中考数学一轮复习：几何图形的初步（练习）（原卷版）

第15讲几何图形的初步

目录

题型过关练N

题型01判断几何体的截面形状题型17求一个角的余角、补角

题型02判断几何体的展开图题型18与余角、补角有关的计算

题型03由展开图计算几何体的表面题型19同（等）角的余（补）角相等

积或体积题型19点到直线的距离

题型04正方体展开图的识别题型20利用对顶角、邻补角的性质求

题型05补一个面使其成为正方体的解

展开面题型21判断同位角、内错角、同旁内

题型06正方体相对两面上的字或图角

案题型22利用平行线的判定进行证明

题型07与七巧板有关的计算题型23平行线判定的实际应用

题型08画直线、射线、线段题型24由平行线的性质求角度

题型09直线的性质题型25由平行线的性质解决折叠问

题型10线段的性质题

题型11与线段中点有关的计算题型26平行线的性质在实际生活的

题型12两点之间的距离应用

题型13度、分、秒的换算题型26利用平行线的性质解决三角

题型14钟面角的计算板问题

题型15方向角的表示题型27根据平行线性质与判定求角度

题型16角平分线的相关计算题型28根据平行线性质与判定证明

真题实战练

题型过关练

题型01判断几何体的截面形状

1.（2022•江西萍乡•校考模拟预测）如图所示，将立方体沿ABDC所在平面截取几何体4BCD,则这个几何

体的平面展开图是（）

D

2.（2022・四川南充・统考三模）如图，用一个平面去截一个长、宽、高分别为5,4,3的长方体，当截面是

矩形时，截面周长最大为（）

A.18B.20C.24D.25

3.（2022・贵州贵阳•统考中考真题）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（）

（1）若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是;

（2）若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是；

（3）若用一个平面去截这个圆柱，使截得的截面是长方形且长方形的截面面积最大，请写出截法，并求出此

时截面面积.

题型02判断几何体的展开图

1.（2021•北京・统考中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

B.圆柱C.圆锥D.三棱柱

2.（2021・浙江.统考中考真题）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后

铺平，则得到的图形可能是（）

3.（2021•江苏扬州•统考中考真题）把图中的纸片沿虚线折叠,可以围成一个几何体，这个几何体的名称是

A.五棱锥B.五棱柱C.六棱锥D.六棱柱

4.（2021•浙江绍兴・统考一模）如图，已知圆柱底面的直径BC=8,圆柱的高2B=10,在圆柱的侧面上,

过点力，C嵌有一圈长度最短的金属丝.

（1）现将圆柱侧面沿48剪开，所得的圆柱侧面展开图是

A.

（2）求该长度最短的金属丝的长.

题型03由展开图计算几何体的表面积或体积

1.（2023•浙江杭州•统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形.根据图中标示的长

度，求此长方体的体积为

2.（2022•山东青岛•青岛大学附属中学校考一模）如图，以边长为6Wcm的正六边形纸板的各顶点为端点,

在各边上分别截取4cm长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形.把

它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为cm3.

3.（2021・辽宁抚顺・统考一模）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图

1.

图1'图2

（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是;

（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；

（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积.（结果保留根号）

4.（2020•河北邯郸•校考一模）如图（1）是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模

型.

（1）图（2）是根据a,//的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图;

（2）已知/i=4,求a的值和该几何体的表面积.

