中考数学难点突破与训练：旋转综合题中的角度问题（含答案及解析）

专题35旋转综合题中的角度问题

【题型演练】

一、单选题

1.（2022.新疆.乌鲁木齐市第四十四中学九年级期末）如图将AABC绕点C逆时针旋转得到△A'3'C,点8

恰好落在A的上，若/B'BA=140。,则旋转角为（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

2.（2023•江西•九年级专题练习）如图，将边长为6的正方形绕点2逆时针旋转30。，那么图中阴影部分的

A.3B.6C.3-拒D.1+石

3.（2022•福建•闽清天儒中学九年级期中）如图，将绕点A逆时针旋转一个角度a得到VTWE,点8的

对应点。恰好落在BC边上，且A,B,E三点在同一条直线上，若NC=36。，则旋转角a的度数是（）

A.82°B.83°C.84°D.85°

4.（2022.全国.九年级专题练习）如图,P是—A03平分线上一点，OP=10,4408=120。，在绕点尸旋转

的过程中始终保持=60。不变，其两边和OA,分别相交于M,N,下列结论：①“WN是等边三

角形；②MN的值不变；③OM+ON=10；④四边形PMON面积不变.其中正确结论的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

5.（2021.江苏省锡山高级中学实验学校三模）将等边AABC与等边△瓦龙的顶点8重合，如图1放置，使

D、E分别在A3、BC上,将等边从图1位置开始绕点B顺时针旋转一周，如图2,直线AD、CE相

交于点P.若：AB=4,BD=2也.给出如下结论：在等边△3DE旋转的过程中，①始终有AO=CE；②

当点D落在AABC内部时，四边形BECD的面积为定值;③当点2到直线AD的距离最大时，尸C=2忘土百；

④当A、D、E三点共线时，CE=M土垃.上述结论中正确的个数有（）

图1图2E

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

6.（2022.福建.厦门市华侨中学九年级期中）如图，将AABC绕点A逆时针旋转110。，得到VADE,若点。

落在线段2C的延长线上，则大小为.

7.（2022•江苏泰兴市实验初级中学一模）如图，在△ABC中，ZCAB=40°,将△ABC在平面内绕点A逆

时针旋转到AAB'C的位置，使CC〃AB,则旋转角的度数为.

2

8.（2022・江苏无锡•九年级阶段练习）将一副三角尺（在RdABC中，/ACB=90。，/8=60。；在R3DEF

中，ZEDF=90°,ZE=45°）如图①摆放，点。为AB的中点，DE交AC于点、P,经过点C.将△DEF

PM

绕点。顺时针方向旋转角a（0。＜6（＜60。），DE交AC于点M,DF交BC于点N,则=7=.

9.（2022・河北・衡水市第六中学九年级期中）如图，RtaACB中，ZACB=90°,ZABC=25°,。为AB中

点，将。4绕着点O逆时针旋转夕（0＜夕＜180。）至OP,（1）当，=30。时，NCBP=；（2）当ABCP

恰为轴对称图形时，e的值为.

10.（2022・四川•成都市棕北中学二模）如图，在正方形ABC。中，AB=4,点G为BC中点，以BG为边在

BC右侧作正方形3EFG,直线AG,CE交于点P.现将正方形8EPG绕点2顺时针旋转.

（1）当旋转30。时，CE=；

（2）当正方形2EPG绕点8旋转一周时，点尸经过的路径长为.

3

11.（2022•内蒙古・呼和浩特市教育教学研究中心一模）如图所示，在RJABC中，ZC=90°,AC=2,BC=4,

点。、E分别是边BC、AB的中点，将绕着点2逆时针旋转，使。、£旋转后的对应点DC、E与点

A三点共线，则以下判断，其中正确结论的序号为.

①线段AZ7=4,®ZCBD'=ZABE',③MBD'.

三、解答题

12.（2022.天津滨海新.九年级期中）如图，将矩形ABCD绕着点8逆时针旋转得到矩形GBEF,使点C恰好

落到线段AD上的E点处，连接CE,连接CG交BE于点

⑴求证：CE平分NBED；

（2）取BC的中点连接求证：MH//BG-,

⑶若BC=2AB=4,求CG的长.

13.（2022•湖南长沙•九年级期中）已知：正方形A3CD,以A为旋转中心，旋转AQ至AP,连接3只DP.

