与圆有关的位置关系常考题型（8大热考题型）解析版-2025年中考数学一轮复习知识清单

难点08与圆有关的位置关系常考题型

（8大热考题型）

工叠走4老

题型一：点与圆的位置关系

题型二：确定圆的条件

题型三：三角形的外接圆问题

题型四：直线与圆的位置关系

题型五：切线的证明

题型六：切线的性质

题型七：三角形内切圆问题

题型八：切线长定理

.睛淮堤分

题型一：点与圆的位置关系

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•广东广州•中考真题）如图，：。中，弦A8的长为4•，点C在。上，

ZABC=30°.。所在的平面内有一点尸，若0P=5,则点尸与。，。的位置关系是（）

A.点「在（。上B.点「在,：。内C.点尸在（。外D.无法确定

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解

题关键.由垂径定理可得4。=2右，由圆周角定理可得幺OC=60。，再结合特殊角的正弦值，求出。的半

径，即可得到答案.

【详解】解：如图，令OC与的交点为。，

OC为半径，A8为弦，且OC_LAB,

:.AD=；AB=26

/ABC=30。

:.ZAOC=2ZABC=60°,

在AADO中，ZADO=90°,ZAOD=60°,AD=20

sinZAOD=—,

OA

AD_2y/3_

.Fm=^=,即。的半径为4,

T

OP=5>4,

•••点P在。。外，

故选：c.

c

【变式1-1］（2022.吉林•中考真题）如图，在VABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=4.以点A为圆心，r

为半径作圆，当点C在A内且点8在A外时，，•的值可能是（）

O.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先利用勾股定理可得AC=3,再根据“点C在，A内且点8在/外”可得3<r<5,由此即可得出

答案.

【详解】解：：在VA5C中，ZACB=90°,AB=5,BC=4,

.-.AC=>/AB2-BC2=3>

,点C在（A内且点3在；A外,

/.AC<r<AB,即3<r<5,

观察四个选项可知，只有选项C符合，

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键.

【变式1-2］（2021•上海•中考真题）如图，已知长方形ABCZ）中，AB=4,AD=3,圆B的半径为1,圆A

与圆8内切，则点C，。与圆A的位置关系是（）

A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点。在圆A外

C.点C在圆A上，点。在圆A内D.点C在圆A内，点。在圆A外

【答案】C

【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点。、点E到圆心的距离即可

【详解】

•.•圆A与圆8内切，AB=4,圆8的半径为1

.••圆A的半径为5

,?AD=3<5

二点。在圆A内

在RdABC中，AC=y/AB2+BC2=742+32=5

...点C在圆A上

故选：C

【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键

【变式1-3］（2021•青海・中考真题）点P是非圆上一点，若点尸到。上的点的最小距离是4°〃，最大距离

是9c机，则。的半径是.

【答案】6.5c租或2.5的

【分析】分点尸在。外和内两种情况分析；设，。的半径为九。根，根据圆的性质列一元一次方程并求

解，即可得到答案.

【详解】设，。的半径为龙。机

当点夕在（0外时，根据题意得：4+2x=9

x=2.5cm

当点夕在（。内时，根据题意得：2x=9+4

x=6.5cm

故答案为：6.5c机或2.5cm.

【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解.

【中考模拟即学即练】

1.（2023九年级上•江苏・专题练习）己知。的半径是4,OP=3,则点尸与。的位置关系是（）

A.点尸在圆上B.点尸在圆内C.点P在圆外D.不能确定

【答案】B

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离乱圆的半径为，则当d>厂时，点在圆外；

当d=/"时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可.

【详解】解：V4>3,

.•.点P到圆心的距离小于（。的半径，

.•.点P在圆内，

故选：B.

2.（2024・云南怒江•一模）平面内，。的半径为10cm,若点尸在。内，则OP的长可以是（）

A.8cmB.10cmC.12cmD.14cm

【答案】A

【分析】本题考查了点与圆的位置关系.熟练掌握点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径是解题的关

键.

根据点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径判断作答即可.