题型04正方体展开图的识别

1.（2021・广东•统考中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（）

2.（2022•黑龙江绥化•统考中考真题）下列图形中，正方体展开图错误的是（）

3.（2021.浙江金华•统考一模）下列哪个图形不可能是正方体的表面展开图（）

题型05补一个面使其成为正方体的展开面

1.（2022.河北承德・统考二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正

方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（）

C.③D.④

2.（2021.河南洛阳・统考二模）如图，在有序号的方格中选出一个画出阴影，使它与图中五个有阴影的正方

形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是（）

B.只有①④C.只有①②④D.①②③④都正确

3.（2021•浙江杭州.一模）己知图1的小正方形和图2中所有的小正方形都全等，将图1的小正方形安放在

图2中的①、②、③、④的其中某一个位置，放置后所组成的图形是不能围成一个正方体的.那么安放的

位置是（

图1

A.①D.④

题型06正方体相对两面上的字或图案

1.（2021.河北唐山•统考三模）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为

相反数.则

X

（1）%的值为

（2）久2-y的值为

2.（2022•陕西宝鸡・统考模拟预测）如图是正方体的一种展开图，则原正方体中与“真”所在面的对面所标的

字是_____

3.（2021.河北唐山.统考一模）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数.

(2)将2a(a—b)+b(2a—6—c)化简，并代入求值.

4.（2021.河北邢台•统考一模）把如图所示的正方形展开,得到的平面展开图可以是（）

5.（2022•河南洛阳•统考三模）如图是一个正方体，下列哪个选项是它的展开图（）

6.（2021•吉林长春・东北师大附中校考二模）将一个小正方体按图中所示的方式展开，则在展开图中表示棱

。的线段可以是（）

A.线段CDB.线段EFC.线段4DD.线段BC

题型07与七巧板有关的计算

1.（2020•浙江湖州•统考中考真题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地.由边长为2的正

方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行

四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）

D.2和2

2.（2022•江西赣州•统考三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了

我国古代劳动人民的智慧，如图1,将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正

方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式母牛的是（）

A.S5+S7=S?B.2s6=S3C.S7=衿D.S7=S3

3.（2021•浙江金华•统考三模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如图

所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（）

A.乙＞丙＞甲＞丁B.乙＞甲＞丙〉丁

C.丙＞乙＞甲＞丁D.丙＞乙＞丁＞甲

4.（2022•湖南株洲•统考二模）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术,

经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）.图

①是由边长为8cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形.该

“七巧板”中7块图形之一的正方形（阴影部分）面积为cm2.

5.（2022•陕西西安•校考二模）如图（1）是边长为8cm的正方形纸片做成的七巧板，用这副七巧板拼成图

6.（2020・湖北黄石•校考模拟预测）动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑

料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1）,后来又用它们拼出了XYZ等字母

模型（如图2、图3、图4）,每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：

（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；

（2）图3中，只画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板，并填上标号；

题型08画直线、射线、线段

1.（2022•河北秦皇岛•统考一模）如图，NAOB的一边经过的点是（）

A.P点B.。点C.M点D.N点、

2.（2022•河北邢台•校考三模）如图，已知力，B,C三点，画直线4B,画射线力C,连接BC,按照上述语句

画图，下列正确的是（）

3.（2020•浙江杭州•模拟预测）如图，已知平面上四个点按下列要求画出图形:

.D

A

BC

（1）画线段BD和线段BD的延长线；

（2）线段4c和线段DB相交于点0；

（3）连结线段BC,反向延长线段BC.

题型09直线的性质

1.（2022・广东深圳.模拟预测）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，

说法正确的是（）

A.学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”

B.车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”

C.射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”

D.地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”

2.（2023•陕西西安・模拟预测）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这

样做的数学道理是（）

A.两点之间线段最短

B.两点确定一条直线

C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

题型10线段的性质

1.（2022•江苏扬州・统考一模）下列三个日常现象:

②道路改道③木条固定

其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（）

A.①B.②C.③D.②③

2.（2021•浙江台州•统考中考真题）小光准备从A地去往2地，打开导航、显示两地距离为37.7km,但导航

提供的三条可选路线长却分别为45km,50km,51km（如图）.能解释这一现象的数学知识是（）

京用修线Hit灯少收皆多方工三

56分钟59分钟59分钟

4法里5该2里51公里

A.两点之间，线段最短B.垂线段最短

C.三角形两边之和大于第三边D.两点确定一条直线

3.（2023•北京海淀•统考一模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一

点P,向两个小区铺设电缆.下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（）

题型11与线段中点有关的计算

1.（2023・浙江•模拟预测）如图，A,B两地相距1200m,小车从A地出发，以8m/s的速度向2地行驶，中

途在C地停靠3分钟.大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经。地（在A地与C地之间）

时沿原路返回2点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点.已

知：AC=3BC,CD=100m,则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（）

I111

ADCB

A.2B.3C.4D.5

2.（2023•河北秦皇岛•统考一模）如图，数轴上的三个点A,B,C分别表示实数a,b,c.

