中考数学难点突破训练：二次函数中的相似三角形问题（解析版）

专题43二次函数中的相似三角形问题

【题型演练】

一、解答题

1.（2022.山东济南.统考模拟预测）如图，直线y=-§x+c与x轴交于点A（3,0）,与y轴交

4

于点3,抛物线y=-§Y+6x+c经过点A,B.

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M为线段上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线A2及抛物线分别交于点尸，

N.若以2,P,N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标；

（3）将抛物线在04x43之间的部分记为图象L,将图象L在直线J=t上方部分沿直线y=r翻

折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为。，最小值为6,

若a-6W2,请直接写出f的取值范围.

410「

【答案】（1）（0,2）；y=-x2----%+2

33

⑵加或加

13

⑶北43

2

【详解】（1）解：将（3,0）代入y=—耳l+。得0=—2+c,

解得c=2,

2

・,・直线AB的解析式为j=--x+2,

2

将％=0代入y=_§x+2得y=2,

・••点3坐标为（0,2）.

将（3,0）,（0,2）代入了=-］尤2+云+（?得：

4,

0=——x9+3Z?+c

3解得3，

2=cc=2

4in

•••抛物线的解析式为了=-；尤2+三尤+2.

(2)解：VZBPN=ZAPM,

：.当PBNs.PAM时，NBNP=ZAMP,

此时3N〃AM；

当tPBNjPMA时，ZPBN=ZPMA=90°,

如图，当“P&Vs,R4"时，BN//AM,

:.点B,N关于抛物线对称轴对称，

_4.10“

・y=—xH----%+2,

33

10

抛物线对称轴为直线X=3，

_24

-3

:点8坐标为（0,2）,

...点N坐标为

•••点M坐标为g，。］；

如图，当时，NPBN=NPMA=9G°,作NCJLy轴于点C,

设m,-jm2+^m+2j,410。「410

贝|JC5=——m2Hm+2-2=——m2Hm,

3333

ZNBC+ZABO=ZABO+ZBAO=90°,

・・・/NBC=/BAO,

:,-NBCs-BAO,

—+10加

:.也二巴即机33

OBOA

23

解得根=?或。（舍去）,

O

二点M坐标为

综上所述，点M坐标为3,o］或11

8

410「4f5丫49

(3)解：•・,,=-—X2H-----%+2=—X-H-----，

3334)12

549

，抛物线顶点坐标为4，12j，

二翻折后顶点坐标为，

当点A为最低点时，t-0<3,解得,W3,

令”=3,

13

解得仁五,

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握相

似三角形的性质，通过分类讨论求解.

2.（2022•河南关B州•统考一模）已知，二次函数,=〃/+法—3的图象与％轴交于A,B两点

（点A在点5的左边），与丁轴交于。点，点A的坐标为（-L0）,且。5=OC.

(1)求二次函数的解析式；

⑵当。〈尤<4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？

⑶设点c与点c关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点尸，使△pee与.P03

相似，且PC与尸。是对应边？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案1(1)y=x1-2x-3

(2)函数的最大值为5,最小值为T

9

⑶存在，尸(0,-9)或「(0,-7

【分析】(1)先求出点C的坐标，得到点B的坐标，再将点A、B的坐标代入解析式计算

即可；

(2)将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答即可；

PCCC

(3)存在点P,设尸(。,根)，根据相似三角形对应边成比例列得急=赛，代入数值求出

机即可.

【详解】(1)；二次函数y=++bx-3的图象与V轴交于C点，.•,C(0,-3).

O3=OC,点A在点B的左边，.-.B(3,o).

又,二点A的坐标为(-1,0),

0=9〃+3Z?—36Z—1

由题意可得:

。“-b-3,解得:b=-2

二次函数的解析式为y=x2-2x-3.

(2).y=x2-2x-3=(x-l)2-4,二次函数顶点坐标为(1,-4),

.•.当x=i时，y最小值=-4,

,当OWxWl时，，随着尤的增大而减小,

，当x=0时，y最大值=-3,

1•当1<XW4时，y随着X的增大而增大，

...当x=4时，y最大值=5-

.•.当04x44时，函数的最大值为5,最小值为T.

