中考数学难点突破与训练：图形折叠中的等腰三角形存在性问题（含答案及解析）

专题52图形折叠中的等腰三角形存在性问题

【题型演练】

一、解答题

i.对于面积为s的三角形和直线/,将该三角形沿直线/折叠，重合部分的图形面积记为s0,定义FT为

3一、

该三角形关于直线I的对称度.如图，将面积为S的△ABC沿直线/折叠,重合部分的图形为△L。石,将△C'OE

的面积记为s。，则称为AABC关于直线/的对称度.

在平面直角坐标系尤0y中，点4(0,3),B(-3,0),C(3,0).

(1)过点M(%,0)作垂直于x轴的直线乙，

①当m=1时，AABC关于直线4的对称度的值是：

②若△ABC关于直线4的对称度为1,则m的值是

(2)过点N(0,〃)作垂直于y轴的直线几求AA8C关于直线4的对称度的最大值.

(3)点P(—4,0)满足”=5,点。的坐标为(30),若存在直线，使得AAP。关于该直线的对称度为1,

写出所有满足题意的整数r的值.

2.如图1,在AABC中，ZC=90°,ZA=40°,。为AC的中点，E为边上一动点，连接。E,将VADE

沿。E翻折，点A落在AC上方点/处，连接ERCF.

图⑴备用图

(1)判断N1与N2是否相等并说明理由；

⑵若ADEF与以点C,D,F为顶点的三角形全等，求出-4DE的度数：

(3)翻折后，当从)所和的重叠部分为等腰三角形时，直接写出4DE的度数.

3.数学兴趣小组开展实践探究活动，将三角形ABC纸片沿某条直线折叠，使其中一个角的顶点落在一边

上.在△ABC中，AB=9,BC=6.

(1)如图1,若/AC8=90。，将△ABC沿CM折叠，使点8与边AB上的点N重合，求的长

(2)如图2,若/AC8=2/A,将△ABC沿CM折叠，使点B与边AC上的点N重合，

①求AC的长；

②若。是AC的中点，P为线段ON上的一个动点，将A沿PM折叠得到△APM,AM与AC相交于

PF

点、F,则弓y的取值范围为•

FM

4.在△ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3.

(1)如图1,。为线段BC上一点，点C关于A。的对称点C恰好落在AB边上，求CZ)的长；

(2)如图2,E为线段AB上一点，沿CE翻折△C8E得到△CE夕，若EB'〃AC,求证：AE=AC；

(3)如图3,。为线段BC上一点，点C关于4。的对称为点C，，是否存在异于图1的情况的C，、B、。为顶

点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出2。长；若不存在，请说明理由.

5.如图1,已知直线产-2尤+4与x轴、y轴分别交于点A、C,以OC为边在第一象限内作长方形OABC.

2

(1)求点A、C的坐标；

(2)将AA8C对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D求直线的解析式(图2)；

(3)在y轴上是否存在一点尸(不与C重合)，使得尸是等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的点

尸的坐标；若不存在，请说明理由.

6.问题背景

折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国，6世纪

时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出

了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支.今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波大

学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理.

芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下：

第一步：如图1,将正方形纸片A8C。对折，使点A与点。重合，点8与点C重合.再将正方形A8C。展

开，得到折痕EF；

第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至百召的位置，得到折痕

BE与AB交于点P.

则点尸为48的三等分点，即AP:PB=2:1.

问题解决

如图1,若正方形ABC。的边长是2.

图1

3

(1)CM的长为；

(2)请通过计算AP的长度，说明点P是的三等分点.

类比探究

(3)将长方形纸片45co(AS>BC)按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2,若折出的点尸也为的三

等分点，请直接写出黑的值.

k::

III

B~FC

图2

7.综合与实践

在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题.

问题情境：

如图，在"RC中，AB=AC=6,ZA=90°,点。在边AB上运动，点E在边上运动.

AAA

图2图3

探究发现：

(1)如图2,当沿QE折叠，点8落在边AC的点E处，且。时，发现四边形跳BZ)是菱形.请证明；

探究拓广：

(2)如图3,奇异小组同学的折叠方法是沿。E折叠，点8落在点处，延长。匠交AC于点FDF//BC,

点G在边上运动，沿PG折叠使点C落在线段。9的中点C'处，求线段。尸的长；

探究应用：

(3)沿DE折叠，点B的对应点9恰好落在边AC的三等分点处，请借助图1探究，并直接写出BD的长.

