中考数学一轮复习重难点强化训练：特殊三角形（分层训练）解析版

专题05特殊三角形（分层训练）

\J

分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.（2022上・浙江金华•九年级统考期中）如图，在AABC中，AB=6,AC=4,BC3,将2L4BC绕点2顺时针

旋转60。得至必4ED,则BE的长为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根据旋转的性质可得AAEB是等边三角形，即可得到BE=AB=6.

【详解】回将A4BC绕点4顺时针旋转60。得到A4ED,

^AB=AE,/.BAE=60°

回A4EB是等边三角形

0BE=AB=6

故选：D.

【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质与判定，由旋转得到等边三角形是解题的关键.

2.（2022•湖南长沙•长沙市长郡双语实验中学校联考二模）下列命题中，是真命题的是（）

A.两直线平行，同旁内角相等B.内错角相等，两直线平行

C.直角三角形的两锐角互补D.三角形的一个外角大于任何一个内角

【答案】B

【分析】利用三角形的性质、平行线的性质和判定进行判断即可.

【详解】解：两直线平行，同旁内角互补，故A是假命题；

内错角相等，两直线平行，故B是真命题；

直角三角形的两锐角互余，故C是假命题；

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故D是假命题；

故答案为B.

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，熟练准确掌握基础知识是解答本题的关键.

3.（2023下•山东淄博•七年级统考期末）如图，ZvlBC中，AB=AE,且跖垂直平分AC,交AC

于点F交8c于点E,若AABC周长为24,AC=8,则。。为（）

A.6B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】根据垂直平分线的性质可得4E=EC,根据等腰三角形的性质可得BO=DE,求出。C的长度，然

后根据三角形的周长即可求出0c的长.

【详解】团所垂直平分AC,

^\AE=EC,

朋0团8C,AB=AEf

^\BD=DE9AB二EC,

SDC^DE+EC=^（AB+BC）,

EBABC周长为24,AC=8,

.,.AB+BC=24-8=16,

：.DC=-X16=8.

2

故选：B.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记线段垂直平分线和等

腰三角形的性质并求出DC的长.

4.（2023下•江苏盐城•八年级统考期中）如图，在△ABC中，。是4B上一点，AD=AC,AE1CD,垂足为

点E,尸是BC的中点，若BD=32,贝忸尸的长为（）

ADR

A.32B.16C.8D.4

【答案】B

【分析】由等腰三角形的性质可知AE是中线，然后根据三角形的中位线求解.

【详解】解:^AD=AC,AE1CD,

BAE是△4CD的中线，

BF是BC的中点，

回£厂是AABD的中位线，

1

SEF^-BD,

2

0BZ）=32,

回£尸=16.

故选从

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，以及三角形的中位线，连接三角形两边中点的线段叫做

三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

5.（2023•北京海淀•统考一模）如图，与回。相切于点2,49的延长线交回。于点C,连结2C,若。。苫。4,

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】连接0B,构造直角EIAB。,结合已知条件推知直角团AB。的直角边0B等于斜边0A的一半，则EIA=30。.

【详解】如图，连接。B.

0AB与团0相切于点B,

00ABO=9O°.

fflOB=OC,OC^-OA,

2

1

00C=0OBC,OB=-OA,

2

EBA=30°,

00AOB=6O°,贝!|13C+I20BC=60°,

aac=30°.

故选：B.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径；在直角三角形中30。角所对的边等于斜边

的一半.

6.（2023上•河南洛阳•九年级洛阳市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,相交

于点。，过点A作AEI3B。于点E,若CD=2,0BOC=12O°,则AE的长是（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】B

【分析】由矩形的性质得OA=OB=OD,易求0A08=60。,则0A08为等边三角形，由AE0BD,得出BE=OE=^OB=1,

在放ABEA中，利用勾股定理即可得出结果.

【详解】解:团四边形ABCO是矩形，

^\OA=OB=OD,

回团300=120°,

0[MOB=18OO-12OO=6OO,

团她03为等边三角形，

国CD=2,

^\AB=CD=OB=2,

^AE^BD,

团BE=OE』OB=1,

2

在放中，BE2-bAE2=AB2,

SAE=<AB2-BE2=V22-l2=V3,

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等

边三角形的判定与性质是解题的关键.

7.（2023•浙江杭州•统考一模）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，贝吐48C的度数为

A.22度B.23度C.24度D.25度

【答案】C

【分析】先根据正多边形的内角公式求出正五边形和正六边形的一个内角，进而求得NBAC,再根据等腰三

角形的等边对等角性质求解即可.

