中考数学难点突破与训练:图形折叠中的等腰三角形存在性问题(含答案及解析)_第1页
中考数学难点突破与训练:图形折叠中的等腰三角形存在性问题(含答案及解析)_第2页
中考数学难点突破与训练:图形折叠中的等腰三角形存在性问题(含答案及解析)_第3页
中考数学难点突破与训练:图形折叠中的等腰三角形存在性问题(含答案及解析)_第4页
中考数学难点突破与训练:图形折叠中的等腰三角形存在性问题(含答案及解析)_第5页
已阅读5页,还剩61页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

专题52图形折叠中的等腰三角形存在性问题

【题型演练】

一、解答题

i.对于面积为s的三角形和直线/,将该三角形沿直线/折叠,重合部分的图形面积记为s0,定义FT为

3一、

该三角形关于直线I的对称度.如图,将面积为S的△ABC沿直线/折叠,重合部分的图形为△L。石,将△C'OE

的面积记为s。,则称为AABC关于直线/的对称度.

在平面直角坐标系尤0y中,点4(0,3),B(-3,0),C(3,0).

(1)过点M(%,0)作垂直于x轴的直线乙,

①当m=1时,AABC关于直线4的对称度的值是:

②若△ABC关于直线4的对称度为1,则m的值是

(2)过点N(0,〃)作垂直于y轴的直线几求AA8C关于直线4的对称度的最大值.

(3)点P(—4,0)满足”=5,点。的坐标为(30),若存在直线,使得AAP。关于该直线的对称度为1,

写出所有满足题意的整数r的值.

2.如图1,在AABC中,ZC=90°,ZA=40°,。为AC的中点,E为边上一动点,连接。E,将VADE

沿。E翻折,点A落在AC上方点/处,连接ERCF.

图⑴备用图

(1)判断N1与N2是否相等并说明理由;

⑵若ADEF与以点C,D,F为顶点的三角形全等,求出-4DE的度数:

(3)翻折后,当从)所和的重叠部分为等腰三角形时,直接写出4DE的度数.

3.数学兴趣小组开展实践探究活动,将三角形ABC纸片沿某条直线折叠,使其中一个角的顶点落在一边

上.在△ABC中,AB=9,BC=6.

(1)如图1,若/AC8=90。,将△ABC沿CM折叠,使点8与边AB上的点N重合,求的长

(2)如图2,若/AC8=2/A,将△ABC沿CM折叠,使点B与边AC上的点N重合,

①求AC的长;

②若。是AC的中点,P为线段ON上的一个动点,将A沿PM折叠得到△APM,AM与AC相交于

PF

点、F,则弓y的取值范围为•

FM

4.在△ABC中,ZACB=90°,AC=4,BC=3.

(1)如图1,。为线段BC上一点,点C关于A。的对称点C恰好落在AB边上,求CZ)的长;

(2)如图2,E为线段AB上一点,沿CE翻折△C8E得到△CE夕,若EB'〃AC,求证:AE=AC;

(3)如图3,。为线段BC上一点,点C关于4。的对称为点C,,是否存在异于图1的情况的C,、B、。为顶

点的三角形为直角三角形,若存在,请直接写出2。长;若不存在,请说明理由.

5.如图1,已知直线产-2尤+4与x轴、y轴分别交于点A、C,以OC为边在第一象限内作长方形OABC.

2

(1)求点A、C的坐标;

(2)将AA8C对折,使得点A的与点C重合,折痕交AB于点D求直线的解析式(图2);

(3)在y轴上是否存在一点尸(不与C重合),使得尸是等腰三角形,若存在,请求出所有符合条件的点

尸的坐标;若不存在,请说明理由.

6.问题背景

折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动,折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国,6世纪

时传入日本,再经由日本传到全世界,折纸与自然科学结合在一起,不仅成为建筑学院的教具,还发展出

了折纸几何学,成为现代几何学的一个分支.今天折纸被应用于世界各地,其中比较著名的是日本筑波大

学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理,它已成为折纸几何学的基本定理.

芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下:

第一步:如图1,将正方形纸片A8C。对折,使点A与点。重合,点8与点C重合.再将正方形A8C。展

开,得到折痕EF;

第二步:将正方形纸片的右下角向上翻折,使点C与点E重合,边BC翻折至百召的位置,得到折痕

BE与AB交于点P.

则点尸为48的三等分点,即AP:PB=2:1.

问题解决

如图1,若正方形ABC。的边长是2.

图1

3

(1)CM的长为;

(2)请通过计算AP的长度,说明点P是的三等分点.