-5^C_0Ai>

（1）如果点C是AB的中点，那么a,b,c之间的数量关系是,

（2）比较6-2与c+1的大小，并说明理由；

（3）化简：—|a—2|+|d+1|+|c|.

3.（2023•山西太原•山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c.

b

（1）用直尺和圆规作出一条线段AB,使它等于a+c-6.（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕

迹）

（2）若a=6,6=4,c=7,点C是线段AB的中点，求4C的长.

4.（2023•河北衡水•校联考模拟预测）如图，已知数轴上点4,B对应的数为-5,1,点C为4B的中点，点P为

数轴上任意一点，且对应的数为7H.

AB

III

-5

⑴若点尸为原点，在图中标出点尸的位置，并直接写出点C对应的数；

（2）若点P在8的右侧且满足ZP=3PB,求-5,1与zn这三个数的和.

题型12两点之间的距离

1.(2020•河北唐山•统考一模)4B、C、。四个车站的位置如图所示.

ABeD

k---a+b---->+<——2a-b->1

<-------------3a+2b-------------------►

(1)4、。两站的距离为；

(2)C、D两站的距离为；

(3)若a=3,C为力。的中点，求6的值.

2.(2020•浙江杭州•模拟预测)如图所示，M是线段45上一定点，AB=12cm,C,。两点分别从点M,B

出发以lcm/s,2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(点C在线段AM上，点。在线段

BM±).

(1)当点C,。运动了2s时，求4C+MD的值.

(2)若点C,。运时，总有=24C,则4M=.

(3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN—BN=MN,求翳的值.

«--<-----

ACMDB

3.(2020•河北・统考模拟预测)如图，在数轴上有A,B两点，点A在点B的左侧.已知点B对应的数为2,

点A对应的数为a.

(1)若a=-l,则线段AB的长为；

(2)若点C到原点的距离为3,且在点A的左侧，BC-AC=4,求a的值.

—I------------------------L^.

AB

4.(2021•河北邯郸•一模)如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A,B,C把数轴分成①②③④四部

分，点A,B,C对应的数分别是a,b,c,已知6c<0.

II1

ABC

⑴请直接写出原点在第几部分；

(2)若AC=5,BC—3,b--1,求a；

(3)若点C表示数3,数轴上一点。表示的数为d,当点C、原点、点D这三点中其中一点是另外两点的中

点时，直接写出d的值.

题型13度、分、秒的换算

1.（2021.内蒙古呼伦贝尔・统考中考真题）74。19,30"=°.

2（2023•江苏盐城•校考一模）已知乙4=65°30\则乙4的补角=°.

3.（2020•浙江湖州•统考模拟预测）计算：40°-15°30,=.

