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文档简介

专题43二次函数中的相似三角形问题

【题型演练】

一、解答题

1.(2022.山东济南.统考模拟预测)如图,直线y=-§x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交

4

于点3,抛物线y=-§Y+6x+c经过点A,B.

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;

(2)M为线段上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线A2及抛物线分别交于点尸,

N.若以2,P,N为顶点的三角形与相似,求点M的坐标;

(3)将抛物线在04x43之间的部分记为图象L,将图象L在直线J=t上方部分沿直线y=r翻

折,其余部分保持不动,得到一个新的函数图象,记这个函数的最大值为。,最小值为6,

若a-6W2,请直接写出f的取值范围.

410「

【答案】(1)(0,2);y=-x2----%+2

33

⑵加或加

13

⑶北43

2

【详解】(1)解:将(3,0)代入y=—耳l+。得0=—2+c,

解得c=2,

2

・,・直线AB的解析式为j=--x+2,

2

将%=0代入y=_§x+2得y=2,

・••点3坐标为(0,2).

将(3,0),(0,2)代入了=-]尤2+云+(?得:

4,

0=——x9+3Z?+c

3解得3,

2=cc=2

4in

•••抛物线的解析式为了=-;尤2+三尤+2.

(2)解:VZBPN=ZAPM,

:.当PBNs.PAM时,NBNP=ZAMP,

此时3N〃AM;

当tPBNjPMA时,ZPBN=ZPMA=90°,

如图,当“P&Vs,R4"时,BN//AM,

:.点B,N关于抛物线对称轴对称,

_4.10“

・y=—xH----%+2,

33

10

抛物线对称轴为直线X=3,

_24

-3

:点8坐标为(0,2),

...点N坐标为

•••点M坐标为g,。];

如图,当时,NPBN=NPMA=9G°,作NCJLy轴于点C,

设m,-jm2+^m+2j,410。「410

贝|JC5=——m2Hm+2-2=——m2Hm,

3333

ZNBC+ZABO=ZABO+ZBAO=90°,

・・・/NBC=/BAO,

:,-NBCs-BAO,

—+10加

:.也二巴即机33

OBOA

23

解得根=?或。(舍去),

O

二点M坐标为

综上所述,点M坐标为3,o]或11

8

410「4f5丫49

(3)解:•・,,=-—X2H-----%+2=—X-H-----,

3334)12

549

,抛物线顶点坐标为4,12j,

二翻折后顶点坐标为,

当点A为最低点时,t-0<3,解得,W3,

令”=3,

13

解得仁五,

【点睛】本题考查二次函数的综合应用,解题关键是掌握待定系数法求函数解析式,掌握相

似三角形的性质,通过分类讨论求解.

2.(2022•河南关B州•统考一模)已知,二次函数,=〃/+法—3的图象与%轴交于A,B两点

(点A在点5的左边),与丁轴交于。点,点A的坐标为(-L0),且。5=OC.

(1)求二次函数的解析式;

⑵当。〈尤<4时,求二次函数的最大值和最小值分别为多少?

⑶设点c与点c关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点尸,使△pee与.P03

相似,且PC与尸。是对应边?若存在,求出点尸的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案1(1)y=x1-2x-3

(2)函数的最大值为5,最小值为T

9

⑶存在,尸(0,-9)或「(0,-7

【分析】(1)先求出点C的坐标,得到点B的坐标,再将点A、B的坐标代入解析式计算

即可;

(2)将函数解析式化为顶点式,根据函数的性质解答即可;

PCCC

(3)存在点P,设尸(。,根),根据相似三角形对应边成比例列得急=赛,代入数值求出

机即可.

【详解】(1);二次函数y=++bx-3的图象与V轴交于C点,.•,C(0,-3).

O3=OC,点A在点B的左边,.-.B(3,o).

又,二点A的坐标为(-1,0),

0=9〃+3Z?—36Z—1

由题意可得:

。“-b-3,解得:b=-2

二次函数的解析式为y=x2-2x-3.

