中考数学一轮复习重难点强化训练：特殊平行四边形（知识串讲+8大考点）原卷版

专题09特殊平行四边形

考点类型

考点1：矩形的判定与性质，考点5：特殊平行四边形一平移

考点2：菱形的判定与性质模块四图形的性质考点6：特殊平行四边形一旋转

考点3：正方形的判定与性质09讲特殊平行四边形考点7：特殊平行四边形—动点

考点4：特殊平行四边形—折叠考点8：中点四边形的证明

匚旨」知识一遍过

(-)特殊平行四边形的性质与判定

(1)性质(具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等)

入,c(1)四个角都是直角

矩

(2)对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.

形

AX

(3)面积=长乂宽=2SAABD=4SAAOB.

(1)四边相等

菱

(2)对角线互相垂直平分,一条对角线平分一组对鱼

形

(3)面积=底'高=对角线一乘积的一半

正4D(1)四条边都相等,四个角都是直角

方(2)对角线相等且互相垂直平分

形ZC(3)面积=边长x边长=2SAABD=4SAAOB

(2)判定

(1)定义法：有一个角是直角的平行四边形

矩

(2)有三个角是直角

形

A(3)对角线相笠的平行四边形

2)

(1)定义法：有一组邻边祖笠的平行四边形

菱

k(2)对角线互相垂直的平行四边形

形

(3)四条边都相等的四边形

£

（1）定义法：有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形

止

\Z（2）一组邻边相等的矩形

方

z\（3）一个角是直角的菱形

形

（4）对角线相等且互相垂直、平分

（二）中点四边形A

（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.

（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是垣形.5<Xl\

（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.

（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

匚/厚点一遍过

考点1:矩形的判定与性质

典例1：（2023•山东聊城・统考三模）如图，回力BCD的对角线4C,BD相交于点O,A。28是等边三角形，AB=

4.贝田。的长是（）

A.2V3B.4C.6D.4V3

【变式1］（2022下•河北沧州•八年级统考期中）如图所示,点E是正方形力BCD的对角线BD上一点,EF1BC,

EG1CD,垂足分别是F、G.若CG=6,CF=8,则力E的长是（）

A.14B.10C.8D.6

【变式2］（2023上,内蒙古包头•九年级校考期中）如图，点。是菱形力BCD对角线的交点，DE\\AC,CE\\BD,

连接。E,设2C=4,BD=8,则OE的长为（）

AD

A.2V3B.2V5C.20D.10

【变式3］（2023上•河北保定•九年级保定市第十七中学校考期中）如图，在RtAABC中，^BAC=90°,且

AB=6,AC=8,点。是斜边上的一个动点，过点。分别作0M1AB于点M,DN1AC于点N,连接MN,

点。为MN的中点，则线段4。的最小值为（）

A.4.8B.5C.2.4D.3.6

【变式4］（2023上,浙江•八年级校考期中）如图，在长方形4BCD中，E是4D的中点，将A/IBE沿直线BE折

叠后得到AGBE,延长BG交CD于点F连接EF,若48=6,BC=4V6.

⑴求证：AEFGm4EFD；

（2）求尸。的长.

【变式5](2023上•云南昆明•九年级云南省昆明市第二中学校考阶段练习)如图所示，在。。中，4B,AC为

互相垂直的两条弦，AB=8cm,XC=6cm,。。1AB,OE14C,垂足分另U为D,E.且。。=3cm,OE=4cm.

⑴求。。的半径;

(2)求。E的长.

【变式61(2023上•陕西榆林•九年级榆林市第一中学分校校考阶段练习)如图，在团力BCD中，过点D作DE1

48于点E,点尸在边CD上，CF=AE.连接4F,BF.

⑴求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若=60°,平分N£MB,AD=4,求4B的长.

【变式7](2023下•贵州黔南•八年级统考期末)如图，在平行四边形力BCD中，对角线AC、BD相交于点O,

Z.ABC=90°

⑴求证：乙BDC=LACD；

(2)若点E、尸分别为线段AB、4。的中点，连接EF,石尸=|，AB=8,求BC的长及四边形ABCD的面积.

