浙江省嘉兴市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

浙江省嘉兴市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

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题号——总分

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一'选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项的编码填入答题卷的相应空

格，每小题3分，共30分）

1.任意抛一枚质地均匀的硬币，落地后“正面朝上”这一事件是（）

A.必然事件B.确定事件C.随机事件D.不可能事件

2.已知b=2a,则支也的值为（）

CL

A.1B.|C.|D.3

3.抛物线y=（无一+2的顶点坐标为（）

A.(1,—2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(—1,—2)

4.已知C是线段上黄金分割点，AB=2,AOBC,则AC的长为（）

A.3-V5B.V5-1C.2-V3D.y/3—1

5.如图，△43。内接于。。，4。是。。的直径，若乙B=20°,则NCW的度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

6.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点。为位似中心，在y轴右侧作A/BO放大2倍后的位似图形△CD。,

若点B的坐标为（—1,—2）,则点B的对应点O的坐标为（）

A.（2,4）B.（3,4）C.（3,5）D.（4,3）

7.如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正方形4BCD,若4F=4,BF=3,

在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形EFGH区域内的概率为（）

1

BC1D

-克C-24-白

8.如图，点P是等边三角形ABC的重心，AB=3,Q是BC边上一点，当PQ1BP时，则BQ的长为（）

A.1B.1C.V3D.2

9.如图，45是。。一条弦，将劣弧沿弦ZB翻折，连结/。并延长交翻折后的弧于点C,连结BC,若43=

2,BC=1,则AC的长为（）

C.|V5D.1V5

10.已知二次函数y=/-bx+1,当一寸，函数y有最小值得，则b的值为（）

A.—鱼或擀B.—詈或擀C.+V2D.—鱼或一苓

二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11.已知正n边形的一个外角是72。，则九=.

12.如图，2B与CO交于点。，连结2。和BC,要使△400sAB0C,请添加一个条

件：.

13.一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一

2

个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为.

14.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度％(m/s)满足二次函数y=0.04x2(x>0),若该车某次的刹车距

离为9m,则开始刹车时的速度为m/s.

15.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=a/-4。久-3与y轴交于点A,过点4作久轴的平行线

交抛物线于点B,抛物线顶点为P.若直线OP交直线AB于点C,且4BC=3AB,则a的值为.

16.如图，△28。内接于。。，已知是。。直径，AB=2,N4BC=30。，点。在直径4B上方的半圆上运

动，连结CD交力B于点E,则空的最大值为.

三、解答题(本题有8小题，第17〜22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分)

17.已知二次函数丫=一/+6%+3的图象经过点？1(1,4).

(1)求b的值;

(2)判断P(2,3)是否在该函数的图象上，并说明理由.

18.现有三张正面分别写有1,2,3的不透明卡片，卡片除正面数字外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗

匀.

(1)从中随机抽取一张卡片，求抽取写有1的卡片的概率；

(2)从中随机抽取两张卡片，求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率，用列表法或画树状图的方法

加以说明.

19.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A,B,C在格点上.

3

(1)画出过A,B,C三点的圆的圆心P;

(2)求丞1的长.

20.如图，屋架跨度的一半。P=5血，高度。Q=2.5m.现要在屋顶上开一个天窗，AB在水平位置，且

21.如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水部分弓形的高为6cm.

(1)求截面中弦4B的长；

(2)求截面中有水部分弓形的面积.

22.根据以下素材，探索完成任务.

4

某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下

部分是由两根立柱CE和DF组成，立柱高为1m,顶棚最高点距离地面EF是4m,二

EF的长为207n.E

为提高灌溉效率，学校在EF的中点。处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器。4

从喷水口4喷出的水流可以看成抛物线，其形状与y=-0.05/的图象相同，。4=

1.45m,此时水流刚好喷到立柱的端点D处.E0

问题解决

以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式.

问04处喷出的水流在距离0点水平距离为多少米时达到最高.

如何调整喷水口的高度(形状不变)，使水流喷灌时恰好落在边缘尸处.

23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+b久+3交y轴于点4且过点B(—1,2),C(3,0).

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)将抛物线向左平移m(m>0)个单位，当抛物线经过点B时，求血的值；

(3)若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且SMBC=2sAACP，求点P的坐标.111

24.如图1,已知AB为。。的直径，弦CC14B于点E,G是公上一点，连结力。，AG,DG.

（图1）（图2）

（1）求证：/.AGD=ZXDC；

(2)如图2,延长4G,DC相交于点尸，连结CG.

①已知力G=6,GF=4,求4D的长;

②记DG与的交点为P,若2B=10,CD=8,当2G=AP时，求器的值.

6

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：任意抛一枚质地均匀的硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，所以“正面朝上”

这一事件是随机事件.