(2).y=x2-2x-3=(x-l)2-4,二次函数顶点坐标为(1,-4),

.•.当x=i时,y最小值=-4,

,当OWxWl时,,随着尤的增大而减小,

,当x=0时,y最大值=-3,

1•当1<XW4时,y随着X的增大而增大,

...当x=4时,y最大值=5-

.•.当04x44时,函数的最大值为5,最小值为T.

(3)存在点尸,如图,设尸(0,何,

CC//OB,且PC与PO是相似三角形的对应边,

PCCC|m-(-3)|=2

---,即:

POOBIml3

9

解得:m=-9^m=--,

.-.P(O-9)«Kpfo,-|

【点睛】此题考查了二次函数与图形问题,待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的对

称性,相似三角形的性质,二次函数的最值,正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键.

3.(2022.山东德州.统考二模)如图,抛物线经过4(4,0),3(1,0),。(0,-2)三点.

(1)求出抛物线的解析式;

(2)尸是抛物线在第一象限上的一动点,过尸作轴,垂足为是否存在尸点,使得

以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点尸的坐标;若不

存在,请说明理由;

⑶若抛物线上有一点D(点。位于直线AC的上方且不与点B重合)使得S"CA=S3BC,

直接写出点。坐标.

【答案]⑴丫=-;*2+■1x-2

(2)存在,(2,1)

(3)点。的坐标为(3,1)

【分析】(1)把A、B、C坐标代入解析式即可确定出解析式;

(2)存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似,首先根据点尸的位置求

得点m的取值范围,然后由相似三角形的两种情况进行分类讨论;

(3)过。作y轴的平行线交AC于E.利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=:》-2.再

利用三角形面积公式列式求解即可.

【详解】(1)解::该抛物线过点A(4,0),B(1,0),C(0,-2),

.♦.将A(4,0),B(1,0),C(0,-2)代入解析式,

16a+4Z?+c=0

彳导<a+Z?+c=0,

c=-2

1

a=—

2

解得匕5,

D=—

2

。=一2

此抛物线的解析式为-2;

(2)解:存在.

如图,设P点的横坐标为加,

是抛物线A3段上一动点,

1<m<4,

则尸点的纵坐标为-彳疗+^-m-2,

22

当1<加<4时,AM=4—m,PM=--m2+—m-2.

22

又・・・ZCOA=ZPMA=90°,

・•・①当里=%=2时,

PMOC1

gp4-m=2

解得"7]=2,生=4(舍去),

:.P(2,1);

②当出£=_2£=J.时,

PMOA2

15.

=——m"2+—m—2.

22

解得叫=4,吗=5(均不合题意,舍去)

.,.当1<加<4时,P(2,1).

综上所述,符合条件的点尸的坐标为(2,1);

(3)解:如图,设。点的横坐标为r(0<r<4),则D点的纵坐标为-3产+$-2.

如4X

I\

/力I\

过£>作y轴的平行线交AC于E.

设直线AC解析式为1=h+方,

[4k+b=0

将A与C坐标代入得:,c,

[b=-2

\-L

解得:\2,

b=-2

...直线AC的解析式为y=;x-2.

•••£点的坐标为',:"2).

DE=--t2+-t-2-\-t-2\=--t2+2t,

22(212

S.DAC=S.DCE+SADEA=-DEh+-DE-(4-h}=-DE-4,

△ZzACZXiJCtSZXULLA22、,2

=5x1—5〃+2,义4=一/2+4%

又%wc=;x(4-l)x2=3

••Q—Q

•—0/\ABC

••—i1+4/=3

解得,4=1,:2=3

当/■=:!时,点尸与点B重合,不符合题意,

当U3时,y=l,

•■.点。的坐标为(3,1).

【点睛】此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:二次函数图象与性质,待定系数法求二

次函数解析式,相似三角形的判定与性质,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

4.(2022・山东聊城•统考三模)如图,抛物线产-N+bx+c的顶点D坐标为(1,4),且与x

轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,点E在x轴上方且在对称轴

左侧的抛物线上运动,点尸在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称,作矩形EFGH,

其中点G,反都在x轴上.

(1)求抛物线解析式;

(2)设点/横坐标为m,

①用含有m的代数式表示点E的横坐标为(直接填空);

②当矩形EFGH为正方形时,求点G的坐标;

③连接A。,当EG与垂直时,求点G的坐标;

(3)过顶点。作。轴于点过点尸作尸PLAO于点P,直接写出△。尸尸与△D4M相

似时,点尸的坐标.

