中考数学几何专项冲刺复习：等腰三角形存在性问题巩固练习（基础）含答案及解析

等腰三角形存在性问题巩固练习

1.如图，在矩形46切中，/6=12皿BC=21cm,点户从点8出发沿6c以2cm/s的速度移动到点C；同时，

点。从点A出发沿AD以lcm/s的速度移动到点D；当点尸运动到点C时点0也随之停止运动，设点尸的运

动时间为fs是否存在点R使△加。是等腰三角形？如果存在，求出所有符合条件的/的值；如果不存在,

请说明理由.

备用图备用图

2.如图，已知抛物线>="2+加+。与x轴交于/(加，0),B(«,0),点力位于点6的右侧，且加，”是一

元二次方程f+2x-3=0的两个根，与y轴交于C(0,3).在抛物线上的对称轴上是否存在点只使得△必C

为等腰直角三角形？若存在，求出点户的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，直线与直线A：>=%相交于点/(20+1,3),且与〉轴交于点6(0,6).

(1)求a的值；

(2)求直线人的函数关系式；

(3)直线/平行于y轴，分别交直线A,lz、x轴于点KN、P,设点户的横坐标为f(f>0,f=4),在〉轴

上是否存在点色使得△刖为等腰直角三角形？若存在，请求出/的值；若不存在，请说明理由.

4.如图，在平面直角坐标系X。中，已知点/(一£0),点C(0,3),点8是x轴上一点(位于点力的右

侧，以为直径的圆恰好经过点o

(1)求证△/。。/△屐后；

(2)已知抛物线y=ax2+6x+3经过/、8两点，求抛物线的解析式；

(3)线段笈上是否存在〃使必为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点。的坐标；若不存

在，请说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(3,1),动点/以每秒1个单位的速度从点。出发沿x轴

正半轴运动，同时动点B以每秒2个单位的速度从点。出发沿y轴正半轴运动，作直线AB.设运动的时间

为/秒，是否存在3使△/回是等腰三角形？若存在，求才的值；若不存在，请说明理由.

6.如图，直线y=7x+7交x轴于点4交了轴于点反

(

1)SAAOB；

(2)第一象限内是否存在点C,使△46C为等腰直角三角形且N/%=90°?若存在，求出C点坐标；若不

存在，请说明理由.

7.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线/i过点4(1,0)且与y轴平行，直线A过点6(0,2)且

与X轴平行，直线乙与乙相交于上点£为直线心上一点，反比例函数＞=£*＞0)的图象过点£且与直线

/i相交于点F.

(1)若点£与点户重合，求人的值；

(2)连接瞅OF、EF,若△麻的面积为△的面积的2倍，求点方的坐标；

(3)当人＞2时，在y轴上是否存在一点G,使△虎是等腰直角三角形？如果存在，求出G点坐标；若不

存在，说明理由.

8.如图，将抛物线＞=步向右平移a个单位长度，顶点为4与〉轴交于点6,且为等腰直角三角形.

(1)求a的值；

(2)在图中的抛物线上是否存在点乙使△26C为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S

AW；若不存在，请说明理由.

9.如图，04、%的长分别是关于x的方程d-12x+32=0的两根，且OA＞OB,点、P在AB上,且加=3用.请

解答下列问题：

(1)求点户的坐标.

(2)求直线的解析式；

（3）在坐标平面内是否存在点0,使得以AP、0、0为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点

。的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图，过点。（0,-2）的抛物线y=af+bx+c的顶点〃坐标为（2,-3）,过点C作/〃x轴交抛物线

于点8点尸在线段宽上，CP=m.

（1）求8点坐标，并用含加的代数式表示阳的长；

（2）点40分别为x轴和抛物线上的动点，若恰好存在以CF为边，点4C,P,0为顶点的平行四边形，

求出所有符合条件的点0坐标；

（3）是否存在机值，使△吹为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的〃z值；若不存在，请说明理由.

11.已知直线Zi：>=|x+5与坐标轴交于4、6两点，直线乙：/=-2x+10与坐标轴交于C、，两点，两直线

交于点P.

（1）求户点坐标；

（2）判别的形状，并说明理由；

（3）在x轴上是否存在点0,使△序0是等腰三角形？若存在，请直接写出0点的坐标.

