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文档简介
专题05特殊三角形(分层训练)
\J
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1.(2022上・浙江金华•九年级统考期中)如图,在AABC中,AB=6,AC=4,BC3,将2L4BC绕点2顺时针
旋转60。得至必4ED,则BE的长为()
A.3B.4C.5D.6
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可得AAEB是等边三角形,即可得到BE=AB=6.
【详解】回将A4BC绕点4顺时针旋转60。得到A4ED,
^AB=AE,/.BAE=60°
回A4EB是等边三角形
0BE=AB=6
故选:D.
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质与判定,由旋转得到等边三角形是解题的关键.
2.(2022•湖南长沙•长沙市长郡双语实验中学校联考二模)下列命题中,是真命题的是()
A.两直线平行,同旁内角相等B.内错角相等,两直线平行
C.直角三角形的两锐角互补D.三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】B
【分析】利用三角形的性质、平行线的性质和判定进行判断即可.
【详解】解:两直线平行,同旁内角互补,故A是假命题;
内错角相等,两直线平行,故B是真命题;
直角三角形的两锐角互余,故C是假命题;
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,故D是假命题;
故答案为B.
【点睛】本题考查的是命题的真假判断,熟练准确掌握基础知识是解答本题的关键.
3.(2023下•山东淄博•七年级统考期末)如图,ZvlBC中,AB=AE,且跖垂直平分AC,交AC
于点F交8c于点E,若AABC周长为24,AC=8,则。。为()
A.6B.8C.9D.10
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质可得4E=EC,根据等腰三角形的性质可得BO=DE,求出。C的长度,然
后根据三角形的周长即可求出0c的长.
【详解】团所垂直平分AC,
^\AE=EC,
朋0团8C,AB=AEf
^\BD=DE9AB二EC,
SDC^DE+EC=^(AB+BC),
EBABC周长为24,AC=8,
.,.AB+BC=24-8=16,
:.DC=-X16=8.
2
故选:B.
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,解题的关键是熟记线段垂直平分线和等
腰三角形的性质并求出DC的长.
4.(2023下•江苏盐城•八年级统考期中)如图,在△ABC中,。是4B上一点,AD=AC,AE1CD,垂足为
点E,尸是BC的中点,若BD=32,贝忸尸的长为()
ADR
A.32B.16C.8D.4
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质可知AE是中线,然后根据三角形的中位线求解.
【详解】解:^AD=AC,AE1CD,
BAE是△4CD的中线,
BF是BC的中点,
回£厂是AABD的中位线,
1
SEF^-BD,
2
0BZ)=32,
回£尸=16.
故选从
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质,以及三角形的中位线,连接三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线,三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
5.(2023•北京海淀•统考一模)如图,与回。相切于点2,49的延长线交回。于点C,连结2C,若。。苫。4,
A.15°B.30°C.45°D.60°
【答案】B
【分析】连接0B,构造直角EIAB。,结合已知条件推知直角团AB。的直角边0B等于斜边0A的一半,则EIA=30。.
【详解】如图,连接。B.
0AB与团0相切于点B,
00ABO=9O°.
fflOB=OC,OC^-OA,
2
1
00C=0OBC,OB=-OA,
2
EBA=30°,
00AOB=6O°,贝!|13C+I20BC=60°,
aac=30°.
故选:B.
【点睛】本题考查了切线的性质,圆的切线垂直于过切点的半径;在直角三角形中30。角所对的边等于斜边
的一半.
6.(2023上•河南洛阳•九年级洛阳市实验中学校考阶段练习)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,相交
于点。,过点A作AEI3B。于点E,若CD=2,0BOC=12O°,则AE的长是()
A.V2B.V3C.2D.V5
【答案】B
【分析】由矩形的性质得OA=OB=OD,易求0A08=60。,则0A08为等边三角形,由AE0BD,得出BE=OE=^OB=1,
在放ABEA中,利用勾股定理即可得出结果.
【详解】解:团四边形ABCO是矩形,
^\OA=OB=OD,
回团300=120°,
0[MOB=18OO-12OO=6OO,
团她03为等边三角形,
国CD=2,
^\AB=CD=OB=2,
^AE^BD,
团BE=OE』OB=1,
2
在放中,BE2-bAE2=AB2,
SAE=<AB2-BE2=V22-l2=V3,
故选:B.
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握矩形的性质和等
边三角形的判定与性质是解题的关键.
7.(2023•浙江杭州•统考一模)如图,边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起,贝吐48C的度数为
A.22度B.23度C.24度D.25度
【答案】C
【分析】先根据正多边形的内角公式求出正五边形和正六边形的一个内角,进而求得NBAC,再根据等腰三
角形的等边对等角性质求解即可.
【详解】解:由题意,正五边形的一个内角为=108。,正六边形的一个内角为(6-2):8。。=120。,
56
AC=AB,
^Z.BAC=360°-108°-120°=132°,
180°-Z.BAC180°-132°
团乙==24°,
22
故选:C.
