中考数学一轮复习强化训练：圆的基本性质（分层训练）解析版

专题10圆的基本性质（分层训练）

分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.（2023・河南・统考二模）己知：如图，O4OB是。。的两条半径，UOB=100。，点C在O。上，则乙4cB的

度数为（）

A.45°B.35°C.60°D.50°

【答案】D

【分析】直接根据圆周角定理求解即可.

【详解】圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，

皿CB==5°。,

故选：D.

【点睛】本题考查圆周角定理，理解并熟记圆周角定理是解题关键.

2.（2023•浙江•模拟预测）如图，CD是O。是直径，28是弦且不是直径，CDLAB,则下列结论不丁军思

聊的是（）

D

A.AE=BEB.OE=DEC.AO=COD.AD=

【答案】B

【分析】由于CD14B,根据垂径定理有4E=BE,AD=的,不能得出。E=DE,圆的半径都相等.

【详解】解：如图所示，

EICD1AB,

EL4E=BE,AD=血

。。的半径都相等，那么

AO=CO,

不能得出。E=DE.

故选:B.

【点睛】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容.

3.（2023上•山东临沂,九年级统考期中）如图，点/,B,C是。。上的三点，已知乙4OB=110。，那么N4CB

的度数是（）

A.40°B.45°C.50°D.55°

【答案】D

【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.

【详解】解：团曲08与朋C8是同弧所对的圆心角与圆周角，的08=110。，

1

0EL4C5=-EL4<9S=55°.

2

故选：D.

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半是解题的关键.

4.（2023•黑龙江哈尔滨・统考二模）如图，A8是。。的直径即=6）=0£,若4C。。=35。，则乙40E的度

数是（）.

E_D

C

A.35°B.55°C.75°D.95°

【答案】C

【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到NDOE=Z.BOC=乙COD=35°,再根据平角的定义求出

乙4OE的度数即可.

【详解】解：回品1=CD=ETE,乙COD=35°,

EINDOE=乙BOC=乙COD=35°,

0ZXOE=180°-4DOE-乙BOC-乙COD=75°,

故选C.

【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键.

5.（2023下•重庆蒙江,九年级重庆市蒙江中学校考阶段练习）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正

方形，A,B,。是小正方形的顶点.以点。为圆心，半径为1画圆.尸是回。上的点且位于右上方的小正方

形内，则曲P8等于（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】直接利用圆周角定理解答即可.

【详解】解：aa4PB是AB所对的圆周角

11

m4PB=-^AOB=-x90°=45°.

22

故选C.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半成为解答本题

的关键.

6.（2022上•河南商丘•九年级校考阶段练习）已知点。是AABC的外心，若NBOC=90。，贝U/BAC的度数为

（）

A.45°B.140°C.40°或140°D.45°或135°

【答案】D

【分析】根据题意画出图形，分两种情况当点。在A48C的内部时，当点。在A48C的外部时，运用等弧

所对的圆周角是圆心角度数的一半即可求解.

【详解】解：如图，连接。B,OC,

回。是AaBC的外心，ZBOC=90°,

0ZX=45°,4力'=135°,

EINB4C的度数为：35°或135°.

故选D.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握知识点并能够用分类讨论的思想是解

题的关键.

7.（2023•福建•校联考一模）如图，在O。中，半径4010B,点P是优弧4PB上的一点，点C是脑的中点,

连接4P,CP,贝IU4PC的度数为（）

A.20°B.22.5°C.25°D.45°

【答案】B

【分析】连接OC,求出IE40c的度数，再根据圆周角的性质直接求出乙4PC的度数即可.

【详解】解：连接OC,

EL4010B,

SZ.A0B=90°,

回点C是48的中点，

EIZX0C=4BOC=45°,

国乙4PC=22.5°,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角的性质和弧与圆心角的关系，解题关键是熟练掌握圆周角的性质和弧与圆心角

的关系，准确进行推理计算.

8.（2023•云南昭通・统考二模）如图，点/、B、C在圆。上，若乙4=50。，则/OBC的度数为（）

【答案】A

【分析】根据圆周角定理可得NBOC=100°,再根据等腰三角形的性质即可求出结果.

【详解】解：回。。是A4BC的外接圆，乙4=50。，

0ZBOC=2N4=100°,

W0=OC,

0ZOBC=乙OCB=40°,

故选：A.

【点睛】本题考查圆周角定理和等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

9.(2023•山东淄博•统考一模)如图，4B是。。的弦，半径。C14B于点D,连接2。并延长，交。。于点E,

连接BE,DE.若DE=3D。，AB=6V5,贝1]△ODE的面积为()

A.9B.15C.-V5D.9V5

2

【答案】c

【分析】根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出。。，再根据三角形面积公式进行计算即可.

