中考数学难点突破与训练：与角有关的等腰三角形的存在性问题（含答案及解析）

专题49与角有关的等腰三角形的存在性问题

【题型演练】

一、解答题

1.在等边ABC中，。为8C上一点，E为BA上一点、,过B作3尸〃AC,连接收，DF,且/EED=60。.

(1)如图1,若B尸=4,BE=5,求3。的长.

(2)如图2,若。为CB延长线上一点，试探究30、BE、所的关系，并说明理由.

(3汝口图3,若。为BC延长线上一点，E为54延长线上一点，AE-.BF.AC=2:3:5,请直接写出CD:3D的

比值.

2.己知ABC是锐角三角形，且NC=60。，点。，E分别是边AC,8C上一点，点F是3。和AE的交点.

图2

(1)如图1,若AC>3C,且Na4E=NABD,ZAFD=60°,AD=2,求8E的长；

(2)如图2,若AC=3C,S.AD=CE,过点5作3河〃AC,且，"=3C,线段陆与3C相交于点G,点

N是M尸的中点，连接3N,求证：AF+BF=2BN.

3.在等边J1BC中，。为射线8C上一点，CE是NACB外角的平分线，ZADE=60°,EFJ.BC于F.

图1图2

(1)如图1,求证CE〃AB；

(2)如图1,若点。在线段BC上(不与8,C点重合)，求证：BC=DC+2CF；

(3)如图2,若点。在线段BC的延长线上，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.

4.如图，-ABC是等边三角形.

(1)点尸是A3边上一动点.

①当点P移动到A3中点时，延长CB至E,使BE=BP,连接PEPC.求证：PE=PC；

②在点尸运动过程中，以CP为边在CP上方作等边△CP。，连接A2CO,当”＞鳍时，求EMZ)尸的取值

范围；

(2)4/是ABC的高，记AN长为m动点M在AH上运动，在CM上方以CM为边作等边CMN,在点M

运动过程中，求点N所经过的路径长.

5.如图1,在ABC中，AB^AC,BC=2,点。为..4BC两外角/CB。，/BCE的平分线的交点，连接

OB,OC.

(1)求证O3=OC；

(2)如图2,点M在线段BC上，点N为射线CE上一点，且满足/ABC=2/MCW.

①求；CMN的周长；

②如图3,若NA=30。，且点。'为/ABC,—AC3的平分线的交点，线段AC上是否存在一点G,使得△CGM

与右CMV的周长相等？若存在，请直接写出NMO'G的度数；若不存在，请说明理由.

6.在等边三角形ABC中，AB=18,点。是BC边上的一点，点尸是AB边上的一点，连接P。，以PD为

2

边作等边三角形PDE,连接BE.

A<P}

(1汝口图1,当点P与点A重合时，求证：BE=CD.

(2)如图2,若AP=3,请计算3E+BD的值.

7.已知一ABC和一。EF均为等腰三角形，筋=47,£)E=0尸,/546=/即广，点“在48上，点厂在射线4。

上.

C(F)

(1)如图1,若44c=60。，点F与点C重合，求证：AD//BC-,

(2)如图2,若4)=他，求证：AF^AE+BC.

(3)若AB=5,在(2)的条件下，点E为A3的中点，尸为3c所在直线上一动点，当⑷尸一即1取得最大值

时，请直接写出8P的长.

8.如图，点。是等边.ABC内一点，ZAOB=110°,ZBOC=a.将30c绕点C按顺时针方向旋转60。得

△ADC,连接OD.

(1)当。=150。时，通过上述旋转可得到三条线段。4、OB、OC之间的等量关系，请写出这个等量关系,

并说明理由;

(2)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？(只填出探究结果即可)。=

3

9.如图1,C、。是以AB为直径的。上的点，且满足3C=CD=ZM=3,点尸在A8上，PD交AC于点

⑴求“的度数.

(2)如图2,当点P是AB的中点时,

①求证：—AMG是等腰三角形.

②求多的值.

ACJ

(3)如图1,设粤=x,

△DM/与△CM的面积差为y,求y关于x的函数表达式.

MC

10.如图，在*4BC中,ZBAC=90°,AB^AC,射线AD13c于点D

(1)如图1,求/BAD的度数；

(2)若点E,尸分别是射线AD,边AC上的动点，AE=CF,连接BE,BF.

①如图2,连接斯，当跖〃3c时，求NEBD的度数；

②如图3,当班;+8尸最小时，求证：ZABF=ZDBE.

11.【基础巩固】

(1)如图1,在ABC中，D,E,尸分别为A3,AC,8C上的点，DE//BC,BF=CF,AF交DE于

点G,求证：DG=EG.

