中考数学难点突破与训练：二次函数中的特殊三角形问题（含答案及解析）

专题42二次函数中的特殊三角形问题

【题型演练】

一、单选题

1.（2021・四川成都•一模）如图，二次函数丫=以2+法+。（。彳0）图象的顶点为。，其图像与x轴的交点A、

8的横坐标分别为-1,3,与y轴负半轴交于点C.在下面四个结论中：

®o+Z?+c<0；

_1

@a=--c-

③只有当。=g时，是等腰直角三角形；

④使"CB为等腰三角形的。值可以有两个.其中正确的结论有

A.I个B.2个C.3个D.4个

2.（2022•浙江•九年级专题练习）如图，抛物线y=Y-2x-3与，轴交于点C,点。的坐标为（0,-1）,在第

四象限抛物线上有一点P,若△尸。是以C。为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（）

A.1+^/2B.1-72

C.y/2~1D.1一夜或1+C

3.（2022・全国•九年级专题练习）如图，已知抛物线经过点3（-1,0）,A（4,0）,与y轴交于点C（0,2）,尸为

AC上的一个动点，则有以下结论:①抛物线的对称轴为直线x=93；②抛物线的最大值为9亮；@ZACB=90°；

2o

④0P的最小值为坡.则正确的结论为（

C.①②③D.①③④

4.（2022•浙江温州绣山中学九年级期中）如图，抛物线与x轴交于点A,5,与>轴交于点G,正方形CDE尸

的边8在x轴上，E,P在抛物线上,连结G4,GB,AMG是正三角形，AB=2,则阴影部分的面积

7D.2邛

5.（2020•山东德州•二模）二次函数y=f的函数图象如图，点4位于坐标原点，点A，4,A，4…在了轴的

正半轴上，点用,％%%••在二次函数y=v位于第一象限的图象上，544，仙鸟&,“四&,

“见4…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的。综七的斜边长为（）

A.20B.20A/2C.22D.2272

6.（2022•浙江・杭州东方中学九年级阶段练习）小明发现，将二次函数>=办2-66的图象在无轴及其上方

的部分C1向右平移得到C。，这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的logo.经测量，该图案两个顶点间的距

2

离B片与底部跨度。4的比值为2:5,点P是G与C?的交点，若APB4恰好为等腰直角三角形，则。的值为

A.—0.5B.—1C.—2D.—2.5

7.（2022•浙江•九年级专题练习）如图，已知点A（也,2）,5（0,1）,射线绕点A逆时针旋转30。，与x轴

交于点C,则过A,B,C三点的二次函数>=依2+版+1中。，b的值分别为（）

5]巧8]2

A.a=2,b——>/3B.G=—,b=------C.a=3,b——D.—,b=-

326333

二、填空题

8.（2022・全国•九年级课时练习）如图，抛物线y=-Y-6x-5交无轴于A、8两点，交》轴于点C,点

Dg机+1）是抛物线上的点，则点。关于直线AC的对称点的坐标为.

9.（2022・浙江•宁波市第七中学九年级阶段练习）已知：如图，抛物线的顶点为平行于x轴的直线与该

抛物线交于点A,8（点A在点8左侧），我们规定：当AAMB为直角三角形时，就称AAMF为该抛物线的“优

美三角形”.若抛物线>="2+区+6的“优美三角形”的斜边长为4,求。的值______.

3

10.（2022・全国.九年级课时练习）如图，抛物线y=d-2m%+2m-l与X轴交于A、2两点，且点A、B都

在原点右侧，抛物线的顶点为点尸，当AABP为直角三角形时，优的值为.

11.（2020・北京延庆.九年级期中）如图，正方形0A8C的顶点8恰好在函数、=幺2（。＞0）的图象上，若正

方形。4BC的边长为0,且边OA与x轴的正半轴的夹角为15。，则。的值为.

2

12.（2021•山东滨州•九年级期末）二次函数y=的图象如图所示，点4位于坐标原点，点4,4,4,…,

2

A202［在y轴的正半轴上，点B3,…,&02］在二次函数y=位于第一象限的图象上，若△AoB/4,

△A1B2A2,△A283A3,…，△A20203202/A202/都为等边三角形，则4A2020B2021A2021的边长=.

