浙教版八年级数学上册专项突破：一次函数与特殊图形动点问题压轴题（解析版）

第20讲一次函数与特殊图形动点问题压轴题探究

类型一一次函数与等腰直角三角形

【知识点睛】

当一个直角（或者一个等腰直角三角形）放在一条直线上或平面直角坐标系中时，

常通过构造“K型图”全等来转化等量线段。

【类题训练】

1.已知A点坐标为4（/2，0）点8在直线y=-%上运动，当线段AB最短时，2点坐标

（）

A.（0,0）B.（返，-返）C.（1,-1）D.（-返，返）

2222

【分析】根据题意画出图形，由垂线段最短得到垂直于直线y=-x时A2最短，此

时过B作2。垂直于x轴，由直线y=-X为第二四象限的角平分线，得出NA02为45°,

再由/A2。为直角，得到三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到。为OA

的中点，8。为斜边OA上的中线，利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得

到8。为OA的一半，由A的坐标求出OA的长，得出的长，而三角形8。。也为等

腰直角三角形，得到求出OD的长，最后由2在第四

象限，即可确定出8的坐标.

【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

当AB_L08时，AB最短，此时过8作轴，交x轴于点D

由直线y=-x为第二、四象限的角平分线，得到/AOB=45°,

VA（加，0）,即OA=近,ZABO=90°,

:.△kOB为等腰直角三角形，

：.OD=AD,即BD为RtAAOB斜边上的中线,

.•.8。=工04=返，

22

又,NBDO=9Q°,

...△080为等腰直角三角形，

：.OD=BD=^,

2

：3在第四象限，

••.2的坐标为（返，-返）.

22

故选：B.

2.如图，平面直角坐标系中，已知直线>=无上一点尸（1,1）,C为y轴上一点，连接PC,

线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段P。，过点。作直线A8J_x轴，垂足为8,直线A8

与直线y=x交于点A,且连接CD,直线CD与直线y=无交于点。，则点。的

坐标为（）

A.(5,$)B.(3,3)C.(工，工)D.包旦)

224444

【分析】过P作MN_Ly轴，交y轴于M,交AB于N,过。作£>8_Ly轴，交y轴于X,

ZCMP=ZDNP=ZCPD=90°,求出NMCP=/DPN,证△MCPgZXNP。，推出DN

=PM,PN=CM,设A£）=a,求出£W=2a-l,得出2a-1=1,求出a=l,得出Z）的

坐标，在RtZkDNP中，由勾股定理求出PC=PO=近，在RtZXMCP中，由勾股定理求

出CM=2,得出C的坐标，设直线CD的解析式是y=fcv+3,把£>（3,2）代入求出直

线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可.

【解答】解：过尸作MVLy轴，交y轴于交AB于N,过D作轴，交y轴

于H,

ZCMP=ZDNP=ZCPD=90°,

：.ZMCP+ZCPM=90°,ZMPC+ZDPN=90a,

/MCP=ZDPN,

'：P(1,1),

：.OM=BN=1,PM=1,

在△MCP和△'「£)中，

fZCMP=ZDNP

，ZMCP=ZDPN

PC=PD

:AMCP”ANPD(AAS),

：.DN=PM,PN=CM,

'：BD=2AD,

・••设AO=a,BD=2a,

VP（1,1）,

：.DN=2a-1,

贝！J2a-1=1,

〃=1,即3Z）=2.

•.・直线y=x,

•9.AB=OB=3,

在RtZXONP中，由勾股定理得：pc=PD=yl（2-l）2+（2-1）2=^5-

在RtaMCP中，由勾股定理得：CM=《（粕）2_]2=2,

则C的坐标是（0,3）,

设直线CD的解析式是y=fcv+3,

把。（3,2）代入得：k=-•1,

3

即直线CD的解析式是y=-1+3,

3

'_1

即方程组，y=~Tx+3得：X7

9

y=xy=-r

即。的坐标是（9，9）.

44

故选：D.