【尝试应用】

DE

(2)如图2,在(1)的条件下，连接CO,CG.若CGLDE,CD=10,AE=6,求=的值.

【拓展提IWJ】

4

(3)如图3,在YABCD中，^ADC^45°,AC与交于点。，E为AO上一点，EG〃BD交AD于点、G,

£F_LEG交3C于点F.若N£G产=40。，尸G平分/EFC,FG=8,求■的长.

12.如图1,若P是ABC内部一点，5.ZPAC=ZPCB=ZPBA=a,则称点尸为ABC的布洛卡点，同时

称a为.ABC的布洛卡角.布洛卡点的发现，引发了研究“三角形几何”的热潮.

(1)如图2,P为等边三角形A3c的布洛卡点，求ABC的布洛卡角的度数;

(2)如图3,在‘ABC中，AB^AC,尸是，ABC内部一点，且NR4C=NPCB,ZAPC=ZBPC.

①求证：/)为_他(7的布洛卡点;

②若NBAC=ZAPB,延长3P交AC于点。，求证：。是AC中点.

13.如图，等腰直角二A03中，ZAOB^90°,AB=6,点C在直线A3上运动，连结OC,将线段0C绕点

。逆时针方向旋转90。得线段。。，连结CO,AD.

(1)【基础巩固】求证：△AOZ^^BOC；

(2)【尝试应用】如图1,当点C在线段AC上时，若AC=23C,求△COD的面积；

3

(3)【拓展思考】如图2,当点C在线段54的延长线上时，设AD与OC的交点为E,若"OE的面积为万,

分别求线段AC和OE的长.

5

14.在ABC中，BC=8,两条高AD,BE交于点、H,P是8的中点，连接■并延长交边BC于点G.

(1)如图1,若ABC是等边三角形.

①求证：AH=2DH；

②求CG的长.

(2)如图2,若AH=DH,CG=BD,求J1BC的面积.

15.如图①，NQ4P=60。，以/OAP的顶点A为顶点作正「ABC,延长边BC与，。AP的AP边交于E点,

在AO边上截取一点D,使得=并连结2D.

(1)求证：BE=AB+BD；

(2)①将正ABC绕顶点A按顺时针旋转，使顶点8落在—Q4P内部，如图②，请确定3D,AB,跖之间

的数量关系，并说明理由；

②将图②中的正,ABC绕顶点A继续按顺时针旋转，使顶点8落在射线。尸下方，如图③，请确定BD,AB,

班之间的数量关系，不必说明理由;

(3)在(1)和(2)的条件下，若AC=4,BD=1,求BE的长.

16.如图1,在线段A3上取一点C(BC>AC),如果以AC,3C为边在同一侧作正方形ACDG与正方形

CBEF,连接EG,取EG的中点M,DM的延长线交所于点N.

6

D

(1)请探究ZW与9的数量关系和位置关系，并加以证明.

(2)如图2,将正方形CBEF绕点C顺时针旋转，使得A,C,E在同一条直线上，其余条件不变.

①填空：/FEC的度数是,NDCF的度数是.

②探究(1)中的结论是否成立？并说明理由.

17.已知_ABC是边长为6的等边三角形，。为中点.

图1图2

(1)如图1,连接CO,E为线段。上的一个动点，以8E为边长向下作等边三角形3防，连接AF,证明:

AF=CE.

(2)在(1)的条件下，求B尸+gAb的最小值.

(3)如图2,G,H分别为BC,AC上的动点，连接交于点/,ZA7W=60°,连接交AG于点J,连

接即并延长交AC于点K,KH=KJ,试探究8。即,灰7的数量关系.

18.背景资料：在已知一ABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是

法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.如图1,

当4ABe三个内角均小于120。时，费马点尸在,ABC内部，当/4/>3=/4/3。=/。尸3=120。时，则

PA+PB+PC取得最小值.

图2图3图4

(1)如图2,等边内有一点P,若点尸到顶点A、B、。的距离分别为3,4,5,求/AP3的度数，为

7

了解决本题,我们可以将AAPB绕顶点A旋转到△ACP处,此时△ACP丝这样就可以利用旋转变换，

将三条线段小、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出44PB=.知识生成：怎样找三个内角

均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶

点与一ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点，请同学们探索以下问题.

⑵如图3,ABC三个内角均小于120。，在，ABC外侧作等边三角形连接求证：C?过ABC

的费马点.

(3)如图4,在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=1,4LBC=30。，点尸为.ABC的费马点，连接AP、2尸、CP,

求P4+P3+PC的值.

