中考数学难点突破与训练：相似三角形中的旋转型相似模型（含答案及解析）

专题12相似三角形中的旋转型相似模型

【模型展示】

-4

特点

如图，若△A5CS/\AOE,则△A30s△ACE.

结论若4ABC^AADE,则△ABDsAACE.

【题型演练】

一、单选题

1.如图，正方形ABCD中，点厂是BC边上一点，连接AF,以AF为对角线作正方形AEFG,边尸G与正方

形ABC。的对角线AC相交于点//,连接。G.以下四个结论：①NEAB=NGAD；②瓜Cst^GD；③

2AE2=AHAC；@DGLAC.其中正确的个数为（

C.3个D.4个

2.如图，在矩形A8CD中,E是边的中点,BELAC于点尸,连接。R给出下列四个结论:①

@CF^2AF；③DF=DC；@SAABF：S四边形CDEP=2：5,其中正确的结论有（）

C.3个D.4个

二、填空题

3.已知正方形。EFG的顶点F在正方形ABC。的一边AO的延长线上，连结AG,CE交于点H,若AB=3,

DE=拒,则CH的长为.

E

4.如图，正方形ABCD的边长为8,线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE=3,连接BE,以BE为边

作正方形BEFG,M为AB边的中点，当线段FM的长最小时，tanNECB=.

5.如图，在矩形ABC。中，£是AD边的中点，于点F,连接DF,分析下列结论：①）XXEF”匕

②CT=2AP；③DF=DC；④S剪形CDEF=^SAABF,其中正确的结论有（填正确的序号）

6.如图，正方形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AF,以AF为对角线作正方形AEFG,边尸G与AC

相交于点X,连接。G.以下四个结论：

①/EAB=ZBFE=ZDAG；

②△ACCSAOG；

③AH.AC=&AE2;

@DG±AC.

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

2

7.如图，在一个12x13的网格中，点。,42都在格点上，OA=AB=8,点尸是线段AB上的一个动点，

连接。P,将线段OA沿直线。尸进行翻折，点A落在点C处，连接BC,以8C为斜边在直线8C的左侧（或

下方）构造等腰直角三角形BDC,则点尸从A运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为,

线段所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）.

三、解答题

8.【问题发现】如图1,在MAABC中，ZBAC=90°,AB^AC,。为斜边上一点（不与点3,C重合），

将线段A。绕点A顺时针旋转90。得到AE,连接EC,则线段3。与CE的数量关系是,位置关系是

【探究证明】如图2,在RdABC和放△AZJE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,将AAOE绕

点A旋转，当点C,D,E在同一条直线上时，2。与“具有怎样的位置关系，说明理由；

【拓展延伸】如图3,在Rd8。中，ZBCD=90°,BC=2CD=4,过点C作CA_LBO于A.将△AC。绕

点A顺时针旋转，点C的对应点为点尺设旋转角NCAE为a（0°<«<360°）,当C,D,E在同一条直线

上时，画出图形，并求出线段3E的长度.

3

A

图2

点P在对角线8。上,直线A尸交CD于E,PF_LAE交BC于点F,连接AF

交3。于A/.

(1)判断AAPF的形状，并说明理由;

(2)连接ER求EFPM的值.

10.某校数学活动小组探究了如下数学问题:

图1

(1)问题发现：如图1,AASC中，=90°,AB^AC.点尸是底边BC上一点，连接AP,以AP为腰

作等腰Rt^APQ,且NPAQ=90。，连接CQ、则和CQ的数量关系是

(2)变式探究：如图2,AABC中，ZBAC=90°,AB=AC.点尸是腰4B上一点，连接CP,以CP为底边

作等腰Rt^CPQ,连接AQ,判断和A。的数量关系，并说明理由;

(3)问题解决：如图3,在正方形ABC。中，点P是边BC上一点，以。P为边作正方形QPEF,点。是正方

形DPEF两条对角线的交点，连接CQ.若正方形。尸EF的边长为瓦，C2=V2,求正方形ABC。的边长.