3.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A点坐标（6,0）,8点坐标（3,-3）,

动点尸从A点出发，沿无轴正方向运动，连接8P,以8尸为直角边向下作等腰直角三角

形BPC,ZPBC=90°,连接。C,当0c=10时，点尸的坐标为（）

A.(7,0)B.(8,0)C.(9,0)D.(10,0)

【分析】过点C作CELy轴于点E,过点B作BDLOA于点D,延长DB交CE于点F,

证明(A4S),由全等三角形的性质得出DP=BF,BD=CF=3,由勾股

定理求出OE的长，则可得出答案.

【解答】解：过点C作CE_Ly轴于点E,过点8作于点。，延长。8交CE于

点、F,

,:B(3,-3),A(6,0),

：.OD=DA=BD=3,

•••△P8C为等腰直角三角形，

:.PB=BC,/P2C=90°,

"：ZPBD+ZCBF=90°,ZCBF+ZBCF=90a,

ZPBD=ZBCF,

：.APDB^ABFC(AAS),

:.DP=BF,BD=CF=3,

：.CE=EF+CF=6,

oc=io,

A£0=VOC2-CE2=V102-62=8,

・・・。尸=8,

:・BF=5,

工。尸=5,

・•・OP=DP+OD=Sf

：.P(8,0).

故选：B.

4.如图，平面直角坐标系中，点A在直线y=Y3x+愿上，点C在直线y=-L+4上，

,32

点A,C都在第一象限内，点8,。在x轴上，若△AO8是等边三角形，△BCD是以BD

【分析】设OG=x,作AGLO8根据等边三角形的性质即可求出GA,将A的坐标代入y

=返刀+我即可求出A；作CHLBD,设BH=m,根据等腰直角三角形的性质求出CH,

3

然后将C的横纵坐标代入直线y=-lx+4,即可求出m,从而确定D点坐标.

2

【解答】解：作AGLOB,CH1BD,垂足分别为G,H,如下图所示：

：△042是等边三角形，

；.G为。8的中点，ZAOB=60°,

，O8=OA=2x,AG=ax，

,：A点在直线产喙%+如上，

•••1=返什加，

3

解得x=3,

2

・•・OB=2OG=3,

设BH=m,

VABCD是等腰直角三角形，

：.ZCBH=45°,

：.BH=CH=DH,

C(3+m,m),

;点C在直线y=-lx+4上，

2

.'.m--—(m+3)+4,

2

解得m=k,

3

.•.2。=228=型，

3

.,.。£)=。2+2。=3+蛇=独，

33

：.D(11,0).

3

故答案为：(蛇，0).

3

5.如图，在平面直角坐标系中，直线/i：y=Wr与直线/2：y=fcr+6(左W0)相交于点A(a,

4

3),直线/2与y轴交于点8(0,-5).

(1)求直线/2的函数解析式；

(2)将△OAB沿直线/2翻折得到△C48,使点。与点C重合，AC与x轴交于点D求

证：AC//OB；

(3)在直线BC下方是否存在点P,使△8CP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点

尸坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)解方程得到A(4,3),待定系数法即可得到结论;

(2)根据勾股定理得到。4=43乙不=5,根据等腰三角形的性质得到NOAB=/OBA,

根据折叠的性质得到/。48=/CAB,于是得到结论；

(3)过C作CM_LOB于求得CM=OO=4,得到C(4,-2),过Pi作PiALLy轴

于N,根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：(1).直线4：>=当与直线为：y=&+b相交于点A(a,3),

4

AA(4,3),

:直线交?2交y轴于点2(O，-5),

••y—'kx-5,

把A(4,3)代入得，3=4左-5,

:.k=2,

・•・直线12的解析式为y=2x-5；

(2)VOA=^32+42=5,

：.OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

•・,将△。43沿直线/2翻折得到△CAB,

：.ZOAB=ZCAB,

：.ZOBA=ZCABf

：.AC//OB；

(3)存在.理由如下：

如图，过。作。M_L08于

则CM=OD=4,

•:BC=OB=5,

：.OM=2,

：.C(4,-2),

过Pi作PiNLy轴于N,

・・・△8CP是等腰直角三角形，

：.ZCBPi=90°,

:・/MCB=/NBP\,

;BC=BPi,

:.ABCM丝APiBN(AAS),

；.BN=CM=4,

：.Pi(3,-9)；

类型二一次函数与最值

>最值常结合模型一一将军饮马;