题型14钟面角的计算

1.（2019•广西梧州•统考中考真题）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

2.（2022.安徽安庆・统考二模）如图表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A,且

当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米，如图①.若此钟面显示3点45

分时，A点距桌面的高度为18厘米，如图②.则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为（）厘米

A.22-3V3B.16+TTC.22D.18+4V3

3.（2018•山东德州•校联考一模）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是（）

A.5：20-5：26B.5：26-5：27C.5：27-5：28D.5：28-5：29

题型15方向角的表示

1.（2022.河北石家庄.统考一模）如图，嘉琪从点A出发，沿正东方向前进5m后向左转30。，再前进5m后

又向左转30。，这样一直走下去.以下说法错误的是（）

/r

/30十一东

A^<30°

A.第二次左转后行走的方向是北偏东30。B.第六次左转后行走的方向是正西方向

C.第八次左转后行走的方向是南偏西60。D.嘉琪第一次回到点A时，一共走了60根

2.（2022•河北石家庄•校考一模）A,B,C三地两两的距离如图所示，8地在A地的正西方向，下面说法不

正确的是（）

A.C地在3地的正北方向上B.A地在8地的正东方向上C.C地在A地的北偏西60。方

向上D.A地在C地的南偏东30。方向上

3.（2023•河北秦皇岛•统考二模）如图，有4B,C三地，B地在4地北偏西36。方向上，AB1BC,贝地在C地

的（）

A.北偏西54。方向B.北偏东54。方向C.南偏西54。方向D.南偏西90。方向

题型16角平分线的相关计算

1.（2021.山东济南.统考中考真题）如图，AB//CD,乙4=30。，D4平分NCDE,贝UNDEB的度数为（）

A.45°B.60°C.75°D.80°

2.（2020・四川乐山•中考真题）如图,E是直线C力上一点，^FEA=40°,射线EB平分NCEF,GE1EF.贝|

乙GEB=()

A.10°B.20°C.30°D.40°

3.（2018・四川南充・统考一模）如图，已知OC是/A08内部任意的一条射线，OM,ON分别是/AOC、ZBOC

的平分线.

(1)若/AOM=20。，/BON=30°,求/MON的度数;

⑵若/AOB=a,求NMON的度数.

4.（2020•浙江杭州•模拟预测）已知。是直线4B上一点，将一个直角三角尺。MN按图①方式放置，直角边ON

在直线4B上，另一条直角边0M与力B的夹角"0M=90。，射线0C在〃。M内部.

①②

（1）如图②，将三角尺。MN绕着点。顺时针旋转，当。M平分NBOC时，试判断乙40N与NCON的大小关系,

并说明理由.

（2）若N40C=60。,三角尺OMN绕点。顺时针旋转一周，每秒旋转5。，旋转时间为t,则当t为何值时NCON=

乙MOB?

（3）在（2）的条件下，在三角尺OMN绕点0顺时针旋转一周的过程中，NCON+/MOB的值能否为定值?

若能，求t的取值范围.

题型17求一个角的余角、补角

1.（2021・广西百色.统考中考真题）已知/01=25。30,则它的余角为（）

A.25°30,B.64°30,C.74°30,D.154030,

2.（2019・甘肃兰州•一模）一个角的补角是150。，则这个角的余角等于（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

3.（2022•广东东莞.东莞市东城实验中学校联考一模）若一个角的余角是25。,那么这个角的度数是.

4.（2022•江苏苏州・苏州中学校考二模）（1）已知/01=35。19，，则Na的余角等于____；

（2）已知/p的补角为120°3746",Zp=°.

题型18与余角、补角有关的计算

1.（2021.陕西西安•校考模拟预测）如图，乙4。。与“。B互余，“OB=15。,。。平分乙4。。，贝吐8。。的度

数是（）

A.75°B.60°C.65°D.55°

2.（2023•广东河源•三模）任意一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于

3.（2022•云南昆明・云大附中校考模拟预测）若41与42互补，43与N1互余，z2+Z.3=120°,贝—

zl=.

题型19同（等）角的余（补）角相等

1.（2020•北京房山•统考一模）一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足/a与/p相等的摆放方式是

2.（2023・福建厦门•厦门一中校考一模）如图，在直角AABC中，AACB=90°,CD1于点。，贝Usin/1=

.BCDACAD门BD

A.—D.—C.—L）.—

ACABACBC

3.将一副三角板按如图方式摆放，/I与N2不一定互补的是（）

4.（2020•黑龙江大庆•统考中考真题）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若乙4。。=108。,

贝UzTOB=

D

O

题型19点到直线的距离

1.（2022•山东淄博•模拟预测）如图，在△2BC中，4。=90。,4。平分NB4C交BC于点。，若4。=13,AC=12,

则点。到48的距离为（）

2.（2023下广东深圳•九年级校联考阶段练习）如图，4ABe=AADB=90°,DA=DB,若BC=2,AB=4,

则点。到AC的距离是（）

A

A5>/5n6展c4V5n5V5

A.D.C.U.