4

13.（2022・山东.日照市高新区中学一模）二次函数y=Y的函数图象如图，点4位于坐标原点，点4,4,

4,4,…在y轴的正半轴上，点B2,B3,反，…在二次函数y=x2位于第一象限的图象上，AAoBiAi,

AA7B2A2,AA2B3A3,AA3B4A4...,都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为

三、解答题

14.（2022•广东・广州市第八十九中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，AABC是直角三角形,

ZACfi=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=+岳:-3a经过A,8两点.

5

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E是直角AABC斜边A3上一动点(点A,8除外)，过点E作无轴的垂线交抛物线于点尸，当线段防的

长度最大时，求点E、P的坐标；

(3)在(2)的条件下：在抛物线上是否存在一点尸，使是以所为直角边的直角三角形？若存在，直

接写出所有点尸的坐标；若不存在，说明理由.

15.(2022・全国•九年级专题练习)如图，抛物线,=奴2一枢-3与尤轴交于点A、C,交y轴于点8,

OB=OC=3OA.

(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；

(2)如图，连接点M是对称轴上一点且在第四象限，若AAMB是以为底角的等腰三角形，求点

M的坐标；

16.(2022•全国•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系尤0y中，二次函数y=a(x+l)(x-3)的图象与无

轴交于A,B两点(点A在点2的左侧)，与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为T.

图1

(1)直接写出点A的坐标,点B的坐标；

(2)求出二次函数的解析式；

(3)如图1,在平面直角坐标系xQy中找一点。，使得AACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，试求出点。

的坐标.

6

17.(2022•全国•九年级专题练习)在平面直角坐标系中，二次函数＞=依2+陵+2的图象与x轴交于

A(-3,0),8(1,0)两点，与，轴交于点C.

(1)求这个二次函数的关系解析式；

(2)在平面直角坐标系中，是否存在点Q,使△BC。是以3c为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q

的坐标；若不存在，说明理由

13

18.(2022•全国•九年级专题练习)如图，己知二次函数y=：/-=龙-4的图象与y轴交于点C,与x轴交

42

于A、8两点，其对称轴与x轴交于点。.

(1)点C的坐标为,点B的坐标为；

(2)连接BC,在线段上是否存在点E,使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的

坐标；若不存在，请说明理由；

19.(2022.全国•九年级专题练习)如图，已知二次函数了=依2+乐+3的图象交x轴于点AQ0),3(3,0),交

y轴于点C.

7

y

⑴求这个二次函数的表达式；

(2)直线、=帆分别交直线BC和抛物线于点M,N,当ABMN是等腰三角形时，直接写出比的值.

20.(2022・全国•九年级专题练习)如图，已知二次函数》=-/+a+3的图象与x轴的两个交点为4(4,0)与

点C,与〉轴交于点反

(1)求此二次函数关系式和点C的坐标；

(2)在x轴上是否存在点尸，使得/RW是等腰三角形？若存在，请你直接写出点尸的坐标；若不存在，请说

明理由.

21.(2022.全国•九年级专题练习)己知抛物线丫=62+以。彳0)经过点尸(3,0)、2(1,4),与x轴的另一个交点

为C,点A在线段PQ上，过点A作A54x轴于点8.

(1)求抛物线的解析式；

(2)以A3为边在其左侧作等腰直角三角形ABD,问点。能否落在抛物线上，若能，求出点。的坐标，若不

能，请说明理由.

22.(2022.湖北武汉.九年级期中)如图1,已知抛物线y=-/+bx+c与无轴交于4(-2,0),8(4,0)两点，与y轴

8

交于点c.

(1)求AABC的面积；

(2)如图2,点尸是抛物线上第一象限的一点，且NR4B=NACO,求点尸的坐标；

(3)若点N是直线y=2上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点使得AOVW是

以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说

明理由.

23.(2022•全国•九年级专题练习)如图，已知二次函数y=/+法+3的图象与无轴交于点A(-1,0)、B(4,0),

与＞轴交于点C

(1)二次函数的表达式为；

(2)点M在直线2C上，当AABN为等腰三角形时，求点M的坐标；

24.(2022•全国•九年级专题练习)如图，已知点A的坐标为(-2,0),直线y=-^龙+3与无轴，y轴分别交于

点B和点C,连接AC,顶点为。的抛物线丁=办2+法+。过A,B,C三点.

9

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)设点M是线段BC上的一动点，过点河作孙〃帅，交AC于点N.点。从点8出发，以每秒1个单位

长度的速度沿线段54向点A运动，运动时间为秒).当以跖V为直角边的AQMN是等腰直角三角形时,

直接写出此时f的取值.

