中考数学难点突破训练：一次函数中的将军饮马问题（解析版）

专题36一次函数中的将军饮马问题

【模型展示】

在直线/上求一点P,使AP+3「最短

B

A・

•

1

将对称到连接与/的交点即为点尸

特点A4,45,

B

结论AP+BPnA'B两点之间，线段最短

【模型证明】

1、在直线小上分别求点V、N,使△PAW周长最小

/1,

12

分别将点尸关于两直线对称到P、P”,连接PP”与两直线交点即为M、N

N\\2

ip"

PM+MN+PN=P'P"两点、之间,线段最短

解决方

案

2、在直线卜4上分别求点“、N,使四边形PMNQ周长最小

上，

12

将产、。分别对称到P、Q,连接与直线的交点即为M、N

氐P'li，

*2,

PM+MN+NQ=P'Q'两点、之间,线段最短

3、在直线/上求两点M、N（M在左），4更得MN=a,并使40+MN+NB最

短

B

•

%

-----------1

MN

将A向右平移。个单位到4,对称4到A“，连接与/交点即为N,左平移

〃个单位即为M

B

1

A"

AAf+MN+A®=a+A"3两点之间，线段最短

4、在直线/上求点P,使|AP-BP|最大

%

1

•B

将点B对称到B',作直线AB,与/的交点即为点P

，片

-------1-----1

P\

|AP-BH=AB'三角形任意两边之差小于第三边

【题型演练】

一、填空题

1.（2021・全国•九年级专题练习）如图所示，已知A”），B（2,”）为反比例函数

2X

图象上的两点，动点尸（x,0）在x正半轴上运动，当线段AP与线段2尸之和达到最小时,

点尸的坐标是—；当线段AP与线段之差达到最大时，点尸的坐标是—.

【答案】(1-7,0)(I，。］

【详解】思路引领：(1)如图1,过x轴作点2的对称点方，连接与x轴的交点即为所

求的点P.根据点A、B的坐标可以求得直线的解析式，根据该解析式可以求得点尸的

坐标；

(2)如图2,求出的坐标，设直线48的解析式是y=fcv+b,把A、8的坐标代入求出直

线43的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△48P中，延长48交

x轴于P,当P在P点时，PA-PB=AB,此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线

于x轴的交点坐标即可.

答案详解：：把A(1，〃)，B(2,y2)代入反比例函数丫=,得：竺=2,y2=1,

2x2

•,•A(—,2),B(2,—).

22

(1)如图1,过x轴作点2的对称点"，连接AB'与x轴的交点即为所求的点P,则Q(2,

2=-k+b

2

设直线为(际0),贝卜

故直线AQ的解析式为:

令y=0,

解得，尤=1.7.

故P(1.7,0)；

(2)•..在AABP中，由三角形的三边关系定理得：\AP-BP\<AB,

，延长A8交x轴于P,当尸在9点时，PA-PB=AB,

即此时线段AP与线段BP之差达到最大,

设直线42的解析式是y=or+c(4#0)

C1

2——x+c

2

把A、3的坐标代入得:

1c

——2x+c

2

a=-1

解得：|5，

c--

I2

，直线AB的解析式是产-x+g,

当y=0时，,

即P0)；

2

2.(2021.全国.九年级专题练习)如图，平面直角坐标系xQy中，点A是直线＞="尤+土叵

33

上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C(l,0),则OB+CB的最小值为.

【答案】713

【分析】设D(-l,0),作D点关于直线y=1x+逋的对称点E,连接OE,交直线于A,

-33

连接AD,ED,作ES_Lx轴于S,根据题意OE就是OB+CB的最小值，由直线的解析式求

得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES,然后根据勾股定理即可求得OE.