4

（2）若将AD顺时针旋转1度（0。＜。＜90°）至AP,求/BPD的度数？

⑶若将AD逆时针旋转夕度（0°＜。＜180。）至转，请分别求出0。＜0＜90。、«=90°＞90。＜a＜180。三种情况

下的的度数（图2、图3、图4）.

14.（2021•新疆・乌鲁木齐市第二十九中学九年级期中）在AA8C与&EDC中，ZACB=ZECD=60°,

/ABC=NEDC,△EDC可以绕点C旋转，连接AE,BD

图1图2

⑴如图1

①若BC=3DC,直接写出线段BD与线段AE的数量关系；

②求直线BD与直线AE所夹锐角的度数；

（2）如图2,BC=AC=3,当四边形ADCE是平行四边形时，直接写出线段DE的长

15.（2022•黑龙江齐齐哈尔・九年级阶段练习）综合与实践

如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形4BEF,裁成一个边长为4的正方形ABCO和一个长为4、宽为

2的长方形CE尸。如图2.现将小长方形CEED绕点C顺时针旋转至CE户77,旋转角为a.

E'

图1图2图3

5

(1)当点。'恰好落在E尸边上时，求旋转角a(00<a<90)的值；

(2)如图3,G为BC中点，且(T<a<90。，求证：GD'=E'D-,

(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，

△DCD与△CBZX存在两次全等，请你帮助小军直接写出当△DCD与△CBD'全等时，旋转角a的值.

16.(2022•天津市第五十五中学九年级期中)如图1,在正方形ABCD中，AO=4,点E是AQ的中点，以DE

为边作正方形DEEG,连接AG、CE.将正方形。跳G绕点。顺时针旋转，旋转角为研0。<。<90。).

图1

(1)如图2,在旋转过程中，判断△AGD与是否全等，并说明理由;

图2

(2)如图3,延长CE交直线AG于点P.

图3

①求证：AG1CP；

②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

17.(2022・全国•九年级专题练习)如图1,正方形A2CD与正方形AEPG的边长分别为5和2,点£、G分

别在边和边上，连接BG、DE,尸为BG的中点，将正方形AEFG绕着点A从图1位置顺时针旋转a

度(0<«<360).

6

(1)当A、G、B三点不共线时，%改；(填“>”、"=”或“<”)

s

(2)如图2,当90<。<270时，求产正的值；

(3)在正方形AEFG转动一周的过程中，

①求点尸运动的路径长；

②当SAA。=平时，请直接写出满足条件的"的值•

18.(2022・河南商丘・九年级期末)(1)问题发现

如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5,求NAPfi的度数.

针对此问题，数学王老师给出了下面的思路:如图2,将绕点A逆时针旋转60。得到△APT?,连结PP',

得到等边三角形在AB尸产中，根据三角形三边关系以及勾股定理……请根据王老师的思路提示，完

成本题的解答；

(2)类比延伸

如图3,在正方形ABC。内部有一点P,若4PD=135。，试判断线段朋、PB、PD之间的数量关系，并说

明理由.

19.(2022・广东・丰顺县大同中学九年级阶段练习)有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A顺

7

时针旋转90°后得到矩形尸（如图1）,连接BDMF,此时他测得BD=8cm,ZADB=30°.

（1）在图1中，请你判断直线月0和3。是否垂直？并证明你的结论；

（2）小红同学用剪刀将△3CD与AMEb剪去，与小亮同学继续探究.他们将△ABD绕点A顺时针旋转得

“用R,AQ交尸M于点K（如图2）,设旋转角为£（0°<£<90。），当△AFK为等腰三角形时，请直接写

出旋转角夕的度数；

（3）若将八™沿A3方向平移得到△48^2（如图3）,工用2与AD交于点尸，4M2与3。交于点N,当

NP〃AB时，求平移的距离是多少.

20.（2022•广东・广州市第一一三中学九年级期中）如图，AABC是等边三角形，点。是3c边的中点，以。

为顶点作一个120。的角，角的两边分别交直线AB、AC于M、N两点，以点。为中心旋转NMDV（ZMDN

的度数不变）

（1）如图①，若求证：BM+CN=BD-

（2）如图②，若AM与不垂直，且点M在边A2上，点N在边AC上时，（1）中的结论是否成立？并说明

理由；

（3）如图③，若DM与AB不垂直，且点M在边上，点N在边AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？

若不成立，写出现公CN、9之间的数量关系，并说明理由.

