平分线上一点,EC1。B于C,ED1于
D,连接CD交。E于点F,若NAOB=60°.
⑴求证:△OCD是等边二角形;
(2)若DE=6,求线段OF的长.
【答案】⑴见解析
(2)9
【分析】本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,含30。直角三
角形的性质;
(1)求出DE=CE,证明已△ODEmRtAOCE(HL),可得。D=0C,再根据等边三角形的判定得出结论;
(2)根据含30。直角三角形的性质求出。E=2DE=12,EF=:DE=3,进而可得OF的长.
【详解】(1)证明:回点E是N40B的平分线上一点,EC1OB,ED10A,垂足分别是C,D,
国DE—CE,
在RtAODE与RtAOCE中,(丝=£3
^OE=OE
团Rt△ODE=Rt△OCE(HL),
BOD=OC,
团乙/OB=60°,
团△OCD是等边三角形;
(2)解:回△0C0是等边三角形,。尸是NCOO的平分线,
团OE1DC,
回乙4。8=60°,
团440E=乙BOE=30°,
BOE=2DE=12,
国乙ODF=60°,ED10A,
团乙EDF=30°,
WF=-DE=3,
2
团OF=OE-EF=12-3=9.
【变式1](2023上•江苏宿迁•八年级校联考期中)如图,△48。和4。。£者8是等边三角形,且点A、。、E
在一条直线上,AD与BC相交于点M,BE与CD相交于点N.
求证:
(1MD=BE;
⑵ACMN是等边三角形.
【答案】⑴证明见解析
⑵证明见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握等边三角形的判定与
性质,全等三角形的判定与性质是解题的关键.
(1)证明△4C0=△BCE(SAS),贝Ij/O=BE;
(2)由(1)得:XACD任BCE,即=证明△ZCM三△BCN(ASA),贝!JCM=CN,进而可
证△”0可是等边三角形.
【详解】(1)证明:团△ZBC和△CDE都是等边三角形,
^\BC=AC,CE=CD,^BCA=Z.ECD=60°,
国乙BCA+乙BCD=乙ECD+乙BCD,乙BCD=60°,
⑦匕BCE=Z.ACD,
在△4CD和ABCE中,
AC=BC
团NZCD=乙BCE,
CD=CE
团△ZCO=△BCE(SAS),
囿40=BE;
(2)证明:由(1)得:2ACD任BCE,
SZ.DAC=Z.EBC,
在AACM和ABCN中,
/.MAC=乙NBC
0AC=BC,
.^ACM=60°=乙BCN
SAACMSABCN(ASA),
0CM=CN,
[azMCW=60°,
0AMCN是等边三角形.
【变式2](2023上•广东广州,八年级铁一中学校考期中)如图,在AABC中,AB=AC,ABAC=120°,AD
是BC上的中线,E是AC的中点,连接
⑴求证:AADE为等边三角形;
(2)若2D=3,求力B的长.
【答案】⑴见解析
(2)6
【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质,等边对等角的性质,等边三角形的判定,熟记各性质
是解题的关键.
(1)首先根据三角形内角和定理和等边对等角得到NB=4C=30。,然后根据等腰三角形三线合一性质得
到NC4D=60。,进而得到4D=14C=AE,即可证明出△力DE为等边三角形;
(2)利用30。角直角三角形的性质求解即可.
【详解】(1)^BAC=120°,AB=AC,AD是BC上的中线,
0ZB="=30°,AD1BC,/.CAD=-/.BAC=60°,
2
EL4D=-AC=AE,
2
0A力DE为等边三角形;
(2)回乙8=Z.C=30°,AD1BC,
BAB=2AD=6.
【变式3】(2023上•江苏盐城•八年级统考期中)已知:如图,等边AABC中,点E在边BC上,CD||AB,
且CD=BE.
(1)求证:XABE力ACD;
(2)判断AZDE的形状,并说明理由.