【详解】财E是。。的直径，

团乙4BE=90°,

EL4B10C,。。是O。的半径，

EL4D=BD=-AB=3心

2

BOA=OE,

团。。是△48E的中位线，

回。O=-BE,

2

由于DE=3D。，可设OD=x,贝UDE=3%,BE=2x,

在RtABDE中，由勾股定理得，

BD2+BE2=DE2,

2

即(3病)+(2x)2=(3%)2,

解得％=3或久=-3(舍去)，

即。。=3,

回S^OOE=-0D,BD,

=-x3x3A/5,

2

_9V5

一,

2

故选：c.

【点睛】此题考查了垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理，掌握垂径定理，三角形中位线定理以及

勾股定理是解决问题的前提，求出。。的长是解题的关键.

10.（2022,湖北黄石•校联考模拟预测）如图，N8是回。的直径，点C在圆上，若NABC=70。，贝吐B4C的

度数为（）

A.70°B.60°C.40°D.20°

【答案】D

【分析】由是。。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得回C的度数，又由a48c=70。，利用

直角三角形中两锐角互余，即可求得曲C的度数.

【详解】解：0A8是团。的直径，

aac=90°,

0348c=70°,

035NC=9O°-7O°=2O°,

故选：D.

【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质.此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角

定理的应用，注意数形结合思想的应用.

11.（2023•甘肃白银•统考一模）如图,AC.BD是。。的两条相交弦，乙4cB=4CDB=60°,则N4BC=（）

AD

A.75°B.60°C.45°D.30°

【答案】B

【分析】圆周角定理和己知得出NC4B=NaCB=60。，证出AACB为等边三角形，根据等边三角形的性质

即可得解.

【详解】解：•••/-ACB=乙CDB=60°,4CDB=^CAB,

.­.乙CAB=乙ACB=60°,

・・.△4CB为等边三角形，

.­./.ABC=60°,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

12.(2023•山东聊城•统考二模)如图，已知N8是圆回。的直径，CD是弦，且。EL48,AC=12,BC=5,

则sinEL4BD=()

【答案】C

【分析】如图，由N3是圆回。的直径知N2CB=90。，乙4+NABC=90。，由。。_148知乙4+44。。=90。,

所以N4CD=N4BC,进而得至IU力BD=^ABC,Rt^ABC^,勾股定理求得4B=yjAC2+BC2=13,运用

正弦求得sinN2BC=1|,所以sin乙4BD=||.

【详解】

如图，斯5是圆回O的直径

国乙ACB=90°

团乙4+Z.ABC=90°

^CDIAB

团N/+^LACD=90°

团乙ACD=Z.ABC

^ABD=4ACD

国乙ABD=Z-ABC

Rt^ABC^,AB=y/AC2+BC2=13

12

sinZ-ABC=—

13

12

团sin乙480=—

13

故选c.

【点睛】本题主要考查圆周角定理及推论、直角三角形两税角互余及三角函数知识；能够灵活运用相关知

识进行角的等量代换是解题关键.

13.（2023•浙江杭州•模拟预测）如图，在。。中，弦力8所对的圆周角NC=45。，AB=V2,BC=1,则乙4度

数为（）

A.60°B.45°C.36°D.30°

【答案】D

【分析】连接AO、BO、CO,根据圆周角定理得乙408=2/C=90。，根据三角形AOB是等腰直角三角形求

出A。的长，即可证明三角形COB是等边三角形，即可得到NCOB的度数，再由圆周角定理得出结果.

【详解】解：如图，连接AO、BO、CO,

fflzXOB=2乙C=90°,

=企，

刻0=B0=1,

也

BO=CO=BC=lf

COB是等边三角形，

团乙COB=60°,

国乙4=-Z.COB=30°.

2

故选：D.

【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练运用圆周角定理.

14.（2023上•福建福州♦九年级校考阶段练习）如图，以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切

线，点P为切点.若大圆半径为2,小圆半径为1,贝IMB的长为（）

【答案】C

【分析】由题意可得。PL4B,APPB=^AB,由勾股定理可得4P=百，即可得到4B的长.

【详解】解：如图，连接。P、0A,

•••AB是小圆的切线,点P为切点,

OP1AB,

■■-AP=PB=\AB,

r大圆半径为2,小圆半径为1,

0A=2,OP=1,

在Rt△AOP中，4P=y/OA2-OP2=V22-l2=V3,

•••AB=AP+BP=2V3,

故选：C.

【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理，熟练运用垂径定理是解本题的关键.