类比探究

(3)将长方形纸片45co(AS>BC)按问题背景中的操作过程进行折叠,如图2,若折出的点尸也为的三

等分点,请直接写出黑的值.

k::

III

B~FC

图2

7.综合与实践

在数学综合实践课上,老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题.

问题情境:

如图,在"RC中,AB=AC=6,ZA=90°,点。在边AB上运动,点E在边上运动.

AAA

图2图3

探究发现:

(1)如图2,当沿QE折叠,点8落在边AC的点E处,且。时,发现四边形跳BZ)是菱形.请证明;

探究拓广:

(2)如图3,奇异小组同学的折叠方法是沿。E折叠,点8落在点处,延长。匠交AC于点FDF//BC,

点G在边上运动,沿PG折叠使点C落在线段。9的中点C'处,求线段。尸的长;

探究应用:

(3)沿DE折叠,点B的对应点9恰好落在边AC的三等分点处,请借助图1探究,并直接写出BD的长.

8.在平面直角坐标系中,。为坐标原点,在四边形OA8C中,顶点A(0,2),C(6,0),B(君,〃),且点

8在第一象限,AOAB是等边三角形.

4

图①图②

(1)如图①,求点8的坐标;

(2)如图②,将四边形OABC沿直线EF折叠,使点A与点C重合,求点E,F的坐标;

(3)如图③,若将四边形043c沿直线跖折叠,使即〃OB,设点A对折后所对应的点为A,,AAEP与四

边形£。3尸的重叠面积为S,设点E的坐标为(0,m)(0<m<l),请直接写出S与相的函数关系式.

9.如图,RtZkAOB中,ZAOB=90°,04=03=4,点尸在直线。4上运动,连接尸8,将AOBP沿直线

折叠,点。的对应点记为。,.

(1)若AP=AB,则点尸到直线A3的距离是

(2)若点。”恰好落在直线A8上,求AOSP的面积;

(3)将线段PB绕点尸顺时针旋转45。得到线段PC,直线PC与直线AB的交点为Q,在点P的运动过程中,

是否存在某一位置,使得APB。为等腰三角形?若存在,请直接写出OP的长;若不存在,请说明理由.

10.定义:若a,b,c是AABC的三边,且。2+〃=2。2,则称△ABC为“方倍三角形”.

(1)对于①等边三角形②直角三角形,下列说法一定正确的是.

A.①一定是“方倍三角形”B.②一定是“方倍三角形”

C.①②都一定是“方倍三角形"D.①②都一定不是“方倍三角形”

(2)若放△A8C是“方倍三角形”,且斜边A8=豆,则该三角形的面积为;

(3)如图,ZkABC中,ZABC=120°,ZACB=45°,P为AC边上一点,将AABP沿直线3尸进行折叠,点

A落在点。处,连接C。,AD.若△A3。为“方倍三角形",且AP=g,求APOC的面积.

5

11.如图1,在AABC中,AB=AC=5cm,BC=6cm,AE为8C边上的中线.

(1)求AE的长;

(2)动点尸的速度为2cm/s,运动时间为f秒.

①如图2,当点尸从点B开始沿BC边向点C移动时,若AABP是以3尸为腰的等腰三角形,请你求出所有满

足条件的♦的值.

②如图3,当点尸从点C开始沿AC边向点A移动时,将沿直线PE对折,点C的对称点为C,当

△CPE与重叠部分为直角三角形时,请直接写出t的值为

图1

12.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(5,0),以原点。为圆心、3为半径作。O,。。与x轴交于点

B、C.点P从点。出发,以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动,运动时间为f(s).连结AP,将AOAP

沿AP翻折,得到A”。.

(1)当△OAQ为等边三角形时,请直接写出P点坐标;

(2)若△A3。为直角三角形时,请求出f的值;

(3)求AAP。有一边所在直线与。。相切时,请直接写出f的值.

6

13.(1)操作发现:如图①,在RtAABC中,/C=2/B=90。,点。是BC上一点,沿4。折叠AAOC,使

得点C恰好落在A8上的点E处,请写出AB、AC,CQ之间的关系?并说明理由.

(2)问题解决:如图②,若(1)中NCM0。,其他条件不变,请猜想AB、AC.CD之间的关系,并证明

你的结论;

(3)类比探究:如图③,在四边形A8C。中,ZB=120°,ZD=90°,AB=BC,AD=BC,连接AC,点E

是CO上一点,沿AE折叠,使得点。正好落在AC上的点尸处,若2C=3,求出DE的长.