【答案】(1)y=-x2+2^+3

(2)①2-租;②G点坐标为(右,0);③G点坐标为(匕兴,0)

720

(3)/点坐标为(1,—)

【分析】(1)根据题意设顶点式即可抛物线解析式;

(2,①根据点F在抛物线上,设R优,-汴+2加+3)(1<加<3),则E(2-〃2,-m2+2/77+3),

②由矩形EFG”为正方形,可得FE=FG,列方程即可求解;

③连接A。,当EG与4□垂直时,证明RtAGEHsRsD4M,得出空=空,列方程即

24

可求解;

(3)设AD交所于Q,根据题意可得△。尸。为等腰三角形,则阳=尸。,求得直线AD的

解析式为V=2x+2,继而求得。(-《济+加+工-m2+2m+3),根据尸。=尸。,列方程

22

即可求解.

(1)

解:由题意得:抛物线解析式为>=-(X-1)2+4,

即y=—x2+2x+3

(2)

①设尸(m,-m2+2m+3)(l<m<3),贝1JE(2-m,-m2+2m+3

故答案为:2-m;

②,矩形EFGH为正方形,

:.FE=FG,

BP—m2+2m+3=m-(2-m),

整理得仍=6,%=-石(舍去),

.••6点坐标为(君,0);

③。无轴,

.•.N1=N4,

.'.RtAGEHsRtADAM,

EH_GHEH_GH

'与厂而即万二丁’

:.GH=2EH,

即2m-2=2(-苏+2m+3),

整理得根2_机_4=0,解得吗=।+==,__(舍去),

[222

.1G点坐标为(止叵,0);

2

(3)

720

尸点坐标为(§,—).

设A。交所于Q,如图,

FP±AD,

:./DPF=9Q°.

':△DFP与ADAM相似,

.•.Z1=Z3,

VZ1=Z2,

;.N2=N3,

而bPLOQ,

△。尸。为等腰三角形,

:.FD=FQ.

设直线AD的解析式为y=Px+q,

把A(T,°),。。,4)代入得;:::[,解得

「•直线AD的解析式为y=2x+2f

当y=一加2+2m+3时,2%+2=—机2+2加+3,解得%=一耳机2+根+万,

则Q(-^-m2+m+4,-m2+2m+3),

22

11111

FQ=m-(——m2+m+—)=—m2——=—(m+l)(m-1),

2222

而DF2=(m-1)2+(-m2+2m+3-4)2=(m-1)2+(m-l)4,

「]下

/.(m-1)2+(m—I)4=—(m+l)(m—1),

而加wl,

:.l+(m-l)2=-(m+l)2,

4

7

整理得3〉-10机+7=0,解得班=],㈣=1(舍去),

,产点坐标为(7(,罟20).

【点睛】本题考查了二次函数综合运用,正方形的性质,相似三角形的性质与判定,熟练运

用已学知识是解题的关键.

5.(2022•辽宁丹东•校考一模)已知抛物线经过点A(-2,0),8(0,Y),与尤

(1)求抛物线的解析式;

⑵如图,尸是第一象限内抛物线上一点,且求直线AP的表达式;

⑶在抛物线上是否存在点直线8。交x轴于点E,使一ABE与以A,B,C,E中的三点

为顶点的三角形相似(不重合)?若存在,请直接写出点。的坐标;若不存在,请说明理

由.

【答案】(i)y=gf-x-4

⑵y=X+2

440

⑶(8,20)或(―,-■—)

【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式;

(2)令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标,作POB和AP3C的高线,根据面积相等可

得OE=CF,证明,OEGWCTG,则OG=CG=2,根据三角函数列式可得尸的坐标,利用

待定系数法求一次函数AP的解析式;

(3)先利用概率的知识分析A,B,C,E中的三点为顶点的三角形,有两个三角形与AASE

有可能相似,即,LBC和AfiCE,

①当AABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似,如图2,根据存在公共角

NBAE=NBAC,可得AABES.CB,列比例式可得E的坐标,利用待定系数法求直线BE

的解析式,与抛物线列方程组可得交点D的坐标;

②当MBE与以B,C、E中的三点为顶点的三角形相似,如图3,同理可得结论.