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3.（2021.山东滨州.二模）阅读下面材料：

我们知道一次函数y=fcc+b（际0,k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成At+By+C

=0（A/）,A、B、C是常数）的形式，点P（xo,双）到直线Av+2y+C=0的距离可用公式计

算.

例如：求点尸（3,4）到直线y=-2尤+5的距离.

解：Vy=-2x+5

：.2x+y-5=0,其中A=2,B=l,C=-5

点尸（3,4）到直线尸-2x+5的距离为：二=也；了。：。"2'弯笃-5|=1=4

JVA2+B2V22+l2V5

根据以上材料解答下列问题:

y=x

（1）求点。（-2,2）到直线3x-y+7=0的距离；

（2）如图，直线小y=-x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线%，求这两条平行直线之间的距离.

（3）若将G绕其与y轴的交点逆时针旋转90度与4相交，直接写出％大于。时，尤的取值范围

题型20利用对顶角、邻补角的性质求解

1.（2022.北京.统考中考真题）如图，利用工具测量角，则N1的大小为（）

2.（2020•贵州安顺・统考中考真题）如图，直线a,6相交于点0,如果41+42=60。，那么N3是（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

3.（2021•河南•统考中考真题）如图，a“b,Z1=60°,则42的度数为（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

4.（2020•湖北黄冈•中考真题）己知：如图，418c=75°,“DF=135°,则NBCD=度.

题型21判断同位角、内错角、同旁内角

1.（2021.广西百色.统考中考真题）如图，与N1是内错角的是（）

Z3C.Z4D.Z5

2.（2018•浙江金华・中考真题）如图,ZB的同位角可以是（)

Z2C.Z3D.Z4

题型22利用平行线的判定进行证明

1.(2022.湖北武汉・校考三模)如图,已知4D1BC,EFXBC,Zl=Z2.

(1)求证：EF||AD；

(2)求证：ABAC+Z.AGD=180°.

2.（2022•湖北武汉•校考模拟预测）如图，AB//CD,AM■平分/BAE,FG平分/AFC.

（1）求证：AM//GF-,

（2）若/84M=55。，求NC7西的度数.

3.（2022•安徽合肥・合肥38中校考一模）如图，在△ABC中，AB=4C,点E在边8C的延长线上，以AC

为边作△2CD,使。4=DC,且点8、。在AC的两侧，连接AE交CD于点巴若乙4DC=NB4c.

(1)求证：ADWBE；

(2)求证：AC2=BC-CD-,

⑶若£M=10、CE=2.5,S.AC2=2CF-AD,求AE的长;

题型23平行线判定的实际应用

1.（2020•浙江金华・统考中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘4B的垂线a和6,得到a〃6,理由

是（）

A.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行

B.在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线

C.连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

2.（2019・辽宁抚顺・九年级统考阶段练习）如图，将木条a,b与c钉在一起，41=85。，42=50。，要使木

条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）

C.35°D.50°

3.（2021.山东烟台.统考中考真题）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所

示,在井口A处立一根垂直于井口的木杆从木杆的顶端5观察井水水岸。，视线80与井口的直径4C交

于点E,如果测得48=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为米.