8.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，在四边形OA8C中，顶点A(0,2),C(6,0),B(君,〃)，且点

8在第一象限，AOAB是等边三角形.

4

图①图②

(1)如图①，求点8的坐标;

(2)如图②，将四边形OABC沿直线EF折叠，使点A与点C重合，求点E,F的坐标;

(3)如图③，若将四边形043c沿直线跖折叠，使即〃OB,设点A对折后所对应的点为A，，AAEP与四

边形£。3尸的重叠面积为S,设点E的坐标为(0,m)(0<m<l),请直接写出S与相的函数关系式.

9.如图，RtZkAOB中，ZAOB=90°,04=03=4,点尸在直线。4上运动，连接尸8,将AOBP沿直线

折叠，点。的对应点记为。，.

(1)若AP=AB,则点尸到直线A3的距离是

(2)若点。”恰好落在直线A8上，求AOSP的面积;

(3)将线段PB绕点尸顺时针旋转45。得到线段PC,直线PC与直线AB的交点为Q,在点P的运动过程中,

是否存在某一位置，使得APB。为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由.

10.定义：若a,b,c是AABC的三边，且。2+〃=2。2,则称△ABC为“方倍三角形”.

(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是.

A.①一定是“方倍三角形”B.②一定是“方倍三角形”

C.①②都一定是“方倍三角形"D.①②都一定不是“方倍三角形”

(2)若放△A8C是“方倍三角形”，且斜边A8=豆，则该三角形的面积为；

(3)如图，ZkABC中，ZABC=120°,ZACB=45°,P为AC边上一点，将AABP沿直线3尸进行折叠，点

A落在点。处，连接C。，AD.若△A3。为“方倍三角形"，且AP=g,求APOC的面积.

5

11.如图1,在AABC中，AB=AC=5cm,BC=6cm,AE为8C边上的中线.

(1)求AE的长；

(2)动点尸的速度为2cm/s,运动时间为f秒.

①如图2,当点尸从点B开始沿BC边向点C移动时，若AABP是以3尸为腰的等腰三角形，请你求出所有满

足条件的♦的值.

②如图3,当点尸从点C开始沿AC边向点A移动时，将沿直线PE对折，点C的对称点为C,当

△CPE与重叠部分为直角三角形时，请直接写出t的值为

图1

12.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(5,0),以原点。为圆心、3为半径作。O,。。与x轴交于点

B、C.点P从点。出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为f(s).连结AP,将AOAP

沿AP翻折，得到A”。.

(1)当△OAQ为等边三角形时，请直接写出P点坐标；

(2)若△A3。为直角三角形时，请求出f的值；

(3)求AAP。有一边所在直线与。。相切时，请直接写出f的值.

6

13.(1)操作发现：如图①，在RtAABC中，/C=2/B=90。,点。是BC上一点，沿4。折叠AAOC,使

得点C恰好落在A8上的点E处，请写出AB、AC,CQ之间的关系？并说明理由.

(2)问题解决：如图②，若(1)中NCM0。，其他条件不变，请猜想AB、AC.CD之间的关系，并证明

你的结论；

(3)类比探究：如图③，在四边形A8C。中，ZB=120°,ZD=90°,AB=BC,AD=BC,连接AC,点E

是CO上一点，沿AE折叠，使得点。正好落在AC上的点尸处，若2C=3,求出DE的长.

图①图②图③

14.我们知道平行四边形有很多性质,现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中

还有更多的结论.

【发现与证明】

YA3CD中，AB^BC,将AABC沿AC翻折至VAB'C,连结

结论1：VA8'C与YABCD重叠部分的图形是等腰三角形.

结论2：B'D//AC；

⑴请利用图1证明结论1或结论2；

【应用与探究】

在YABCD中，己知々=30。，将AA5c沿AC翻折至VAB'C,连结B7).

7

(2)如图，若AB=下,ZAB'D=15°,则NACB=。，BC=；

(3)已知AB=26，当3c长为多少时，VAST)是直角三角形？请直接写出答案

15.如图，在平行四边形纸片中，A£)=6cm,将纸片沿对角线8。对折，边A2的对应边BF与O)

边交于点E,此时A8CE恰为等边三角形.