【详解】(1)解:把点A(-2,0),Z?(0,Y)代入y=gd+6x+c,得

2—2Z?+c=0b=-l

c=-4,解得:

c=-4'

・・・抛物线的解析式为:

2

1

(2)解:当y=0时,—x29—x-4=0,

2

解得:了=—2或4,

・•・C(4,0),

如图1,过。作尸于E,过C作CF_L3尸于凡设尸3交x轴于G,

图1

••Q—Q

•2"BO-2"BC,,

:・LpBOE=LpBCF,

22

OE=CF,

・.・ZOEG=NCFG,ZOGE=ZCGF,

JAOEG^ACFG(AAS),

:.OG=CG=2,

设P(x,g]2一x_4),过P作PM_Ly轴于M,

PMOG21

tanZPBM=-----

BMOB「5'

:.BM=2PM,

19,

.4H—x—%—4=2%,

2

f—6%=0,

..Xj=0(舍),々=6,

y=;x36-6-4=8,

・・・尸(6,8),

设直线AP的解析式为丁=履+人,

.J-2Z+b=0

a[6k+b=8'

[k=\

•■-U=2

y=x+2;

(3)解:以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形有AABCAABEAAC及ABCE共4个,其

中AAB石重合,不符合条件,AACE不能构成三角形,

・••当AAB石与以45CE中的三点为顶点的三角形相似,存在两个三角形:AABC和A5C£,

①当AABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似,如图2,

图2

・.・/BAE=NBAC,ZABEwZABC,

・•・ZABE=ZACB=45°,

:.\ABE^\ACB,

.AB_AE

・•耘—U'

.275AE

••——,

62V5

•・A.E=—,OE=-----2=一

333

4

・・・丐,0),

・・,3(0,-4),

・,・由待定系数法可求的解析式为:y=3尤-4,

则工/一x—4=3x—4,

2

玉=0(舍),入2=8.,

・・.£)(8,20);

②当AAB石与以5,C、片中的三点为顶点的三角形相似,如图3,此时E在。的左边,

工当NABE=NBCE时,AABE^ABCE,

.ABBE2^/5

,'~BC~~CE~^2,

设BE=2至m,CE=4应m,

RtABOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2,

42+(4缶z-4)2=Q生,

3m2—8夜〃?+8=0,

、62及

呵=2v2,m2=---,

=4后加一4二12或w,

4

9:OE=-<2,NAE5或/3EC是钝角,此时AAKE与以5,C、E中的三点为顶点的三角

图4

£(-12,0);

由待定系数法可求BE的解析式为:y=~x-4,

——1x-4,=~1x2-x-4,,

32

4

x=§或。(舍)

・•.吗-茅;

同理可得E在C的右边时,AABEs^BCE,

.ABAE245

设4E=2后,BE=4>/2m,,

RtABOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2,

222

:.Q#1m-2)+4=(4A/2/M),

3m2+2.y/5m—5=0,

呵=-J5,m2=,

4

:.OE=-12(舍)或

4

VOE=-<4,NBEC是钝角,此时AABE与以8,C、E中的三点为顶点的三角形不相似,

440

综上,点。的坐标为(8,20)或(耳,.

【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的

解析式,一次函数的解析式,相似三角形的性质和判定,一元二次方程的解法,三角形面积

以及勾股定理,分类讨论是解(3)的关键.

6.(2022•山东济南・统考一模)如图,抛物线>=依2+云+2与x轴交于点A,B,与y轴交于

点C,已知A,8两点坐标分别是41,0),8(-4,0),连接AC8C.

备用图

(1)求抛物线的表达式;

(2)将AABC沿BC所在直线折叠,得到ADBC,点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上?

若点D在对称轴上,请求出点。的坐标;若点。不在对称轴上,请说明理由;

(3)若点尸是抛物线位于第二象限图象上的一动点,连接AP交8C于点Q,连接3P,ABPQ的

面积记为航,AAB。的面积记为S2,求”的值最大时点尸的坐标.

