中考数学难点突破训练：二次函数中的线段周长问题（解析版）

专题39二次函数中的线段周长问题

【题型演练】

一、单选题

1.（2020•福建・龙海二中一模）抛物线>=加+法-3与无轴交于42两点，与y轴交于点C,

且OB=OC=3OA,求抛物线的解析式（）

A.j=x2-2x-3B.y=/-2x+3C.y—x2-2x-4D.y—x2-lx-5

【答案】A

【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求OC得长，根据O8=OC=3OA,进而求出08、

OA,得出点A、8坐标，再用待定系数法求出函数的关系式.

【详解】解：在抛物线y—a^+bx-3中，当尤=0时,y--3,点C（0,-3）

OC=3,

•：OB=OC=3OA,

：.OB=3,OA=1,

.".A（-1,0）,B（3,0）

把A（-l,0）,B（3,0）代入抛物线尸^3得：

a-b-3=0,9。+36-3=0,

解得：a=l,b=-2,

抛物线的解析式为y=/-2x-3,

故选：A.

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；是一道二次函数综合题.

2.（2022・广东.惠州市惠城区博文学校九年级期中）已知抛物线、=以2+法+3在坐标系中的

位置如图所示，它与X,y轴的交点分别为4B.点尸是其对称轴x=l上的动点，根据图中

提供的信息，给出以下结论：①2。+匕=0；②x=3是加:+3=0的一个根；③A/5/"周

长的最小值是M+30;④抛物线上有两点河（冷乂）和N（%,%），若%<1<尤2,且

%+%>2,则%>上，其中正确的有（）个.

X=1

【答案】D

【分析】①根据对称轴方程求得。、b的数量关系；②根据抛物线的对称性知抛物线与尤轴

的另一个交点的横坐标是3；③利用两点间线段最短来求周长的最小值；④根据二

次函数图象，当尤/<1<及,且用+刈>2,根据离对称越远的点的纵坐标就越小得出结论.

b

【详解】解：①根据图象知，对称轴是直线X=-丁=1,则6=3,即2a+6=0.故①正确；

2a

②根据图象知，点A的坐标是（-1,0）,对称轴是直线41,

则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与无轴的另一个交点的坐标是（3,0）,

所以x=3是加+次+3=0的一个根，故②正确；

③如图所示，点A关于x=l对称的点是A,即抛物线与龙轴的另一个交点.

x=l

连接加与直线E的交点即为点尸，则ARIB周长的最小值是（54分河）的长度.

:B（0,3）,A（3,0）,

BA^=3y/2.而AB=在+32=回,

即△周长的最小值是30+JHJ.故③正确.

④观察二次函数图象可知：当X/<1<X2，且尤/+X2>2,

则\-Xl<X2-1,

：.yi>y2.

故④正确.综上所述，正确的结论是：①②③④.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间线段最

短.解答该题时，充分利用了抛物线的对称性.

3.（2021.浙江湖州.模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=aix2

（〃/#））与抛物线Q：y=a2X2+bx（公加）的交点尸在第三象限，过点尸作工轴的平行线,

与物线。，C2分别交于点M,N.若黑PM=±2，则4」的值是（）

PNn2

nn-1

【答案】B

【分析】令%—=%%2+灰，求得尸的横坐标,然后根据两抛物线的对称轴求得PM=-

2b

bbb2b由黑■=,，得到=2,整理即

PN=2(-

2a24—%dyCl?PNn2bn

Cl?G~2

可得到1二〃—2,,即可求得-1-

【详解】解：令。"=。2<+加：,

b

解得切=0,%2=，

%一

b

・・・尸的横坐标为-----，

41^2

•抛物线C］：>=4/（4片。）的对称轴为y轴，抛物线C?：>=。2/+法（〃2*0）的对称轴为直

,b

线x=-—，

2。2

2bbbb2b

：.PM=------,PN=2(-----------)=---------

aaa

%-a22%q-%2\一i

..PM_2

*PN—n'

2b

.〃］一%2

：・b2b=7

ax

1

----+

~^>2Cl?