【详解】解：设D(-l,0),作D点关于直线y=+递的对称点E,连接OE,交直

33

线于A,连接AD,ED,作ESJ_x轴于S,

VAB/7DC,且AB=OD=OC=1,

二四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形,

；.AD=OB,OA=BC,

.,.AD+OA=OB+BC,

VAE=AD,

/.AE+OA=OB+BC,

即OE=OB+BC,

/.OB+CB的最小值为OE,

由丫=且.丫+皿1可知/AFO=30。，F(-4,0),

33

；.FD=3,ZFDG=60°,

.•.DG=yDF=1,

；.DE=2DG=3,

；.ES="DE=地,DS=±DE=3,

2222

OE=yloS2+ES2=y/13，

AOB+CB的最小值为相.

【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称-最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股

定理的应用，证得OE是OB+CB的最小值是本题的关键.

3.（2021・江苏常州•二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的。。与x轴的正半轴交

3

于点A,点B是。O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=1x-3与x轴、y轴分别交

于点D、E,贝葭CDE面积的最小值为.

【答案】2

【分析】如图，连接。8,取。4的中点连接CM,过点M作于N.首先证明

点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的。M,没©M交MN于C.求出MN,当点C与

C重合时，AUDE的面积最小.

【详解】解：如图，连接02,取。4的中点连接CM,过点M作MNLDE于N.

'：AC=CB,AM=OM,

:.MC=g0B=l,

点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的。设。M交MN于C'.

3

•・•直线y=4x-3与x轴、y轴分别交于点。、E,

：.D(4,0),E(0,-3),

・・・0。=4,OE=3,

•**DE=Vo£2+or>2=V32+42=5,

■:/MDN=/ODE,/MND=/DOE,

••.△DNMs/\DOE,

.NMDM

••一,

OEDE

.NM_3

••=-t

35

9

-19

当点。与。重合时，△CDS的面积最小，△CDE的面积最小值=Jx5x（--1）=2,

乙5

故答案为：2.

【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质，圆的有关性质等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题

型.

二、解答题

4.（2022・江苏・靖江外国语学校模拟预测）直线y=-2%+8和双曲线y=：（左。0）交于点

q

011234\5x

（1）求机，n,左的值；

⑵在坐标轴上有一点V,使+的值最小，直接写出点M的坐标.

【答案】（1）%=6,〃=3,k=6；

⑵M（0,5）

【分析】（1）将43两点坐标分别代入＞=-2尤+8,即可解出小、〃的值；

（2）线段和的最短距离问题，首先想到的是利用“将军饮马”模型进行解决，做A点关于坐

标轴的对称点，在之后再进行计算，需要注意的是，本题需要进行分情况进行讨论，最终确

定最短距离下的M坐标.

【详解】（1）解：（1）1•点4（1,吗），3（”,2）在直线弱=-2彳+8上,

m=—2+8,2=—2〃+8,

:.m=6,n=3

.•.A（l,6）,8（3,2）,

丁点A在双曲线>="(kwO)上，

x

k=6；

(2)(2)如图1,作点A关于y轴的对称点C,连接BC交y轴与

则C(-l,6),

设直线3C的解析式为、=反+"

[6=-k+bf^=-l

,[2=3k+bf..jb=5，

直线BC的解析式为y=r+5,

:.AM+BM=逝+3母=4垃;

如图2,作点A关于无轴的对称点。，连接3D交x轴与

则。

设直线BD的解析式为y=>wc+n,

[-6=m+nfm=4

[2=3m+n"-10，

••・直线BD的解析式为y=4%-10,

当y=o时，尤=1，

2

，陪

AM+BM=—+^^=2Vr7>4^,

22

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形变化-轴对称、最短路线问

题，注意待定系数法求直线解析式的运用.

5.（2022•辽宁•沈阳市第一二六中学九年级阶段练习）如图，一次函数>=日-6过点4（-

2,-2）,与y轴交于点艮

（1）求一次函数表达式及点B坐标；

（2）在x轴上找一点C,连接8C,AC.当BC+AC最小时，

①请直接写出点C的坐标为;

②请直接写出直线BC的函数表达式为；

③在坐标轴上找点D,连接BD,CD,使SAABC^SABCD,请直接写出点D的坐标为.