13

【答案】⑴,二-万天--%+2

(2)点。不在抛物线的对称轴上,理由见解析

(3)(-2,3)

【分析】(1)利用待定系数法可求得函数的表达式;

13

(2)抛物线的表达式为了=-5苫2-5》+2,可证明AAOCsACC®,继而可证AC1BC,则

将AABC沿BC所在直线折叠,点。一定落在直线AC上,延长AC至O,使OC=AC,过

点。作OEly轴交》轴于点E,可证AACO当ADCE,可得点。横坐标.则可判断。点是否

在抛物线对称轴上;

(3)先求出过点8、C的直线解析式,分别过4尸作x轴的垂线,利用解析式,用同一个

字母机表示出P,N的坐标,再证明AAQA/SAPQN,进而用机表示出3的值,根据二次函

*

数的性质可以确定出妥的最大值,进而可确定出此时的尸点坐标.

【详解】(1)解:二•抛物线、=加+燃+2过点4(1,0),3(-4,0),

.(a+b+2=0

••[16a-4万+2=0‘

11

a=——

解得:,

b=——

[2

13

・・・抛物线的表达式为y=-]尤2一]%+2.

(2)解:点。不在抛物线的对称轴上,理由是:

13

V抛物线的表达式为y=-1X2-1X+2,

VOA=1,OC=2,

.OAPC

^~OC~~OB'

又•・•ZAOC=/COB=90°,

HOCsbCOB,

:.ZACO=NCBO,

:.ZACO+ZBCO=ZOBC+ZBCO=90°,

・・・AC-LBC.

・••将AABC沿5c所在直线折叠,点。一定落在直线AC上,

延长AC至。,使。C=AC,过点。作。Ely轴交》轴于点E.

又:ZACO=NDCE,

.・・AACO^ADCE(AAS),

:.DE=AO=1,则点。横坐标为T,

•・•抛物线的对称轴为直线x=3-三,

2

・••点。不在抛物线的对称轴上.

(3)解:设过点3、。的直线表达式为y=p%+4,

C(0,2),3(-4,0),

・.12F

*[o=—47+g,

解得:\P=2,

q=2

;•过点8、C的直线解析式为y=Jx+2.

过点A作无轴的垂线交BC的延长线于点M,

:当x=i时,y=:+2=],

...点”坐标为(1,1),

AM=-.

2

过点尸作x轴的垂线交BC于点N,

131

设点P坐标为(九-万疗-2根+2),则点N坐标为(九]加+2),

1311

PN=——m9——m+2-(—m+2)=——m?-2m,

2222

':PN//AMf

.・.AAQA/SAPQN,

・PQPN

•・而一而,

若分别以PQ、A。为底计算ABPQ和ABAQ的面积(同高不等底),

则ABPQ与ABAQ的面积比为黑,即察=整,

AQ邑AQ

2

V-1<0,

S.4

...当机=-2时,肃的最大值为三,此时点尸坐标为(-2,3).

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与

性质,三角形面积的计算,二次函数中常见辅助线的作法,利用点的坐标表示线段的长度,

确定函数最值,关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示相关线段的长度.

7.(2022•山东济南•模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,点。为坐标原点,直线/与抛

物线丁=g2+依相交于A(l,3),8(4,0)两点.

(1)求出抛物线的解析式;

(2)在坐标轴上是否存在点。,使得是以线段A3为斜边的直角三角形?若存在,求

出点。的坐标;若不存在,说明理由;

⑶点P是线段上一动点,(点尸不与点A、8重合),过点尸作尸加〃。4,交第一象限内

的抛物线于点过点〃作MC_Lx轴于点C,交AB于点N,若△BCMZXPW的面积

MN

S&BCN,S&PMN满足S&BCN=2sA,求出的值,并求出此时点M的坐标.

mmNC

【答案】⑴yT+4x

(2)存在,。点坐标为。,0)或(0,4)或(0,—1)

(3)写=夜,M点坐标为(夜+1,3+2应)

【分析】(1)利用待定系数法来求解;

(2)分两种情况来求解:点。在x轴上和点。在y轴上.当点。在x轴上时,过点A作AO,x

轴于点。,易求。点的坐标;当点。在y轴上时,设。(0,d),在RtZXABD中利用勾股定

理可求得”的值,可的答案;

(3)过尸作尸F_LCAf于点尸,易证RtZXADOsRt/XAfFP,从而得到A/=3尸产,在Rt/XABD

中和在Rt△尸/W中利用三角函数得出跖V=4尸产,设BC=a,则CN=a,利用她苗和

PMN之间的面积关系,进而表示出M的坐标,再根据M点在抛物线上求出。的值,进而

得到答案.