图①图②图③

14.我们知道平行四边形有很多性质,现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折,会发现这其中

还有更多的结论.

【发现与证明】

YA3CD中,AB^BC,将AABC沿AC翻折至VAB'C,连结

结论1:VA8'C与YABCD重叠部分的图形是等腰三角形.

结论2:B'D//AC;

⑴请利用图1证明结论1或结论2;

【应用与探究】

在YABCD中,己知々=30。,将AA5c沿AC翻折至VAB'C,连结B7).

7

(2)如图,若AB=下,ZAB'D=15°,则NACB=。,BC=;

(3)已知AB=26,当3c长为多少时,VAST)是直角三角形?请直接写出答案

15.如图,在平行四边形纸片中,A£)=6cm,将纸片沿对角线8。对折,边A2的对应边BF与O)

边交于点E,此时A8CE恰为等边三角形.

(1)求AB的长度;

(2)重叠部分的面积为;

(3)将线段BC沿射线54方向移动,平移后的线段记作8C,请直接写出8F+C户的最小值.

16.定义:有三个角相等的四边形叫做三等角四边形.

图1

(1)在三等角四边形ABCD中,ZA=NB=NC,则—A的取值范围为;

(2)如图1,折叠平行四边形OEM,使得顶点E尸分别落在边8瓦8尸上的点AC处,折痕为。G、DH.求

8

证:四边形ABCD为三等角四边形;

(3)如图2,在三等角四边形ABCD中,NA=N3=NC,若AB=5,AD=y/26,DC=1,则BC的长度

为.

17.综合与实践,问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图①,在YABCD中,BELAD,

垂足为E,b为CD的中点,连接E■尸,BF,试猜想E尸与8尸的数量关系,并加以证明;

独立思考:(1)请解答老师提出的问题;

实践探究:(2)希望小组受此问题的启发,将YABCD沿着砥(尸为8的中点)所在直线折叠,如图②,

点C的对应点为。,连接。。并延长交A3于点G,请判断AG与3G的数量关系,并加以证明;

问题解决:(3)智慧小组突发奇想,将YA3co沿过点5的直线折叠,如图③,点A的对应点为4,使

48LCD于点折痕交AD于点V,连接4/,交8于点N.该小组提出一个问题:若此YABCD的

面积为20,边长AB=5,BC=275,求图中阴影部分(四边形3HM0)的面积.请你思考此问题,直接

写出结果.

图①图②图③

18.综合与实践

在一次综合实践活动课上,数学王老师给每位同学各发了一张正方形纸片,要求同学们仅通过折纸的方法

来确定该正方形一边上的一个三等分点.

“启航”小组的同学在经过一番思考和讨论交流后,进行了如下的操作:

第一步:如图1,将正方形纸片ABCD的一条边4。对折,使点A和点D重合,得到AD的中点E,然后展

开铺平;

第二步:如图2,将。边沿CE翻折到CF的位置;

9

第三步:如图3,再将8C沿过点C的直线翻折,使点8和点F重合,折痕与边交于点G.

他们认为:该点G就是A8边的一个三等分点.

(1)试证明上面的结论:

(2)“奋进”小组的同学是这样操作的:

第一步:先将正方形纸片ABC。的一条边A。对折,使点A和点。重合,找到AD的中点E;

第二步:再折出正方形纸片A8C。的对角线AC,以及点8和点E的连线8E,这两条折痕相交于点B

第三步:最后,过点尸折出A8的平行线GN,分别与AD,BC交于点G和点N.

①请根据上面的描述,在图4中画出所有的折痕,确定点G和点N的位置;

②请结合①中所画的图形,判断点G是否为边的三等分点,并说明理由.

10

专题52图形折叠中的等腰三角形存在性问题

【题型演练】

一、解答题

1.对于面积为S的三角形和直线/,将该三角形沿直线/折叠,重合部分的图形面积记为S。,

定义下”为该三角形关于直线/的对称度.如图,将面积为S的AABC沿直线/折叠,重

合部分的图形为AC'OE,将AC力E的面积记为S。,则称二'为△ABC关于直线/的对称

度.

在平面直角坐标系xOy中,点4(0,3),8(—3,0),C(3,0).

(1)过点〃(加,0)作垂直于x轴的直线4,

①当m=1时,△ABC关于直线乙的对称度的值是:

②若△ABC关于直线乙的对称度为1,则机的值是.

(2)过点N(0,")作垂直于y轴的直线右,求AABC关于直线/2的对称度的最大值.

(3)点P(—4,0)满足AP=5,点。的坐标为(30),若存在直线,使得尸。关于该直线

的对称度为1,写出所有满足题意的整数/的值.