【答案】（l）y=-2x-6,B（0,-6）

351

⑵①0）；②y=-4x-6；③（一于°）或（-5，°）或（。，-2）或（0,-10）

【分析】（1）利用待定系数法即可求得一次函数的解式，进入求得8的坐标；

（2）①作B关于x轴的对称点？为（0,6）,连AE,交x轴于点C,此时BC+AC最小，

用待定系数法求出A8',进一步求出C点坐标；②利用待定系数法即可求得直线BC的解析

式；③求得△ABC的面积，然后根据三角形面积公式得。和2。的长度进而即可求得。的

坐标.

（1）

解：•.,一次函数-6过点A（-2,-2）

解得g-2

•\y=-2x-6

：.B（0,-6）

(2)

①2点关于x轴的对称点是B'(0,6),连接3幺交x轴于点C,此时AC+2C最小,

设直线的解析式为严办+6,则

\b=6f〃=4

DOU解得匕《

[-2=-2a+b[b=6

y=4x+6

3

当y=0时，x=-—,

3

・••点C0)

2

3

故答案为：(-不，0)

2

②设直线3C的解析式为严加计九，则

n=-6

〈3，

0=--m+n

I2

fm=-4

解得支

[几二6

；,y=-4x-6

故答案为：y=-4x-6

3

③「A(-2,-2),B(0,-6)5(0,6),C(--,0)

ii3

S^ABC=SMBB~S^BB'C=-><12x2--xl2x-=3

当。在x轴时，S.=；X5X的=3,,

即;切x6=3

：.CD=l

...点£>为(-g,0)或(-：,0)

当。在y轴上时，S.D=；XBD乂℃=3,

13

即一切x—二3

22

：.BD=4

，点。为(0,-2)或(0,-10)

故答案为：(-1,0)或(4,0)或(0,-2)或(0,-10)

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角

形的面积，轴对称一最短路线问题，熟练掌握待定数法是解题的关键.

6.（2020•新疆・乌鲁木齐市第九中学八年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长为1,

点A,2,C都是格点.

（1）画出△ABC关于直线MN对称的

（2）若B为坐标原点，请写出4、G的坐标，并直接写出44的长度..

（3）如图2,A,C是直线同侧固定的点，。是直线MN上的一个动点，在直线上画出

点。，使AD+DC最小.（保留作图痕迹）

MM

€II\\\\\\\C

NN

图1图2

【答案】（1）画图见解析；（2）4（5,-1）,4（0,0）6（2,2）,M=1O；（3）画图见解析

【分析】（1）分别确定A,2,c关于对称的对称点A，练£,再顺次连接A，综G，从而可

得答案；

（2）根据A，稣G在坐标系内的位置直接写其坐标与AA的长度即可；

（3）先确定C关于的对称点G，再连接AG，交MN于D,则

AD+CD=AD+CiD=ACi,从而可得答案.

【详解】解：（1）如图1,△ABC】是所求作的三角形，

图1

(2)如图1,3为坐标原点，

则A(5,R,4(0,0%£(2,2).

明=10.

(3)如图2,点。即为所求作的点.

图2

【点睛】本题考查的是画轴对称图形，建立坐标系，用根据点的位置确定点的坐标，轴对称

的性质，掌握“利用轴对称的性质得到两条线段和取最小值时点的位置”是解本题的关键.

7.(2022・江苏•八年级专题练习)如图1,在R/AABC中，ZC=90°,AB=1Q,BC=6,AC

=8,点尸为AC边上的一个动点，过点P作尸£＞，42于点。，求依+产。的最小值.请在横

线上补充其推理过程或理由.