(3)存在点尸，如图，设尸(0,何,

CC//OB,且PC与PO是相似三角形的对应边,

PCCC|m-(-3)|=2

---，即:

POOBIml3

9

解得：m=-9^m=--,

.-.P(O-9)«Kpfo,-|

【点睛】此题考查了二次函数与图形问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对

称性，相似三角形的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键.

3.(2022.山东德州.统考二模)如图，抛物线经过4(4,0),3(1,0),。(0,-2)三点.

(1)求出抛物线的解析式；

(2)尸是抛物线在第一象限上的一动点，过尸作轴，垂足为是否存在尸点，使得

以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点尸的坐标；若不

存在，请说明理由；

⑶若抛物线上有一点D(点。位于直线AC的上方且不与点B重合)使得S"CA=S3BC，

直接写出点。坐标.

【答案］⑴丫=-；*2+■1x-2

(2)存在，(2,1)

(3)点。的坐标为(3,1)

【分析】(1)把A、B、C坐标代入解析式即可确定出解析式；

(2)存在P点，使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似，首先根据点尸的位置求

得点m的取值范围，然后由相似三角形的两种情况进行分类讨论；

(3)过。作y轴的平行线交AC于E.利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=：》-2.再

利用三角形面积公式列式求解即可.

【详解】(1)解：：该抛物线过点A(4,0),B(1,0),C(0,-2),

.♦.将A(4,0),B(1,0),C(0,-2)代入解析式，

16a+4Z?+c=0

彳导<a+Z?+c=0,

c=-2

1

a=—

2

解得匕5,

D=—

2

。=一2

此抛物线的解析式为-2；

(2)解：存在.

如图，设P点的横坐标为加，

是抛物线A3段上一动点,

1<m<4,

则尸点的纵坐标为-彳疗+^-m-2,

22

当1＜加＜4时，AM=4—m,PM=--m2+—m-2.

22

又・・・ZCOA=ZPMA=90°,

・•・①当里=%=2时，

PMOC1

gp4-m=2

解得"7]=2,生=4(舍去),

：.P(2,1)；

②当出£=_2£=J.时，

PMOA2

15.

=——m"2+—m—2.

22

解得叫=4,吗=5(均不合题意，舍去)

.,.当1<加<4时,P(2,1).

综上所述，符合条件的点尸的坐标为(2,1)；

(3)解：如图，设。点的横坐标为r(0<r<4),则D点的纵坐标为-3产+$-2.

如4X

I\

/力I\

过£＞作y轴的平行线交AC于E.

设直线AC解析式为1=h+方，

[4k+b=0

将A与C坐标代入得：,c,

[b=-2

\-L

解得：\2,

b=-2

...直线AC的解析式为y=；x-2.

•••£点的坐标为',："2).

DE=--t2+-t-2-\-t-2\=--t2+2t,

22(212

S.DAC=S.DCE+SADEA=-DEh+-DE-(4-h}=-DE-4,

△ZzACZXiJCtSZXULLA22、,2

=5x1—5〃+2,义4=一/2+4%

又%wc=；x（4-l）x2=3

••Q—Q

•—0/\ABC

••—i1+4/=3

解得，4=1，：2=3

当/■=：!时，点尸与点B重合，不符合题意，

当U3时，y=l,

•■.点。的坐标为（3,1）.

【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法求二

次函数解析式，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

4.（2022・山东聊城•统考三模）如图，抛物线产-N+bx+c的顶点D坐标为（1,4）,且与x

轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C,点E在x轴上方且在对称轴

左侧的抛物线上运动,点尸在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称,作矩形EFGH,

其中点G,反都在x轴上.

（1）求抛物线解析式；

（2）设点/横坐标为m,

①用含有m的代数式表示点E的横坐标为（直接填空）；

②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；

③连接A。，当EG与垂直时，求点G的坐标；

（3）过顶点。作。轴于点过点尸作尸PLAO于点P,直接写出△。尸尸与△D4M相

似时，点尸的坐标.

