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文档简介
专题43二次函数中的相似三角形问题
【题型演练】
一、解答题
1.(2022.山东济南.统考模拟预测)如图,直线y=-§x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交
4
于点3,抛物线y=-§Y+6x+c经过点A,B.
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;
(2)M为线段上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线A2及抛物线分别交于点尸,
N.若以2,P,N为顶点的三角形与相似,求点M的坐标;
(3)将抛物线在04x43之间的部分记为图象L,将图象L在直线J=t上方部分沿直线y=r翻
折,其余部分保持不动,得到一个新的函数图象,记这个函数的最大值为。,最小值为6,
若a-6W2,请直接写出f的取值范围.
410「
【答案】(1)(0,2);y=-x2----%+2
33
⑵加或加
13
⑶北43
2
【详解】(1)解:将(3,0)代入y=—耳l+。得0=—2+c,
解得c=2,
2
・,・直线AB的解析式为j=--x+2,
2
将%=0代入y=_§x+2得y=2,
・••点3坐标为(0,2).
将(3,0),(0,2)代入了=-]尤2+云+(?得:
4,
0=——x9+3Z?+c
3解得3,
2=cc=2
4in
•••抛物线的解析式为了=-;尤2+三尤+2.
(2)解:VZBPN=ZAPM,
:.当PBNs.PAM时,NBNP=ZAMP,
此时3N〃AM;
当tPBNjPMA时,ZPBN=ZPMA=90°,
如图,当“P&Vs,R4"时,BN//AM,
:.点B,N关于抛物线对称轴对称,
_4.10“
・y=—xH----%+2,
33
10
抛物线对称轴为直线X=3,
_24
-3
:点8坐标为(0,2),
...点N坐标为
•••点M坐标为g,。];
如图,当时,NPBN=NPMA=9G°,作NCJLy轴于点C,
设m,-jm2+^m+2j,410。「410
贝|JC5=——m2Hm+2-2=——m2Hm,
3333
ZNBC+ZABO=ZABO+ZBAO=90°,
・・・/NBC=/BAO,
:,-NBCs-BAO,
—+10加
:.也二巴即机33
OBOA
23
解得根=?或。(舍去),
O
二点M坐标为
综上所述,点M坐标为3,o]或11
8
410「4f5丫49
(3)解:•・,,=-—X2H-----%+2=—X-H-----,
3334)12
549
,抛物线顶点坐标为4,12j,
二翻折后顶点坐标为,
当点A为最低点时,t-0<3,解得,W3,
令”=3,
13
解得仁五,
【点睛】本题考查二次函数的综合应用,解题关键是掌握待定系数法求函数解析式,掌握相
似三角形的性质,通过分类讨论求解.
2.(2022•河南关B州•统考一模)已知,二次函数,=〃/+法—3的图象与%轴交于A,B两点
(点A在点5的左边),与丁轴交于。点,点A的坐标为(-L0),且。5=OC.
(1)求二次函数的解析式;
⑵当。〈尤<4时,求二次函数的最大值和最小值分别为多少?
⑶设点c与点c关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点尸,使△pee与.P03
相似,且PC与尸。是对应边?若存在,求出点尸的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案1(1)y=x1-2x-3
(2)函数的最大值为5,最小值为T
9
⑶存在,尸(0,-9)或「(0,-7
【分析】(1)先求出点C的坐标,得到点B的坐标,再将点A、B的坐标代入解析式计算
即可;
(2)将函数解析式化为顶点式,根据函数的性质解答即可;
PCCC
(3)存在点P,设尸(。,根),根据相似三角形对应边成比例列得急=赛,代入数值求出
机即可.
【详解】(1);二次函数y=++bx-3的图象与V轴交于C点,.•,C(0,-3).
O3=OC,点A在点B的左边,.-.B(3,o).
又,二点A的坐标为(-1,0),
0=9〃+3Z?—36Z—1
由题意可得:
。“-b-3,解得:b=-2
二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
(2).y=x2-2x-3=(x-l)2-4,二次函数顶点坐标为(1,-4),
.•.当x=i时,y最小值=-4,
,当OWxWl时,,随着尤的增大而减小,
,当x=0时,y最大值=-3,
1•当1<XW4时,y随着X的增大而增大,
...当x=4时,y最大值=5-
.•.当04x44时,函数的最大值为5,最小值为T.
