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文档简介
专题39二次函数中的线段周长问题
【题型演练】
一、单选题
1.(2020•福建・龙海二中一模)抛物线>=加+法-3与无轴交于42两点,与y轴交于点C,
且OB=OC=3OA,求抛物线的解析式()
A.j=x2-2x-3B.y=/-2x+3C.y—x2-2x-4D.y—x2-lx-5
【答案】A
【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求OC得长,根据O8=OC=3OA,进而求出08、
OA,得出点A、8坐标,再用待定系数法求出函数的关系式.
【详解】解:在抛物线y—a^+bx-3中,当尤=0时,y--3,点C(0,-3)
OC=3,
•:OB=OC=3OA,
:.OB=3,OA=1,
.".A(-1,0),B(3,0)
把A(-l,0),B(3,0)代入抛物线尸^3得:
a-b-3=0,9。+36-3=0,
解得:a=l,b=-2,
抛物线的解析式为y=/-2x-3,
故选:A.
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式;是一道二次函数综合题.
2.(2022・广东.惠州市惠城区博文学校九年级期中)已知抛物线、=以2+法+3在坐标系中的
位置如图所示,它与X,y轴的交点分别为4B.点尸是其对称轴x=l上的动点,根据图中
提供的信息,给出以下结论:①2。+匕=0;②x=3是加:+3=0的一个根;③A/5/"周
长的最小值是M+30;④抛物线上有两点河(冷乂)和N(%,%),若%<1<尤2,且
%+%>2,则%>上,其中正确的有()个.
X=1
【答案】D
【分析】①根据对称轴方程求得。、b的数量关系;②根据抛物线的对称性知抛物线与尤轴
的另一个交点的横坐标是3;③利用两点间线段最短来求周长的最小值;④根据二
次函数图象,当尤/<1<及,且用+刈>2,根据离对称越远的点的纵坐标就越小得出结论.
b
【详解】解:①根据图象知,对称轴是直线X=-丁=1,则6=3,即2a+6=0.故①正确;
2a
②根据图象知,点A的坐标是(-1,0),对称轴是直线41,
则根据抛物线关于对称轴对称的性质知,抛物线与无轴的另一个交点的坐标是(3,0),
所以x=3是加+次+3=0的一个根,故②正确;
③如图所示,点A关于x=l对称的点是A,即抛物线与龙轴的另一个交点.
x=l
连接加与直线E的交点即为点尸,则ARIB周长的最小值是(54分河)的长度.
:B(0,3),A(3,0),
BA^=3y/2.而AB=在+32=回,
即△周长的最小值是30+JHJ.故③正确.
④观察二次函数图象可知:当X/<1<X2,且尤/+X2>2,
则\-Xl<X2-1,
:.yi>y2.
故④正确.综上所述,正确的结论是:①②③④.
故选:D.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数图象的性质以及两点之间线段最
短.解答该题时,充分利用了抛物线的对称性.
3.(2021.浙江湖州.模拟预测)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=aix2
(〃/#))与抛物线Q:y=a2X2+bx(公加)的交点尸在第三象限,过点尸作工轴的平行线,
与物线。,C2分别交于点M,N.若黑PM=±2,则4」的值是()
PNn2
nn-1
【答案】B
【分析】令%—=%%2+灰,求得尸的横坐标,然后根据两抛物线的对称轴求得PM=-
2b
bbb2b由黑■=,,得到=2,整理即
PN=2(-
2a24—%dyCl?PNn2bn
Cl?G~2
可得到1二〃—2,,即可求得-1-
【详解】解:令。"=。2<+加:,
b
解得切=0,%2=,
%一
b
・・・尸的横坐标为-----,
41^2
•抛物线C]:>=4/(4片。)的对称轴为y轴,抛物线C?:>=。2/+法(〃2*0)的对称轴为直
,b
线x=-—,
2。2
2bbbb2b
:.PM=------,PN=2(-----------)=---------
aaa
%-a22%q-%2\一i
..PM_2
*PN—n'
2b
.〃]一%2
:・b2b=7
ax
1
----+
~^>2Cl?
故选:B.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质,求得P的横坐标,
表示出PM、PN是解题的关键.