71

【答案】(1)①,;②0;(2)铲(3)4或1或-9

【分析】(1)①作图,求出"c“=2,再根据定义求值即可;②通过数形结合的思想即可

得到,w=0;

(2)根据求△ABC关于直线乙的对称度的最大值,即是求"CM最大值即可;

(3)存在直线,使得AAP。关于该直线的对称度为1,即转变为△AP。是等腰三角形,需

要分类进行讨论,分AP=AQ;AP=PQ=5.AQ=PQ,同时需要满足f的值为整数.

【详解】解:⑴①当%=1时,根据题意作图如下:

11

vOA=OC=3,

/.Rt^AOC为等腰直角三角形,

CE=DE=2,

SRSDEC=/x2x2=2,

根据折叠的性质,

•q=?

•,晨。DE一,

S.ABC=gx6x3=9,

.1△ABC关于直线4的对称度的值是:

故答案是:y:

②如图:

12

S--5

Ot,C,DE_20AABC,

△ABC关于直线乙的对称度为1,

故答案是:0;

(2)过点N(0,”)作垂直于y轴的直线要使得△ABC关于直线6的对称度的最大值,

则需要使得最大,如下图:

3

根据>=',可得及。为AABC的中位线,

:.ED=-BC=3

2f

139

•••SQDE=5x3x5=“

9

「.△A5c关于直线4的对称度的最大值为:」百=;;

9--

4

(3)若存在直线,使得AAP。关于该直线的对称度为1,

即△AP。为等腰三角形即可,

①当AP=AQ时,△APQ为等腰三角形,如下图:

13

「.,=4;

②当"=PQ=5时,△AP。为等腰三角形,当。在P右侧时,如下图:

.../=1;

同理,当。在P左侧时,t=-9

③当AQ=尸。时,△AP。为等腰三角形,如下图:

设OQ=x,贝"Q=4_x,

14

根据勾股定理:PQ=AQ=y/x2+32.

(4-%)2=X2+9,

7

解得:x=g

o

7

(不是整数,舍去),

o

综上:满足题意的整数/的值为:4或1或-9.

【点睛】本题考查了三角形的折叠,对称类新概念问题、等腰三角形的性质、勾股定理,解

题的关键是读懂题干信息,搞懂对称度的概念,再结合数形结合及分类讨论的思想进行求解.

2.如图1,在AABC中,NC=90。,NA=40。,。为AC的中点,E为边AB上一动点,连

接DE,将VAOE沿。E翻折,点A落在AC上方点尸处,连接斯,CF.

备用图

(1)判断/I与/2是否相等并说明理由;

⑵若与以点C,D,尸为顶点的三角形全等,求出N4组的度数:

(3)翻折后,当ADEF和AABC的重叠部分为等腰三角形时,直接写出—ADE的度数.

【答案】(1)/1=/2,理由见解析

(2)70°

⑶*10■00或1售40°■或70。

【分析】(1)由VADE沿OE翻折可知A£>=r>F=CD,NFDE=ZADE=N1,可知ACDR为

等腰三角形,ZDFC=ZDCF=Z2,ZCDF+ZFDE+ZEDA=180°,计算求解即可;

(2)ADEF与ACDF全等,分两种情况讨论;①DF=DE=AD,ZA=ZDEA,

/4/汨=180。-44-/。匹4,求NADE的值然后判断此时△/)即与ACE亦是否全等,若全等,

则4DE的值即为所求;®DF=FE=AD,ZA=ZDFE,ZEDF=ZADE,

NADE=ZFDE=-----,求NADE的值然后判断此时ADEF与ACDF是否全等,若

全等,则4DE的值即为所求;

(3)分情况讨论①由题意知(2)中NADE=70。时符合题意,②如图3,重合部分的等腰

15

三角形中,DE=DG,/DEG=/OGE,根据三角形的外角性质,三角形的内角和定理即

AFDE=ZADE=Z1,ADEG=ZADE+ZA,N1+NDEG+NDGE=18O。计算求解即可;③如

图4,重合部分的等腰三角形DE=EG,NEDG=/r)GE=Nl,根据三角形的外角性质,三

角形的内角和定理即ZDEG=ZADE+ZA,N1+N£>£G+N£>GE=18O。计算求解即可.

【详解】(1)解:Z1=Z2

由VADE沿翻折可知AD=DENFDE=ZADE=N1

...。为AC的中点

,AD=CD=DF

ACDF为等腰三角形

,ZDFC=ZDCF=Z2

':ZCDF+ZFDE+ZEDA=180°

A18O°-2Z2+Z1+Z1=18O°

Z1=Z2.