(3)存在点尸,如图,设尸(0,何,
CC//OB,且PC与PO是相似三角形的对应边,
PCCC|m-(-3)|=2
---,即:
POOBIml3
9
解得:m=-9^m=--,
.-.P(O-9)«Kpfo,-|
【点睛】此题考查了二次函数与图形问题,待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的对
称性,相似三角形的性质,二次函数的最值,正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键.
3.(2022.山东德州.统考二模)如图,抛物线经过4(4,0),3(1,0),。(0,-2)三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)尸是抛物线在第一象限上的一动点,过尸作轴,垂足为是否存在尸点,使得
以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点尸的坐标;若不
存在,请说明理由;
⑶若抛物线上有一点D(点。位于直线AC的上方且不与点B重合)使得S"CA=S3BC,
直接写出点。坐标.
【答案]⑴丫=-;*2+■1x-2
(2)存在,(2,1)
(3)点。的坐标为(3,1)
【分析】(1)把A、B、C坐标代入解析式即可确定出解析式;
(2)存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似,首先根据点尸的位置求
得点m的取值范围,然后由相似三角形的两种情况进行分类讨论;
(3)过。作y轴的平行线交AC于E.利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=:》-2.再
利用三角形面积公式列式求解即可.
【详解】(1)解::该抛物线过点A(4,0),B(1,0),C(0,-2),
.♦.将A(4,0),B(1,0),C(0,-2)代入解析式,
16a+4Z?+c=0
彳导<a+Z?+c=0,
c=-2
1
a=—
2
解得匕5,
D=—
2
。=一2
此抛物线的解析式为-2;
(2)解:存在.
如图,设P点的横坐标为加,
是抛物线A3段上一动点,
1<m<4,
则尸点的纵坐标为-彳疗+^-m-2,
22
当1<加<4时,AM=4—m,PM=--m2+—m-2.
22
又・・・ZCOA=ZPMA=90°,
・•・①当里=%=2时,
PMOC1
gp4-m=2
解得"7]=2,生=4(舍去),
:.P(2,1);
②当出£=_2£=J.时,
PMOA2
15.
=——m"2+—m—2.
22
解得叫=4,吗=5(均不合题意,舍去)
.,.当1<加<4时,P(2,1).
综上所述,符合条件的点尸的坐标为(2,1);
(3)解:如图,设。点的横坐标为r(0<r<4),则D点的纵坐标为-3产+$-2.
如4X
I\
/力I\
过£>作y轴的平行线交AC于E.
设直线AC解析式为1=h+方,
[4k+b=0
将A与C坐标代入得:,c,
[b=-2
\-L
解得:\2,
b=-2
...直线AC的解析式为y=;x-2.
•••£点的坐标为',:"2).
DE=--t2+-t-2-\-t-2\=--t2+2t,
22(212
S.DAC=S.DCE+SADEA=-DEh+-DE-(4-h}=-DE-4,
△ZzACZXiJCtSZXULLA22、,2
=5x1—5〃+2,义4=一/2+4%
又%wc=;x(4-l)x2=3
••Q—Q
•—0/\ABC
••—i1+4/=3
解得,4=1,:2=3
当/■=:!时,点尸与点B重合,不符合题意,
当U3时,y=l,
•■.点。的坐标为(3,1).
【点睛】此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:二次函数图象与性质,待定系数法求二
次函数解析式,相似三角形的判定与性质,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.
4.(2022・山东聊城•统考三模)如图,抛物线产-N+bx+c的顶点D坐标为(1,4),且与x
轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,点E在x轴上方且在对称轴
左侧的抛物线上运动,点尸在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称,作矩形EFGH,
其中点G,反都在x轴上.
(1)求抛物线解析式;
(2)设点/横坐标为m,
①用含有m的代数式表示点E的横坐标为(直接填空);
②当矩形EFGH为正方形时,求点G的坐标;
③连接A。,当EG与垂直时,求点G的坐标;
(3)过顶点。作。轴于点过点尸作尸PLAO于点P,直接写出△。尸尸与△D4M相
似时,点尸的坐标.