11.［问题发现］

4

(1)如图1,在RM48c中，AB=AC,/BAC=90。，点。为3C的中点，以8为一边作正方形8所,

点E与点A重合，已知AACRSABCE.请直接写出线段8E与AF的数量关系；

［实验研究］

(2)在(1)的条件下，将正方形CD防绕点C旋转至如图2所示的位置，连接班，CE,AF.请猜想线段BE

和AF的数量关系，并证明你的结论；

［结论运用］

⑶在(1)(2)的条件下，若AABC的面积为8,当正方形C/)跳'旋转到3,E,尸三点共线时，请求出线

段AF的长.

12.如图1,已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GEA.BC,垂足为点E,GF±CD,垂足为点尸.

(1)证明：四边形CEGF是正方形；

(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角((T<a<45。)，如图2所示，试探究线段

AG与BE之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展与运用：正方形CEGB绕点C顺时针方向旋转a角(0。<01<45。)，如图3所示，当B,E,F三

点在一条直线上时，延长CG交于点X,若AG=9,G8=30,求的长.

图1图2图3

13.如图，AABC和VADE是有公共顶点直角三角形，N54C=m归=90。，点尸为射线BD,CE的交点.

(1)如图1,若AABC和VADE是等腰直角三角形，求证：CP1BD；

5

（2）如图2,若NADE=NABC=30。，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由.

（3）在（1）的条件下，AB=4,AD=3,若把VADE绕点A旋转，当/E4c=90。时，请直接写出PB的

长度

14.一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发

现=且3E2DG.

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形A£FG绕点A按逆时针方向旋转（如图1）,还能得到3E=DG吗？若能，请给出证明，请说

明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2）,

试问当/£AG与的大小满足怎样的关系时，BE=DG；

ApAfi9

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形A£FG和矩形ABCD,AE=2a,AB=2b（如图

AGAD3

3),连接DE,BG.试求。必2+BG?的值（用a,6表示）.

图3

15.在△ABC中，AB^AC,ZBAC^a,点尸是AA8C外一点,连接2尸，将线段8尸绕点尸逆时针旋转a

得到线段PD连接8。，CD,AP.

观察猜想:

图1图2图3

CD-

(1)如图1,当a=6。。时,”的值为,直线。与AP所成的较小角的度数为

类比探究:

CD

(2)如图2,当『9。。时，求出至的值及直线。与AP所成的较小角的度数;

拓展应用:

(3)如图3,当a=90。时，点E,尸分别为AB,AC的中点，点尸在线段小的延长线上，点A,D,尸三

6

点在一条直线上，3。交P尸于点G,CD交AB于点H.若CD=2+0,求BD的长.

16.如图，正方形ABCZ),对角线AC,30相交于。，。为线段。2上的一点，NMQN=90。,点、M、N分

别在直线8C、OC上.

图1图2

(1)如图1,当。为线段。。的中点时，求证：DN+；BM=：BC；

(2)如图2,当Q为线段02的中点，点N在CD的延长线上时,则线段。可、3加、2。的数量关系为

(3)在(2)的条件下，连接MN,交A。、BD于点、E、F,若MB:MC=3:1,NQ=945,求EF的长.

17.如图，以AABC的两边AB、AC分别向外作等边△ABD和等边△ACE,BE与CD交于点P,已知抬=3,

尸8=4,PC=5.

(1)求证：AADC^AABE；

(2)求NDP3的度数及班的长；

(3)若点Q、R分别是等边△ABD和等边"CE的重心(三边中线的交点)，连接A。、AR、QR,作出

图象，求。R的长.

18.在矩形ABCD中，AB:3c=1:2,点〃为AO的中点，点尸为对角线8。的中点，点E、尸分别在边AB、

AD1.,且尸E_L尸尸.

B

7

(1)求F的值.

