中考数学几何专项冲刺复习：等腰三角形存在性问题巩固练习（提优）含答案及解析

等腰三角形存在性问题巩固练习

1.直线y=交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y=|x2+bx+c经过点A,交y轴于点8(0,

-2),点尸为抛物线上一个动点，经过点尸作无轴的垂线尸£>,过点B作BOLPZ)于点O,连接尸8,设点

P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当m=l时，求尸£)的长;

(3)是否存在点尸，使△2。尸是等腰直角三角形？若存在，请求线段尸。的长；若不存在，请说明理由.

备用图

2.如图在平面平面直角系中，抛物线丫=加+灰+,(aWO)的图象与轴交于点A(-2,0)、B(4,0),与

轴交于点C(0,4),直线/是抛物线的对称轴，与x轴交于点点尸是直线/上一动点.

(1)求此抛物线的表达式.

(2)当AP+CP的值最小时，求点尸的坐标；再以点A为圆心，AP的长为半径作

QA.求证：8P与。A相切.

(3)点尸在直线/上运动时，是否存在等腰△ACP?若存在，请写出所有符合条件的点尸坐标；若不存在，

3.抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)两点，过点A的直线交抛物线于点C(2,机),

交y轴于点D

(1)求抛物线及直线AC的解析式；

(2)点尸是线段AC上的一动点(点P与点A、C不重合)，过点尸作y轴的平行线交抛物线于点E,求线

段尸£长度的最大值；

(3)点M-3)是抛物线上一点，问在直线AC上是否存在点R使△CMP是等腰直角三角形？如果

存在，请求出点尸的坐标；如果不存在，请说明理由.

4.如图1,在直角梯形A8CZ)中，AB//CD,ZC=90°,AEJ_C。于E,DE=3,A£=4,对角线。8平分

ZADC.

(1)求梯形ABC。的面积；

(2)如图2,一动点尸从。点出发，以2个单位/秒的速度沿折线D4-A8匀速运动，另一动点。从E点

出发，以1个单位/秒的速度沿EC匀速运动，P、。同时出发，当。与C重合时，P、。停止运动，在点尸

的运动过程中，过尸作PM_LOC于在点尸、。的运动过程中，以PM、为两边作矩形PMQV,使

矩形PMQN在直线。C上侧，直线AO右侧，设运动时间为f秒。＞0).在整个运动过程中，设矩形PMQN

和CBD重叠部分的面积为S,请直接写出S与f之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

(3)如图3,动点尸从。点出发，以2个单位/秒的速度沿线段D4运动到A点后，可沿直线AB方向向左

或右匀速运动，过点尸作尸尸〃AD交CB的延长线于G点，交CD于尸点、,在直线A3上是否存在X点，

使得△BG8为等腰直角三角形？若存在，求出对应的①/的值；若不存在，请说明理由.

G

5.如图1直角梯形A8C£>中，ZABC=90°,AB//CD,48=8,CD=3,BC=会在RtAEFG中，ZGEF

=90°,EF=3,GE=6,将△£人?与直角梯形ABCD如图(2)摆放，使E与A重合，EF与A8重合，△

EFG与梯形ABCD在直线AB的同侧，现将△EFG沿射线AB向右以每秒1个单位的速度平移，当点C落

在线段PG上时停止运动，在平移过程中，设△EPG与梯形ABC。的重叠部分面积为S,运动时间为f秒(f

20).

(1)求出GF边经过点D时的时间t；

(2)若在AGEF运动过程中，设AGE尸与梯形ABCZ)的重叠部分面积为S,请写出S与t的函数关系式；

(3)如图3,当点C在线段GP上时，将此时的△EEG沿尸G翻折，得到△8FG,将△加G绕点尸旋转，

在旋转过程中，设直线HG与射线AD交于点M,与射线AB交于点N,是否存在钝角△AMN为等腰三角形？

若存在，求出此时AN的长；若不存在，说明理由.

6.己知抛物线交x轴于点A(-1,0),B(5,0),交y轴于点C(0,5),点D是该抛物线

上一点，且点。的横坐标为4,连80,点P是线段上一动点(不与点A重合)，过P作PQLAB交射

线于点。，以尸。为一边在尸。的右侧作正方形PQMN,设点P的坐标为(t,0).