15.（2023,湖北武汉•统考模拟预测）如图，在。。中，AB=既=⑪,。。的半径为4,脑的长为兀，则

图中阴影部分的面积是（）

C.2"+6D.8zr-4-\/2

【答案】A

【分析】利用弧长公式求出NBOC的度数，得出S扇BOC，过点8作BE1C。，求出入8℃，

过点A作4尸1。。交。。延长线于点F,求出以4。0,再把数值代入S阴=S扇BOCx3—（S扇—ShB0C）-

Su。。中进行计算即可求出•

【详解】如下图所示：

设48。。=71,根据弧长公式得：

H7TX4

------二71

180

・•.n—45°

457rx42

"S扇BOC=360=2兀

•；AB=耻=CD

**'S扇ZOB=S扇B0C=S扇coo=2"

过点8作BE1C。

在等腰直角△BOE中,BE=EO=^OB=2^2

1广L

S>BOC=2X4x2V2=4V2

过点4作/F_LO。交。。延长线于点尸

•・•乙AOD=45°x3=135°

^AOF=45°

V2厂

...AF=FO=—AO=2V2

11

•••S^A0D=-OD•AF=-x4x2V2=4V2

*',S阴=S扇Ro。x3-（S扇BOC-S^BOC）-S^AOD

=2TTx3-（2TT-4V2）-4V2

=6兀-2兀+4V2-4V2

=47r

故选：A.

【点睛】本题主要考查了扇形面积，三角形面积，弧长公式，直角三角形求边长等知识，熟练掌握公式且

利用数形结合的方法表示阴影面积是解题的关键.

二、填空题

16.（2023上•江苏宿迁•九年级统考期中）如图,是团O的直径，弦CD交于点E/44c=40°,zBXD=30°,

则乙4EC的度数为

【答案】80°

【分析】连接2C,利用圆周角性质求出WCB,利用直径所对的圆周角为90。求出的C2,利用三角形内角

和求出EL48C,再利用外角的性质可求出N4EC；

【详解】解：连接BC,则0Z）C8=zLB4D=30°

EL48是回。的直径

aa4c8=90°

EB4BC=180°-胆4C-EMC2=180°-40°-90°=50°

[3EL4£C=EL45C+aE,C5=50o+30o=80o

故答案为：80°

【点睛】本题考查了圆周角的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题关键是灵活运用圆和三

角形的性质解决问题.

17.（2022・湖南永州•统考二模）如图，AB是。。的直径，点C、。在O。上，且在异侧，连接OC、CD、

DA.若NBOC=130。，则ND的大小是.

【答案】25。/25度

【分析】利用圆周角定理和补角的概念即可解答;

【详解】解：回勖00130°,

曲00=180°-财0050°,

1

EHADC=甩4OC=25°,

2

故答案为：25。.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；掌

握定理是解题关键.

18.（2023,湖南娄底•统考二模）一块直角三角板的30。角的顶点4落在回。上，两边分别交回。于B、C两点,

若弦BC=2,贝岫。的半径为.

【答案】2

【分析】连接。B、0C,由题意易得48。。=60。，则有AB。。是等边三角形，然后问题可求解.

【详解】解：连接08、0C,如图所示：

团乙4=30°,

EINB0C=60°,

0OB=0C,

团ABOC是等边三角形，

0BC=1,

BOB=BC=1,即O。的半径为1；

故答案为L

【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

19.（2023•海南海口•海口市第九中学校考二模）如图，AB是。。的直径，CD是。。的一条弦，AB1CD,

连接AC,OD,若ND=32。，贝°.

【答案】29

【分析】连接。C,根据半径相等得出NOCD=AD=32。，根据等边对等角以及圆周角定理得出NCOB=

乙DOB=2乙4=58°,进而即可求解.

【详解】解：连接。C,如图所示，

EL4B1CD,NO=32°,

0ZBOP=90°-32°=58°,

0OC=OD,OA=OC,

田乙OCD=Z.D=32°,乙COB=乙DOB=2/4=58°

团44=29°,

故答案为：29.

【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握是解题的关键.

20.（2023上・广东广州•九年级校考期中）如图,4B为O。的直径,弦CD垂直平分半径0B,垂足为E,CD=6cm,

则直径4B的长为cm.

A

B

【答案】4V3

【分析】本题考查的是垂径定理的应用，本题先证明DE=3(cm),设4B=4x,贝！I。。=OB=2x,

OE=x,再利用勾股定理建立方程求解即可，熟记垂径定理的内容并灵活应用是解本题的关键.

【详解】解：连接0D,

A

B

回弦CD垂直平分半径0B,垂足为E,CD=6cm,

EIDE=|C£)=3(cm).

设AB=4x,贝!]00=OB=2x,OE=x,

0x2+32=(2x)2,解得％=回

SAB=4-\/3(cm).

故答案为4%.