(1)求AB的长度；

(2)重叠部分的面积为；

(3)将线段BC沿射线54方向移动，平移后的线段记作8C,请直接写出8F+C户的最小值.

16.定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形.

图1

(1)在三等角四边形ABCD中，ZA=NB=NC,则—A的取值范围为；

(2)如图1,折叠平行四边形OEM,使得顶点E尸分别落在边8瓦8尸上的点AC处，折痕为。G、DH.求

8

证：四边形ABCD为三等角四边形；

（3）如图2,在三等角四边形ABCD中，NA=N3=NC,若AB=5,AD=y/26,DC=1,则BC的长度

为.

17.综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在YABCD中，BELAD,

垂足为E,b为CD的中点，连接E■尸，BF,试猜想E尸与8尸的数量关系，并加以证明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将YABCD沿着砥（尸为8的中点）所在直线折叠，如图②，

点C的对应点为。，连接。。并延长交A3于点G,请判断AG与3G的数量关系，并加以证明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将YA3co沿过点5的直线折叠，如图③，点A的对应点为4,使

48LCD于点折痕交AD于点V,连接4/,交8于点N.该小组提出一个问题：若此YABCD的

面积为20,边长AB=5,BC=275,求图中阴影部分（四边形3HM0）的面积.请你思考此问题，直接

写出结果.

图①图②图③

18.综合与实践

在一次综合实践活动课上，数学王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，要求同学们仅通过折纸的方法

来确定该正方形一边上的一个三等分点.

“启航”小组的同学在经过一番思考和讨论交流后，进行了如下的操作：

第一步：如图1,将正方形纸片ABCD的一条边4。对折，使点A和点D重合，得到AD的中点E,然后展

开铺平；

第二步：如图2,将。边沿CE翻折到CF的位置;

9

第三步：如图3,再将8C沿过点C的直线翻折，使点8和点F重合，折痕与边交于点G.

他们认为：该点G就是A8边的一个三等分点.

(1)试证明上面的结论:

(2)“奋进”小组的同学是这样操作的:

第一步：先将正方形纸片ABC。的一条边A。对折，使点A和点。重合，找到AD的中点E；

第二步：再折出正方形纸片A8C。的对角线AC,以及点8和点E的连线8E,这两条折痕相交于点B

第三步：最后，过点尸折出A8的平行线GN,分别与AD,BC交于点G和点N.

①请根据上面的描述，在图4中画出所有的折痕，确定点G和点N的位置;

②请结合①中所画的图形，判断点G是否为边的三等分点，并说明理由.

10

专题52图形折叠中的等腰三角形存在性问题

【题型演练】

一、解答题

1.对于面积为S的三角形和直线/,将该三角形沿直线/折叠,重合部分的图形面积记为S。，

定义下”为该三角形关于直线/的对称度.如图，将面积为S的AABC沿直线/折叠，重

合部分的图形为AC'OE，将AC力E的面积记为S。，则称二'为△ABC关于直线/的对称

度.

在平面直角坐标系xOy中，点4(0,3),8(—3,0),C(3,0).

(1)过点〃(加，0)作垂直于x轴的直线4，

①当m=1时，△ABC关于直线乙的对称度的值是：

②若△ABC关于直线乙的对称度为1,则机的值是.

(2)过点N(0,")作垂直于y轴的直线右，求AABC关于直线/2的对称度的最大值.

(3)点P(—4,0)满足AP=5,点。的坐标为(30),若存在直线，使得尸。关于该直线

的对称度为1,写出所有满足题意的整数/的值.

71

【答案】(1)①,；②0；(2)铲(3)4或1或-9

【分析】(1)①作图，求出"c“=2,再根据定义求值即可；②通过数形结合的思想即可

得到，w=0;

(2)根据求△ABC关于直线乙的对称度的最大值，即是求"CM最大值即可；

(3)存在直线，使得AAP。关于该直线的对称度为1,即转变为△AP。是等腰三角形，需

要分类进行讨论，分AP=AQ；AP=PQ=5.AQ=PQ,同时需要满足f的值为整数.

【详解】解：⑴①当%=1时，根据题意作图如下：

11

vOA=OC=3,

/.Rt^AOC为等腰直角三角形，

CE=DE=2,

SRSDEC=/x2x2=2,

根据折叠的性质，

•q=?