【详解】(1)解:•••A(L3),以4,0)两点在抛物线y="2+质的图像上,

|m+n=3fm=-1

L,八,解得”,

[16m+4n=0[n=4

抛物线解析式为y=-/+4x;

(2)解:存在三个点满足题意,理由如下:当点。在x轴上时,如图1,过点A作AZ),x

轴于点D,

o\DCB\X

图1

VA(l,3),二。坐标为(1,0);

当点。在y轴上时,设D(0,d),则4£)21+(3-4,BD2=42+力,且钿2=(4_吁+32=]8,

,/AABD是以AB为斜边的直角三角形,

AD2=BD2+AB2>即1+(3-[)2+42+屋=18,解得d=4,或d=-1

:.D点坐标为(。,4)或(0,-1);综上可知存在满足条件的。点,其坐标为(LO)或(0,4)或

(0,-1);

(3)解:如图2,过尸作尸尸,CM于点八

X图2

■:PM//OA,

:.RtAADO^RtAMFP,

.MFAD

••==3o,

PFOD

:.MF=3PF,

在RtZVlB。中,BD=3,AD=3,

tanZABD=1,

:.ZABD=4509设5C=a,则CN=Q,

在Rt△尸RV中,NPFN=/BNC=450,

.tan/PNF==1,

FN

・・.FN=PF,

:,MN=MF+FN=APF,

•S^BCN=2sApMN,

11

—a9=2x—x4xPF92,

22

***a=2s/2PF9

NC=a=2血PF,

.MN_4PFr-

••NC-2V2PF-'

MN=y/2NC=缶,

:.MC=MN+NC=,

・W点坐标为+l)a),

又M点在抛物线上,代入可得-(4-4+4(4-Q)=(0+1)〃,

解得〃=3-&或〃=0(舍去),

OC=4-a=0+l,MC=3+20,・♦•点M的坐标为(0+L3+2后).

【点睛】本题主要考查二次函数图像综合问题,涉及三角函数的计算及相似三角形的判定及

性质的运用,能够熟练运用数形结合思想是解题关键.

8.(2022•江苏无锡・无锡市天一实验学校校考模拟预测)如图,抛物线y=法+c与x

轴的一个交点为A(-2,0),与y轴的交点为3(0,4),对称轴与无轴交于点尸.

备用图

(1)求抛物线的解析式;

⑵点M为y轴正半轴上的一个动点,连接AM,过点”作AM的垂线,与抛物线的对称轴

交于点N,连接AV.

①若.AW与,AOB相似,求点”的坐标;

②若点M在>轴正半轴上运动到某一位置时,,AAW有一边与线段AP相等,并且此时有一

边与线段AP具有对称性,我们把这样的点"称为“对称点”,请直接写出“对称点”加的坐标.

1R

【答案】⑴y=_#+,+4

42

⑵①M点的坐标为(0,6)或[o,£|;②M点的坐标为(0,@)或(0,")或[o.:

【分析】(1)利用待定系数法去求抛物线解析式;

(2)①先求出抛物线的对称轴为x=3,作"。_L直线x=3于点。,作于E,根据

相似三角形的判定和性质进行如下的分类讨论即可:(1)当A筹M=察MN时,(2)当A黑M=M芸N

OBOAOAOB

时进行求解即可;

②先确定AP=5进行如下的分类讨论即可:(1)当AM=AP=5时,(2)当A2V=AP=5时,

(3)当MN=5时进行求解即可.