【点睛】本题考查正多边形的内角问题、等腰三角形的性质,熟记正多边形的内角和公式是解答的关键.
8.(2023•山东枣庄•统考一模)如图,Rt朋8C中,回C=90。,回3=30。,团区4。的平分线交于点
CD=V3,则BD的长是()
C.3D.3V3
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理可知:乙CAB=60°,根据角平分线的定义得到4C/O=4BAD=3eCAB=
30%求得NZMB=NB,得到BD=AD,根据直角三角形性质即可得到答案.
【详解】0ZC=90°,乙B=30°
0ZCXB=60°
EINCAB的平分线A。交BC于点D
1
回匕CAD=乙BAD=-/.CAB=30°
2
^Z.DAB=乙B
团BD=AD
团CO=V3
B1BD=AD=2CD=2^/3
故选:B
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义,正确的理解题意、
运用相应的性质是解题的关键.
9.(2022•江苏宿迁•校考三模)如图①,在0ABe中,点尸从点2出发,沿B玲。方向以lcm/s的速度匀速
运动到点C,图②是点尸运动时,线段AP的长y(cm)随时间无⑶变化的关系图象,当0ABp与0Ape面积相
等时,AP的长为()
A.V3B.2C.2V3D.4
【答案】D
【分析】如图,作AD1BC,根据图象可知4B=4cm,BC=8cm,BD=2cm,AD=y/AB2-BD2,求出4D
的值,当EIABP与EAPC面积相等时,BP=PC=^BC=4cm,DP=4-2=4cm,在RtAADP中,由勾股
定理得4P=y/AD2+DP2,计算求解即可.
【详解】解:如图,作力D1BC
由图象可知,①x=0时,AP=4B=4cm;
②x=2时,AP1BC,BP=BD=1x2=2cm;
③x=8时,AP=AC,BP=BC=1x8=8cm;
El在Rt△4B0中,由勾股定理得力。=7ABz-BD2=2V3cm
当0ABP与EIAPC面积相等时,BP=PC=^BC=4cm,DP=4-2=4cm,
团在RtAADP中,由勾股定理得力P=y/AD2+DP2=4cm,
故选:D.
【点睛】本题考查了函数图象,勾股定理等知识.解题的关键在于明确函数图象上各点含义.
10.(2023•河南•河南省实验中学校考模拟预测)如图,在RtAABC中,乙4cB=90。,点D,E分别是边4B,
BC的中点,延长4C至F,使CF="C,若AB=10,贝质的长是()
A.8B.6C.5D.4
【答案】C
【分析】根据"直角三角形斜边中线等于斜边的一半"可以求出CD=5,再由中位线的性质可以证明四边形
DCFE为平行四边形,进而得到EF=5.
【详解】解:在Rt△力BC中,乙4cB=90。,点。是边2B的中点,AB=10,
0C£)=-AB=5,
2
•・•点。,E分别是边AB,BC的中点,
DE11AC,DE=|T4C,
•••CF=-AC,
2
EIDE=CF,
.•・四边形DCFE为平行四边形,
•,EF=CD=5,
故选:C
【点睛】本难题考查了平行四边形的判定与性质、中位线的性质、直角三角形斜边中线,掌握中位线与斜
边中线的性质是解题关键.
11.(2023•河南安阳•统考一模)如图,四边形4BCD是回。的内接四边形,四边形4B0D是平行四边形,则下
列结论:®AB=OB;②4BCD=60°;(3)ABAD=120°;@CD=<2OD.其中正确结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【分析】由已知、根据“平行四边形对边相等"得:AB=OD,AD=OB,从而可得AB=。3=40,即①
结论正确;进而得出AAOB、AAOD都是等边三角形,可得③结论正确;由“一条弧所对的圆周角等于它
所对的圆心角的一半”得出ABCD=,BOD=60。,即②结论正确;由点C的不同位置,CD的长度也发生变
化可知④结论错误,即可得出结论;
【详解】连接。4团四边形力BOD是平行四边形,
AB=OD,AD=0B,
OB=0A=0Df
•*.AB=OD=OA=OB=AD,
结论正确;
团△力。B、AAOD都是等边三角形
•••Z-AOB—Z-AOD—Z.OAB—Z-OAD—60°
0ZBOD=120°,/LBAD=120°,即③结论正确;
EINBCD=3乙BOD=60°,即②结论正确;
回C在优弧8。上(不含端点)
团随着点C的不同位置,CD的长度也发生变化,不是常数,
故④结论错误;
综上所述,正确结论有3个;
【点睛】该题主要考查了圆部分知识点、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点,解答该题的关
键是掌握相关知识点并能够熟练运用.