【答案】(1)y=-x2+2^+3
(2)①2-租;②G点坐标为(右,0);③G点坐标为(匕兴,0)
720
(3)/点坐标为(1,—)
【分析】(1)根据题意设顶点式即可抛物线解析式;
(2,①根据点F在抛物线上,设R优,-汴+2加+3)(1<加<3),则E(2-〃2,-m2+2/77+3),
②由矩形EFG”为正方形,可得FE=FG,列方程即可求解;
③连接A。,当EG与4□垂直时,证明RtAGEHsRsD4M,得出空=空,列方程即
24
可求解;
(3)设AD交所于Q,根据题意可得△。尸。为等腰三角形,则阳=尸。,求得直线AD的
解析式为V=2x+2,继而求得。(-《济+加+工-m2+2m+3),根据尸。=尸。,列方程
22
即可求解.
(1)
解:由题意得:抛物线解析式为>=-(X-1)2+4,
即y=—x2+2x+3
(2)
①设尸(m,-m2+2m+3)(l<m<3),贝1JE(2-m,-m2+2m+3
故答案为:2-m;
②,矩形EFGH为正方形,
:.FE=FG,
BP—m2+2m+3=m-(2-m),
整理得仍=6,%=-石(舍去),
.••6点坐标为(君,0);
③。无轴,
.•.N1=N4,
.'.RtAGEHsRtADAM,
EH_GHEH_GH
'与厂而即万二丁’
:.GH=2EH,
即2m-2=2(-苏+2m+3),
整理得根2_机_4=0,解得吗=।+==,__(舍去),
[222
.1G点坐标为(止叵,0);
2
(3)
720
尸点坐标为(§,—).
设A。交所于Q,如图,
FP±AD,
:./DPF=9Q°.
':△DFP与ADAM相似,
.•.Z1=Z3,
VZ1=Z2,
;.N2=N3,
而bPLOQ,
△。尸。为等腰三角形,
:.FD=FQ.
设直线AD的解析式为y=Px+q,
把A(T,°),。。,4)代入得;:::[,解得
「•直线AD的解析式为y=2x+2f
当y=一加2+2m+3时,2%+2=—机2+2加+3,解得%=一耳机2+根+万,
则Q(-^-m2+m+4,-m2+2m+3),
22
11111
FQ=m-(——m2+m+—)=—m2——=—(m+l)(m-1),
2222
而DF2=(m-1)2+(-m2+2m+3-4)2=(m-1)2+(m-l)4,
「]下
/.(m-1)2+(m—I)4=—(m+l)(m—1),
而加wl,
:.l+(m-l)2=-(m+l)2,
4
7
整理得3〉-10机+7=0,解得班=],㈣=1(舍去),
,产点坐标为(7(,罟20).
【点睛】本题考查了二次函数综合运用,正方形的性质,相似三角形的性质与判定,熟练运
用已学知识是解题的关键.
5.(2022•辽宁丹东•校考一模)已知抛物线经过点A(-2,0),8(0,Y),与尤
(1)求抛物线的解析式;
⑵如图,尸是第一象限内抛物线上一点,且求直线AP的表达式;
⑶在抛物线上是否存在点直线8。交x轴于点E,使一ABE与以A,B,C,E中的三点
为顶点的三角形相似(不重合)?若存在,请直接写出点。的坐标;若不存在,请说明理
由.
【答案】(i)y=gf-x-4
⑵y=X+2
440
⑶(8,20)或(―,-■—)
【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标,作POB和AP3C的高线,根据面积相等可
得OE=CF,证明,OEGWCTG,则OG=CG=2,根据三角函数列式可得尸的坐标,利用
待定系数法求一次函数AP的解析式;
(3)先利用概率的知识分析A,B,C,E中的三点为顶点的三角形,有两个三角形与AASE
有可能相似,即,LBC和AfiCE,
①当AABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似,如图2,根据存在公共角
NBAE=NBAC,可得AABES.CB,列比例式可得E的坐标,利用待定系数法求直线BE
的解析式,与抛物线列方程组可得交点D的坐标;
②当MBE与以B,C、E中的三点为顶点的三角形相似,如图3,同理可得结论.