题型24由平行线的性质求角度

1.（2022•辽宁鞍山•统考中考真题）如图，直线a||b,等边三角形ABC的顶点C在直线b上，Z2=40°,则41的

度数为（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

2.（2022•辽宁・统考中考真题）如图,直线m\\n,4。，3。于点。，Zl=30°,则N2的度数为（）

C.120°D.110°

3.（2022•甘肃平凉・模拟预测）如图，将平行四边形A8CQ沿对角线AC折叠，使点5落在点夕处，若41=

Z2=36°,乙B为()

A.36°B.144°C.108°D.126°

4.（2021•山东临沂•统考中考真题）如图，在中，乙4EC=40。，CB平分"CE,则乙4BC的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

题型25由平行线的性质解决折叠问题

1.（2022.四川达州.模拟预测）如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果乙1=140。,

B.120°C.110°D.100°

2.（2023•湖南娄底•统考模拟预测）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点2落在边BC上的点F处,

若48=50°,贝此引用的度数为

A

3.（2023•广东湛江•统考二模）如图，将长方形纸片48CD折叠，使点。与点2重合，点C落在点C，处，折

痕为EF.若乙4BE=20。，则NEFC，的度数为.

4.（2023•河北秦皇岛•统考二模）如图1,41=55。，将矩形纸片沿虚线第一次折叠得到图2,再沿图2中

的虚线进行第二次折叠得到图3（点。在MN上），则N2的度数为.

题型26平行线的性质在实际生活的应用

1.（2023.河北石家庄.统考模拟预测）如图，烧杯内液体表面4B与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射

向空气时发生折射，光线变成FH,点G在射线EF上.已知NHFB=20°,乙FED=56°,则ZGFH=（）

C.38°D.56°

2.（2022•山东济南•校考一模）图1是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成.工作时，可将平板

电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上.图2是其侧面结构示意图，已知托板长200mm,支撑板C8长

80mm,当NA8C=130。，/88=70。时，则托板顶点A到底座所在平面的距离为（）（结果精确到

1mm）.（参考数据：sin70°~0.94,cos70°=0.34,tan70°~2.75,缶1.41,庠1.73）.

图2

A.246mmB.247mmC.248mmD.249mm

3.（2022•浙江温州.统考三模）如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道

平行.若第一个弯道处NB=140°,则第二个弯道处/C也为140°,能解释这一现象的数学知识是（）

A.两直线平行，内错角相等.B.内错角相等，两直线平行.

C.两直线平行，同位角相等.D.同位角相等，两直线平行.

4.（2023・四川成都•统考二模）为测量校园某一块路线指示牌的高度，小明绘制了该指示牌支架侧面的截面

图如图所示，并测得FG=1.3m,EF=lm,/.EFG=110°,UEF=70°,四边形ABC。为矩形底座，且48=

10cm.请帮助小明求出指示牌最高点G到地面BC的距离.（结果精确到1cm,参考数据：sin70°«0.940,

cos70°«0.342,tan70°~2.747,sin40°~0.643,cos40°«0.766,tan40°~0.839)

G

题型26利用平行线的性质解决三角板问题

1.（2022•福建福州•福建省福州第十九中学校考模拟预测）已知直线加忻，将一块含45。角的直角三角板4BC

按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若41=25。，贝吐2的度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

2.（2023•河南•河南省实验中学校考三模）一副三角板如图所示摆放，^BAC=/.DAE=90°,^ACB=60°,

AAED=45°,BCIIDE,贝ikBAD的度数为（）

C.25°D.30°

3.（2023下•广西南宁•七年级三美学校校考阶段练习）如图1,把一块含30。的直角三角板4BC的BC边放置

于长方形直尺DEFG的EF边上.

（图1）（图2）（备用图）

（1）如图2,现把三角板绕B点逆时针旋转n。，当0<90,且点C恰好落在DG边上时，请直接写出

41=°,Z2=。（结果用含"的代数式表示）；

⑵在（1）的条件下，若N2恰好是41的9倍，求”的值.

（3）如图1三角板48C的放置，现将射线BF绕点B以每秒2。的转速逆时针旋转得到射线同时射线Q2绕

点。以每秒3。的转速顺时针旋转得到射线QN,当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，

设旋转时间为t（s）.在旋转过程中，是否存在BM||QN若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.