4.(2015•江苏苏州•九年级期末)如图,已知抛物线了=-/+川+4的对称轴为直线工=-3,
过其顶点M的一条直线、=区+》与该抛物线的另一个交点为N(—1,1).若要在y轴上找
一点P,使得PM+PN最小,则点P的坐标为()
43
A.(0,2)B.(0,—■)C.(0,—)D.(0,—)
332
【答案】A
【详解】试题分析:因为抛物线y=—x2+px+q的对称轴为直线x=—3,过点N(—1,1),
—'=—3p=-6
所以{—2,解得{,»所以y=-x2~\~px~\~q——f—6x—4=—(%+3>+5,所以
11q=-4
-1-p+q=l
顶点M为(-3,5),则点M关于y轴的对称点“为(3,5),设直线"N的解析式为'=履+工
—k+b=l\k=\
把点N(T,1),点〃,(3,5),代入得境+63解得。=2,所以直线为尸+2,令
x=0,贝!jy=2,所以点P的坐标为(0,2),故选A.
考点:1.待定系数法求函数解析式;2.轴对称;3.直线与y的交点.
5.(2019•浙江•九年级阶段练习)如图,抛物线y=-x2+2x+m+l交x轴于点A(a,0)和B
(B,0),交y轴于点C,抛物线的顶点为D.下列四个判断:①当x>0时,y>0;②若a=l,
则b=4;③抛物线上有两点P(xi,yi)和Q(X2,y2),若xi<l<X2,xi+x2>2,则y»y2;
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E,点G,F分别在x轴和y轴上,当m=2时,四边
形EDFG周长的最小值为60,其中正确判断的序号是()
A.①B.②
C.③D.@
【答案】C
【详解】试题解析:①当x>0时,函数图象过一四象限,当0<x<b时,y>0;当x>b
时,y<0,故本选项错误;
217
②二次函数对称轴为x=-°/八=1,当a=-l时有一j=l,解得b=3,故本选项错误;
2x(-1)2
③,;X1+X2>2,
...
又;X1-1C1VX2-1,
••.Q点距离对称轴较远,
.'.yi>y2>故本选项正确;
④如图,作D关于y轴的对称点DIE关于x轴的对称点E,,
连接DE,DE与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值.
当m=2时,二次函数为y=-x2+2x+3,顶点纵坐标为y=-l+2+3=4,D为(1,4),则。为(-1,
4);C点坐标为C(0,3);则E为(2,3),E'为(2,-3);
贝UDE=7(2-1)2+(3-4)2=y[2;D'E'=7(-l-2)2+(-3-4)2=屈:
四边形EDFG周长的最小值为0+屈,故本选项错误.
故选C.
考点:抛物线与x轴的交点.
6.(2019•浙江湖州•九年级期末)如图,已知在平面直角坐标系尤Oy中,。为坐标原点,抛
物线y=-gN+bx+c经过原点,与x轴的另一个交点为A(-6,0),点C是抛物线的顶点,
且。。与y轴相切,点P为。C上一动点.若点。为B4的中点,连结0。,则。。的最大值
是()
A/985质+3
C.2,710
5-—
【答案】B
【分析】取点H(6,0),连接/W,由待定系数法可求抛物线解析式,可得点C坐标,可得。C
半径为4,由三角形中位线的定理可求。。=3尸"当点C在尸77上时,有最大值,即可求解.
【详解】如图,取点H(6,0),连接PH,
4
二•抛物线>=-§/+云+c经过原点,与工轴的另一个交点为A(-6,0),
c=0
4
0=——x36—6/
8
b
解得:,3,
c=0
48
抛物线解析式为:y=-
顶点C(-3,4),
;.OC半径为4,
:A。=08=62£)=肛
:.0D=^PH,
.•.PH最大时,。£)有最大值,
当点C在PH上时,尸〃有最大值,
•♦PH最大值为=3+181+16=3+,97,
二。。的最大值为:上叵,
2
故选8.
【点睛】本题主要考查了切线的性质,二次函数的性质,三角形中位线定理等知识,解决本题的
关键是要熟练掌握二次函数性质和三角形中位线的性质.