12.如图，在矩形/优9中，BC=4,。）=3,直线过点4/掰—N加C,点户是直线仞V上的一个动点

（不与点/重合），点£在射线力〃上，满足/PBE=/BDC,设以=x,

（1）如图①，若点户在射线4V上.求线段庞的长（用含x的代数式表示）并直接写出x的取值范围；

（2）如图②.若点尸在射线/〃上，求警的值；

EP

（3）设直线比交直线于点色是否存在x的值，使△孙/为等腰三角形？若存在，直接写出x的值：若

不存在，请说明理由.

等腰三角形存在性问题巩固练习

1.如图，在矩形46切中，/6=12皿BC=21cm,点户从点8出发沿6c以2cm/s的速度移动到点C；同时，

点。从点A出发沿AD以lcm/s的速度移动到点D；当点尸运动到点C时点0也随之停止运动，设点尸的运

动时间为fs是否存在点R使△加。是等腰三角形？如果存在，求出所有符合条件的/的值；如果不存在,

请说明理由.

管用图备用图

【分析】先表示出国，PD,DQ,再分三种情况讨论计算即可.

【解答】解：如图，过点。作。6G

由题意得，AQ=t,PE=BP-BE=BP-AQ=2t-t=t,

：.DQ=2\-t,PC=2\-2t,QE=\2,(0</<—)

2

在Rf△图S'中，

在Rf△也?中，P『(21-202+122,

△加0是等腰三角形，

①当尸0=如时，即：122+/2=(21-202+122,

'.t—1或f=21(舍)；

②当尸0=制时，即：122+?=21-t,

此方程无解，

③当PADQ时,(21-2f)2+122=21-t,

此方程无解.

即：f=7时，△如0是等腰三角形.

【点评】此题是矩形的性质，主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是表

示出如，DQ,PQ.

2.如图，已知抛物线>=0^+加+。与x轴交于/(m,0),B(«,0),点力位于点6的右侧，且加，”是一

元二次方程d+2x-3=0的两个根，与y轴交于C(0,3).在抛物线上的对称轴上是否存在点只使得△必C

为等腰直角三角形？若存在，求出点户的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】解方程求得4和8的坐标，求得对称轴，当/是直角顶点时，求得过4于4C垂直的直线与抛物线

的对称轴的交点，然后判断是否是等腰三角形；同理当。是直角顶点时利用相同的方法判断；当力。是等腰

三角形的底边时，求得力。的中垂线与对称轴的交点，然后判断是否是直角三角形即可.

【解答】解：解方程f+2x-3=0得xi=-3,X2=1,

则/的坐标是（1,0）,6的坐标是（-3,0）.

抛物线的对称轴是％=-1.

设〃'的解析式是尸履+6,则｛泊=°，

解得：4=

则直线4。的解析式是〉=-3x+3.

当A是直角顶点时，过A且垂直于ZC的直线解析式设是y=|x+c,

把/代入得：|+c=0,

解得：c——p

则解析式是y=

令x=-l,则=_|,

22

则交点是（-1,-I）.到4的距离是）一1一1）2+（-箝=粤,AC=V3+I=V10,

3Y33

则三角形不是等腰三角形；

同理，当C时直角时，过，于4C垂直的直线的解析式是y=%+3,与对称轴工=-1的交点是（-1,2）.到

C的距离是］（一1一1尸+©）2=?丰AC,则不是等腰直角三角形；

当一是直角，即/C是斜边时，/C的中点是（；，；）,过这点且与/C垂直的直线的解析式是

2236

当X-—1■时，y——-+-=1.

36

则与对称轴的交点是（-1,1）.则到4的距离是，（一1-1）2+12=花.

（V5）2+（V5）2=（V10）2,

，户的坐标是(-1,1).

【点评】本题考查了二次函数与X轴的交点以及等腰直角三角形的判定，正确进行讨论是关键.

3.如图，直线八与直线加了=%相交于点4(20+1,3),且与〉轴交于点6(0,6).

(1)求。的值；

(2)求直线乙的函数关系式；

(3)直线/平行于)，轴，分别交直线人以x轴于点以N、P,设点户的横坐标为f(f>0,/#4),在/轴

上是否存在点凡使得△成V为等腰直角三角形？若存在，请求出/的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)把点/(2a+l,3)代入>=%,即可求得。的值；

(2)利用待定系数法即可求得直线"的函数关系式；

(3)分别利用/表示出乂”的坐标，可表示出期分/即N/W和/版V为直角三种情况，分别求得厂

点的坐标，表示出鼠FN,分别得到关于根的方程可求得相.