19.如图，ABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=6cm,若动点尸从点C开始，按C—A—C的路径运

动，且速度为2cm/秒，设点尸运动的时间为/秒.

⑴当.PBC是以BC为斜边的直角三角形时，求t的值.

(2)当一PBC为等腰三角形时，求f的值.

8

专题49与角有关的等腰三角形的存在性问题

【题型演练】

一、解答题

1.在等边一ABC中，。为上一点，E为BA上一点、,过B作3尸〃AC,连接所，DF,

且/EFD=60°.

(D如图1,若W=4,BE=5,求的长.

⑵如图2,若。为CB延长线上一点，试探究30、BE、防的关系，并说明理由.

(3)如图3,若。为BC延长线上一点，£为54延长线上一点，AE:BF:AC=2:3:5,请直

接写出CD:3。的比值.

【答案】⑴1

Q)BF=BD+BE

⑶CD:BD=1:2

【分析】(1)延长D?至点H，使BH=BF,易得.为等边三角形，证明“EDH-EEB,

得到=利用—求出3D的长即可.

(2)延长3D至点使血1=8尸，易得BMF为等边三角形,证明"DM乌FEB,得

至LlMD=3E,^^BM=BD+DM,即可得到毋'=3Z)+3E；

(3)在8。上截取BM=BF,易得^BMF为等边三角形，证明DMF^EBF,得到MD=BE,

设AE=2k,BF=3k,AC=5k,求出B£>,C£>,即可得解.

【详解】(1)解：延长D8至点打，使BH=BF,

：.ZABC=ZC=60°,

'：BF//AC,

：.ZFBH=60°,

9

阳是等边三角形，

：.ZH^ZBFH=60°,HF=BF,

•：/EFD=6。。,

：.ZEFB=ZDFH=60°+ZBFD,

NHBF=ZABC=60。,

ZEBF=ZH=60°,

：.^DHF^EBF(ASA),

：.DH=BE=5,

,:BH=BF=4,

：.BD=DH-BH=5-4=1；

(2)解：BF=BD+BE；理由如下:

延长BD至点使BM=BF,

ZABC=ZC=60°,

BF//AC.

：.ZFBM=60°,

，一是等边三角形，

：.ZM=ZBFM=60°,MF=BF,

•；NEFD=60。,

：.ZEFB=ZDFM=600-ZBFD,

'：ZMBF=AABC=6G°,

：.ZEBF=ZM=60°,

：.DMF乌£BF(ASA),

；・MD=BE,

*：BM=BD+DM,

：.BF=BD+BE；

(3)解：在3。上截取=

10

E

・・•三角形ABC是等边三角形，

・•・ZABC=ZACB=60°f

'：BF〃AC,

：.ZFBM=6Q°,

.FBM是等边三角形，

AZBMF=ZBFM=60°,MF=BF,

•:NEFD=60。,

：.ZEFB=ZDFM=60°-ZEFM,

'：ZMBF=ZABC=60°,

：.ZEBF=ZBMF=60°,

・・・，DMFg,EBF(AS0,

:・MD=BE,

VAE:BF:AC=2:3:5,

设AE=2左,5b=3NAC=5k,

AAB=BC=AC=5kfMD=BE=AB+AE=1k,BM=BF=3k,

:・BD=BM+MD=10k,CD=BD-BC=5k,

：.CD:BD=1:2.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质.通过添加辅助线,

证明三角形全等，是解题的关键.

2.已知一ABC是锐角三角形，且NC=60。，点O,£分别是边AC,3C上一点，点b是

和A£的交点.

(1)如图1,若AC>BC,且44E=NA瓦)，ZAFD=6Q°fAD=2,求班的长；

(2)如图2,若AC=3C,且AD=CE,过点5作BM〃AC,^BM=BC,线段Mb与3。相

交于点G,点N是”F的中点，连接3N,求证：AF+BF=2BN.

11

【答案】⑴2

(2)证明见解析

【分析】(1)延长8。至点G,使得3G=AE,先证明ABAE9△ABG(&4S),得至UAG=BE,

NBEA=NG,根据NEM+/3砂+/3PE=180°,/£BF+NC+N3Z)C=180°可得

NBEF=NBDC,由NADG=NCDF,可得ZADG=NBEF=NG,则AD=AG,即可得到

答案；

(2)先证明_ABC是等边三角形，进一步证明△ACE=ABAaSAS),延长8N到Q,使得

NQ=BN,连接尸Q.可证△3NM且ZM2N/(S4S),^FQ=BM=AB,延长3尸到尸，使

PF^AF,连接"，PQ,则R4F是等边三角形，ffi.PFQ^PAB(SAS),得到PBQ是

等边三角形，进而可得结论.