【详解】(1)解:把点A(-2,0),Z?(0,Y)代入y=gd+6x+c,得
2—2Z?+c=0b=-l
c=-4,解得:
c=-4'
・・・抛物线的解析式为:
2
1
(2)解:当y=0时,—x29—x-4=0,
2
解得:了=—2或4,
・•・C(4,0),
如图1,过。作尸于E,过C作CF_L3尸于凡设尸3交x轴于G,
图1
••Q—Q
•2"BO-2"BC,,
:・LpBOE=LpBCF,
22
OE=CF,
・.・ZOEG=NCFG,ZOGE=ZCGF,
JAOEG^ACFG(AAS),
:.OG=CG=2,
设P(x,g]2一x_4),过P作PM_Ly轴于M,
PMOG21
tanZPBM=-----
BMOB「5'
:.BM=2PM,
19,
.4H—x—%—4=2%,
2
f—6%=0,
..Xj=0(舍),々=6,
y=;x36-6-4=8,
・・・尸(6,8),
设直线AP的解析式为丁=履+人,
.J-2Z+b=0
a[6k+b=8'
[k=\
•■-U=2
y=x+2;
(3)解:以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形有AABCAABEAAC及ABCE共4个,其
中AAB石重合,不符合条件,AACE不能构成三角形,
・••当AAB石与以45CE中的三点为顶点的三角形相似,存在两个三角形:AABC和A5C£,
①当AABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似,如图2,
图2
・.・/BAE=NBAC,ZABEwZABC,
・•・ZABE=ZACB=45°,
:.\ABE^\ACB,
.AB_AE
・•耘—U'
.275AE
••——,
62V5
•・A.E=—,OE=-----2=一
333
4
・・・丐,0),
・・,3(0,-4),
・,・由待定系数法可求的解析式为:y=3尤-4,
则工/一x—4=3x—4,
2
玉=0(舍),入2=8.,
・・.£)(8,20);
②当AAB石与以5,C、片中的三点为顶点的三角形相似,如图3,此时E在。的左边,
工当NABE=NBCE时,AABE^ABCE,
.ABBE2^/5
,'~BC~~CE~^2,
设BE=2至m,CE=4应m,
RtABOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2,
42+(4缶z-4)2=Q生,
3m2—8夜〃?+8=0,
、62及
呵=2v2,m2=---,
=4后加一4二12或w,
4
9:OE=-<2,NAE5或/3EC是钝角,此时AAKE与以5,C、E中的三点为顶点的三角
图4
£(-12,0);
由待定系数法可求BE的解析式为:y=~x-4,
——1x-4,=~1x2-x-4,,
32
4
x=§或。(舍)
・•.吗-茅;
同理可得E在C的右边时,AABEs^BCE,
.ABAE245
设4E=2后,BE=4>/2m,,
RtABOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2,
222
:.Q#1m-2)+4=(4A/2/M),
3m2+2.y/5m—5=0,
呵=-J5,m2=,
4
:.OE=-12(舍)或
4
VOE=-<4,NBEC是钝角,此时AABE与以8,C、E中的三点为顶点的三角形不相似,
440
综上,点。的坐标为(8,20)或(耳,.
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的
解析式,一次函数的解析式,相似三角形的性质和判定,一元二次方程的解法,三角形面积
以及勾股定理,分类讨论是解(3)的关键.
6.(2022•山东济南・统考一模)如图,抛物线>=依2+云+2与x轴交于点A,B,与y轴交于
点C,已知A,8两点坐标分别是41,0),8(-4,0),连接AC8C.
备用图
(1)求抛物线的表达式;
(2)将AABC沿BC所在直线折叠,得到ADBC,点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上?
若点D在对称轴上,请求出点。的坐标;若点。不在对称轴上,请说明理由;
(3)若点尸是抛物线位于第二象限图象上的一动点,连接AP交8C于点Q,连接3P,ABPQ的
面积记为航,AAB。的面积记为S2,求”的值最大时点尸的坐标.