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得P的横坐标，

表示出PM、PN是解题的关键.

4.(2015•江苏苏州•九年级期末)如图，已知抛物线了=-/+川+4的对称轴为直线工=-3,

过其顶点M的一条直线、=区+》与该抛物线的另一个交点为N(—1,1).若要在y轴上找

一点P,使得PM+PN最小，则点P的坐标为()

43

A.(0,2)B.(0,—■)C.(0,—)D.(0,—)

332

【答案】A

【详解】试题分析：因为抛物线y=—x2+px+q的对称轴为直线x=—3,过点N(—1,1),

—'=—3p=-6

所以｛—2，解得｛,»所以y=-x2~\~px~\~q——f—6x—4=—(%+3>+5,所以

11q=-4

-1-p+q=l

顶点M为(-3,5),则点M关于y轴的对称点“为(3,5),设直线"N的解析式为'=履+工

—k+b=l\k=\

把点N(T,1),点〃，(3,5),代入得境+63解得。=2,所以直线为尸+2,令

x=0,贝!jy=2,所以点P的坐标为（0,2）,故选A.

考点：1.待定系数法求函数解析式；2.轴对称；3.直线与y的交点.

5.（2019•浙江•九年级阶段练习）如图，抛物线y=-x2+2x+m+l交x轴于点A（a,0）和B

（B,0）,交y轴于点C,抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=l,

则b=4；③抛物线上有两点P（xi,yi）和Q（X2,y2），若xi<l<X2，xi+x2>2,则y»y2；

④点C关于抛物线对称轴的对称点为E,点G,F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边

形EDFG周长的最小值为60,其中正确判断的序号是（）

A.①B.②

C.③D.@

【答案】C

【详解】试题解析：①当x>0时，函数图象过一四象限，当0<x<b时，y>0；当x>b

时，y<0,故本选项错误；

217

②二次函数对称轴为x=-°/八=1，当a=-l时有一j=l，解得b=3,故本选项错误；

2x（-1）2

③,；X1+X2>2,

...

又；X1-1C1VX2-1,

••.Q点距离对称轴较远，

.'.yi>y2>故本选项正确；

④如图，作D关于y轴的对称点DIE关于x轴的对称点E，，

连接DE,DE与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值.

当m=2时,二次函数为y=-x2+2x+3,顶点纵坐标为y=-l+2+3=4,D为（1,4）,则。为（-1,

4)；C点坐标为C(0,3)；则E为(2,3),E'为(2,-3)；

贝UDE=7(2-1)2+(3-4)2=y[2;D'E'=7(-l-2)2+(-3-4)2=屈：

四边形EDFG周长的最小值为0+屈，故本选项错误.

故选C.

考点：抛物线与x轴的交点.

6.(2019•浙江湖州•九年级期末)如图，已知在平面直角坐标系尤Oy中，。为坐标原点，抛

物线y=-gN+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为A(-6,0),点C是抛物线的顶点，

且。。与y轴相切，点P为。C上一动点.若点。为B4的中点，连结0。，则。。的最大值

是()

A/985质+3

C.2,710

5-—

【答案】B

【分析】取点H(6,0)，连接/W,由待定系数法可求抛物线解析式,可得点C坐标，可得。C

半径为4,由三角形中位线的定理可求。。=3尸"当点C在尸77上时,有最大值，即可求解.

【详解】如图，取点H(6,0)，连接PH,

4

二•抛物线＞=-§/+云+c经过原点，与工轴的另一个交点为A(-6,0),

c=0

4

0=——x36—6/

8

b

解得:，3,

c=0

48

抛物线解析式为：y=-

顶点C（-3,4）,

；.OC半径为4,

：A。=08=62£）=肛

：.0D=^PH,

.•.PH最大时,。£）有最大值，

当点C在PH上时,尸〃有最大值，

•♦PH最大值为=3+181+16=3+,97,

二。。的最大值为:上叵，

2

故选8.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，二次函数的性质，三角形中位线定理等知识，解决本题的

关键是要熟练掌握二次函数性质和三角形中位线的性质.