12.(2023下•安徽芜湖•八年级统考期末)如图,Rt△48c中,Z.B=90°,AB=5,BC=12,点。是边4C上
的动点,过点。作DE14B,DF1BC,则EF的最小值是()
【答案】B
【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形,得四边形EDFB是矩形,根据矩形的对角线相等,得EF=BD,
则EF的最小值即为BD的最小值,根据垂线段最短,知:BD的最小值即等于直角三角形4BC斜边上的高,
据此求解即可.
【详解】解:如图,连接
El在RtAABC中,Z_B=90。,43=5,BC=12,
EL4c=V122+52=13.
又即E14B,DF1BC,
回四边形EDFB是矩形,
^EF=BD.
aBD的最小值即为Rt△ABC斜边上的高,
^rn-Al'Bn•B"C=-1AC"•BnDc,即Fin8c。c=-A-B-B-C=-1-2-x-5=—60,
22AC1313
丽尸的最小值为居
故选B.
【点睛】此题综合运用了勾股定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质,三角形面积,关键是要能够
把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段.
13.(2023・浙江绍兴•统考中考真题)如图,等腰直角三角形ABC中,0ABe=90。,BA^BC,将BC绕点B
顺时针旋转e(0°<e<90。),得到BP,连结CP,过点4作4砸。「交CP的延长线于点X,连结AP,则SRAH
的度数()
A.随着e的增大而增大
B.随着e的增大而减小
c.不变
D.随着e的增大,先增大后减小
【答案】c
【分析】由旋转的性质可得2C=B尸=24由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求勖PC+SBB4=135。
=^CPA,由外角的性质可求回以77=135。-90。=45。,即可求解.
【详解】解:回将8c绕点B顺时针旋转e(00<0<90°),得至(J3P,
SBC^BP=BA,
H3BCP=[3BPC,^BPA=^BAP,
fflCBP+0BCP+EBPC=180°,^ABP+^BAP+^BPA=180°,a4BP+0CBP=9O°,
^BPC+WPA=135°=^CPA,
00CB4=EL4//C+0fi4//=135",
fflE4H=135°-90°=45°,
回am”的度数是定值,
故选:c.
【点睛】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,三角形的外角性质,灵活运用这些性质解决问题是
本题的关键.
14.(2022•山东潍坊•统考二模)如图,在ANBC中,BC=6,41cB=60。,以点C为圆心,适当的长为半
径作弧,分别交AC,BC于点E,F;分别以点E,尸为圆心,大于]EF的长为半径作弧,两弧交于点。;
作射线CD若点M为边BC上一动点,点N为射线CD上一动点,贝UBN+MN的最小值为()
A.3B.3V2C.4D.3靠
【答案】D
【分析】先由作图可得CD是0ACB的平分线,则回8(7〃=扣478=30。,作点B关于射线CD的对称点G,过
点G作GM0BC于交.CD于N,如图,此时,GN=BN,则8V+MN=GM最小,证得EIG=EIBC”=30。,在
RfABCH中,求得8/梏BC$6=3,在放△8GM中,求得8河=部;=3,再利用勾股定理,求出GM长,即可
求解.
【详解】解:由作图可知,CQ平分0ACB,
11
^BCD=^ACB=-x60°=30°
22f
作点3关于射线CD的对称点G,过点G作GM03C于交CO于N,如图,此时,GN=BN,则BN+MN=GM
最小,
由对称性质,得团BG,BH=GH,
WGBC^BCD=90°,
团团G3C+R1G=9O°,
mG=^BCH=30°,
在RtABCH中,回团8cH=30°,
^BH=-BC=-x6=3,
22
田GH=BH=3,
⑦BG=BH+GH=6,
在放△3GM中,00G=3O°,
国BM上BG=3,
2
SGM=y/BG2-BM2=762-32=3^3,
0BN+MN=GM=36,
故选:D.
【点睛】本题考查尺规作图-作已知角的角平分线,直角三角形的性质,勾股定理,掌握利用轴对称和垂线
段最短,求线段和的最小值是解题的关键.
15.(2022•河南商丘・统考二模)如图1,RtAABC中,点P从点C出发,匀速沿CB—向点2运动,连接4P,
设点P的运动距离为X,4P的长为y,y关于X的函数图象如图2所示,则当点尸为BC中点时,4P的长为()
y
【分析】通过观察图2可以得出4C=6,BC=a,AB=a+2,由勾股定理可以求出a的值,从而得出BC=8,
AB=10,当P为BC的中点时CP=4,由勾股定理求出4P长度.
【详解】解:因为P点是从c点出发的,c为初始点,
观察图象%=0时y=6,则AC=6,P从C向B移动的过程中,4P是不断增加的,
而P从B向4移动的过程中,AP是不断减少的,
因此转折点为8点,P运动到8点时,即x=a时,BC=PC=a,此时y=a+2,
即AP=AB=a+2,AC=6,BC=a,AB=a+2,
■■zC=90°,
由勾股定理得:(a+2)2=62+a2,
解得:a=8,
AB=10,BC=8,
当点P为BC中点时,AP=4,
AP-VAC2+CP2=V62+42=2V13,
故选:D.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象:通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以
提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时,要理清图象的含义即会识图.