(2)求证：BE^-AB+2MF.

2

(3)作射线E尸与射线3。交于点Q,若班:/3=3:4,EF=晒,求。。的长.

19.如图，四边形A8CD和四边形AE/G都是正方形，C,F,G三点在一直线上，连接AE并延长交边C。

于点

(1)求证：△MFCs△MCA；

(2)求证△ACps△ABE；

(3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的边长.

20.已知，△ABC中，AB=AC,/BAC=2a。，点D为BC边中点，连接AD,点E为线段AD上一动点，

把线段CE绕点E顺时针旋转2a。得到线段EF,连接FG,FD.

BF

(1)如图1,当NBAC=60。时，请直接写出大的值；

(2)如图2,当/BAC=90。时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正

确的结论，并说明理由；

DF

(3)如图3,当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时券的值最小.最小值是多少？

(用含a的三角函数表示)

21.如图，四边形ABCQ和四边形AEFG都是正方形,连接AF并延长交边CD

于点M.

8

(1)求证：△MFCs△MCA；

(2)求二二的值,

(3)若。M=l,CM=2,求正方形AEFG的边长.

D,M_______C

22.如图，在AA8C中，4B=AC,点。是BC边上的中点，点尸是AC边上的一个动点，延长。P到点E,

使NCAE=/CDE,作NOCG=NACE,其中G点在OE上.

D

图3

(1)如图1,若/8=45。，则一=____；

DG

tri,§

(2)如图2,若N£>CG=30。，—求：谭空=；

DG4S^BC----------

(3)如图3,若/ABC=60。，延长CG至点/，使得MG=GC,连接AM,BM.在点P运动的过程中，探

CP

究：当三的值为多少时，线段AM与。M的长度之和取得最小值？

9

专题12相似三角形中的旋转型相似模型

【模型展示】

.4

特点

如图，ABC^/^ADE,则

结论若AABC^△AOE,则△ABDsAACE.

【题型演练】

一、单选题

1.如图，正方形ABCD中，点厂是边上一点，连接AF,以AF为对角线作正方形AEFG,

边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点连接DG.以下四个结论：①

NEAB=NGAD；@AAFC^AAGD；③2AE?=AN-AC；®DG±AC.其中正确的个数为

【答案】D

【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，NEAB、NGAD与/BAG的和均

ATAp

为90°,即可证明NEAB与NGAD相等;②由题意易得AD二DC,AG=FG,进而可得=，

ADAG

NDAG=NCAF,然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证

AFAC

△HAF-AFAC,则有F=然后根据等量关系可求解；④由②及题意知

AHAF

ZADG=ZACF=45°,则问题可求证.

【详解】解：①:四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

ZEAG=ZBAD=90°

XVZEAB=90°-ZBAG,ZGAD=90°-ZBAG

NEAB二NGAD

・•・①正确

②：四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

・・・AD=DC,AG=FG

10

/.AC=V2AD,AF=V2AG

:¥=6,竺=也

ADAG

即生=竺

ADAG

又：ZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC

ZDAG=ZCAF

/.AAFC^AAGD

，②正确

③；四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线

ZAFH=ZACF=45°

又：NFAH=/CAF

.'.△HAF^AFAC

.AFAC

AHAF

即AF-=ACAH

又：AF=0AE

2AE2=AHAC

，③正确

④由②知AAFCsAAGD

又•.•四边形ABCD为正方形，AC为对角线

，ZADG=ZACF=45°

ADG在正方形另外一条对角线上

.\DG±AC

④正确

故选：D.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解

题关键在于找到需要的相似三角形进而证明.