故答案为：C.

【分析】事件可以分为必然事件，随机事件和不可能事件，随机事件即可能发生也可能不发生的事件.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：：b=2a,

.b。

••一a=L9

.3=l+2=3

故答案为：D.

【分析】根据比例的性质将b=2a转换成々=2,于是可得生出的值.也可以把b=2a直接代入史也，然后化简即

CLCLCL

可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：y=（久―1）2+2的顶点坐标为（1,2）

故答案为：B.

【分析】顶点式y=a（无一左）2+卜（a0）的顶点坐标为（h,k）.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：•••（:是线段4B上黄金分割点，AOBC,

•ACV5-1

''AB=^T~

VAB=2,

=有一1

故答案为：AB=2.

【分析】根据定义，若点C是线段ZB上黄金分割点，AOBC,那么差=亲，黄金比亲=与1.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：如图：AKA—y

连接CD,

7

.•.ZADC=ZABC=20°,

：AD是直径，

ZACD=90°.

ZCAD=70°.

故答案为：C.

【分析】根据同弧或等弧所对的圆心角相等得/ADC=NABC=20。，根据直径所对的圆周角是直角得/ACD=90。,

于是可得NCAD.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：由图，•••点B的坐标为（一1,-2），位似比为2,

.••点B的对应点。的坐标为（2,4）.

故答案为：A.

【分析】根据位似图形和位似比的定义，由0D=20B和图象，每个顶点的横坐标和纵坐标都x（-2）.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意4个小三角形都是全等的直角三角形，AF=4,BF=3,

；.AB=5,EF=1.

/.正方形ABCD的面积是25,正方形EFGH的面积是1,

故弦图区域内随机取点，则该点落在正方形EFGH区域内的概率为六.

故答案为：D.

【分析】根据题意，4个全等的直角三角形面积相等，据此可求出正方形ABCD和正方形EFGH的面积，再求

概率即可.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：如图：连接PC,

A

BQC

•点P是等边三角形ABC的重心，

；.BD平分/ABC,PC平分NACB,BD_LAC,

•.•三角形ABC是等边三角形，AB=3,

2

・・・NPBC=NPCB=PCD=30。，AD=CD=j.

8

・・・PD=字，PB=PC=W

VPQXBP,

JNBPQ=NADC=90。，

APQ//CD.

.BQ_BP

',豌一前'

，BQ=2.

故答案为：D.

【分析】根据点P是等边三角形ABC的重心，可得BD平分/ABC,BDLAC.连接PC,有PC平分NACB,

PC=PB,于是可根据NPCD=30。，AB=3,求出PD,PC的长.根据PQ,BP,可得PQ//CD.根据平行线分线段成

比例即可求出BQ的长.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：如图，延长A0交。。于点E,过B作BFLAE于点F.

劣弧沿AB翻折，得至IJ弧ACB,所以弧ACB所在的圆和。。是等圆.

又因为BC和BE所对的角都是NBAF,

••BC=BE-

，BC=BE=1.

：AE是直径，

ZABE=90°,

-"-AE=y/AB2+BE2="2+12=V5.

VBF±AE,

；.CF=EF,ZABE=ZAFB=90°,NBAF=NEAB,

AABE^AAFB,

.AE_ABpnV52

•'AB=AF，即E=而

9

；.EF=AE-AF专

.,.AC=AE-2EF=^

故答案为：C.

【分析】延长AC交。0于点E,连接BE,过B点作BF±AE于F点.利用折叠的性质可判断BC和BE所在

圆为等圆，则根据圆周角定理得到BC=BF,所以BC=BF=1,再利用等腰三角形的性质得到CF=EF,接着根据

圆周角定理得到/ABE=90。，利用勾股定理可计算出AE的值.然后利用△ABES^AFB,得到簿=第，从而

ABAF

计算AF的值，可得EF长，最后利用AE-2EF,即可得AC长.

10.【答案】A

【解析】【解答】解：丫=£2-尤+1=1_/+1_的

对称轴为％=方顶点坐标为6，1-%,开口向上.

当一即-3<b<l时，最小值在顶点处取得，

故1—告=最故b=±近（正数舍去）.

当卜一率即b<—3时,最小值在％=-|处取得,

故（_y+|b+i=J故6=—半（不符合题意，舍去）.

当?即b>l时，最小值在％=得处取得，

故G）2-9+1=去故b=*

故答案为：A.

【分析】根据二次函数表达式求出对称轴和顶点坐标.然后分情况讨论，当斗/<郡寸，最小值在顶点处取得;

当?<_割寸，最小值在x=_沙取得；当?>齐寸，最小值%=纸处取得；把x的值代入，得到关于b的方程,

求解即可。

11.【答案】5

【解析】【解答】解：•••正n边形的一个外角是72。，外角之和是360。，

360。+72。=5

故n=5.