解：如图2,延长BC到点〃，使得BC=8C,连接尸8

•；ZACB=90°（已知）

/.（垂直的定义）

/.PB=（线段垂直平分线的性质）

PB+PD=PB'+PD（等式性质）

二过点夕作夕于点。，交AC于点尸，此时PB+P。取最小值，连接AQ,

在△ABC和△AQC中，

VAC^AC,ZACB=ZACB'^90°,；.△A8C0△ABC（理由：）

SAABB'^SAABC+=2SAABC（全等三角形面积相等）

,/SAABB'=^AB.B'D=^xlQxB'D=5B'D

XSAABB^2SAABC^2X|BC-AC=2x；x6x8=48

（同一三角形面积相等）

I48

【答案】AC_LB3'；PB'；BC=B'C；SAS；SAABC；-AB-B'D=4S-,PB+P。的最小值为一

25

【分析】作点B关于AC的对称点"，过点Q作BDLAB于点。，交AC于点P,点尸即为

所求作的点，此时P8+PD有最小值，连接AQ,根据对称性的性质，BP=B'P,证明

AABC^^AB'C,SAABB=SAABC+SAABC=2SAABC,即可求出P8+PD的最小值.

【详解】解：如图2,延长BC到点玄，使得8c=B，C,连接PB，，

ZACB=9Q0（已知），

ACLB3'（垂直的定义），

（线段垂直平分线的性质），

PB+PD=PB'+PD（等式性质）,

过点B'作于点。，交AC于点P,此时依+尸。取最小值，连接49.

在△ABC和△AB，C中，

"：AC=AC,ZACB=ZACB'=90°,BC=B'C,

：.AABC^AA^C（理由：SAS）,

SABB=SAABC+SAABC=2SAABC（全等三角形面积相等），

SAABBU-xABxB'D=-x1OxB'D=5B'D,

22

又SAABB^SAABC=2X-xBCxAC=2x-x6x8=48,

22

，^AB-B'D=4S(同一三角形面积相等)，

2

.,_48

・・DRUn=,

48

PB+PD的最小值为彳.

148

故答案为：AC±BB\PB';BC=B'C-,SAS；S^ABC-,5A小87)=48；尸2+尸。的最小值为

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是轴对称-最短路线问题的处理:

作对称点.

8.(2021.全国•八年级专题练习)如图所示，在平面直角坐标系中，己知一次函数y=gx+l

的图象与x轴，y轴分别交于A,B两点，以A8为边在第二象限内作正方形A8CD

(1)求边4B的长；

(2)求点C,。的坐标；

(3)在无轴上是否存在点使ZMO8的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不

存在，请说明理由.

【答案】(1)AB=y/5；(2)C(-1,3),£)(-3,2)；(3)M(-1,0).

【分析】(1)分别求出点A、2坐标，根据勾股定理即可求出A&

(2)作轴，。尸，无轴，垂足分别为反F,证明△BCE之ADAP也A8。，得到

BE=DF=OA=2,CE=AF=OB=\,进而得到OE=3,OF=3,即可求出点C、。坐标；

(3)连接作点8关于无轴的对称点玄，连接BZ),与x轴交于点此时△BATO周

长最小，求出直线用。的解析式为y=-x-1,令y=0,即可求出点M坐标.

【详解】解：(1)由一次函数y=1■尤+1得，令x=0,得到y=l；令y=0,得至!jx=-2,

(-2,0),B(0,1),

在RtAAOB中，OA=2,OB=1,

根据勾股定理得：AB=y/o^+OB2=722+12=石；

(2)如图，作CELy轴，DF±x^\,垂足分别为£、F,

・•・ZCEB=ZAFD=ZAOB=90°,

：.ZZ)AF+ZA£)F=90o,ZBAO+ZABO=90°,

•・•四边形ABC。是正方形，

：.BC=AB=AD.ZDAB=ZABC=90°,

：.ZDAF^-ZBAO=90°,ZABO+ZCBE=90°,

ZBAO=ZADF=ZCBE,

：.ABCE^^DAF^ABO,

：.BE=DF=0A=2.CE=AF=OB=\,

・•・0E=0B+BE=2+1=3,OF=OA+AF=2+1=3,

(3)如图，连接B。，・・・BD为定值,

，•・作点5关于x轴的对称点玄，连接BZ),与x轴交于点M,此时周长最小,

・・・3坐标为(0,1),

・••夕坐标为(0,-1),

设直线B'D的解析式为y=kx+b,

-3k+b=2

把9与。坐标代入得:

b=-l

k=-l

解得:

b=-l

即直线B7)的解析式为产-x-1,

令y=0,得到x=-l,

.•.点M坐标为(-1,0).