【详解】解：由题意，正五边形的一个内角为=108。,正六边形的一个内角为（6-2）：8。。=120。,

56

AC=AB,

^Z.BAC=360°-108°-120°=132°,

180°-Z.BAC180°-132°

团乙==24°,

22

故选：C.

【点睛】本题考查正多边形的内角问题、等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角和公式是解答的关键.

8.（2023•山东枣庄•统考一模）如图，Rt朋8C中，回C=90。，回3=30。，团区4。的平分线交于点

CD=V3,则BD的长是（）

C.3D.3V3

【答案】B

【分析】根据三角形的内角和定理可知：乙CAB=60°,根据角平分线的定义得到4C/O=4BAD=3eCAB=

30%求得NZMB=NB,得到BD=AD,根据直角三角形性质即可得到答案.

【详解】0ZC=90°,乙B=30°

0ZCXB=60°

EINCAB的平分线A。交BC于点D

1

回匕CAD=乙BAD=-/.CAB=30°

2

^Z.DAB=乙B

团BD=AD

团CO=V3

B1BD=AD=2CD=2^/3

故选：B

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，正确的理解题意、

运用相应的性质是解题的关键.

9.（2022•江苏宿迁•校考三模）如图①，在0ABe中，点尸从点2出发，沿B玲。方向以lcm/s的速度匀速

运动到点C,图②是点尸运动时，线段AP的长y（cm）随时间无⑶变化的关系图象，当0ABp与0Ape面积相

等时，AP的长为（）

A.V3B.2C.2V3D.4

【答案】D

【分析】如图，作AD1BC,根据图象可知4B=4cm,BC=8cm,BD=2cm,AD=y/AB2-BD2,求出4D

的值，当EIABP与EAPC面积相等时，BP=PC=^BC=4cm,DP=4-2=4cm,在RtAADP中，由勾股

定理得4P=y/AD2+DP2,计算求解即可.

【详解】解:如图，作力D1BC

由图象可知，①x=0时，AP=4B=4cm；

②x=2时，AP1BC,BP=BD=1x2=2cm；

③x=8时，AP=AC,BP=BC=1x8=8cm；

El在Rt△4B0中，由勾股定理得力。=7ABz-BD2=2V3cm

当0ABP与EIAPC面积相等时，BP=PC=^BC=4cm,DP=4-2=4cm,

团在RtAADP中，由勾股定理得力P=y/AD2+DP2=4cm,

故选：D.

【点睛】本题考查了函数图象，勾股定理等知识.解题的关键在于明确函数图象上各点含义.

10.（2023•河南•河南省实验中学校考模拟预测）如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，点D,E分别是边4B,

BC的中点，延长4C至F,使CF="C,若AB=10,贝质的长是（）

A.8B.6C.5D.4

【答案】C

【分析】根据"直角三角形斜边中线等于斜边的一半"可以求出CD=5,再由中位线的性质可以证明四边形

DCFE为平行四边形，进而得到EF=5.

【详解】解：在Rt△力BC中，乙4cB=90。，点。是边2B的中点，AB=10,

0C£）=-AB=5,

2

•・•点。，E分别是边AB,BC的中点,

DE11AC,DE=|T4C,

•••CF=-AC,

2

EIDE=CF,

.•・四边形DCFE为平行四边形，

•­,EF=CD=5,

故选：C

【点睛】本难题考查了平行四边形的判定与性质、中位线的性质、直角三角形斜边中线，掌握中位线与斜

边中线的性质是解题关键.

11.（2023•河南安阳•统考一模）如图，四边形4BCD是回。的内接四边形，四边形4B0D是平行四边形，则下

列结论：®AB=OB；②4BCD=60°；（3）ABAD=120°；@CD=<2OD.其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由已知、根据“平行四边形对边相等"得：AB=OD,AD=OB,从而可得AB=。3=40,即①

结论正确；进而得出AAOB、AAOD都是等边三角形，可得③结论正确；由“一条弧所对的圆周角等于它

所对的圆心角的一半”得出ABCD=，BOD=60。，即②结论正确；由点C的不同位置，CD的长度也发生变

化可知④结论错误，即可得出结论；

【详解】连接。4团四边形力BOD是平行四边形，

AB=OD,AD=0B,

OB=0A=0Df

•*.AB=OD=OA=OB=AD,

结论正确；

团△力。B、AAOD都是等边三角形

•••Z-AOB—Z-AOD—Z.OAB—Z-OAD—60°

0ZBOD=120°,/LBAD=120°,即③结论正确；

EINBCD=3乙BOD=60°,即②结论正确；

回C在优弧8。上（不含端点）

团随着点C的不同位置，CD的长度也发生变化，不是常数,

故④结论错误；

综上所述，正确结论有3个；

【点睛】该题主要考查了圆部分知识点、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，解答该题的关

键是掌握相关知识点并能够熟练运用.