(2)解::CD=D尸,ACDR是等腰三角形,QEF马ACDF全等

①如图1,当D尸=nE=AD时,VADE为等腰三角形,ADEF为等腰三角形

ZA=ZDEA=40°,ZADE=180°-ZA-ZDE4=100°

ZADE=ZEDF=100°

ZADE+ZEDF=200°>180°

.•.当=时,点/在AC的下方,不符合题意;

又:NCDF=200°-180°=20°,NCDF*ZFDE

QEF与ACDF不全等,NADE=100。舍去;

②如图2

图2

当。b==时,VADE为等腰三角形,ADEF为等腰三角形

16

ZA=NDFE,ZEDF=ZADENFDE=ZFED=皿。--。式石=180。-40。=^QO

22

EF//AD,EF=AD=CD

四边形AEFD,CDEF均是平行四边形

,八EFD与ACDF全等

:.ZADE=ZFDE=70°

.•.当£)?=庄;时,AEFD与CDF全等,ZADE=70°;

综上所述,若ADEF与以点、C,D,产为顶点的三角形全等,4DE的值为70。.

(3)解:①由(2)中图2可知当NADE=70。时,ADER在"1BC内,此时两个三角形的

重叠部分为等腰三角形;

②如图3,△DEG为ADEF与AABC重合的等腰三角形

图3

/.DE=DG,ZDEG=ZDGE

;NFDE=ZADE=N1,ZDEG=ZADE+ZA,Zl+ZDEG+ZDGE^l80°

1QQO_/I

ZDEG=----------=Z1+ZA=Z1+40°

2

100。

Z1

~T~

100°

ZADE

③如图4,△DEG为ADEF与AABC重合的等腰三角形

图4

:.DE=EG,ZEDG=ZDGE=Z1

VZFDE=ZADE=Zl,ZDEG=ZADE+ZA,Zl+ZDEG+ZDGE=180°

17

・・・ZDEG=180°-2Z1=Z1+ZA=Z1+40°

Nl=胭

3

140°

ZADE=——

3

1000140°

综上所述,当ADEF和△ABC的重叠部分为等腰三角形时,NADE的值为詈-或号-或70。

【点睛】本题考查了等腰三角形,几何图形折叠对称,三角形全等,三角形的内角和定理,

三角形的外角等知识.解题的关键在于正确的分析可能存在的情况.

3.数学兴趣小组开展实践探究活动,将三角形ABC纸片沿某条直线折叠,使其中一个角的

顶点落在一边上.在△ABC中,AB=9,BC=6.

图1图2(备用图)

(1)如图1,若/ACB=90。,将AA8C沿CM折叠,使点8与边A8上的点N重合,求的

(2)如图2,若将△ABC沿CM折叠,使点2与边AC上的点N重合,

①求AC的长;

②若。是AC的中点,尸为线段ON上的一个动点,将△沿折叠得到△AM

PF

与AC相交于点尸,则由的取值范围为.

【答案】⑴5M=4;

⑵①人。=/②M黑T

【分析】(1)由题意得羽,从而可得,然后证明△。期。人408,利

用相似三角形的对应边成比例即可以求出答案,

(2)①由NACB=2/A及将△ABC沿CM折叠,使点8与边AC上的点N重合,得

ZBCM=ZA,从而论证ACWBSAACB,利用相似三角形三边对应成比例求出答案;②利

用折叠得到N4=4'=NMCRPA=PA,从而得到APEYSAMFC,利用相似三角形的性质

得到弓7=3,再根据PA最长为OA的长,最短为AN的长,从而求出答案.

FMCM

【详解】(1)解:如图1,

将4ABC沿CM折叠,使点8与边上的点N重合,

■■CMLAB,

18

ZCMB=90°,

•••ZACB=90°,

・•.ZCMB=ZACB,

ZB=ZB,

/.^CMB^^ACB,

.BMBC

…正一法’

vAB=9,BC=6,

.BM__6

,,—―,

69

,BM=4;

(2)解:①如图2,

将△A5c沿CM折叠,使点8与边AC上的点N重合,BC=6,

CB=CN=6,/BCM=ZACM,

ZACB=2ZAf

ZBCM=ZA=ZACM,

NB=NB,

△CMBS^ACB,

BMBCCM

AB=9,BC=6,

BM_6

~6~~91

BM=4;

ZA=ZACM,AB=9,

CM=AM=9-4=5;

BCCM

AB=9,BC=6,

~AB~Hc

6_5

9-AC

②如图4,

19

A

图4

将4APM沿PM折叠得到4A'PM,

■.ZA=ZAf=ZMCF,PA=PA!,

NPFA'=ZMFC,

•.△尸E4's“lFC,

,PFPA'

'FM~CM'

CM=5,

,PFPA!

