中考数学一轮复习重难点强化训练：锐角三角形函数（知识串讲+11大考点）解析版

专题07锐角三角函数

考点类型

考点1：锐角三角函数定义

模块四图形的性质

07讲锐角三角函数

考点11：解直角三角形应用——实践建模

考点6：同角三角函数关系

匚，^知识一遍过

(-)锐角三角函数

在RtZiABC中，ZC=90°o则/A的三角函数为

定义表达式取值范围关系

.4NA的对边.Aa

正弦sinA=-------------smA=—0<sinA<lsin/二cosB

斜边c

cos/=sin8

.NA的邻边.bsin2A+cos2A=l

余弦cosA=----7--：-----cosA=—0<cosA<l

斜边c

f.NA的对边Aa,sinA

正切tanA=------人、1tanA=—tanX>0tanA=------

NA的邻边bcosA

(二)特殊角三角函数

三角函数30°45°60°

j_亚与

sin。

2T~T

cosaV34i

~T~T2

旦

tan。1V3

3

（三）直角三角形边角关系

设在RtZXABC中，ZC=90°,NA、NB、NC所对的边分别为a、b、c,则有:

①三边之间的关系：1+式=/（勾股定理）.

②锐角之间的关系：ZA+ZB=90°.

边角之间的关系：

..„a..„b.a„b

sinA=cos£?=—,cosA=sine=—tanA=—,tan/j=—

ccba

S^ABC=gab=：ch,h为斜边上的高.

（四）解直角三角形常见类型及解法

已知条件解法步骤

,a

由tanA二一，求NA；

b

两直角边（a,b）ZB=90°-ZA；

c=Va2+b2

两

边

由sinA二一，求NA；

c

斜边，一直角边（如c,a）ZB=90°—NA；

b=Vc2-a2

BZB=90°-ZA,

a锐角、邻边b

a=b-tanAc-

（如/A,b）cosA

Cb八一直角边

RtAABC

边和一锐角

NB=900-ZA,

锐角、对边

aia

（如NA,a）c=------，b=-------

角sinAtanA

ZB=90°-ZA,

斜边、锐角（如c,ZA）

a=c-sinA,b=cco&4

（五）解直角三角形的应用举例

（1）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母a表示.

h

坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离/的比叫做坡度，用字母，表示，贝收=—=tana,如图,

坡度通常写成，="：/的形式.

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角,

如图.

⑶方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA,

PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如图②中的目标

方向线OA,OB,0C,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如：

东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是

北偏西45°

考点一遍过

考点1:锐角三角函数定义

典例1：(2024上•湖南娄底•九年级统考期末)在△ABC中，ZC=90°,a、b、c分别为Nd、NB、NC的对边，

下列各式成立的是()

A.sinS=-B.cosB--C.tanF=-D.tanB=-

ccba

【答案】D

【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键.正弦是对边比斜边，余

弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断.

【详解】解：如下图，

B

A.sinB=p故该选项不成立，不符合题意；

B.cosB=，故该选项不成立，不符合题意；

c.tanB=故该选项不成立，不符合题意；

a

D.tan^=故该选项成立，符合题意.

a

故选：D.

【变式1】（2024上•河北唐山•九年级统考期末）如图，在△ABC中，Z.ACB=90°,CDLAB,下列用线段

比表示cos/的值，母送的是（）

AD„ACCD「CD

AA.—B.—C.—D.—

ACABCBAC

【答案】D

【分析】本题考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键.根据锐角三角函数关系

的定义分析得出答案.

【详解】解：团在中，乙4CB=90。，CDLAB,

回乙A+Z-ACD=90°,乙ACD+乙BCD=90°,

团乙/=乙BCD,

「.ADACCD

团COS/=—=——=—.

ACABCB

团A,B,C正确，不符合题意，D错误，符合题意，

故选：D.

【变式21（2022上•上海浦东新•九年级校考阶段练习）在内△ABC中，乙B=90。，BC=a,那么48等于（）

A.CL,tanAB.CL,cotAC.---D.---

smAC0Si4

【答案】B

【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.

【详解】解：如图，

AB人

——=coM，

BC

・•.AB=cot4•BC=a-cotA,

故选：B.

【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是关键.