【详解】解：：点P在。内，

OP<10,

：.OP的长可以是8cm,

故选：A.

3.（2024・江苏宿迁.模拟预测）已知。的半径为1,点A到圆心。的距离为。，若关于尤的方程f_2x+a=0

不存在实数根，则点A与O的位置关系是（）

A.点A在。。外B.点A在I。上

C.点A在。内D,无法确定

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断。

的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位

置关系的方法是解题的关键.

【详解】解：由题意，WA=Z?2-4ac=4-4a<0,

解得a>\,

：.a>r=l,则点A在。。外，

故选：A.

4.（2024•河北沧州・模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含45度，30度的直角三角板.从

中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点A,B,C,。的说法，正确的是（）

A.甲图四点共圆，乙图四点共圆B.甲图四点共圆，乙图四点不共圆

C.甲图四点不共圆，乙图四点共圆D.甲图四点不共圆，乙图四点不共圆

【答案】C

【分析】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是

解题的关键.甲图中，取AC中点连接DAf,BM,得出。W=A〃=C0,得点。、A、C是以点M

为圆心，A"为半径的圆上，再判断点B在圆M外即可；乙图中，取AC中点N,连接£W,BN,得

DN=AN=CN=BN,即可判断.

【详解】解：如甲图中，取AC中点连接。欣，BM,

：.DM=AM=CM,

，点、D、A、C是以点M为圆心，AAf为半径的圆上，

3cMr为直角三角形，

BM>CM,

.•.点B在圆M外，

甲图四点不共圆；

如乙图中，取AC中点N,连接ON,BN,

---ZADC=ZABC=90°,

：.DN=AN=CN=BN,

...点。、A、C、8是以点N为圆心，AN为半径的圆上，

...乙图四点共圆，

综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆，

故选：C.

5.（2024•浙江•模拟预测）如图，X,Y,Z是某社区的三栋楼，XY=40m,JZ=30m,XZ=50m.若在XZ

中点〃处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m,则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（）

A.X,Y,ZB.X,ZC.Y,ZD.Y

【答案】A

【分析】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到M点的距

离.根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得KW的长,

然后与26m比较大小，即可解答本题.

【详解】解：xy=40m,EZ=30m,XZ=50m.

XY2+K2=XZ2,

.「XAZ是直角三角形，

:.ZXYZ=90°,

:点N是斜边XZ的中点，

:.XM=MZ=25m,

XYZ是直角三角形，YM是斜边XZ的中线，

:.YM=-XZ=25m,

2

26>25,

.・•点x、y、z都在圆内，

这三栋楼都在该5G基站覆盖范围内.

故选:A

6.（2024•河北邯郸•模拟预测）如图，在网格（每个小正方形的边长均为/）中选取9个格点（格线的交点称

为格点），如果以A为圆心，「为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则广的取值范围为（）

A.V17<r<3A/2B.2^<r<V17

C.yfn<r<5D.5<r<>/29

【答案】A

【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与

圆的位置关系，即可得出结论.

【详解】解：给各点标上字母，如图所示.

AC=A£>=V42+12=V17AE=d考=3我，

AF=&2+2?=后,AG=AM=AN=y/42+32=5>

夜时，以A为圆心，『为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内.

故选：A.

7.(2024•浙江绍兴•二模)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点0,A,B,C在格

点(两条网格线的交点叫格点)上，以点。为原点建立直角坐标系.

(1)过A,B,C三点的圆的圆心“坐标为；

(2)请通过计算判断点D(-3,-2)与M的位置关系.

【答案】⑴(1,-2)

⑵。在圆M外

【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定

理得出圆心位置是解答本题的关键.

（1）连接AB,AC,分别作AB,AC的垂直平分线，两直线交于点就是过A,B,C三点的圆的圆

心，由图形可得Af的坐标；

（2）分别求出必）和MB的长度进行比较即可作出判断.