~FM~~T'

.・尸为线段ON上的一个动点,0A=OC=:AC=?,

24

PA!=~~r,PA'最短=AN,

4

153

.•AN=AC-CN=AC-BC=——6=-

22

\-<PAr<—,

24

PFPA'

FM~5

3,PF「

\——<-----<—

10FM4

3PF3

故答案为:—《<-

10FM4

【点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定及其性质,熟练掌握这些性质定理找到

三角形相似是解决问题的关键.

4.在△A8C中,ZACB=90°,AC=4,BC=3.

20

(1)如图1,。为线段8c上一点,点C关于的对称点C恰好落在A3边上,求CQ的长;

(2汝口图2,E为线段A8上一点,沿CE翻折△CBE得到△CEQ,若E9〃AC,求证:AE=

AC;

(3)如图3,。为线段3C上一点,点C关于的对称为点C,,是否存在异于图1的情况的

C\B、。为顶点的三角形为直角三角形,若存在,请直接写出BC长;若不存在,请说明

理由.

【答案】(呜

⑵见解析

(3)4-77

【分析】(1)首先勾股定理得AB=5,再由对称性得AC=AC=4,得BC=\,在Rm8。。中,

利用勾股定理列方程即可;

(2)由翻折得ZB'CE=ZBCE,再根据NAEC=NB+NBCE,

ZACE=ZB'CA+ZB'CE,可得NAEC=/ACE,从而证明结论;

(3)当NCBO=90。时,过点A作AEJ_AC,交8C延长线于点E,设BC为x,贝!JC'E=4-x,

在RdACE中,由勾股定理得,(4-x)2+32=42,解方程从而解决问题.

(1)

解:在ABC中,由勾股定理得AB=5,

,/点C关于4。的对称点。恰好落在AB边上,

:.AC=AC=4,

:.BC=\,

在放△BCD中,由勾股定理得,

(3-CD)2=312+C£>2,

4

解得:CD=—;

(2)

证明:,/沿CE翻折△CBE得到△CEB',

:.ZB'=ZB,ZB'CE=ZBCE,

':EB'//AC,

:.ZB'=ZB'CA=ZB,

:.NAEC=NB+NBCE,ZACE^ZB'CA+ZB'CE,

:.ZAEC=ZACE,

:.AE=AC;

(3)

存在,BC=4-币,

:ZAD0450,

21

.../BOC不可能为90。,

当BC1.BC时,过点A作AE_LAC,交8C延长线于点E,

ZC=ZCBD=90°=Z£,

,四边形ACBE为矩形,设BC为x,则CE=4-x,

,/AACD翻折后得到△ACD,

:.AC'=AC=4,

':AE=BC=3,

在RQACE中,由勾股定理得,

:.(4-x)2+32=42,

解得:x=4士币,

Vx<4,

,\X=4-A/7,

即2C长为4-g.

【点睛】本题是几何变换综合题,主要考查了翻折变换,勾股定理,平行线的性质,等腰三

角形的判定等知识,运用勾股定理列方程是解题的关键,同时渗透了分类讨论的数学思想.

5.如图1,已知直线y=-2^+4与无轴、y轴分别交于点A、C,以。4、0c为边在第一象限

内作长方形042C

(1)求点A、C的坐标;

⑵将△ABC对折,使得点A的与点C重合,折痕交AB于点D,求直线CD的解析式(图2);

(3)在y轴上是否存在一点P(不与C重合),使得△口)尸是等腰三角形,若存在,请求出所

22

有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(DA(2,0),C(0,4)

3

(2)y=--x+4

(3)存在,„或若)或(0,1)或

【分析】⑴已知直线y=-2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C,即可求得A和C的坐标;

(2)根据题意可知△ACQ是等腰三角形,由折叠的性质和勾股定理可求出长,即可求得。

点坐标,最后即可求出C。的解析式;

(3)分三种性质分别计算,即可找出符合题意的点尸的坐标.