7.（2018•河北邢台・一模）如图，抛物线y=a（x-l）2+Ma>0）经过点（-1,0）,顶点为M,

过点P（0,a+4）作无轴的平行线/,/与抛物线及其对称轴分别交于点以下结论：

③（踮-AP）是定值；

④设点M关于的x轴的对称点为"I当。=2时，点AT在/下方.

其中正确的是（）

A.①③B.②③

C.②④D.①④

【答案】A

【分析】根据二次函数的对称性可得抛物线与X轴的另一个交点的坐标为(3,0),且抛物线

开口向上，可对①作判断；根据图形中与无轴交点坐标(-1,0)和对称轴与x轴交点(1,0)可对

②作判断；

根据对称性得：AH=5”,根据线段的和与差可对③作判断；根据的坐标和/到x轴的

距离可对④作判断.

【详解】解：①由题意得：a>0,开口向上，

•••抛物线对称轴是x=l,且经过点(T，。)，

••.抛物线过x轴另一个点为(3,0),

.,.当x=3.1时，>>0；

故①正确；

②当尸在。点时，AP=PH,

•/d;>0,

不可能与。重合，

故②不正确；

@BP-AP=(BH+PH)-AP=AH+PH-AP=2PH=2,

故③正确；

④把(T，0)代入y=a(x-l)2+左中，k=~\a,

当。=2时，a+4=6,-(T“)=8,点V，在/的上方，

故④不正确；

所以正确的有：①③，

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质、与x轴的交点、关于x轴对称的点的特点，利用数形

结合的思想解决问题是关键，并熟练掌握二次函数的性质.

8.(2020•山东.模拟预测)如图，抛物线、=-/+2》+7"+1(利为常数)交》轴于点人，与x轴

的一个交点在2和3之间，顶点为8.

①抛物线y=+2x+〃7+l与直线y="2+2有且只有一个交点；

②若点M(-2,yJ、点N(；,yJ、点尸(2,%)在该函数图象上，则％%

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为

y=-(x+1)2+m；

④点A关于直线x=l的对称点为C,点E分另I］在无轴和>轴上，当根=1时，四边形3CDE

周长的最小值为庖+四.

其中正确判断的序号是()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

【答案】D

【分析】根据一元二次方程的判别式的值，即可判断①；根据抛物线的对称性和二次函数的

增减性，即可判断②；根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可判断③；先求出

A,B,C的坐标，作点B关于>轴的对称点？(T,3),作点C关于x轴的对称点C(2,-2),连

接8C,与X轴、y轴分别交于E点、,则四边形3cDE的最小周长=8C+3C,即可判

断④.

【详解】①把>=相+2代入>=-犬+2*+"2+1中，得犬-2尤+1=0,

,.•△=4-4=0,

二一元二次方程两个相等的实数根，

...抛物线>+2》+7“+1与直线^=相+2有且只有一个交点，

故此小题结论正确；

②•.•抛物线的对称轴为：直线U,

.•.点P(2,%)关于直线X?的对称点为尸'(°，％)，

•/a--KO,

・•・当时，y随无增大而增大，

又点”(-2,乂)、点、点尸'(0，%)在该函数图象上，

；・%>%>%，

故此小题结论错误；

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位后，抛物线的解析式为：

y~~—(x+2)+2(x+2)%相+1—2,即：(x+1)+，w,

故此小题结论正确；

④当“4时，抛物线的解析式为：y=-/+2x+2,

A(0,2),C(2,2),3(1,3),

作点8关于y轴的对称点？（-1,3）,作点C关于X轴的对称点c（2,-2）,连接8C,与x轴、

》轴分别交于"E点、,则BE+ED+CD+BC=BE+ED+CD+BC=BC+BC,

根据两点之间线段最短，可知夕。最短，而3c的长度一定，

四边形3CDE的最小周长=8C+3C

=y/BM2+CM2+^BM2+CM2

=V32+52+VI2+I2

=J34+.

故此小题结论正确；

综上所述：结论正确的有①③④，

故选D.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数图象的交点以及轴对称

的性质，熟练掌握二次函数图象的对称性，增减性，函数图象的交点问题与方程的根的关系，

二次函数的平移规律，利用轴对称性，求线段和的最小值，是解题的关键.