考点2：菱形的判定与性质

典例2：（2024上•重庆北培•八年级西南大学附中校考期末）如图，在团4BCD中，AB=BC,^BCA=50°,

对角线AC、BD交于点0,A/IBE为直角三角形，F是斜边力B的中点，AABE=30°,贝亚40E的度数为（）

A.30°B.30.5°C.25°D.20°

【变式1］（2023上•陕西渭南•九年级统考期中）如图，四边形4BCD是菱形，等边AAMN的顶点M、N分别

在BC、CD上，且4M=8C,则NC的度数为（）

A.105°B.100°C.115°D.120°

【变式2］（2023上•吉林长春•八年级校考期中）如图，E是回4BCD的BC边的中点，P是对角线2C上一点.若

BC=CD=2/DCB=60°,贝l|P8+PE的最小值是（）

A.1B.2C.V3D.4

【变式3］（2022下•陕西商洛•八年级统考期末）如图，在菱形A8CD中，ZBXD=60°,AC与BD交于点0,

E为CD延长线上一点，且连接BE,分别交4C,4。于点F、G,连接OG、AE,则下列结论：

①。G=|曲

②四边形4BDE是菱形；

③四边形。DEG与四边形0B4G面积相等.

其中正确的有（）

BA

F.

E

A.0个B.1个C.2个D.3个

【变式4】(2024上•贵州贵阳•九年级统考期末)如图，已知在平行四边形4BCD中，4E平分NB4D交BC于点

E,点F在2D上，AF=AB,连接BF交AE于点。，连接EF.

⑴求证：四边形4BEF是菱形；

(2)若BF=8,AB=5,求4E的长.

【变式5](2023下•四川德阳•八年级统考期中)如图，四边形48CD中，AD\\BC,ZC=90°,AB=AD,连

接BD,AB4D的角平分线分别交BD,BC于点0,E.

⑴连接DE,求证：四边形ABED为菱形;

(2)若BC=8,CD=4,求4E的长.

【变式6］（2023上,吉林长春•九年级长春市解放大路学校校考期中）如图，已知矩形力BCD的对角线4C的垂

直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.

⑴求证：四边形AFCE是菱形；

（2）当8c=&2B时，菱形2FCE的面积与矩形28CD的面积比值为

【变式7］（2023上•贵州毕节•九年级校考期中）如图，四边形4BCD为矩形，。为4C中点，过点。作4C的垂

线分另!］交A。、BC于点E、F,连接力F、CE.

⑴求证：四边形4FCE是菱形；

（2）若4C=8,EF=6,求BF的长.

考点3:正方形的判定与性质

典例3：（2022下•重庆南川•八年级统考期中）如图，点。为正方形2BCD的中心，BE平分上DBC交DC于点、E,

延长8c到点尸，使FC=EC,连接DF交BE的延长线于点H,连接。“交DC于点G,连接HC,则以下四个结论

中：①@GH=-BC,@0D=-BF,④NCHF=45。.正确结论的个数为（）

42

BC

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式1］（2024上•黑龙江哈尔滨•九年级统考期末）如图，矩形纸片2BCD中，AB=6cm,BC=9cm.现

将其沿2E对折，使得点B在边4。上的点尸处，折痕与边8c交于点E,则CE的长为（）

C.3cmD.2cm

【变式2］（2023上•甘肃白银,九年级校考期中）如图，正方形ABCD中，点E是4D边的中点，BD,CE交于

点、H,BE、4”交于点G,则下歹ij结论：①NABE=NDCE；②乙AHB=LEHD；@S^BHE-S^CHD；④4G1

BE.其中正确的是（）

A.①③B.①②③④C.①②③D.①③

【变式3］（2023下•广东东莞•八年级校联考期中）如图，在团4BCD中，Z.BAC=90°,AB=AC,过点力作

边BC的垂线2F交DC的延长线于点E,点F是垂足，连接BE、DF,DF交AC于点0.则下列结论：①四边形

48EC是正方形；（2）DE=V2BC,@S^CFD=SABEF,正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【变式4］（2024上•内蒙古乌海•九年级统考期末）如图1,在正方形48CD中，E是4B上一点，尸是力。延长

线上一点，且DF=BE；

图1图2

⑴求证：CE=CF；

（2）在图1中，若G在力。上，且NGCE=45。，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

⑶运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2,在直角梯形4BCD中，AD\\BC（BC>AD）,

乙B=90°,AB=BC=24,E是4B上一点，且NDCE=45。，BE=8,求DE的长.

【变式5］（2023上•安徽阜阳•九年级统考期中）如图，点尸为正方形A8C。内一点,连接4F,DF,^AFD=90°,

将小ADF绕着点A按顺时针方向旋转90。至小ABE,延长DF交BE于点H.

⑴判断四边形力EHF的形状，并说明理由.

⑵己知力。=13,DH=17,求的长.