12.（2023下•安徽芜湖•八年级统考期末）如图，Rt△48c中，Z.B=90°,AB=5,BC=12,点。是边4C上

的动点，过点。作DE14B,DF1BC,则EF的最小值是（）

【答案】B

【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=BD,

则EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形4BC斜边上的高，

据此求解即可.

【详解】解：如图，连接

El在RtAABC中，Z_B=90。,43=5,BC=12,

EL4c=V122+52=13.

又即E14B,DF1BC,

回四边形EDFB是矩形，

^EF=BD.

aBD的最小值即为Rt△ABC斜边上的高，

^rn-Al'Bn•B"C=-1AC"•BnDc,即Fin8c。c=-A-B-B-C=-1-2-x-5=—60,

22AC1313

丽尸的最小值为居

故选B.

【点睛】此题综合运用了勾股定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，三角形面积，关键是要能够

把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段.

13.（2023・浙江绍兴•统考中考真题）如图，等腰直角三角形ABC中，0ABe=90。，BA^BC,将BC绕点B

顺时针旋转e（0°<e<90。），得到BP,连结CP,过点4作4砸。「交CP的延长线于点X,连结AP,则SRAH

的度数（）

A.随着e的增大而增大

B.随着e的增大而减小

c.不变

D.随着e的增大，先增大后减小

【答案】c

【分析】由旋转的性质可得2C=B尸=24由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求勖PC+SBB4=135。

=^CPA,由外角的性质可求回以77=135。-90。=45。，即可求解.

【详解】解：回将8c绕点B顺时针旋转e（00<0<90°）,得至（J3P,

SBC^BP=BA,

H3BCP=[3BPC,^BPA=^BAP,

fflCBP+0BCP+EBPC=180°,^ABP+^BAP+^BPA=180°,a4BP+0CBP=9O°,

^BPC+WPA=135°=^CPA,

00CB4=EL4//C+0fi4//=135",

fflE4H=135°-90°=45°,

回am”的度数是定值，

故选：c.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是

本题的关键.

14.（2022•山东潍坊•统考二模）如图，在ANBC中，BC=6,41cB=60。，以点C为圆心，适当的长为半

径作弧，分别交AC,BC于点E,F；分别以点E,尸为圆心，大于]EF的长为半径作弧，两弧交于点。；

作射线CD若点M为边BC上一动点，点N为射线CD上一动点，贝UBN+MN的最小值为（）

A.3B.3V2C.4D.3靠

【答案】D

【分析】先由作图可得CD是0ACB的平分线，则回8（7〃=扣478=30。，作点B关于射线CD的对称点G,过

点G作GM0BC于交.CD于N,如图，此时，GN=BN,则8V+MN=GM最小，证得EIG=EIBC”=30。，在

RfABCH中,求得8/梏BC$6=3,在放△8GM中，求得8河=部；=3,再利用勾股定理，求出GM长，即可

求解.

【详解】解：由作图可知，CQ平分0ACB,

11

^BCD=^ACB=-x60°=30°

22f

作点3关于射线CD的对称点G,过点G作GM03C于交CO于N,如图，此时，GN=BN,则BN+MN=GM

最小，

由对称性质，得团BG,BH=GH,

WGBC^BCD=90°,

团团G3C+R1G=9O°,

mG=^BCH=30°,

在RtABCH中,回团8cH=30°,

^BH=-BC=-x6=3,

22

田GH=BH=3,

⑦BG=BH+GH=6,

在放△3GM中，00G=3O°,

国BM上BG=3,

2

SGM=y/BG2-BM2=762-32=3^3,

0BN+MN=GM=36,

故选：D.

【点睛】本题考查尺规作图-作已知角的角平分线，直角三角形的性质，勾股定理，掌握利用轴对称和垂线

段最短，求线段和的最小值是解题的关键.

15.（2022•河南商丘・统考二模）如图1,RtAABC中，点P从点C出发，匀速沿CB—向点2运动，连接4P,

设点P的运动距离为X,4P的长为y,y关于X的函数图象如图2所示，则当点尸为BC中点时，4P的长为（）

y

【分析】通过观察图2可以得出4C=6,BC=a,AB=a+2,由勾股定理可以求出a的值，从而得出BC=8,

AB=10,当P为BC的中点时CP=4,由勾股定理求出4P长度.