9.（2019•浙江温州•九年级阶段练习）如图，抛物线y=V+2x-3交坐标轴于A、B、C三

点，直线EN为抛物线的对称轴，E为对称轴与x轴的交点，点D为抛物线上一动点（D点

在x轴下方），直线8。交直线EN于点M、直线AD交直线EW于点N,在点D从点A运动

到点B的过程中，线段+m的变化趋势为（）

A.一直在增大B.一直不变C.先增大后减小D.先减小后增大

【答案】B

2

【分析】根据题意，分别解得点A、B、C、E的坐标，设以孙x0+2r0-3),分别解得直

线BD、AD的表达式，再进一步解得交点M、N的坐标，即可解得线段EM、EN的长，据

此解题.

h2

【详解】抛物线y=Y+2x-3的对称轴为x=-==_：=T

2a2

，直线EN为户-1

E为对称轴与x轴的交点，

E(-1,O)

2

点D为抛物线上一动点，设D(x0,x0+2尤0-3)

令x=0,解得y=-3,C(0,-3)

令y=0,则2尤-3=0

/.(x+3)(x—1)=0

..玉——3,x?~1

/.A(-3,0),B(l,0)

设直线的表达式为%=4尤+伪，代入点B、D

得14+4=0.fdi=xo+3

+4=尤;+2r0-3-3

二直线30的表达式为％=(%+3)+%-3=(%+3)(x-1)

设直线AD的表达式为%=&x+4，代入点A、D

,[-3d2+么=。[d2=x0-\

[d2xQ+匕2+2无o-3也=3x0-3

直线AD的表达式为%=(尤oT)x+3x(,-3=(x+3)(%-1)

直线RD交直线EN于点M

Jx=-1

,,1%=(%+3)(无一1)

解得y=-2尤0-6

M.(―1»—2x0—6)

同理直线AD交直线EN于点N,

J尤=-1

一自=(尤of(尤+3)

解得y=2x0-2

N(-l,2x()-2)

EM=|-2XQ-6|=2Xg+6,EN=2-

/.EM+EN=2x0+6+2-2x0=8

.•.EN+EZV的长度不变，

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的综合，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键.

10.（2022•浙江温州•九年级阶段练习）如图，抛物线丁=-/+2彳+1交x轴于A,8两点，

交y轴于点C,点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E,点G,F

分别在无轴和y轴上，则四边形EOFG周长的最小值为（）

A.6B.4A/2C.屈D.2币

【答案】B

【分析】利用抛物线的解析式求得点C、。和E的坐标，利用轴对称的性质和将军饮马模型

作出点。关于y轴的对称点£>',点E关于x轴的对称点E',连接DE,交x轴于点G,交

y轴于点E此时即PG周长取最小值，利用点的坐标的性质和勾股定理即可求得结论.

【详解】解：令x=0,则y=L

/.C（0,l）,

'/y=-x2+2x+l=+2,

D（l,2）,抛物线的对称轴为直线x=l,

•••点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E,

E（2,l）,

•,DE=A/12+12=V2，

作点。关于y轴的对称点。'，点E关于x轴的对称点E',连接DE"交x轴于点G,交y

轴于点孔如图，

此时DP+FG+EG=FD'+FG+GE'=D'E',

此时四边形EDPG周长最小，

延长EE',它们交于点X,如图，

DE=q32s=3后，

四边形即PG周长的最小值为&，

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，轴对称的性质、勾股定理和抛

物线上点的坐标的特征，利用轴对称的性质找出点尸和G的位置是解决本题的关键.

二、填空题

11.（2022•全国•九年级课时练习）如图，抛物线y=（x-2）2-2与直线y=x-4交与点A与

点8,点P是线段AB上的动点，过点尸作PQ〃y轴，交抛物线于点。，则线段尸。长的最

大值为.

【分析】根据尸。〃》轴，可设点尸（根,根-4）,则。（八-2『-2）,从而得到

Pe=（m-4）-[（m-2）2-2],再根据二次函数的性质，即可求解.