2.如图，在矩形4BC。中，E是边的中点，BKLAC于点F,连接。尸，给出下列四个

结论：@AAEF^ACAB；®CF=2AF；®DF=DC；@SAABF,S四边形CDEb=2：5,其中

正确的结论有（）

2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】①根据四边形ABCD是矩形,BE_LAC,可得/ABC=NAFB=90。,又/BAF=/CAB,

于是AAEFs^CAB,故①正确；

②根据点E是AD边的中点，以及AD〃:BC,得出AAEFs^CBF,根据相似三角形对应边

成比例，可得CF=2AF,故②正确；

③过口作DM〃:BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=

|BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；

④根据△AEFsaCBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出SAAEF=3

SAABF,SAABF=-S矩形ABCD,可得s四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=二S矩形ABCD,即可得到s四边形

612

CDEF=1-SAABF,故④正确.

2

【详解】如图，过。作。交AC于N,

•・•四边形ABC。是矩形，

：.AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

・・・5E_LAC于点R

・•・NEAC=AACB,ZABC=ZAFE=90°,

：.AAEF^ACAB,故①正确；

,:AD〃BC,

AFAT

：.AAEF^ACBF,——=——,

BCCF

"：AE=^AD=^BC,

AF1

=y,：.CF=2AF,故②正确，

CF2

*：DE//BM,BE//DM,

...四边形BMDE是平行四边形，

：.BM=DE=^BC,：,BM=CM,

：.CN=NF,

•.,8E_LAC于点尸，DM//BE,

：.DN±CF,：.DF=DC,故③正确；

AAEFsACBF,

.EF_AE_}

••BF—菽—2，

12

，SAAEF=:SAABF,SAABF=-S矩形ABC。，

26

**•SAAEF=S矩形ABCD,

又,•*S四边形CDEF=SAACD~SAAEF=；S矩形ABC。——S矩形A8C7)=—S矩形ABCD,

21212

：.SAABF：S四边形CDEF=2：5,故④正确；

故选D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出

辅助线是解题的关键.

二、填空题

3.已知正方形。EPG的顶点/在正方形ABC。的一边AD的延长线上，连结AG,CE交于

点H,若AB=3,DE=A/2,则C8的长为.

【答案】噜

【分析】连接EG,与DF交于N,设CD和AH交于M,证明△ANG<-ADM，得到==大，

NGAN

从而求出DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明^ADG^ACDE得到

4DAM

NDAG=NDCE,从而说明△ADMs^CHM,得到有二^，最后算出CH的长.

CHCM

【详解】解：连接EG,与DF交于N,设CD和AH交于M,

AZGNA=90°,DN=FN=EN二GN,

VZMAD=ZGAN,ZMDA=ZGNA=90°,

•••△ANGSADM,

,DMAD

**-/VG-A2V?

;DE=4i，

ADF=EG=2,

ADN=NG=1,

丁AD=AB=3,

13

.DM3

••一，

13+1

3

解得：DM二一，

4

MC=-，AM=AD2+DM2=3^^,

44

,:ZADM+ZMDG=ZEDG+ZCDG,

.\ZADG=ZEDC,

在^ADG和^CDE中，

AD=CD

<ZADG=/CDE,

DG=DE

AAADG^ACDE(SAS),

AZDAG=ZDCE,

VZAMD=ZCMH,

・•・ZADM=ZCHM=90°,

.,.△ADM^ACHM,

BC

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质,

勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计

算出CH的长.

4.如图，正方形ABCD的边长为8,线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE=3,连接BE,

以BE为边作正方形3EFG,M为AB边的中点，当线段FM的长最小时，tanNECB=.

14

AD

【答案】|

【分析】连接BD,BF,FD,证明AEBCSAFBD,根据题意，知道M,F,D三点一线时,

FM最小，然后过点M作MG_LBD,垂足为G,根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分

别求出MG和DG的长，再根据正切的定义计算即可.