7.(2018•河北邢台・一模)如图,抛物线y=a(x-l)2+Ma>0)经过点(-1,0),顶点为M,
过点P(0,a+4)作无轴的平行线/,/与抛物线及其对称轴分别交于点以下结论:
③(踮-AP)是定值;
④设点M关于的x轴的对称点为"I当。=2时,点AT在/下方.
其中正确的是()
A.①③B.②③
C.②④D.①④
【答案】A
【分析】根据二次函数的对称性可得抛物线与X轴的另一个交点的坐标为(3,0),且抛物线
开口向上,可对①作判断;根据图形中与无轴交点坐标(-1,0)和对称轴与x轴交点(1,0)可对
②作判断;
根据对称性得:AH=5”,根据线段的和与差可对③作判断;根据的坐标和/到x轴的
距离可对④作判断.
【详解】解:①由题意得:a>0,开口向上,
•••抛物线对称轴是x=l,且经过点(T,。),
••.抛物线过x轴另一个点为(3,0),
.,.当x=3.1时,>>0;
故①正确;
②当尸在。点时,AP=PH,
•/d;>0,
不可能与。重合,
故②不正确;
@BP-AP=(BH+PH)-AP=AH+PH-AP=2PH=2,
故③正确;
④把(T,0)代入y=a(x-l)2+左中,k=~\a,
当。=2时,a+4=6,-(T“)=8,点V,在/的上方,
故④不正确;
所以正确的有:①③,
故选:A.
【点睛】本题考查了二次函数的性质、与x轴的交点、关于x轴对称的点的特点,利用数形
结合的思想解决问题是关键,并熟练掌握二次函数的性质.
8.(2020•山东.模拟预测)如图,抛物线、=-/+2》+7"+1(利为常数)交》轴于点人,与x轴
的一个交点在2和3之间,顶点为8.
①抛物线y=+2x+〃7+l与直线y="2+2有且只有一个交点;
②若点M(-2,yJ、点N(;,yJ、点尸(2,%)在该函数图象上,则%%
③将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线解析式为
y=-(x+1)2+m;
④点A关于直线x=l的对称点为C,点E分另I]在无轴和>轴上,当根=1时,四边形3CDE
周长的最小值为庖+四.
其中正确判断的序号是()
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的判别式的值,即可判断①;根据抛物线的对称性和二次函数的
增减性,即可判断②;根据二次函数的平移规律“左加右减,上加下减”即可判断③;先求出
A,B,C的坐标,作点B关于>轴的对称点?(T,3),作点C关于x轴的对称点C(2,-2),连
接8C,与X轴、y轴分别交于E点、,则四边形3cDE的最小周长=8C+3C,即可判
断④.
【详解】①把>=相+2代入>=-犬+2*+"2+1中,得犬-2尤+1=0,
,.•△=4-4=0,
二一元二次方程两个相等的实数根,
...抛物线>+2》+7“+1与直线^=相+2有且只有一个交点,
故此小题结论正确;
②•.•抛物线的对称轴为:直线U,
.•.点P(2,%)关于直线X?的对称点为尸'(°,%),
•/a--KO,
・•・当时,y随无增大而增大,
又点”(-2,乂)、点、点尸'(0,%)在该函数图象上,
;・%>%>%,
故此小题结论错误;
③将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位后,抛物线的解析式为:
y~~—(x+2)+2(x+2)%相+1—2,即:(x+1)+,w,
故此小题结论正确;
④当“4时,抛物线的解析式为:y=-/+2x+2,
A(0,2),C(2,2),3(1,3),
作点8关于y轴的对称点?(-1,3),作点C关于X轴的对称点c(2,-2),连接8C,与x轴、
》轴分别交于"E点、,则BE+ED+CD+BC=BE+ED+CD+BC=BC+BC,
根据两点之间线段最短,可知夕。最短,而3c的长度一定,
四边形3CDE的最小周长=8C+3C
=y/BM2+CM2+^BM2+CM2
=V32+52+VI2+I2
=J34+.
故此小题结论正确;
综上所述:结论正确的有①③④,
故选D.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质,一次函数与二次函数图象的交点以及轴对称
的性质,熟练掌握二次函数图象的对称性,增减性,函数图象的交点问题与方程的根的关系,
二次函数的平移规律,利用轴对称性,求线段和的最小值,是解题的关键.