【详解】(1)解：如图1中，延长50至点G,使得3G=AE,

图1

在和，/1SG中，

AE=BG

•：<ZBAE=NABG,

AB=AB

：.ABAE9AABG(SAS),

AG=BE,NBEA=NG,

ZAFD=60°,

：.NBFE=60。,

又ZC=60°,NEBF+ZBEF+Z.BFE=180°,/EBF+ZC+ZBDC=180°,

NBEF=/BDC,

,?ZADG=NBDC,

：.ZADG=ZBEF=ZG,

：.AG=AD,

：.BE=AD=2,

/.BE的长为2.

(2)证明：如图2,

12

Q

图2

VAC=BC,ZC=60°,

・・・-ABC是等边三角形，

AAC=AB9ZC=ZBAD=60°.

在ZVICE与‘BAD中，

AC=AB

•：\ZC=ZBAD,

CE=AD

：.AACE丝ABAD(SAS),

：.ZABF=ZCAE,

：.ZAFD=ZFAB-^ZABF=60°f

：.ZBFA=180。—ZAFD=120°.

如图2中，延长BN到。，使得NQ=BN,连接尸Q.

•・•点N是MF的中点，

:・NM=NF,

在&BNM与公QNF中,

'NM=NF

・.•]NBNM=ZQNF,

BN=NQ

：.ABNM也△QNF(SAS),

：.FQ=BM=AB,AM=ZQFN,

BMFQ,

延长所到P,使得尸尸=”，连接A尸，PQ,则△以/是等边三角形,

；.NPAB+/PBA=/PBA+NFBM=120。,PA=PF,

：.ZPAB=ZFBM,

・.・BMFQ,

・・.ZPFQ=ZFBM=ZPAB,

在△尸歹。与中，

PF=PA

•；1/PFQ=NPAB,

FQ=AB

13

.•…PF—PAB(SAS),

/.PQ=PB=PF+BF,ZQPF=ZBPA=60°,

，是等边三角形，

/.AF+BF=PF+BF=PB=QB=2BN.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，等角对等边，

平行线的判定与性质，三角形内角和定理等知识.作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

3.在等边，中，。为射线BC上一点，CE是NACB外角的平分线，ZADE=60°,

EF工BC于F.

(2)如图1,若点。在线段8C上(不与5,C点重合)，求证：BC=DC+2CF；

(3)如图2,若点。在线段的延长线上，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.

【答案】(1)答案见解析.

⑵答案见解析.

(3)不成立.理由见解析.

【分析】(1)：为等边三角形，ZB=ABCA=600---ZACF=120°，：CE为角平

分线，，乙ECF=4B=60。即可得出结论.

(2)过点。作DG〃AC交A2延长线于G,证得AGD^.DCE,得出AD=Z)E,进一步

利用GD=CE,3£>=CE得出结论.

(3)证明方法同(1)得出(2)不成立.

【详解】(1),•二ABC为等边三角形，

NB=ABCA=60°，

AACF=120°，

VCE为角平分线，

AECF=AB=60°，

CE〃AB.

(2)如图，

14

A

过点。作。G〃AC交AB于G,

•・•..ABC是等边三角形，AB=BC,

ZB=ZACB=60°,

•'­ABGD=60°，AAGD=120°，

・・・.3OG是等边三角形，

:・BG=BD,

：.AG=DCf

・・,CE是/AC3外角平分线，

，AACE=-AACF=60°,

2

•*-ADCE=AAGD=120°

,­*AADB+AEDC=120°=AADB+ADAG，

4EDC=4DAG,

在△AG。和△。。石中，

ZAGD=ZDCE

<AG=DC

/EDC=ZDAG

:.LAGD空」DCE(SAS),

：.GD=CE,

：.BD=CE,

：.BC=CE+DC=DC+2CF.

(3)不成立，此时比1=2〃-⑦，理由如下:如图,

:.GD=CE9

：.BD=CE,

15

：.BC=BD-CD=CE-DC=2CF-CD.

【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定，利用边角关系及等量代换

求得结论.

4.如图，是等边三角形.

备用图②

(1)点尸是边上一动点.

①当点尸移动到A2中点时，延长CB至E,使BE=BP,连接PE,PC.求证：PE=PC；

②在点尸运动过程中，以CP为边在CP上方作等边△”>£>,连接AD,C£>,当尸时,

求EMDP的取值范围;

⑵A”是.ABC的高，记长为。，动点M在A"上运动，在CN上方以CM为边作等边

CMN,在点M运动过程中，求点N所经过的路径长.