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式，将军饮马求最短

距离问题，综合性较强，根据题意添加辅助线，求出点C、。坐标是解题关键.

9.（2021•全国•九年级专题练习）作图探究：如图，点P是直角坐标系xOy第三象限内一点.

（1）尺规作图：请在图中作出经过。、尸两点且圆心在x轴的0M；（不写作法，保留作图

痕迹）

（2）若点P的坐标为（-4,-2）.

①请求出。M的半径；

②填空：若。是0M上的点，且NPMQ=90。，则点。的坐标为.

）‘个

Ox

P・

【答案】⑴见解析；（2）①g；②卜或

【详解】思路引领：（1）连接OP,作OP的垂直平分线交x轴于M点，以我半径作。

即为所求；

（2）①连接作轴，垂足为H,设OO的半径为厂，则MH=4-

r,PH=2,在RtAPHM中，由勾股定理求厂即可；

②过M点作PM的垂线，交。/于。/,。2,再过Q，。2,作x轴的垂线，利用三角形全等

求。点坐标.

答案详解：（1）。知如图所示；

（2）①连接作轴，垂足为X,设。。的半径为r,则PM=MO=r,MH=4-

r,PH=2,

在RtAPHM中，PH2+MH2=PM2,

即22+（4-r）2=t2,

解得r=g;

②如图，过M点作PM的垂线，交。M于。/,。2，再过。/，。2，作x轴的垂线，垂足为

Ni,N2,

利用互余关系，PM^QIM^Q2M,

可证RtAPMHWRtAQiMNWRtAQ2MN2,

MNI=MN2=2,MH=QINI=Q2N2=4-r=|,

9313

故答案为：（>彳）或（-；，）•

2222

10.（2021.全国•九年级专题练习）如图①，将一个矩形纸片。4SC放置在平面直角坐标系中，

点A的坐标是（3,0）,点C的坐标是（0,2）,点。的坐标是（0,0）,点E是的中点，在Q4上

取一点。，将沿翻折，使点A落在2c边上的点尸处.

（1）求点E、F的坐标；

（2）如图②，若点尸是线段ZM上的一个动点（点尸不与点。，A重合），过点尸作

于点H,设OP的长为x,的面积为S,请求出S关于x的关系式；

（3）如图③，在x轴、y轴上是否分别存在点加、N,使得四边形MNEE的周长最小？若

存在，请求出四边形肱VFE周长的最小值及此时点V、N的坐标；若不存在，请说明理由

【答案】（1）点E的坐标是（3,1）,点尸坐标为（1,2）；（2）S=^-|+|（l<x<3）；（3）存

在，在x轴、V轴上分别存在点N（O,£|,使得四边形跖VFE的周长最小，最

小值为5+y[5.

【分析】（1）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标；

（2）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH,PH的长度，运用三角形面积公

式即可求解；

（3）作点F关于y轴的对称点F,点E关于x轴的对称点E-连接EF交y轴于点N,交

x轴于点M,此时四边形MNFE的周长最小，求出E，和F的坐标直接求线段长度即可.