•,晨。DE一，

S.ABC=gx6x3=9，

.1△ABC关于直线4的对称度的值是:

故答案是：y:

②如图：

12

S--5

Ot,C,DE_20AABC，

△ABC关于直线乙的对称度为1,

故答案是：0；

(2)过点N(0,”)作垂直于y轴的直线要使得△ABC关于直线6的对称度的最大值,

则需要使得最大，如下图：

3

根据＞=',可得及。为AABC的中位线，

:.ED=-BC=3

2f

139

•••SQDE=5x3x5=“

9

「.△A5c关于直线4的对称度的最大值为：」百=；；

9--

4

(3)若存在直线，使得AAP。关于该直线的对称度为1,

即△AP。为等腰三角形即可，

①当AP=AQ时，△APQ为等腰三角形，如下图：

13

「.，=4；

②当"=PQ=5时，△AP。为等腰三角形，当。在P右侧时，如下图:

.../=1;

同理，当。在P左侧时，t=-9

③当AQ=尸。时，△AP。为等腰三角形，如下图:

设OQ=x,贝"Q=4_x,

14

根据勾股定理：PQ=AQ=y/x2+32.

(4-%)2=X2+9,

7

解得：x=g

o

7

（不是整数，舍去），

o

综上：满足题意的整数/的值为：4或1或-9.

【点睛】本题考查了三角形的折叠，对称类新概念问题、等腰三角形的性质、勾股定理，解

题的关键是读懂题干信息,搞懂对称度的概念,再结合数形结合及分类讨论的思想进行求解.

2.如图1,在AABC中，NC=90。，NA=40。，。为AC的中点，E为边AB上一动点，连

接DE,将VAOE沿。E翻折，点A落在AC上方点尸处，连接斯，CF.

备用图

（1）判断/I与/2是否相等并说明理由;

⑵若与以点C,D,尸为顶点的三角形全等，求出N4组的度数:

（3）翻折后，当ADEF和AABC的重叠部分为等腰三角形时，直接写出—ADE的度数.

【答案】（1）/1=/2,理由见解析

(2)70°

⑶*10■00或1售40°■或70。

【分析】（1）由VADE沿OE翻折可知A£>=r>F=CD,NFDE=ZADE=N1,可知ACDR为

等腰三角形，ZDFC=ZDCF=Z2,ZCDF+ZFDE+ZEDA=180°,计算求解即可；

（2）ADEF与ACDF全等,分两种情况讨论；①DF=DE=AD,ZA=ZDEA,

/4/汨=180。-44-/。匹4,求NADE的值然后判断此时△/）即与ACE亦是否全等，若全等,

则4DE的值即为所求；®DF=FE=AD,ZA=ZDFE,ZEDF=ZADE,

NADE=ZFDE=-----,求NADE的值然后判断此时ADEF与ACDF是否全等，若

全等，则4DE的值即为所求；

（3）分情况讨论①由题意知（2）中NADE=70。时符合题意，②如图3,重合部分的等腰

15

三角形中，DE=DG,/DEG=/OGE,根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即

AFDE=ZADE=Z1,ADEG=ZADE+ZA,N1+NDEG+NDGE=18O。计算求解即可；③如

图4,重合部分的等腰三角形DE=EG,NEDG=/r)GE=Nl,根据三角形的外角性质，三

角形的内角和定理即ZDEG=ZADE+ZA,N1+N£>£G+N£>GE=18O。计算求解即可.

【详解】(1)解：Z1=Z2

由VADE沿翻折可知AD=DENFDE=ZADE=N1

...。为AC的中点

，AD=CD=DF

ACDF为等腰三角形

，ZDFC=ZDCF=Z2

'：ZCDF+ZFDE+ZEDA=180°

A18O°-2Z2+Z1+Z1=18O°

Z1=Z2.