9.(2019•浙江温州•九年级阶段练习)如图,抛物线y=V+2x-3交坐标轴于A、B、C三
点,直线EN为抛物线的对称轴,E为对称轴与x轴的交点,点D为抛物线上一动点(D点
在x轴下方),直线8。交直线EN于点M、直线AD交直线EW于点N,在点D从点A运动
到点B的过程中,线段+m的变化趋势为()
A.一直在增大B.一直不变C.先增大后减小D.先减小后增大
【答案】B
2
【分析】根据题意,分别解得点A、B、C、E的坐标,设以孙x0+2r0-3),分别解得直
线BD、AD的表达式,再进一步解得交点M、N的坐标,即可解得线段EM、EN的长,据
此解题.
h2
【详解】抛物线y=Y+2x-3的对称轴为x=-==_:=T
2a2
,直线EN为户-1
E为对称轴与x轴的交点,
E(-1,O)
2
点D为抛物线上一动点,设D(x0,x0+2尤0-3)
令x=0,解得y=-3,C(0,-3)
令y=0,则2尤-3=0
/.(x+3)(x—1)=0
..玉——3,x?~1
/.A(-3,0),B(l,0)
设直线的表达式为%=4尤+伪,代入点B、D
得14+4=0.fdi=xo+3
+4=尤;+2r0-3-3
二直线30的表达式为%=(%+3)+%-3=(%+3)(x-1)
设直线AD的表达式为%=&x+4,代入点A、D
,[-3d2+么=。[d2=x0-\
[d2xQ+匕2+2无o-3也=3x0-3
直线AD的表达式为%=(尤oT)x+3x(,-3=(x+3)(%-1)
直线RD交直线EN于点M
Jx=-1
,,1%=(%+3)(无一1)
解得y=-2尤0-6
M.(―1»—2x0—6)
同理直线AD交直线EN于点N,
J尤=-1
一自=(尤of(尤+3)
解得y=2x0-2
N(-l,2x()-2)
EM=|-2XQ-6|=2Xg+6,EN=2-
/.EM+EN=2x0+6+2-2x0=8
.•.EN+EZV的长度不变,
故选:B.
【点睛】本题考查二次函数的综合,是重要考点,难度较大,掌握相关知识是解题关键.
10.(2022•浙江温州•九年级阶段练习)如图,抛物线丁=-/+2彳+1交x轴于A,8两点,
交y轴于点C,点D为抛物线的顶点,点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E,点G,F
分别在无轴和y轴上,则四边形EOFG周长的最小值为()
A.6B.4A/2C.屈D.2币
【答案】B
【分析】利用抛物线的解析式求得点C、。和E的坐标,利用轴对称的性质和将军饮马模型
作出点。关于y轴的对称点£>',点E关于x轴的对称点E',连接DE,交x轴于点G,交
y轴于点E此时即PG周长取最小值,利用点的坐标的性质和勾股定理即可求得结论.
【详解】解:令x=0,则y=L
/.C(0,l),
'/y=-x2+2x+l=+2,
D(l,2),抛物线的对称轴为直线x=l,
•••点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E,
E(2,l),
•,DE=A/12+12=V2,
作点。关于y轴的对称点。',点E关于x轴的对称点E',连接DE"交x轴于点G,交y
轴于点孔如图,
此时DP+FG+EG=FD'+FG+GE'=D'E',
此时四边形EDPG周长最小,
延长EE',它们交于点X,如图,
DE=q32s=3后,
四边形即PG周长的最小值为&,
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点,轴对称的性质、勾股定理和抛
物线上点的坐标的特征,利用轴对称的性质找出点尸和G的位置是解决本题的关键.
二、填空题
11.(2022•全国•九年级课时练习)如图,抛物线y=(x-2)2-2与直线y=x-4交与点A与
点8,点P是线段AB上的动点,过点尸作PQ〃y轴,交抛物线于点。,则线段尸。长的最
大值为.
【分析】根据尸。〃》轴,可设点尸(根,根-4),则。(八-2『-2),从而得到
Pe=(m-4)-[(m-2)2-2],再根据二次函数的性质,即可求解.