10

专题42二次函数中的特殊三角形问题

【题型演练】

一、单选题

1.（2021.四川成都•一模）如图，二次函数丫=以2+法+。（。W0）图象的顶点为。，其图像与

尤轴的交点A、2的横坐标分别为-1,3,与y轴负半轴交于点C.在下面四个结论中：

@a+b+c<0；

③只有当a=；时，△ABD是等腰直角三角形；

④使AACB为等腰三角形的。值可以有两个.其中正确的结论有

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】先根据图象与x轴的交点48的横坐标分别为-1,3确定出的长及对称轴，

再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后

根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：①由抛物线的开口方向向上可推出。>0,

:图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1,3,

对称轴x=l,

当x=l时，y<0,

a+b+c<0；

故①正确；

②,・,点A的坐标为（-1,0）,

**•a-Z?+c—0,

又,：b=-2a,

a~（-2a）+c=0,

••c^~~3a,

11

二.结论②正确.

③如图1,连接AQ,BD,作£>EJ_x轴于点E,

要使△A8O是等腰直角三角形，

则AD=2£),ZADB=90°,

；OE_Lx轴，

...点E是AB的中点，

:.DE=BE,

231

^ac-b|=-(-)=2,

4a2

又,：b=-la,c--3a,

../4ax(-3a)一(-2a)口.心。，

4a

解得a=g,

二只有当a时，△AB。是等腰直角三角形,

结论③正确

④要使AAC8为等腰三角形，

贝|JAB=BC=4,AB=AC=4,或AC=BC,

I、当AB=BC=4时，

在RtAOBC中，

'：OB=3,BC=4,

AOC2=BC2-0序=42_32=16-9=7,

即/=7,

:抛物线与y轴负半轴交于点C,

：.c<0,c=_币,

,cJ7

••a=—=—.

33

II、当AB=AC=4时，

12

在RtAOAC中,

VOA=1,AC=4,

AOC2=AC2-OA2=42-12=16-1=15,

即C2=15,

・・•抛物线与y轴负半轴交于点C,

/.c<0,c=-y]15,

IIL当AC=5C时，

OC±AB,

・••点。是A3的中点，

：.AO=BOf

这与AO=1,80=3矛盾，

・・・AC=8C不成立.

...使AACB为等腰三角形的。值可以有两个：昱、叵.

33

结论④正确.

故答案选：D

【点睛】二次函数y=0+6x+c系数符号的确定：(1)。由抛物线开口方向确定：开口方向

h

向上，则。>0；否则。<0；(2)6由对称轴和。的符号确定：由对称轴公式x=-丁判断符，

(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>0；否则c<0；(4)〃-4ac

由抛物线与无轴交点的个数确定：①2个交点，b2-4ac>0；②1个交点，b2-4ac=0；③没

有交点，b2-4ac<0.

2.(2022.浙江.九年级专题练习)如图，抛物线y=/-2x-3与y轴交于点C,点。的坐标

为(0,-1),在第四象限抛物线上有一点P,若△PCD是以C。为底边的等腰三角形，则点

尸的横坐标为()

A.1+72B.1-72

C.72-1D.1—行或1+&

【答案】A

13

【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出C。中点的纵坐标，然后根据等腰三角

形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可.

【详解】令x=0,则y=-3,

所以，点C的坐标为（0,-3）,

:点。的坐标为（0,-1）,

/.线段CD中点的纵坐标为—=-2,

•••△PCZ）是以为底边的等腰三角形，

，点P的纵坐标为-2,

.".X2-2X-3=-2,

解得X/=1+A/^，X2—1—5/2>

•.•点P在第四象限，

...点P的横坐标为1+忘.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质

并确定出点P的纵坐标是解题的关键.

3.（2022・全国•九年级专题练习）如图，已知抛物线经过点川-1,0）,4（4,0）,与y轴交于

点C（0,2）,P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线x=；；②抛

④。P的最小值为竽.则正确的结论为（）

C.①②③D.①③④

【分析】①由抛物线经过点3（T,0）,A（4,0）可得对称轴；②用待定系数法求出抛物线的函

数关系式，再求其最大值即可；③由抛物线求得4B、C的坐标，再求出2C,AC和AB,

由勾股逆定理即可得到NAC3是直角；④当。尸，AC时，OP取最小值，根据等面积求得

OP即可.