(1)

解:当%=0时,y=4,

.•.C(0,4);

当y=0时,-2x+4=0,解得x=2,

.•.A(2,0);

解:VA(2,0),C(0,4),

:.OA=2,OC=4,

又•••四边形OABC是矩形,

:.BC=OA=2,AB=OC=4,

由折叠性质可知:CD=AD.设AD=x,则C£)=x,B£>=4-x,

根据勾股定理得:CD2=BC2+BD2,=22+(4-X)2,

解得:x=:,

此时,但|,D(2,|),

设直线C。为广息+4,把。代入得,|=2/:+4,

解得:k=-3i

4

3

...直线。解析式为y=-%+4;

(3)

解:存在y轴上的点尸)使得ACDP是等腰三角形,

理由如下:

设点尸的坐标为(0,优),

23

2

贝IJC产=(4一根)=DP2=22+

由(2)知CD=g,

①当CP=CD时,CP2=CD2,

2

即(4—加了=5

313

解得利二万或加二万

即点尸的坐标是(。,0或

22

②当DC=D尸时,DC=DP,

即if)=22+1-|),

解得m=1或m=4,

即点P的坐标是(0,1)或(0,4)(舍去);

③当PC=PD时,PC2=PD1,

即(4—m)2=2?+(加_:),

25

解得加=-逐,

即点P的坐标是

综上所述,点P的坐标为[。,|[或(吟]或(0,1)或.

【点睛】本题考查了一次函数的综合题,主要考查了折叠的性质,一次函数图象及其性质,

待定系数法求一次函数的解析式,等腰三角形的性质,分类讨论思想的运用是解题的关键.

6.问题背景

折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动,折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时

的中国,6世纪时传入日本,再经由日本传到全世界,折纸与自然科学结合在一起,不仅成

为建筑学院的教具,还发展出了折纸几何学,成为现代几何学的一个分支.今天折纸被应用

于世界各地,其中比较著名的是日本筑波大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理,它已成为

折纸几何学的基本定理.

芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下:

第一步:如图1,将正方形纸片A3CD对折,使点A与点。重合,点B与点C重合.再将

正方形A8CD展开,得到折痕跖;

第二步:将正方形纸片的右下角向上翻折,使点C与点E重合,边BC翻折至8Z的位置,

24

得到折痕MN,BE与AB交于点P.

则点尸为A8的三等分点,即AP:P3=2:1.

问题解决

如图1,若正方形ABC。的边长是2.

图1

(1)CM的长为;

(2)请通过计算AP的长度,说明点尸是48的三等分点.

类比探究

(3)将长方形纸片按问题背景中的操作过程进行折叠,如图2,若折出的点

P也为A8的三等分点,请直接写出名的值.

B~F

图2

【答案】⑴:

⑵说明见解析

⑶*

【分析】(1)设CN=x,则EM=x,DM=2-x,在及△DEM中,由勾股定理可得:

EM2=ED2+DM2,进而得出CM的长;

SAF-DF4

(2)先证AAEPS^DME,由(1)可知:CM=-,再求得AP=----------=-,即可得出

4DM3

结论;

(3)设AP=y,AE=x,EM=〃则瓦>=*,。加=3y-a,由勾股定理可得:x2+(3y-a)2=a2,

25

再由AAEPSA/JME,得到』=」一,即V=y(3y-a),解得a=邑,从而得到解得

x3y-a7

X,=之等,得到AC=卜9+^Z:=2毕,即可得出结论.

【详解】(1)解:设CM=x,则EM=x,DM=2-x,

在用A£)EN中,由勾股定理可得:EM2=ED2+DM2

即无2=F+Q一尤了,

解得尤=,

4

:.CM=-,

4

故答案为。;

4

(2)解:•・♦四边形A5C。是正方形,

ZA=ZC=ZD=90°,AB=AD=CD^2,

:.ZDEM+ZDME=90°,

由折叠的性质可知:ZPEM=ZC=90°,

:.ZAEP+NDEM=180°-ZPEM=90°,

・•・/AEP=/DME,

又,:ZA=ZD=90°,

:.AAEP^ADME,

.APAE

^~DE~~DM'

由(1)可知:CM=~,

4

3

DM=CD-CM=-,

4

是AD的中点,

AE^DE^-AD^l,

2

:.BP=AB-AP=~,

3

AP:PB^2:1.

即点P为AB的三等分点.

(3)解:设AP=y,AE=x,EM=a贝ijEO=尤,。M=3y—。,

在中,由勾股定理可得:EM2=ED2+DM2,

26

BPx2+(3y—a)2=a2,

-,­ZPEM=ZD=90°,

.・ZAEP+/DEM=90。,ZDEM+NEMD=90。,

,\ZAEP=ZDME,

又丁劣二功二狗。,

:AAEPSaME,

APDEAPDEanyx

•___=____,___=____oJ--=----------

'AEDM'AEDM'x3y-a"

即x2=y(3y-〃),

2222

把x=y(3y-〃)代入x+(3y-。尸=/得,y(^y-a)+(3y-a)=a,

解得。=亨,

解得%=毕,%=-牛(舍去)

':AC2=AB2+BC2

AB3y历

AC~3而y一11.