【答案】（1）y=-x2+2^+3

（2）①2-租；②G点坐标为（右,0）；③G点坐标为（匕兴，0）

720

（3）/点坐标为（1，—）

【分析】（1）根据题意设顶点式即可抛物线解析式；

（2，①根据点F在抛物线上，设R优，-汴+2加+3）（1<加<3）,则E（2-〃2,-m2+2/77+3）,

②由矩形EFG”为正方形，可得FE=FG,列方程即可求解；

③连接A。，当EG与4□垂直时，证明RtAGEHsRsD4M,得出空=空,列方程即

24

可求解；

（3）设AD交所于Q,根据题意可得△。尸。为等腰三角形，则阳=尸。，求得直线AD的

解析式为V=2x+2,继而求得。（-《济+加+工-m2+2m+3）,根据尸。=尸。，列方程

22

即可求解.

（1）

解：由题意得：抛物线解析式为>=-（X-1）2+4,

即y=—x2+2x+3

（2）

①设尸（m,-m2+2m+3）（l<m<3）,贝1JE（2-m,-m2+2m+3

故答案为：2-m；

②，矩形EFGH为正方形，

:.FE=FG,

BP—m2+2m+3=m-（2-m）,

整理得仍=6,％=-石（舍去），

.••6点坐标为（君,0）；

③。无轴，

.•.N1=N4,

.'.RtAGEHsRtADAM,

EH_GHEH_GH

'与厂而即万二丁’

:.GH=2EH,

即2m-2=2（-苏+2m+3）,

整理得根2_机_4=0,解得吗=।+==，__（舍去），

[222

.1G点坐标为（止叵，0）；

2

（3）

720

尸点坐标为（§,—）.

设A。交所于Q,如图,

FP±AD,

:./DPF=9Q°.

'：△DFP与ADAM相似，

.•.Z1=Z3,

VZ1=Z2,

；.N2=N3,

而bPLOQ,

△。尸。为等腰三角形，

:.FD=FQ.

设直线AD的解析式为y=Px+q,

把A(T,°),。。,4)代入得;：：：［,解得

「•直线AD的解析式为y=2x+2f

当y=一加2+2m+3时，2%+2=—机2+2加+3,解得％=一耳机2+根+万,

则Q(-^-m2+m+4,-m2+2m+3),

22

11111

FQ=m-(——m2+m+—)=—m2——=—(m+l)(m-1),

2222

而DF2=(m-1)2+(-m2+2m+3-4)2=(m-1)2+(m-l)4,

「］下

/.(m-1)2+(m—I)4=—(m+l)(m—1),

而加wl,

：.l+(m-l)2=-(m+l)2,

4

7

整理得3〉-10机+7=0,解得班=］,㈣=1(舍去)，

，产点坐标为(7(，罟20).

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练运

用已学知识是解题的关键.

5.(2022•辽宁丹东•校考一模)已知抛物线经过点A(-2,0),8(0,Y),与尤

(1)求抛物线的解析式；

⑵如图，尸是第一象限内抛物线上一点，且求直线AP的表达式；

⑶在抛物线上是否存在点直线8。交x轴于点E,使一ABE与以A,B,C,E中的三点

为顶点的三角形相似(不重合)？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理

由.

【答案】(i)y=gf-x-4

⑵y=X+2

440

⑶(8,20)或(―,-■—)

【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式；

(2)令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作POB和AP3C的高线，根据面积相等可

得OE=CF,证明,OEGWCTG,则OG=CG=2,根据三角函数列式可得尸的坐标，利用

待定系数法求一次函数AP的解析式；

(3)先利用概率的知识分析A,B,C,E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与AASE

有可能相似，即，LBC和AfiCE,

①当AABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似，如图2,根据存在公共角

NBAE=NBAC,可得AABES.CB,列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE

的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；

②当MBE与以B,C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3,同理可得结论.