故答案为：5.

【分析】根据正n边形的一个外角是72°,利用360。-72。即可得边数.

12.【答案】乙4=/B（答案不唯一）

【解析】【解答】解：：AB和CD交于点O,

10

ZAOD=ZBOC

.•.当/A=/B时，有△AODs^BOC.

故答案为：ZA=ZB(不唯一).

【分析】根据两组角对应相等的两个三角形相似，即可得到答案.

13.【答案】1

【解析】【解答】解：根据题意画树状图：

摸第二次时：白球白球红球白球白球红球白球白球红球

—三4

rP(颜色不同)―q•

【分析】根据题意画出树状图，找出可能出现的情况总数，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式求出概

率即可.

14.【答案】15

【解析】【解答】解：把y=9代入y—0.04X2(X>0)得

9=0.04x2,

解得x=±15(舍负)

故答案为：15.

【分析】把y=9代入y=0.04/Q〉0),即可求出x的值，即速度.

15•【答案】反或

【解析】【解答】解：：抛物线y=a/—4。久—3与y轴交于点力，

・••点A坐标(0,—3).

Vy=ax2—4ax—3=a(x-2)2-4a—3

，顶点坐标是P(2,—4a—3),对称轴是x=2,

・・・B点坐标(4,-3).

AABM.

：.4BC=3AB=12,

・・・BC=3.

AC(1,—3)或者C(7,-3)

・••当C坐标为(1,一3)时，直线OP的解析式：尸一3x.

把x=2代入得，y=・6,即一4a—3=-6,

,3

・・。=4

11

.,.当C坐标为(7,—3)时，直线OP的解析式：y——1-x.

把x=2代入得，y――y,即一4a—3=—*

.15

­-a=~28-

故答案为：*或-苣.

【分析】根据A点坐标和对称轴可以得到点B的坐标，从而得到AB长，根据4BC=3AB,得BC长，点C在

直线AB上，但位置不确定，由两种情况：①点C在线段AB之间，②点C在线段AB的延长线上，分情况

表示出点C坐标，从而得到直线0P的解析式，把x=2代入，即可得到a的值.

16.【答案】竽

【解析】【解答】解：如图，过C作CGLAB于点G,过D作DHLAB于点H.

.•.CG//DH,

ADHE^ACGE,

.DE_DH

"CE-CG-

：AB是直径，AB=2,Z4BC=30。，

ZCAB=60°,AC=1.

ZACG=30°,

•'•AG==寺,CG=^-AC=弓.

•DEDH2V3

-'CE=-CG=—DH-

于是当DH为半径时有最大值，半径为1,

所以弟最大值为学.

Cc3

故答案为：竽.

【分析】过C作CGJ_AB于点G,过D作DHLAB于点H,于是得到△DHEs/\CGE,有器=黑，其中CG

为定值，故DH最大时比值也最大.

17.【答案】(1)解：♦.•y=—/+bx+3的图象经过4(1,4),代入得

1+b+3=4,

12

・•・b=2.

（2）解：•.•当尢=2时，y=-22+2x2+3=3

；.P（2,3）是在这个二次函数的图象上.

【解析】【分析】（1）把点A坐标带入二次函数的解析式即可求出b的值；

（2）把x=2代入二次函数的解析式，若y值等于3,则说明在函数图象上，否则就不在.

18.【答案】（1）解：因为抽取任一张卡片的可能性相等，

所以P（数字是1）=T

（2）解：树状图如图所示：

和

一共有6种等可能的情况，和为偶数的有2种

_2_1

"rp（和为偶数）-6-3,

【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；

（2）画树状图得到所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计

算即可.

19.【答案】（1）解：如图，点P即为所求.

连结PA和PC,

易得ZAPC=9O。，=

,90XTTXV10V10

./=-180—=—n-

13

【解析】【分析】(1)连接两点AC,BC,取两条线段的垂直平分线，交点即为圆心所在位置；

(2)利用网格特点可以求出PA,PC的长，以及NAPC度数，然后利用弧长公式，=翳即可求出弧长.

20.【答案】解：由题意得2BIIP0,

乙ABC-Z.OPQ

又•：ACAB=APOQ=90°,

ABCfOPQ

_AB__AC_

"~OP=OQ'

OQxAB2.5x2.4

・•・AC=-----up-----=-------q------=l-2m

.••天窗高度4c的长1.2m

【解析】【分析】根据题意可证得AABCOPQ,所以有缁=器，代入各段长度，即可得AC长.

21.【答案】(1)解：如图：

作。C1/B交。。于。，连结0B

OB=12cm.