【详解】解：：抛物线经过点*T,0）,A（4,0）,

3

抛物线的对称轴为直线x=1,

14

故①正确；

设抛物线关系式为：y=a（x+l）（x-4）,

:抛物线经过点C（0,2）,

-4a=2,解得：/，

ii3

「・抛物线关系式为：y=——（x+l）（x—4）=-+--^+2,

・,•当％=三3时，y有最大值=—1：x（3=+l）x（39—4）=2§5,

2222X

故②错误；

，点5坐标为（-1,0）,点A坐标为（4,0）,

：.AB=5.

当x=0时,y=2,

・••点。坐标为（0,2）,

BC=7（-1-0）2+（0-2）2=45,AC=7（4-0）2+（0-2）2=24，

BC?+AC2=（病2+（2后）=25=4笈，

.♦.△ABC是直角三角形，且/AC2=90。，

故③正确；

当。P_LAC时，0P取最小值，

此时根据三角形的面积可得（。4-OC=1A。。尸，

22

.,.-x2x4=-x2V5xOP,

22

解得。2=生5,

5

；.OP的最小值为述.

5

故④正确；

故正确的有：①③④，

故选：D.

【点睛】此题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点，两点距离公式，等面积求高，解决此题

的关键是根据三角形的面积得OP的长.

4.（2022•浙江・温州绣山中学九年级期中）如图，抛物线与x轴交于点A,B,与，轴交于

点G,正方形CDE尸的边CO在x轴上，E,尸在抛物线上，连结G4,GB,AABG是正三

角形，AB=2,则阴影部分的面积为（）

15

【答案】D

【分析】设血交BG于点H,根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为2s梯w,

先求得抛物线的解析式为y=-氐2+退，待定系数法求得直线BG的解析式为

>=-氐+石，根据对称性设£（胴2何，进而求得点E的坐标，点H的坐标，即可求解.

【详解】解：如图，设ED交BG于点、H,

AO=BO^l,OG=ylAG2-AO2=A/3

.-.G（O,V3）,A（-1,O）,B（1,O）

设过AB,G的抛物线解析式为y=ajc2+^,

将点A代入，得0=a+6

a——5/3

，抛物线解析式为y=-氐2+A/3,

•.•四边形CDE尸是正方形，且关于y轴对称,

OC=OD=-DE

2

设石（祖,2加）（祖>0）,

石（祖,2加）在》=一百元2+百上，

***2m=—VSm2+6,

16

解得叫=曰>叫=-6（舍去）

・・・G（。/,3（1,0）,

设直线5G的解析式为>=丘+），

k+b=0

,.[b=C

.k=-y/3

">=V3

直线3G的解析式为y=-后+6

H在DE上,

・••//的横坐标为走

3

代入y=-y/3x+5/3

得y=-1+A/3

...

••・阴影部分面积为ZSagGooyZx；（相-l+Q）xg=2-g

故选D

【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性

质，勾股定理，求得点H的坐标是解题的关键.

5.（2020•山东德州.二模）二次函数y=x2的函数图象如图，点4位于坐标原点，点

A，4，A，4…在y轴的正半轴上，点练星，鸟出…在二次函数y=d位于第一象限的图象

上，A&4A，AA,B24,44鸟4,…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，

则AA。与A的斜边长为（）

B.200C.22D.22^/2

【答案】c

17

【分析】由于,的与4，41283A3，…，都是等腰直角三角形，因此可得出直线44：

y=x,求出可，4的坐标，得出44的长；

利用4的坐标，得直线4层：、=龙+2,求出易，4坐标，得出A4的长；用同样的的

方法可求得4A3,…的边长，然后根据各边长的的特点得出一般化规律，求得4。4的长.

【详解】解：：等腰直角三角形凹与其，4为原点；，直线4月：y=x

...y=x,y=d,Bl的坐标为（1,1）,则4为（0,2）

A）A=2

A为（o,2）,.,.直线4刍：丫=尤+2

B2（2,4）,；.44=4,则&（0,6）

A,（0,6）,直线：y=x+6

B?（3,9）,A^3=6,

由上面AoAi=2,AIA2=4,A2A3=6,可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的

斜边长依次加2

.,.△AioBiiAii的斜边长为2+10x2=22,

综上，由此可以推出4。A尸22.

故选C.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征,

函数的交点，等腰直角三角形性质等知识点，解答此题的难点是推知4-4的长.