二、填空题
16.(2023•贵州贵阳•统考二模)在数轴上画出表示无理数的点的方法:如图,点。为数轴上的原点,作射
线OM垂直于数轴,以点A(点A对应有理数3)为圆心,4个单位长度为半径画弧交射线OM于点B,再以点
。为圆心,OB的长为半径画弧交数轴于点P,则点P对应的实数是
【答案】V7
【分析】结合数轴,根据勾股定理进行求解.
【详解】由题意知,OP=OB,AB=4,0A=3,
由勾股定理知,OP=OB=7AB2一=^42-32=V7,
故答案为:V7.
【点睛】本题考查勾股定理,数轴与实数的关系,熟练掌握勾股定理是解题的关键.
17.(2023上•黑龙江鹤岗•九年级统考期末)已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程/—7x+12
=0的两个实数根,则该直角三角形斜边上的中线长是.
【答案】2.5
【分析】先求出方程的两个根,然后再根据题意运用勾股定理求出直角三角形斜边的长,最后根据直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
【详解】解:a?-7x+12=0
0%产3,光2=4
回该直角三角形的斜边长为,32+42=5
回该直角三角形斜边上的中线长为5+2=25.
故填2.5.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、勾股定理以及直角三角形的性质,掌握直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半是解答本题的关键.
18.(2023•广西河池•校考一模)如图,a||b,交直线/于48两点,过点A作AC1Z交直线b于点C,若41=58。,
则N2=度.
【答案】32
【分析】根据平行线的性质得出NACB=42,再由三角形内角和定理求解即可.
【详解】解:回直线a||b,
0ZXCS=z2,
EL4C1BA,
El/Bac=90°,
0Z2=AACB=180°-zl-乙BAC=180°—90°-58°=32°,
故答案为:32.
【点睛】题目主要考查平行线的性质及三角形内角和定理,熟练掌握这些基础知识点是解题关键.
19.(2023•湖北黄冈•三模)斛是中国古代的一种量器.据《汉书彳聿历志》记载:"斛底,方而圜(huan)其
外,旁有虎(tiao)焉”.意思是说:"斛的底面为:正方形外接一个圆,此圆外是一个同心圆如图所示,
问题:现有一斛,其底面的外禀彳至为两尺五寸(即2.5尺),"虎旁"为两寸五分(即两同心圆的外圆与内
圆的半彳至之孝为0.25尺),则此斛底面的正方形的边长为尺.
【答案】V2
【分析】如图,根据四边形CDM为正方形,可得回。=90。,CD=DE,从而得到CE是直径,SEC£)=45。,然
后利用勾股定理,即可求解.
【详解】解:如图,
El四边形CDEF为正方形,
EBD=90°,CD=DE,
EICK是直径,EIEC£)=45。,
根据题意得:AB=2.5,CE=2.5-0.25X2=2,
0C£2=CD2+DE2=2CD2,
EIC。—A/2,
即此斛底面的正方形的边长为鱼尺.
故答案为:V2
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形,勾股定理,熟练掌握圆内接四边形的性质,勾股定理是解题的关
键.
20.(2023・四川成都・模拟预测)如图,在AABC中,BC=3,AC=4,乙4cB=90。,以点B为圆心,BC长
为半径画弧,与4B交于点Z),再分别以A,。为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,M作直
线MN,分别交AC,28于点E,F,则线段EF的长为.
【答案】如75
【分析】根据勾股定理求出48根据作图可得BC=BD=3,可得40=5-3=2,MN垂直平分4D,即可得
到4F=1,易得AAFE-AACB,即可得到答案.
【详解】解:团BC=3,AC=4,^ACB=90°,
^\AB=-\/32+42=5,
团以点5为圆心,长为半径画弧,与AB交于点D,
BBC=BD=3,
团4。=5—3=2,
国MN垂直平分Z。,
团AF=1,AAFE=乙ACB=90°,
团乙4=乙4
团A4FE〜AACB,
3
团EF=
4
故答案为工
4
【点睛】本题考查勾股定理,垂直平分线,三角形相似的判定与性质,解题的关键是根据勾股定理及垂直
平分线得到4F=1.
21.(2023・广东东莞•东莞市厚街海月学校校考模拟预测)如图,在直角三角形力BC中,N4CB=90。,47=3,
BC=4,点。在4B上,5.AD=AC,AE1CD,垂足为F,与BC相交于点E,则tan/CAE=.
【答案】1/0.5
【分析】连接DE,勾股定理求出4B,证得力石是6的垂直平分线,得到DE=CE,设DE=CE=x,贝UBE=
4-x,在RtABDE中,由勾股定理得到BD?+。产=BE?,求出%=1.5,即CE=1.5,在RtAACE中,根
据公式求出答案.