【详解】解：因为P点是从c点出发的，c为初始点，

观察图象％=0时y=6,则AC=6,P从C向B移动的过程中，4P是不断增加的，

而P从B向4移动的过程中，AP是不断减少的，

因此转折点为8点，P运动到8点时，即x=a时，BC=PC=a,此时y=a+2,

即AP=AB=a+2,AC=6,BC=a,AB=a+2,

■■zC=90°,

由勾股定理得：（a+2）2=62+a2,

解得：a=8,

AB=10,BC=8,

当点P为BC中点时，AP=4,

AP-VAC2+CP2=V62+42=2V13,

故选：D.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以

提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

二、填空题

16.（2023•贵州贵阳•统考二模）在数轴上画出表示无理数的点的方法：如图，点。为数轴上的原点，作射

线OM垂直于数轴，以点A（点A对应有理数3）为圆心，4个单位长度为半径画弧交射线OM于点B,再以点

。为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P,则点P对应的实数是

【答案】V7

【分析】结合数轴，根据勾股定理进行求解.

【详解】由题意知，OP=OB,AB=4,0A=3,

由勾股定理知，OP=OB=7AB2一=^42-32=V7,

故答案为：V7.

【点睛】本题考查勾股定理，数轴与实数的关系，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

17.（2023上•黑龙江鹤岗•九年级统考期末）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程/—7x+12

=0的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是.

【答案】2.5

【分析】先求出方程的两个根，然后再根据题意运用勾股定理求出直角三角形斜边的长，最后根据直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.

【详解】解：a？-7x+12=0

0%产3,光2=4

回该直角三角形的斜边长为，32+42=5

回该直角三角形斜边上的中线长为5+2=25.

故填2.5.

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、勾股定理以及直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半是解答本题的关键.

18.（2023•广西河池•校考一模）如图,a||b,交直线/于48两点，过点A作AC1Z交直线b于点C,若41=58。,

则N2=度.

【答案】32

【分析】根据平行线的性质得出NACB=42,再由三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：回直线a||b,

0ZXCS=z2,

EL4C1BA,

El/Bac=90°,

0Z2=AACB=180°-zl-乙BAC=180°—90°-58°=32°,

故答案为：32.

【点睛】题目主要考查平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握这些基础知识点是解题关键.

19.（2023•湖北黄冈•三模）斛是中国古代的一种量器.据《汉书彳聿历志》记载："斛底，方而圜（huan）其

外，旁有虎（tiao）焉”.意思是说："斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆如图所示,

问题：现有一斛，其底面的外禀彳至为两尺五寸（即2.5尺），"虎旁"为两寸五分（即两同心圆的外圆与内

圆的半彳至之孝为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为尺.

【答案】V2

【分析】如图，根据四边形CDM为正方形，可得回。=90。，CD=DE,从而得到CE是直径，SEC£）=45。，然

后利用勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图，

El四边形CDEF为正方形,

EBD=90°,CD=DE,

EICK是直径，EIEC£)=45。，

根据题意得：AB=2.5,CE=2.5-0.25X2=2,

0C£2=CD2+DE2=2CD2,

EIC。—A/2,

即此斛底面的正方形的边长为鱼尺.

故答案为：V2

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关

键.

20.(2023・四川成都・模拟预测)如图，在AABC中，BC=3,AC=4,乙4cB=90。，以点B为圆心，BC长

为半径画弧，与4B交于点Z),再分别以A,。为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M,M作直

线MN,分别交AC,28于点E,F,则线段EF的长为.

【答案】如75

【分析】根据勾股定理求出48根据作图可得BC=BD=3,可得40=5-3=2,MN垂直平分4D,即可得

到4F=1,易得AAFE-AACB,即可得到答案.

【详解】解：团BC=3,AC=4,^ACB=90°,

^\AB=-\/32+42=5,

团以点5为圆心，长为半径画弧，与AB交于点D,

BBC=BD=3,

团4。=5—3=2,

国MN垂直平分Z。，

团AF=1,AAFE=乙ACB=90°,

团乙4=乙4

团A4FE〜AACB,

3

团EF=

4

故答案为工

4

【点睛】本题考查勾股定理，垂直平分线，三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据勾股定理及垂直

平分线得到4F=1.

21.（2023・广东东莞•东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，在直角三角形力BC中，N4CB=90。,47=3,

BC=4,点。在4B上，5.AD=AC,AE1CD,垂足为F,与BC相交于点E,则tan/CAE=.

【答案】1/0.5

【分析】连接DE,勾股定理求出4B,证得力石是6的垂直平分线，得到DE=CE,设DE=CE=x,贝UBE=

4-x,在RtABDE中，由勾股定理得到BD?+。产=BE?,求出％=1.5,即CE=1.5,在RtAACE中，根

据公式求出答案.