(1)求抛物线解析式；

(2)若点Q在线段上时，延长尸。与抛物线交于点G,求f为何值时，线段。G最长；

(3)在上是否存在点P,使△OCM为等腰三角形？若存在，求P点坐标，若不存在，请说明理由;

(4)设正方形PQVW与△A3。重叠部分面积为s,求s与f的函数关系式.

7.如图，在平面直角坐标系中，正方形48CD的顶点A(0,4),顶点8(3,0).

(1)求点。，点C的坐标.

(2)求直线8C的解析式.

(3)在直线8C上是否存在点P,使△2(7£)为等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标，若不存在,

说明理由.

8.如图，把矩形0ABe放入平面直角坐标系xOy中，使。4、0c分别落在尤、y轴的正半轴上，对角线AC

所在直线解析式为y=-|x+15,将矩形048c沿着2E折叠，使点A落在边OC上的点。处.

(1)求点E的坐标；

(2)在y轴上是否存在点尸，使△P8E为等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说

明理由.

9.如图，直线L：yi=-x+2与x轴，y轴分别交于A,B两点，点尸(相，3)为直线匕上一点，另一直线

乙2：>2=^X+b经过点P.

(1)求点尸坐标和6的值：

(2)若点C是直线心与无轴的交点，动点。从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，设点

Q的运动时间为f秒.

①请写出当点。运动过程中，△AP。的面积S与t的函数关系式；

②求出f为何值时，△APQ的面积等于3；

③是否存在/的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出/的值；若不存在，请说明理由.

10.如图1,已知抛物线y=af+bx+3QW0)与x轴交于点A(1,0)和点8(-3,0),与y轴交于点C

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的对称轴与无轴交于点M,请问在对称轴上是否存在点尸,使△CMP为等腰三角形？若存在,

请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点。使得△0AC的周长最小？若存在，求出。点的坐标；若不存在,

请说明理由.

11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数＞="2+/ZX+C交x轴于点A(-4,0)、B(2,0),交y轴于点C

(0,6),在y轴上有点E(0,-2),连接AE.

(1)求二次函数的解析式；

(2)若点O为抛物线在无轴负半轴上方的一个动点，设点。的横坐标为〃，△ADE的面积为S,求S关于

机的函数解析式，并写出根的取值范围；

(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有尸点的坐标，若不

存在，请说明理由.

12.如图，在边长为2的正方形A2CD中，G是延长线上的一点，S.DG^AD,动点M从A点出发，

以每秒1个单位的速度沿着A-C-G的路线向G点匀速运动(M不与A,G重合)，设运动时间为/秒，连

接BM并延长AG于N.

（1）是否存在点使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；

（2）当点N在边上时，若BN1.HN,N”交/CZJG的平分线于“，求证：BN=HN；

（3）过点M分别作AB,4。的垂线，垂足分别为E,F,矩形AEME与aACG重叠部分的面积为S,求S

的最大值.

等腰三角形存在性问题巩固练习

1.直线y=交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y=|x2+bx+c经过点A,交y轴于点8(0,

-2),点尸为抛物线上一个动点，经过点尸作无轴的垂线尸£>,过点B作BOLPZ)于点O,连接尸8,设点

P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当”2=1时，求PD的长；

(3)是否存在点P,使是等腰直角三角形？若存在，请求线段PD的长；若不存在，请说明理由.

备用图

【分析】(1)先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；

(2)把机=1代入抛物线的解析式得到P点的纵坐标，于是得到结论；

(3)由为等腰直角三角形，判断出建立机的方程计算出小，从而求出PD

【解答】解：⑴;点C(Q,4)在直线尸一1+〃上，

.'.n=4,

4

.*.y=—x+4,

/3

令y=0，

.•.尤=3,

.".A(3,0),

•.•抛物线yul^+fec+c经过点A,交y轴于点8(0,-2).

；.c=-2,6+3b-2=0,

抛物线解析式为尸fx2-1-2,

⑵当片1时，尸*土2=|2=号

：.PD=2

3

(3)存在点尸，使△8DP是等腰直角三角形，

:点P的横坐标为根，且点P在抛物线上，

.".PCm,-2),

33

轴，BD±PD,

二点。坐标为6”，-2),

/.\BD\=\m\,|PD|=||m2-1m-2+2||,

当△BOP为等腰直角三角形时，PD=BD.

\m\=||m2——-2+2|=||/n2—\ti\,

/.m2=(.-nr--m)2

33

解得：m1=0(舍去)，m2—I，m3—I，

.•.当△2。尸为等腰直角三角形时，线段尸。的长为g或|.