7

【点睛】本题主要考查了折叠的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质的综合运用.解

题的关键是证明三角形相似.

7.综合与实践

在数学综合实践课上,老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题.

问题情境:

如图,在44BC中,AB=AC=6,ZA=90。,点。在边AB上运动,点E在边BC上运动.

AAA

zP/CB\F'

、5/\ZSc^w\c

EEG

图1图2图3

探究发现:

(1)如图2,当沿。E折叠,点B落在边AC的点"处,且DB'〃BC时,发现四边形班是

菱形.请证明;

探究拓广:

27

⑵如图3,奇异小组同学的折叠方法是沿。E折叠,点8落在点B处,延长D9交AC于点

F,。尸〃3C,点G在边BC上运动,沿BG折叠使点C落在线段DM的中点C'处,求线段

。尸的长;

探究应用:

⑶沿DE折叠,点B的对应点"恰好落在边AC的三等分点处,请借助图1探究,并直接写

出的长.

【答案】(1)见解析

(2)DF的长是54后-72

【分析】(1)由折叠的性质可得跳>=3Z>,BE=B'E,ZBDE=ZB'DE,再由平行和等角对

等边可证得即=鹿,即可证明.

(2)由(1)可得四边形WD和四边形CFC'G是菱形,则可得AF、。F都可以用3。进

行表示,再用三角函数列出方程求解即可.

(3)分成两种情况:靠近A点的三等分点和靠近C点的三等分点,然后设未知数用勾股定

理列方程即可求得.

(1)

证明::沿OE折叠,点8落在点&处,

,•ABDE//DE>

:.BD=B'D,BE^B'E,ZBDE=ZB'DE,

,/DB'//BC,

:.ZDEB=/B'DE,

,ZDEB=ZBDE,

BD=BE.

:.BD=PD=BE=B'E,

・•・四边形BEBZ)是菱形.

(2)

DF//BC,

.ABAC

FC?

AB—AC=6,

:.BD=CF,

由(1)得,四边形班和四边形CbC'G是菱形,

:.BE=DB'=DB,CG=CF=FC',

的中点是点C',

28

・•.DC,=CB,=B,F=-BD

2f

3

/.DF=—BD,

2

A

在ABC中,AB=AC=6fZA=90°,

___________________________1QAO_/A

・•・BC7AB2+AC2=抬+62=6五'/B=/C=-----------=45°,

,:DF〃BC,

:.ZADF=ZB=45°,

AF

在RtAAD歹中,4=90°,sinNADP=——,

DF

^26-BD

:F=3DC.解得3。=36直-48,

2

DF=|BD=-X(36A/2-48)=54A/2-72,

,线段DF的长是5472-72.

(3)

当3'在靠近A点的三等分点时,AB^AC=2,

沿DE折叠,点B的对应点B',

.•.设3。=的=x,贝UAD=6-x,

在AAD?中,NA=90。,

\BB>2^AD2+AB2,

即/=(6-X)2+22,

解得:X=y,

2

当?在靠近C点的三等分点时,AB^=-AC=4,

,/沿。E折叠,点2的对应点B',

设BD=BD^=m,则AD=6-m,

在AAD?中,ZA=90°,

\BE)2^AD2+AB2,

即nr=(6-m)2+42,

13

解得:m=7,

1013

\BD=~或者.

【点睛】本题考查了图形的折叠性质,菱形的判定和性质,勾股定理以及分类讨论的思想方

29

法;熟练掌握图像折叠性质、菱形的判定和性质是解题关键.

8.在平面直角坐标系中,。为坐标原点,在四边形O43C中,顶点A(0,2),C(A/3,0),

⑴如图①,求点8的坐标;

(2)如图②,将四边形。ABC沿直线所折叠,使点A与点C重合,求点E,尸的坐标;

⑶如图③,若将四边形0ABe沿直线EF折叠,使E尸〃OB,设点A对折后所对应的点为A,

△AEF与四边形EO8F的重叠面积为S,设点E的坐标为(0,机)(0<m<l),请直接写出

S与机的函数关系式.

【答案】⑴点2的坐标(6,1)

⑵点E坐标为(0,;),点B坐标为(友,U)

41010

(3)S=--m2+y/3m(0<m<l)

4

【分析】(1

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论