【详解】解：连接BD,BF,FD,如图,

♦•s

.BDBC

BFBE

VZFBD+ZDBE=45°,NEBC+NDBE=45°,

，NFBD=/EBC,

.'.△EBC^AFBD,

DF

NFDB=NECB,

CE

由题意知：FM、DF、DM三条线段满足FM+DFNMD,其中DM、DF的值一定,

.•.当M,F,D三点一线时，FM最小,

过点M作MNLBD,垂足为G,

：NMBN=45。，BM=：AB=4,

；.MN=BN=20,

VMD=y/AM2+AD2="+8?=4G，

DG=^MD--MG1=J(4«)2-(2④A=6丘，

15

tanZECB=tanZFDG=—=

DG6&3

故答案为：j.

【点睛】本题考查了正方形的性质，手拉手相似模型，锐角三角函数，勾股定理，三角形面

积，线段最值模型，熟练构造相似模型，准确确定线段最小值的条件是解题的关键.

5.如图，在矩形中，E是边的中点，8ELAC于点居连接。R分析下列结论：

①AAEFsACAB；®CF=2AF；®DF=DC；④S般形CDEF=QSAABF,其中正确的结论

有（填正确的序号）

【答案】①②③④

【分析】根据四边形ABCD是矩形，麻，4。，可得/钻。=//陞=90。，又/石4。=4408,

于是AAEFSAGR,故①符合题意；根据点E是AD边的中点，以及AO/ABC,得出

^AEFsACBF,根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF,故②符合题意；过。作

DMUBE交AC于N,得到四边形3MDE是平行四边形，求出BM=OE=；8C,得到

CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③符合题意；根据AAEFSACBF得到

F矩形

政与郎的比值，以及■与AC的比值，据此求出5AAs=：S可

2o

得S四边形=5AAe0-%所=为S矩形ABCZ），即可得到$四边形CDEF=/$.跖，故④符合题意•

【详解】解：如图，过D作曲交AC于N,交BC于

•••四边形ABCD是矩形，

?.AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

:.ZEAC=ZACB,

•.•BELAC于点尸，

ZABC=ZAFE^90°,

:.AAEF^ACAB,故①符合题意；

16

AD//BC,AD=BC,

MEF^ACBF,而E是A。的中点,

AE_AF_1

BC-FC-2?

AF_1

~CF~2"

CF=2AF,故②符合题意；

DE//BM,DM//BE,

四边形物〃汨是平行四边形，

BM=DE=-BC

2f

:.BM=CM,CN=NF,

•••BE1AC于点、F,DM〃BE,

:.DN1CF,

二.ON垂直平分b,

:.DF=DC,故③符合题意;

•.・AAEFSACB厂,

AFEFAE1

FC-BC-2

^AAEF=T^AABF'^NABF=KVBFC=Z$vABC=TS矩形ABCD，

223。

…S^EF=五5矩形ABCD，

又S四边形CDEV=SAACD-S^AEF=]S矩形四⑦一五^HeJ^ABCD=丘'^^ABCD，

*，*S四边形8七/=—^AABF»故④符合题意;

故答案①②③④.

【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形

面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键.解题时注意，相似三角形的对应边

成比例.

6.如图，正方形4BCZ）中，点P是2C边上一点，连接AR以AF为对角线作正方形AEFG,

边FG与AC相交于点H,连接。G.以下四个结论：

①/EAB=NBFE=ZDAG；

②△ACFSA4£）G；

③AH•AC=&E。;

®DG±AC.

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

17

【答案】①②④

【分析】根据正方形的性质可知N3=/E=90。，有对顶角相等，可证尸E,由

NE4G=NB4D=90。可证NE45=NZMG,可判断结论①正确；由——=——=叵,

ADAG

ZFAC=ZGAD,两边对应成比例且夹角相等即可得△ACK-△A£)G,可判断结论②正确；

由结论②可知NACV=NADG=45。，可得DG平分NADC,由正方形可知AACD是等腰直

角三角形，可推出DGLAC,结论④正确；利用两组角对应相等的两个三角形相似可得

AHAF

AACF^AAFH,根据相似的性质可得f=贝又有4尸2=24石2,则

AFAC

结论③错误.