【变式3]（2024上•福建泉州•九年级统考期末）在Rt2kABC中，Z.C=90°,那么下列结论中错误的是（）

AC

A.BC=—B.BC=AB-sinyl

tanA

AC

C.AB=—D.AC=BC-tanF

COSTI

【答案】A

【分析】此题考查锐角三角函数的定义（锐角为自变量，以比值为函数值的函数），根据直角三角形中三角

函数的求法得出答案.

【详解】解：如图：

A、tanA=―,贝=4C•tan4,故此选项结论错误，符合题意；

B、sin4=―,贝!]BC=4B•sin4故此选项结论正确，不符合题意；

AB

C、cosa=M贝必8=与，故此选项结论正确，不符合题意；

ABcos4

D、tanB=贝!J/C=8C•tanB,故此选项结论正确，不符合题意.

故选：A.

【变式4*2022,黑龙江哈尔滨•哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）在△ABC中，乙4=35°,乙B=55。，BC=5,

则48边的长是（）

A.短B.5cos55。C.5tan55°D.5sin550

【答案】A

【分析】根据三角形内角和定理可得，NC=90。，再根据三角函数的定义，求解即可.

【详解】解：由题意可得：4C=180。一乙4一=90。，

团为直角三角形，如下图：

B

由三角函数的定义可得，sin/=cosB=—,即sin35。=cos55°=—

可得=55

cos55°sin35°

A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意,

故选：A

【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义.

【变式5】（2023下•山东济南•九年级统考阶段练习）在△ABC中，ZC=90°,设乙4、乙B,NC所对的边分别

为a,b,c,则下列各项正确的是（）

B.a=btanXC.b=csinZD.b=ctanX

【答案】B

【分析】根据正切和正弦的定义进行求解即可.

【详解】解：团在AABC中，ZC=90°,乙4、NB,NC所对的边分别为a,b,c,

0c=—,a—btanA,b—csinB=—,

sinFtanA

团四个选项中只有B选项符合题意;

故选B.

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知正切和正弦的定义是解题的关键.

考点2:特殊角三角函数值

典例2：（2024上•河南商丘,九年级校联考期末）已知实数a=tan30°,b=cos60°,c=sin45°,则下列判

断正确的是（）

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【分析】分别求出各三角函数值，然后比较他们的大小即可.

本题主要考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练掌握所有特殊角的三角函数值，实数比较大

小.

【详解】回。=tan30°=彳，b=sin45°=y,c=cos60°--

^\b>a>c.

故选:：A.

【变式1]（2023•湖南娄底•统考一模）定义一种运算：cos（a+，）=coscrcos/?—sinasin/?,cos（a—，）=

cosacos/?+sinasin/?,例如：当a=60。，£=45。时，cos（60。-45。）=]x弓+fx弓=立宁^,则cos75。的

值为（）

V6+V20V6—A/2「V6—V2C46+42

AA.----------D.------------C.-----------L）.-------

4422

【答案】B

【分析】根据cos（a+/?）=cosacos^—sinasin/?,可以计算出cos75。的值.

【详解】解：由题意可得，

cos75°

=cos（30°+45°）

=cos30°cos45°—sin30°sin45°

V2_iV2

=y2xx

2222

_V6_V2

44

故选：B.

【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定

义解答.

【变式2](2019上•广东梅州•九年级广东梅县东山中学校考期末)在44BC中,N4NB都是锐角,且sinA=

cosB=|,贝！]△ABC是().

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形

【答案】B

【分析】根据特殊角的三角函数值求出乙4=60。，48=60。，然后利用三角形内角和定理求出NC的度数,

即可解答.

【详解】解：Elsiivl=',cosB-

团N/=60°,Z-B=60°,

回4c=180°一一乙8=60°,

0A是等边三角形，

故选：B.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

【变式3】(2023上•辽宁盘锦•九年级校考期末)在△ABC中，乙4、NB均为锐角，且|tanB-何+

(2COST1-V3)=0,贝!]△人⑶0是()

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】先根据非负数的性质求出tanB与cosA的值，再根据特殊角的三角函数值求出乙4、N8的值即可.