6.（2022•浙江・杭州东方中学九年级阶段练习）小明发现，将二次函数〉="2-6取的图象

在x轴及其上方的部分G向右平移得到C?,这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的logo.经

测量，该图案两个顶点间的距离B片与底部跨度。4的比值为2:5,点尸是C1与C。的交点，

若APB耳恰好为等腰直角三角形，则。的值为（）

A.-0.5B.-1C.-2D.-2.5

【答案】A

【分析】根据二次函数解析式得到点A坐标,对称轴，根据平移的性质得到BBX=OOX=A4,,

设Bg=2x,求出x值，得到平移距离，可得C2的解析式，令％=%求出点P坐标，根据

等腰直角三角形的性质得到族2=（网2=4+164,求出。值，根据开口方向得到结果.

1

【详解】解：Vy=ax-6ax=a）c^x-6）f

18

/.A（6,0）,对称轴为直线x=3,贝!|丫=9。-18。=-9。，

BBX=OOX-AAj,

设BB[=2x,贝[JOAX=5x,

・.,OOX=BB]=M，

OOX=2x=AAX,

0A=5x,

=

・.O]Axf

OA=3x=6,

••x=2,

・・・移动距离为2x=4,

2

C2:J=6Z（X-4）-6a（x-4）,

%=a（x-4）2-6a（x-4）=ax2-14ox+40<2,M=加一6ax,

令％=%,贝!l依?一6奴=依2-14ax+40〃,

；・Sax=40〃，

••龙=5,

:.尸（5,-5a）,

*'•BP2=（5—3）+[—5a—（―9a）]=4+16",

BP2=；网2=lx42=4+16a2,

,2_J_

••Cl—,

4

..•开口朝下，

a<09Q=———0.5.

2

故选A.

八y

5（3,・9。）3（7,-9a）

O2xOi^A2xA\X

【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，

解题的关键是注意结合图像，求出平移距离.

7.（2022•浙江•九年级专题练习）如图，已知点A,2）,5（0,1）,射线绕点A逆时针

旋转30。，与x轴交于点C,则过A,B,C三点的二次函数>=G2+以+1中。，6的值分

别为（）

19

[n8]2

a=—,b=------C.a=3,b——y/3D.a=—,h=-a\/3

26333

【答案】A

【分析】先求出直线AB的函数解析式y=#x+l,再求出点6,0),再根据三角函数

求/AGN=30。，则射线AB绕点A逆时针旋转30。，后NCzAN=30。，利用解直角三角形

求出C?,利用待定系数法即可求出答案人

【详解】解：如图所示，直线AB交x轴于点C,过点4作河_1%轴交x轴于点N,射线AB

设一次函数解析式为打丘+也将A(后2),5(0,1),代入，得:

k=^-

得:3

b=\

・・V=——X+1

3

.♦.点

又A（/2）

20

…“2AN2g

••tan^AC[N=-----=-f=----产=—

CtNV3+V33

・•・/AC[N=30。贝ij（AN=90°-30°=60°

・・•射线AB绕点A逆时针旋转30。,交x轴于点G，则NGAG=30。

】

ZC2AN=/CAN_ZCXAC2=60°-30°=30°

C2N=tan30°AN=^-

■•OC2=ON-C2N=^-

•.•A（G,2）,B（0,l）,C2,0代入丁=加+"+]

2=aa=2

n解得：,b二一三回

0=a-+/?•—+i

3

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、解直角三角形的综合题目，能构造直角三角形是

解答此题的关键.

二、填空题

8.（2022•全国•九年级课时练习）如图，抛物线y=-Y-6x-5交x轴于A、8两点，交，轴

于点C,点。（租，机+1）是抛物线上的点，则点。关于直线AC的对称点的坐标为.

【答案】（-5,-4）或（0,1）

【分析】先求出A、B、C、。的坐标，再将点。代入抛物线的解析式，得出"2的值，确定。

的坐标，再根据点。的坐标分情况画图求解，即可求出点。关于直线AC的对称点坐标.