【答案】⑴①见解析；®00<ZADP<30°

⑵。

【分析】(1)①根据等边三角形的定义得到NABC=NACB=60。，根据三线合一的性质求

出ZACP^ZBCP^30°,利用三角形外角性质求出Z£=30°,由此得到结论;②当点尸是A3

中点时，证明ACP与ACD(SAS),求出/ADP=30。；当点。与点A重合时，NAT>P=O。，

根据得到EM£)尸的取值范围；

(2)取AC的中点E,连接7VE,如图，证明\MCH\NCE网0,得到MH=NE,NELAC,

当点M与点A重合时，NE=MH=AH=a,当点”与点X重合时，点N与点E重合，由

此求出点N所经过的路径长.

【详解】(1)①；ABC是等边三角形，

ZABC=ZACB=60°,

:点尸是AB中点，

ZACP^ZBCP=30°,

BE=BP,

NE=ZBPE,

,：ZE+ZBPE=60°,

：.NE=30。，

NE=NBCP,

：.PE=PC；

16

②当点尸是A5中点时，ZACP=30°,ZAPC=90°,

・・・△CTO的等边三角形，

ZPDC=ZPCD=6009CP=CD,

：.ZACD=300=ZACP,

又「AC=AC,

・・・，AC&ACD(SAS),

・•・ZADC=ZAPC=90°,

：.ZADP=30°；

当点。与点A重合时，ZADP=0°,

TAP>BP,

：.00<ZADP<30°；

(2)取AC的中点E,连接7VE,如图,

VAH±BC,

CH=-BC,

2

CE=-AC=-BC,

22

：.CH=CE,

・・,.ABC和..CAW都是等边三角形，

AZACB=ZMCN=6O°,CM=CN,

：.ZMCH=ZNCE,

17

，.…MCH会一NCE(ASZ,

：.MH=NE,ZNEC=NMHC=90。,

：.NE±AC,

当点M与点A重合时，NE=MH=AH=a,

当点”与点〃重合时，点N与点E重合，

.•.点N所经过的路径长为a.

【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等

腰三角形三线合一的性质，熟练掌握三角形的有关知识是解题的关键.

5.如图1,在ABC中，AB=AC,BC=2,点。为4ABe两外角NCBD,NBCE的平分

线的交点，连接08,OC.

⑴求证O3=OC；

⑵如图2,点M在线段上，点N为射线CE上一点，且满足/ABC=2/MON.

①求二CMV的周长；

②如图3,若NA=30。，且点。'为/ASC,—ACB的平分线的交点，线段AC上是否存在

一点G,使得△CGN与一CMN的周长相等？若存在，请直接写出NMO'G的度数；若不存

在，请说明理由.

【答案】(1)见详解

⑵①2,②52.5。

【分析】(1)由NABC=NACB,可得/DBC=NECB,根据点。为&ABC两外角NCBD,

/BCE的平分线的交点，即有NC20=1NC8D,=问题随之得解；

22

(2)①先证明/CBO=/3CO,再根据/ABC=2/MON,证明N3OC=2NMON,在BC

上取一点T,使得BT=CN,连接70,证明-TBOZ一NCO(SAS),接着证明

TMg一MWO(SAS)，问题随之得解;②先计算出ZABC=ACB=75°,根据点O'为ZABC,

ZACB的平分线的交点，可得ZBOC=105°,30'=CO',在BC上取一点使得BH=CG,

连接O'H,O'G,如图，根据△CGM与&CMN的周长相等，可得HM=MG,再证明

18

OBH'O'CG,即有N6O'H=NCO'G,O'H=O'G,接着证明。MH乌O'MG,即有

ZHOrM=ZGOrM=-ZHOrG,即可得N"(7G=NBOC=105。，问题得解.