【详解】解：：尸。〃y轴，

,可设点尸（血,根-4）,则。（%,（加一2『一2）,

PQ=（MJ-4）-[（机—2）2—2]=-加2+5加_6=_]机_"|]+：,

当根=1•时，PQ最大，最大值;.

24

故答案为：；

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的

关键.

12.（2022・吉林白城•九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-f+2%+c与尤

轴交于点43,与y轴交于点C,过点C作CD〃x轴，交抛物线于另一点，若AB+CD=3,

则c的值为.

【答案】-：3

4

【分析】先用根与系数的关系求出43=2巧1,再根据CD〃x求出CD,然后由

AB+CD=3得到关于。的方程，解方程求出c即可.

【详解】解：设4（出0）,B（X2,0）,

令）=。，则y=-%2+2%+。=。，

由根与系数的关系得:再+%2=2，%•％2=-C,

=

则AB=\xx-x2\=+%）2—4再%22&+1，

令％=0,贝!JV=c,

AC（0,c）,

〈CD〃光轴，

工点。纵坐标为c,

当V=C时，贝1J一炉+2%+c=c,

解得：x=2或x=0,

D（2,c）,

CD=2,

・・•AB+CD=3,

・•・2Vc+l+2=3,

3

解得：c二），

4

3

故答案为：-T.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数与一元二次方程之间的关系，灵活运用所

学知识是解题的关键.

2

13.（2022・山东・日照市田家炳实验中学九年级阶段练习）如图，在抛物线y=-1/上取点

耳（岑，-g）,在y轴负半轴上取一个点A，使△。4A为等边三角形，然后在第四象限取抛

物线上的点与，在y轴负半轴上取点4,使△4为4为等边三角形，重复以上的过程，可

得△AgBio0Goe,则A。。的坐标为.

【答案】（0,-5050）

【分析】首先求出4、4的坐标，通过观察得出规律，再根据规律求出4。。的坐标.

【详解】解：根据用的坐标片（弓,-；）,设直线。与解析式为尸质，

直线。片的解析式为：y=_3尤,

3

•••AA为等边三角形，B吟一?

.•.04=1,A（o,-i）,

vOB{//AB2,又直线4与过点A（°，T），

则直线A与的解析式为：y=一且尤-1,

3

［君I

y=-----x-1

联立抛物线解析式得3，

y=--x2

I3

解得：卜=石（彳＞0）,

〔产-2

；.耳（6,-2）,A4=2,4（0,-3）,

同理可得用（之叵,4A3=3,A（0,-6）,

当Aoo，A9A00=100>

点4。。纵坐标的绝对值=1+2+3+...+100=5050,

A(x)(O,-5050)

故答案为：(0,-5050)

【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，找到规律是解题的关键.

14.(2022•山东.武城县鲁权屯镇中学九年级阶段练习)平面直角坐标系中，将抛物线y=-尤2

平移得到抛物线C,如图所示，且抛物线C经过点A(-l,0)和3(0,3),点P是抛物线C上

第一象限内一动点，过点尸作x轴的垂线，垂足为。，则。。+尸。的最大值为.

【分析】求得抛物线C的解析式，设。(》,0),则尸(x,-X2+2X+3),即可得出。。+尸。,

根据二次函数的性质即可求得.

【详解】解：设平移后的解析式为y=-/+6x+c,

•.•抛物线C经过点A(-1,0)和3(0,3),

-l-b+c=0b=2

0,解得

c=3c=3

.••抛物线C的解析式为y=-f+2x+3,

设。(x,0),则尸(x,-/+2x+3),

:点P是抛物线C上第一象限内一动点,

OQ+PQ=x+(-X2+2X+3)

=-/+3x+3

/3、221

=—(X-----)H------

24

71

；.0。+尸。的最大值为亍

71

故答案为：—

【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出

OQ+PQ=-X2+3X+3是解题的关键.