(2)解：：CD=D尸，ACDR是等腰三角形，QEF马ACDF全等

①如图1,当D尸=nE=AD时，VADE为等腰三角形，ADEF为等腰三角形

ZA=ZDEA=40°,ZADE=180°-ZA-ZDE4=100°

ZADE=ZEDF=100°

ZADE+ZEDF=200°>180°

.•.当=时，点/在AC的下方，不符合题意；

又：NCDF=200°-180°=20°,NCDF*ZFDE

QEF与ACDF不全等，NADE=100。舍去；

②如图2

图2

当。b==时，VADE为等腰三角形，ADEF为等腰三角形

16

ZA=NDFE,ZEDF=ZADENFDE=ZFED=皿。--。式石=180。-40。=^QO

22

EF//AD,EF=AD=CD

四边形AEFD,CDEF均是平行四边形

，八EFD与ACDF全等

：.ZADE=ZFDE=70°

.•.当£)?=庄；时，AEFD与CDF全等,ZADE=70°；

综上所述，若ADEF与以点、C,D,产为顶点的三角形全等，4DE的值为70。.

(3)解：①由(2)中图2可知当NADE=70。时，ADER在"1BC内，此时两个三角形的

重叠部分为等腰三角形；

②如图3,△DEG为ADEF与AABC重合的等腰三角形

图3

/.DE=DG,ZDEG=ZDGE

；NFDE=ZADE=N1,ZDEG=ZADE+ZA,Zl+ZDEG+ZDGE^l80°

1QQO_/I

ZDEG=----------=Z1+ZA=Z1+40°

2

100。

Z1

~T~

100°

ZADE

③如图4,△DEG为ADEF与AABC重合的等腰三角形

图4

:.DE=EG,ZEDG=ZDGE=Z1

VZFDE=ZADE=Zl,ZDEG=ZADE+ZA,Zl+ZDEG+ZDGE=180°

17

・・・ZDEG=180°-2Z1=Z1+ZA=Z1+40°

Nl=胭

3

140°

ZADE=——

3

1000140°

综上所述，当ADEF和△ABC的重叠部分为等腰三角形时，NADE的值为詈-或号-或70。

【点睛】本题考查了等腰三角形，几何图形折叠对称，三角形全等，三角形的内角和定理,

三角形的外角等知识.解题的关键在于正确的分析可能存在的情况.

3.数学兴趣小组开展实践探究活动，将三角形ABC纸片沿某条直线折叠，使其中一个角的

顶点落在一边上.在△ABC中，AB=9,BC=6.

图1图2(备用图)

(1)如图1,若/ACB=90。，将AA8C沿CM折叠，使点8与边A8上的点N重合，求的

长

(2)如图2,若将△ABC沿CM折叠，使点2与边AC上的点N重合，

①求AC的长；

②若。是AC的中点，尸为线段ON上的一个动点，将△沿折叠得到△AM

PF

与AC相交于点尸,则由的取值范围为.

【答案】⑴5M=4；

⑵①人。=/②M黑T

【分析】(1)由题意得羽，从而可得,然后证明△。期。人408,利

用相似三角形的对应边成比例即可以求出答案，

(2)①由NACB=2/A及将△ABC沿CM折叠，使点8与边AC上的点N重合，得

ZBCM=ZA,从而论证ACWBSAACB,利用相似三角形三边对应成比例求出答案；②利

用折叠得到N4=4'=NMCRPA=PA,从而得到APEYSAMFC,利用相似三角形的性质

得到弓7=3,再根据PA最长为OA的长，最短为AN的长，从而求出答案.

FMCM

【详解】(1)解：如图1,

将4ABC沿CM折叠，使点8与边上的点N重合，

■■CMLAB,

18

ZCMB=90°,

•••ZACB=90°,

・•.ZCMB=ZACB,

ZB=ZB，

/.^CMB^^ACB,

.BMBC

…正一法’

vAB=9,BC=6,

.BM__6

,,—―，

69

，BM=4；

(2)解：①如图2,

将△A5c沿CM折叠，使点8与边AC上的点N重合，BC=6,

CB=CN=6,/BCM=ZACM,

ZACB=2ZAf

ZBCM=ZA=ZACM,

NB=NB,

△CMBS^ACB,

BMBCCM

AB=9,BC=6,

BM_6

~6~~91

BM=4；

ZA=ZACM,AB=9,

CM=AM=9-4=5；

BCCM

AB=9,BC=6,

~AB~Hc

6_5

9-AC

②如图4,

19

A

图4

将4APM沿PM折叠得到4A'PM,

■.ZA=ZAf=ZMCF,PA=PA!,

NPFA'=ZMFC,

•.△尸E4's“lFC,

,PFPA'

'FM~CM'

CM=5,

,PFPA!