21.（2022・湖北省水果湖第一中学九年级期中）如图1,AABC中，AB=AC,ZBAC=a,点。、E分别在

AB.AC上，AD=AE.将VADE绕点A逆时针旋转"度（0〈分<360）,使得8、D、E三点共线.

8

A

A

A

(1)直接写出：/ADB=(用a表示)；

(2)若e=60。，当180</<360时，作AF1OE于足在图2中画出符合要求的图形，并探究BE、CE、AF之

间的数量关系，并证明你的结论;

(3)如图3,若c=90。，AC=8五，当0<£<180时，直接写出S四边形ABCE的最大值_________.

22.(2022•黑龙江黑河・九年级期末)如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形裁成一个边长为4

的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至

CE'F'D',旋转角为a.

4

(1)当点。，恰好落在斯边上时，求旋转角a的值；

(2)如图3,G为BC中点，且0。<。<90。，求证：GD-ED;

(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点、C顺时针旋转一周的过程中,

△DCD'与△CBD存在两次全等，请你帮助小军直接写出当ADCD与△CBD全等时，旋转角a的值.

23.(2022・江苏宿迁•九年级期末)如图①，AABC和VADE是有公共顶点的等腰直角三角形，

ZBAC=ZDAE=90°，点P为射线BD,CE的交点.

9

⑴如图②,将VADE绕点A旋转，当C、。、E在同一条直线上时，连接、BE,求证：BD=CE且BDLCE.

(2)若A3=8,AO=4,把VADE绕点A旋转，

①当/E4c=90。时，求尸3的长；

②旋转过程中线段长的最小值是.

24.(2022•山东枣庄三模)【问题背景】如图1,点E、歹分别在正方形ABCD的边BC、CO上，ZEAF=45°,

连接EF,我们可以通过把AABE绕点A逆时针旋转90。到△AZJG,容易证得：EF=BE+DF.

图1图2图3

⑴【迁移应用】如图2,四边形A3CO中，AB=AD,ZBAD=90°,点E、F分别在边BC、CD±,ZEAF=45°,

若NB、NO都不是直角，且/3+4)=180。，试探究£F、BE、。尸之间的数量关系，并说明理由.

(2)【联系拓展】如图3,在AABC中，ZB4C=90°,AB=AC,点。、E均在边BC上，且/ZM£=45。.猜

想3D、DE、EC满足的等量关系(直接写出结论，不需要证明).

10

专题35旋转综合题中的角度问题

【题型演练】

一、单选题

1.（2022.新疆.乌鲁木齐市第四十四中学九年级期末）如图将"RC绕点C逆时针旋转得到

△A'3'C,点8恰好落在A0上，若朋=140。，则旋转角为（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【答案】C

【分析】先求出/4'54=180。—140。=40。，根据旋转的性有=即可证明

ZBCB'-ZABA,即问题得解.

【详解】解：：乙?’54=140。，

ZA'BA=180°-140°=40°,

根据旋转的性有NCBK=ZCBA,

ZCB'A+NBCB'=ZCBA,NCBA'=NCBA+ZABA,

ZCB'A+NBCB'=ZCBA+ZABA1,

"：ZCB'A'=NCBA,

：.ZBCB'=ZABA=40°,

即旋转角度为40。，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的定义的知识，掌握旋转的性质是解

答本题的关键.

2.（2023•江西•九年级专题练习）如图，将边长为百的正方形绕点B逆时针旋转30。，那么

图中阴影部分的面积为（）

C.3-73D.1+6

【答案】c

【分析】根据已知条件可证kaABMgRdC'BM,只需算出三角形ABM的面积，用正方

形面积减去2倍的的面积，即可算出阴影部分面积.

【详解】解：如图所示，连接由旋转可知，

:四边形ABCD为正方形，

：.AB=CB\ZBAM=ZBC'M=9Q°,

又,：BM=BM,

所以在RmABM与RmCBM中,

[BM=BM

[AB=CB

所以RtLABM^RtACBM（HL）,

VZABA'=/C‘2C=30。，

AZABM=ZCBM=30°,

AM=AB-tan30°=1,

,•S^ABM=1XGXQ=[，

四边形ABC'M的面积为：乖,,且正方形ABC。面积为：6x囱=3,

阴影部分面积为：3-石，

故选：C.