13
【答案】⑴,二-万天--%+2
(2)点。不在抛物线的对称轴上,理由见解析
(3)(-2,3)
【分析】(1)利用待定系数法可求得函数的表达式;
13
(2)抛物线的表达式为了=-5苫2-5》+2,可证明AAOCsACC®,继而可证AC1BC,则
将AABC沿BC所在直线折叠,点。一定落在直线AC上,延长AC至O,使OC=AC,过
点。作OEly轴交》轴于点E,可证AACO当ADCE,可得点。横坐标.则可判断。点是否
在抛物线对称轴上;
(3)先求出过点8、C的直线解析式,分别过4尸作x轴的垂线,利用解析式,用同一个
字母机表示出P,N的坐标,再证明AAQA/SAPQN,进而用机表示出3的值,根据二次函
*
数的性质可以确定出妥的最大值,进而可确定出此时的尸点坐标.
【详解】(1)解:二•抛物线、=加+燃+2过点4(1,0),3(-4,0),
.(a+b+2=0
••[16a-4万+2=0‘
11
a=——
解得:,
b=——
[2
13
・・・抛物线的表达式为y=-]尤2一]%+2.
(2)解:点。不在抛物线的对称轴上,理由是:
13
V抛物线的表达式为y=-1X2-1X+2,
VOA=1,OC=2,
.OAPC
^~OC~~OB'
又•・•ZAOC=/COB=90°,
HOCsbCOB,
:.ZACO=NCBO,
:.ZACO+ZBCO=ZOBC+ZBCO=90°,
・・・AC-LBC.
・••将AABC沿5c所在直线折叠,点。一定落在直线AC上,
延长AC至。,使。C=AC,过点。作。Ely轴交》轴于点E.
又:ZACO=NDCE,
.・・AACO^ADCE(AAS),
:.DE=AO=1,则点。横坐标为T,
•・•抛物线的对称轴为直线x=3-三,
2
・••点。不在抛物线的对称轴上.
(3)解:设过点3、。的直线表达式为y=p%+4,
C(0,2),3(-4,0),
・.12F
*[o=—47+g,
解得:\P=2,
q=2
;•过点8、C的直线解析式为y=Jx+2.
过点A作无轴的垂线交BC的延长线于点M,
:当x=i时,y=:+2=],
...点”坐标为(1,1),
AM=-.
2
过点尸作x轴的垂线交BC于点N,
131
设点P坐标为(九-万疗-2根+2),则点N坐标为(九]加+2),
1311
PN=——m9——m+2-(—m+2)=——m?-2m,
2222
':PN//AMf
.・.AAQA/SAPQN,
・PQPN
•・而一而,
若分别以PQ、A。为底计算ABPQ和ABAQ的面积(同高不等底),
则ABPQ与ABAQ的面积比为黑,即察=整,
AQ邑AQ
2
V-1<0,
S.4
...当机=-2时,肃的最大值为三,此时点尸坐标为(-2,3).
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与
性质,三角形面积的计算,二次函数中常见辅助线的作法,利用点的坐标表示线段的长度,
确定函数最值,关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示相关线段的长度.
7.(2022•山东济南•模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,点。为坐标原点,直线/与抛
物线丁=g2+依相交于A(l,3),8(4,0)两点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)在坐标轴上是否存在点。,使得是以线段A3为斜边的直角三角形?若存在,求
出点。的坐标;若不存在,说明理由;
⑶点P是线段上一动点,(点尸不与点A、8重合),过点尸作尸加〃。4,交第一象限内
的抛物线于点过点〃作MC_Lx轴于点C,交AB于点N,若△BCMZXPW的面积
MN
S&BCN,S&PMN满足S&BCN=2sA,求出的值,并求出此时点M的坐标.
mmNC
【答案】⑴yT+4x
(2)存在,。点坐标为。,0)或(0,4)或(0,—1)
(3)写=夜,M点坐标为(夜+1,3+2应)
【分析】(1)利用待定系数法来求解;
(2)分两种情况来求解:点。在x轴上和点。在y轴上.当点。在x轴上时,过点A作AO,x
轴于点。,易求。点的坐标;当点。在y轴上时,设。(0,d),在RtZXABD中利用勾股定
理可求得”的值,可的答案;
(3)过尸作尸F_LCAf于点尸,易证RtZXADOsRt/XAfFP,从而得到A/=3尸产,在Rt/XABD
中和在Rt△尸/W中利用三角函数得出跖V=4尸产,设BC=a,则CN=a,利用她苗和
PMN之间的面积关系,进而表示出M的坐标,再根据M点在抛物线上求出。的值,进而
得到答案.