【答案】⑴见解析
⑵等边三角形,理由见解析
【分析】(1)根据等边三角形的性质得AB=4C/BAC=60。,再根据"两直线平行,内错角相等"得乙48=60。,
然后根据S4S可得答案;
(2)根据全等三角形的性质得4E=40,^BAE=^CAD,再说明4£ME=60。,即可得出△力OE是等边三角
形.
【详解】(1)回△ABC等边三角形,
MB=AC,ABAC=60°.
0CD||AB,
=60°.
回CD=BE,
I3AABE^AACD;
(2)△4DE是等边三角形.理解如下:
[?]△ABE^LACD,
^\AE=AD,Z-BAE=Z.CAD,
^\Z-BAC=Z-BAE+Z.CAE=Z-CAD+Z.CAE=60°,
即皿1E=6O。,
0A4DE是等边三角形.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质,等边三角形的判定,灵活选择判定定
理是解题的关键.
考点6:等边三角形判定与性质综合
典例6:(2024上•山西吕梁•八年级统考期末)如图,△48C是等腰三角形,2B=AC,点E分别在边BC,
北上,将ACDE沿着DE折叠,点C的对应点厂恰好落在4B上,且CD=C'B.
⑴求证:△力C'E是等腰三角形;
(2)连接CC,交DE于点F,若乙4=60°,AB=8,求DF的长度.
【答案】⑴证明见解析
(2)DF=2
【分析】本题考查了折叠的性质,等腰三角形的判定,等边三角形的判定和性质,平行线的性质,特殊角
的直角三角形的应用.
(1)利用折叠的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定证明即可.
(2)利用等边三角形的判定和性质,特殊角的直角三角形性质计算即可.
【详解】(1)根据折叠的性质,得CD=C'D/ECB=Z.ECD.
SCD=C'B,
0CD=CD=C'B,
^Z.C'BD=乙C'DB,
SAB=AC,
EINC'B。=Z.ECB,
^/.C'BD=Z.ECB=乙C'BD=/.C'DB=Z.ECD,
EIC'E||BC,
^AC'E=/.ABC=^AEC=Z.ACB,
^AC=AE,
故△力C'E是等腰三角形.
(2)MB=AC,N4=60°,AB=8,
团△力BC是等边三角形,
EL4B=BC=8,Z.ACE=/.ABC=/.AEC=/.ACB=60°,
0ABDL是等边三角形,
0BZ)=DC=BC=CD=-BC=4,
2
EL4C'=BC=-AB=4,
2
^DCF=-^ACB=30°,
2
根据折叠性质,得NDFC=90。,
助y—2.
【变式1](2024上•湖南邵阳•八年级统考期末)如图1,点4C、E在同一条直线上,在AACB和△ECD中,
CA=CB,CD=CE,N力CB=乙DCE=a,AD,BE相交于点M.
⑴求证:XADCm4BEC;
(2)用含a的式子表示N&例B的度数;
(3)如图2,当a=60。时,取4D,BE的中点分别为点P、Q,连接CP,CQ,PQ,判断△CPQ的形状,并加
以证明.
【答案】(1)见解析
(2)Z-AMB=a
⑶等边三角形,证明见解析
【分析】本题属于三角形综合题,主要考查全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质等知识;
(1)根据已知条件,证明AaCD三△BCE(SAS),可得结论.
(2)利用全等三角形的性质解决问题即可.
(3)由条件先证明△4PCmABQC,=^QCB,则可证明△PCQ为正三角形.
【详解】(1)证明:如图1中,
图I
•••Z-ACB=Z-DCE=a,
回乙ACB+乙BCD=Z.DCE+乙BCD,
Z.ACD=乙BCE,
在△ZCD和△BCE中,
CA=CB
Z.ACD=乙BCE,
CD=CE
ACD=△BCE(SAS).
(2)解:设/D交于点。,
图I
:△ACD=△BCE,
•••Z.CAD=Z.CBE,
•••Z.AOC=Z.BOM,
・•.Z.BMO—Z-ACO—a,
即乙4MB=a.