【详解】解：设与所相交于点。如图所示，

,/四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，

/.ZB=ZE=90°,ZEAG=ZBAD=90°.

又：ZAOE=ZBOF,

：.ZEAB=ZBFE.

ZEAG-/BAG=ABAD-ZBAG,

ZEAB=ZDAG,

/.NEAB=NBFE=NDAG,

故结论①正确；

VAC>AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线,

AC=42AD，AF=6AG，

18

.ACD霁=日

又,/ZFAG=ZCAD=45°,

/.ZFAG-ZGAH^ZCAD-ZGAH,

即44C=NG4D.

AACF^AADG.

故结论②正确;

由△ACF^AADG可知ZADG=ZACF=45°,

平分/ADC.

•••△ACD是等腰直角三角形,

：.DG±AC.

故结论④正确;

,/ZFAC=NHAF,ZACF=ZAFH=45°,

/\ACF^/\AFH,

.AHAF

AFAC

AHAC=AF2.

在等腰直角4AEF中，AF2=2AE2，

AHAC=2AE2,

故结论③错误,

正确的结论是①②④,

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性

质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键.

7.如图，在一个12x13的网格中，点都在格点上，CH=AB=8,点尸是线段A8

上的一个动点，连接OP,将线段0A沿直线。尸进行翻折，点A落在点C处，连接BC,以

为斜边在直线3c的左侧（或下方）构造等腰直角三角形即C,则点尸从A运动到2的

过程中，线段8C的长的最小值为,线段2。所扫过的区域内的格点的个数为

（不包含所扫过的区域边界上的点）

19

【答案】8&-84

【分析】根据O3-OC43C仅当C在。3上时等号成立，由折叠性质可知04=0C,从而求

出8c的最小值；再证明△OCB〜△ADB,而且相似比为0：1,从而得出点。在以专04

为半径的圆弧4R上运动，由此画出图形即可得出格点的个数.

【详解】解：如图，连接08,AD.

VOA=AB=8,ZOAB=9Q°

OB=yJo^+AB2=872>

又：03—OCW3c仅当C在上时等号成立,

.•.8C的最小值=03—OC,

又：OC=(M=8,

8c的最小值=OB-0C=8A/2-8，

,/和ABDC均为等腰直角三角形，

20

QDDZ'1

；.NOBA=NCBD=45°,——=——=V2,

ABBD

又：ZOBA=ZABC+Z.OBC,ZDBC=ZABC+ZABD,

：.ZOBC=ZABD,

：.AOCB-AADB,

：.^=—=y/2,gpAD=—OC=A42,

ADBD2

如图：点。在以YZoa为半径的圆弧上运动，当点P与点A重合时，点o在A处，

2

当点P与点2重合时，点。在口处，

二线段8。所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）4个.

故答案为：80-8，4.

【点睛】本题主要考查了对称变换和旋转相似，解题关键是通过旋转相似证明

AD=与0C=4形,从而得出点。在以当0A为半径的圆弧42上运动，再根据画图得

出结论.

三、解答题

8.【问题发现】如图1,在即AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,。为斜边8c上一点（不

与点B,C重合），将线段绕点A顺时针旋转90。得到AE,连接EC,则线段8。与CE

的数量关系是，位置关系是;

【探究证明】如图2,Rt^ABC7?ZAADE+-NBAC=NZME=90。，AB^AC,4。=

AE,将AAOE绕点A旋转，当点C,D,£在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置

关系，说明理由；

【拓展延伸】如图3,在RdBCD中，ZBCD=90°,BC=2CD=4,过点C作CA_LB。于

A.将4ACD绕点A顺时针旋转,点C的对应点为点E.设旋转角/CAE为a（0°<«<360。），

当C,D,E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度.

【答案】BD=CE,BDLCE-,BD1CE,理由见解析；图见解析，y

【分析】（1）证明ABADgaCAE,根据全等三角形的性质解答；

（2）连接BD,根据全等三角形的判定和性质以及垂直的定义即可得到结论;

21

(3)如图3,过A作AFLEC,根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论.