【详解】(1)将点A(-2,0),8(04)分别代入>=-:无2+法+。得c=4,

\3

b——

解得2,

c=4

13

•••抛物线的解析式为尸-/+产4;

3

(2)①抛物线的对称轴为直线=3,

作MD_L直线x=3于点。,作于E,

ZAMN=ZAOB,

…AM_MNmAM_OB_4_.

OBOAMNOA2

*./\AMN^ABOA,如图1,

.*Z£W+Z£M4=90°,/DMN+/EMA=94。,

\ZEAM=ZDMN,

:ZAEM=ZMDN=90°,

•・AAEMsAA/DN,

.AEAM2

9MD~MN~'

而MD=3,

AE=6,

此时M点的坐标为(0,6),

.AM__MNnnAMOA_21

''^~OA~~OB''加一丽一15,

:..AMNs二AOB,如图2,

同理可得△AEMs^MDN,

.AEAM1

''MD~MN~1"

而A®=3,

3

・・.AE=-,

2

此时M点的坐标为/J

综上所述,M点的坐标为(。,6)或‘4}

@VA(-2,0),P(3,0),

AP=5,

当AM=AP=5时,OM=y/52-22=A/21-此时点M的坐标为(0,历);

当A2V=AP=5时,点N与点P重合,则3/2=040。

OM=72^3=V6,此时M点的坐标为(0,«);

当MV=5时,在中,DN=y152-32=4,

•/AAEMsAAiDN,

.AEEMAE2

••=,即Rn=~~9

MDDN34

解得AE=9,此时点M的坐标为(0,£|,

综上所述,w点的坐标为(。,万)或(。,#)或(o,T

图1图2

【点睛】本题考查了二次函数的综合题,熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数

的性质;会利用待定系数法求函数解析式;会灵活应用相似三角形的判定和性质进行几何计

算;理解坐标与图形的性质;会利用分类讨论的思想解决数学问题.

9.(2022・四川成都・成都市树德实验中学校考模拟预测)如图,在平面直角坐标系xOv中,

13

抛物线丁=-了/+x+4与两坐标轴分别相交于A,B,C三点.

42

⑴求证:ZACB=90°;

(2)点。是第一象限内抛物线上的动点,过点。作尤轴的垂线交3C于点E,交尤轴于点尸.

①求。£+2叵BE的最大值;

5

②点G是AC的中点,若以点GD,E为顶点的三角形与,AOG相似,求点。的坐标.

【答案】(1)见解析

25

⑵①9;②。(4,6)或£)(3,3).

4

【分析】(1)分别计算AB,C三点的坐标,再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长,最

后利用勾股定理逆定理解题;

131

(2)①先解出直线BC的解析式,设D(x,—■-x2+—x+4),得出BF=8—%,DE=—■-x2+2x,

424

由OC〃。/,得出拽BE=BF利用二次函数的配方法求最值;

5

②根据直角三角形斜边的中线性质,解得AG的长,再证明NC4O=NOEC,再分两种情况

讨论以点C,D,E为顶点的三角形与“AOG相似,结合相似三角形对应边成比例性质解题

即可.

【详解】(1)解:令x=0,得'=4,

C(0,4),

i3

令y=o得——/+一%+4=。,

42

\x2-6x-16=0,

(x-8)(x+2)=0,

AA(-2,0),3(8,0),

AB=10,AC=7(0+2)2+(4-0)2=275,BC=7(8-O)2+(0-4)2=4小,

102=(2后+(4君)2,

AB2=AC2+BC2,

ZACB=90°,

(2)①设直线BC的解析式为:y=kx+b(k^O),代入8(8,0),C(0,4)得

犀+匕=0

[6=4'

\k=--

b=4

1)

y=—%+4,

2

、13

Z)(x,--x92+—x+4),

1311

BF=8-x,DE=—x9H—x+4—(—%+4)=—x9+2x,

4224

OC//DF,

,BEBC4下非

BF~OB~82

f

:.ktLBE=BF,

5

n/ci

DE+BE=DE+BF=——x2+2x+8-x,

54

1c

=—x9+x+8

4

1

=-—(x92-4x)+8

1

=__(X-2)29+9,

4

--<0,

4

1

z.——(X-2)29<0,

4

1

——(X-2)29+9<9,

4

:.DE+BF<9f

即。石+B厂的最大值为9;