•・•。是圆心，OC_LAB,

・•・AB=2BC

•・,CD=6cm,

・•.OC=OD-CD=12-6=6(cm),

・•.BC=VOB2-OC2=V122-62=6V3(cm),

・•・AB=2BC=12v5cm.

即弦AB长1275cm.

(2)解：连结。4

・・・OCLAB,OB=20C,

・•・乙BOC=60°,

・•・(AOB=120°

S弓形=捣兀*122-1x12V3x6=487T-36V3(cm2).

即截面中有水部分弓形的面积为(48兀-368)cm?.

14

【解析】【分析】(1)连接OB,作。C_LAB交。。于D,于是OB=12,OC=6,AC=BC.利用勾股定理可求出

BC长，从而可得AB长；

(2)根据OB=2OC可得到NBOC度数，从而得NAOB.弓形面积=对应圆心角的扇形面积一三角形面积.

22.【答案】解：任务1：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为无轴建立平面直角坐标系.

由题意可知,顶点是(0,0),0(10,-3)

设y=ax2,

把点。(10,-3)代入得：102a=-3

解得：a=—

3

-''y^-Toox2-

任务2：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为无轴建立平面直角坐标系，如图:

VOA=1.45m,OO'=4m,CE=DF=lm,EF=20m,

.•.点A坐标（0,-2.55）,D点坐标（10,-3）

••・抛物线的形状与y=—0.05/相同，

设y=—0.05久2+bx—2.55

把。（10,-3）代入得：一0.05x+io/,-2.55=-3,

解得：b=0.455

b0.455

75~=_T;----7------一广、=4.55m

2a2x(-0.05)

••・0A处喷出的水流在距离。点水平距离4.55米时达到最高.

任务3：•••调整喷水口的高度时，抛物线的形状不变，且=即原本经过点D(10,-3),平移后经过点

F(10,-4)

•••抛物线往下移动1米时，水流喷灌时恰好落在边缘F处.

【解析】【分析】(1)建立直角坐标系后，可得顶点坐标(0,0),经过点D(10,-3),故可设表达式为kax?,

并把D点坐标带入求出a值，可得函数表达式；

(2)在坐标系中表示点A和点D的坐标，根据抛物线形状与y=-0.05/相同，设新的表达式为y=-0.05%2+

15

22.55,把D点坐标带入求出b值，利用-名可得到取最大值x的取值,即距离。点的水平距离;

(3)根据抛物线原经过点D(10,-3),平移后经过点F(10,-4),可知向下平移1米.

23.【答案】(1)解：把点3(-1,2),C(3,0)代入抛物线，得

(CL-b+3=2

(9。+3b+3=0

解得：”二—b=去

121

・•・y=~2X+2%+

(2)W：vy=—^x2+|-x+3=--|(x--i)2+-^

・・・当抛物线向左平移租个单位时，y=—*(%—称+租)2+券

把8(-1,2)代入得：一号(一1一号+僧)2+等=2,

解得：租1=0(舍)，m2=3

・•・TH=3.

(3)解:如图：

过点P作PEI.%轴，交4c于点E

VA(0,3),B(-1,2),C(3,0),

•••AB=V2,AC=3V2,BC=2遥

vAB2+AC2=BC2,

：.ABAC=90°,

・••SA4BC4X鱼X3鱼=3

VA(0,3),C(3,0),

二直线AC解析式：y--x+3

、11

设P(t,-2t2+3^+3),则—t+3)

•**PE——2产+21,

11339

•••S^/CP=2X3X(_2t7+]1)=_4t7+4

16

SAABC—2S.cP，

39

,.2(—#+Q罚=3,

解得：ti=1,±2=2

•••Pi(l,3),P2(2,2)

【解析】【分析】(1)利用待定系数法计算计算即可；

(2)先将一般式化成顶点式，根据“左加右减”的法则写出平移后的函数表达式，再把点B坐标带入，即可得

到m的值，注意m>0；

(3)根据A,B,C三点坐标求出AB,AC,BC的长，利用勾股定理，发现△ABC是直角三角形，可求4ABC

的面积；过P作PELx轴交AC于点E,设出点P的坐标P(3一•2+畀+3),利用直线AC的解析式表示

出点E的坐标，得到PE,则APAC的面积为Sg4c=|xPEx(xc-xa),根据S*BC=2s“CP，可求得t的值,

从而得到点P的坐标.

24.【答案】(1)证明：:aB是。。直径，ABVCD,

:.AD-ACf

:.Z.AGD=Z.ADC

(2)W：^AGD=^ADC,乙DAG=^FAD,

・•.△DAGFAD,

AG_AD

•'AD=~AFt

・•.M=ZGx=6x(6+4)=60,

・