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形

的性质，解本题的关键是构造直角三角形.

2.如图在平面平面直角系中，抛物线y=af+6x+cQW0)的图象与轴交于点A(-2,0)、B(4,0),与

轴交于点C(0,4),直线/是抛物线的对称轴，与x轴交于点点尸是直线/上一动点.

(1)求此抛物线的表达式.

(2)当AP+CP的值最小时，求点P的坐标；再以点A为圆心，AP的长为半径作

OA.求证：与OA相切.

(3)点尸在直线/上运动时，是否存在等腰△ACP?若存在，请写出所有符合条件的点尸坐标；若不存在，

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式：设抛物线的交点式y=a（x+2）（x-4）,然后把C（0,

4）代入得4=-8a,解出。即可；

（2）先求出对称轴为直线x=l,过C作CC'交抛物线与C',则点C与C'为对称点，连AC'交直

线x=l与点P,连PC,此时AP+CP的值最小，C'的坐标为（2,4）；利用待定系数法可求直线

AC的解析式为y=x+2,令x=l,则y=3,确定尸点坐标为（1,3）；连BP,如图，易得PD=3,DA=l

-（-2）=3,20=4-1=3,则△PDB和△尸瓦）都为等腰直角三角形，得到/APB=45°+45°=90°,

根据切线的判定定理即可得到BP与OA相切；

（3）分类讨论：当CP=CA,点P与点A关于y轴对称，则Pi点坐标为（2,0）；当4尸=43=2迷，以A

圆心、AC为半径交直线x=l于B、尸3,连AP2,AP3,利用勾股定理计算出

P2D=VT1,于是可确定p?的坐标为（1,VT1）,23的坐标为（1,-VT1）：当CP=CA=2遮，以。为圆心、

AC为半径交直线x=l于居、尸5,连CP4,CP5,过C作CE，直线x=l于£点，用同样的方法可求出A

的坐标为（1,4+V19）,己的坐标为（1，4-V19）.

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4）,

把C（0,4）代入得4=-8a,解得a=

.,.此抛物线的表达式为y=-之（x+2）（x-4）=—|.V2+A-+4；

（2）抛物线的对称轴为直线.》=--==1,

2x（F

的值最小，AC为定值，则过C作CC'交抛物线与C',则点C与C'为对称点，连AC'交

直线x=l与点尸，连PC,

：.C的坐标为（2,4）,

设直线AC'的解析式为y=kx+6,把A（-2,0）和C'（2,4）代入得-2*+b=0,2*+6=4,解得*=1,

b—2,

直线AC'的解析式为y=x+2,

令x=l,则y=3,

所以尸点坐标为（1,3）：

连BP,如图，

,:PD=3,DA=1-（-2）=3,80=4-1=3,

.♦.△PZ历和△尸瓦）都为等腰直角三角形，

/.ZAPS=450+45°=90°,

•••PB为04的切线；

(3)存在.

当尸C=M,作AC的中垂线交直线x=l于Pi点，PiC=PiA,

设尸1(1,y),

则;/+32=#+(4-y)2,解得y=l,

.\P1(1,1)；

当AP=AC=2愿以A圆心、AC为半径交直线x=l于尸2、尸3，连AB，AP3,

P?D=J(2扃—32=Vil,

；.P2的坐标为(1，VTT),尸3的坐标为(1,一，五)；

当CP=C4=2V^,以C为圆心、AC为半径交直线x=l于尸4、尸5，连CP4，CP5,过C作CEL直线x=l

于E点，

同理可得到尸4的坐标为(1，4+V19),P5的坐标为(1，4-V19).

.,.符合条件的点P坐标为：(1,1)、(1,VTT)、(1,-VT1).(1,4+V19),(1,4-V19).

【点评】本题考查了二次函数的综合题：先利用待定系数法求函数的解析式，然后利用二次函数的性质得

到对称轴方程.同时考查了等腰直角三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用以及切线的判定方法.

3.抛物线y=/+6x+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)两点，过点A的直线交抛物线于点C(2,机)，

交y轴于点D

(1)求抛物线及直线AC的解析式；

(2)点尸是线段AC上的一动点(点P与点A、C不重合)，过点尸作y轴的平行线交抛物线于点E,求线

段PE长度的最大值；

(3)点M(加，-3)是抛物线上一点，问在直线AC上是否存在点R使△CMF是等腰直角三角形？如果

存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由.