【详解】(1)解：把点A(-2,0),Z?(0,Y)代入y=gd+6x+c,得

2—2Z?+c=0b=-l

c=-4,解得:

c=-4'

・・・抛物线的解析式为:

2

1

(2)解：当y=0时,—x29—x-4=0,

2

解得：了=—2或4,

・•・C(4,0),

如图1,过。作尸于E,过C作CF_L3尸于凡设尸3交x轴于G,

图1

••Q—Q

•2"BO-2"BC,，

:・LpBOE=LpBCF,

22

OE=CF,

・.・ZOEG=NCFG,ZOGE=ZCGF,

JAOEG^ACFG(AAS),

：.OG=CG=2,

设P(x,g]2一x_4),过P作PM_Ly轴于M,

PMOG21

tanZPBM=-----

BMOB「5'

：.BM=2PM,

19,

.4H—x—%—4=2%,

2

f—6%=0,

..Xj=0(舍)，々=6,

y=；x36-6-4=8,

・・・尸(6,8),

设直线AP的解析式为丁=履+人，

.J-2Z+b=0

a[6k+b=8'

[k=\

•■-U=2

y=x+2；

(3)解：以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形有AABCAABEAAC及ABCE共4个，其

中AAB石重合，不符合条件，AACE不能构成三角形，

・••当AAB石与以45CE中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：AABC和A5C£,

①当AABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似，如图2,

图2

・.・/BAE=NBAC,ZABEwZABC,

・•・ZABE=ZACB=45°,

：.\ABE^\ACB,

.AB_AE

・•耘—U'

.275AE

••——,

62V5

•・A.E=—,OE=-----2=一

333

4

・・・丐,0),

・・,3(0,-4),

・,・由待定系数法可求的解析式为：y=3尤-4,

则工/一x—4=3x—4,

2

玉=0(舍)，入2=8.,

・・.£)(8,20)；

②当AAB石与以5,C、片中的三点为顶点的三角形相似，如图3,此时E在。的左边,

工当NABE=NBCE时,AABE^ABCE,

.ABBE2^/5

，'~BC~~CE~^2,

设BE=2至m,CE=4应m,

RtABOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2,

42+（4缶z-4）2=Q生,

3m2—8夜〃?+8=0，

、62及

呵=2v2,m2=---,

=4后加一4二12或w，

4

9：OE=-<2,NAE5或/3EC是钝角，此时AAKE与以5,C、E中的三点为顶点的三角

图4

£(-12,0)；

由待定系数法可求BE的解析式为：y=~x-4,

——1x-4，=~1x2-x-4，,

32

4

x=§或。(舍)

・•.吗-茅；

同理可得E在C的右边时，AABEs^BCE,

.ABAE245

设4E=2后,BE=4>/2m,,

RtABOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2,

222

：.Q#1m-2)+4=(4A/2/M),

3m2+2.y/5m—5=0,

呵=-J5,m2=,

4

：.OE=-12(舍)或

4

VOE=-<4,NBEC是钝角，此时AABE与以8,C、E中的三点为顶点的三角形不相似，

440

综上，点。的坐标为(8,20)或(耳,.

【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的

解析式，一次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，一元二次方程的解法，三角形面积

以及勾股定理，分类讨论是解(3)的关键.

6.(2022•山东济南・统考一模)如图，抛物线>=依2+云+2与x轴交于点A,B,与y轴交于

点C,已知A,8两点坐标分别是41,0),8(-4,0),连接AC8C.

备用图

(1)求抛物线的表达式；

(2)将AABC沿BC所在直线折叠，得到ADBC,点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？

若点D在对称轴上，请求出点。的坐标；若点。不在对称轴上，请说明理由；

(3)若点尸是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接AP交8C于点Q,连接3P,ABPQ的

面积记为航，AAB。的面积记为S2,求”的值最大时点尸的坐标.