2

【详解】解：|tanB—V3|+(2cosA—V3)=0,

・•・|tanB—V3|=0,(2cos4—V3)=0,

・•.tanB=V3»2coSi4—V3=0,

•••AB=60°,cosX=—,NA=30°,

2

在AABC中，zC=180°-60°-30°=90°,且NA片NB,

.•.△ABC是直角三角形.

故选：C.

【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解题的关键是熟记特殊角的三

角函数值，并充分利用非负数的性质.

【变式4］（2024上•湖南张家界•九年级统考期末）在△ABC中，若回8=90。，sinA=3则NC的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】根据特殊角的函数值sin30°=（可得乙4度数，进一步利用两个锐角互余求得NC度数.

此题主要考查了特殊角的函数值，以及直角三角形两个锐角互余，熟练掌握特殊角函数值是解题的关键.

【详解】HsinX=sin30°=

EBA=30",

EIZC=90°一乙4=60°

故选：C.

【变式5］（2023上•河南洛阳•九年级统考期末）下列计算错误的个数是（）

sin30°

①sin60。-sin30°=sin30°；②sin245°+cos245°=1(3)(tan600)2=|；(4)tan30°=

cos30°

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据特殊角的三角函数值进行运算，即可一一判定.

【详解】解：sin60°—sin30°=fsin30°=

22

•••sin60°—sin30°Wsin30°,故①错误;

22

sin245°+COS245°=+(y)=1，故②正确;

(tan60°)2=(V3)2=3H}故③错误;

4V3sm30°2我

tan3on0o°=——,-------==一

3cos30°v33

2

•♦530。=需故④正确;

综上分析可知，错误的有2个，故B正确.

故选:B.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的相关运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键.

考点3：锐角三角函数增减性

典例3（2023・上海静安•校考一模）如果0。<乙4<60。,那么sinA与cosZ的差（）.

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

【答案】D

【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案.

【详解】解：当0。<乙4<45。时，45°<90°-ZX<90°,

•••sin4<sin（90°-/.A）,

sinA<cosA,

•••sinA—cos>l<0；

当乙4=45。时，90。一乙4=45。，

sinZ=sin（90°—Z.A）,

sinX=cos/,

・•・sinA—COST4=0；

当45。<Z.A<60°,30°<90°-Z.A<45°,

•••sinA>sin（90°—乙4）,

••・sinA>cosA,

•••sinA—cosA>0,

综上所述，sin/与cosA的差不能确定，

故选：D.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在0。〜90。之间（不包括0。和90。），角度变大，

正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小.注意分类讨论.

【变式1］（2023上•福建泉州•九年级校考期中）三角函数sin40。、cosl6。、tan50。之间的大小关系是（）

A.tan50°>cosl6°>sin40°B.cosl6°>sin40°>tan50°

C.cosl6°>tan50°>sin40°D.tan50°>sin40°>cosl6°

【答案】A

【分析】首先把sin40。、8s16。转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分

析，可以知道I>sin74o>sin40。，又根据正切值随着角度增大而增大，因止匕tan5（）o>tan45。=1,即可得出

正确选项.

【详解】解：Esina=cos(90°—cr)(0<a<90°),

0cosl60=sin(90°—16°)=sin74°,sin90°=1

01>sin740>sin4O0,

0tan5O0>tan45°=1,

0tan5O0>sin74°>sin40°,

0tan5O0>cosl60>sin40°,

故选：A.

【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦

值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键.

【变式2](2023•甘肃张掖•统考模拟预测)若0。<a<90°,则下列说法不正确的是()

A.sina随a的增大而增大B.cosa随a的减小而减小C.tana随a的增大而增大

D.0<sina<l

【答案】B

【分析】如图，作半径为1的O。,。。CD,EF均为直径，BH1OC.AG10C,4,8都在。。上，利用

锐角三角函数的定义分析可得答案.

【详解】解：如图，作半径为1的O0,CD1EF,CD,EF均为直径，BH1OC,AG10C,

4B都在0。上，

0A=OB=1,

由sinNB。"=—=BH,sinzAOG=—=AG,

OBOA

显然，4B0H(乙AOG,而BHC4G,

所以当0。<a<90。时，sina随a的增大而增大，故A正确;

同理可得：

当0。<仇<90。时，cosa随Q的减小而增大，故B错误；

当0。<仇<90。时，tana随a的增大而增大，故C正确；

当a=z_/0G,当点/逐渐向F移动，边/G逐渐接近。4,

・•・sincr=sin乙40G=丝逐渐接近1.