【分析】(1)将42的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，

即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式.

(2)PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设尸点的横坐标为x,用x分别表示出尸、E的纵

坐标，即可得到关于尸石的长、尤的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值.

(3)根据点F的不同位置分类讨论.

【解答】解：(1)将A(-1,0),B(3,0)代入yur+bx+c,

得b=-2,c=-3；

-2x-3.

将C点的横坐标x=2代入-2x-3,

得尸-3,：.C(2,-3)；

/.直线AC的函数解析式是-x-1.

(2)设尸点的横坐标为x(-1WXW2),

则P、E的坐标分别为：P(x,-x-1),E(x,f-2x-3)；

;尸点在£点的上方，PE=(-X-1)-(x2-2x-3)=-/+x+2,

.•.当时,PE的最大值=*

(3)①当点/在。点时,

将直线和抛物线的解析式组成方程组：

(y=-X-1

(y=%2—2%—3,

解得：仁/，仁一

.••点C的坐标为(2,-3),

令A=0,y=.r2-2x-3=-3,

的坐标为(0,-3)

由直线的解析式可求点D的坐标为(0.-1)

/.MC=2,MD=3-1=2,

：MC〃y轴，

：.ZCMD=90°,

即△CM。是等腰直角三角形，

当点E的坐标为(-1,0)时，△CM。是等腰直角三角形.

②当E在尸点时，

当点E是顶点坐标时，可得PM=PC,

由抛物线的解析式可得对称轴为x=-1,

解方程组：｛2_i，解得后。

二点P的坐标为(1,-2)

：.PC=MP=Vl2+I2=V2,

又,：MC=2,

:.PC2+PM-=MC-,

由勾股定理的逆定理可得：△PMC为等腰直角三角形.

即△FMC为等腰直角三角形.

二尸点的坐标为(1,-2).

③当F不在尸、。点时，设点尸(x,-.X-1),

则CM=CF=—2尸+(一％-1+3尸=2

即(x-2)2+(-x-3+3)2=4

解得：xi=2+d^,x?=2—V2>

：.F(2+V2,-3-V2)SKF(2-V2,-3+V2).

当k(2+&,-3-V2)时，FM=J8+2V2,

CM-+CF2^MF2,不能构成直角三角形,

同理：当尸（2-a，-3+V2）时，也不能构成直角三角形.

综上所述，存在点尸为（1,-2）或（-1,0）时.使△CMB是等腰直角三角形

【点评】此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定、二次函数的应用，第（3）题应将所有的情况都考

虑到，不要漏解.

4.如图1,在直角梯形ABCZ）中，AB//CD,ZC=90°,AELCD^E,DE=3,A£=4,对角线DB平分

ZADC.

Cl）求梯形ABC。的面积；

（2）如图2,一动点尸从£>点出发，以2个单位/秒的速度沿折线D4-A2匀速运动，另一动点。从E点

出发，以1个单位/秒的速度沿EC匀速运动，P、。同时出发，当。与C重合时，P、。停止运动，在点尸

的运动过程中，过尸作PM_LOC于M,在点P、。的运动过程中，以PM、为两边作矩形PMQN,使

矩形PMQN在直线。C上侧，直线右侧，设运动时间为f秒G>0）.在整个运动过程中，设矩形RWQN

和C8Q重叠部分的面积为S,请直接写出S与f之间的函数关系式和相应的自变量/的取值范围；

（3）如图3,动点尸从。点出发，以2个单位/秒的速度沿线段D4运动到A点后，可沿直线A8方向向左

或右匀速运动，过点P作尸交CB的延长线于G点，交C。于F点，在直线上是否存在H点，

使得△BG8为等腰直角三角形？若存在，求出对应的①/的值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）先根据勾股定理得出的长，再证明是等腰三角形，得出最后利用梯形面

积公式解答即可；

（2）根据AO,AB,EC的长度，以及尸，。的速度分情况讨论，得出函数关系式并结合自变量的范围解答

即可；

(3)根据全等三角形的判定和性质得出△族卬/△尸GC,再利用三角函数求出WF的值后可得28的值，

注意分情况进行分析.