21.(2023上•河南驻马店•九年级统考期末)如图，ABAC是。。的内接三角形，BC为直径，4D平分NB4C,

连接B。、CD,若NAC8=65。，则N4BD的度数为.

A

F

D

【答案】70。

【分析】由BC为直径，可得回BAC=[3BDC=90。由4D平分NB4C,可证BD=DC,可得I3DBC=I3DCB=45°,N4CB=65°,

可求回ABC=90°-E!ACB=25°,可求EIABD=EIABC+I3DBC=7O°即可.

【详解】解：团ABAC是。。的内接三角形，8c为直径，

00BAC=0BDC=9O°

EL40平分NB力C,

00BAD=0CAD,

05©=ETC,

EIBD=DC,

00DBC=EDCB=45",

团乙4cB=65°,

00ABC=9OO-0ACB=9O°-65°=25O,

aaABD=IBABC+EIDBC=25°+45°=70°.

故答案为：70°.

【点睛】本题考查圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质，掌握圆的性质，直

径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质是解题关键.

22.（2023•辽宁沈阳•统考二模）如图，在正方形4BCD中，4B=6,点P在边BC上，连接DP,作4MlDP于

点M,CN1DP于点N,点P从点B沿BC边运动至点C停止，这个过程中，点M,N所经过的路径与边CD围成

的图形的周长为.

D

A

【答案】3兀+6

【分析】连接交于点。根据题意结合圆周角定理可推出，点M的运动轨迹为以为直径的;圆；

4

点N的运动轨迹为以C。为直径的;圆.再根据弧长公式即可求出结果.

【详解】如图，连接NC、BD交于点O.

由题意可知，在尸点运动过程中，N4MD和ADNC的大小不变，且为90。，

回点〃■的运动轨迹为以40为直径的工圆，即加；点N的运动轨迹为以CD为直径的工圆，即无，如图.

44

团所求周长=CB+Cf+CD=工兀•4D+工兀•CD+CD=工兀x6+工兀、6+6=3兀+6.

4444

故答案为：3兀+6.

【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式以及正方形的性质.总结出点M与点N的运动轨迹是解答本题的

关键.

23.(2023•江苏扬州•校联考一模)如图，0C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B,点B的坐标为

(-V3,0),M是圆上一点，0BMO=12O°.0C圆心C的坐标是.

【答案】

【分析】连接AB,OC,由圆周角定理可知AB为EIC的直径，再根据配1\/1。=120。可求出自BAO以及回BC。的度

数，在RtACOD中，解直角三角形即可解决问题；

【详解】连接AB,0C,

a3AOB=90°,

0AB为EIC的直径，

00BMO=12O",

EHBAO=60°,

EHBC0=2回BAO=120°,

过C作CD0OB于D,贝！JOD=|OB,0DCB=0DCO=6O°,

0B(-V3,0),

EIBD=OD=—

2

在RtACOD中.CD=OD»tan30°=i,

2

0C

22

故答案为c!)­

【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形的性质及特

殊角的三角函数值，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键.

24.(2023上•江苏盐城•九年级校考阶段练习)如图，MN是回。的直径，MN=10,NAMN=20。，点B为弧

制的中点，点P是直径MN上的一个动点，则P2+PB的最小值为.

【答案】5

【分析】作点B关于直径MN的对称点C,然后连接AC、OA、0C,根据两点之间线段最短及轴对称的性质

可得AC即为24+的最小值，然后利用圆周角、圆心角、弧之间的关系及等边三角形的性质可求解.

【详解】解：作点B关于直径MN的对称点C,连接AC、OA、0C,根据两点之间线段最短及轴对称的性质

可得AC即为PA+P8的最小值，如图所示：

•••"MN=20°,

・••团AON=40°,

•・•点B为弧用V的中点，

・••5N与eV的度数为20°,

••瓦ON=20°,

.-.0AOC=6O°,

vOA=OC,

团AOC是等边三角形，

vMN=10,

/.AC=OA=5,

即P4+PB的最小值为5,

故答案为5.

【点睛】本题主要考查最短路径及圆的基本性质，熟练掌握圆心角、圆周角及弧的等量关系是解题的关键.

25.（2023•江苏扬州•校考二模）已知点/、8是半径为2的。。上两点，且=120。，点M是。。上一个

动点，点P是AM的中点，连接BP,贝IJBP的最小值是.

O

A

【答案】V7-1

【分析】由题意知弦AM的中点P在以A0为直径的EIC上，连接BC与EIC的交点为P,此时BP的值最小,

利用特殊角的三角函数以及勾股定理即可求解.