【详解】解:连接。凡
^ACB=90°,AC=3,BC=4,
^AB=y]AC2+BC2=V32+42=5,
团40=AC,AELCD,
团CF=OF,BD=AB-AD=3-3=2,
回/E是CD的垂直平分线,
团DE=CE,
又团4E=AE,
[?]△ACE皂△AOE(SSS),
^Z.ADE=/.ACE=90°,
设OE=CE=x,贝!J8E=4-x,
在由△BOE中,BD2+DE2=BE2,
022+x2=(4—x)2,
解得%=1.5,即CE=1.5,
在Rt△4CE中,tan/CAE=生=竺=工,
AC32
故答案为:
【点睛】此题考查了求角的正切值,勾股定理,全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的判定和性质,
正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键.
22.(2023上•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试)如图,在正方形A8C£>中,E
是BC上一点,P是C。上一点,连结AE、AF.EF,且0AEB=0AEF,AB=3BE,AE=V10,贝UAF=—.
【答案】詈
【分析】过点A作A/fflEF于X,先证明EABEEEAHE,AB=AH,BE=EH,然后证明A毋HBADRDF=FH,
然后利用勾股定理求出AB,BE的长,设FH=DF=x,则CF=3-x,EF=l+x,FC2+EC2=EF2,(3-%)2+22=
(x+l)2,由此进行求解即可.
【详解】解:如图,过点A作跖于X,
aMHE=EAHF=90°,
团四边形ABCD是正方形,
S\AB=BC^CD=AD,
0B=0D=9O°,
^S\AEB=BAEF,I3B=0AHE=9O°,AE=AE
00AB£00A//E(AAS),
BAB=AH,BE=EH,
ElAF=AF,AH=AD,且她"尸=回。=90°,
00AHM30ADF(HL),
®DF=FH,
EL4B=3BE,AB2+BE2=AE2=10,
01OBE2=10,
@BE=EH=l,
^AB=BC=CD=AD=3,
田EC=BC-CF=2,
设FH=DF=x,则C尸=3-x,EF=l+x,
0FC2+EC2=EF2,
0(3-x)2+22=(%+l)2,
解得x=I,
3
⑦HF=
2
SAF=>JAH2+HF2=—
2
故答案为:誓.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质与判定,勾股定理,解题的关键在于能够熟练
掌握相关知识进行求解.
23.(2023下•浙江•八年级期末)如图,在平行四边形ABCD中,AB=6/R4D的平分线与的延长线交于
点E、与DC交于点且点尸为边DC的中点,N4DC的平分线交AB于点M,交AE于点N,连接DE,若DM=2,
则DE的长为—.
【答案】V73
【分析】先判定朋次迥aECR即可得到AP=EF,依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得出AF^\DM;
再根据等腰三角形的性质,即可得到ON=MN=L最后依据勾股定理即可得到AN与NE的长,进而得出OE
的长.
【详解】解:•.•点F为边DC的中点,
•••DF=CF=-CD=-AB=3,
22
•・•AD“BC,
•••Z-ADF=Z.ECF,
AADF=AECF(ASA^
・•.AF=EF,
•・•CDI[AB,
••・Z-ADC+乙DAB=180°,
又尸平分284。,DM平分440C,
・•・乙ADN+乙DAN=90°,
・•・AF1DM,
•・•4F平分
・•.Z.BAF=Z.DAF,
又・・•DC//AB,
・•・乙BAF=Z.DFA,
・•.Z.DAF=Z-DFA,
•••AD=DF=3,
同理可得,AM=AD=3,
又•・,4N平分
・•.DN=MN=1,
RtZJADN中,AN='AD?-DN2=V32-I2=2或,
•.AF=2AN=4V2,EF=4传
•••NE=6V2,
•••RtdDEN中,DE=y/DN2+EN2=Jl2+(6V2)2=V73.
故答案为:V73.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用,判定A/WM,利用勾股定理进行计算是
解决问题的关键.
24.(2022•四川眉山•中考真题)如图,点P为矩形4BCD的对角线4c上一动点,点E为BC的中点,连接PE,
PB,若48=4,BC=4V3,贝l|PE+P8的最小值为.
----------------------
BEC
【答案】6
【分析】作点8关于AC的对称点夕,交AC于点R连接夕E交AC于点P,贝iJPE+PB的最小值为夕E的
长度;然后求出"B和BE的长度,再利用勾股定理即可求出答案.
【详解】解:如图,作点2关于AC的对称点次,交AC于点F,连接交AC于点P,贝UPE+PB的最小
值为9E的长度;
B
0AC是矩形的对角线,
0AB=C£)=4,0Age=90。,
在直角0ABC中,AB=4,BC=4V3,
HtanzXCF=——,
BC4<33
0ZXCB=30°,
由对称的性质,得B'B=2BF,B'B1AC,
0BF=|BC=2V3,
EIB'B=2BF=4V3
0SF=EF=2V3,4CBF=60°,
团BBEF是等边三角形,
0BF=BF=B'F,
团ABE9是直角三角形,
SB'E-y/BB'2-BE2-J(4%)2—(2,)2=6,
OPE+PB的最小值为6;
故答案为:6.