【解答】解：在RtZXADE中，AD=y/DE2+AE2=5,

\'AB//CD,

：./ADB=/CBD,

:①)平分/ADC,

/.ZABD=ZCBD,

：.ZADB=ZCBD,

C.AB—AD=5,

*：AB//CD,ZC=90°,AE_LCD,

・•・四边形A3CE为矩形，

：.CE=AB=5,

；・DC=DE+CE=8,

1

S薪砌BCD=5(4B+CD)-AE=26；

(2)；点P从D点出发,以2个单位/秒的速度沿折线ZM-A8匀速运动，动点。从£点出发，以1个单

位/秒的速度沿EC匀速运动，

所以可得三种情况，当矩形在BD下侧时，函数关系式为:S=-||t2+yt,此时自变量范围是(0W崇；

当矩形在8。上侧，且点P到A点之间时，函数关系式为：S=-芸产+此时自变量的范围是(苒

1002411

<t<|);

当点尸在A3之间，且点E刚到达E点时，期间的函数关系式为：S=—此时自变量的范围

424

是(|<t<5)；

(3)存在，理由如下：

①若/G"=90°,过H作HW_LCD于W,如图1,图2,

，WH=FC=4,WF=CG=FC=4=3,

tanz.GFC-

3

/.BH=WC=WF+CF=7或1；

图4,

:.丛HFWQ4HGB,

：.HW^BH=4,

二8"=募或28.

【点评】此题考查的是函数和四边形的综合题，难度比较大，关键是勾股定理和矩形的判定，注意动点运

动的各种情况，不能漏解.

5.如图1直角梯形ABC。中，ZABC=90°,AB//CD,A2=8,CD=3,BC=§,在Rt△斯G中，ZGEF

=90°,EF=3,GE=6,将△EPG与直角梯形ABC。如图（2）摆放，使E与A重合，所与A3重合，△

EFG与梯形ABCD在直线AB的同侧，现将△EFG沿射线AB向右以每秒1个单位的速度平移，当点C落

在线段PG上时停止运动，在平移过程中，设△所G与梯形ABC。的重叠部分面积为S,运动时间为f秒（f

，0）.

（1）求出G/边经过点D时的时间t-,

（2）若在△GEF运动过程中，设△GEE与梯形ABC。的重叠部分面积为S,请写出S与f的函数关系式；

（3）如图3,当点C在线段GP上时，将此时的△EPG沿BG翻折，得到△HFG,将△加G绕点下旋转，

在旋转过程中，设直线HG与射线AD交于点M,与射线AB交于点N,是否存在钝角△AMN为等腰三角形？

若存在，求出此时AN的长；若不存在，说明理由.

【分析】（1）作垂线构建平行线，想办法求出AE的长，就是f的值；先根据三角函数值求GE的长，再利

用平行线分线段成比例得比例式求切的长，从而可以求即的长，所以AE=AH-EH,得出结论；

⑵分三种情况讨论：①当0＜底当时，如图2,作辅助线，构建高线，重叠部分的面积S=SAAFM-SAAEP，

计算即可；②当当VfW5时，如图3,重叠部分是五边形PENMD.③当5＜名,时，如图4中，重叠部分

是五边形PEBGM,分别求解即可解决问题.

（3）分三种情况进行讨论，分别以A、M.N为顶角构成等腰三角形，要满足钝角三角形的有两种，分别

求出AN的长即可.

【解答】解：（1）如图1中，

•.,四边形DHBC为矩形,

：.AH^AB-8=8-3=5,

在RtZXE/G中，•:EF=3,GE=6,

•:DH"GE,

,DHFH

••—,

GEEF

..•5一=_6,

2FH

・・.哈,

57

：.EH=EF=FH=3--=

44

：,AE=AH-EH=5--=-,

L3

当点O落在线段FG上时t=-4；

(2)①当OWtwU时，如图2,过M作MNLAB于N,过。作DHLAB于H,

4

AENilFB

图2

由MN〃EG,得到现=里=工,

MNEG2

设FN=x,则MN=2x,

■:MN//DH,

,MNAN

••—,

DHAH

.2x3+t—X

"•=-5'

2

・3+t

••X=,

5

由题意得：骂嚏,

・1="

*,5t

•••—，

•*-S=SAAFM-S^AEPf

^AF-MN-l-AE-EP,

=一卡+N4图4

②当时，如图3中，重叠部分是五边形PENMZ),过N作NH_LAB于H,

,:MN〃EG,

,MN_NF

,'EG-EF

.£_FJV

…6-3

'FN/

eoc

ACM=BN=-+(8-r-3)=--t,

44

ic-1-1-126q

「・S=S梯形ABC。-SAAPE-S梯形3cM尸=-*(3+8)----*(8-?-3+--t)9-

zZ2ZZ4N宁+衿看

③当5VWB时，如图4中，重叠部分是五边形尸防GM,

止匕时S=SAEGF~S"MG~SABFG=5X6X3——x—X———X(3+/-8)X2(3+1-8)=-a+10/—

--t2+-t+-(o<t<y)

2055

综上所述5=--t2+-t~—《VW).