15.(2022・广东・测试・编辑教研五一模)如图，抛物线y=-x?+x+6交x轴于A、8两点(A在8

的左侧)，交y轴于点C,点。是线段AC的中点，点尸是线段A2上一个动点，AAPD沿DP

折叠得△APD，则线段A'B的最小值是.

【答案】5-痴##-加+5

【分析】先根据抛物线解析式求出点A,B,C坐标，从而得出。4=2,OB=3,OC=6,

再根据勾股定理求出AC的长度，然后根据翻折的性质得出A在以。为圆心，P4为半径的

圆弧上运动，当。，A,8在同一直线上时，&T最小；过点。作。垂足为E,由

中位线定理得出DE,OE的长，然后由勾股定理求出8。，从而得出结论.

【详解】解：令y=o,贝U=-尤2+尤+6=0,

解得玉=-2,x2=3,

.-.A(-2,0),3(3,0),

/.OA=2,OB=3,

令％=0,则y=6,

/.C(6,0),

OC=6,

AC=V22+62=2A/10>

•・•£>为AC中点，

DA=DC=y/lO,

■:xNPD由AAPD沿DP折叠所得，

:.DA=DAr,

，A在以。为圆心，D4为半径的圆弧上运动，

，当。，A',3在同一直线上时，W最小，

过点。作。垂足为E,

AE=OE=1,DE=3,

.\BE=4,

.-.BD=V32+42=5>

X\-DA=DA'=JlO,

BA'=5-A/10,

故答案为：5-&6.

【点睛】本题考查了抛物线与X轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识,

关键是根据抛物线的性质求出A,B,C的坐标.

16.（2021•新疆・乌鲁木齐市第四十四中学九年级阶段练习）如图所示，抛物线>=-丁+法+3

与无轴交于点A和点8,与y轴交于点C,且。4=OC,点M、N是直线x=-l上的两个动点，

且MN=2（点N在点M的上方），则四边形BCNM的周长的最小值是.

【答案】2M+2

【分析】先求出点C的坐标，求出求出点A的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点2

的坐标，取E（0,1）,连接AM,EM,AE,可证四边形MNCE是平行四边形，得到CN=ME,

则四边形的周长=2C+CN+NM+2M,再由点A,2关于直线MN对称，得到

则四边形BCMW的周长=BC+NM+AAf+ME,故当A、M,E三点共线时，AM+ME最小，最

小为AE,即此时四边形BCMW的周长最小，据此求解即可.

【详解】解：：点C是抛物线>=-炉+陵+3与y轴的交点，

.♦.点C的坐标为（0,3）,

OA=OC=3,

...点A的坐标为（-3,0）,

••0——9—3b+3,

/?=—2,

•。•抛物线解析式为y=-f-2x+3=-（无+1），4,

抛物线对称轴为直线户-1,

令1=0,贝[|—x2—2x+3=0，

解得x=l或x=-3（舍去），

点2的坐标为（1,0）,

取E（0,1）,连接AM,EM,AE,

:.CE=ME=2,

又：MN//CE,

：.四边形MNCE是平行四边形，

CN=ME,

：.四边形BCNM的周长=2C+CN+NM+BM,

丁点A,2关于直线MN对称，

：.AM=BM,

：.四边形BCNM的周长=BC+NAf+AM+ME,

...当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小为AE,即此时四边形BCNM的周长最小,

,•AE--\/l2+32=>/10,BC—>/12+32=y]10>

，四边形BCNM的周长的最小值为a5+VHJ+2=2如+2,

故答案为：2河+2.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距

离等等，正确作出辅助线是解题的关键.

三、解答题

17.(2021•新疆・乌鲁木齐市第五十四中学九年级阶段练习)如图，已知直线y=x+3与x轴

交于点A,与y轴交于点8,抛物线y=f2+6x+c经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,

对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D.

备用图

(1)点A的坐标为,点8的坐标为.

⑵①求抛物线的解析式；

②点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点使得△的面积最大?若存

在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点尸从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为

/秒，当f为何值时，以尸、B,C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的

"直.