>“两定一动型”将军饮马解决步骤：①对称；②连接;

>“两定两动型“将军饮马解决步骤：①平移；②对称；③连接；

1.已知直线/i：与直线/2：y=-1x+机都经过C（-旦，旦），直线八交y轴于点

255

B（0,4）,交x轴于点A,直线/2交y轴于点。，尸为y轴上任意一点，连接以、PC,

有以下说法：

r[6

y=kx+b*=宕

①方程组1_1的解为；

y=-2x+m[y=f

②△BC。为直角三角形；

③SAABD=6；

④当必+PC的值最小时，点尸的坐标为（0,1）.

其中正确的说法是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根

据两直线的系数的积为-1,可知两直线互相垂直；求得8。和A。的长，根据三角形面

积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即

可得到当B4+PC的值最小时，点P的坐标为(0,1).

【解答】解：①；直线/1：y=Ax+b与直线/2：产-都经过C(一2，3■),

255

((6

y=kx+bx='^5

.•.方程组,_1的解为，，

尸亍也卜得

故①正确，符合题意；

4=b

k=2,

②把8(0,4),C(-A,1)代入直线A：y=kx+b可得＜86，解得

55IT”b=4

.,.直线/i：y=2x+4,

又•直线；2：y=--x+m,

2

直线/1与直线/2互相垂直，即/BCZ)=90°

...△BCD为直角三角形,

故②正确，符合题意;

③把C(一2，—)代入直线12：y=--kv+m,可得m=1,

552

y=-Ax+141,令x=0,则y=l,

2

：.D(0,1),

：.BD=4-1=3,

在直线A：y=2x+4中，令y=0,则尤=-2,

AA(-2,0),

：.AO=2,

S/\ABD~—X3X2=3,

2

故③错误，不符合题意；

④点A关于y轴对称的点为4(2,0),

由点C、A'的坐标得，直线CV的表达式为：y=-L+l,

2

令x=0,则y=l,

・••当B4+PC的值最小时，点尸的坐标为（0,1）,

故④正确，符合题意；

故选：B.

2.如图，在直角坐标系中，直线>=/+4分别交x轴，y轴于A,B两点,C为08的中点，

点。在第二象限，且四边形AOC。为矩形，P是C。上一个动点，过点P作尸04于

H,。是点B关于点A的对称点，则8P+PH+//0的最小值为

【分析】根据直线产&+4先确定0A和0B的长，证明四边形PHOC是矩形，得PH

3

=OC=BC=2,再证明四边形PBCH是平行四边形，贝！J8P=CH,在BP+PH+HQ中，

尸8=2是定值，所以只要CH+8。的值最小就可以，当C、8、。在同一直线上时，CH+HQ

的值最小，利用平行四边形的性质求出即可.

【解答】解：如图，连接CH,

:直线>=寺+4分别交x轴，y轴于A,B两点,

.*.08=4,04=3,

：C是。2的中点，

：.BC=0C=2,

ZPH0=ZCOH=ZDCO=90°,

四边形PHOC是矩形，

:.PH=0C=BC=2,

"JPH//BC,

四边形P2CH是平行四边形,

：.BP=CH,

?.BP+PH+HQ=CH+HQ+2,

要使CH+8。的值最小，只需C、H、。三点共线即可，

:点Q是点B关于点A的对称点，

：.QC-6,-4),

又：点C(0,2),

根据勾股定理可得。°=4(2+4)2+62=6«，

此时，BP+PH+HQ=CH+HQ+PH=CQ+2=6V2+2.

即BP+PH+HQ的最小值为6&+2；

故答案为：6y+2.

3.如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，ZACB=90°,AC=BC,

点A在y轴的正半轴上，点C在无轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函

数表达式是y=2x+4,若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x

轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是.