【详解】由题意知弦AM的中点P在以A。为直径的回C上，连接BC与12c的交点为P,此时BP的值最小,

作CEE1AB于E,作ODEJAB于D,

EBO的半径为2,

0OA=OB=2,OC=CA=OP=1,

00AOB=12O°,

00OAB=0OBA=3O°,

SCE=-CA=~,

22

AE=AC-cos30°=—,

2

AD=AO•cos30°=V3,

AB=2AD=2V3,

BE=AB-AE=2V3--=~,

22

根据勾股定理：BC=7CE2+BE2=+律，=V7,

^BP=BC-CP=y/7-1.

故答案为：V7—1.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、锐角三角形函数、等腰三角形的判定和性质等知识点,

根据题意得出BP最短时，即为连接BC与回C的交点是解题的关键.

三、解答题

26.（2023•陕西西安•西安市铁一中学校考模拟预测）已知NA=90。，作出△ABC的外接圆。M（尺规作图,

不写作法，保留作图痕迹）.

A

【分析】作BC的垂直平分线与BC交于点N,以M为圆心，8C为直径画圆即可.

【详解】解：如图所示，OM即为所求；

【点睛】本题主要考查了尺规作图一画圆，熟练掌握90。角所对的弦是直径是解题的关键.

27.（2019•宁夏银川・银川唐彳来回民中学校考三模）如图，AB为的直径，弦CDEIAB,垂足为点E,点K为

弧AC上的一个动点（K不与A,C重合），AK,DC延长线交于点F,连接CK.

（1）求证：0ADF00CKF

（2）若AB=10,CD=6,求tanlSCKF的值

【答案】（1）见解析；（2）3

【分析】（1）证明团1=I3D,又EIF=I3F,可说明团ADFEBCKF；

（2）连接OD,利用垂径定理即勾股定理求出OE长，则AE可知，在RtEIADE中，tanEIADE值可求，又I3CKF=EIADE,

所以tanHCKF可求.

【详解】（1）团四边形ADCK内接于回0,

A

团团D+团2=180°.

酿1+国2=180°,

回团1二团D.

又团FWF,

酿ADF团国CKF；

（2）连接OD,

0AB=1O,

0AO=DO=5.

团直径AB团CD,CD=6,

团DE」CD=3.

2

在RtSODE中，利用勾股定理可得

0E=y/0D2-DE2=V52-32=4,

EIAE=OA+OE=9.

在RtEIADE中，Z.AED=90°,

APQ

^tan^ADE=—=-=3,

DE3

团团CKF二团ADE,

团tan团CKF=3.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、垂径定理、解直角三角形，解决这类问题〃求某角的三

角函数〃时一般转化角，用间接的方法求解.

28.（2023•广东惠州•校考二模）如图1,48是。。的直径，点C是。。上一点（不与点4,8重合），连接AC,BC.

r

图2

⑴请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出AB的中点.（点C,。在线段N8异侧）；（保留作图痕迹，不写作

法）

（2）如图2,在（1）的条件下，过点。作。。的切线，分别交C4CB的延长线于点E,F.

①求证：ZF=4CBA；

②过C作CM_LEF于"，CM交4B于点N,若AC=3,BC=4,求CM的长.

【答案】⑴见解析

⑵①见解析；@CM=^

【分析】（1）根据角平分线的画法求解即可；

（2）①连接。。，由圆周角定理证出。D，48,由切线的性质得出。。1EF,则可得出结论；

②过点C作CM_LEF于M,CM交AB于N,证出四边形。NMD是矩形，得出。。=MN,求出CN的长，则由

CM=CN+MN可得出答案.

【详解】（1）解：如图1,

C

图1

（2）①证明：连接0D,

•••CD平分N4CB,

Z.ACD=乙BCD,

AD=

・•・ODLAB,

又・・•£尸是。0的切线,

•••OD1EF,

・•・EFWAB.

团NF=Z.CBA；

②过点。作CM1EF于M,CM交于N,

•・•ODIFF,CMLEF,

・•・OD\\MN,

XvABWEF,

・•・四边形ONMO是矩形,

・•.OD=MN,

•••ZB是。。的直径，AC=3,BC=4,

・•・乙ACB=90°,

AB=y/AC24-BC2=5,

ii

•••SMBC=^AC・BC=-AB•CN,

「nrACBC3X412

・•・CN=---=——=—,

AB55

17S49

CM=CN+MN=-+-=—.

5210

【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积等知识，熟记掌

握切线的性质是解题的关键.

29.(2023•广西南宁,校考二模)如图，四边形NADC是。。的内接四边形，4□是对角线，过点/作E414。

交。8的延长线于点E,AB=AC.

⑴求证：^ABE=^ACD-,

(2)连接2C,若3c为。。的直径，求证：BE=CD.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义即可得出结论；

(2)连接BC,根据圆周角定理得到MAC=90。，根据余角的性质得到NEAB=NC2D,根据全等三角形的

判定定理即可得到结论.