13

【答案】⑴,二-万天--%+2

(2)点。不在抛物线的对称轴上，理由见解析

(3)(-2,3)

【分析】(1)利用待定系数法可求得函数的表达式；

13

(2)抛物线的表达式为了=-5苫2-5》+2,可证明AAOCsACC®,继而可证AC1BC,则

将AABC沿BC所在直线折叠，点。一定落在直线AC上，延长AC至O,使OC=AC,过

点。作OEly轴交》轴于点E,可证AACO当ADCE,可得点。横坐标.则可判断。点是否

在抛物线对称轴上；

(3)先求出过点8、C的直线解析式，分别过4尸作x轴的垂线，利用解析式，用同一个

字母机表示出P,N的坐标，再证明AAQA/SAPQN,进而用机表示出3的值，根据二次函

*

数的性质可以确定出妥的最大值，进而可确定出此时的尸点坐标.

【详解】(1)解：二•抛物线、=加+燃+2过点4(1,0),3(-4,0),

.(a+b+2=0

••[16a-4万+2=0‘

11

a=——

解得：，

b=——

[2

13

・・・抛物线的表达式为y=-]尤2一]%+2.

(2)解：点。不在抛物线的对称轴上，理由是：

13

V抛物线的表达式为y=-1X2-1X+2,

VOA=1,OC=2,

.OAPC

^~OC~~OB'

又•・•ZAOC=/COB=90°,

HOCsbCOB,

:.ZACO=NCBO,

：.ZACO+ZBCO=ZOBC+ZBCO=90°,

・・・AC-LBC.

・••将AABC沿5c所在直线折叠，点。一定落在直线AC上，

延长AC至。，使。C=AC,过点。作。Ely轴交》轴于点E.

又：ZACO=NDCE,

.・・AACO^ADCE(AAS),

：.DE=AO=1,则点。横坐标为T,

•・•抛物线的对称轴为直线x=3-三,

2

・••点。不在抛物线的对称轴上.

(3)解：设过点3、。的直线表达式为y=p%+4,

C(0,2),3(-4,0),

・.12F

*[o=—47+g，

解得：\P=2,

q=2

；•过点8、C的直线解析式为y=Jx+2.

过点A作无轴的垂线交BC的延长线于点M,

:当x=i时，y=：+2=],

...点”坐标为（1,1）,

AM=-.

2

过点尸作x轴的垂线交BC于点N,

131

设点P坐标为（九-万疗-2根+2）,则点N坐标为（九］加+2）,

1311

PN=——m9——m+2-（—m+2）=——m?-2m,

2222

'：PN//AMf

.・.AAQA/SAPQN,

・PQPN

•・而一而，

若分别以PQ、A。为底计算ABPQ和ABAQ的面积（同高不等底）,

则ABPQ与ABAQ的面积比为黑，即察=整，

AQ邑AQ

2

V-1<0,

S.4

...当机=-2时，肃的最大值为三，此时点尸坐标为（-2,3）.

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与

性质，三角形面积的计算，二次函数中常见辅助线的作法，利用点的坐标表示线段的长度,

确定函数最值，关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示相关线段的长度.

7.（2022•山东济南•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线/与抛

物线丁=g2+依相交于A（l,3）,8（4,0）两点.

（1）求出抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点。，使得是以线段A3为斜边的直角三角形？若存在，求

出点。的坐标；若不存在，说明理由；

⑶点P是线段上一动点，（点尸不与点A、8重合），过点尸作尸加〃。4,交第一象限内

的抛物线于点过点〃作MC_Lx轴于点C,交AB于点N,若△BCMZXPW的面积

MN

S&BCN，S&PMN满足S&BCN=2sA，求出的值，并求出此时点M的坐标.

mmNC

【答案】⑴yT+4x

（2）存在,。点坐标为。，0）或（0,4）或（0,—1）

（3）写=夜，M点坐标为（夜+1,3+2应）

【分析】（1）利用待定系数法来求解；

（2）分两种情况来求解:点。在x轴上和点。在y轴上.当点。在x轴上时，过点A作AO，x

轴于点。，易求。点的坐标；当点。在y轴上时，设。（0,d）,在RtZXABD中利用勾股定

理可求得”的值，可的答案；

（3）过尸作尸F_LCAf于点尸，易证RtZXADOsRt/XAfFP,从而得到A/=3尸产，在Rt/XABD

中和在Rt△尸/W中利用三角函数得出跖V=4尸产，设BC=a,则CN=a,利用她苗和

PMN之间的面积关系，进而表示出M的坐标，再根据M点在抛物线上求出。的值，进而

得到答案.