【详解】（1）解：如图，连接AB,AC,分别作AB,AC的垂直平分线，两直线交于点M,

二.M是过A,B,C三点的圆的圆心，

(2)M(l,-2),0(-3,-2),3(0,1),

:.MD=l_(-3)=4,MB=^12+(-2-1)2=>/10,

•・•点。在(M的外部.

题型二：确定圆的条件

【中考母题学方法】

【典例1】（2023•江西・中考真题）如图，点A,B,C,O均在直线/上，点尸在直线/外，则经过其中任意

三个点，最多可画出圆的个数为（）

P・

ABCD

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】D

【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点尸可以画出一个圆，据此列举所有可能

即可求解.

【详解】解：依题意，A,B.A,c.A,D.B,c.B,D,CD加上点尸可以画出一个圆，

...共有6个，

故选:D.

【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键.

【变式2-1］（2023•江苏徐州・中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；

玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之璧；

肉好若一，调之环.”如图1,“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两

（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）.

①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若

②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔.

【答案】⑴32:27

（2）①符合，图见详解；②图见详解

【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；

（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线

所截线段成比例可进行作图.

【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为万'日-仔卜凯；环的“肉”的面积为万X（32-1S）=6.75万，

它们的面积之比为8万:6.75万=32:27；

故答案为32:27；

（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为4、8、C,则分

别以4、2为圆心，大于长为半径画弧,交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线'

线段AB,AC的垂直平分线的交点即为圆心0,过圆心。画一条直径，以。为圆心，内圆半径为半径画弧,

看是否满足“肉好若一”的比例关系即可

X

主视图

由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；

②按照①中作出圆的圆心。，过圆心画一条直径过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径

画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E,连接班，然后分别过点C、。作BE的平行线，交A8于点反

G,进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示：

图3

【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段

成比例是解题的关键.

【中考模拟即学即练】

1.（2023•山东青岛・二模）已知：如图，点P是/ABC的边3c上的一点.

求作：O,使点。在—ABC的角平分线上，且经过8、尸两点.

【答案】见解析

【分析】作/ABC的角平分线交3P的中垂线于一点即为O.

【详解】解：如图所示，点;。为所求:

【点睛】本题主要考查的是角平分线以及中垂线等综合知识，灵活掌握角平分线以及中垂线的作图是解题

的关键.

2.（2024・江西上饶•一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的

圆〃个，则〃的值不可能为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，

③当A、B,C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，

画出图形，即可得出答案.

【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1,此时〃=1,

图2

分别过AB、C或4C、。或A、B、O作圆，共3个圆，即〃=3,

③当A、B、C、O四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时,

分别过A、B、C或AC、。或C、D、A或A、8作圆，共4个圆，即此时〃=4,

即“不能是2,

故选：C.

3.（2023・贵州贵阳•二模）下列四个命题，正确的是（）

①经过三点一定可以画一个圆；

②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；

③三角形的外心一定在三角形的外部；

④三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等.

A.①②B.①④C.②④D.③④

【答案】C

【分析】根据确定圆的条件、三角形的内心和外心的概念判断.

【详解】解：①经过不在同一直线上的三点一定可以画一个圆，故本小题说法错误；

②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，说法正确；

③钝角三角形的外心一定在三角形的外部，直角三角形的外心是斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形

的内部，故本小题说法错误；

④三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等，说法正确；

故选：C.

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握确定圆的条件、三角形的内心和外心的概念是解题的关键.

4.（2024•吉林长春•三模）将边长为2的小正方形A8C。和边长为4的大正方形£打汨如图摆放，使得C、

E两点刚好重合，且8、C、以三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为.

【答案】2君

【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，AB=BC=2,CF=CH=HG=4,取C”的中点。，连接

OF,OG,由勾股定理可得3=0尸=OG=26,可知点。为A、F、G三点所作圆的圆心，进而可得答案.

【详解】解：由题意可知，AB=BC=2,CF=CH=HG=4,

取C”的中点。，则0c=OH=2,03=4,

连接Q4,OF,OG,

由勾股定理可得：OA7AB°+OB。=2石，OF=OG=2非，

：.OA=OF=OG,

即：点。为A、F、G三点所作圆的圆心，

则该圆的半径为2五，

故答案为：2垂!.