【分析】根据自变量与函数值得对应关系，可得A,C点坐标，根据勾股定理，可得AC

的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得。，8。的长，可得8点坐标；首先取AC

的中点E,连接BE,OE,OB,可求得OE与8E的长，然后由三角形三边关系，求得点

2到原点的最大距离.

【解答】解：当冗=0时，y=2x+4=4,

・・・A(0,4)；

当y=2x+4=0时，x=-2,

：.C(-2,0).

・・・OA=4,OC=2,

.\AC=^OA240C2=275.

如图所示，过点2作2。，无轴于点D

VZACO+ZACB+ZBCD=180°，ZACO+ZCAO=9Q°,ZACB=90°,

：.ZCAO=ZBCD.

，ZAOC=ZCDB=90°

在△AOC和△88中，，NCAO=/BCD，

AC=CB

.♦.△AOC妾△CZJB(A4S),

：.CD=AO=4,DB=OC=2,

OD=OC+CD=6,

.•.点8的坐标为(-6,2).

如图所示.取AC的中点E,连接BE,OE,OB,

VZA(9C=90°,AC=2娓,

:*OE=CE=1AC=E

2

\'BC±AC,BC=2立，

AB£=VBC2-K：E2=5,

若点O,E,2不在一条直线上，则。2＜。£+8£=5+a.

若点。，E,8在一条直线上，则。B=OE+BE=5+巡，

...当。，E,8三点在一条直线上时，。2取得最大值，最大值为5+a,

故答案为：5+-y5-

类型三一次函数与等腰三角形存在性

＞点在图象上，则点的坐标符合直线的解析式

＞“两定一动型”等腰三角形一一即已知两个定点，求第三个点的坐标，使形成等腰

三角形；

＞解决办法：“两圆一线”

“两圆”：以两个顶点为圆心，两定点组成线段长为半径作圆，圆与目标直线的交点即

为所求的动点；

“一线”：两定点组成线段的中垂线与目标直线的交点即为所求的动点；(求解常需要结

合勾股定理)

1.如图所示，已知直线了=八区x+1与x、y轴交于&C两点，A(0,0),在△ABC内依

3

次作等边三角形，使一边在X轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第

1个△44181,第2个△81A282,第3个AB2A3阴，…则第n个等边三角形的边长等

于________

【分析】根据题目已知条件可推出，A4i=1oC=返，8/2=返41a=返，依此

2

2222

类推，第力个等边三角形的边长等于近.

2n

【解答】解：•••直线y=71x+l与X、y轴交于8、C两点，

3

：・OB=M，OC=1,

：.BC=2,

・・・NO3C=30°,NOC8=600.

而△AALBI为等边三角形，ZAiABi=60°,

：.ZCOAi=30°,

：.ZCAiO=90°.

在Rt/XCAAi中，AAI=J^OC=JLL,

22

同理得：31A2=Lh5i=1,

222

依此类推，第w个等边三角形的边长等于近.

2n

故答案为：返.

2n

2.已知平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A坐标为（0,8）,点B坐标为（4,0）,点

E是直线y=x+4上的一个动点，若NEA2=/AB。，则点E的坐标为.

【分析】分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE〃BO,容易求得E点坐

标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为(a,a+4),过AE作直线交无轴于点C,可

表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条

件可得到AC=2C,可得到关于。的方程，可求得E点坐标.

【解答】解：当点E在y轴右侧时，如图1,连接AE,

'：ZEAB^ZABO,

：.AE//OB,

VA(0,8),

点纵坐标为8,图1

又E点在直线y=x+4上，把y=8代入可求得x=4,

点坐标为(4,8)；

当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交无轴于点C,如图2,

设E点坐标为(a,a+4),设直线AE的解析式为

z_a-4

把A、E坐标代入可得,解得甘二一，

Iak+b=a+4,_o

直线AE的解析式为y=*lx+8,令y=0可得生生x+8=0,解得x=&

aa4-a

；.c点坐标为(举0),

4-a

.,.AC2=OC2+OA2,即AC2=(8a)2+82,

4-a

,:B(4,0),

2

：.BC=(4-8a.)2=(8a)2_64a+16;

4-a4-a4-a

ZEAB=ZABO.