【变式6】(2023上,江西九江,九年级统考阶段练习)如图，在矩形4BCD中，NB4D的平分线交BC于点E,

后F14。于点尸，DG14E于点G,DG与EF交于点。.

⑴求证：四边形ABEF是正方形;

(2)若BE=DG=2,求。E的长.

【变式7](2023上•山西太原•九年级校考阶段练习)如图四边形ZBCD为正方形，点E为线段AC上一点，连

接。E,过点E作交射线BC于点F,以。E、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.

⑴求证：矩形DEFG是正方形；

(2)若48=2,。£=/，求CG的长度；

⑶当线段DE与正方形4BCD的某条边的夹角是30。时，直接写出NEFC的度数.

考点4：特殊平行四边形一一折叠

典例4：（2023上•河南郑州•八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形4BC。的边CO,。2分别

在尤轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿4E折叠，点2恰好落在边0C上的点尸处.若。4=8,CF=4,

则点E的坐标是（）

A.（-8,3）B.（-8,4）C.（-9,3）D.（-10,3）

【变式1］（2023上•陕西西安•七年级统考期末）如图，在矩形纸片4BCD中，4B=12,8C=5,点E在

上，将AZME沿DE折叠，使点4落在对角线BD上的点4处，贝IME的长为（）

【变式2］（2023上•海南海口•八年级校考期中）如图，在边长为8的正方形纸片力BCD中，E是边BC上的一

点，BE=6,连接AE,将正方形纸片折叠，使点。落在线段4E上的点G处，折痕为2F,则DF的长为（）

【变式3］（2023上•浙江温州•八年级校联考期中）如图，将一张边长为6分米的正方形纸片2BCD对折，使

4B与DC重合，折痕为EF,展开铺平后在CD上找一点G,将该纸片沿着BG折叠，使点C恰好落在EF上，记

为点C,贝亦。的长为（）

A.5.5分米B.（3/+1）分米

C.3四分米D.（2百+1）分米

【变式4］（2024下•浙江•九年级专题练习）如图，点E是矩形力BCD中CD边上一点，将ABCE沿着BE翻折,

点C恰好落在4D上的点E处.

⑴求证：AABFs&DFE；

(2)若48=6,BC=10,求EF的长.

【变式5］（2023上,宁夏吴忠•八年级校考阶段练习）如图，把长方形纸片4BCD纸沿对角线折叠，重叠部分

为XEBD.

（1）求证：AEBD是等腰三角形;

(2)若AB=4,BE=5,求AEBD的面积.

【变式6】（2023•广东茂名•三模）如图，正方形4BCD中，E是边BC的中点，将AABE沿4E折叠，得至!U4FE,

延长EF交边CD于点P.

⑴求证：DP=FP-,

(2)若4B=6,求CP的长.

【变式7】（2022下•福建三明•八年级统考期中）如图，在正方形力BCD中，尸为CD的中点，连接将△BCF

沿8尸对折得到ABPF,延长FP交B4的延长线于点Q

⑴求证：ABQF是等腰三角形;

⑵求胃的值；

考点5：特殊平行四边形一一平移

典例5：(2024上•广东河源•九年级统考期末)如图，点M的坐标为(3,4),将。M沿x轴正方向平移，使点M

的对应点M'落在直线y=[x上，点0的对应点为0'.

O\O'x

⑴求点M'的坐标；

(2)连接MM',四边形MOO'M'是什么特殊四边形？说明理由.

【变式11(2022上•山西运城•九年级统考期中)如图，在菱形4BCD中，对角线AC、BD交于点O,AE1BC,

将A4BE沿8c方向平移，使点B落到点C处.

EC

⑴求证：四边形4EFD是矩形;

(2)若8尸=8,DF=4,求48的长.

【变式2](2023上•山西运城•九年级统考期中)如图①，将边长为4cm的正方形4BCD沿其对角线4C剪开,

再把AABC沿着2D方向平移，得到如图②的若两个三角形重叠部分的面积为4cm2,

⑴直接写出阴影部分是什么特殊四边形;

(2)求4ABC移动的距离44.

【变式3】(2023下•广东江门•八年级校考期中)如图，已知ATIBC的面积为3,且4B=4C,现将△4BC沿

C4方向平移以长度得到△EFA.

⑴判断四边形力EFB的形状并求它的面积；

⑵试判断4F与BE的位置关系，并说明理由;

(3)若NBEC=15°,求AC的长.