4216

-t2+10t--(5<t<T)

16

(3)①当AM=MN时，钝角△AMN为等腰三角形，如图5,

图5

J/MAN=/MNA,

在RtaFHN中，,:FH=3,

tanZMNA=tanZMAN=2

:・NH=6,

：.FN=V62+32=V45=3V5,

；

:,AN=AB+BF+FN=8+-4+3V5=—4+3V5

②当4V=MN时，钝角AAMN为等腰三角形，如图6,

丁，

tanNG=tanZDAB2-

：.ZG=ZDAB,

:・/G=/AMN,

J.AM//FG,

:・/DAB=NNFG,

:,/G=/NFG,

：.GN=FN,

设,FN=x,则NG=%,EN=6-x,

在RtZXNEF中，则勾股定理得：32+(6-x)2=^,

解得：X=g

4

51511

；・

AN=AB+BF-FN=8+442

③当AM=AN时，如图7,不是钝角三角形;

综上所述：当AN=?+3岔或当时，△AMN为钝角等腰三角形.

42

【点评】本题是几何变换的综合题，考查了直角梯形、直角三角形的性质，以△1£人5运动为主，弄清运动

的路径，从△Ef'G运动的特殊位置入手，正确画出图形，并怀相似和三角函数相结合，表示边的长或求出

边的长；对于求重叠部分的面积，也是先分析特殊位置时的重叠部分，再分情况进行讨论，得出结论.

6.已知抛物线＞=加+法+。交x轴于点A(-1,0),B(5,0),交y轴于点C(0,5),点。是该抛物线

上一点，且点。的横坐标为4,连BZ),点尸是线段AB上一动点(不与点A重合)，过尸作PQLAB交射

线于点。，以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMM设点P的坐标为G,0).

(1)求抛物线解析式；

(2)若点Q在线段AD上时，延长尸。与抛物线交于点G,求f为何值时，线段0G最长；

(3)在A8上是否存在点P,使△OCM为等腰三角形？若存在，求尸点坐标，若不存在，请说明理由；

(4)设正方形PQMN与重叠部分面积为s,求s与/的函数关系式.

【分析】(1)抛物线表达式可表示为：(x+1)(x-5),将点C坐标代入上式，即可求解；

(2)直线AD的表达式为：y=x+l,则点G、Q的坐标分别为(x,-f+4x+5)、(x,x+1),则QG=-/+4无+5

-x-l=-(x--)2+-,即可求解；

24

(3)分OC=OM、MC=OM,OC=MC三种情况求解即可；

(4)①当0＜区|时，正方形PQMN与AABD重叠部分为正方形；②当,＜ZW5时，正方形PQMN与/\

48。重叠部分为长方形，即可求解.

【解答】解：(1)抛物线表达式可表示为：y=a(x+1)(x-5),

将点C坐标代入上式得：5=a(+1)(-5),解得：a=-1,

故抛物线的表达式为：y=-(x+1)(x-5)=-/+4x+5；

(2)如下图：

将点。的横坐标代入二次函数表达式得：D(4,5),

将A、D的坐标代入一次函数表达式y=fcr+6得：。二黑；），解得：｛：:；，

则直线AD的表达式为：y=x+l,

设点尸的坐标为（元,0）,则点G、。的坐标分别为（羽-炉+4%+5）、（x,x+1）,

贝ljQG--f+4x+5-x-1=-（x—|）2+y,

故：线段。G最长为彳；

（3）存在，理由：

①当OC=OM时，即：25=（2x+l）2+（x+1）2,解得：了=^^（负值已舍去）；

②当OC=CM时，同理可得：户能出

③当MC=OM时，同理可得：x=总；

故：尸点坐标为（配鲁，0）或（胃空0）或吟，0）；

5510

（4）设：点尸坐标为（/,0）,则点。坐标为（入什1）,点A/、N的坐标分别为（2什1,什1）、（2什1,0）,

①当0＜怎|时，

正方形PQMN与△42。重叠部分为正方形,

则5=尸解=G+1)2=产+2/+1；

②当|VW5时，

正方形PQMN与丛ABD重叠部分为长方形，

同理可得：s=(4-力(r+l)=-P+3/+4,

N+2t+1(0<t<-)

即：s=4,2

-t2+3t+4(|<t<5)

【点评】本题为二次函数综合题，涉及到一次函数、等腰三角形、正方形基本性质等，题目难度不大.