5.（2024・上海奉贤.二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型.如图，鱼身外围有一条圆弧形水

道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同.某学习小组想要借助所学的数学知识探索上

海之鱼的大小.

弧形道路

(1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O.(保留作图痕迹)

(2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，

并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离OE为22

米(点。、C、E在同一直线上)，请计算圆弧形水道外侧的半径.

【答案】(1)见解析

(2)圆弧形水道外侧的半径为483米

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图：

(1)如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即

为点。；

(2)如图所示，连接OAOC,OD,由垂径定理可得OC_LAB,OD±AB,AC=』A8=100米，贝ij

2

O、E、C、。四点共线，设Q4=OD=r米，则OC=(r—10)米，由勾股定理得户=(r—lO)?+10()2,解得

厂=505,贝UOE=OD—£>E=505-22=483米.

【详解】(1)解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，

二者的交点即为点O；

(2)解：如图所示，连接。4,OC,OD,

•••C为的中点，点。为圆弧形道路内侧中点,

OC±AB,OD±AB,AC=；AB=100米，

，o、E、a。四点共线，

设Q4=0£)=r米，则OC=(r—10)米，

在RtAOC中，由勾股定理得OA2=OC-+AC2，

：./=(—10)2+10()2,

解得r=505,

OE=8-£)E=505—22=483米.

答：圆弧形水道外侧的半径为483米.

6.(2024・吉林长春・三模)图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、

G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心。(保留适当的作图痕迹)

【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，根据圆周角定理确定两条直径，进而即可求解.

【详解】解：如图所示，

题型三：三角形的外接圆问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2020•河北・中考真题）有一题目：“已知；点。为的外心，ZBOC=130°,求—A.”嘉嘉的

解答为：画2L4BC以及它的外接圆。，连接OB,OC,如图.由N3OC=2/4=130。，得/A=65。.而淇淇

说：“嘉嘉考虑的不周全，/A还应有另一个不同的值."，下列判断正确的是（）

A.淇淇说的对，且NA的另一个值是115。

B.淇淇说的不对，NA就得65°

C.嘉嘉求的结果不对，NA应得50。

D.两人都不对，/A应有3个不同值

【答案】A

【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案.

【详解】解：如图所示：

VZBOC=130°,

二ZA=65°,

ZA还应有另一个不同的值/A，与/A互补.

故/A'=180°—65°=115°.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键.

【变式3-1］（2022•江苏常州•中考真题）如图，VABC是。的内接三角形.若/ABC=45。，AC=四,则

O的半径是.

【答案】1

【分析】连接。4、OC,根据圆周角定理得到/AOC=90。，根据勾股定理计算即可.

【详解】解：连接。4、OC,

/ABC=45°,

/.ZAOC=2ZABC=90°,

222

.\OA+OC=ACf即201=2,

解得：OA=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键.

【变式3-2X2023•内蒙古・中考真题）如图，0是锐角三角形A5C的外接圆，OD,AROE,3c。尸，AC,

垂足分别为。，瓦方，连接DE,EF,FD.若。石+。尸=6.5,△ABC的周长为21,则跖的长为（)

A.8B.4C.3.5D.3

【答案】B

【分析】根据三角形外接圆的性质得出点。、E、尸分别是钻、BC、AC的中点，再由中位线的性质及三角

形的周长求解即可.

【详解】解：：。是锐角三角形A3C的外接圆，AC,

二点。、E、尸分别是Afi、BC、AC的中点，

/.DF=^BC,DE=^AC,EF=^AB,

•/OE+。/=6.5,△ABC的周长为21,

CB+CA+AB=21^2DF+2DE+2EF=2l,

二EF=4,

故选：B.

【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是

解题关键.