【点睛】本题考查割补法求面积，全等三角形，以及三角函数的应用，能够熟练利用割补法

求面积是解决本题的关键.

3.（2022.福建.闽清天儒中学九年级期中）如图，将AABC绕点A逆时针旋转一个角度a得

到VADE,点B的对应点。恰好落在3C边上，且A,B,E三点在同一条直线上，若NC=36。,

则旋转角a的度数是（）

12

A.82°B.83°C.84°D.85°

【答案】C

【分析】根据AABC绕点A逆时针旋转一个角度a得到VADE,可得

1QAO_a

ZADB=/B=/ADE=---,在中，根据三角形内角和定理，可得

/E+/8+/ADB+/4DE=180。，从而算出旋转角a的度数.

【详解】；"BC绕点A逆时针旋转［得到VADE,点8的对应点是。，

/.AABC^AADE,ZBAD=ZCAE=a,

/•AB=AD,ZADE=NB，NE=/C=36°,

^ADE=1S00~a

2

1/A,B,E三点在同一条直线上,

.•.在△ABD中，ZE+ZB+ZBDE=180°,

即ZE+ZB^-ZADB+ZADE=180°,

180°-Q

360+3-=180°

-2

解得a=84。.

旋转角a的度数是84。.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的旋转变换，熟练掌握三角形内角和定理和旋转的性质是解本题

的关键.

4.（2022・全国•九年级专题练习）如图，P是—A0B平分线上一点，。尸=10,ZAOB=120°,

在绕点P旋转的过程中始终保持/MPN=60。不变，其两边和OA,。2分别相交于M,N,

下列结论：①APMN是等边三角形；②MN的值不变；③OM+ON=10；④四边形PMON

面积不变.其中正确结论的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】如图作PE_L于E,PF_L。2于凡只要证明MAPOE^RtAP0F,4PEM出APFN,

13

即可一一判断.

【详解】如图作PEJ_OA于E,PFA.OB^F.

'：ZPEO=ZPFO=90°,

：.AEPF+AAOB=\^°,

'：ZMPN+ZAOB=180°,

：.ZEPF^ZMPN,

：.ZEPM=ZFPN,

：0P平分/AOB,PE_LOA于E,PFLOB^F,

：.PE=PF,

在RtXPOE和RtLPOF中,

jOP=OP

[PE=PF'

:POE^RtLPOF(HL),

OE=OF,

在小「£加和4PFN中,

2MPE=NNPF

<PE=PF,

ZPEM=ZPFN

：.APEMmAPFN(ASA),

：.EM=NF,PM=PN,SAPEM=SAPNF,

NMPN=64°

PAW是等边三角形，故①正确；

"：SAPEM=SAPNF,

.，•S国边形PMON=S酗形PEOF=定位,故④正确；

OM+ON=OE+ME+OF-NF=2QE=lO,故③正确；

'：M,N的位置变化，

•••MN的长度是变化的，故②错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键.

5.(2021.江苏省锡山高级中学实验学校三模)将等边AABC与等边△3DE的顶点8重合,

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如图1放置，使。、£分别在A3、BC上，将等边△3DE从图1位置开始绕点3顺时针旋

转一周，如图2,直线AD、CE相交于点尸.若：AB=4,BD=2也.给出如下结论：在

等边旋转的过程中，①始终有AD=CE；②当点。落在AABC内部时，四边形3ECD

的面积为定值；③当点8到直线AD的距离最大时，PC=2A/2±V3;④当A、D、E三点共

线时，CE=M土日上述结论中正确的个数有（）

图1图2E

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

［分析KD利用等边三角形和旋转的性质，证明△ADBg4CEB即可判断;②由①结论可得：

四边形BECD的面积=△ABC的面积-△ADC的面积，根据点。的轨迹判断即可；③当

BDLAD时，2点到直线的距离最大；。点在8点右侧时，结合①结论利用勾股定理和

三角函数解直角三角形即可；同理可求。点在B点左侧时；④点。在点4、E之间时，结

合①结论利用等边三角形的性质，勾股定理解直角三角形即可；同理可求点E在点A、。之

间时.