考点6：特殊平行四边形一一旋转

典例6：(2023上•全国,九年级专题练习)如图，在RtAABC中，AACB=90°,ZB=30°,将△ABC绕点C

按顺时针方向旋转w度后，得至!]△DEC,点。刚好落在4B边上.

AC

(1)求”的值；

(2)若尸是DE的中点，判断四边形4CFD的形状，并说明理由.

【变式1](2023上•江西新余•九年级统考期末)如图，点E是正方形A8CD的边DC上一点，将△4DE顺时针

旋转至AABF的位置.

------------------\D

FR

⑴旋转中心是一点，旋转角度是一度

(2)若正方形边长为6,DE=2,求EF的长.

【变式2］（2023上,山西吕梁•九年级统考期末）综合与实践

【问题情境】

如图1,正方形2BCD中，点E为其内一点，以点E为直角顶点，以为斜边构造直角三角形4BE,使得“EB=

90°,将RtA4BE绕点B按顺时针方向旋转90。，得到回CBE，（点A的对应点为C）,延长力E交CE，于点F,

连接

图1图2

【解决问题】

请根据图1完成下列问题：

（1）若N£ME=59。，贝！］EICBE，=_度；

（2）试判断四边形2ENE的形状，并给予证明;

【拓展探究】

（3）如图2,若ZM=DE,请写出线段CF与FE，的数量关系，并说明理由.

【变式3］（2023上•河南洛阳•九年级统考期中）在矩形2BCD和矩形DEFG中，4。=2DE,AB=2DG,AD=

DG,将矩形DEFC绕点D旋转，直线4E、CG交于点P.

⑴求喘的值;

Ctz

(2)证明：AE1CG.

考点7：特殊平行四边形一一动点

典例7：(2022上•山西运城•九年级统考期中)如图，在RtadBC中，NB=90。，AC=30cm,zC=30°,

点。从点C出发沿C4方向以4cm/秒的速度向点力匀速运动，同时点E从点力出发沿4B方向以2cm/秒的速度向

点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点。，E运动的时间是t秒.过点。作

DF1BC于点F,连接DE,EF.

⑴四边形4EFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的“直；如果不能;

(2)当/为何值时，为直角三角形？请说明理由.

【变式11(2023上•山东青岛•九年级青岛大学附属中学校考阶段练习)如图，在矩形2BCD中，AB=3cm,

BC=6cm.点P从点。出发向点4运动，运动到点4即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即

停止，点P、Q的速度都是lcm/s.连接PQ、AQ,CP.设点P、Q运动的时间为ts.

(1)当1=时，四边形4BQP是矩形；

(2)当1=时，四边形2QCP是菱形；

⑶是否存在某一时亥服使得PQ1PC,如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由.

⑷在运动过程中，沿着2Q把A4BQ翻折，当t为何值时，翻折后点8的对应点所恰好落在PQ边上.

【变式21（2023下•广东河源,八年级统考期末）如图，在四边形力BCD中，4DIIBC,AD=12cm,BC=15cm,

动点尸、Q分别从A、C同时出发，点P以lcm/s的速度由A向。运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中

一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒.

（1）AP=cm,PD-cm,BQ=cm,（分别用含有t的式子表示）;

（2）当四边形PQCD的面积是四边形力BQP面积的2倍时，求出t的值.

⑶当t为何值时，四边形2PQB为平行四边形？

⑷当t为何值时，四边形PDQ8为平行四边形？

【变式3］（2023下•广东揭阳•八年级统考期末）已知：在团4BCD中，动点尸在力D边上，以每秒0.5cm的速

度从点A向点。运动.

图1图2

⑴如图1,在运动过程中，若CP平分N8CD,且满足CD=CP,求N8的度数.

⑵如图2,另一动点。在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P、。两点同时出发，

当点P到达点。时停止运动（同时。点也停止），AD=6cm,求当运动时间为多少秒时，以P,D,Q,B

四点组成的四边形是平行四边形.

考点8：中点四边形的证明

典例8：（2023下•江苏泰州•八年级校考阶段练习）如图，在四边形4BCD中，E、尸分别是AD、BC的中点,

G、H分别是BD、AC的中点.

⑴请判断四边形EGFH的形状，并说明理由.

⑵四边形4BCD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形，请说明理由.

⑶四边形4BCD满足什么条件时，四边形EGFH是矩形，请说明理由.

【变式1］（2023上•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）阅读与思考

下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务，

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1,在四边形4BCD中，点E、F、G,“分别是边48、BC,CD,DA的中点，顺次连接E,F、G、

H,得到的四边形EFG”是平行四边形.

我查