~FM~~T'

.・尸为线段ON上的一个动点，0A=OC=：AC=?,

24

PA!=~~r，PA'最短=AN，

4

153

.•AN=AC-CN=AC-BC=——6=-

22

\-<PAr<—,

24

PFPA'

FM~5

3,PF「

\——<-----<—

10FM4

3PF3

故答案为：—《<-

10FM4

【点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定及其性质，熟练掌握这些性质定理找到

三角形相似是解决问题的关键.

4.在△A8C中，ZACB=90°,AC=4,BC=3.

20

(1)如图1,。为线段8c上一点，点C关于的对称点C恰好落在A3边上，求CQ的长；

(2汝口图2,E为线段A8上一点，沿CE翻折△CBE得到△CEQ,若E9〃AC,求证：AE=

AC；

(3)如图3,。为线段3C上一点，点C关于的对称为点C，，是否存在异于图1的情况的

C\B、。为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出BC长；若不存在，请说明

理由.

【答案】(呜

⑵见解析

(3)4-77

【分析】(1)首先勾股定理得AB=5,再由对称性得AC=AC=4,得BC=\,在Rm8。。中，

利用勾股定理列方程即可；

(2)由翻折得ZB'CE=ZBCE,再根据NAEC=NB+NBCE,

ZACE=ZB'CA+ZB'CE,可得NAEC=/ACE,从而证明结论；

(3)当NCBO=90。时，过点A作AEJ_AC,交8C延长线于点E,设BC为x,贝！JC'E=4-x,

在RdACE中，由勾股定理得，(4-x)2+32=42,解方程从而解决问题.

(1)

解：在ABC中，由勾股定理得AB=5,

,/点C关于4。的对称点。恰好落在AB边上，

：.AC=AC=4,

：.BC=\,

在放△BCD中，由勾股定理得，

(3-CD)2=312+C£>2,

4

解得：CD=—；

(2)

证明：,/沿CE翻折△CBE得到△CEB',

：.ZB'=ZB,ZB'CE=ZBCE,

'：EB'//AC,

：.ZB'=ZB'CA=ZB,

：.NAEC=NB+NBCE,ZACE^ZB'CA+ZB'CE,

：.ZAEC=ZACE,

：.AE=AC；

(3)

存在，BC=4-币,

:ZAD0450,

21

.../BOC不可能为90。，

当BC1.BC时，过点A作AE_LAC,交8C延长线于点E,

ZC=ZCBD=90°=Z£,

，四边形ACBE为矩形，设BC为x,则CE=4-x,

,/AACD翻折后得到△ACD,

：.AC'=AC=4,

'：AE=BC=3,

在RQACE中，由勾股定理得，

:.(4-x)2+32=42,

解得：x=4士币,

Vx<4,

,\X=4-A/7,

即2C长为4-g.

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了翻折变换，勾股定理，平行线的性质，等腰三

角形的判定等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想.

5.如图1,已知直线y=-2^+4与无轴、y轴分别交于点A、C,以。4、0c为边在第一象限

内作长方形042C

(1)求点A、C的坐标；

⑵将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D,求直线CD的解析式(图2)；

(3)在y轴上是否存在一点P(不与C重合)，使得△口)尸是等腰三角形，若存在，请求出所

22

有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(DA(2,0),C(0,4)

3

(2)y=--x+4

(3)存在,„或若)或(0,1)或

【分析】⑴已知直线y=-2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C,即可求得A和C的坐标；

(2)根据题意可知△ACQ是等腰三角形，由折叠的性质和勾股定理可求出长，即可求得。

点坐标，最后即可求出C。的解析式；

(3)分三种性质分别计算，即可找出符合题意的点尸的坐标.