【详解】解：（1）:点A的坐标是（3,0）,点C的坐标是（0,2）,

；.OA=3,OC=2,

根据矩形OABC知AB=OC=2,BC=OA=3,

由折叠知DA=DF=OC=2,

/.OD=OA-DA=1,

.•.点F坐标为（1,2）,

:点E是AB的中点，

.\EA=1,

.•.点E的坐标是（3,1）；

（2）如图2

:将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，

/.BF=AB=2,

.•.OD=CF=3-2=1,

若设OP的长为x,

则，PD=x-l,

在RSABD中，AB=2,AD=2,

；.NADB=45。，

在RSPDH中，PH=DH=DPx变=变

22

.„_1„„172,V2,.,x2x1

••S——xDHxPH——x(x-1)x(x-1)-----------1—(l<Cx<C3)；

2222424

（3）如图3

作点F关于y轴的对称点F，，点E关于x轴的对称点E，，连接EF交y轴于点N,交x轴

于点M,此时四边形MNFE的周长最小，

可求，点F(1,2)关于y轴的对称点F(-1,2),点E(3,1)关于x轴的对称点E，(3,

-1),

用两点法可求直线EF的解析式为：y=-=3x+=5,

44

当x=0时，y=j,当y=0时，x=|,

此时，四边形MNFE的周长=EF+EF=7(-1-3)2+(2+1)2+^22+12=5+6;

...在x轴、y轴上分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小，最小为5+君.

【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及利用轴对称求最短

路线和勾股定理等知识，掌握根据对称转化为两点之间的距离的问题是解题的关键.

11.(2021.全国•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，4(0,2)、5(-2,0)、C(2,2),

点、E、/分别是直线和x轴上的动点，求△CEF周长的最小值.

【答案】/\方周长的最小值为2碗.

【分析】分别作点C关于x轴、直线A2的对称点C'、C,连接CC",分别交x轴、直线

于点F、E,由对称AC性质可得CF=C'F,CE=C"E,此时△CEF的周长为

CF+EF+CE^C'F+EF+C"E=C'C".

【详解】如图，分别作点C关于x轴、直线A3的对称点CJC",连接C'C",分别交x轴、

直线A3于点尸、E,由对称AC性质可得CF=C、，CE=C"E,此时△CEF的周长为

CF+EF+CE=C'F+EF+C"E=C'C".

，此时ACEF的周长最小，最小值为C'C"的长.

•.•A（0,2）、B（-2,0）,

:.OA=OB,:.ZBAO=45°.

•.•C（2,2）,，C（2,—2）,r（0,4）.

过点。，作。归轴于点H,

CH=2,,C"H=6.

C'C=4CH-+C"H2=2710.

；.ACEF周长的最小值为2技.

【点睛】本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是

利用轴对称正确找到点C的位置.

12.（2022・湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个

顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的

“自相似分割线”.如图1,在AABC中，AB=AC=1,ZBAC=108°,OE垂直平分43,且交

BC于点D,连接AD

⑴证明直线A。是△ABC的自相似分割线；

（2）如图2,点P为直线。E上一点，当点P运动到什么位置时，B4+PC的值最小？求此时

P4+PC的长度.

（3）如图3,射线CF平分NAC8,点。为射线C尸上一点，当AQ+叵Uc。取最小值时，

4

求NQAC的正弦值.

【答案】（1）直线是△ABC的自相似分割线；

⑵当点尸运动到。点时，E4+PC的值最小，此时PA+PC=叵H;

2

(3)ZQAC的正弦值为县1

【分析】(1)根据定义证明△。区4s△ABC即可得证；

(2)根据垂直平分线的性质可得e4+PC=PB+PCN3C,当点尸与。重合时，

7M+PC=P3+PC=3C,此时B4+PC最小，设8D=x,贝i[3C=x+l

根据ADBASAABC,列出方程,解方程求解即可求得BD,进而即可求得BC的长,即PA+PC

最小值；

(3)过点A作于点过点。作QGLBC于点G,连接AG,设C厂与AO交于

点M,根据已知条件求得GQ=必二iCQ,进而转化为AQ+避二!•CQuAQ+GQ,则当。

44

点落在AG上时，点G与点H重合，此时AQ+由二■CQ的值最小，最小值为AH,进而根

4

据sin/QAC=sinZHAC=受求解即可.

'AC

(1)

AABC中，AB=AC=1,ZBAC=108°

：.ZB=ZC=^(180°-ZBAC)=36°

垂直平分43

：.AD=BD

：.ZB=ZBAD=36°

：.ZC^=ZBAD

又,：/B=/B

：./\DBA^AABC

：.直线AD是小ABC的自相似分割线.