【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,等边三角形的判定和性质,直角三角形的性质,特殊角的三
角函数值,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确的找到点P使得PE+PB有最小值.
25.(2023•四川自贡・统考一模)如图所示,在矩形2BCD中,AB=2®BC=6,P为矩形A8CD内部的任
意一点,贝UPA+PB+PC的最小值为
【分析】将ABPC绕点C逆时针旋转60。,根据旋转的性质,可以得到一个等边三角形,通过边与边之间的
等量代换,就会将所求的三条边之和的长,转变求三条线段连到一起的折线段的长,当四点共线时会取到
最小值.
【详解】如解图,将ABPC绕点C逆时针旋转60。,得到AEFC,连接PF、力EMC,由旋转的性质可知PC=
CF,PB=EF,BC=CE=6/PCF=乙BCE=60°,
0APFC是等边三角形,
国PC=PF,
团PZ+PB+PC=P4+EF+PF,
团当4尸、尸、E四点共线时,24+尸8+尸。的值最小,最小值为AE的长,
团四边形/BCD是矩形,
^ABC=90°,
Eitan乙4cB=—=—,
BC3
^/.ACB=30°,AC=2AB=4A/3,
0乙BCE=60°,
^Z.ACE=90°,
团在中,AE=/(4V3)2+62=2V21.
E
故答案是:2V21.
【点睛】本题主要考查了图形的旋转,会利用到等边三角形,勾股定理,锐角三角函数等知识,解题的关
键是:根据条件及所求将一个三角形逆时针旋转60。得到一个等边三角形,通过等边三角形边之间的关系进
行等量代换;当几点共线时会取到最小值,最后在直角三角形中利用勾股定理求解.
三、解答题
26.(2023下•安徽阜阳•八年级统考期末)如图,在0ABe中,48=100,BC=125,AD0BC,垂足为点£),
AD=60,点A在直线上.
(1)求AC的长;
(2)若回MAC=48。,求EINA8的度数.
N
【答案】(1)75;(2)42。.
【分析】(1)首先在RtA/lBD中利用勾股定理求出8。的长,进而求出。的长,然后在RtANDC,利用
勾股定理即可求出AC的长;
(2)首先利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形,即可求得国的度数.
【详解】解:(1)EAZMBC,
EHAZJB=0A£)C=90°,
在Rf3\ABD中,
BD=y/AB2-AD2=V1002-602=80,
0BC=125,
EI£)C=BC—2£)=125—80=45,
在R/EIADC中,
AC=y/AD2+DC2=V602+452=75;
(2)EL4B2+AC2=1002+752=15625,
BC2=1252=15625,
SAB2+AC2=BC2,
是直角三角形,
EHBAC=90°
EHMAC=48。
EI/NAB=180°-ZS4C-ZM4C=180°-90°-48°=42°.
【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理,解题关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理.
27.(2022上•陕西西安・八年级统考期中)如图,448。为等边三角形,点E、。分别为48、4;上一点,且
BE=AD,CE、8。相交于点。,求NEOB的度数.
【答案】600
【分析】根据条件证明△48。=△BCE,得出乙4BD=乙BCE,再根据外角的性质得到NBOE=Z.BCE+乙CBD,
进一步可得结论.
【详解】解:■:AABC是等边三角形,
AB=BC,/.BAD=乙CBA=60°,
在△4BD和ABCE中,
'AB=BC
Z-BAD=Z.ABC,
、AD=BE
.*.△ABD三△BCE(SAS),
•••Z.ABD=乙BCE,
・•・乙BOE=乙BCE+乙CBD=乙ABD+乙CBD=/.ABC=60°.
【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、外角的性质,解题的关键是熟知三角形的
外角等于与它不相邻的两个内角之和.
28.(2022下,江苏扬州•九年级校考阶段练习)如图,在平行四边形A8CZ)中,ACSDE,AE=AD,AE交BC
于。.
AD
(1)求证:0BCA=0EAC;
(2)若CE=3,AC=4,求ACOE的周长.
【答案】⑴证明见解析
(2)8
【分析】(工)先根据平行四边形的性质证明再由三线合一定理证明=即可证明
0BCA=[?IEAC;
(2)先根据等角对等边证明OA=OC,再由勾股定理求出AE的长,最后证明回COE的周长=AE+CE即可得
到答案.