【变式3-3］（2023・湖南湘西•中考真题）如图，。是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作

跳，4。于点区点尸为线段防上一动点（点尸不与2,E重合），则+的最小值为

2

【分析】过点「作/力工相，连接CO并延长交48于点孔连接AO,根据等边三角形的性质和圆内接三

角形的性质得到。4=03=4,CF1AB,然后利用含30。角直角三角形的性质得到OE=goA=2,进而求

出3E=BO+EO=6,然后利用。尸+:^^二”+2力43代入求解即可.

【详解】如图所示，过点P作PD_LAB,连接CO并延长交A3于点R连接49

：VA5C是等边三角形，BELAC

：.NABE=NCBE=-NABC=30°

2

•••Q是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4

/.OA=OB=4,CF1AB,

：.ZOBA=ZOAB=30°

：.ZOAE=ZOAB=-ZBAC=30°

2

---BELAC

：.OE=-OA=2

2

BE=BO+EO=6

VPD±AB,ZABE=30°

PD=-PB

2

CP+-BP=CP+PD<CF

2

CP+^BP的最小值为CF的长度

2

：VABC是等边三角形，BELAC,CFLAB

:.CF=BE=6

.•.CP+^BP的最小值为6.

故答案为：6.

【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30。角直角三角形的性质等知识，解题的

关键是熟练掌握以上知识点.

【变式3-4］（2022•广西玉林•中考真题）如图，在5x7网格中，各小正方形边长均为1,点。，A,B,C,

D,E均在格点上，点。是VABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除VABC外把你认为外心也是O

的三角形都写出来.

【答案】AADC,XBDC、4ABD

【分析】先求出AABC的外接圆半径r,再找到距离。点的长度同为r的点，即可求解.

【详解】由网格图可知。点到A、B、C三点的距离均为：炉4=君，

则外接圆半径r=百,

图中D点到。点距离为：712+22=75=r>

图中£点到0点距离为：712+32=V10，

则可知除“BC外把你认为外心也是O的三角形有："DC、AADB、LBDC,

故答案为：AADC,ABDC.

【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出AABC的外接圆半径r是解答本题的关键.

【变式3-5](2023•山东日照•中考真题)在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：

在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论.解决以下问题：

如图1,VABC中，AB=AC,ABAC=a(60。<0<180。).点。是8C边上的一动点(点。不与8,C重

合)，将线段相>绕点A顺时针旋转。到线段AE,连接BE.

(1)求证：A,E,B,。四点共圆；

(2)如图2,当AD=CD时，，。是四边形AE3O的外接圆，求证：AC是；。的切线；

(3)已知a=120。，8C=6,点M是边BC的中点，此时：尸是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点

M距离的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)近

2

【分析】(1)根据旋转的性质得到AE=AD，ZDAE=a,证明4L4E=/C4D,进而证明ABE学ACD,

可以得到NA£B=NADC,由//M>C+NAD3=180。，可得/4£»+/405=180。，即可证明A、2、。、E四

点共圆；

(2)如图所示，连接皈OD,根据等边对等角得到NABC=/ACB=NZMC,由圆周角定理得到

ZAOD=2ZABC=2ZDAC,再由Q4=OD,得到利用三角形内角和定理证明

ZDAC+ZOAD=90°,即/Q4c=90。，由此即可证明AC是()0的切线；

(3)如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F,连接AM,先求出/3=NC=30。，

再由三线合一定理得到即！=CM=g5C=3,AM±BC,解直角三角形求出A5=2百，则

再解Rt5G厂得到5尸=2,贝！)襁=1；由।尸是四边形AEBD的外接圆，可得点尸一定在AB的垂直平分

线上，故当叱LG尸时，9有最小值，据此求解即可.