②一点G是AC的中点,

在RtAOC中,OG=-AC=AG=45

2f

即,AOG为等腰三角形,

ZCAO+ZACO=ZACO+ZOCB=90°,

.\ZCAO=ZOCB,

OC//DF,

:.ZOCB=ZDEC,

,NCAO=NDEC,

若以点CD,石为顶点的三角形与AOG相似,

则①包=%=回

AOCE2

~—%?+2x

CE~~2

又二OC//DF,

CEBC

而一而‘

「厂BC-OF非x

.C/i=---------=-----

0B2

.1-212元一小X一非

422

%?—3x—0,

.,.玉=0,x2=3,

,川)或小丁,

经检验:。(0,4)不符合题意,舍去,

②生二好

AODE2

又1OC//DF,

CEBC

OF-'

BCOF&

..CE-------------,

OB2

-J5x

2=下

--X2+2X2

4

整理得,X2-4%=0>

%1=0,x2=4,

,。(0,4)或。(4,6),

同理:0(0,4)不合题意,舍去,

综上所述,。(4,6)或0(3,一).

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例,相似三角形的判定与性质、

直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知

识,掌握相关知识是解题关键.

原点。的左边,点8在原点。的右边),与y轴的负半轴交于点C,连接AC、BC,且满足

ZABC=ZACO,求抛物线的解析式;

I3

(3)如图2,在(2)的条件下,直线/BC,直线/交抛物线y=]尤2-/X+C于D、E两点(点

。在点E的左边),直线AD交>轴于点直线AE交丁轴于点N,设M、N的纵坐标分

别为为、yN,试问加+%是否为定值?若是定值,求出其定值,若不是定值,请说明理

由.

【答案】⑴c<93

O

13

(2)y=—x9——x-2;

22

(3)是定值,-2.

【分析】(1)根据抛物线与x轴有两个交点可知A>0,求解即可;

(2)根据题意可知tan/ABC=—,tanZACO=—,ZABC=ZACO,得出OC2=OAOB,

OBOC

从而得出/=-2c,求解根据c<0得出c的值,则解析式可得;

(3)先根据二次函数解析式求出点A民C的坐标,根据待定系数法求出直线BC的解析式,

设直线/的解析式y=gx+d,D(x2J,连立二次函数与一次函数可得

)=炉-4工-21-4=0,根据根与系数的关系可得%1+々=4,=-2d-4,过点。作

。3,,轴于点6,过点E作切,,轴于点H,则可证明JVt40sMDG,则丝=桨,

DGMG

即工==2k_,解出加的值,同理得出明的值,相加即可.

一百乂一九

1Q

【详解】(1)解:抛物线y=]无2-]尤+。与无轴有两个交点,

A=(—/—4x—xc>0,解得c<一,

228

9

「•实数。的取值范围为。<6;

O

(2)ZAOC=/COB=90。,

tanZABC=—,tanZACO=—,

OBOC

ZABC=ZACO,

QQQ\

tanZABC=tanZACO,则===,BPOC2=OAOB,

OBOC

OC=c2,OAOB=—2c,

2

c=-2c,解得4=一2,c2=0,

c<0,

i3

则抛物线的解析式为y尤2一枭一2;

(3)加+W是定值,理由如下:

13

当y=0时,0=—x2--x-2,解得玉=—1,%2=4,

/.A(-l,0),B(4,0),

VC(0,-2),

设直线8C的解析式为:y=kx+b,

0=4k+b

6=—2

k=-

解得:2,

b=-2

直线BC的解析式为:y=1x-2,

U/BC,

;・设直线/的解析式_V=gx+d,。(占,必),E(x2,y2),

13

y=—x2—x-2、

22

联立得y=%2-4%-2d-4=0,

1,

y=—x+b

2

则项+9=4,玉%2--2d-4,

过点。作。轴于点G,过点石作石轴于点H,

AOHDG,

;・」MAOsMDG,510

DGMG

.1.7M

-一玉vJ

口—x?~—x-2

解得V=%=2।2]।=%i—4A,

M石+1玉+12

同理为=二,

(玉+W)-8_4—8_

则为+弘=----------~~,

22

.,

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