：.AC=BCf

2222

：.AC=BC,即(-8a.)+8=(.8a)2_64a+16)

4-a4-a4-a

解得a=-12,贝!Jq+4=-8,

・・・E点坐标为（-12,-8）.

方法二：设C（m，0）,

9：ZCAB=ZCBAf

：.AC=BCf

222

（4-m）=m+8f

解得m=-6,

・,・直线AE的解析式为y=£+8,

3

’4

由厂铲+8,解得卜=72.

y=x+4ly-8

：.E（-12,-8）.

综上可知，E点坐标为（4,8）或（-12,-8）.

故答案为：（4,8）或（-12,-8）.

3.如图，直线AB：>=旦叶2与坐标轴交于A、8两点，点C与点A关于y轴对称.C£）_L

42

X轴与直线AB交于点。.

（1）求点A和点B的坐标；

（2）点尸在直线C。上运动，且始终在直线A8下方，当AAB尸的面积为2时，求出点

2

P的坐标；

（3）在（2）的条件下，点。为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为

腰的等腰三角形的点Q的坐标.

【分析】（1）对于y=Sx+旦，令x=0,则y=3,令y=0,解得尤=-2,即可求解；

422

（2）由△ABP的面积即可求解；

（3）求出线段AP、AQ.PQ的长度，再分AP=PQ、AP=AQ两种情况，分别求解即可.

【解答】解：（1）对于y=3x+3,令x=0,则丫=旦，令y=0,解得x=-2,

422

故点A、8的坐标分别为（-2,0）、（0,旦）；

2

设直线AP的表达式为：y=k（x+2）,

当x=0时，y—2k,当x=2时，y—4k,

即点H、尸的坐标分别为（0,2k）,（2,4k）,

则4482的面积=&.产+54/珥4=上><4。乂8//=!X4乂（―-2k）=9,

2222

解得：k=--,

8

二点尸的坐标为（2,-—）；

2

（3）由（2）知，点尸的坐标为（2,一旦），点A（-2,0）,设点。（2,f）,

2

由勾股定理得：AP2=（2+2）2+（3）2=16+9,

24

同理可得：PQ2=（f+3）2,AQ2=16+t2,

2

当时，即16+9=G+2）2,解得尸-3+\厢或-3-473,

4222

故点。的坐标为（2,3气幅）或（2,-3-V73

22

当AP=AQ时，即16+9=16+P,解得片旦（负值已舍去），

42

故点。的坐标为（2,3）；

2

综上，点。的坐标为：（2,土匝）或（2,土匝）或（2,3）.

222

类型四一次函数与全等三角形

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=_/x+3与x轴交于点A，与y轴交于点2，将

△A08沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记作点C,折痕与y轴交点交

于点D,则点C的坐标为,点D的坐标为.

L-

【分析】由折叠的性质得到三角形AB。与三角形4CD全等，利用全等三角形的对应边

相等得到BD=CD,AB=AC,由一次函数解析式求出A与8坐标，确定出04与0B的

长，由2£>+。。=03,OC+OA^AC,在直角三角形COD中，设C£>=x,表示出0，

利用勾股定理求出x的值，即可确定出C与。坐标.

【解答】解:由折叠的性质得：△AD8g△AOC,

：.AB=AC,BD=CD,

对于直线>=-m+3,令尤=0,得到y=3；令y=0,得到x=4,

4

.•.0A=4,02=3,

在RtZXAOB中，根据勾股定理得：AB=5,

：.OC=AC-OA=AB-0A=5-4=1,即C(-1,0)；

在RtACOD中，设CD=BD=x,则0。=3-尤，

根据勾股定理得：/=(3-X)2+1,

解得：尤=互，

3

：.OD=^,即D(0,A).