7.如图，在平面直角坐标系中，正方形A8C。的顶点A(0,4),顶点8(3,0).

(1)求点。，点C的坐标.

(2)求直线的解析式.

(3)在直线BC上是否存在点尸，使△PC。为等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标，若不存在,

【分析】(1)过点。、点C作DM、CN垂直于x轴，C”垂直于。M,想办法证明△OHC之△BNC,ABNC

且AAOB即可解决问题;

(2)同(1)的方法求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线8C解析式;

(3)先判断出要使△尸口)是等腰三角形，只有PC=C£>,利用中点坐标公式即可得出结论;

【解答】解：过点。、点C作QM、CN垂直于x轴，CH垂直于。M,

ZDCH+ZBCH=9Q°,

VZHCB+ZBCN=9Q°,

ZDCH^ZBCN,

又•：/DHC=/CNB,

在ADHC和△BNC中,

CB=CD

乙DCH=乙BCN,

/DHC=/-CNB

:.△DHC"£BNC,

:.DH=BN,CH=CN,

同理可证△BNC丝△408,

又：点A(0,4),点B(3,0),

：.CH=CN=OB=3,DH=BN=OA=4,

：.C(7,3),D(4,7).

(2)设直线8C的解析式为y=fcc+b,

将C(7,3)、B(3,0)代入得：g=柒兽

10=3fc+b

(k=-

解得"49，

・••解析式为y=(%—[•

(3)如图3中,

VC(7,3),D(4,7),

：.CD=5

「△PCD为等腰三角形，且NBC£)=90°,

只有PC=CO=5,

当点P在点C左侧时,

•：BC=CD=5,

二点P和点B重合，

：.P(3,0),

当点P在点C右侧时，如图3,

,:PC=5,BC=5,

二点C是点尸的中点，

：.P(11,6).

即：满足条件的点P(3,0)和(11,6).

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，

解本题的关键是作出辅助线求出点C,。坐标，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题.

8.如图，把矩形。48c放入平面直角坐标系xOy中，使。4、OC分别落在无、y轴的正半轴上，对角线AC

所在直线解析式为y=-|龙+15,将矩形0A8C沿着8E折叠，使点A落在边OC上的点。处.

(1)求点E的坐标；

(2)在y轴上是否存在点尸，使△P2E为等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说

明理由.

【分析】(1)由直线解析式求出点A,C的坐标，可由勾股定理求出CD的长，设。E=AE=x,在RtZ\£>£。

中，得出/=3?+(9-x)2,解方程求出AE=5,则点E的坐标可求出；

(2)△PBE为等腰三角形，可分三种情况：PB=BE或PB=EP或BE=EP,分别建立方程求解即可.

【解答】解：⑴所在直线解析式为产一乎+15,

.,.令尤=0,y=15,令y=0.则一1x+15=0,解得尤=9.

AA(9,0),C(0,15),B(9,15),

:将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处.

.,.在Rt/XBCD中，BC=9,BD=AB=15,

・•・CD=yjBD2-BC2=V152-92=12,

：.OD=15-12=3,

设DE=AE=x,

在RtADEO中，*.*DE2=OD^OE1,

.\J^=32+(9-x)2,

•.x=5,

：.AE=5,

：.OE=4,

：.E(4,0).

(2)设尸(0,m),

；B(9,15),E(4,0),

：.PB2=(9-0)2+(15-m)2=〃，-30加+306,BE2=52+152=250,E产=16+〃，，

•.•△尸BE为等腰三角形，

.,.①当时，

：.PB-=BE-,

nr-30^+306=250,

,,.m=2或777=28,

：.P(0,2)或(0,28),

②当PB=E尸时，

:.PB2=EP2,

nr-30777+306=16+〃0，

.29

..m=一，

3

：.P(0,

3

③当8E=£?时，BE?=EP2,

250=16+7772,

/.m=+3V26,

:.P(0,3V26)或(0，-3住)，

综合以上可得，点尸的坐标为(0,2)或(0,28)或(0,y)或(0,3V26)或(0，-3V26).