【详解】解：；抛物线>=-犬-6芯-5交无轴于A、3两点，交，轴于点C,

.*.当y=_尤2_6x—5=0时，%=—1,x2=-5,

21

当尤=0时，,=一5,

A(-5,0),3(—1,0),C(0,-5),

：.OA=OC=5,

：.ZACO=ZOAC=45°9

VD[m根+1)是抛物线上的点，

m+1=-m2-6m-5，

解得办=一1，？=一6,

・,・当加=—1时,。(—1，0),

当根=一6时，

①当。(-1,0)时，此时点。与点3重合，

如图1,设点。关于直线AC对称点为Z7,连接5,

•・•点。与点。，关于直线AC对称，

・•・AC是的垂直平分线，

・•.AB=AT>'=—1—(—5)=4,且NOAC=NC4T>'=45。，

・・・ZOADr=90°,

D(-5,-4)；

②当。(-6,—5)时，

・・・CD〃x轴，

:.ZACD=ZOAC=45°

如图2,设点。关于直线AC的对称点为M,连接CO,

・・•点D关于直线AC的对称点为M,

：.AC是DM的垂直平分线，

/.ZACD=ZACM=45°,DC=CM,

・・・M在y轴上，且△QCW是等腰直角三角形，

:•DC=CM=6,

：.OM=CM-OC=6-5=lf

：.M(0,l).

综上可得：点D关于直线AC的对称点的坐标为(-5,-4)或(0,1).

22

故答案为：（-5,-4）或（0,1）

【点睛】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练

掌握二次函数图像上的点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键.

9.（2022•浙江・宁波市第七中学九年级阶段练习）已知：如图，抛物线的顶点为平行于

x轴的直线与该抛物线交于点A,3（点A在点B左侧），我们规定：当AAMB为直角三角形

时，就称"IMB为该抛物线的“优美三角形”.若抛物线>="2+区+6的“优美三角形”的斜

边长为4,求。的值______.

【答案】±|

【分析】设抛物线的顶点式，根据“优美三角形”的条件得为等腰直角三角形，得

AC=BC=MC=2,从而得出点B的坐标，将点8的坐标代入顶点式表达式即可求解.

【详解】解：设抛物线的顶点的坐标为“（根,”），

二抛物线的顶点式为：y=a（x-mf+n,

又抛物线y=+云+6的“优美三角形”，

为直角三角形，

根据抛物线的对称性质，可知AM=,

.•.△ABM为等腰直角三角形，

设与对称轴交于点C,如图，

23

\AB=4,

.\AC=BC=MC=2

B(机+2,〃+2)或3(机+2,〃一2),

:.n+2=a(jn+2—m)2+〃或〃一2=a(m+2—m)2+n,

1_p1

a=—或ci=----,

22

故答案为：士彳.

【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，正确理解新定义“优美三角形”、熟练掌握二次函

数的顶点式、图像的对称性质以及图像上点的特征是解答此题的关键.

10.(2022.全国.九年级课时练习)如图，抛物线y=/一2mx+21与x轴交于A、5两点，

且点A、B都在原点右侧，抛物线的顶点为点P,当△AB尸为直角三角形时,加的值为.

【答案】2

【分析】设点A(制，")，B(必＞2)，贝!!A5=IX2-X1I,求出点尸(m,-(m-1)2),由抛

物线的对称性知aABP为等腰直角三角形，建立方程IX2-X1I=2(m-1)2,根据根与系数关

系可求得m值.

【详解】解：设点A(%,yi),B(孙”)，贝！JA3=Ixi-xiI,

令y=0得％2_2mx+2m-1=0，

222

•\xi+x2=2mfxrX2=2m-l,贝UIX2-X1I=4m-8m+4=4(m-1),

由抛物线y=/一2机x+2加一1=(x-m)2—(m-1)2得顶点坐标为p(m,-(m-1)2),

抛物线的对称性知△A5尸为等腰直角三角形，

IX2-X1I=2(m-1)2,

即4(m-1)2=4(m-1)4,

解得：m=2或m=0或"2=1,

24

•.•抛物线y=%2-2加x+21与X轴交于A、5两点，且点A、3都在原点右侧,

.,・2根>0且相声1且2根-1>0,即根且相

••Z72—2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系、

解高次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.

11.（2020.北京延庆・九年级期中）如图，正方形OABC的顶点B恰好在函数、=改2（。>0）的

图象上，若正方形0ABe的边长为0,且边04与x轴的正半轴的夹角为15。，贝心的值为

【答案】否

【分析】作8。口轴，连接。3,根据正方形性质可知。4=。8,乙4=90。可得/BOD=60。,

再由勾股定理即可得,将点B代入y=加（a>0）即可求解；

【详解】解：作2D，尤轴，连接。2,

ZAOB=45°,

,：ZAOD=15°,

：.ZBOD=6Q°,

OB=VOA2+AB2=J万+后=2

/.OD=cos60°OB=-x2=l,BD=sin60°.BB=—x2=A/3

22

25

/.8（1向，

将点8代入丁=加（。>0）得，

>/3=a-12,

解得：a=也.