(3)解:结论:ACPQ是等边三角形,理由如下:
B
ACD=△BC,
•••AD=BE,Z-PAC=Z-QBC,
P>Q分别是a。、BE的中点,
AP=BQ,
在Aapc和ABQC中,
"AP=BQ
/.PAC=Z.QBC,
.AC=BC
APC兰ABQC(SAS),
•••CP=CQ,^PCA=乙QCB,
:.乙PCQ=乙ACB=60°,
・•.△CPQ是正三角形.
【变式2](2024上•安徽马鞍山•八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末)已知,如图△4BC,E是BC上一
点,ABAC=^AEB=a,△ABC角平分线BD交2E于H,G为DH中点,延长4G交BC于尸.
⑴求证:AH=AD;
(2)若a=80。,NC=40。,求证:AF=AB.
【答案】⑴见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,三角形的内角和定理,熟练掌
握相关性质定理是解题的关键.
(1)根据角平分线的定义得出"BD=NDBC,结合三角形的内角和定理得出NBHE=NAHD=N4DH,即
可求证AH=AD;
(2)先根据:三线合一得出4G1BD,进而得出B4=BF.根据三角形的内角和定理得出NABF=60。,则
△4BF为等边三角形,即可求证BA=BF=4F.
【详解】(1)证明:加。平分乙48C,
SZ.ABD=Z.DBC,
又回NB4C=NAEB,^ABD+^BAC+Z.BDA=180°,AAEB+AEBD+ABHE=180°
=Z.AHD=乙ADH,
EL4W=AD.
(2)证明:^AH=AD,G为DH中点,
EL4G1BD,
EIBD平分NABC,
ElZfiXF=Z.BFA,
0BX=BF.
又la/BAC=80°,ZC=40°,
0ZXBF=60°,
0A力BF为等边三角形,
SBA=BF=4F.
【变式3】(2024上,湖南长沙•八年级统考期末)如图,点P,M,N分别在等边△ABC的各边上,且MP1
于点P,MN1BC于点M,PN14C于点N.
⑴求证:△PMN是等边三角形;
(2)若4c=12cm,求CM的长.
【答案】⑴见解析
(2)4cm
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质,平角的意义,三角形全等的判定与性质,含30。角的直角三
角形的特征.
(1)根据等边三角形的性质得出乙4==〃=60。进而得出NMP8=乙NMC=乙PNA=90°,再根据平
角的意义即可得出4NPM=乙PMN=乙MNP,即可得出结论;
(2)易证得△PBM=△MCN=△N4P(AAS),得出P4=BM=CN,PB=MC=AN,从而求得+PB=
AB=12cm,根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM,即可求得的长,进而
得出MC的长.
【详解】(1)证明:•「△ABC为等边三角形,
Z.A=Z-B=Z-C=60°,
vMPLAB,MN1BC,PNLAC,
・•.Z.MPB=乙NMC=乙PNA=90°,
.:乙PMB=90。一乙B,乙MNC=90。一乙C,^APN=90°-Z.^,
・•・乙PMB=乙MNC=乙APN,
•・•(NPM=90°-乙APN,乙PMN=90°-4MB,乙MNP=90°-乙MNC,
・••乙NPM="MN=乙MNP,
・•.△PMN是等边三角形;
Z.B=/.C=Z-A
(2)•••乙BPM=乙CMN=乙ANP,
PA=BM=CN
.*.△PBM=△MCN=△NAP(AAS),
・•.PA=BM=CN,PB=MC=AN,
BM+PB=AB=12cm,
Z-A=Z-B—£.C—60°,
••・乙BMP=30°,
・•・2PB=BM,
2PB+PB=12cm,
.・.PB=4cm,
••・CM=4cm.
考点7:垂直平分线的性质
典例7:(2024上,安徽合肥•八年级统考期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是NB4C的角平分
线,MF垂直平分力E,垂足为点X,分别交48、AD,力C于点N、G、F,交CB的延长线于点M,连接EF,
下列结论中错误的是()
1
A.ZM=ADAEB.^DAE=|{/.ABC-zC)
C.EF||A
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