【解答】解：(1)•..直线/z：y=当经过点力(2a+l,3),

.*.3=-(2a+l),

4

解得a-I；

(2)设直线乙的函数关系式y=fcc+6,

,点A(4,3),点B(0,6).

.,4k+b=3

F=6'

解得卜=/

kb=6

直线八的函数关系式y=—1x+6；

(3),:PQt,0)(?>0,?#4),则〃(f,—|什6),N(t,|/),

.,.朋一|一手+6|,

I)当/现归90°且为等腰三角形时，F(0,一斗+6),

4

:.FM=MN,即：/=|一|什6|,

解得：f=看或f=12,

II)同理当/句馆90°且△加为等腰三角形时，F(0,孑)，

:.FN=MN,即：片|一|什6|,

解得：f=装或7=12,

III)当/仞290°且△加为等腰三角形时，F(0,3),

.—+(-Z-3)2,

4

FJ^=f+(-/-3)2,

4

磔=(--/+6)

22,

:.就=周+盘,

：.t2+(V3)2+t2+(V3)2=(一|什6)2,整理可得18=0,解得人费或/=-12(舍去)；

综上可知存在使得A/W为等腰直角三角形的点F,此时t的值为苦或蓑或12.

【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式和等腰三角形的判定、勾股定理等知识点的综合应用.掌

握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，在(3)中利用，表示出FN、9和可得到关于t的方程是解题

的关键，注意分类讨论思想和方程思想的应用.

4.如图，在平面直角坐标系中，已知点"(-京0),点。(0,3),点6是x轴上一点(位于点力的右

侧，以相为直径的圆恰好经过点O

(1)求证△/。。/△屐后；

(2)已知抛物线y=ax2+6x+3经过/、8两点，求抛物线的解析式；

(3)线段丛上是否存在2,使切为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点。的坐标；若不存

在，请说明理由.

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到是直角，再根据相似三角形的判定方法证明即可.

（2）利用三角形相似求出点刀的坐标，然后根据48两点的坐标，重新假设抛物线的解析式，代入点C

坐标求出a即可.

（3）分别以如为底边和腰求出等腰三角形中点〃的坐标.

【解答】（1）证明：二.以亚?为直径的圆恰好经过点G

AZACB=90°,

■:/AOC=/B0C=9Q°,

:"AC8NBCO=90°,/BC8/CB0=9Q",

：.AACO=ACBO,

：.IXMAOCsXCOB.

(2)'：MAOCsMCOB,

:.OG=ASOB,

VA0),点C(0,3),

4

g

：.AO=-,OC=3,

4

又•：CG=ASOB,

：.32=-OB,

4

：.OB=4,

：.B(4,0),

・・,抛物线经过8（4,0）,A（一,0）,可以假设抛物线为（x-4）（x+],把（0,3）代入得〃=一?

17

••y=_y2+谈+3.

(3)①OD=DB,如图:

〃在物的中垂线上，过D作DH10B,垂足是〃，则〃是利中点.

・"⑵1).

②BD=BO,如图:

【点评】本题考查的是二次函数的综合题、圆的有关性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定

和性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

5.如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(3,1),动点/以每秒1个单位的速度从点。出发沿x轴

正半轴运动，同时动点B以每秒2个单位的速度从点。出发沿y轴正半轴运动，作直线AB.设运动的时间

为/秒，是否存在3使△力回是等腰三角形？若存在，求才的值；若不存在，请说明理由.

【分析】运动的时间是〃则的=，0B=2t,利用勾股定理把初，左和〃用/表示出来，然后利用勾股

定理列方程求得t的值，然后判断t是否满足条件，以及是否是等腰三角形即可.

【解答】解：运动的时间是3则0B=2t.

在直角△如6中，A^=O^+O^=f+(2力2=5/,

过C作轴于点D,则〃的坐标是(3,0).

在直角△出力中,初=5+3=1+(3-力2=t2-6f+10,

V=3,⑵-1)2=4/2-4?+10,

当4?是斜边时,而="+初，则5/=f2-6什10+4--4什10,

解得：f=2.