【详解】解::尸。〃y轴,
,可设点尸(血,根-4),则。(%,(加一2『一2),
PQ=(MJ-4)-[(机—2)2—2]=-加2+5加_6=_]机_"|]+:,
当根=1•时,PQ最大,最大值;.
24
故答案为:;
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的
关键.
12.(2022・吉林白城•九年级期中)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-f+2%+c与尤
轴交于点43,与y轴交于点C,过点C作CD〃x轴,交抛物线于另一点,若AB+CD=3,
则c的值为.
【答案】-:3
4
【分析】先用根与系数的关系求出43=2巧1,再根据CD〃x求出CD,然后由
AB+CD=3得到关于。的方程,解方程求出c即可.
【详解】解:设4(出0),B(X2,0),
令)=。,则y=-%2+2%+。=。,
由根与系数的关系得:再+%2=2,%•%2=-C,
=
则AB=\xx-x2\=+%)2—4再%22&+1,
令%=0,贝!JV=c,
AC(0,c),
〈CD〃光轴,
工点。纵坐标为c,
当V=C时,贝1J一炉+2%+c=c,
解得:x=2或x=0,
D(2,c),
CD=2,
・・•AB+CD=3,
・•・2Vc+l+2=3,
3
解得:c二),
4
3
故答案为:-T.
【点睛】本题主要考查了二次函数综合,二次函数与一元二次方程之间的关系,灵活运用所
学知识是解题的关键.
2
13.(2022・山东・日照市田家炳实验中学九年级阶段练习)如图,在抛物线y=-1/上取点
耳(岑,-g),在y轴负半轴上取一个点A,使△。4A为等边三角形,然后在第四象限取抛
物线上的点与,在y轴负半轴上取点4,使△4为4为等边三角形,重复以上的过程,可
得△AgBio0Goe,则A。。的坐标为.
【答案】(0,-5050)
【分析】首先求出4、4的坐标,通过观察得出规律,再根据规律求出4。。的坐标.
【详解】解:根据用的坐标片(弓,-;),设直线。与解析式为尸质,
直线。片的解析式为:y=_3尤,
3
•••AA为等边三角形,B吟一?
.•.04=1,A(o,-i),
vOB{//AB2,又直线4与过点A(°,T),
则直线A与的解析式为:y=一且尤-1,
3
[君I
y=-----x-1
联立抛物线解析式得3,
y=--x2
I3
解得:卜=石(彳>0),
〔产-2
;.耳(6,-2),A4=2,4(0,-3),
同理可得用(之叵,4A3=3,A(0,-6),
当Aoo,A9A00=100>
点4。。纵坐标的绝对值=1+2+3+...+100=5050,
A(x)(O,-5050)
故答案为:(0,-5050)
【点睛】本题考查了二次函数的性质,等边三角形的性质,找到规律是解题的关键.
14.(2022•山东.武城县鲁权屯镇中学九年级阶段练习)平面直角坐标系中,将抛物线y=-尤2
平移得到抛物线C,如图所示,且抛物线C经过点A(-l,0)和3(0,3),点P是抛物线C上
第一象限内一动点,过点尸作x轴的垂线,垂足为。,则。。+尸。的最大值为.
【分析】求得抛物线C的解析式,设。(》,0),则尸(x,-X2+2X+3),即可得出。。+尸。,
根据二次函数的性质即可求得.
【详解】解:设平移后的解析式为y=-/+6x+c,
•.•抛物线C经过点A(-1,0)和3(0,3),
-l-b+c=0b=2
0,解得
c=3c=3
.••抛物线C的解析式为y=-f+2x+3,
设。(x,0),则尸(x,-/+2x+3),
:点P是抛物线C上第一象限内一动点,
OQ+PQ=x+(-X2+2X+3)
=-/+3x+3
/3、221
=—(X-----)H------
24
71
;.0。+尸。的最大值为亍
71
故答案为:—
【点睛】本题考查了二次函数的性质,平移,二次函数图象与几何变换,根据题意得出
OQ+PQ=-X2+3X+3是解题的关键.
15.(2022・广东・测试・编辑教研五一模)如图,抛物线y=-x?+x+6交x轴于A、8两点(A在8
的左侧),交y轴于点C,点。是线段AC的中点,点尸是线段A2上一个动点,AAPD沿DP
折叠得△APD,则线段A'B的最小值是.