【详解】解：①如图，

A

ZABC=ZDBE=60°,则ZABC-ZDBC=ZDBE-ZDBC,

：.ZABD=ZCBE,

AB=CB,DB=EB,

：.LADB安/\CEB,

：.AD=CE,即①正确；

②如图，连接cr>,弧ns为。点旋转轨迹，

15

A

E

,:△ADB9ACEB,

，四边形BECD的面积=△ABC的面积-△ADC的面积，

由D点轨迹可知：D点到线段AC的距离不是定值，

/.AAOC的面积不是定值，

，四边形BECD的面积不是定值，即②错误；

③的长度是定值，，当BZUAO时，B点到直线AO的距离最大,

。点在B点右侧时，如图，过P作尸FLOE于尸，

BDLAD,：.AD=y/AB2-BD2=J42-(20y=2亚,

'：△ADB/ACEB,

：.AD=CE,/ADB=/CEB=90°,

：.ZPEF=ZCEB-ZDEB=3Q°,

NPDE=ZPDB-ZEDB=3Q°,

：.PE=PD,

'CPFLDE,

：.EF=^DE=y[2,

•pp_V2_2^/6

cos3003

PC=CE-PE=2日—；

3

。点在8点左侧时，如图，过P作P工LOE于产，

16

PC=CE+PE=2V2+城，

3

:.PC=2应土巫,即③错误；

3

④点。在点A、E之间时，如图，过B点作8尸，AE于点尸,

△BCE是等边三角形，BFLAE,贝UDF=g£>E=&,

△ABF中，由勾股定理可得AF=]AB2_BF2=®

AD=AF-DF=V10-^2,

,?4ADB咨ACEB,

.'.AD=CE=710-A/2；

点E在点A、。之间时，如图，过8点作BFLAE于点尸，

同理可得小ADB当ACEB,CE=AD=AF+DF=回+血;

：.CE=y/10±y/2；即④正确；

综上所述①④正确，

故选：B.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理,

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特殊角的三角函数；根据题意作出相应的图形是解题关键.

二、填空题

6.（2022・福建・厦门市华侨中学九年级期中）如图，将AABC绕点A逆时针旋转110。，得到

NADE,若点。落在线段的延长线上，则大小为.

【分析】根据旋转的性质可得出=，54D=110。，再根据等腰三角形的性质可求出

一8的度数，此题得解.

【详解】解：根据旋转的性质，可得：AB=AD,^BAD=1W°,

ZB=/ADB=|x(180°-110°)=35°.

故答案为：35°.

【点睛】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的

性质求解是解题的关键.

7.（2022•江苏・泰兴市实验初级中学一模）如图，在AABC中，ZC4B=40°,将AABC在平

面内绕点A逆时针旋转到A的位置，使CC//AB,则旋转角的度数为.

A

【答案】100。##100度

【分析】根据平行线的性质和旋转的性质求出/CC4=/C42=40。，AC=AC,求出/ACC

=ZC'CA=40°,根据三角形内角和求出/CAC即可.

【详解】解：•.•CC〃A2,ZCAB=40°,

：.ZC'CA=ZCAB=40°,

,：将AABC在平面内绕点A旋转到△ABC的位置,

：.AC'=AC,

：.ZAC'C=ZCCA=40°,

：.ZCAC=180°-40°-40°=100°,

即旋转角的度数是100°,

18

故答案为：100。.

【点睛】本题考查了旋转的性质和平行线的性质，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题

的关键.

8.（2022•江苏无锡•九年级阶段练习）将一副三角尺（在肋△ABC中，/ACB=90。，NB=

60°；在DEF中,ZEDF=90°,/E=45。）如图①摆放，点。为AB的中点，DE交AC

于点P,。尸经过点C.将△。跖绕点。顺时针方向旋转角a（0。<</<60。），DE咬AC于点

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得根据等

边对等角求出再求出/AOC=120。，再根据/AOC-/即尸计算得

30。，根据同角的余角相等求出/PDM=NCDV,再根据然后求出ABC。是等边三角形，根

据等边三角形的性质求出/BCO=60。，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和求出NCPD=60。，从而得到/CPD=NBC。，再根据两组角对应相等，两三角形相

似判断出小。刊1和4DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得结论.