【详解】(1)解:•••A(L3),以4,0)两点在抛物线y="2+质的图像上,
|m+n=3fm=-1
L,八,解得”,
[16m+4n=0[n=4
抛物线解析式为y=-/+4x;
(2)解:存在三个点满足题意,理由如下:当点。在x轴上时,如图1,过点A作AZ),x
轴于点D,
o\DCB\X
图1
VA(l,3),二。坐标为(1,0);
当点。在y轴上时,设D(0,d),则4£)21+(3-4,BD2=42+力,且钿2=(4_吁+32=]8,
,/AABD是以AB为斜边的直角三角形,
AD2=BD2+AB2>即1+(3-[)2+42+屋=18,解得d=4,或d=-1
:.D点坐标为(。,4)或(0,-1);综上可知存在满足条件的。点,其坐标为(LO)或(0,4)或
(0,-1);
(3)解:如图2,过尸作尸尸,CM于点八
X图2
■:PM//OA,
:.RtAADO^RtAMFP,
.MFAD
••==3o,
PFOD
:.MF=3PF,
在RtZVlB。中,BD=3,AD=3,
tanZABD=1,
:.ZABD=4509设5C=a,则CN=Q,
在Rt△尸RV中,NPFN=/BNC=450,
.tan/PNF==1,
FN
・・.FN=PF,
:,MN=MF+FN=APF,
•S^BCN=2sApMN,
11
—a9=2x—x4xPF92,
22
***a=2s/2PF9
NC=a=2血PF,
.MN_4PFr-
••NC-2V2PF-'
MN=y/2NC=缶,
:.MC=MN+NC=,
・W点坐标为+l)a),
又M点在抛物线上,代入可得-(4-4+4(4-Q)=(0+1)〃,
解得〃=3-&或〃=0(舍去),
OC=4-a=0+l,MC=3+20,・♦•点M的坐标为(0+L3+2后).
【点睛】本题主要考查二次函数图像综合问题,涉及三角函数的计算及相似三角形的判定及
性质的运用,能够熟练运用数形结合思想是解题关键.
8.(2022•江苏无锡・无锡市天一实验学校校考模拟预测)如图,抛物线y=法+c与x
轴的一个交点为A(-2,0),与y轴的交点为3(0,4),对称轴与无轴交于点尸.
备用图
(1)求抛物线的解析式;
⑵点M为y轴正半轴上的一个动点,连接AM,过点”作AM的垂线,与抛物线的对称轴
交于点N,连接AV.
①若.AW与,AOB相似,求点”的坐标;
②若点M在>轴正半轴上运动到某一位置时,,AAW有一边与线段AP相等,并且此时有一
边与线段AP具有对称性,我们把这样的点"称为“对称点”,请直接写出“对称点”加的坐标.
1R
【答案】⑴y=_#+,+4
42
⑵①M点的坐标为(0,6)或[o,£|;②M点的坐标为(0,@)或(0,")或[o.:
【分析】(1)利用待定系数法去求抛物线解析式;
(2)①先求出抛物线的对称轴为x=3,作"。_L直线x=3于点。,作于E,根据
相似三角形的判定和性质进行如下的分类讨论即可:(1)当A筹M=察MN时,(2)当A黑M=M芸N
OBOAOAOB
时进行求解即可;
②先确定AP=5进行如下的分类讨论即可:(1)当AM=AP=5时,(2)当A2V=AP=5时,
(3)当MN=5时进行求解即可.
【详解】(1)将点A(-2,0),8(04)分别代入>=-:无2+法+。得c=4,
\3
b——
解得2,
c=4
13
•••抛物线的解析式为尸-/+产4;
3
(2)①抛物线的对称轴为直线=3,
作MD_L直线x=3于点。,作于E,
ZAMN=ZAOB,
…AM_MNmAM_OB_4_.