【详解】（1）解：•••A（L3）,以4,0）两点在抛物线y="2+质的图像上，

|m+n=3fm=-1

L,八，解得”，

[16m+4n=0[n=4

抛物线解析式为y=-/+4x；

（2）解:存在三个点满足题意，理由如下：当点。在x轴上时，如图1,过点A作AZ），x

轴于点D,

o\DCB\X

图1

VA（l,3）,二。坐标为（1,0）；

当点。在y轴上时，设D（0，d）,则4£）21+（3-4，BD2=42+力,且钿2=(4_吁+32=]8,

,/AABD是以AB为斜边的直角三角形，

AD2=BD2+AB2>即1+（3-[）2+42+屋=18,解得d=4,或d=-1

:.D点坐标为（。，4）或（0,-1）；综上可知存在满足条件的。点,其坐标为(LO)或(0,4)或

（0,-1）；

（3）解：如图2,过尸作尸尸，CM于点八

X图2

■:PM//OA,

：.RtAADO^RtAMFP,

.MFAD

••==3o,

PFOD

：.MF=3PF,

在RtZVlB。中，BD=3,AD=3,

tanZABD=1,

：.ZABD=4509设5C=a,则CN=Q,

在Rt△尸RV中，NPFN=/BNC=450,

.tan/PNF==1,

FN

・・.FN=PF,

:,MN=MF+FN=APF,

•S^BCN=2sApMN，

11

—a9=2x—x4xPF92,

22

***a=2s/2PF9

NC=a=2血PF,

.MN_4PFr-

••NC-2V2PF-'

MN=y/2NC=缶，

：.MC=MN+NC=,

・W点坐标为+l)a),

又M点在抛物线上，代入可得-(4-4+4(4-Q)=(0+1)〃，

解得〃=3-&或〃=0(舍去)，

OC=4-a=0+l,MC=3+20,・♦•点M的坐标为(0+L3+2后).

【点睛】本题主要考查二次函数图像综合问题，涉及三角函数的计算及相似三角形的判定及

性质的运用，能够熟练运用数形结合思想是解题关键.

8.(2022•江苏无锡・无锡市天一实验学校校考模拟预测)如图，抛物线y=法+c与x

轴的一个交点为A(-2,0),与y轴的交点为3(0,4),对称轴与无轴交于点尸.

备用图

(1)求抛物线的解析式；

⑵点M为y轴正半轴上的一个动点，连接AM,过点”作AM的垂线，与抛物线的对称轴

交于点N,连接AV.

①若.AW与，AOB相似，求点”的坐标；

②若点M在＞轴正半轴上运动到某一位置时，,AAW有一边与线段AP相等，并且此时有一

边与线段AP具有对称性，我们把这样的点"称为“对称点”，请直接写出“对称点”加的坐标.

1R

【答案】⑴y=_#+，+4

42

⑵①M点的坐标为（0,6）或［o,£|；②M点的坐标为（0,@）或（0,"）或［o.：

【分析】（1）利用待定系数法去求抛物线解析式；

（2）①先求出抛物线的对称轴为x=3,作"。_L直线x=3于点。，作于E,根据

相似三角形的判定和性质进行如下的分类讨论即可：（1）当A筹M=察MN时，（2）当A黑M=M芸N

OBOAOAOB

时进行求解即可；

②先确定AP=5进行如下的分类讨论即可：（1）当AM=AP=5时，（2）当A2V=AP=5时,

（3）当MN=5时进行求解即可.