此时力4=20,//=2,初=18,此时不是等腰三角形，故不符合条件；

当4C是斜边时，初=初+初,则/-6什10=5/2+(4?-4r+10),

解得：f=0或-4(不符合题意，舍去)；

当8c是斜边时，A4+A©=BC,则5『+(?-6Z+10)=4?-4/+10,

解得：t=o(舍去)，或1.

当f=l时，/片=5,-6+10=5,止匕时AB=AC.

总之，当，=1时，是等腰直角三角形.

【点评】本题考查了一次函数与勾股定理的综合应用，正确进行讨论，利用m表示出值反"和//是关键.

6.如图，直线y=7x+7交x轴于点4交了轴于点氏

(1)S&AOB；

(2)第一象限内是否存在点C,使△力6c为等腰直角三角形且//%=90°?若存在，求出C点坐标；若不

存在，请说明理由.

【分析】(1)由直线解析式，分别令x与y为。求出y与x的值，确定出/与8坐标，进而求出勿与出的

长，即可求出三角形/如面积；

(2)第一象限内存在点C,使△/魔为等腰直角三角形且乙4窗=90°,理由为：设CG,y)(x>0,y>0),

根据题意得旅=〃，8—初,列出关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定

出C坐标.

【解答】解：(1)对于直线y=7x+7,

令x=0,得到y=7；令y=0,得到x=-l,

：.A(-1,0),B(0,7),即勿=1,OB=1,

则沙•加=夕

(2)第一象限内存在点a使为等腰直角三角形且NZ&=900,理由为：

设C(x,y)(x>0,y>0),

根据题意得：Bd=Ad,B"AG=A以即d；〈；：；；［"i2+72，

解得：｛1I

此时C(3,3).

【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，两点

间的距离公式，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键.

7.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线/i过点/(1,0)且与y轴平行，直线&过点8(0,2)且

与x轴平行，直线心与办相交于R点£为直线上一点，反比例函数>=：(%>0)的图象过点£且与直线

"相交于点尸.

(1)若点£与点尸重合，求人的值；

(2)连接/、OF、EF,若△废尸的面积为△小面积的2倍，求点£的坐标；

(3)当人>2时，在y轴上是否存在一点G,使△限是等腰直角三角形？如果存在，求出G点坐标；若不

存在，说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法即可解决.

(2)分两种情形列方程解决问题：①如图2中，当后在尸右边时，作包Lx轴于也设£(%,2)则41,

2m),②如图3中，当£在尸左边时，作小Lx轴于〃.设£(相，2)则尸(1,2m),

(3)分四种情形①如图4中，当月在户右边时，ZFEG=90°,EF=EG,设6(加，2),则尸(1,2m),②

如图5中，当£在尸右边时，Z67^=90°,FG=FE,作用轴于也设£(加，2),则广(1,2m),③如

图6中，当6在尸左边时，/FEG=90°,EG=EF.设6(加，2),则尸(1,2m),④如图7中，当£在户

左边时，/EFG=9Q°,EF=FG,作倒小为于瓶设£("?,2),则尸(1,2m),利用全等三角形的性质，

列出方程即可解决问题.

【解答】解：(1)如图1中，

图1

由题意产（1,2）,把尸（1,2）代入＞=§得到，左=2,

二人的值为2.

（2）①如图2中，当6在尸右边时，作砌Lc轴于四设£（加，2）则尸（1,2%）,

••SAOEF=S梯形AMEF，

,*,SAEOF=2SMEF,

-1)=2x-x(m-1)(2m-2),

22

••加=3,

此时£(3,2)

②如图3中，当£在月左边时，作豳Lx轴于"设£（加，2）则尸（1,2m）,

(1-m)X(2-2m),

・1

.>m=-：

3

此时£02)

综上所述，当£（3,2）或0，2）时，△戚的面积为△密面积的2倍.

（3）如图4中,

图■»

①当£在尸右边时，4FEG=9G,EF=EG,设£（加，2）,则尸（1,2m）,

"：NEPF=/EBG,EF=EG,ZFEP^ABEG,

：./1FEP^/\EGB,

：.PF=BE,BG=PE,

•\m=2m-2,

・・加=2,

:・BG=PE=3

：.G(0,1).

②如图5中，当£在尸右边时，/GFE=9G,FG=FE,作句人y轴于设£（加，2）,则尸（1,2m）,

由△FP-XFMG,得至lj刀Q阴MG=PE,

/.2m-2=1,

・3

.>m=

2

：.PE^MG=~,BG=~,

22

：.G(0,

2

③如图6中，当£在〃左边时，/FEG=90°,EG=EF.设£（加，2）,则尸（1,2m）,

BG=PE,

:・m=2-2m,

.・.m=i

3

：.BG=PE=2-,OG=4-,

33

•：k>2,此时£0，2）,不符合题意.