【答案】⑴(-3,0),(0,3)；

⑵①y=-尤2-2x+3,②存在，△的面积最大为石27，此时M卜f/3，丁15

⑶当f为3或4士"或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形

【分析】（1）y=x+3,令x=0,则y=3,令y=0,贝!|x=-3,即可求解；

（2）①2的坐标为：（0,3）,故c=3,将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b=-2,

即可求解；

②过点M作〃丁轴，交A3于点N,设/（租,一--2帆+3）,则N（7〃M+3）,求得=

=_2fm+2Y+ZZ,根据二次函数的性质求得最大值，以及机的值，从而求得知的坐标;

2（2）8

（3）根据题意可得尸（-1,47）,进而勾股定理分别求得尸C,P2,BC,分PC=PB、8C=PC、

BC=PB,三种情况，分别解方程求解即可.

【详解】（1）解：y=x+3,令尤=0,则y=3,

令y=0,则x=-3,

故点A、3的坐标分别为：（-3,0）,（0,3）；

故答案为：（-3,0）,（0,3）；

（2）①3的坐标为：（0,3）,

.**c=3

将点A的坐标（-3,0）代入抛物线表达式得：0=-9-36+3,

解得：b=-2,

・・・抛物线的解析式为y=——一2x+3；

②如图，过点“作"N〃丁轴，交A3于点N,

M[m,—m2—2m+3),则N(私i+3)

A/ZV=一m之一2m+3—(m+3)=—m2-3m

,,S«ABM=3MNXI尤B—尤/

"2

22

327

当加=-3时，ZABM取得最大值，为一

2o

此时t?/-2m+3=-(77：+3)(m-1)=-|3-—--1|=—

315

：.M

2'T

(3)令y=-£-2x+3中y=0,贝U—/一2尤+3=-(x-1)(尤+3)=0,

解得：x=l或x=-3,

AC(1,0).

y=—x2-2x+3=(尤+1)~+4,

：.D(-1,4),

.点尸从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为f

秒，

/.P(-1,4-r).

•••8(0,3),C(l,0),

PC2=(-1-1)2+(4-/)2^t2-8t+20,

PB2=(-1)2+(4-Z-3)2=产一2f+2,BC2=12+3?=10.

①当时,

即t2-St+20=t2-2t+2

解得：f=3；

②当8c=PC时，

r-8r+20=10

解得：t=4±y/6；

③当时，

产―2f+2=10

解得：r=4或-2(舍去负值)

综上可知：当f为3或4士卡或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、面积问题、

两点间的距离公式以及勾股定理等，解题关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、待

定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及勾股定理.

18.(2022・全国•九年级专题练习)如图1,已知抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于点A(-2,0)、

5(3,0),与y轴交于点。(0,4),连接AC、BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点尸是直线3c上方抛物线上一点，过点P作PD〃无轴交于点D,过点尸作

PELBC于点、E,当的周长最大时，求出△PDE的周长最大值及此时点尸的坐标；

2?

【答案】⑴+4

⑵最大值为｝呜高

【分析】(1)利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

(2)过点尸作〃:V轴交8C于点H,由题意易得=则有

OC4443

tanZPDE=tanZOBC=—=—，然后可得tanNPO£=——=—,PE=-PD,DE=-PD,

OB3DE355

Qr2c2\

进而可求C,DE=：PH,设「卜,-耳〃+],+4),设直线sc的解析式为：y=kx+b,则有

4

W--/+4),最后根据二次函数的性质可进行求解.

【详解】⑴解：：点A(-2,0)、3(3,0)、C(0,4)在抛物线的图像上，

将点A、B、C的坐标代入得：

4a-2b+c=0

<9a+3b+c=0,

c=4

2

a=——

3

2

解得＜b=-,

c=4

y=--x2+—x+4；

33

(2)解：如图，过点P作尸轴交BC于点H,

•・•尸。〃X轴，

ZPDE=ZOBC,

OC4

：.tanZPDE=tanZOBC=—=-,

OB3

PF4

tanZPDE=—

DE3

NPED=90。,

43

PE=-PD,DE=-PD,

4312

CpnF=PD+PE+DE=PD+—PD+—PD=——PD,

*DE555

又・・•/DPE+/HPE=90°,

PH43

tanZPD7/=——二—,PD=-PH,

PD34

9

,,C.PDE=^PH,

・••当尸H取最大值时，GPDE取最大值，

设+设直线5c的解析式为：y=kx+b,

将点3、C的坐标代入得：

"+6=0

[6=4'