33

故答案为：(T,0)；(0,

3

2.如图，正方形ABCD的边长为2,A为坐标原点，和分别在x轴、y轴上，点E

是BC边的中点，过点A的直线交线段。C于点R连接ER若平分/。正£,

则k的值为

【分析】分两种情况：①当点尸在。C之间时，作出辅助线，求出点尸的坐标即可求出

上的值；②当点F与点C重合时求出点尸的坐标即可求出人的值.

【解答】解：①如图，作AGLEE交EE于点G,连接AE,

：.DA=AG=2,

在RTAADF和RT4AGF中,

[DA=AG,

lAF=AF，

:.RTLADF/RTAAGF(HL),

:.DF=FG,

:点E是BC边的中点，

：.BE=CE=1,

AE=VAB2+BE2=疾，

•'-G£=VAE2-AG2=1,

.,.在RTZ\PCE中，EF2^FC2+CE2,即(DF+l)2=(2-£>F)2+l,解得。尸=Z,

3

...点尸(2,2),

3

把点尸的坐标代入y=fcr得：2=2k,解得k=3；

②当点产与点C重合时,

•.•四边形ABC。是正方形，

.•.4B平分/£)五£,

：.F(2,2),

把点尸的坐标代入得：2=2%,解得k=1.

故答案为：1或3.

3.如图，直线y=fcv+6交y轴于点A,交x轴负半轴于点2,且。4=308,尸是直线A8

上的一个动点，点C的坐标为(6,0),直线PC交y轴点于。，。是原点.

(1)求k的值；

(2)直线上是否存在一点P,使得△OC£>与△AOB是全等的？若存在，请求出点尸

的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)当点尸在射线8A上运动时，连接OP,是否存在点P,使得△OPC为等腰三角形？

【分析】(1)在、=区+6中，可得A(0,6),OA=6,又。4=3。8,即知。8=2,B(-

2,0),用待定系数法可得左的值是3；

(2)由OC=6=OA,ZCOD=90°=ZAOB,可知△OCD与△AOB全等，只需OO=

'1

OB=2,即。(0,2),用待定系数法得直线C。解析式为产-lx+2,解|产万'+2即

3

y=3x+6

可得点P的坐标为(-旦，或)；

55

(3)设P(/,3什6),且t2-2,有。尸=^+(3/+6)2,OC2=36,B=(f-6)2+

(3f+6)2,分三种情况列方程即可得到答案.

【解答】解：(1)在>=丘+6中，令x=0得y=6,

AA(0,6),OA=6,

•••04=303,

：.OB=2,8(-2,0),

把B(-2,0)代入>=依+6得：

0=-2k+6,

解得k=3；

的值是3；

(2)存在一点尸，使得△OC£>与△AOB是全等的，理由如下:

VC(6,0),

；.OC=6=OA,

VZCO£>=90°=ZAOB,

...△OC。与△AOB全等，只需。£>=02=2,

：.D(0,2),

设直线CD解析式为y=g+2,把C(6,0)代入得：

0=6m+2,

解得m=-A,

3

・,・直线CD解析式为y=-AX+2,

3

由(1)知k=3,

.,・直线AB解析式为y=3x+6,

,(6

由尸石x+2得5

c._12

y=3x+6

D

...点尸的坐标为(-旦，卫)；

55

(3)存在点尸，使得△OPC为等腰三角形，理由如下：

设P。，3/+6),且/2-2,

'：0(0,0),C(6,0),

...OP2=/2+(3Z+6)2,0。2=36,cp2=G-6)2+(3什6)2,

①当OP=OC时，r+(3f+6)2=36,

解得£=0或k-3.6(舍去)，

：.P(0,6)；

②当。尸=CP时，?+(3什6)2=(L6)2+(3什6)2,

解得t=3,

：.P(3,15)；

③当OC=CP时，36=G-6)2+(3f+6)2,

方程无实数解；

综上所述，尸的坐标为(0,6)或(3,15).

综合练习

1.已知：如图，直线y=-x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，从点尸(2,0)射出的

光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所

经过的路程是()

C.35/3D.4+2亚

【分析】由题意由题意知y=-x+4的点A(4,0),点B(0,4),也可知点尸(2,0),

设光线分别射在A3、上的/、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反

射角等于入射角，则ZPNO^ZBNM.由尸M_LOA而求得.