OBOAMNOA2
*./\AMN^ABOA,如图1,
.*Z£W+Z£M4=90°,/DMN+/EMA=94。,
\ZEAM=ZDMN,
:ZAEM=ZMDN=90°,
•・AAEMsAA/DN,
.AEAM2
9MD~MN~'
而MD=3,
AE=6,
此时M点的坐标为(0,6),
.AM__MNnnAMOA_21
''^~OA~~OB''加一丽一15,
:..AMNs二AOB,如图2,
同理可得△AEMs^MDN,
.AEAM1
''MD~MN~1"
而A®=3,
3
・・.AE=-,
2
此时M点的坐标为/J
综上所述,M点的坐标为(。,6)或‘4}
@VA(-2,0),P(3,0),
AP=5,
当AM=AP=5时,OM=y/52-22=A/21-此时点M的坐标为(0,历);
当A2V=AP=5时,点N与点P重合,则3/2=040。
OM=72^3=V6,此时M点的坐标为(0,«);
当MV=5时,在中,DN=y152-32=4,
•/AAEMsAAiDN,
.AEEMAE2
••=,即Rn=~~9
MDDN34
解得AE=9,此时点M的坐标为(0,£|,
综上所述,w点的坐标为(。,万)或(。,#)或(o,T
图1图2
【点睛】本题考查了二次函数的综合题,熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数
的性质;会利用待定系数法求函数解析式;会灵活应用相似三角形的判定和性质进行几何计
算;理解坐标与图形的性质;会利用分类讨论的思想解决数学问题.
9.(2022・四川成都・成都市树德实验中学校考模拟预测)如图,在平面直角坐标系xOv中,
13
抛物线丁=-了/+x+4与两坐标轴分别相交于A,B,C三点.
42
⑴求证:ZACB=90°;
(2)点。是第一象限内抛物线上的动点,过点。作尤轴的垂线交3C于点E,交尤轴于点尸.
①求。£+2叵BE的最大值;
5
②点G是AC的中点,若以点GD,E为顶点的三角形与,AOG相似,求点。的坐标.
【答案】(1)见解析
25
⑵①9;②。(4,6)或£)(3,3).
4
【分析】(1)分别计算AB,C三点的坐标,再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长,最
后利用勾股定理逆定理解题;
131
(2)①先解出直线BC的解析式,设D(x,—■-x2+—x+4),得出BF=8—%,DE=—■-x2+2x,
424
由OC〃。/,得出拽BE=BF利用二次函数的配方法求最值;
5
②根据直角三角形斜边的中线性质,解得AG的长,再证明NC4O=NOEC,再分两种情况
讨论以点C,D,E为顶点的三角形与“AOG相似,结合相似三角形对应边成比例性质解题
即可.
【详解】(1)解:令x=0,得'=4,
C(0,4),
i3
令y=o得——/+一%+4=。,
42
\x2-6x-16=0,
(x-8)(x+2)=0,
AA(-2,0),3(8,0),
AB=10,AC=7(0+2)2+(4-0)2=275,BC=7(8-O)2+(0-4)2=4小,
102=(2后+(4君)2,
AB2=AC2+BC2,
ZACB=90°,
(2)①设直线BC的解析式为:y=kx+b(k^O),代入8(8,0),C(0,4)得
犀+匕=0
[6=4'
\k=--
b=4
1)
y=—%+4,
2
、13
Z)(x,--x92+—x+4),
1311
BF=8-x,DE=—x9H—x+4—(—%+4)=—x9+2x,
4224
OC//DF,
,BEBC4下非
BF~OB~82
f
:.ktLBE=BF,
5
n/ci
DE+BE=DE+BF=——x2+2x+8-x,
54
1c
=—x9+x+8
4
1
=-—(x92-4x)+8
1
=__(X-2)29+9,
4
--<0,
4
1
z.——(X-2)29<0,
4
1
——(X-2)29+9<9,
4
:.DE+BF<9f
即。石+B厂的最大值为9;
②一点G是AC的中点,
在RtAOC中,OG=-AC=AG=45
2f
即,AOG为等腰三角形,
ZCAO+ZACO=ZACO+ZOCB=90°,
.\ZCAO=ZOCB,
OC//DF,
:.ZOCB=ZDEC,
,NCAO=NDEC,
若以点CD,石为顶点的三角形与AOG相似,
则①包=%=回
AOCE2
~—%?+2x
CE~~2
又二OC//DF,
CEBC
而一而‘
「厂BC-OF非x
.C/i=---------=-----
0B2
.1-212元一小X一非
422
%?—3x—0,
.,.玉=0,x2=3,
,川)或小丁,
经检验:。(0,4)不符合题意,舍去,
②生二好
AODE2
又1OC//DF,
CEBC
OF-'
BCOF&
..CE-------------,
OB2
-J5x
2=下
--X2+2X2
4
整理得,X2-4%=0>
%1=0,x2=4,
,。(0,4)或。(4,6),
同理:0(0,4)不合题意,舍去,
综上所述,。(4,6)或0(3,一).