2

【详解】(1)9：AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

:・/DBC=/ECB,

•・•点。为一ABC两外角NC5O,ZBCE的平分线的交点，

ZCBO=-ZCBD,ZBCO=-ZBCE,

22

・・・ZCBO=ZBCO,

：.OB=OC；

(2)①在(1)中已有ND3C=NEC5,ZCBO=-ZCBD,ZBCO=ZNCO=-ZBCE,

22

ZCBO=ZBCO,

即有NCBO=NNCO,

•・•ZDBC=180°-ZABC,

ZCBO=ZBCO=-ZDBC=90°--ZABC,

22

NBOC=180。-(NCBO+4CO)=ZABC,

ZABC=2ZMON,

：.ZBOC=2ZMON,

在5c上取一点T,使得BT=CN,连接TO,如图，

VOB=OC,/CBO=/NCO,BT=CN,

:…TB(泾NCO(SAS),

：.TB=NC,TO=NO,ZTOB=ZNOC,

'/ZBOC=2ZMON,

：.NBOT+ATOM+ZMOC=2ZMOC+2/CON,

・•・ZTOM=ZMOC+NCON=AMON,

°：OM=OM,TO=NO,

19

:・jTMg^NMO8的,

：.TM=NM,

：.NM+NC+CM=TM+BT+CM=BC,

,:BC=2,

:・NM+NC+CM=2,

即4cMN的周长为2；

②・・・NA=30。，AB=ACf

：.ZABC=ACB=75。,

・・•点O'为/ABC,/ACS的平分线的交点，

:.NO'BC=ZOCB=ZOfCG=37.5°,

ZBOrC=105°,BO,=CO,,

在3c上取一点H,使得BH=CG,连接077,O'G,如图,

:△CGM与「CMV的周长相等，在①中有：NM+NC+CM=BC,

：.CG+MG+CM=BC=BH+HM+CM,

*/BH=CG,

：.HM=MG,

,ff

VBO=CO\ZOBC=ZOCG=37.5°fBH=CG,

：・OBH'OCG,

,,

：.ZBOH=ZCOGfOH=0'G,

VO'M=O'M,HM=MG,

；・OMHAOMG,

/HO'M=ZGOrM=-ZHOrG,

2

•/NB(yH=/CO'G,

：.ZHO'G=ZHOC+ZCOfG=/HOC+/BOH=ZBOfC,

：./HOG=ZBOC=105°,

NGO'M=-/HO'G=52.5°.

2

20

【点睛】本题是一道三角形的综合题，考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三

角形的判定与性质等知识，做辅助线，证明O'BH^O'CG.0MH乌O'MG是解答本题

的关键.

6.在等边三角形ABC中，A5=18,点。是BC边上的一点，点P是AB边上的一点，连接

PD,以尸。为边作等边三角形PDE,连接BE.

图1

（1）如图1,当点尸与点A重合时，求证：BE=CD.

（2）如图2,若AP=3,请计算座+m的值.

【答案】（1）见解析

⑵15

【分析】（1）根据ABC和VADE均是等边三角形，得到AE=AD,4?=AC,同时结合角

度得和差关系得到=即可得证；

（2）过P点作尸尸〃AC交C。于F，可以证得△3P尸是等边三角形，从而根据（1）中的方

法证明APBE合PFD,即可求解；

【详解】（1）ABC和VADE均是等边三角形

AE=AD,AB=AC,ZEAD=ABAC=60

即ZEAB+ZBAD=ACAD+ABAD

AEAB=ADAC

AE=AD

在AAEB和AADC中：,NEAB=ZDAC

AB=AC

ACD^,ABE(SAS)

BE=CD

(2)过P点作尸尸〃AC交CD于尸

21

ABC是等边三角形，且PF//AC

•••NBPF=ZA=60,ZPBF=ZABC=60

△出步是等边三角形

BP=FP,NBPF=ZEPD=60

即ZEPB+ZBPD=ZFPD+ZBPD

NEPB=NFPD

△PDE是等边三角形

PE=PD

PE=PD

在小PBE和白PFD中：­/EPB=ZFPD

BP=FP

PBE^^PFD（SAS）

BE=FD

BE+BD=FD+BD=BF=BP

AB=18,AP=3

BF=BP=15

^BE+BD=15.

【点睛】本题主要结合等边三角形的性质，考查全等三角形的判定和性质，准确的作出辅助

线是求解本题的关键.

7.已知，ABC和JDEF均为等腰三角形，AB=AC,DE=DF,ABAC=,点E在AB上,

点F在射线AC上.

(1)如图1,若Zfi4C=60。，点尸与点C重合，求证：AD//BC；

(2)如图2,若=求证：AF=AE+BC.

⑶若AB=5,在(2)的条件下，点E为AB的中点，尸为3C所在直线上一动点，当1np-

取得最大值时，请直接写出的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)5

22

【分析】(1)根据题意得出「ABC,一两为等边三角形，证明△BCE之△ACD(SAS),根

据NEBC+NE4C+NOAC=180。，即可得证；

(2)在E4上截取百欣=AE,连接DM,证明AAED学△MFD(SAS),AABC^ADAM(SAS),

根据全等三角形的性质即可得证；

(3)如图所示，延长DE交直线BC于点P,根据三角形三边关系得出当IOP-EPI取得最

大值时，则|如-阿|的最大值为DE的长，进而证明“陋汪—应P,根据全等三角形的性

质即可求解.