【详解】(1)证明：团四边形Z8OC是。。的内接四边形,

^Z.ABD+乙ACD=180°,

团乙ABE+乙ABD=180°,

^ABE=^ACD；

(2)连接5C,

为。。的直径，

团乙=90°,

朋E1AD,

^EAD=90°,

国乙EAB+乙BAD=/.CAD+乙BAD=90°,

回乙EAB=Z-CAD,

在△ABE和△4C0中，

/.EAB=Z.DAC

AB=AC，

Z-ABE=Z-ACD

[?]△ABE=△ACD(ASA),

回BE=CD.

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理，正确识别图形是解题的

关键.

30.(2019•河南郑州•三模)如图所示,回。是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC至点D,使CD=AC,连接

AD交回。于点E,连接BE、CE,BE交AC于点F.

（1）求证：CE=AE

（2）若AE=6,DE=9,求EF的长.

【答案】（1）见解析；（2）4.

【分析】（1）根据内接四边形的性质和圆周角定理，由AAS得至胆1ABEH3CDE,即可得到答案；

（2）证明回AEFE0DEC,推出傻=更即可求得EF的长.

DEEC

【详解】解：（1）证明：团四边形ABCE为圆。的内接四边形，H2ABC=[3CED,EDCE=0BAE,

又AB=AC,0BABC=0ACB,00CED=0ACB,又EIAEB和EIACB都为AB所对的圆周角，00AEB=0ACB,00CED=0AEB,

EIAB=AC,CD=AC,EAB=CD,

乙BAE=ADCE

在EIABE和I3CDE中，｛^AEB^CEPEEIABEEfflCDE(AAS)

AB=CD

(2)fflABEE0CDE,

0AE=EC=6,ED=BE=9,

艮嘿吟，且回AEB"ED,

00AEF0EDEC,

回^A-E-=—EF.

DEEC

ELAE*EC

团EF=-------=4a.

DE

【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握圆周角定理、垂

径定理和相似三角形的判定与性质.

31.（2023・广东深圳•校考一模）如图，已知力8是。。的直径，直线DC是。。的切线，切点为C,AELDC,

垂足为E.连接4C.

D

c

⑴求证：AC平分N84E；

(2)若AC=5,求。。的半径

tan^ACE=4.

【答案】（1）详见解析

(2)y

【分析】（1）连接。C,直线DC是。。的切线，切点为C,OCLDC,根据平行线的性质可得NE4C=N力CO,

根据半径相等可得乙4C。=NO力C,进而可得NEAC=AOAC,即可求解;

(2)连接BC,由(1)得：AEAC=/LOAC,在RtAABC中，tan/ABC=tanN力CE=|,得出BC=g,进

而勾股定理即可求解.

AOC1DC,

X--AE1DC,垂足为E,

•••OCWAE,

•••Z.EAC=Z-ACO,

•・.OC=0Af

•••Z-ACO=Z.OAC»

•••Z.EAC=Z-OAC,

•••AC平分NB4E；

(2)解：连接BC,

•••4B是。。的直径，

AACB=90°,

又•••AE1DC,

由⑴得：/.EAC=Z.OAC,

Z.ABC=/.ACE,

在RtAABC中，tanzXBC—tanzXCF=

4

在RtUBC中，AB=7AB2+BC2=y,

【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，正切，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识是解题

的关键.

32.(2023上•浙江温州•九年级校考期中)如图，N8是回。的直径，。4=4旧，弦CZM”于点G,点£是肥上

的一点，与CD相交于点/，且NC=CE.

⑴求证：EL4CF=EC4F.

(2)点尸在E加上，连接尸C交NE于。，当飓CG=30。，且。尸=390时，求CP的长.

【答案】⑴见解析

⑵12

【分析】(1)利用垂径定理，圆周角定理即可证明；

(2)证明EICFQfflCP。，可得*=*=%只要求出CE可得结论.

【详解】(1)证明：曲8是直径，AB^CD,

^1AC=AD,

94C=C£,

^\AC=CE=AD,

团团4CF=IECAF；

(2)解：连接CO,OD.

^AB^CD,

IM4GC=90。，

团的CG=300,

团团G4G=90。-30。=60°,

团OC=CM,

012L4CO是等边三角形，

^L4C=OA=4®

蜘G=%C=2W,CG=WAG=6,

^CAF=^ACF,

^AF=CF=2FGf

2

团C尸=±CG=4,

3

团优=柩

团蜘OC=豳。。=60。,

团团000=120。，

配1尸=细。。。=60。，

2

WCFQ=曲C+^FCA=60°,

酿。/0="，

mFCQ=^\PCD,

团RICF0回团。尸。，

醉=丝,，

CPPD3

团。尸=3CF=12.