【详解】(1)证明：由旋转的性质可得AE=AD,ZDAE=a,

：.ZBAC=ZDAE,

：.ZBAC-ZBAD=ZDAE-ZBADf^ZBAE=ZCAD,

AB=AC,

：.AABE^AACD(SAS),

：.ZAEB=ZADC,

9：ZADC-^-ZADB=180°,

：.ZAEB+ZADB=1SO°,

・・・A、B、D、E四点共圆；

(2)证明：如图所示，连接Q4,OD,

VAB=AC,AD=CD,

：.NABC=NACB=ZZMC,

。是四边形的外接圆，

:.ZAOD=2ZABCf

：.ZAOD=2ZABC=2ZDAC,

,:OA=OD,

：.ZOAD=ZODAf

ZOAD+NQDA+ZAOD=180°,

2NDAC+2ZOAD=180°,

・•・ZDAC+ZOAD=90°,即Z.OAC=90°,

A(MlAC,

又・・・Q4是；。的半径，

・•・AC是:。的切线；

EA

B

O

图2

(3)解：如图所示，作线段A3的垂直平分线，分别交AB、3c于G、F,连接AM,

VAB=AC,ABAC=120°,

：.ZB=ZC=30°,

•・,点M是边5C的中点,

BM=CM=—BC=3,AM_LBC,

2

・・・AB=^-=2y/3f

cos5

・•.BG=LAB=6,

2

在Rt5GF中，BF=-------=2,

cos5

：.FM=1,

,/尸是四边形AE3D的外接圆，

.••点P一定在AB的垂直平分线上,

二点尸在直线G尸上，

.•.当MRLGF时，9有最小值，

,/ZPFM=ZBFG=90°-ZB=60°,

.在Rt/WP/中，PM=MF-sinZPFM=—,

2

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外

接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键.

【中考模拟即学即练】

1.（2023•河北秦皇岛•一模）在VA3C中，NB=45,AB=6.甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使

的长唯一，其中正确的是（）

甲：AC=4；

乙：AC=8；

丙：VABC的外接圆半径为4

A.只有甲B.只有乙C.只有丙D.乙和丙

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等，掌握三角形的外接圆与外心是解题的关键.

根据题意画出图形，使/B=45,AB=6,点C在射线8E上，作于点O,根据等腰直角三角形的

性质可得AD的长，再由AD和AC的长作比较即可判断甲乙；由AD和的长，结合该三角形外接圆的半

径长，即可判断该外接圆的圆心可以在的上、下两侧，即可判断丙.

【详解】解：如图，/B=45,AB=6,点C在射线BE上，作于点。,

AD=BD=AB=3-\/2，

2

30>4，

，不存在AC=4的VABC,故甲不符合题意；

AB=6,AD=3A/2，AC=8,

而AC>6,

二存在AC=8的VABC,使得BC的长唯一成立，如上图中的点C即是，故乙符合题意;

AD=3底>4,AB=6<8,

当VABC的外接圆半径为4时，

如图，

c

o/B=45，

:.ZAOC=90°,

AC=40，

4<372<4夜<6<8>

・・・存在两个C使VABC的外接圆半径为4,两个外接圆的圆心分别在48的上、下两侧，故丙不符合题意;

综上所述，只有乙符合题意.

故选：B.

2.（2024•宁夏固原•模拟预测）如图，在已知的VABC中，按以下步骤作图：①分别以3,C为圆心，以大于

|BC长为半径作弧,两弧相交于两点M,N；②作直线"N交AB于点。，连接CO.若CD=仞，ZB=25。,

则下列结论中错误的是（）

A.ZACD=65°B.ZACB=90°

C."40=50。D.点。是VABC的外心

【答案】C

【分析】本题考查的是作图-基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用,

三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故BN=CN,NB=NC,故可得出

NCD4的度数，根据CD=AD可知/DC4=/C4D,故可得出/C4D的度数，进而可得出结论.

【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线，

:.BD=CD,ZB^ZBCD,

4=25。，

:.ZB=ZBCD=25°,

:.ZCDA=250+25°=50°.

CD=AD,

1800-50°

:,ZACD=ZCAD==65。，

2

，A正确，C错误;

CD=AD,BD=CD,

CD=AD=BD,

.••点。为，ABC的外心，故D正确；

ZACD=65°,ABCD=25°,

二.408=65。+25。=90。，故B正确.

故选：C.