0A

当0。<戊<90。时，0<sina<l,故D正确；

故选B.

【点睛】本题考查的是锐角的正弦，余弦，正切的增减性，掌握利用辅助圆理解锐角三角函数的增减性是

解题的关键.

【变式3X2023上•黑龙江大庆•九年级校联考开学考试）已知］<cosa<sin80。,则锐角a的取值范围是（）

A.30°<a<80°B.10°<a<80°C.60°<a<80°D.10°<a<60°

【答案】D

【分析】根据特殊角的三角函数值，|=cos60°,sin80。=coslO。，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度

增大而减小即可得到答案

【详解】解："|=cos60°,sin80°=cosl0°,

.,.由1<cosa<sin80°可得cos60°<cosa<cosl0°,

•••在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，

•­•10°<a<60°,

故选：D.

【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数

值性质是解决问题的关键.

考点4：解直角三角形一一直接法

典例4：（2023上•山东烟台•九年级统考期中）在Rt△力BC中，ZC=90°,a,hc分别是乙4,乙8NC的对边.若

a=V5,b=V15,试解这个直角三角形.

【答案】c=2V5,Z4=30°,ZS=6O°

【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，解题关键是熟记特殊角的三角函数值.由勾

股定理可得c=2遍，由乙4的正切值即可求解.

【详解】解：在ABC中，

•••a2+b2=c2,a-V5,b=V15

...c=J（V5）2+（V15）2=2V5

aV5V3

•・•tan/=—=—==——

6底3

4=30°,

•••NB=90°-"=90°-30°=60°.

【变式11（2023上•江苏徐州•九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，NC=90。，点。在AC上，上BDC=

45°,BD=10V2,AB=20.求sinA的值.

【答案】|

【分析】本题主要考查了解直角三角形，先解RtABCD得到BC=10,再解RtAABC可得sin4=箓=也

【详解】解：RtABCD中，ZC=90°,ZFDC=45°,BD=10V2,

0BC=BD-sinzBDC=10>/2X—=10,

2

在RtzkZBC中，ZC=90°,AB=20,BC=10,

BC

团m•41

sin4=A——B=2

【变式2］（2023上•山东青岛•八年级校联考期中）如图，已知在RtAABC中，Z.C=90。，sin/ABC=|,点

。在边BC上，BD=6,连接A。，tan^DAC=|.

A

⑴求边ac的长；

(2)求tanNBAD的值.

【答案】⑴9

【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键.

(1)设力C=3x,根据sinN力=可求出4B长度，再根据勾股定理可求出BC长度，即可得到CD长，最

后由tanN04C=|,可解出尤的值.即得到4C长.

(2)作DE_L力B于点E,由sinN4BC=|,可求出DE长，再由勾股定理可求出BE,继而得到4E长，即可求

出tanM/O.

【详解】(1)解：设AC=3x,

在Rt△力BC中，sinz/lBC=—=即三=三，

AB5AB5

24B=5x.

回"=90°,

团=y/AB2—AC2=J(5%/一(3%—=4%,

BCD=BC—BD=轨-6,

在Rt^ADC,tan^DAC即心=匕

AC33x3

解得％=3,

经检验％=3,是该分式方程的解.

团4c=3x3=9.

(2)解：如图所示，过点。作于点石,

A

在RtADEB中，sinB="=三，

BD5

^DE=-BD=—,

55

0BF=VBD2-DE2=J62-（当了=F，

由（1）知力B=5x=15.

24m

团4E=AB-BE=15--=—,

55

18

EltanzBTlD=空=善=旦

AE—17

5

【变式3］（2023上•安徽滁州•九年级校考阶段练习）在^ABC中，乙4,N8和NC所对的边长分别为a,b,c,zC=

90°.若Nd—NB=30。,。+6=4+4旧，解这个直角三角形.

【答案】a=4V6=4,c=8.

【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，三角函数的定义.先

根据三角形内角和定理求出乙4=60。,48=30。，根据直角三角形性质得出c=2b,根据三角函数定义得出

a=y/3b,最后根据a+b=4+4次求出三边长即可.