【解答】解：由题意知y=-x+4的点A(4,0),点3(0,4)

则点P(2,0)

设光线分别射在A8、08上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点,

根据反射规律，则ZPNO=ZBNM.

作出点尸关于OB的对称点Pi,作出点尸关于AB的对称点P2,则：

ZP2MA=ZPMA=ZBMN,ZP\NO=ZPNO=ZBNM,

：.Pi,N,M,尸2共线,

"：ZPiAB^ZPAB^45°,

即P2A±OA；

PM+MN+NP=P?M+MN+P1N=PiP2=Jp]A2+P2A2=2，/10.

故选：A.

2.如图，四边形042c是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合,

点A在x轴上，点C在y轴上.0C=5,点E在边BC上，点N的坐标为（3,0）.过点

N且平行于y轴的直线MN与防交于点现将纸片折叠，使顶点C落在上的点G

处，折痕为。E.

（1）点G的坐标为；

（2）求折痕OE所在直线的表达式；

（3）若直线/：y=:加+〃平行于直线OE,且与长方形有公共点，请直接写出n

的取值范围.

【分析】（1）根据折叠的性质求出OG,根据勾股定理计算求出GN,得到点G的坐标;

（2）设CE=x，根据勾股定理求出x,求出点E的坐标，利用待定系数法求出OE所在

直线的解析式；

（3）根据平行的性质求出血，分别把点M、点A的坐标代入解析式求出〃，得到答案.

【解答】解：（1）由折叠的性质可知，OG=OC=5,

由勾股定理得，GN=QQ2_Q2=^^2_g2=4,

.♦.点G的坐标为（3,4）,

故答案为：（3,4）；

（2）设CE=x,则EM=3-x,

由折叠的性质可知，EG=CE=x,

:GN=4,

：.GM=5-4=1,

在RtZ\£MG中，EG2=EM2+MG2,即_?=（3-x）2+12,

解得,尤=5,

3

...点E的坐标为（5,5）,

3

设。E所在直线的解析式为：y=kx,

则包1=5,

3

解得,k=3,

...0E所在直线的解析式为：y=3x；

(3),直线/：y=mx+〃平行于直线0E,

.*.771=3,即直线I的解析式为y=3x+n,

当直线/经过点“(3,5)时，5=3X3+n,

解得，n=-4,

当直线/经过点A(5,0)时，0=3X5+”，

解得，〃=-15,

.,.直线/与长方形有公共点时，-15W/W-4.

3.如图，一次函数尸息+6的图象经过点A(0,5),并与直线y=/x相交于点2,与x轴

相交于点C,其中点B的横坐标为2.

(1)求8点的坐标和左，6的值；

(2)证明直线>=丘+》与直线y=上互相垂直；

(3)在无轴上是否存在点P使△E48为等腰三角形？若存在，请直接写出点尸坐标；若

不存在，请说明理由.

【分析】(1)因为3是直线y=lx上一点，且8的横坐标为2,代入解析式中，求得2

'2

点坐标，再将A,8两点坐标代入到直线y=fcv+b中，求得上和b的值；

(2)根据勾股定理求出OB、AB的值，利用勾股定理的逆定理即可得出结论；

(3)因为为等腰三角形，且A,8两点坐标已知，尸是x轴上一动点，故要分三

类讨论，即8A=BP,AP=AB,PA=PB,画出图形，求解出P点坐标.

【解答】解：(1)令尤=2,则>=」工=1,

2

的坐标为(2,1),

将A,8两点坐标代入到直线中得,

f2k+b=l

lb=5

解得，k=-2,

lb=5

••.8的坐标为(2,1),k=-2,b=5；

(2)证明：•.,点A(0,5),B(2,1),

,•OA=5,OB=Q+12=AB=J(5-1)22=2<\/^,

V52=(泥)2+(2巡2),

.\OA2=OB2+AB2,

AZABO=90°,

直线y=kx+b与直线