3.（2024•浙江宁波.模拟预测）如图，在VABC中，已知BC=4后，cosA=；,。是BC的中点，点。是VABC

的外接圆圆心，则（）

A.2B.拒C.1D.史

2

【答案】C

【分析】本题考查了三角形外接圆，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的应用，连接OBOC,

以为半径作VABC的外接圆，由等腰三角形的性质可得OD，3C,BD=CD=；BC=2收,

ZBOD=ZCOD=-ZBOC,进而由圆周角定理可得/3OD=/A,即得cosNBOD=!，得到O3=3OD,再

23

利用勾股定理得到（300）2=。犷+（20『，解之即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：连接OBOC,以08为半径作VA3C的外接圆，

；。是VABC的外接圆,

OB=OC,

・・・0是5c的中点，BC=g

：.ODLBC,BD=CD=-BC=2y[2,ZBOD=ZCOD=-ZBOC,

22

•：ZBOC=2ZA,

：.ZBOD=ZA,

***cosA——

3f

cos/BOD=—,

3

在Rt50。中，cosZBOD=—,

OB

•・•~2-2-=1一,

OB3

OB=3OD,

---OB2=OD2+BD-,

（3OD）2=OD2+（2A/2）2,

解得OD=1,

故选：C.

4.（2024•河北邯郸・三模）如图，正方形纸片ABCD的中心0刚好是4ABAf的外心，贝（）

A.135°B.125°C.115°D.105°

【答案】A

【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，正方形的性质，根据题意可得A",aC是四点共圆，再利用

圆内接四边形的性质即可求解

【详解】解：如图所示，连接AC,

/II

I■“I/

,/正方形纸片ABC。的中心。刚好是tABM的外心，且。是VABC的外心,

''"A"，B，C是四点共圆，

NACB+/AMB=180°

ZAMB=180°-45°=135°,

故选：A.

5.（2024.山东淄博.二模）如图，在VABC中，Zfi4c=60。，AD13C于点。，且的）=4,则VABC面积的

最小值为

【答案】警

【分析】本题考查了圆周角定理,三角形的外接圆的半径,垂径定理，作VABC的外接圆;。，连接。4,。8,

OC,过点。作OE_L3c于点E,根据圆周角定理可得/3OC=120。，则/O3C=NO。=30。，设。的

半径为厂，则OE=Lo2=《r,BE=3B=',根据。4+OE2AD得出4,求得半径的范围,

22222

进而根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】作VABC的外接圆（。，连接。4,OB,OC,过点。作OEL3c于点E,

za4c=60。，

OB=OC,

NOBC=NOCB=30°,

设。。的半径为r,则OE」OB=L,BE=®OB=3,

2222

••BC="r,

OA.+OE2AD,

r+—r?4,

2

Q

解得：

BC>—,

3

1“人八、1873/1673

s=-BCAD>-x—^—x4=------

°ABC2233

VA5c的面积的最小值为唬叵,

3

故答案为：/

6.（2023•广东湛江•模拟预测）如图，已知VA5C.

（1）用直尺和圆规作VA3C的外接圆。；（不写作法，保留作图痕迹）

⑵若AB=&，NACB=45。，求。的半径.

【答案】（1）图见解析

（2）。的半径为1

【分析】（1）作线段48，3C的垂直平分线交于点O,连接。L以。为圆心，为半径作O即可;

（2）由圆周角定理求出4403=90。，然后利用勾股定理求解即可.

【详解】（1）解：如图，。即为所求.

c

vAB=AB>ZACB=45°,

ZAOB=90。.

在RtAO3中，OJ^+OB2^AB2,

AB=C，

/.OA=OB=1,

Q的半径为1.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是理解题意，

灵活运用所学知识解决问题.

7.（2024.陕西西安•模拟预测）（1）如图1,已知点A为线段BC外一点，连接AB,AC,且/54C=45。，

BC=6,求VABC面积的最大值；

（2）如图2,某城市有一个废旧机车工厂，现在想利用这个废旧机车工厂改造为机车主题公园，其中AP为

原有机车的铁轨，长500m,计划保留放置各种年代的机车头作为网红留念打卡地标.AP两侧为面积相等

的现代与未来两个主题活动区,要求NBAC=120°，点尸为3c的中点，按照设计要求，求出符合条件的NABC

的最大面积.