【点评】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式，折叠的性质,

勾股定理，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

9.如图，直线Li：yi=-x+2与x轴，y轴分别交于A,8两点，点P(%，3)为直线心上一点，另一直线

乙2：yi=|x+Z＞经过点P.

(1)求点尸坐标和6的值:

(2)若点C是直线已与x轴的交点，动点。从点C开始以每秒1个单位的速度向彳轴正方向移动，设点

Q的运动时间为f秒.

①请写出当点。运动过程中，AAPQ的面积S与f的函数关系式；

②求出f为何值时，△APQ的面积等于3；

③是否存在r的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出r的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)点A、8的坐标分别为：(2,0)、(0,2)；点尸(m,3)为直线心上一点，则-m+2=3,解

得：m=-1,故点P(-l,3)；将点尸的坐标代入即可求解；

(2)①5=/°・冲=|(2+7-力=一|什§；②当S=3时，即3=_|什即可求解；③分AP=AQ、AQ

=尸2、A2=尸。三种情况，分别求解即可.

【解答】解：(1)力=-x+2与x轴，y轴分别交于A,8两点，

令x=0,则力=2,令％=0,则x=2,故点A、2的坐标分别为：(2,0)、(0,2)；

点尸3)为直线心上一点，则-m+2=3,解得：加=7,故点P(-l,3)；

将点P的坐标代入yi=^x+b并解得：b=I；

故：点P的坐标为：(T,3),b—1；

(2)①S=之x3|(2+7-t)l=|l-9|,

-|t+y(0<t<9)

即S=〈327

②当S=3时，即3=||「9|,

解得：t=7或11；

③存在，理由：

AP=3五,

当AP=A。时，则4。=3迎，

f=9-3位或9+3近；

当AP=尸。时，

则点。(-4,0),故片3；

当AQ=P。时，设点。Gn,0),

则(2-m')2=(-1-m)2+9,解得：m--1,

故点。(-1,0),则f=6；

综上，r=9-或9+3夜或3或6.

【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，

其中(2)③，要注意分类求解，避免遗漏.

10.如图1,已知抛物线>=加+法+3(aWO)与x轴交于点A(1,0)和点2(-3,0),与y轴交于点C

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的对称轴与％轴交于点M,请问在对称轴上是否存在点尸,使△CMP为等腰三角形？若存在，

请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点。使得4c的周长最小？若存在，求出。点的坐标；若不存在，

请说明理由.

【分析】(1)已知抛物线过A、3两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二

次函数的解析式；

(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的

交点，因此C的坐标为(0,3),根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进行讨论：

①当时，②当时，③当CM=CP时，可分别得出尸的坐标；

(3)根据轴对称-最短路径问题解答.

【解答】解：(1);抛物线>=苏+法+3QW0)与无轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),

.(ci+b+3=0

**l9a-3Z?+3=0，

解得:g：：2-

.•.所求抛物线解析式为：y=-%2-2x+3；

(2)存在,如图1,

•..抛物线解析式为：-2x+3,

,其对称轴为X=y=-1,

PM2=a2,CM?=(-1)2+32,CP2=(-1)2+(3-a)2,

分类讨论：

(1)当PC=PM时，

(-1)2+(3-a)2=cr,解得a=

点坐标为：Pi(-1,|)；

(2)当时，

(-1)2+32=6Z2,解得a=+V10,

.,•尸点坐标为：22(—1，同)或「3(—1，-V10)；

(3)当CM=C尸时，

(-1)2+32=(-1)2+(3-a)2,解得a=6,a=0(舍)，

尸点坐标为:尸4(T，6).

综上所述存在符合条件的点P,其坐标为P(—l,VI6)或P(-l,-同)或P(-1,6)或P(—1,

V

O

B

/~A7

图2

(3)存在，。(-1,2),

理由如下：如图2,点C(0,3)关于对称轴％=-1的对称点C的坐标是(-2,3),连接AC，，直线

AU与对称轴的交点即为点Q.

设直线AC'函数关系式为：y=kx+t(^0).

将点A(1,0),C(-2,3)代入，得9力二°,

(-2k+t=3

所以，直线AC'函数关系式为：y^-x+1.

将工=-1代入，得y=2,即。(-1,2).

【点评】本题主要考查了二次函数的综合知识，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质

和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，要注意的是(2)中，不确

定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解.

11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数〉=办2+区+,交龙轴于点A(-4,0)、B(2,0),交y轴于点C

(