浙江中考数学二轮复习题型：二次函数的图象及性质（原卷版）

题型三二次函数的图象及性质

【要点提炼】

一、【二次函数的概念和图象】

1、二次函数的概念

一般地，如果丫=。/+/^+。（。,仇。是常数，awO）,那么y叫做X的二次函数。

y=ax2+'+c（a,Z?,c是常数，aw0）叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图象

二次函数的图象是一条关于x=-二b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

2a

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图象的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称

轴

（2）求抛物线y=ax?+6x+c与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对

称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、

D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B,

然后顺次连接五点，画出二次函数的图象。

二、【二次函数的解析式】

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y=奴？+bx+c（a,仇c是常数，aw0）

（2）顶点式：y=a（x-/z）2+4（a,7z,左是常数，aw0）

（3）当抛物线y=ax2+6x+c与x轴有交点时，即对应二次好方程a/+匕％+。=。有实根当

和9存在时，根据二次三项式的分解因式ax?+6x+c=。（k一七）（工一工2）,二次函数

y=ax?+6x+c可转化为两根式y=。（工一七）（工一》2）。如果没有交点，则不能这样表示。

三、【二次函数的最值】

b

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当尤=———

2a

4。

b

如果自变量的取值范围是%i工尤<九2,那么，首先要看----是否在自变量取值范围再<X<X2

2a

b4cic—b2

内，若在此范围内，则当X一五时，，最值=­；若不在此范围内，则需要考虑函数在

玉<x</范围内的增减性，如果在此范围内，y随X的增大而增大，则当x=工2时,

y最大=ax；+法2+。，当x=X]时，y最小=ax；+6玉+c；如果在此范围内，y随x的增大而减

小，则x—X]时，y最大—ax；+bX[+c,当ix--x。时，y最小=ax）+bX]+c。

四、【二次函数的性质】

1、二次函数的性质

二次函数

函数

y=ax?+/zx+c（a,4c是常数，aw0）

a>0a<0

(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸；(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸；

b_bbb

(2)对称轴是x=----，顶点坐标是(-----，(2)对称轴是x二——，顶点坐标是(——，

2a2a2a2a

4ac-b24ac-b2

--------)；--------)；

4a4a

bb

性质(3)在对称轴的左侧，即当x<----时，y随x(3)在对称轴的左侧，即当x<----时，y随x

2a2a

的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>

bb

——时，y随x的增大而增大，简记左减右-土时，y随x的增大而减小，简记左增

2a2a

增；右减；

bb

(4)抛物线有最低点，当x=——时，y有最小(4)抛物线有最高点，当x=——时，v有最

2a2a

/士4ac-Z?2,_4ac-b2

值，y最小值二一2大值'，最大值"一2

IL4-I

2、二次函数y=〃%2+b%+C（Q,A,C是常数，awO）中，〃、b、c的含义：

。表示开口方向：。>0时，抛物线开口向上

。<0时，抛物线开口向下

b

b与对称轴有关：对称轴为x=----

2a

c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0,c）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的A=b2-4ac,在二次函数中表示图象与x轴是否有交点。

当A>0时，图象与x轴有两个交点；

当A=0时，图象与x轴有一个交点；

当A<0时，图象与x轴没有交点。

五、【拓展知识】

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

%、

如图：点A坐标为（xi，yQ点B坐标为（X2，丫2）

则AB间的距离，即线段AB的长度为—/I+（%一为）2人.

B

2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助,

可以大大节省做题的时间）

左加右减、上加下减

【专题训练】

一.选择题（共15小题）

1.（2020•广安）二次函数y^a^+bx+c（a,b,c为常数，aWO）的部分图象如图所示，图象顶点

的坐标为（2,1）,与无轴的一个交点在点（3,0）和点（4,0）之间，有下列结论：

@abc<0；

②a-b+c>0；

③c-4a=1；

（4）b2>4ac；

（5）am2+bm+c^1（m为任意实数）.

其中正确的有（）

y

2

1

O12x

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.（2020•济南）已知抛物线y=/+（2m-6）卢川-3与y轴交于点A,与直线x=4交于点B,当

x>2时，y值随尤值的增大而增大.记抛物线在线段下方的部分为G（包含A、B两点），M

为G上任意一点，设M的纵坐标为人若f2-3,则机的取值范围是（）

3

A.m>B.-C.根三3D.

2

3.（2020•大连）抛物线y=o?+Zzx+c（〃<0）与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,对称轴是直线x

1,其部分图象如图所示，则此抛物线与无轴的另一个交点坐标是（）

5

0)C.(--0)D.(2,0)

22

4.（2020•镇江）点尸（如n）在以y轴为对称轴的二次函数了=~+以+4的图象上.则m-n的最大

值等于（）

15「1517

A.—B.4C-TD-

4-T

5.（2020•恩施州）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A（-2,0)、B(1,0)

两点.则以下结论：①ac>0；②二次函数y=or2+bx+c的图象的对称轴为左=-1；③2a+c=0；

@a-b+c>0.其中正确的有（）个.

6.（2020•昆明）如图，抛物线>=/+笈+。QW0）的对称轴为直线x=l,与y轴交于点B（0,-

2）,点A（-1,相）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）

A.ab<0

B.一元二次方程a^+bx+c^O的正实数根在2和3之间

1

D.点尸1（3yi）,P2G+l,y2）在抛物线上，当实数拊，

7.（2020•鸡西）如图是二次函数y=o?+6x+c（aW0）图象的一部分，对称轴为x=表且经过点（2,

0）.下列说法：

@abc<0；②-2b+c=0；③4〃+2/?+cV0；④若（一/尹），（5，”）是抛物线上的两点，贝!Jyi

11

<”；⑤（am+b）（其中加。））.

其中说法正确的是（)

A.①②④⑤B.①②④C.①④⑤D.③④⑤

8.（2020•孝感）将抛物线Ci：y=/-2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2,抛物线C2与

抛物线C3关于X轴对称，则抛物线C3的解析式为（）

A.y=-/-2B.y=-7+2C.y=/-2D.y=/+2

9.（2020•深圳）二次函数y=af+bx+cQW0）的顶点坐标为（-1,〃），其部分图象如图所示.以

下结论错误的是（）

A.abc>0

B.Aac-b2<0

C.3〃+c>0

D.关于x的方程«x2+Z?x+c=n+l无实数根

10.(2020•株洲)二次函数y=Qf+/?x+c,若次?<0,a-/?2>0,点A(xi,yi),B(x2,)2)在该二

次函数的图象上，其中X1VX2,Xl+X2=0,则()

A.yi=~y2B.yi>y2

C.yi<y2D.yi、”的大小无法确定

11.(2020•广东)把函数y=(x-1)2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为

()

A.y=/+2B.y=(x-1)2+1C.y=(x-2)2+2D.y=(x-1)2+3

12.(2020•南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物

线〉="2的图象与正方形有公共点，则实数。的取值范围是（）

111

-C.一<a^3D.-

933

13.（2020•南充）关于二次函数〉=以2一4以一5（〃wo）的三个结论：①对任意实数相，都有羽=

2+机与比2=2-相对应的函数值相等；②若34W4,对应的y的整数值有4个，则-

或1W〃<玄③若抛物线与x