【详解】解：连接。凡

^ACB=90°,AC=3,BC=4,

^AB=y]AC2+BC2=V32+42=5,

团40=AC,AELCD,

团CF=OF,BD=AB-AD=3-3=2,

回/E是CD的垂直平分线，

团DE=CE,

又团4E=AE,

[?]△ACE皂△AOE(SSS),

^Z.ADE=/.ACE=90°,

设OE=CE=x,贝！J8E=4-x,

在由△BOE中，BD2+DE2=BE2,

022+x2=(4—x)2,

解得％=1.5,即CE=1.5,

在Rt△4CE中，tan/CAE=生=竺=工，

AC32

故答案为：

【点睛】此题考查了求角的正切值，勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，

正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键.

22.(2023上•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试)如图，在正方形A8C£＞中，E

是BC上一点，P是C。上一点，连结AE、AF.EF,且0AEB=0AEF,AB=3BE,AE=V10,贝UAF=—.

【答案】詈

【分析】过点A作A/fflEF于X,先证明EABEEEAHE,AB=AH,BE=EH,然后证明A毋HBADRDF=FH,

然后利用勾股定理求出AB,BE的长，设FH=DF=x,则CF=3-x,EF=l+x,FC2+EC2=EF2,(3-%)2+22=

(x+l)2,由此进行求解即可.

【详解】解：如图，过点A作跖于X,

aMHE=EAHF=90°,

团四边形ABCD是正方形，

S\AB=BC^CD=AD,

0B=0D=9O°,

^S\AEB=BAEF,I3B=0AHE=9O°,AE=AE

00AB£00A//E(AAS),

BAB=AH,BE=EH,

ElAF=AF,AH=AD,且她"尸=回。=90°,

00AHM30ADF(HL),

®DF=FH,

EL4B=3BE,AB2+BE2=AE2=10,

01OBE2=10,

@BE=EH=l,

^AB=BC=CD=AD=3,

田EC=BC-CF=2,

设FH=DF=x,则C尸=3-x,EF=l+x,

0FC2+EC2=EF2,

0(3-x)2+22=(%+l)2,

解得x=I，

3

⑦HF=

2

SAF=>JAH2+HF2=—

2

故答案为：誓.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练

掌握相关知识进行求解.

23.（2023下•浙江•八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6/R4D的平分线与的延长线交于

点E、与DC交于点且点尸为边DC的中点，N4DC的平分线交AB于点M,交AE于点N,连接DE,若DM=2,

则DE的长为—.

【答案】V73

【分析】先判定朋次迥aECR即可得到AP=EF,依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出AF^\DM；

再根据等腰三角形的性质，即可得到ON=MN=L最后依据勾股定理即可得到AN与NE的长，进而得出OE

的长.

【详解】解：•.•点F为边DC的中点，

•••DF=CF=-CD=-AB=3,

22

•・•AD“BC,

•••Z-ADF=Z.ECF,

AADF=AECF（ASA^

・•.AF=EF,

•・•CDI[AB,

••・Z-ADC+乙DAB=180°,

又尸平分284。，DM平分440C,

・•・乙ADN+乙DAN=90°,

・•・AF1DM,

•・•4F平分

・•.Z.BAF=Z.DAF,

又・・•DC//AB,

・•・乙BAF=Z.DFA,

・•.Z.DAF=Z-DFA,

•••AD=DF=3,

同理可得，AM=AD=3,

又•・,4N平分

・•.DN=MN=1,

RtZJADN中，AN='AD?-DN2=V32-I2=2或,

•­.AF=2AN=4V2,EF=4传

•••NE=6V2,

•••RtdDEN中，DE=y/DN2+EN2=Jl2+(6V2)2=V73.

故答案为：V73.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，判定A/WM,利用勾股定理进行计算是

解决问题的关键.

24.(2022•四川眉山•中考真题)如图，点P为矩形4BCD的对角线4c上一动点，点E为BC的中点，连接PE,

PB,若48=4,BC=4V3,贝l|PE+P8的最小值为.

----------------------

BEC

【答案】6

【分析】作点8关于AC的对称点夕，交AC于点R连接夕E交AC于点P,贝iJPE+PB的最小值为夕E的

长度；然后求出"B和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案.