【答案】5-痴##-加+5
【分析】先根据抛物线解析式求出点A,B,C坐标,从而得出。4=2,OB=3,OC=6,
再根据勾股定理求出AC的长度,然后根据翻折的性质得出A在以。为圆心,P4为半径的
圆弧上运动,当。,A,8在同一直线上时,&T最小;过点。作。垂足为E,由
中位线定理得出DE,OE的长,然后由勾股定理求出8。,从而得出结论.
【详解】解:令y=o,贝U=-尤2+尤+6=0,
解得玉=-2,x2=3,
.-.A(-2,0),3(3,0),
/.OA=2,OB=3,
令%=0,则y=6,
/.C(6,0),
OC=6,
AC=V22+62=2A/10>
•・•£>为AC中点,
DA=DC=y/lO,
■:xNPD由AAPD沿DP折叠所得,
:.DA=DAr,
,A在以。为圆心,D4为半径的圆弧上运动,
,当。,A',3在同一直线上时,W最小,
过点。作。垂足为E,
AE=OE=1,DE=3,
.\BE=4,
.-.BD=V32+42=5>
X\-DA=DA'=JlO,
BA'=5-A/10,
故答案为:5-&6.
【点睛】本题考查了抛物线与X轴的交点,翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识,
关键是根据抛物线的性质求出A,B,C的坐标.
16.(2021•新疆・乌鲁木齐市第四十四中学九年级阶段练习)如图所示,抛物线>=-丁+法+3
与无轴交于点A和点8,与y轴交于点C,且。4=OC,点M、N是直线x=-l上的两个动点,
且MN=2(点N在点M的上方),则四边形BCNM的周长的最小值是.
【答案】2M+2
【分析】先求出点C的坐标,求出求出点A的坐标即可求出抛物线解析式,从而求出点2
的坐标,取E(0,1),连接AM,EM,AE,可证四边形MNCE是平行四边形,得到CN=ME,
则四边形的周长=2C+CN+NM+2M,再由点A,2关于直线MN对称,得到
则四边形BCMW的周长=BC+NM+AAf+ME,故当A、M,E三点共线时,AM+ME最小,最
小为AE,即此时四边形BCMW的周长最小,据此求解即可.
【详解】解::点C是抛物线>=-炉+陵+3与y轴的交点,
.♦.点C的坐标为(0,3),
OA=OC=3,
...点A的坐标为(-3,0),
••0——9—3b+3,
/?=—2,
•。•抛物线解析式为y=-f-2x+3=-(无+1),4,
抛物线对称轴为直线户-1,
令1=0,贝[|—x2—2x+3=0,
解得x=l或x=-3(舍去),
点2的坐标为(1,0),
取E(0,1),连接AM,EM,AE,
:.CE=ME=2,
又:MN//CE,
:.四边形MNCE是平行四边形,
CN=ME,
:.四边形BCNM的周长=2C+CN+NM+BM,
丁点A,2关于直线MN对称,
:.AM=BM,
:.四边形BCNM的周长=BC+NAf+AM+ME,
...当A、M、E三点共线时,AM+ME最小,最小为AE,即此时四边形BCNM的周长最小,
,•AE--\/l2+32=>/10,BC—>/12+32=y]10>
,四边形BCNM的周长的最小值为a5+VHJ+2=2如+2,
故答案为:2河+2.
【点睛】本题主要考查了二次函数综合,平行四边形的性质与判定,已知两点坐标求两点距
离等等,正确作出辅助线是解题的关键.
三、解答题
17.(2021•新疆・乌鲁木齐市第五十四中学九年级阶段练习)如图,已知直线y=x+3与x轴
交于点A,与y轴交于点8,抛物线y=f2+6x+c经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,
对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D.
备用图
(1)点A的坐标为,点8的坐标为.
⑵①求抛物线的解析式;
②点M是抛物线在第二象限图象上的动点,是否存在点使得△的面积最大?若存
在,请求这个最大值并求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点尸从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为
/秒,当f为何值时,以尸、B,C为顶点的三角形是等腰三角形?直接写出所有符合条件的
"直.