【详解】(1)证明：,/ZBAC=AEDF=60°,AB=AC,DE=DF,

ABC,DEF为等边三角形，

/.BC=AC,CE=CD,ZBCE+ZACE=ZDCA+ZECA=60°,

ZBCE=ZACD,

在和ACD中，

BC=AC,

<NBCE=NACD,

CE=CD,

：.ABCE^AACP(SAS),

・・・/DAC=/EBC,

,/ABC为等边三角形，

・・・Z.EBC=ZJEAC=ZDAC=60°.

JZEBC+ZEAC+ZDAC=180°,

：.AD//BC

(2)如图2,在E4上截取=连接。M,

连接£L>交AC于N,

・・•ABAC=ZEDF,ZANE=ZDNF,

・•・ZAED=ZMFD,

在△AED和AMFD中，

AE=MF,

<ZAED=/MFD,

ED=FD,

：.AAEP^AMFDCSAS),

23

DA=DM=AB=AC,ZADE=NMDF,

ZADE+ZEDM=ZMDF+ZEDM,

即/ADM=NEDF.

ZADM=ZBAC,

在」IBC和△DA”中，

AB=DA,

<ZBAC=ZADM,

AC=DM,

：.△ABC之ADAM(SAS),

/.AM=BC,

：.AE-hBC=FM+AM=AF.

BPAF=AE+BC.

(3)解：如图所示，延长DE交直线3C于点尸，

当|DP-£P|取得最大值时，则\PD-PE\的最大值为DE的长,

由(2)可得△ABC乌△D4M(SAS)

NDAC=ZACB,

：.AD//BC,

ZADE^ZP,

为AB的中点，则任=①，

又：ZAED=/PEB

:._AED^BEP(AAS),

BP=AD=5

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形

的性质与判定是解题的关键.

8.如图，点。是等边A5c内一点，ZAOB=110°,ZBOC=a.将_BOC绕点C按顺时针

方向旋转60。得△ADC,连接OD.

24

A

(1)当a=150。时，通过上述旋转可得到三条线段。4、OB、OC之间的等量关系，请写出这

个等量关系，并说明理由；

(2)探究：当C为多少度时，△AOD是等腰三角形？(只填出探究结果即可)a=.

【答案】⑴OA2=Og2+oc2,理由见解析

(2)125。或110。或140。

【分析】(1)由旋转的性质可得二BOC=AADC即

CO=CD,AD=OB,ZADC=ZBOC=150°,进而得到△COD是等边三角形即

/CDO=60°,OC=OD则ZADO=90°,最后根据勾股定理即可解答；

(2)分AO=AD、OA=OD,OD=AD三种情况，然后分别根据等腰三角形的性质和旋转

的性质求解即可.

【详解】(1)解：OA2=OB2+OC2,理由如下：

•••将一3OC绕点C按顺时针方向旋转60得△ADC

ABOC=AADC,ZDCO=60°

/.CO=CD,AD=OB,ZADC=NBOC=150。

.•.△COD是等边三角形

ZCDO=60°,OC=OD

，ZADO=ZADC-ZCDO=150°-60°=90°

:.△AOD是直角三角形

:.=OD2+AD2

/.OA2=OB2+OC2.

(2)解：①要使=需ZAOD=NADO

:NAOD=360°—110°—60°—(z=190°—a,ZAD(9=«-60°

A190°-a=a-60°,解得：a=125°；

②要使Q4=OD,需NOAD=ZADO

：.Z.OAD=180°-(ZAOD+ZADO)=180°-(190°-a+cr-60°)=50°

Atz-60°=50°,

."=110。；

③要使8=AD,需NOAD=ZAOD

25

•・28=36。。-11。。-6。〜=19。〜，/。的小。。一（厂6。。）“°。若

a

：.120°=190°—。，解得a=140。

2

综上，当1的度数为125。或110。或140。时，△AOD是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质

等知识点，灵活运用等腰三角形的判定与性质成为解答本题的关键.

9.如图1,C、。是以A3为直径的。上的点，且满足3C=CD=ZM=3,点P在AB上,

图1图2备用图

⑴求/DA4的度数.

⑵如图2,当点尸是A8的中点时，

①求证：AMG是等腰三角形.

②求笠的值.

ACr

（3汝口图1,设管=》，△》以与的面积差为“求y关于x的函数表达式.

【答案】(l)ZDBA=30°

⑵①见解析，②黑考

3

⑶3-A/3(X+1)

【分析】（1）根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，计算即可.

（2）①根据等腰三角形的定义证明即可.

②利用圆周角定理，三角形相似的判定和性质，三角函数计算即可.

（3）利用圆周角定理，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数计算即可..