【详解】（1）将点A（-2,0）,8（04）分别代入＞=-:无2+法+。得c=4,

\3

b——

解得2,

c=4

13

•••抛物线的解析式为尸-/+产4；

3

（2）①抛物线的对称轴为直线=3,

作MD_L直线x=3于点。，作于E,

ZAMN=ZAOB,

…AM_MNmAM_OB_4_.

OBOAMNOA2

*./\AMN^ABOA,如图1,

.*Z£W+Z£M4=90°,/DMN+/EMA=94。,

\ZEAM=ZDMN,

：ZAEM=ZMDN=90°,

•・AAEMsAA/DN,

.AEAM2

9MD~MN~'

而MD=3,

AE=6,

此时M点的坐标为（0,6）,

.AM__MNnnAMOA_21

''^~OA~~OB''加一丽一15，

:..AMNs二AOB,如图2,

同理可得△AEMs^MDN,

.AEAM1

''MD~MN~1"

而A®=3,

3

・・.AE=-,

2

此时M点的坐标为/J

综上所述，M点的坐标为（。，6）或‘4}

@VA（-2,0）,P（3,0）,

AP=5,

当AM=AP=5时，OM=y/52-22=A/21-此时点M的坐标为（0,历）;

当A2V=AP=5时，点N与点P重合，则3/2=040。

OM=72^3=V6,此时M点的坐标为（0，«）;

当MV=5时，在中，DN=y152-32=4,

•/AAEMsAAiDN,

.AEEMAE2

••=,即Rn=~~9

MDDN34

解得AE=9,此时点M的坐标为（0，£|，

综上所述，w点的坐标为（。，万）或（。，#）或（o，T

图1图2

【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数

的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会灵活应用相似三角形的判定和性质进行几何计

算；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题.

9.(2022・四川成都・成都市树德实验中学校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOv中,

13

抛物线丁=-了/+x+4与两坐标轴分别相交于A,B,C三点.

42

⑴求证：ZACB=90°；

(2)点。是第一象限内抛物线上的动点，过点。作尤轴的垂线交3C于点E,交尤轴于点尸.

①求。£+2叵BE的最大值；

5

②点G是AC的中点，若以点GD,E为顶点的三角形与，AOG相似，求点。的坐标.

【答案】(1)见解析

25

⑵①9；②。(4,6)或£)(3,3).

4

【分析】(1)分别计算AB,C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最

后利用勾股定理逆定理解题；

131

(2)①先解出直线BC的解析式,设D(x,—■-x2+—x+4)，得出BF=8—%,DE=—■-x2+2x,

424

由OC〃。/，得出拽BE=BF利用二次函数的配方法求最值；

5

②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明NC4O=NOEC,再分两种情况

讨论以点C,D,E为顶点的三角形与“AOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题

即可.

【详解】(1)解：令x=0,得'=4,

C(0,4),

i3

令y=o得——/+一%+4=。，

42

\x2-6x-16=0,

(x-8)(x+2)=0,

AA(-2,0),3(8,0),

AB=10,AC=7(0+2)2+(4-0)2=275,BC=7(8-O)2+(0-4)2=4小,

102=(2后+(4君)2,

AB2=AC2+BC2,

ZACB=90°,

(2)①设直线BC的解析式为：y=kx+b(k^O),代入8(8,0),C(0,4)得

犀+匕=0

[6=4'

\k=--

b=4

1)