【详解】解：,••NAC2=90。，点。为AB的中点，

CD=AD=BD=^AB,

：.ZACD=ZA=30°,

：.ZA£）C=180°-30°x2=120°,

ZADE=ZADC-ZEDF=nO°-90°=30°；

/EDF=90°,

：.ZPDM+ZE/DF=ZCDN+ZE'DF=9Q°,

：.ZPDM=ZCDN,

VZB=6Q°,BD=CD,

...△3cr（是等边三角形，

：.ZBCD=60°,

,?ZCPD=ZA+ZADE=30°+30°=60°,

：.ZCPD=ZBCD,

19

:.丛DPMs丛DCN,

.PM_PD

••奇一五’

VZA0）=30°,ZCZ）P=90°,

PDR

----=tanXACD=tan30°=——,

CD--------------------------------3

.PM杷

'*GVV

故答案为：—.

3

【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，锐角三角函

数，解题的关键是判断出△MPDs^NCD.

9.（2022・河北彳置水市第六中学九年级期中）如图，Rt^ACB中，ZACB=90°,ZABC=25°,

。为A3中点，将Q4绕着点O逆时针旋转/（0<6<180。）至。尸，（1）当。=30。时，NCBP=

;（2）当ABCP恰为轴对称图形时，6的值为.

【答案】40°50。或65。或80。

【分析】（1）连接OC,根据直角三角形斜边中线的性质得到OC=O3=OA,然后结合旋

转的性质得到03=0尸，然后根据外角的性质得到/。&尸=；/，=15。，进而求解即可；

（2）如图1,连接AP,根据直角三角形的判定和性质得到NAP3=90。，当3c=3尸时，得

到NBCP=NBPC,推出AB垂直平分尸C,求得NA5P=NABC=25。，于是得到

6=2x25=50。，当3C=PC时，如图2,连接CO并延长交PB于根据线段垂直平分线

的性质得到CH垂直平分PB,求得/CHB=90°,根据等腰三角形的性质得到6=2x40°=80°,

当尸B=PC时，如图3,连接尸。并延长交BC于G,连接OC,推出PG垂直平分8C,得

到NBGO=90°,根据三角形的内角和得到。=NBOG=65°.

【详解】（1）连接OC,

20

B

erM

•・・Rt^AC3中，。为AB中点

，OC=OB=OA

・・•将Q4绕着点。逆时针旋转，。（。<8<180。）至。2

:.OA=OP

：.OC=OB^OA=OP

•・•6=30。

・・・ZOBP=-Z0=15°

2

：.ZCBP=ZABC+ZOBP=40°；

（2）,「△BCP恰为轴对称图形，

•••△3CP是等腰三角形，

如图1,连接AP,

B

图1

TO为斜边中点，OP=OA,

：.BO=OP=OA,

：.NAT*90。，

当=时，

:.NBCP=NBPC,

ZBCP+ZACP=ZBPC+ZAPC=90°,

ZACP=ZAPC,

：.AC=AP,

：.A3垂直平分PC,

：.ZABP=ZABC=25°,

・・・夕=2><25。=50。；

21

当5C=尸。时，如图2,连接CO并延长交融于H,

图2

•.・BC=CP,BO=PO,

C”垂直平分尸5,

NCHB=90。,

•：OB=OC,

：.ZBCH=ZABC=25°,

：./CBH=65。,

ZOBH=40°f

・・・6=2x40。=80。；

当依=PC时，如图3,

图3

连接P。并延长交BC于G,连接OC,

VZACB=90°,。为斜边中点，

/.OB=OC,

：.PG垂直平分3C,

/.ZBGO=90°,

"?ZABC=25°,

：.9=NBOG=65。,

综上所述：当ABCP恰为轴对称图形时，6的值为50。或65。或80。，

故答案为：50。或65。或80。.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合

运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题

的关键.

22

10.（2022・四川•成都市棕北中学二模）如图，在正方形ABCD中，48=4,点G为BC中点，

以BG为边在BC右侧作正方形BEFG,直线AG,CE交于点P.现将正方形BEFG绕点8

顺时针旋转.

（1）当旋转30。时，CE=；

（2）当正方形8EPG绕点2旋转一周时，点P经过的路径长为.