【答案】⑴(-3,0),(0,3);
⑵①y=-尤2-2x+3,②存在,△的面积最大为石27,此时M卜f/3,丁15
⑶当f为3或4士"或4秒时,以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形
【分析】(1)y=x+3,令x=0,则y=3,令y=0,贝!|x=-3,即可求解;
(2)①2的坐标为:(0,3),故c=3,将点A的坐标代入抛物线表达式并解得:b=-2,
即可求解;
②过点M作〃丁轴,交A3于点N,设/(租,一--2帆+3),则N(7〃M+3),求得=
=_2fm+2Y+ZZ,根据二次函数的性质求得最大值,以及机的值,从而求得知的坐标;
2(2)8
(3)根据题意可得尸(-1,47),进而勾股定理分别求得尸C,P2,BC,分PC=PB、8C=PC、
BC=PB,三种情况,分别解方程求解即可.
【详解】(1)解:y=x+3,令尤=0,则y=3,
令y=0,则x=-3,
故点A、3的坐标分别为:(-3,0),(0,3);
故答案为:(-3,0),(0,3);
(2)①3的坐标为:(0,3),
.**c=3
将点A的坐标(-3,0)代入抛物线表达式得:0=-9-36+3,
解得:b=-2,
・・・抛物线的解析式为y=——一2x+3;
②如图,过点“作"N〃丁轴,交A3于点N,
M[m,—m2—2m+3),则N(私i+3)
A/ZV=一m之一2m+3—(m+3)=—m2-3m
,,S«ABM=3MNXI尤B—尤/
"2
22
327
当加=-3时,ZABM取得最大值,为一
2o
此时t?/-2m+3=-(77:+3)(m-1)=-|3-—--1|=—
315
:.M
2'T
(3)令y=-£-2x+3中y=0,贝U—/一2尤+3=-(x-1)(尤+3)=0,
解得:x=l或x=-3,
AC(1,0).
y=—x2-2x+3=(尤+1)~+4,
:.D(-1,4),
.点尸从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为f
秒,
/.P(-1,4-r).
•••8(0,3),C(l,0),
PC2=(-1-1)2+(4-/)2^t2-8t+20,
PB2=(-1)2+(4-Z-3)2=产一2f+2,BC2=12+3?=10.
①当时,
即t2-St+20=t2-2t+2
解得:f=3;
②当8c=PC时,
r-8r+20=10
解得:t=4±y/6;
③当时,
产―2f+2=10
解得:r=4或-2(舍去负值)
综上可知:当f为3或4士卡或4秒时,以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形.
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、面积问题、
两点间的距离公式以及勾股定理等,解题关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、待
定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及勾股定理.
18.(2022・全国•九年级专题练习)如图1,已知抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于点A(-2,0)、
5(3,0),与y轴交于点。(0,4),连接AC、BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点尸是直线3c上方抛物线上一点,过点P作PD〃无轴交于点D,过点尸作
PELBC于点、E,当的周长最大时,求出△PDE的周长最大值及此时点尸的坐标;
2?
【答案】⑴+4
⑵最大值为}呜高
【分析】(1)利用待定系数法即可求得抛物线的解析式;
(2)过点尸作〃:V轴交8C于点H,由题意易得=则有
OC4443
tanZPDE=tanZOBC=—=—,然后可得tanNPO£=——=—,PE=-PD,DE=-PD,
OB3DE355
Qr2c2\
进而可求C,DE=:PH,设「卜,-耳〃+],+4),设直线sc的解析式为:y=kx+b,则有
4
W--/+4),最后根据二次函数的性质可进行求解.