【详解】解：在AABC中，NC=90。，

NA+NB=90°.

又zA-z5=30°,

•••乙4=60°,NB=30°,

•••c=2b,

.a

vtanZ=一，

b

・•・a—tanA•b-tan60°•b=yj3b.

a+b=4+4V3,即+b=4+4A/3,

解得b=4,

则。=4V3,

・•・c=2b=2x4=8.

考点5：解直角三角形一一化斜为直

典例5：(2023上•安徽六安•九年级校考阶段练习)如图，在AABC中，乙4=30。/8=45。,8。=3或.

⑴求4c的值.

(2)求△2BC的面积(结果保留根号)

【答案】(1MC=6

(2)AABC的面积为里|三

【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形.

(1)过点。作。。14B于点D,构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可;

(2)利用勾股定理及三角形面积求解即可.

【详解】(1)解：如图，过点C作CO1B于点D.

在RtABCD中，NB=45。，BC=3近,

■■■BD=BC•cos45°=3^/2xJ=3,

•••CD=BD=3,

在Rt△4C0中，

•••乙4=30°,

AC=6；

(2)解：由(1)知：在RtAZCO中，AC=6,CD=3,

AD=V62-32=3V3,

•••ABAD+BD3V3+3

C1AC9A/3+9

S^ABC=5xABxCD=---.

【变式1](2023上•安徽六安•九年级统考阶段练习)如图，在△ABC中，NB=30。，sinC=熹AC=10.

⑴求4B的长；

⑵求△ABC的面积(结果保留根号).

【答案】⑴48=12

(2)24+18V3

【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

(1)过点A作力D1BC,垂足为Q,在RtAACD中，利用锐角三角函数的定义求出4D的长，从而求出4B的

长；

(2)利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出BD和CO的长，从而求出BC的长，然后利用三角形的面

积公式即可求出答案.

【详解】([)解：过点4作4。，于。.

在Rt△4(?£)中，

ADQ

vsinC=—=AC=10,

AC5

・•・AD=6,

团在Rt/X/BD中，=30°,

・•.AB=2AD=12；

(2)团在RtAABD中，cos30°=

：.8。=12x孚=6V3,

在Rt△ACD中，根据勾股定理CD=V102-62=8,

BC=8+6-^3,

48c的面积=|x6x(8+6V3)=24+18V3.

【变式2](2023上•重庆•九年级重庆实验外国语学校校考开学考试)如图，在RtAABC中，N4BC=90。,

点。为8c的中点，。£114。于点£,连接8E.已知。E=2.

(1)若tanC=2，求2B的长度;

(2)若NC=30°,求sin/BEA.

【答案】⑴历

【分析】(1)根据tanC=(,得到ACDE中各边长的比值关系，计算出C。的长度，根据中点的性质得到BC的

长度，最后再用tanC=与十算出即可.

(2)过点B作BHLAC于点H,根据4c=30。，DE=2,算出CD的长度，根据中点的性质得到BC的长度,

就可以算出和CH的长度，得到HE的长度，勾股定理算出8E,即可得到结论.

【详解】(1)DEA.AC,

•••4DEC=90°,

tanC=DE=2,

2

tDE_1

,•CE-2’

BCE=2DE=4,

・•.CD=2A/5,

•・•点。为BC的中点，

BC=2CD=4V5.

在RtZk/BC中，tanC=1,

AB_1

Jt.=一,

BC2

AB—2A/5.

(2)过点B作14C于点H,

•••ZC=30°,DE=2,

•••CD=4,CE=2V3,

•・・点。为BC的中点，

BC=2CD=8,

在RtABHC,ZC=30°,

BH=4,CH=4V3,

•••EH=CH-CE=2V3.

由勾股定理得：BE=2V7,

.,..BH42由

••・smZ.DBCEA=—=—p———,

BE2V77

【点睛】本题考查了解直角三角形，主要利用锐角三角函数值，勾股定理进行长度计算，理解锐角三角函

数的含义，并能运用到题目中是解题关键.

【变式3］（2023•河南许昌•校考一模）如图，是EIABC的高，cosB=今sinC=|,"=10,求EIABC的

周长.