【答案】2币警

【分析】（1）延长CB,过点E作根据正方形的性质以及旋转的性质，得出

NEBH=60。,得到班/=1,HE=石，运用勾股定理求得CE的长；

（2）当正方形匪FG旋转到点C、F、E在一条直线上时，点尸到达最高点，连接OC、OF,

求出/COE；当正方形8£FG旋转到点A、F、E在一条直线上时，点尸到达最低点；连接

（M,OF,求出NAO/，求得点尸运动弧所对圆心角，利用弧长公式/=高求解;

lot）

【详解】（1）解：如图，延长C3过点£作EH_LCB,

/.ZCBG=30°,ZGBE=90°,

「.NEB"=60。，

•・・A3=4,点G为3c中点，

BG=2,

：.BH=-BE=1,

2

：.CH=5,

23

HE=ylBE2-BH2=V22-l2=+，

在Rf/XCHE中,

CE=yJCH2+EH2=,+(可=728=2币,

故答案为：2甘；

(2)•正方形ABCD,正方形BEFG,

BA=BC,ZABC=ZCBE,BG=BE,

AABG^ACBE,

/BCE=ZBAG,ZAGB=/BEC,

ZAGB=ZCGP,ZAGB+ZBAG=90°,

NCGP+NPCG=90°,

ZGPC=90°,

同理可证，正方形5EFG绕点B旋转过程中，存在NGPC=90。,所以点尸在以AC为直径的

圆上运动，，

•••AB=4,

AC=45/2,

OA=OB=OC=-AC=2s/2,

2

如图：

当点A、F、E在同一直线上时，点尸与点尸重合,

QA8=4,8E=2,

『BE1

••sin/BAE=——,

AB2

ZBAE=30°,

ZOAF=ZBAE+ZOAB=75°,

ZOM=75°,

/.NAO尸=30。，

24

同理可得，当点C、F、E在同一直线上时，NCO尸=30。,

所以点尸路径对应的圆心角是120。，

,」20〃・204岳.

--180-3

故答案为：出.

3

【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定

及性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是画出图形,作辅助线构造直角三角形,

结合勾股定理进行计算求解.解题时注意分类讨论思想的运用.

11.（2022•内蒙古・呼和浩特市教育教学研究中心一模）如图所示，在RtAABC中，NC=90。，

AC=2,BC=4,点、D、E分别是边BC、AB的中点，将绕着点8逆时针旋转，使

旋转后的对应点£与点A三点共线，则以下判断，其中正确结论的序号为.

①线段5=4,②NCBD'=ZABE1,③ACBD'saABE.

【答案】①②③

【分析】根据题意NACB=NA=3=90。，E是AB的中点，则AC。,3在以E为圆心AE的

半径的圆上，进而即可求解.

【详解】解：依题意NACB=NA£>'3=90。，E是AB的中点，则A,C,D,8在以E为圆心AE

的半径的圆上，如图，

AC=D'B,

ZABC=ZD'AB=NBD'C,

设=

AC21

贝（Jtana=-----

BC42

25

nr)ri

tanABAD'=——=-,

AD'2

•.•BD'=AC=2,

:.AD'=4,

故①成立

CD'=CD'>

:.ZCBIy=ZCAD',

ZCBD,=ZABD,-ZABC=(90°-cr)-«=90°-2a,

ZABE'=ZABD'-ZD'BE'=(90°-«)-cr=90o-2«,

ZCBD'=ZABE'

故②成立

又一.•NBCD=NBAE，=a

△CBD^Z\ABE'

故③正确

故答案为：①②③

【点睛】本题考查了旋转的性质，同弧所对的圆周角相等，直角所对的弦是直径，相似三角

形的性质与判定，求一个角的正切，证明AC,£>',8在以E为圆心AE的半径的圆上是解题

的关键.

三、解答题

12.(2022.天津滨海新.九年级期中)如图，将矩形ABCD绕着点8逆时针旋转得到矩形GB£F,

使点C恰好落到线段上的E点处，连接CE,连接CG交3E于点

⑴求证：CE平分NBED；

(2)取2C的中点连接求证：MH//BG；

(3)若BC=2AB=4,求CG的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)CG的长为

26

【分析】⑴通过旋转的性质得到ZBEC=/BCE,再利用矩形的性质证明ZBEC^ZDEC

即可.

(2)过点C作。于N,利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到CD=OV,再

利用旋转及矩形的性质得到ABHGgANHC,得到点M是BC中点，利用中位线的性质解题

即可.

(3)过点C作。VL3E于N,过G作GR,3c于R,利用含30。的直角三角形的性质及勾

股定理计算即可.