【详解】解：如图，作点2关于AC的对称点次，交AC于点F,连接交AC于点P,贝UPE+PB的最小

值为9E的长度；

B

0AC是矩形的对角线，

0AB=C£)=4,0Age=90。，

在直角0ABC中，AB=4,BC=4V3,

HtanzXCF=——,

BC4<33

0ZXCB=30°,

由对称的性质，得B'B=2BF,B'B1AC,

0BF=|BC=2V3,

EIB'B=2BF=4V3

0SF=EF=2V3,4CBF=60°,

团BBEF是等边三角形，

0BF=BF=B'F,

团ABE9是直角三角形，

SB'E-y/BB'2-BE2-J（4%）2—（2,）2=6,

OPE+PB的最小值为6；

故答案为：6.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三

角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得PE+PB有最小值.

25.（2023•四川自贡・统考一模）如图所示，在矩形2BCD中，AB=2®BC=6,P为矩形A8CD内部的任

意一点，贝UPA+PB+PC的最小值为

【分析】将ABPC绕点C逆时针旋转60。，根据旋转的性质，可以得到一个等边三角形，通过边与边之间的

等量代换，就会将所求的三条边之和的长，转变求三条线段连到一起的折线段的长，当四点共线时会取到

最小值.

【详解】如解图，将ABPC绕点C逆时针旋转60。，得到AEFC,连接PF、力EMC,由旋转的性质可知PC=

CF,PB=EF,BC=CE=6/PCF=乙BCE=60°,

0APFC是等边三角形，

国PC=PF,

团PZ+PB+PC=P4+EF+PF,

团当4尸、尸、E四点共线时，24+尸8+尸。的值最小，最小值为AE的长，

团四边形/BCD是矩形，

^ABC=90°,

Eitan乙4cB=—=—,

BC3

^/.ACB=30°,AC=2AB=4A/3,

0乙BCE=60°,

^Z.ACE=90°,

团在中，AE=/(4V3)2+62=2V21.

E

故答案是：2V21.

【点睛】本题主要考查了图形的旋转，会利用到等边三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关

键是：根据条件及所求将一个三角形逆时针旋转60。得到一个等边三角形，通过等边三角形边之间的关系进

行等量代换；当几点共线时会取到最小值，最后在直角三角形中利用勾股定理求解.

三、解答题

26.(2023下•安徽阜阳•八年级统考期末)如图，在0ABe中，48=100,BC=125,AD0BC,垂足为点£),

AD=60,点A在直线上.

(1)求AC的长；

(2)若回MAC=48。，求EINA8的度数.

N

【答案】(1)75；(2)42。.

【分析】(1)首先在RtA/lBD中利用勾股定理求出8。的长，进而求出。的长，然后在RtANDC,利用

勾股定理即可求出AC的长；

(2)首先利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，即可求得国的度数.

【详解】解：(1)EAZMBC,

EHAZJB=0A£)C=90°,

在Rf3\ABD中，

BD=y/AB2-AD2=V1002-602=80,

0BC=125,

EI£)C=BC—2£)=125—80=45,

在R/EIADC中，

AC=y/AD2+DC2=V602+452=75；

(2)EL4B2+AC2=1002+752=15625,

BC2=1252=15625,

SAB2+AC2=BC2,

是直角三角形，

EHBAC=90°

EHMAC=48。

EI/NAB=180°-ZS4C-ZM4C=180°-90°-48°=42°.

【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理.

27.（2022上•陕西西安・八年级统考期中）如图，448。为等边三角形，点E、。分别为48、4;上一点，且

BE=AD,CE、8。相交于点。，求NEOB的度数.

【答案】600

【分析】根据条件证明△48。=△BCE,得出乙4BD=乙BCE,再根据外角的性质得到NBOE=Z.BCE+乙CBD,

进一步可得结论.

【详解】解：■:AABC是等边三角形，

AB=BC,/.BAD=乙CBA=60°,

在△4BD和ABCE中，

'AB=BC

Z-BAD=Z.ABC,

、AD=BE

.*.△ABD三△BCE（SAS）,

•••Z.ABD=乙BCE,

・•・乙BOE=乙BCE+乙CBD=乙ABD+乙CBD=/.ABC=60°.

【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、外角的性质，解题的关键是熟知三角形的

外角等于与它不相邻的两个内角之和.

28.（2022下,江苏扬州•九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形A8CZ）中，ACSDE,AE=AD,AE交BC

于。.

AD

(1)求证：0BCA=0EAC；

(2)若CE=3,AC=4,求ACOE的周长.

【答案】⑴证明见解析

(2)8

【分析】(工)先根据平行四边形的性质证明再由三线合一定理证明=即可证明

0BCA=[?IEAC；

(2)先根据等角对等边证明OA=OC,再由勾股定理求出AE的长，最后证明回COE的周长=AE+CE即可得

到答案.