【答案】(1)VABC面积的最大值为9五+9;(2)VABC面积的最大值为250000届？

【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心、等边三角形性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握外心

性质是解答本题的关键.

(1)以为一条弦作O,且4AC=45。，连接。2、OC,当AD上3c且过点。时，VABC面积最大，

根据已知数据和勾股定理求出最大面积即可；

(2)延长AP到使=连接MC,作二AMC的外接圆O。，连接A。，MO,连接尸。并延长,

交。。于点//,当点C与点H重合时，AMC的面积最大，解直角三角形，求得PH,即可得到最大面积.

【详解】解：(1)如图1,作VABC的外接圆二。，当点A运动到AD上3C时，VABC的高达到最大值，VABC

面积最大，延长AO交BC于点。，

BC=6,

OB=OC=3^2,OD=^BC=3,

,-.SABC=1-BC-AD=1X6X（3A/2+3）=9V2+9.

答：VABC面积的最大值为90+9;

(2)如图2,延长"到使=连接MC,

B

图2

•••点尸为8C的中点，

二BP=CP,

"?ZAPB=NMPC,

：.CPAf(SAS),

=

*'•NBAP=NCMP,■S'AAPC+1^AAPBS/^APC+S4MCP>

・

••uqABC―~°qAMC，

ABAC=120°,

：.ZBAP+APAC=120°,

：.ZCMP+ZPAC=120°,

：.ZACM=60°9作AMC的外接圆,O,

连接AO,MO,连接尸。并延长，交：。于点H,

当点。与点“重合时，AMC的面积最大,

此时ZAHP=-ZAHM=30°,

2

=500®m),

tan30°tan30°

/.AMC面积的最大值=g-AMJH=gx500x2x500/=250000A^(m2),

2

即$ABC最大=2500006(m).

题型四：直线与圆的位置关系

【中考母题学方法】

【典例1】（2022•四川凉山•中考真题）如图，已知半径为5的。M经过x轴上一点C,与y轴交于A、8两

点，连接AM、AC,AC平分/。4〃，AO+CO=6

⑴判断0M与x轴的位置关系，并说明理由；

(2)求AB的长；

⑶连接8M并延长交圆M于点，连接C。，求直线C。的解析式.

【答案】(DOM与无轴相切，理由见解析

(2)6

⑶y=-gx+2

【分析】(1)连接CM,证CMLx即可得出结论；

(2)过点M作脑V_LAB于N,证四边形0cMN是矩形，得MN=0C,0N=0M=5,设AN=_r,则。4=5-X,

MN=OC=6-(5-x)=l+x,利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；

(3)连接BC,CM,过点。作。PLCM于尸，得直角三角形BCD,由(2)知：AB=6,OA=2,0c=4,所

以。8=8,C(4,0),在RMBOC中，ZBOC=90°,由勾股定理，求得BC=45,在RtABCD中，ZBCD=90°,

由勾股定理，即可求得C£>,在RdCPD和在R3MP。中，由勾股定理，求得CP=2,PD=4,从而得出点。

坐标，然后用待定系数法求出直线C。解析式即可.

【详解】(1)解：。”与x轴相切，理由如下：

连接CM,如图，

ZMCA=ZMAC,

〈AC平分NOAM,

・•・ZMAC=ZOACf

：.ZMCA=ZOACf

\uZOAC+ZACO=90°,

：.ZMCO=ZMCA+ZACO=ZOAC+ZACO=90°,

•・・/C是。M的半径，点C在％轴上，

・・・。加与x轴相切；

(2)解：如图，过点M作MNLAB于N,

由(1)知，ZMCO=90°,

9：MNLAB于N,

：.ZMNO=90°,AB=2AN,

又TN00290°,

・•・四边形OCMN是矩形，

：