题型27根据平行线性质与判定求角度

1.（2023.江苏扬州•校联考二模）某同学制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新

设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90。刻度线与三角板的底边平行.将用细线和铅锤做成

的重锤线顶端固定在五角器中心点。处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量

角器：对应的刻度为32。，那么被测物体表面的倾斜角a为（）

A.24°B.32°C.36°D.58°

2.（2023•河南周口•校联考二模）已知一个零刻度落在点A的量角器（半圆。）的直径为48,一等腰直角三

角板绕点8旋转.

（1）如图1所示，当等腰直角三角板的斜边交半圆于C点，一直边交半圆于。点，另一直边交半圆于E点,

若点C在量角器上的读数为25°,求此时点E在量角器上的读数；

(2)如图2所示，当点C、。在量角器上的读数a、£满足什么关系时，直角边与半圆。相切于点。

题型28根据平行线性质与判定证明

1.(2023•河北秦皇岛•统考一模)如图，将一副直角三角板如图摆放，NGEF=60。/MNP=45°,ZBEF=75。.

(2)在不标字母的情况下，找出与乙4EG相等的角是.

2.(2019•广东中山•统考二模)将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板力BC的直角顶点是点4,AB=

AC=3,直角板ED尸的直角顶点。在BC上，且CD:DB=1:2,ZF=30°.三角板ABC固定不动，将三角板EDF

绕点。逆时针旋转，旋转角为a(00<a<90°).

图2图3

(1)当戊=时，EF//BC；

(2)当a=45。时，三角板EDF绕点。逆时针旋转至如图2位置，设DF与4C交于点M,DE交2B于点N,求

四边形4VDM的面积.

（3）如图3,设CM=x,四边形ANDM的面积为y,求y关于光的表达式（不用写工的取值范围）.

3.（2021.江苏盐城・统考二模）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中

ZZ）AB=45°,/C4B=30。，点O为斜边A8的中点，连接CD交于点E.设A8=l.

（1）求证：A、B、C、。四个点在以点。为圆心的同一个圆上;

（2）分别求△ABC和△A8。的面积；

（3）过点。作。/〃BC交A3于点儿求OE：。尸的比值.

C

D

真即实战练N

1.（2022.河北•统考中考真题）①〜④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6

个小正方体构成的长方体，则应选择（

④

D.①④

2.（2023・吉林长春.统考中考真题）下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字.若多面体的底

面是面③，则多面体的上面是（）

②③④

⑤|⑥|

A.面①B.面②C.面⑤D.面⑥

3.（2023・山东・统考中考真题）如图是一正方体的表面展开图.将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的

顶点是（

K

A.A点B.B点、C.C点D.£)点

4.（2023•山东青岛・统考中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,其展

开图如图①所示.在一张不透明的桌子上，按图②方式将二个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何

C.33D.34

5.（2022•浙江金华・统考中考真题）如图，圆柱的底面直径为48,高为4C,一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧

面爬到2处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）

A.B.D.

6.（2022.江苏徐州•统考中考真题）如图,已知骰子相对两面的点数之和为7,下列图形为该骰子表面展开

图的是（）

7.（2022・贵州六盘水•统考中考真题）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（）

C.③D.④

8.（2022・四川巴中•统考中考真题）七巧板是我国的一种传统智力玩具,下列用七巧板拼成的图形是轴对称

图形的是（）

9.（2022•广西柳州・统考中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线

是（）

A.①B.②C.③D.④

10.(2023・北京・统考中考真题)如图，ZXOC=Z.BOD=90°,^AOD=126°,贝！UBOC的大小为()

A.36°B.44°C.54°D.63°

11.（2023•河北・统考中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70。的

方向，则淇淇家位于西柏坡的（）

西柏坡I

I

A.南偏西70。方向B.南偏东20。方向

C.北偏西20。方向D.北偏东70。方向

12.（2023•甘肃武威•统考中考真题）如图1,汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要

文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于

其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面

上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于人射角”.为了探清一口深井的底部情况，运用此原

理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线4B与地面CD所成夹角N4BC=50。时，要使太阳

光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角NE8C=（）

淮

三

季

南

8第

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蒋

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A.60°

13.（20