【详解】解：(1)BD=CE,BDLCE-,

(2)BDYCE.理由如下：在RdABC和Rd中，AB=AC,AD=AE,ZA£C=45°,

,：ZCAB=ZDAE=90°,：.ZBAD=ZCAE,：./\CEA^/\BDA,

：.ZBDA=ZAEC=45°,：.ZBDE=ZBDA+ZADE=9Q°,：.BD±CE.

(3)如图所示，过点A作APLCE,垂足为点?

根据题意可知，RtXABCsRtxAED,ZBAC=ZEAD,

.ABAC•ABAE

,*AE-AD'"'~AC~~AD'

ZBAC=ZEAD=90°,：.ZBAE=ZCAD,：./\BAE^^CAD,

：.ZBEA=ZCDA,ZBEC+ZDEA=ZDEA+900,

：.ZBEC^90°,：.BE±CE.

在旋转前，在BCD中，ZBCD=90°,BC=2CD=4,

■■BD=ylBe+CD2=2行，VAC±BD,

ii4

：.S=-BDAC=-BDAC,：.AC=-.

.BRCcDn22近r

/.AD=CD2-AC2,

在放△AC。中，CD边上的高力二AC%•AD=：4，旋转后，得人方=九二］4，

C-=26一石=3

22

c

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线.

9.如图，在正方形ABC。中，点尸在对角线8D上，直线4尸交于E,PF_LAE交BC

于点R连接AF交2。于跖

(1)判断△APE的形状，并说明理由；

⑵连接EF,求E尸尸M的值.

【答案】(1让APF是等腰直角三角形，理由见解析

(2)EF：PM=2：也.

【分析】⑴过点尸作PGL8C于点G,交A£＞于点"，根据正方形的性质证明△之△MG,

即可得结论；

(2)将AADE绕点A顺时针旋转90。得到△ABN,利用全等三角形的性质证明

然后证明△可得所：PM=AP：AF,根据△APP是等腰直角三角形，进而可

以解决问题.

(1)

解：△APF是等腰直角三角形，理由如下：

如图，过点P作尸GLBC于点G,交A。于点H,

GH=CD,

23

・・•四边形A5CO是正方形，

AZADB=45°,AD=CD,

,//PHD=9。。,

：./HPD=45。,

：.HD=HP,

：.AH=GP,

PFLAE,

：.NAP尸=90。，

NAPH+/FPG=90。,

VZB4H+ZAPH=90°,

：.ZPAH=ZFPGf

在△人尸”和4尸尸G中，

'/PAH=ZFPG

<AH=PG,

ZAHP=ZPGF=90°

：.AAPH^/XPFG(ASA),

：.AP=FP,

・・・AAPF是等腰直角三角形；

⑵

解：如图，将△?1!)£绕点A顺时针旋转90。得到△A5N,

•・•ZADE=ZABN=90°,ZABC=90°,

24

/.ZABC+ZABN=180°,

：.C,B,N共线，

ZEAF=45°,

：.ZNAF=ZFAB+ZBAN=ZFAB+ZDAE=45°,

：.ZFAE=ZFAN,

在八物N和ARIE中，

'AF=AF

<ZFAN=NFAE,

AN=AE

：./\FAN^/\FAE(SAS),

ZAFN=ZAFE,

VZFMB=ZAMP,ZMBF=ZFAM=45°,

：.NBFM=/APM,

：.ZAPM=ZAFE,

：.AAPM^AAFE,

：.EF-.PM=AP-.AF,

由(1)知：△APb是等腰直角三角形，

AAF："=2：后，

：.EF-PM=2-72.

【点睛】本题属于几何综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形

的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考题的压轴题.