【详解】(1)解:国四边形A8CO是平行四边形,
SADWBC,
^S\DAC=^BCA,
SAE^AD,ACSED,
EINEAC=/.DAC,
0EBC4=0EAC;
(2)解:a3BCA=EIEAC,
0OA=OC,
^ACSDE,即0ACE=9O°,
El在RZEIACE中,由勾股定理得:AE=VXC2+CE2=5,
EECOE的周^z=CE+OC+OE=OA+OE+CE=AE+CE=8.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质,等腰三角形的性质与判定,勾股定理,熟知等腰三角形的性
质与判定条件是解题的关键.
29.(2022•广西河池•统考一模)如图,在团4BCD中,AB>AD.
DC
⑴尺规作图:在力B上截取4E,使得4E=4D(不写作法,保留作图痕迹,用黑色笔将痕迹加黑);
⑵在(1)所作的图形中,连接DE,证明:乙ADE=KCDE.
【答案】⑴见解析;
⑵见解析;
【分析】(1)以A点为圆心,AD的长为半径,画弧,交于E,即为所求;
(2)由(1)知得到41=42,由四边形ABCD为平行四边形,得到48||CD,所以NCDE=42,
即可证明;
【详解】(1)解:如图,以A点为圆心,A。的长为半径,画弧,交AB于E,
AE为所求;
(2)证明:由(1)知4D=4E,Nl=N2
••・四边形4BCD为平行四边形,
AB||CD
Z.CDE=Z.2,
z.1=Z.CDE
【点睛】本题主要考查简单作图,解题的关键是掌握画弧,以及平行四边形的性质,和等腰三角形的性质.
30.(2022•广东佛山•统考模拟预测)如图,2B,CD是半径为5的回。的两条弦,AB=8,CD=6,AB1MN
于E,CD1MN于F.
{1}EF=;
(2)点P在MN上运动,则24+PC的最小值为
【答案】⑴7
(2)772
【分析】(1)连接。4、OB、0C,利用勾股定理求出。E、OF即可.
⑵作于H点,由于4、B关于MN对称,因而P4+PC=PB+PC,即当B、C、P在一条直线上时,
PA+PC最小,即BC的值就是P4+PC最小值.
【详解】(1)连接。4OB、0C,
EL4B=8,CD=6,MN是直径,AB工MN于E,CD1MN于R
0SF=-AB=4,CF=打。=3,
22
WE=y/OB2-BE2=V52-42=3,OF=y/OC2-CF2=4,
SEF=0E+0E=3+4=7.
(2)
作于"点,连接BC,
EL4B1MN于E,CD1MN于F,
SiACHE=/.HEF=乙CFE=90°,
回四边形CHEF是矩形,
0CW=0E+0F=3+4=7,EH=CF=3,
^BH=BE+EH=BE+CF=4+3^7,
在RtABCH中,根据勾股定理得:BC=VBH2+CH2=V72+72=7鱼,
a/M+PC的最小值为7迎.
【点睛】本题考查了线段的最值问题,找到BC的值是P4+PC最小值是解题关键.
31.(2023・云南昆明•统考二模)如图,在正方形48CD中,对角线AC,BD相交于点。,点、E,尸是对角线AC
上的两点,S.AE=CF,连接DE,DF,BE,BF.
⑴求证:四边形BEDF是菱形;
(2)若=4,AE=V2,求菱形BEDF的边长.
【答案】⑴见解析
(2)710
【分析】(1)根据正方形2BC0,可证得EF1DB,OE=。尸,。。=。8,即可得证;
(2)求得。&OB,再根据勾股定理解答即可.
【详解】(1)证明:•••四边形ABCD为正方形,
•••AC1DB,OC=OA,OB=OD,
•・•AE=CF,
OA-AE=OC-CF,即。E=OF,
・•・四边形BEOF为平行四边形,
EF1DB,
・•.平行四边形BEDF为菱形;
(2)解:•••OA=OB/AOB=90°,
4。=8。=—AB=2V2,
2
•••AE=V2,
•••EO=AO-AE=V2,
•.EB=y/OE2+OB2=V10,
二菱形BEDF的边长为VIU.
【点睛】本题考查了正方形的性质,菱形的判定及性质,勾股定理,熟知对角线互相垂直平分的四边形是
菱形是解题的关键.
32.(2023・重庆,统考中考真题)如图,△ABC是边长为4的等边三角形,动点E,尸分别以每秒1个单位长
度的速度同时从点A出发,点E沿折线a-B-C方向运动,点尸沿折线a-C-B方向运动,当两者相遇
时停止运动.设运动时间为/秒,点E,E的距离为y.
⑴请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量/的取值范围;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质;
(3)结合函数图象,写出点E,P相距3个单位长度时t的值.
【答案】⑴当0<t<4时,y=t;当4<tW6时,y=12—2t;
(2)图象见解析,当0<tW4时,y随x的增大而增大
(3"的值为3或4.5
【分析】(1)分两种情况:当0<tS4时,根据等边三角形的性质解答;当4<tW6时,利用周长减去24E
即可;
(2)在直角坐标系中描点连线即可;
(3)利用y=3分别求解即可.