解得,3,

b=4

4

・・y———x+4,

4

2942

PH=——/+T+4—（——，+4）=——t2+2t,

3333

.••加一|（”|）2+|,

33

•••当f时，PH取得最大值，最大值为:，

22

•••如好的最大值=Q/13=而27，

3????7

将f=±代入至|JP«，—二/+二Z+4）中，得__〃+—/+4=_,

233332

【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

19.（2022.全国•九年级专题练习）己知二次函数图象的顶点坐标为"（1,0）,直线y=与

该二次函数的图象交于A,2两点，其中A点的坐标为（3,4）,8点在y轴上.

（1）求m的值及这个二次函数的解析式；

⑵在x轴上找一点。，使AQAB的周长最小，求出此时。点坐标;

【答案】⑴加=1,y=（x-l）2；

⑵唱。）.

【分析】（1）将A点坐标分别代入抛物线和直线解析式，即可求出根的值及这个二次函数

的解析式；

(2)使AQAB的周长最小，即是求4。+2。的值最小，作8点关于无轴的对称点笈，当A、

。、夕三点在一条直线上时，AQAB的周长最小，求出直线互，的解析式，进而可得。点坐

标.

【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=a(x-1)2,

:点A(3,4)在抛物线上，则4=“(3-1)2,

解得«=1,

；•抛物线的解析式为丫式犬-以，

:点A(3,4)在直线y=x+"上，

4=3+ZH,

解得m=l；

(2)解：V777=1,

...直线解析式为y=x+l,

当x=o时，y=l,即3(0,1),

•••2点关于X轴的对称点夕点的坐标为？(0,-1),

设直线AB'的解析式为、=履+"

(3k+b=4

将A、8'两点坐标代入＞=履+万，得＜,,,

[b=-\

解得k=-,6=-1,

3

，直线AB，的解析式为y=乎-1,

如图，当A、。、B三点在一条直线上时，4。+2。的值最小，即AQAB的周长最小，。点

为直线AB，与x轴的交点，

当＞=0时，即0=g尤一1,

解得x=1,

，。点坐标为(I，。

【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式，轴对

称最短路径问题，解题时注意数形结合思想的运用.

20.(2022•全国•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=gx2+6x+c经过

点4(T,0),点M为抛物线的顶点，点8在＞轴上，且。1=03,直线A3与抛物线在第一

象限交于点C(2,6).

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线A3的函数解析式为,点M的坐标为,连接OC,若过点。的

直线交线段AC于点尸，将AAOC的面积分成1：2的两部分，则点尸的坐标为；

(3)在y轴上找一点2,使得的周长最小，则点。的坐标为

【答案】(1)y=#+2元

(2)y=x+4；M(-2,-2)；尸(一2,2)或(0,4)

⑶w

【分析】(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式，待定系数法求解析式即可求解；

(2)求得线A3的表达式为：y=x+4,依题意。尸将AAOC的面积分成1:2的两部分，则

12

=或进而求得尸的纵坐标，即可求解.

(3)作点A关于＞轴的对称点A,连接AM与，轴交于点Q,连接AQ、MQ、AM,根

14

据题意得出点4(4,0),进而待定系数法求得直线AM的表达式为：y=,进而求得

点。的坐标.

【详解】(1)解：将点A、。的坐标代入抛物线表达式,

—xl6-4/?+c=0

2

—x4+2Z?+c=6

2

解得八，

[c=0

故二次函数的表达式为：y=jx2+2x；

(2)点A(-4,0),OB=OA=4,故点2(0,4),

设直线AB的表达式y=k1x+bl,

]-4勺+4=0

L=4

，直线AB的表达式为：y=x+4.

对于y=；V+2无，函数的对称轴为龙=一2,故点M(-2,-2)