y=—%+4,

2

、13

Z)(x,--x92+—x+4),

1311

BF=8-x,DE=—x9H—x+4—(—%+4)=—x9+2x,

4224

OC//DF,

,BEBC4下非

BF~OB~82

f

：.ktLBE=BF,

5

n/ci

DE+BE=DE+BF=——x2+2x+8-x,

54

1c

=—x9+x+8

4

1

=-—(x92-4x)+8

1

=__(X-2)29+9,

4

--<0,

4

1

z.——(X-2)29<0,

4

1

——(X-2)29+9<9,

4

:.DE+BF<9f

即。石+B厂的最大值为9；

②一点G是AC的中点，

在RtAOC中，OG=-AC=AG=45

2f

即，AOG为等腰三角形，

ZCAO+ZACO=ZACO+ZOCB=90°,

.\ZCAO=ZOCB,

OC//DF,

:.ZOCB=ZDEC,

，NCAO=NDEC,

若以点CD,石为顶点的三角形与AOG相似,

则①包=%=回

AOCE2

~—%?+2x

CE~~2

又二OC//DF,

CEBC

而一而‘

「厂BC-OF非x

.C/i=---------=-----

0B2

.1-212元一小X一非

422

%?—3x—0,

.,.玉=0,x2=3,

，川）或小丁,

经检验：。（0,4）不符合题意，舍去,

②生二好

AODE2

又1OC//DF,

CEBC

OF-'

BCOF&

..CE-------------,

OB2

-J5x

2=下

--X2+2X2

4

整理得，X2-4%=0>

%1=0,x2=4,

，。(0,4)或。(4,6),

同理：0(0,4)不合题意，舍去,

综上所述，。（4,6）或0（3,一）.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例,相似三角形的判定与性质、

直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知

识，掌握相关知识是解题关键.

原点。的左边，点8在原点。的右边），与y轴的负半轴交于点C,连接AC、BC,且满足

ZABC=ZACO,求抛物线的解析式；

I3

（3）如图2,在（2）的条件下，直线/BC,直线/交抛物线y=］尤2-/X+C于D、E两点（点

。在点E的左边），直线AD交>轴于点直线AE交丁轴于点N,设M、N的纵坐标分

别为为、yN,试问加+%是否为定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，请说明理

由.

【答案】⑴c<93

O

13

(2)y=—x9——x-2；

22

(3)是定值,-2.

【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点可知A>0,求解即可;

（2）根据题意可知tan/ABC=—,tanZACO=—,ZABC=ZACO,得出OC2=OAOB,

OBOC

从而得出/=-2c,求解根据c<0得出c的值，则解析式可得；

（3）先根据二次函数解析式求出点A民C的坐标，根据待定系数法求出直线BC的解析式,

设直线/的解析式y=gx+d,D（x2J,连立二次函数与一次函数可得

）=炉-4工-21-4=0,根据根与系数的关系可得%1+々=4,=-2d-4,过点。作

。3，，轴于点6,过点E作切,，轴于点H,则可证明JVt40sMDG,则丝=桨,

DGMG

即工==2k_,解出加的值，同理得出明的值，相加即可.

一百乂一九

1Q

【详解】（1）解：抛物线y=］无2-］尤+。与无轴有两个交点，

A=（—/—4x—xc>0,解得c<一,

228

9

「•实数。的取值范围为。<6；

O

（2）ZAOC=/COB=90。，

tanZABC=—,tanZACO=—,

OBOC

ZABC=ZACO,

QQQ\

tanZABC=tanZACO,则===，BPOC2=OAOB,

OBOC

OC=c2,OAOB=—2c,

2

c=-2c,解得4=一2，c2=0,

c<0,

i3

则抛物线的解析式为y尤2一枭一2；

（3）加+W是定值，理由如下：

13

当y=0时，0=—x2--x-2,解得玉=—1,%2=4,

/.A(-l,0),B(4,0),

VC(0,-2),

设直线8C的解析式为：y=kx+b,

0=4k+b

则

6=—2

k=-

解得：2,

b=-2

直线BC的解析式为：y=1x-2,

U/BC,

；・设直线/的解析式_V=gx+d,。(占,必)，E(x2,y2),

13

y=—x2—x-2、

22

联立得y=%2-4%-2d-4=0,

1,

y=—x+b

2

则项+9=4,玉%2--2d-4,

过点。作。轴于点G,过点石作石轴于点H,

AOHDG,

；・」MAOsMDG,510

DGMG

.1.7M

-一玉vJ

口—x?~—x-2

解得V=%=2।2]।=%i—4A,

M石+1玉+12

同理为=二,

（玉+W）-8_4—8_

则为+弘=----------~~,

22

.,