【点睛】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找

相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

33.(2022•安徽六安•统考一模)如图，已知为。。的直径，AC,CD是弦.4施CD于E.OF^AC^F.连

接

⑴求证：0FIIBC；

(2)若B£=2cm,CD=4V3cm,求4C的长.

【答案】⑴证明见解析

(2)4V3cm

【分析】(工)由题意知的C8=90。，BPBC^AC,根据。殖4C,可证。F||BC；

(2)由垂径定理得CE=1CD=2V5cm,在RtABCE中，由勾股定理得BC=7CE2+BE?,求出8c的值,

证明AABSACBE,则受=ff，即告='计算求解即可.

CEBE2V32

【详解】(1)证明：曲8为。。的直径,

EEL4c5=90。，BPBCSAC,

又EIO即4C,

0OFIIBC.

(2)解：EL48为。。的直径，AB^CD,CD=4V3cm,

0CF=-CD=2V3cm,

2

在RtZkBCE中，由勾股定理得BC=7CE?+BE2=4cm,

^ABC=乙CBE,Z.ACB=乙CEB=90°,

S1AABC^△CBE,

爬=/，即年=上

CEBE2V32

解得ac=4V3；

EL4c的长为4百cm.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为90。，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识.解

题的关键在于证明△ABC-△CBE.

34.(2023•浙江温州,统考一模)如图，是。的直径，C是弧8。的中点，CE^AB,垂足为E,BD交CE

于点足

(1)求证：CF=BF；

(2)若40=6,回。的半径为5,求3C的长.

【答案】(1)见解析；(2)2V5

【分析】(1)连接NC,由圆周角定理得出a4c2=90。,证出如C=E5CE；由C是弧AD的中点，得到HZWC=E3/C,

延长0BCE=0T)2C,即可得到结论；

CF=BF.

(2)连接0C交2。于G,由圆周角定理得出0X08=90。，由勾股定理得出AD=8,由垂径定理得出OC13BD,

DG=BG郑D=4,证出OG是EABD的中位线，得出。6=1。=3,求出CG=OC-OG=2,在尺顾CG中，由勾

股定理即可得出答案.

【详解】（1）证明：连接/C,如图1所示：

aaD3C=ELB/C,

在48c中，a4c2=90。，CE^AB,

^BCE+^ECA^BAC+^ECA^O°,

aascE=ag/c,

SEBCE^WBC,

0CF=BF；

(2)解：连接OC交AD于G,如图2所示:

EL48是。的直径，AB=2OC=10,

EB4DB=90°,

@BD7AB2—4"="02-62=8,

回。是弧AD的中点，

E1OC05。，DG=BG上BD=4,

2

回O4=OB,

团OG是明的中位线，

^OG=-AD=3,

2

0CG=OC-OG=5-3=2,

在此鲂CG中，

由勾股定理得：BC=y/CG2+BG2=V22+42=2A/5.

【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、等腰三角形的判定等知识；

熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键.

35.(2023•河南南阳•校联考三模)(1)【特例感知】

如图①，a48c是回。的圆周角，8c为直径，3。平分a48c交回。于点。，CD=5,BD=12,则点。到直线

2C的距离为,点。到直线的距离为.

(2)【类比迁移】

如图②，a48c是回。的圆周角，8c为回O的弦，8。平分0Age交回。于点。，过点。作。E35C,垂足为E,

探索线段/2、BE、3c之间的数量关系，并说明理由.

(3)【问题解决】

如图③，四边形/BCD为回。的内接四边形，^ABC=90°,8。平分西8C,BD=14近,AB=12,贝必/8C

的内心与外心之间的距离为.

【分析】(1)如图①中，作。皿2于尸，。硼BC于利用面积法求出DE,再利用角平分线的性质定理

可得。尸=DE解决问题；

(2)如图②中，结论：AB+BC=2BE,只要证明4DFASADEC(ASA),推出AF=CE,Rt△BDFmRt△BDE

(HL),推出工厂二台片即可解决问题;

(3)如图③中，由(2)可知：四边形BEZ用是正方形，80是对角线，作E1A8C的内切圆，圆心为N

为切点，连接MMOM,由切线长定理可知：AN=2°+1f~16=8,推出ON=10-8=2,由面积法可知内切

圆半径为4,在RtAOMN中，理由勾股定理即可解决问题.