(1)

解：当％=0时，y=4,

.•.C(0,4)；

当y=0时,-2x+4=0,解得x=2,

.•.A(2,0)；

⑵

解：VA(2,0),C(0,4),

：.OA=2,OC=4,

又•••四边形OABC是矩形，

：.BC=OA=2,AB=OC=4,

由折叠性质可知：CD=AD.设AD=x,则C£)=x,B£>=4-x,

根据勾股定理得：CD2=BC2+BD2,=22+(4-X)2,

解得：x=:，

此时，但|，D(2,|),

设直线C。为广息+4,把。代入得，|=2/:+4,

解得：k=-3i

4

3

...直线。解析式为y=-%+4；

(3)

解：存在y轴上的点尸)使得ACDP是等腰三角形，

理由如下：

设点尸的坐标为(0,优)，

23

2

贝IJC产=(4一根)=DP2=22+

由(2)知CD=g,

①当CP=CD时，CP2=CD2,

2

即（4—加了=5

313

解得利二万或加二万

即点尸的坐标是（。,0或

22

②当DC=D尸时，DC=DP,

即if）=22+1-|）,

解得m=1或m=4,

即点P的坐标是（0,1）或（0,4）（舍去）;

③当PC=PD时，PC2=PD1,

即（4—m）2=2?+（加_：）,

25

解得加=-逐，

即点P的坐标是

综上所述，点P的坐标为［。,|［或（吟］或（0,1）或.

【点睛】本题考查了一次函数的综合题，主要考查了折叠的性质，一次函数图象及其性质，

待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键.

6.问题背景

折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动,折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时

的中国，6世纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成

为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支.今天折纸被应用

于世界各地，其中比较著名的是日本筑波大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为

折纸几何学的基本定理.

芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下：

第一步：如图1,将正方形纸片A3CD对折，使点A与点。重合，点B与点C重合.再将

正方形A8CD展开，得到折痕跖；

第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至8Z的位置,

24

得到折痕MN,BE与AB交于点P.

则点尸为A8的三等分点，即AP:P3=2:1.

问题解决

如图1,若正方形ABC。的边长是2.

图1

(1)CM的长为；

(2)请通过计算AP的长度，说明点尸是48的三等分点.

类比探究

(3)将长方形纸片按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2,若折出的点

P也为A8的三等分点，请直接写出名的值.

B~F

图2

【答案】⑴:

⑵说明见解析

⑶*

【分析】(1)设CN=x,则EM=x,DM=2-x,在及△DEM中，由勾股定理可得：

EM2=ED2+DM2,进而得出CM的长；

SAF-DF4

(2)先证AAEPS^DME,由(1)可知：CM=-,再求得AP=----------=-,即可得出

4DM3

结论；

(3)设AP=y,AE=x,EM=〃则瓦＞=*,。加=3y-a,由勾股定理可得：x2+(3y-a)2=a2,

25

再由AAEPSA/JME,得到』=」一，即V=y(3y-a),解得a=邑，从而得到解得

x3y-a7

X,=之等,得到AC=卜9+^Z：=2毕，即可得出结论.

【详解】(1)解:设CM=x,则EM=x,DM=2-x,

在用A£)EN中，由勾股定理可得：EM2=ED2+DM2

即无2=F+Q一尤了,

解得尤=，

4

：.CM=-,

4

故答案为。；

4

(2)解：•・♦四边形A5C。是正方形，

ZA=ZC=ZD=90°,AB=AD=CD^2,

：.ZDEM+ZDME=90°,

由折叠的性质可知：ZPEM=ZC=90°,

：.ZAEP+NDEM=180°-ZPEM=90°,

・•・/AEP=/DME,

又,:ZA=ZD=90°,

：.AAEP^ADME,

.APAE

^~DE~~DM'

由(1)可知：CM=~,

4

3

DM=CD-CM=-,

4

是AD的中点，

AE^DE^-AD^l,

2

：.BP=AB-AP=~,

3

AP:PB^2:1.

即点P为AB的三等分点.

(3)解：设AP=y,AE=x,EM=a贝ijEO=尤,。M=3y—。，

在中，由勾股定理可得：EM2=ED2+DM2,

26

BPx2+(3y—a)2=a2,

-,­ZPEM=ZD=90°,

.・ZAEP+/DEM=90。,ZDEM+NEMD=90。,

,\ZAEP=ZDME,

又丁劣二功二狗。，

:AAEPSaME,

APDEAPDEanyx

•___=____,___=____oJ--=----------

'AEDM'AEDM'x3y-a"

即x2=y(3y-〃)，

2222

把x=y(3y-〃)代入x+(3y-。尸=/得，y(^y-a)+(3y-a)=a,

解得。=亨，

解得%=毕，%=-牛(舍去)

'：AC2=AB2+BC2

AB3y历

AC~3而y一11.