【详解】(1)证明：,•・将矩形A3CD绕着点8逆时针旋转得到矩形GBEF,使点C恰好落到

线段AD上的E点处，

:.BE=BC,

ZBEC=ZBCE,

AD||BC,

:./BCE=/DEC,

:.ZBEC=ZDEC,

:.CE平分ZBED；

(2)证明：过点C作。VLBE于N,如图：

•.♦CE平分ZB£D,CDIDE,CNLBE,

:.CD=CN,

:.BG=AB=CD=CN,

•：ZBHG=NNHC,NGBH=NCNH=90。,BG=CN,

:.ABHGgAAWC(AAS),

:.GH=CH,即点H是CG中点，

•・•点M是BC中点，

是ABCG的中位线，

.,.MH//BG-,

(3)解：过点C作。V，跖于N,过G作GR,3c于R,如图:

27

•/BC=2AB=4,

.\BG=AB=CD=CN=2,

:.CN=-BC,

2

:.ZNBC=30°,

ZGBE=90°,

:"GBR=3,

:.BR=；BG=1,GR=6BR=6,

在WAGRC中，

CG=1GR2+CR2=｛（同+（1+4）2=2币，

二CG的长为2J7.

【点睛】本题主要考查旋转的性质，涉及到三角形全等的判定及性质，矩形的的性质，勾股

定理，能够熟练运用旋转的性质并结合其他几何性质添加辅助线和证明是解题关键.

13.（2022・湖南长沙•九年级期中）已知：正方形A3cD,以A为旋转中心，旋转AD至AP,

连接3尸、DP.

（2）若将AD顺时针旋转a度（0。＜。＜90。）至钎，求/BPD的度数？

⑶若将AD逆时针旋转a度（。°＜。＜180。）至小，请分别求出0。＜0＜90。、a=90。、

90。＜1＜180。三种情况下的—3PD的度数（图2、图3、图4）.

［答案］⑴135。

28

(2)135°

(3)45°,45°,45°

【分析】（1）利用旋转的性质和正方形的性质可知==再根据等边对等角，即

可求出—3PZ）的度数；

（2）用和（1）一样的方法即可进行证明；

（3）分为三种情况，分别将NAPD、的度数表示出来，再根据角度之间的和差关系即

可进行解答.

【详解】（1）解：顺时针旋转30。至小，

,AD=AP,ZPAD=30°,

：.ZAPD=1（180°-30°）=75°,

•••四边形ABC。为正方形，

/.AB=AD=AP,ZBAD=90°,

：.ZfiAP=90°-30°=60°,

/.NBPA=g(180。-60。)=60°,

ZBPD=60°+75°=135°.

(2)；顺时针旋转a至”,

AD=AP,ZPAD=a,

：.ZAPD=1(180°-a)=90°-y,

•••四边形A3C£>为正方形，

AB=AD=AP,ZBAD=90°,

，ZBAP=90°-a,

：.ZB7M=1[180o-(90-a)]=45°+y,

ZBPD=^90°--|^45o+1^=135°.

(3)①当0°<a<90°时，

；AD逆时针旋转a至"，

AAD=AP,ZPAD=a,

1zy

ZAPD=-(180°-a)=90°—

•.•四边形ABC。为正方形,

：.AB=AD=AP,ZBA£>=90°,

ZBAP=90°+a,

29

ia

：.ZBPA=-[180°-(90+a)]=45°-y,

/.ZBPD=190。一曰一145。一曰=45°.

②当c=90°时，

：AD逆时针旋转90。至AP,

/.AD=AP,ZPAD=90°,

•••四边形ABC。为正方形，

/.AB=AD=AP,ABAD=9Q°,

.,./54尸=90。+90。=180。，即点尸、4、B三点共线,

ZBPD=ZAPD=1(180°-90°)=45°

③当90。<a<180。时,

:逆时针旋转a至",

AAD=AP,ZPAD=a,

1zy

ZAPD=-(180°-a)=90°--

•..四边形ABC。为正方形，

AB=AD=AP,ZBAD=90°,

NBAP=360°—90°+e=270°-a,

1fy

：.ZBPA=-[180°-（270o-a）]=y-45°,

/.ZBPD=（90。一曰+g-45。J=45。.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转变化，等腰三角形的性质，解题的关键

是熟练掌握正方形四边都相等，四个角都是直角；旋转前后对应边相等；等腰三角形等边对

等角.

14.（2021.新疆.乌鲁木齐市第二十九中学九年级期中）在AABC与&EDC中，

ZACB=ZECD=60°,ZA