【分析】根据sinC=|,求出40=6,根据cosB=苧，求出BD=AD=6,AB=6VL再根据勾股定理求

出C。=8即可求周长.

【详解】解：在RtAACD中，sinC=£

3

团sinC=AC=10,

_340e/

^r1-=_,AylD=6,

团在RtAABD中，COSB=¥

团4B=45°,即=Z.B=45°,

也BD=AD=6,

EL4B=y/BD2+AD2=6近,CD=y/AC2-AD2=8,

EBA8C的周长为A8+AC+8r>+Cn=6&+10+6+8=24+6位.

【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是熟练运用三角函数知识解直角三角形.

考点6：同角三角函数关系

典例6：（2023上•河南鹤壁•九年级校考期中）已知tana=裔，a是锐角，贝Usina的值是（

A13C

A-T-卷D请

【答案】C

【分析】利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出各条边的长，再求出答案.

【详解】解：如图，在RA1BC中，EC=90°,EL4=a,

由于tana=器=*因此设BC=5k,则AC=12k,

由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=7(12fc)2+(5fc)2=13fc,

「.BC5k5

团sina=——=——=——

AB13k13

故选C.

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出各条边的长是解决问题的关键.

【变式1】（2。23上・全国•九年级专题练习）己知4为锐角，tana/则sinA的值为（）

A-1C-1D-1

【答案】A

【分析】首先根据题意设RtAABC中NC=90。，乙4、乙B、NC对应边分别为a、b、c,然后根据条件求解

a、b、c,再结合正弦函数的定义求解即可.

【详解】解：设RtAABC中NC=90。，乙4、NB、NC对应边分别为a、b、c,

贝！JsinA=ptan4=（和a?+b2=c2,

3

0tanX=

4

膻=三，

b4

设a=3%,贝肪=4x,

由。2+人2=02,得c=5%,

团sin4=-=

c5

故选：A.

【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，理解基本三角函数的定义，熟练转换是解题关键.

【变式2］（2023上•浙江宁波•九年级校考期中）在RtAABC中，乙C=90。，CD是4B边上的高，如果4D=m,

ZX=a,那么BC的长为（）

“cmcosa

A.m-tana-cosaB.-----

tana

_m-tana~mtana

C.-----D.———

cosasina

【答案】c

【分析】本题考查了解直角三角形，根据条件可得CD=m-tana,ABCD=a,再根据cos/BCD=乡=巴磬

BCBC

即可求解.

【详解】解：团在中，ZC=90°,是边上的高，AD=m,=a,

CDCD

团tana=—=—，

ADm

团CO=m•tana,

^ACB=乙4+=90°,Z.BDC=ZB+乙BCD=90°,LA=a,

^1Z.BCD=a,

riccnCDTTitana

国cos乙BCD=—=-----

BCBC

口口?ntana

即cosa=-----

BC

mtana

wc=cosa

故选：c.

【变式3］（2023上•四川广元•九年级校考阶段练习）在RtAABC中，ZC=90°,若cosA=5，贝！Jtan力的值

为。

A.—B.—C.-D.—

125313

【答案】B

【分析】根据cos4=*设4C=5K,4B=13/，根据正切的定义，即可得答案.

【详解】解:由题意，得cos4=*

故设/C=5x,AB=13%,

则=7AB2-BC?=12%,

BC12%12

tan/=――=——=-

AC5x5

故选：B.

【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设/C=5xfAB=13、是解题关键.

考点7：互余两角三角函数关系

典例7：（2022•福建南平•统考二模）如图，将矩形ABCO放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平

行线上，已知相邻平行线间的距离为1,若乙DCE=0,则矩形ABC。的周长可表示为（）

三cE

A-2岛+矗）B.2扁+品

C-2岛+高）D.2岛+品

【答案】B

【分析】构造直角三角形，运用三角函数的定义求得线段BC和。的表达式,进而求得矩形的周长.

【详解】解：如图，过。作。地CE于点尸，过3作3面CE于点G,

A

GCFE

^ADFC=90°,乙DCE=B，DF=2,

~sin--sin.'