【详解】(1)解:国四边形A8CO是平行四边形，

SADWBC,

^S\DAC=^BCA,

SAE^AD,ACSED,

EINEAC=/.DAC,

0EBC4=0EAC；

(2)解：a3BCA=EIEAC,

0OA=OC,

^ACSDE,即0ACE=9O°,

El在RZEIACE中，由勾股定理得：AE=VXC2+CE2=5,

EECOE的周^z=CE+OC+OE=OA+OE+CE=AE+CE=8.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知等腰三角形的性

质与判定条件是解题的关键.

29.(2022•广西河池•统考一模)如图，在团4BCD中，AB>AD.

DC

⑴尺规作图：在力B上截取4E,使得4E=4D（不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑）;

⑵在（1）所作的图形中，连接DE,证明：乙ADE=KCDE.

【答案】⑴见解析；

⑵见解析；

【分析】（1）以A点为圆心，AD的长为半径，画弧，交于E,即为所求；

（2）由（1）知得到41=42,由四边形ABCD为平行四边形，得到48||CD,所以NCDE=42,

即可证明；

【详解】（1）解:如图，以A点为圆心，A。的长为半径，画弧，交AB于E,

AE为所求；

（2）证明：由（1）知4D=4E,Nl=N2

••・四边形4BCD为平行四边形，

AB||CD

Z.CDE=Z.2,

z.1=Z.CDE

【点睛】本题主要考查简单作图，解题的关键是掌握画弧，以及平行四边形的性质，和等腰三角形的性质.

30.（2022•广东佛山•统考模拟预测）如图，2B,CD是半径为5的回。的两条弦，AB=8,CD=6,AB1MN

于E,CD1MN于F.

{1}EF=；

(2)点P在MN上运动，则24+PC的最小值为

【答案】⑴7

(2)772

【分析】(1)连接。4、OB、0C,利用勾股定理求出。E、OF即可.

⑵作于H点，由于4、B关于MN对称，因而P4+PC=PB+PC,即当B、C、P在一条直线上时,

PA+PC最小，即BC的值就是P4+PC最小值.

【详解】(1)连接。4OB、0C,

EL4B=8,CD=6,MN是直径，AB工MN于E,CD1MN于R

0SF=-AB=4,CF=打。=3,

22

WE=y/OB2-BE2=V52-42=3,OF=y/OC2-CF2=4,

SEF=0E+0E=3+4=7.

(2)

作于"点，连接BC,

EL4B1MN于E,CD1MN于F,

SiACHE=/.HEF=乙CFE=90°,

回四边形CHEF是矩形,

0CW=0E+0F=3+4=7,EH=CF=3,

^BH=BE+EH=BE+CF=4+3^7,

在RtABCH中，根据勾股定理得：BC=VBH2+CH2=V72+72=7鱼,

a/M+PC的最小值为7迎.

【点睛】本题考查了线段的最值问题，找到BC的值是P4+PC最小值是解题关键.

31.（2023・云南昆明•统考二模）如图，在正方形48CD中，对角线AC,BD相交于点。，点、E,尸是对角线AC

上的两点，S.AE=CF,连接DE,DF,BE,BF.

⑴求证：四边形BEDF是菱形；

（2）若=4,AE=V2,求菱形BEDF的边长.

【答案】⑴见解析

（2）710

【分析】（1）根据正方形2BC0,可证得EF1DB,OE=。尸,。。=。8,即可得证;

（2）求得。&OB,再根据勾股定理解答即可.

【详解】（1）证明：•••四边形ABCD为正方形，

•••AC1DB,OC=OA,OB=OD,

•・•AE=CF,

OA-AE=OC-CF,即。E=OF,

・•・四边形BEOF为平行四边形，

EF1DB,

・•.平行四边形BEDF为菱形；

（2）解：•••OA=OB/AOB=90°,

4。=8。=—AB=2V2,

2

•••AE=V2,

•••EO=AO-AE=V2,

•­.EB=y/OE2+OB2=V10,

二菱形BEDF的边长为VIU.

【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，熟知对角线互相垂直平分的四边形是

菱形是解题的关键.

32.(2023・重庆,统考中考真题)如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E,尸分别以每秒1个单位长

度的速度同时从点A出发，点E沿折线a-B-C方向运动，点尸沿折线a-C-B方向运动，当两者相遇

时停止运动.设运动时间为/秒，点E,E的距离为y.

⑴请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量/的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

(3)结合函数图象，写出点E,P相距3个单位长度时t的值.

【答案】⑴当0<t<4时，y=t；当4<tW6时，y=12—2t；

(2)图象见解析，当0<tW4时，y随x的增大而增大

(3"的值为3或4.5

【分析】(1)分两种情况：当0<tS4时，根据等边三角形的性质解答；当4<tW6时，利用周长减去24E

即可；

(2)在直角坐标系中描点连线即可；

(3)利用y=3分别求解即可.