7

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质的综合运用.解

题的关键是证明三角形相似.

7.综合与实践

在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题.

问题情境：

如图，在44BC中，AB=AC=6,ZA=90。，点。在边AB上运动，点E在边BC上运动.

AAA

zP/CB\F'

、5/\ZSc^w\c

EEG

图1图2图3

探究发现：

(1)如图2,当沿。E折叠,点B落在边AC的点"处，且DB'〃BC时，发现四边形班是

菱形.请证明；

探究拓广：

27

⑵如图3,奇异小组同学的折叠方法是沿。E折叠，点8落在点B处，延长D9交AC于点

F,。尸〃3C,点G在边BC上运动，沿BG折叠使点C落在线段DM的中点C'处，求线段

。尸的长；

探究应用：

⑶沿DE折叠，点B的对应点"恰好落在边AC的三等分点处，请借助图1探究，并直接写

出的长.

【答案】（1）见解析

（2）DF的长是54后-72

【分析】（1）由折叠的性质可得跳>=3Z>,BE=B'E,ZBDE=ZB'DE,再由平行和等角对

等边可证得即=鹿，即可证明.

（2）由（1）可得四边形WD和四边形CFC'G是菱形，则可得AF、。F都可以用3。进

行表示，再用三角函数列出方程求解即可.

（3）分成两种情况：靠近A点的三等分点和靠近C点的三等分点，然后设未知数用勾股定

理列方程即可求得.

（1）

证明：：沿OE折叠，点8落在点&处，

,•ABDE//DE>

:.BD=B'D,BE^B'E,ZBDE=ZB'DE,

,/DB'//BC,

：.ZDEB=/B'DE,

，ZDEB=ZBDE,

BD=BE.

：.BD=PD=BE=B'E,

・•・四边形BEBZ）是菱形.

（2）

DF//BC,

.ABAC

FC?

AB—AC=6,

：.BD=CF,

由（1）得，四边形班和四边形CbC'G是菱形，

:.BE=DB'=DB,CG=CF=FC',

的中点是点C',

28

・•.DC,=CB,=B,F=-BD

2f

3

/.DF=—BD,

2

A

在ABC中，AB=AC=6fZA=90°,

___________________________1QAO_/A

・•・BC7AB2+AC2=抬+62=6五'/B=/C=-----------=45°,

,:DF〃BC,

：.ZADF=ZB=45°,

AF

在RtAAD歹中，4=90°,sinNADP=——，

DF

^26-BD

：F=3DC.解得3。=36直-48，

2

DF=|BD=-X(36A/2-48)=54A/2-72,

，线段DF的长是5472-72.

(3)

当3'在靠近A点的三等分点时，AB^AC=2,

沿DE折叠，点B的对应点B',

.•.设3。=的=x,贝UAD=6-x,

在AAD?中，NA=90。，

\BB>2^AD2+AB2,

即/=(6-X)2+22,

解得：X=y,

2

当？在靠近C点的三等分点时，AB^=-AC=4,

,/沿。E折叠，点2的对应点B',

设BD=BD^=m,则AD=6-m,

在AAD?中，ZA=90°,

\BE)2^AD2+AB2,

即nr=(6-m)2+42,

13

解得：m=7，

1013

\BD=~或者.

【点睛】本题考查了图形的折叠性质，菱形的判定和性质，勾股定理以及分类讨论的思想方

29

法；熟练掌握图像折叠性质、菱形的判定和性质是解题关键.

8.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，在四边形O43C中，顶点A(0,2),C(A/3,0),

⑴如图①，求点8的坐标；

(2)如图②，将四边形。ABC沿直线所折叠，使点A与点C重合，求点E,尸的坐标；

⑶如图③,若将四边形0ABe沿直线EF折叠,使E尸〃OB,设点A对折后所对应的点为A,

△AEF与四边形EO8F的重叠面积为S,设点E的坐标为(0,机)(0<m<l),请直接写出

S与机的函数关系式.

【答案】⑴点2的坐标(6,1)

⑵点E坐标为(0，；),点B坐标为(友,U)

41010

(3)S=--m2+y/3m(0<m<l)

4

【分析】(1