【详解】解：(1)如图，过点。作DR3氏4,交A4的延长线于点尸，作。砸2C于点E,

03。平分EL4BC,DFBL4B,DE^BC,

^\DF=DE,

勖C是直径，

0Z5DC=90°,

^BC=y/BD2+CD2=V122+52=13,

在05CD中，^BC»DE=^BD*DC,

^DE=—,

13

^DF=DE=—；

13

(2)AB+BC=2BE,理由如下：

如图，过点。作。R杷4,交氏4的延长线于点R连接40,DC,

血＞平分的8C,DE^BC,DF^BA,

^DF=DE,乙DFB=乙DEB=90°,

^DFB=90°,乙DEB=90°,

^ABC+乙EDF=180°,

又团4ABC+/-ADC=180°,

^\ADC=^\EDF,

^\FDA=^CDE,

^/.DFA=乙DEC=90°,

在回Z»弘和团。EC中

£.FDA=4CDE

DF=DE,

^DFA=乙DEC

[?]△DFA=△DEC(ASA),

^AF=CE,

在Rt△BDF^Rt△BDE中

(BD=BD

yDF=DE'

0/?t△BDF=Rt△BDE(HL),

^BF=BE,

^\AB+BC=BF-AF+BE+CE=2BE；

(3)如图，过点。作。两氏4,交加的延长线于点RDE^\BC,交BC于点、E,连接4C,作射5C的内切

圆，圆心为M,N为切点，连接MMOM,

由(1)(2)可知，四边形尸是正方形，5。是对角线，

勖。=14夕，正方形厂的边长为：心三=14,

由(2)可知BC=28E-/B=16,

I?L4C=V122+162=20,

由切线长定理可知3=2。+'=8,

回。可=空20一8=2,

2

设内切圆的半径为r,贝咛厂X20+|rx16+|rx12=1x12X16,

解得尸=4,即MN=4,

在RtAOMN中，OM=7MN2+ON2=V42+22=2小.

【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的

判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

【能力提升】

36.(2024上•广东汕头・九年级统考期末)圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形.

(1)如图1,四边形4BCD为等邻边圆内接四边形，AD=CD,AADC=60°,直接写出乙4BD的度数；

(2)如图2,四边形4DBC内接于。。，4B为。。的直径，AB=10,AC=6,若四边形4DBC为等邻边圆内

接四边形，AD=BD,求C。的长.

⑶如图3,四边形力BCD为等邻边圆内接四边形，BC=CD,AB为。。的直径，且力B=48.设BC=x,四

边形2BCD的周长为y,试确定y与久的函数关系式，并求出y的最大值.

【答案】⑴60。

(2)772

(3)y=--%2+2%+96,120

【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，二次函数的应用等知识，

熟练掌握圆的性质是解题的关键.

(1)利用圆周角定理可得N4BC=180。-60。=120。，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案；

(2)首先利用勾股定理求出力C和2D、BD的长，过点Z作4"1CD于凡则CH=4H,解△4CD即可.

(3)连接8。、。。交于点〃，过点。作。G1BC于G,利用三角函数表示出的长，进而得出。再根

据三角形中位线定理可得2D的长，即可解决问题.

【详解】(1)AD=CD

：.AD=CD

1

•••乙ABD=Z-CBD=—Z-CBA

2

•••AADC=60°

.­./.ABC=180°-60°=120°

1

.­.Z.ABD^-/.ABC=60°

2

故答案为：60°

(2)连接CD,过点4作4HJ.CD,交CD于点H.如图:

在RtzkZHC中，

•••/.ACH=/.ABD=45°,"=6,

CH=AH=3A/2,

此时AADB为等腰直角三角形，AD=BD=5V2,

在RtAAHD中，

AH=3A/2,AD=5VL

DH=4V2,

•••CD=CH+DH=7V2.

•••BC=CD,OB=OD,

OC垂直平分BD,

•••。为AB中点，

OF为AB。力的中位线，有。尸=豺。，OFHAD,

设。F=t,贝l]CF=24—3AD=2t,y=48+x+x+2t=2t+2x+48,

在RtABFC中，BF2=BC2-CF2x2-(24-t)2,

在RtABF。中，BF2=BO2-OF2=242-t2,

于是有：/一（24-t）2=242—产，整理得，T=_±X2+24,

48

■■■y———x2+2x+96———（x—24）2+120,

，2424vJ

当X=24时，%ax-120

37.（2023上•山东济宁•九年级校考期中）如图，等边三角形4BC内接于圆。，点尸是劣弧BC上任意一点（不

与C重合），连接P4、PB、PC,求证：PB+PC=PA.

［初步探索］小明同学思考如下：如图L将△2PC绕点/顺时针旋转60。到ATIQB,使点C与点3重合，可得

尸、8、。三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：

⑴根据小明的思路，请你完成完整证明过程：

（2）若圆的半径为4,则PB+PC的最大值为；

⑶［