【详解】(1)解:当0<tW4时，

连接EF,

B

0A2EF是等边三角形，

0y=t；

当4<t<6时，y—12—2t；

(2)函数图象如图:

9

8

7

6

5

4

3

2

1

当0<tW4时，y随r的增大而增大；

(3)当0<tW4时，、=3即1=3；

当4<tW6时，丫=3即12-2£=3,解得t=4.5,

故f的值为3或4.5.

【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关

键.

33.(2023・福建泉州•重庆实验外国语学校校考模拟预测)如图，矩形2BCD中，E为4。的中点.

(1)在CD边上求作一点F,使得NCFB=2NABE；

(2)在(1)中，若4B=9,BC=6,求8F的长.

DC

【答案】（1）见解析；（2）BF=10

【分析】（1）过点E作EF1BE交CD于点尸，延长BE和CD交于点M,利用角角边判定/DEMw44EB,得到

EM=EB,结合EF1BE,证明FE是线段MB的垂直平分线，进一步推导得到4M=/.FBM,由NCF8=ZM+

乙FBM,AABF=^ABE+^FBM,即可证明NCFB=241BE,此时点产即为所求.

（2）由矩形性质求得相关边长度，在RtAEFB中，由勾股定理得：EF2+BE2BF2,将对应数值代入求

解即可.

【详解】解：（1）如图，过点E作EF,BE交CD于点尸，点F即为所求；

延长BE和CD交于点M,

回四边形4BCD是矩形，

CD//AB,

・•.Z.M=乙ABE,Z.CFB=匕ABF,

•・•E为/。的中点.

DE=AE,

在4DEM和44E8中，

'Z.M=/.EBA

乙MED=/.BEA，

、DE=AE

ADEM=AAEB(AAS),

EM=EB,

•・,EF1BE,

・•.FE是线段MB的垂直平分线，

・•.FM=FB,

・•.ZM=Z-FBM,

vZ.CFB=乙M+乙FBM,乙ABF=Z.ABE+乙FBM,

•••Z.CFB=2Z.ABE；

(2)•.•四边形"CD是矩形,

CD-AB—9,AD-BC—6,

DE=AE=3,

•••EF2+BE2=BF2,

(32+DF2)+(32+92)=(9—OF)2+62,

解得DF=1,

■.CF=CD-DF=9-1=8,

：.BF=V82+62=10.

【点睛】本题考查勾股定理，矩形性质，三角形全等的判定等知识点，根据知识点解题是关键.

34.(2022•山东枣庄•统考一模)已知和△M0N都是等腰直角三角形(子OAVOMVOA),^AOB=^\MON

=90°.

图1图2

(1)如图1,连接AM,BN,求证：AM=BN；

⑵将AMON绕点。顺时针旋转.如图2,当点M恰好在AB边上时,求证：AM2+BM2^2OM2；

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)由0Ao8=I3MON=90。，得出0AoM=EIB0N,然后证明0AoMEBBON(SAS)即可；

(2)连接8N,由0AO8=EIMON=90°,得出0AoM=M0N,然后证明0AoM2B8ON(SAS),得出团MAO=EINB。

=45°,AM=BN,Mffi0MB^=0ABO+0OBN=45°+45o=9O°,利用勾股定理求解即可.

【详解】(1)(1)证明：EBAOB=EIMON=90。，

S3\AOB+SAON=SMON+SAON,

即0AoM=IBBCW,

HHAOB和AMON都是等腰直角三角形，

^OA=OB,OM=ON,

在AAOM和ABON中，

-AO=BO

AAOM=乙BON,

.OM=ON

SSAOMSSBON(SAS),

^\AM=BN；

(2)证明：连接BN,

S3\AOB=SMON=90°,

00AOB-^BOM=SMON-SBOM,

即0AoM=IBBCW,

回0A08和△MON都是等腰直角三角形，

SOA=OB,OM=ON,

在"(W和ABON中，

-AO=BO

AAOM=乙BON,

.OM=ON

SSAOMSSBON(SAS),

00MAO=0A«O=45°,AM=BN,

EHMBN=a4BO+EIOBN=45°+45°=90°,

^\BM2+BN2=MN2,

回回MON都是等腰直角三角形,

SMN2=ON2+OM2=WN-,

^AM2+BM2=2OM2.

图2

【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，掌握三角形

全等判定与性质，图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理是解题关键.

35.(2022下•四川自贡•八年级校考期中)在菱形ABCZ)中，尸是直线2D上一点，点E在射线上，连接

PC,