团矩形ABCDf

^BCD=90°,

团NBCG+乙DCF=90°,

回乙BGC=90°,

团乙GBC+4BCG=90°,

团匕BCG+乙DCF=90°,

⑦匕DCF=乙GBC=S，

^Z.BGC=90°,乙GBC=B，BG=5,

⑦BC=黑=三，

cospcosp

团DC=黑=M，

sm/3sin/?

团矩形ABCD的周长为2（BC+DC）=2（瘾+品）

故选：B.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，构造直角三角形，运用三角函数的定义求相应线段的表达式是解题

关键.

【变式1】（2022上•河南南阳，九年级南阳市第十三中学校校考期末）在A/IBC中，NC=90°,如果sinA=|,

那么cosB的值等于（）

【答案】A

【分析】根据乙4+=90。得出cosB=sinA,代入即可.

【详解】解：如下图,

0ZC=90。,sin/=

又团乙4+=90°,

0cosB=sinA—一.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，解题关键是掌握互余两角三角函数的关系，即已知乙4+

Z-B=90°,能推出sin/=cosB,cosA=sinB,tanA=cotB,coM=tanB.

【变式2］（2019上•山东威海・九年级统考期中）如图，sina=|,则cos£等于（）

【答案】A

【分析】根据sina=|可以知道筮再根据AC=OB,即可求出cos0.

【详解】

如图，作CA取轴，BCEly轴，所以sina="嚷，，因为cos£=*,OB=AC（均是点C纵坐标），所以

3/?=器=祭=|,故答案选择A.

【点睛】本题考查的是锐角三角函数和坐标轴的结合，能够根据sina=|得知器，是解题的关键.

【变式3］（2019•安徽宿州・统考一模）在RtAABC中，ZC=90°,若tar/=之，贝ijcosB=（）.

4

A5c5〃3r4

A.—B.—C.—D.—

3455

【答案】C

【分析】根据三角函数的性质，结合题意，可得器=；，通过假设BC=3x并利用勾股定理计算得AB,最后

AB4

根据三角函数定义，即可完成求解.

【详解】EIZC=90°且tarM=-

4

胫二

AB4

假设BC=3%,则4B=4x

EL4B=y/AC2+BC2=7（3%）2+（4x）2=5%

LcBC3%3

团COSB=——=——=-

AB5%5

故选：C.

【点睛】本题考查了直角三角形中三角函数和勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，

从而完成求解.

考点8：解直角三角形应用一一仰角俯角

典例8：（2023上•吉林长春•九年级统考期末）榕榕在"测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案:

课题测量教学楼高度

测得数据CD=6.9m,AACG=22°,4BCG=13°

sin22°x0.37,cos22°x0.93,tan22°«0.40,

参考数据

sinl3°«0.22,cosl3°x0.97,tanl3°q0.23.

请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）.

【答案】19m,详见解析.

【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得四边形BDCE是矩形，则可得CG=BD,CD=BG=6.9m,

然后分别在RtABCG与RtAHCG中，利用三角函数的知识，求得CG与4G的长，进而可得4B,注意能借助

仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是关键.

【详解】根据题意得：四边形8DCE是矩形，

0CG=BD,CD=BG=6.9m,

在RtABCG中，N8CG=13。，

EIBG=CG-tanl3°,

06.9aCGx0.23,

BCG=30m,

在RtAACG中，N4CG=22°,

EL4G=CG-tan22°®30x0.40=12（m）,

EL4B=AG+BG=12+6,9«19（m）,

答：教学楼的高度约为19m.

【变式1］（2024上•安徽合肥•九年级统考期末）"时代之舞，梦想领航"，合肥骆岗中央公园全向信标台成为

合肥新地标.小丽同学想要通过测量及计算了解信标台CD的大致高度，如图1,当他步行至点A处，测得

此时台顶C的仰角为45。，再步行20米至点8处，测得此时台顶C的仰角为56。（点A,B,D在同七、一

条直线上），请帮小丽计算信标台CD的高度.（参考数据：sin56°«0.83,cos56°«0.55,tan56°«1.50,

结果保留整数）

【答案】信标台CD的高约为60米

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解决本题的关键是掌握仰角俯角定义.在Rt△ACD

中，由锐角三角函数定义可得4D,再在RtABCD中，由锐角三角函数定义可得BD,进而可得CD的高度.

【详解】解：设CD=万米，

在RtAACD