10.某校数学活动小组探究了如下数学问题：

图1

(1)问题发现：如图1,AABC中，ZSAC=90°,AB=AC.点P是底边8c上一点，连接

AP,以AP为腰作等腰R£AP。，且/24。=90。，连接CQ、则和CQ的数量关系是

(2)变式探究：如图2,AABC中，4c=90。，AB=AC.点P是腰AB上一点，连接”,

以CP为底边作等腰RtACP。，连接A0,判断BP和A。的数量关系，并说明理由；

(3)问题解决：如图3,在正方形A8CD中，点P是边8C上一点，以OP为边作正方形DPEF,

点。是正方形。尸跖两条对角线的交点，连接CQ.若正方形DPE尸的边长为,CQ=41,

25

求正方形ABC。的边长.

【答案】(1)3P=C。

(2)BP=y[2AQ

(3)3

【分析】(1)根据已知条件利用边角边证明AABP=AACQ,再利用全等三角形的性质即可

得到和C。的数量关系；

(2)根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等

的判定定理证明ACBPMCAQ,之后再由相似三角形对应边成比例即可得到8P和AQ的

数量关系；

(3)连接如图(见详解)，先由正方形的性质判断出△BCD和△尸。。都是等腰直角

三角形，再利用与第二问同样的方法证出△8。尸由对应边成比例，依据相似比

求出线段BP的长,接着设正方形ABCD的边长为x,运用勾股定理列出方程即可求得答案.

(1)解：：44尸。是等腰直角三角形，NH4Q=90。，在44BC中，ABAC=90°,AB=AC,

：.AP=AQ,ZBAP+APAC=ZCAQ+APAC,：,ZBAP=ZCAQ.在尸和AACQ中，

AB=AC

"ZBAP=ZCAQ,；.父△ACQ(SAS),BP=CQ；

AP=AQ

(2)解：判断=理由如下：；ACR2是等腰直角三角形，AABC中，ZBAC^90°,

AB^AC,.•.耍=任=变，ZACB=ZQCP=45°.:

PCBC2"

N3CP+ZACP=ZACQ+ZACP=45°,ZBCP=ZACQ,:.ACBPsACAQ,：.

"=生=2=叵...BP=6AQ；

PCBCBP2'

(3)解:连接8D,如图所示,四边形ABCD与四边形DPEF

是正方形,。E与尸产交于点。，...八BCD和&QD都是等腰直角三角形，，到=里=1,

PDBD2

ZBDC=ZPDQ=45°.9：ZBDP+ZPDC=ZCDQ+ZPDC=45°,ZBDP=ZCDQ,

△BDPsMDQ,：.吧=汨=2=显.,:CQ=y/2,：.BP=0CQ=2.在RtAPCD中，

PDBDBP2~

CD2+CP2=DP2，设CD=x，则CP=x-2，又：正方形DPEF的边长为回，；.DP=M,

26

X2+(x-2)2=(710)2,解得再=-1(舍去)，X?=3.，正方形ABCO的边长为3.

【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方

形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解

题的关键.

11.［问题发现］

(D如图1,在RMA8C中，AB=AC,/54C=90。，点。为BC的中点，以CD为一边作正

方形CD叱，点E与点A重合，已知AACFsABCE.请直接写出线段延与.的数量关系；

［实验研究］

⑵在(1)的条件下，将正方形CDE尸绕点C旋转至如图2所示的位置，连接BE,CE,AF.i#

猜想线段BE和AF的数量关系，并证明你的结论；

［结论运用］

⑶在(1)(2)的条件下，若AABC的面积为8,当正方形8所旋转到8,E,尸三点共

线时，请求出线段AF的长.

【答案】(1)BE=0AP

(2)BE=J2AF,证明见解析

⑶线段AF的长为2百-2或2不+2

【分析】(1)先判断出△A3。为等腰直角三角形，进而求出43=夜4。，即可得出结论；

(2)先利用三角函数得出某证明夹角相等即可得出△ACPSZXBCE,进而求出结论;

nC

(3)分两种情况计算，当点E在线段