(2)

如图，连接依，AD,

A

图2

•.•OE垂直平分A5,

:.PA=PB

:.PA+PC=PB+PC>BC

当点P与。重合时，24+/<：=必+尸。=5。,止匕时~4+尸。最小,

♦,・ZADC=NB+/BAD=7T,ZDAC=ZBAC-ZBAD=72°

:.ZADC=ZDAC

,\CD=CA=1

设则5C=x+l

5As△AB。

BDAB

,AB-BC

x_1

,•厂171

f+x—1—0

vx>0

.r=-1+V5

2

BC=x+l=^^

2

.-.B4+PC=^il

2

二当点P运动到。点时，B4+PC的值最小，止匕时PA+PC=必上工

(3)

如图，过点A作A”,3c于点//,过点。作。G,8c于点G,连接AG,设CF与AD交于

点加，

:.CH=-BC=^^

24

由（2）知，DC=AC=1

•••CF平分NACB

:.CM±AD

1J5-1

DM=AM=-AD=-——

24

sinZMCD=^-=姐=41

CQCD4

GQ=^^-CQ

J5-1

/.AQ~+4-——~CQ=一AQ+~GQ>AG

・.・AG>AH

・•・。点落在AG上时，点G与点H重合,

即止匕时加+与CQ的值最小，最小值为A"

ZQAC=ZHAC

AB=AC,AH±BC

:.CH=-BC=J^-

24

sinZQAC=sinNHAC=—=且担

AC4

・•.NQAC的正弦值为叵口

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间

线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键.

13.(2022・重庆开州•八年级期末)如图，直线乙经过d(o］、8(2,-5)两点，直线〃y=T+3

与直线乙交于点C,与X轴交于点D

图1备用图

(1)求点C的坐标；

⑵点P是y轴上一点，当四边形尸。的周长最小时，求四边形POC2的面积；

(3)把直线1沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线4与直线4交于点E,试探究在x轴

上是否存在点Q，在平面内存在点尸使得以点。，Q，E,尸为顶点的四边形是菱形(含正

方形)？若存在，直接写出符合条件的点。的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)点C的坐标为(4,-1)

(2)S四边形P3CB—9

(3)存在，点Q的坐标为：(1,0),(3-260),(3+2购,(-1,0)

【分析】(1)由待定系数法求出直线1的解析式为y=2x-9,然后联立直线4与直线l即

可求出点C的坐标；

(2)如图，作点。关于y轴的对称点以，连接3D交y轴于点P,连接。P,当尸、B、次

三点共线时，四边形PDCB的周长最小，求出直线BEf的解析式为y=T-3,则可求P(0,-3),

进而由S四边形POC5=S^ABD'—S4PDD，—^^ACD求解即可;

(3)由题意可知直线4的解析式为y=2无，联立线4与直线4,求出£(1,2),设。(7",0),

分三种情况，①当即为菱形对角线时，利用QE=QD可得点。坐标；②当为菱形对角

线时，利用QE=QQ可得点。坐标；③当EF为菱形对角线时，利用EQ=ED可得点。坐标.

(1)

解：设直线4的解析式为"质+》，由直线乙经过A[M、3(2,-5)两点可得：

9

-k+b=0…k=2

2,解得

b=-9

2k+b=-5

・••直线4的解析式为y=2x-9,

又•.・直线4：y=-x+3与直线乙交于点C,

—x+3=2x—9,解得x=4,

当x=4时，贝Uy=-1,

•・•点C的坐标为(4,-1)；

(2)