ZEFG=90°，EF=FG,作酸L处于"设£（冽，2）,贝U尸（1,2m）,

由△的廷△网>得到"=掰PF=GM,

2-2m—1,

・・i

•m=-2

3

：.BG=PF+FM=

2

1

OG=2

,:k>2,此时£（52）,不符合题意;

综上所述，满足条件的点G左边为（0,1）或（°，N

【点评】本题考查反比例函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解

题的关键是学会利用分割法求三角形的面积，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问

题，属于中考压轴题.

8.如图，将抛物线向右平移4个单位长度，顶点为与y轴交于点8且△/如为等腰直角三角形.

(1)求a的值；

(2)在图中的抛物线上是否存在点C,使△26C为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S

△W；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式了=丁-2办+/,令其x=0找出点6的坐标，根

据△力如为等腰直角三角形即可得出关于。的一元二次方程，解方程即可求出。值；

(2)作点6关于抛物线对称轴对称的点C连接8C,交抛物线的对称轴于点。，根据等腰直角三角形的判

定定理找出△46C为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点6的坐标即可得出点C的坐标，再利用三角

形的面积公式即可求出人.的值.

【解答】解：(1)平移后的抛物线的解析式为y=(x-a)2=7-2ax+a2,

令>=9-2ax+d中x=0,则

：.B(0,a2).

必为等腰直角三角形，

'.a—a,解得：a=l或a=0(舍去).

故。的值为1.

(2)作点方关于抛物线对称轴对称的点C,连接6G交抛物线的对称轴于点2,如图所示.

必为等腰直角三角形，

44切为等腰直角三角形，

AZJS4Z>=45°.

:4?为抛物线的对称轴，

：.AB=AC,ZCAD=ZBAD=45°,

.•.△俶?为等腰直角三角形.

•..点6(0,1),抛物线对称轴为x=l,

，点C的坐标为（2,1）.

^AB*AC=IxV2xV2=1.

故在图中的抛物线上存在点G使△/火为等腰直角三角形，点。的坐标为（2,1）且必耽=1.

【点评】本题考查了平移的性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的

关键是：（1）找出关于。的一元二次方程；（2）找出点C的位置.本题属于中档题，难度不大，解决该题

时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置.

9.如图，04、出的长分别是关于x的方程d-12x+32=0的两根，且物＞出,点尸在4?上，且阳=3%请

解答下列问题：

（1）求点尸的坐标.

（2）求直线熊的解析式；

（3）在坐标平面内是否存在点0,使得以AP、。、。为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点

【分析】（1）首先解12x+32=0,即可求得点/与夕的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线46的解

析式；首先过点户作陶无轴于点〃，由以=3序，利用平行线分线段成比例定理，即可求得力〃的长，则

可求得点尸的横坐标，代入一次函数解析式，即可求得点尸的坐标；

（2）利用（1）的解题结果即可；

（3）分别从尸0〃/。，AQ//PO,//〃制去分析，利用函数解析式与两点间的距离公式即可求得答案.

【解答】解：（1）Vx-12x+32=0,

（x-4）（x-8）=0,

解得：xi=4,X2—8.

・・,力、加的长分别是关于X的方程f-12x+32=0的两根，且以》仍,

.*.04=8,仍=4.

：.A(-8,0),B(0,4).

设直线48的解析式为歹=h+b,则

(—8k+b=0

tb=4

解得：卜=1

5=4

，直线Z8的解析式为：y=1x+4.

过点尸作9x轴于点"

:・AH=|-8-x|=x+8.

・・・加〃歹轴，

,AP_1

••—)

PB3

,AH_1

••=一,

HO3

nnx+81

-x3

解得x=-6.

:点尸在尸$+4上，

.\y=-X(-6)+4=1.

/2

：.P(-6,1).

(2)由(1)知，直线四的解析式为：y=g+4；

(3)存在.