【详解】(1)解:当0<tW4时,
连接EF,
B
0A2EF是等边三角形,
0y=t;
当4<t<6时,y—12—2t;
(2)函数图象如图:
9
8
7
6
5
4
3
2
1
当0<tW4时,y随r的增大而增大;
(3)当0<tW4时,、=3即1=3;
当4<tW6时,丫=3即12-2£=3,解得t=4.5,
故f的值为3或4.5.
【点睛】此题考查了动点问题,一次函数的图象及性质,解一元一次方程,正确理解动点问题是解题的关
键.
33.(2023・福建泉州•重庆实验外国语学校校考模拟预测)如图,矩形2BCD中,E为4。的中点.
(1)在CD边上求作一点F,使得NCFB=2NABE;
(2)在(1)中,若4B=9,BC=6,求8F的长.
DC
【答案】(1)见解析;(2)BF=10
【分析】(1)过点E作EF1BE交CD于点尸,延长BE和CD交于点M,利用角角边判定/DEMw44EB,得到
EM=EB,结合EF1BE,证明FE是线段MB的垂直平分线,进一步推导得到4M=/.FBM,由NCF8=ZM+
乙FBM,AABF=^ABE+^FBM,即可证明NCFB=241BE,此时点产即为所求.
(2)由矩形性质求得相关边长度,在RtAEFB中,由勾股定理得:EF2+BE2BF2,将对应数值代入求
解即可.
【详解】解:(1)如图,过点E作EF,BE交CD于点尸,点F即为所求;
延长BE和CD交于点M,
回四边形4BCD是矩形,
CD//AB,
・•.Z.M=乙ABE,Z.CFB=匕ABF,
•・•E为/。的中点.
DE=AE,
在4DEM和44E8中,
'Z.M=/.EBA
乙MED=/.BEA,
、DE=AE
ADEM=AAEB(AAS),
EM=EB,
•・,EF1BE,
・•.FE是线段MB的垂直平分线,
・•.FM=FB,
・•.ZM=Z-FBM,
vZ.CFB=乙M+乙FBM,乙ABF=Z.ABE+乙FBM,
•••Z.CFB=2Z.ABE;
(2)•.•四边形"CD是矩形,
CD-AB—9,AD-BC—6,
DE=AE=3,
•••EF2+BE2=BF2,
(32+DF2)+(32+92)=(9—OF)2+62,
解得DF=1,
■.CF=CD-DF=9-1=8,
:.BF=V82+62=10.
【点睛】本题考查勾股定理,矩形性质,三角形全等的判定等知识点,根据知识点解题是关键.
34.(2022•山东枣庄•统考一模)已知和△M0N都是等腰直角三角形(子OAVOMVOA),^AOB=^\MON
=90°.
图1图2
(1)如图1,连接AM,BN,求证:AM=BN;
⑵将AMON绕点。顺时针旋转.如图2,当点M恰好在AB边上时,求证:AM2+BM2^2OM2;
【答案】⑴见解析
(2)见解析
【分析】(1)由0Ao8=I3MON=90。,得出0AoM=EIB0N,然后证明0AoMEBBON(SAS)即可;
(2)连接8N,由0AO8=EIMON=90°,得出0AoM=M0N,然后证明0AoM2B8ON(SAS),得出团MAO=EINB。
=45°,AM=BN,Mffi0MB^=0ABO+0OBN=45°+45o=9O°,利用勾股定理求解即可.
【详解】(1)(1)证明:EBAOB=EIMON=90。,
S3\AOB+SAON=SMON+SAON,
即0AoM=IBBCW,
HHAOB和AMON都是等腰直角三角形,
^OA=OB,OM=ON,
在AAOM和ABON中,
-AO=BO
AAOM=乙BON,
.OM=ON
SSAOMSSBON(SAS),
^\AM=BN;
(2)证明:连接BN,
S3\AOB=SMON=90°,
00AOB-^BOM=SMON-SBOM,
即0AoM=IBBCW,
回0A08和△MON都是等腰直角三角形,
SOA=OB,OM=ON,
在"(W和ABON中,
-AO=BO
AAOM=乙BON,
.OM=ON
SSAOMSSBON(SAS),
00MAO=0A«O=45°,AM=BN,
EHMBN=a4BO+EIOBN=45°+45°=90°,
^\BM2+BN2=MN2,
回回MON都是等腰直角三角形,
SMN2=ON2+OM2=WN-,
^AM2+BM2=2OM2.
图2
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质,图形旋转性质,等腰直角三角形性质,勾股定理,掌握三角形
全等判定与性质,图形旋转性质,等腰直角三角形性质,勾股定理是解题关键.
35.(2022下•四川自贡•八年级校考期中)在菱形ABCZ)中,尸是直线2D上一点,点E在射线上,连接
PC,
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