解：如图，作点。关于＞轴的对称点连接3。交y轴于点P,连接DP,根据两点之间

“线段最短”可知，当尸、8、次三点共线时，四边形尸。CB的周长最小，

直线4：y=-x+3与1轴的交点为0(3,0),

又•点D和点3关于y轴对称，

，点。'(一3,0),

DD'=|—3—3|=6,

[-3女+人=0(k=-l

设直线的解析式为l=履+%可得C,,，解得,，

[2k+b=-5[b--3

直线BD'的解析式为y=-彳-3,

令尤=0,则尸-3,得点尸(0,-3),

^APDD'=gnD'M|=gx6x3=9,

9f-33-|93

又「ADr=-3——

222T

SAABD'=^£)，，|)?B|=^X^X5=

S

1-AACD=1-AD-|yc|=^x|xl=.|,

解：由题意可得直线4的解析式为y=2x,

Iy=2xIx=l

联立线4与直线/，，即c，解得C，，E(L2),

[y=-x+31'=2

设。(肛0),

①当即为菱形对角线时，QE=QD,

即(帆-1)2+(0-2)2=(3-机)2,

解得〃?=1,

2(1,0)；

②当E。为菱形对角线时，DE=DQ,

DE=7(3-1)2+(0-2)2=2a,

DQ=|3—机|=2'/2,

解得加=3-2忘或3+2应，

2(3-272,0),2(3+272,0)；

③当E尸为菱形对角线时，EQ=ED,

BP(1-m)2+(2-0)2=(2直＞,

解得m=-1,

e(-i,o),

综上：存在，点。的坐标为：(1,0),(3-25/2,0),(3+2衣0),(-1,0).

【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质、菱形的判定与

性质，分类讨论是解题的关键.

14.(2022•贵州铜仁•八年级期末)如图，已知一次函数y=fcc+6的图像经过A(1,4),B

(4,1)两点，并且交无轴于点C,交y轴于点。.

⑴求该一次函数的表达式；

(2)若y轴存在一点P使PA+PB的值最小，求此时点P的坐标及PA+PB的最小值；

(3)在x轴上是否存在一点使AMOA的面积等于△A08的面积；若存在请直接写出点M

的坐标，若不存在请说明理由.

【答案】(l)y=-x+5

⑵小号；734

(3)存在，1或

【分析】(1)把A(l,4),2(4,1)代入y=fcr+b中，求出鼠6的值，即可写出一次函数的表达

式.

⑵先作出A(l,4)关于y轴的对称点4(-1,4),连接与y轴的交点即为P点.求出直线

©3的函数表达式，即可求出P点的坐标，利用两点之间的距离公式即可求出N5的长，即

PA+PB的最小值.

(3)先求出△AOB的面积，再根据△MOA的面积等于△AOB的面积列方程求出M点的横坐

标，即可求出M点的坐标.

(1)

把4(1,4),8(4,1)代入尸比+6中，得

4-k+bk=-l

，解得

1=4k+b6=5

.•.一次函数的表达式为：y=-x+5；

(2)

作4(1,4)关于y轴的对称点4(-1,4),连接交y轴于P点，连接B4,此时B4+PB的值

最小，且

设/'8的表达式为y=mx+n,则

3

m=—

—m+n

4,=“,解得二5

1=4m+n1/

n=一

I5

直线A'B的表达式为y=-|x+y,

当x=0时，y=—,

17

•仍0，y)，

且AB=7(-1-4)2+(4-1)2

=>/34，

的最小值为国;

(3)

由y=-x+5得C(5,0),

S/AOB=SAAOC-SABOC

=—1x5ux4,---1-x5ux,l

22

15

设yM),

9

：SAM0A=SAA0B.

15

~4

.15T15

・・=1或X”=---

M(—，0)或(---,0),

44

工存在一点M,使aMOA的面积等于△AOB的面积，且M点的坐标为（丁，0）或（-二，0）.

44

【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的表达式，求两条线段之和的最小值（即

将军饮马），两点之间距离公式，以及利用面积法求点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的

关键.

15.（2022•浙江・义乌市宾王中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与

x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点,其中。4=2,S^ABC^U,点C在x轴的正

半轴上，且0C=02.

(1)求直线AB的解析式；

(2)将直线A8向下平移6个单位长度得到直线"，直线。与y轴交于点E,与直线交于

点。，过点E作y轴的垂线L，若点尸为y轴上一个动点，。为直线/2上一个动点，求

PD+PQ+DQ的最小值；

⑶若点M为直线上的一点，在y轴上是否存在点N