故答案为：耳

【点睛】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特

殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键.

2

12.（2021•山东滨州•九年级期末）二次函数>=耳/的图象如图所示，点A。位于坐标原点，

2

点A],A2,4,…，A202，在y轴的正半轴上，点B2,―,…，&。2]在二次函数y=耳/

位于第，象限的图象上，若△Ao3i4,AA1B2A2,AA2B3A3,...»△A2020&02/A202/都为等边

三角形，则△A2020B2021A2021的边长=.

【答案】2021

【分析】分别过B,B2,83作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C,设A2A3=c,

则=BB2=J,C&=@C,再根据所求正三角形的边长，分别表示B2,B3

222

2

的纵坐标，逐步代入抛物线y=中，求八。的值得出规律.

【详解】解：分别过5,星,以作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C.

设尸。，A]A2=b,A2A3=。，

,**/\AoB]A]是等边三角形，

/.ABX=J4牙-4X=，

同理可得BB2=鸟,CB3=—C,

22

26

X

工在正小中，"I）,代入y=g/中，得微号乂当口尸，解得：〃=1或〃=0（舍

去），即AoA尸1,

在正△A1B2A2中，&（争，1+|）,代入y=宁中，得1+：=|•（小＞，解得"=2或-1（舍

去），即AJA2=2,

在正△A2B3AJ中，Bj（^y-c,3+-|）,代入y="|x2中，得3+|"=|"・（#C）2,解得：c=3或c=-2（舍

去），即A2A3=3,

/.可以推出AnAn+i=n+1,

由此可得^A2020B202/A202/的边长=2021.

故答案为：2021.

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用

抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律.

13.（2022・山东.日照市高新区中学一模）二次函数y=Y的函数图象如图，点4位于坐标

原点，点4,A2,4,4,…在y轴的正半轴上，点B/,B2,B3,反，…在二次函数y=V

位于第一象限的图象上，△AoB/4,AA1B2A2,AA2B3A3,KA3B4A4...,都是直角顶点在抛

物线上的等腰直角三角形，则4AioBnAn的斜边长为.

【分析】过点lh,B3,…分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D、E...,分别写出

直线4月、A与、4鸟的解析式，将它们与＞=/联立，求得点囱，B2,&的坐标，从而可

27

得4A=2,A4=4,4A3=6,得到规律这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜

边长依次加2,据此解题.

【详解】解：如图，过点氏，&,B3,耳，…分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D、E...

■：i^AoBiAi,△A1B2A2,AA2B3A3,△A3B4/U..,都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角

形，

\?耳44?32AA?834A45?

・•.A)用所在的直线为丫=》，

ty=x

由卜2得尤=%

/.x(x-1)=0

..玉—0,X?~1

..4(1,1)

\4A=2百C=2

\AQ2)

，直线4与为y=x+2,

[y=x+2

同理，由jy=d解得'与(2,4)

\AA=2B2D=4

\4(0,6)

直线4鸟为y=x+6,

Jy=x+6

由卜2解得鸟(3,9)

I,=无一

\A2A=2B3E=6

\4(0,6)

由44=2,a&=4,&A=6…可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜

边长依次加2,

△AIOBHAH的斜边长2+10x2=22,

28

故答案为：22.

【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合题，涉及等腰直角三角形、解二元一次方程组等

知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键.

三、解答题

14.（2022•广东・广州市第八十九中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，"13C是直

角三角形，ZACB=90°,AC=BC,Q4=l,OC=4,抛物线y=o?+历:一3”经过A,B

两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是直角AABC斜边上一动点（点A,B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点尸,

当线段所的长度最大时，求点E、F的坐标；

（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P,使△EEP是以所为直角边的直角三角

形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】⑴y=--2x—3

【分析】（1）根据AC=3C，求出3c的长，进而得到A,8的坐标，利用待定系数法即可

求得抛物线的解析式；

（2）利用待定系数法求出直线A3的解析式，用含加的式表示出E、尸的坐标，求出所的

长度最大时机的值，即可求得E、P的坐标；

（3）分两种情况，/尸EP=90。和NE77=90。时，分别求得点尸的坐标，将纵坐标代入抛

物线解析式，即可求得点尸的值.