【详解】（1）BC=CD=DA,

26

；・BC=CD=DA，

：.ZDBA=ZDBC=ZCABf

•・•A3是直径，

JZACB=90°,

，NDBA+/DBC+NCAB=3/DBA=90°,

ZDBA=30°.

(2)①,・・P是AB的中点，AB是直径，

：.ZADP=NBDP=45。,

・・・ZDBA=30°f

：.ZDAB=60°,

：.ZDG4=180°-ZZMB-Zz4Z)P=180o-60o-45o=75o,

ZC4B=30°,

・•・ZAMG=180。—ZCAB-ZAGM=180。—30°-75°=75°,

/.AM=AG,

・・・一AMG是等腰三角形.

②•・•BC=CD=DA，

：.ZDBA=ZDBC=ZCAB=ZDAC,

A3是直径，

・•・ZACB=90°,

：.ADBA+ADBC+ACAB=3ZDBA=90°,

ZDBA=30°.

：.ZDAC=30°,

27

ZADP=NBDP=45。，

又•二ZAGM=ZAMG=ZDMI=75°,

J/\IDMS^ADG,

,•.翳=今3”〃"30。=孝

(3)'：AD=BC,

•**AD=BC，

ZDBA=ZCDB,

：.DC//AB,

：.ZCDM=ZDGA=ZPGH=ZHNB=ZDNC,

'：ZDCM=ZNDC,

：.ACDMs^DNC,

.CDCM

*'D2V-CD'

，DN.CM=CD2=9,

VAD=CD=3,ZAT>C=120°,

•«AC=3y[39

AM

x

MC

MC*DN=6(x+i)，

x+1

o

,,=^Z\DMC~^^CND=—CD(^CM-DM^sin3Q

【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的

判定，三角函数的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质，灵活运用三角函数是解题的关

键.

10.如图，在4ABe中，/SAC=90。，AB^AC,射线AD1BC于点D

28

（1）如图1,求154Q的度数；

⑵若点E,尸分别是射线AD,边AC上的动点，AE=CF,连接BE,BF.

①如图2,连接所，当EF〃BC时，求NEBD的度数；

②如图3,当5E+BF最小时，求证：ZABF=ZDBE.

【答案】⑴/BAD=45°

⑵①/EBD=225。；②见解析

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一进行解答即可；

（2）①根据等腰三角形的性质，得出AG=AF,得出BG=CF,根据等腰三角形的判定得

出AE=GE,即可证明BG=GE,得出NGBE=/GEB,根据平行线的性质得出

NGEB=NEBD,证明NGS£=,根据NGBE+NEBZUdS。即可得出答案；

②过点C作。Vf_L3C,在CM上截取CG=AB,证明ABEWCGF,得出BE=GF,从而

得出BE+BF=BF+FG,5、F、G在同一直线上时，3尸+尸G最小，即3E+3尸最小，连

接BG交AC于一点，该点即为尸，交AO于点用证明=得出NHBE=45。,

证明=得出ZABF+NFBC=NFBC+NDBE,即可证明结论.

【详解】（1）解：•.•在—ABC中，AB^AC,ADJ.BC,ZB4C=90°,

AZBAD=-ZBAC=45°；

2

（2）解：①延长EE交A3于点G,如图所示：

•.,在ABC中，AB^AC,ABAC=90°,

：.ZABC=ZACB=1x90°=45°,

2

•；EF//BC,

：.ZAGF=ZABC^45°,ZAFG=ZACB=45°,

：.ZAGF=ZAFG,

：.AG=AF,

29

・•・AB-AG=AC-AF,

：.BG=CF,

'：ZAGE=ZGAE=45°,

：.AE=GE,

,:AE=CF,

：.BG=GE,

：./GBE=NGEB,

,:EF〃BC,

：./GEB=NEBD,

：./GBE=/EBD,

・.,NGBE+NEBD=45。,

：.ZEBD=22.5°；

②过点。作在CM上截取CG=AB,如图所示:

也

•；ZBCG=90。,ZBC4=45°,

・•・ZACG=45°,

ZBAD=45°,

：.ZACG=ZBADf

VAB=CG,AE=CFf

：.ABE^.CGF,

:.BE=GF,

：.BE+BF=BF+FG,

・・・3、F、G在同一直线上时，BF+FG最小,即/最小，连接5G交AC于一点，该

点即为尸，交于点”，如图所示：

V.ABE^CGF,

：.ZAEB=ZCFG.

30

•；ZAFH=NCFG,

：-ZAEB=ZAFH,

ZBHE=ZAHF,

又NHBE+ZBEH+ZBHE=180°,

ZAHF+ZAFH+ZHAF=