【详解】⑴解::点A(-2,0)、3(3,0)、C(0,4)在抛物线的图像上,
将点A、B、C的坐标代入得:
4a-2b+c=0
<9a+3b+c=0,
c=4
2
a=——
3
2
解得<b=-,
c=4
y=--x2+—x+4;
33
(2)解:如图,过点P作尸轴交BC于点H,
•・•尸。〃X轴,
ZPDE=ZOBC,
OC4
:.tanZPDE=tanZOBC=—=-,
OB3
PF4
tanZPDE=—
DE3
NPED=90。,
43
PE=-PD,DE=-PD,
4312
CpnF=PD+PE+DE=PD+—PD+—PD=——PD,
*DE555
又・・•/DPE+/HPE=90°,
PH43
tanZPD7/=——二—,PD=-PH,
PD34
9
,,C.PDE=^PH,
・••当尸H取最大值时,GPDE取最大值,
设+设直线5c的解析式为:y=kx+b,
将点3、C的坐标代入得:
"+6=0
[6=4'
解得,3,
b=4
4
・・y———x+4,
4
2942
PH=——/+T+4—(——,+4)=——t2+2t,
3333
.••加一|(”|)2+|,
33
•••当f时,PH取得最大值,最大值为:,
22
•••如好的最大值=Q/13=而27,
3????7
将f=±代入至|JP«,—二/+二Z+4)中,得__〃+—/+4=_,
233332
【点睛】本题主要考查二次函数的综合,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
19.(2022.全国•九年级专题练习)己知二次函数图象的顶点坐标为"(1,0),直线y=与
该二次函数的图象交于A,2两点,其中A点的坐标为(3,4),8点在y轴上.
(1)求m的值及这个二次函数的解析式;
⑵在x轴上找一点。,使AQAB的周长最小,求出此时。点坐标;
【答案】⑴加=1,y=(x-l)2;
⑵唱。).
【分析】(1)将A点坐标分别代入抛物线和直线解析式,即可求出根的值及这个二次函数
的解析式;
(2)使AQAB的周长最小,即是求4。+2。的值最小,作8点关于无轴的对称点笈,当A、
。、夕三点在一条直线上时,AQAB的周长最小,求出直线互,的解析式,进而可得。点坐
标.
【详解】(1)解:设抛物线的解析式为y=a(x-1)2,
:点A(3,4)在抛物线上,则4=“(3-1)2,
解得«=1,
;•抛物线的解析式为丫式犬-以,
:点A(3,4)在直线y=x+"上,
4=3+ZH,
解得m=l;
(2)解:V777=1,
...直线解析式为y=x+l,
当x=o时,y=l,即3(0,1),
•••2点关于X轴的对称点夕点的坐标为?(0,-1),
设直线AB'的解析式为、=履+"
(3k+b=4
将A、8'两点坐标代入>=履+万,得<,,,
[b=-\
解得k=-,6=-1,
3
,直线AB,的解析式为y=乎-1,
如图,当A、。、B三点在一条直线上时,4。+2。的值最小,即AQAB的周长最小,。点
为直线AB,与x轴的交点,
当>=0时,即0=g尤一1,
解得x=1,
,。点坐标为(I,。
【点睛】本题是二次函数的综合题,其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式,轴对
称最短路径问题,解题时注意数形结合思想的运用.
20.(2022•全国•九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,抛物线>=gx2+6x+c经过
点4(T,0),点M为抛物线的顶点,点8在>轴上,且。1=03,直线A3与抛物线在第一
象限交于点C(2,6).
(1)求抛物线的解析式;
(2)直线A3的函数解析式为,点M的坐标为,连接OC,若过点。的
直线交线段AC于点尸,将AAOC的面积分成1:2的两部分,则点尸的坐标为;
(3)在y轴上找一点2,使得的周长最小,则点。的坐标为
【答案】(1)y=#+2元
(2)y=x+4;M(-2,-2);尸(一2,2)或(0,4)
⑶w
【分析】(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式,待定系数法求解析式即可求解;
(2)求得线A3的表达式为:y=x+4,依题意。尸将AAOC的面积分成1:2的两部分,则
12
=或进而求得尸的纵坐标,即可求解.
(3)作点A关于>轴的对称点A,连接AM与,轴交于点Q,连接AQ、MQ、AM,根
14
据题意得出点4(4,0),进而待定系数法求得直线AM的表达式为:y=,进而求得
点。的坐标.
【详解】(1)解:将点A、。的坐标代入抛物线表达式,
—xl6-4/?+c=0
2
—x4+2Z?+c=6
2
解得八,
[c=0
故二次函数的表达式为:y=jx2+2x;
(2)点A(-4,0),OB=OA=4,故点2(0,4),
设直线AB的表达式y=k1x+bl,
]-4勺+4=0
L=4
,直线AB的表达式为:y=x+4.
对于y=;V+2无,函数的对称轴为龙=一2,故点M(-2,-2)
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