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例,相似三角形的判定与性质、
直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知
识,掌握相关知识是解题关键.
原点。的左边,点8在原点。的右边),与y轴的负半轴交于点C,连接AC、BC,且满足
ZABC=ZACO,求抛物线的解析式;
I3
(3)如图2,在(2)的条件下,直线/BC,直线/交抛物线y=]尤2-/X+C于D、E两点(点
。在点E的左边),直线AD交>轴于点直线AE交丁轴于点N,设M、N的纵坐标分
别为为、yN,试问加+%是否为定值?若是定值,求出其定值,若不是定值,请说明理
由.
【答案】⑴c<93
O
13
(2)y=—x9——x-2;
22
(3)是定值,-2.
【分析】(1)根据抛物线与x轴有两个交点可知A>0,求解即可;
(2)根据题意可知tan/ABC=—,tanZACO=—,ZABC=ZACO,得出OC2=OAOB,
OBOC
从而得出/=-2c,求解根据c<0得出c的值,则解析式可得;
(3)先根据二次函数解析式求出点A民C的坐标,根据待定系数法求出直线BC的解析式,
设直线/的解析式y=gx+d,D(x2J,连立二次函数与一次函数可得
)=炉-4工-21-4=0,根据根与系数的关系可得%1+々=4,=-2d-4,过点。作
。3,,轴于点6,过点E作切,,轴于点H,则可证明JVt40sMDG,则丝=桨,
DGMG
即工==2k_,解出加的值,同理得出明的值,相加即可.
一百乂一九
1Q
【详解】(1)解:抛物线y=]无2-]尤+。与无轴有两个交点,
A=(—/—4x—xc>0,解得c<一,
228
9
「•实数。的取值范围为。<6;
O
(2)ZAOC=/COB=90。,
tanZABC=—,tanZACO=—,
OBOC
ZABC=ZACO,
QQQ\
tanZABC=tanZACO,则===,BPOC2=OAOB,
OBOC
OC=c2,OAOB=—2c,
2
c=-2c,解得4=一2,c2=0,
c<0,
i3
则抛物线的解析式为y尤2一枭一2;
(3)加+W是定值,理由如下:
13
当y=0时,0=—x2--x-2,解得玉=—1,%2=4,
/.A(-l,0),B(4,0),
VC(0,-2),
设直线8C的解析式为:y=kx+b,
0=4k+b
则
6=—2
k=-
解得:2,
b=-2
直线BC的解析式为:y=1x-2,
U/BC,
;・设直线/的解析式_V=gx+d,。(占,必),E(x2,y2),
13
y=—x2—x-2、
22
联立得y=%2-4%-2d-4=0,
1,
y=—x+b
2
则项+9=4,玉%2--2d-4,
过点。作。轴于点G,过点石作石轴于点H,
AOHDG,
;・」MAOsMDG,510
DGMG
.1.7M
-一玉vJ
口—x?~—x-2
解得V=%=2।2]।=%i—4A,
M石+1玉+12
同理为=二,
(玉+W)-8_4—8_
则为+弘=----------~~,
22
.,
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