如图①，若PQ//AO,过点0作0入4。于G,过点尸作PH1A0于H,

图①

•••梯形以国是等腰梯形，

：.AH=0G=8-6=2,QG=PH=\,

.,.点0的坐标为(-2,1)；

如图②，若幽〃尸。，

丁帆的解析式为：尸一务，

O

设直线40的解析式为：y=—^x+m,

,6

VJ(-8,0),

1、

—x(-8)+m=0,

6

解得：m=

直线40的解析式为：'=一%-£

设点0的坐标为：(X,

•.・梯形加力0是等腰梯形，

:.PA=OQ,

：.x+(.--x--)2=[-8-(-6)]2+12,

63

整理得：37d+16x-116=0,

即(37x-58)(x+2)=0,

解得：》=段或x=-2(舍去),

・158459

・・V---X-------------=---------，

z637337

・,•点0的坐标为：(景—

二・直线00的解析式为：尸夕，

设点。的坐标为G,%），

•:AQ=OP,

：.（x+8）2+（A）2=12+（-6）2,

2

整理得：5?+64JC+108=0,

即：（5x+54）（x+2）=0,

解得：x=—号或x=-2（舍去），

点0的坐标为（一半

综上，点0的坐标为（-2,1）或—|^）或（—去—

【点评】此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、平行线分线段成比例定理、因式分

解法解一元二次方程以及等腰梯形的性质.此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合

思想的应用.

10.如图，过点C(0,-2)的抛物线y=ad+bx+c的顶点〃坐标为(2,-3),过点C作)〃x轴交抛物线

于点8,点户在线段比'上，CP^m.

(1)求瓦点坐标，并用含加的代数式表示期的长；

(2)点40分别为x轴和抛物线上的动点，若恰好存在以次为边，点4C,P,。为顶点的平行四边形，

求出所有符合条件的点0坐标；

【分析】(1)由。与笈关于抛物线的对称轴x=2对称，C(0,-2),可得6点坐标为(4,-2),那么小

=4,再根据PB=BC-CP可用含m的代数式表示期的长；

(2)分两种情况进行讨论：①当或为一边时，CP//AQ,则点0为抛物线与x轴的交点坐标；②当配为对

角线时，根据平行四边形相对的两个顶点到另一条对角线的距离相等求解；

(3)先由么B、尸三点的坐标，利用两点间的距离公式求出酒=5,川=Cm-2)2+1,再分

三种情况进行讨论：①由仞°=物列出方程(加-2)芬1=5,解方程求出m的值；②由龈=在列出方程(加

-2)~+1=(4-m)2,解方程求出加的值；③由身，=肪列出方程(4-w)-=5,解方程求出机的值.

【解答】解：(1)与6关于抛物线的对称轴x=2对称，C(0,-2),

."点坐标为(4,-2),

,:CP=m,

：.PB=BC-CP=4-m；

(2):抛物线y=ax2+6x+c的顶点〃坐标为(2,-3),

.,.y=a(x-2)2-3,

将C(0,-2)代入，得a(0-2)2-3=-2,

解得a=p

.,.y=[(x-2)2-3,即y=^x2-x-2.

...当y=0时，i(x-2)2-3=0,解得x=2±2^,

.•.抛物线与x轴的交点坐标为(2-2V3,0)或(2+2V3,0).

点尸在线段正上，⑶〃X轴，

当答为一边时，CP//AQ,则点0坐标为(2-2V3,0)或(2+2V3,0)；

所以符合条件的点0坐标坐标为(2-2V3,0)或(2+2V3,0)；

(3)'：M(2,-3),B(4,-2),P(w,-2),

.•.施=(4-2)2+(-2+3)2=5,游=(w-2)2+(-2+3)2=(m-2)2+1,BP=4-m.

当△腐为等腰三角形时，分三种情况：

①如杲MP=MB,那么(m-2)2+1=5,解得如=0,侬=4(不合题意舍去)，

所以m=0；

②如果MP=BP,那么(m-2)2+1=(4-m)2,解得加=二

4

所以m=?；

4

③如果物J物，那么(4-/„)2=5,解得加尸4-6，m2=4+V5(不合题意舍去)，

所以m=4-V5；

【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物

线的性质，平行四边形、等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中.在求有关动点问题时要注意分析题

意分情况讨论结果.

11.已知直线A：产5+5与坐标轴交于4、8两点，直线心：尸-2x+10与坐标轴交于C、，两点，两直线

交于点R

(1)求产点坐标；

(2)判别的形状，并说明理由；

(3)在x轴上是否存在点0,使△身0是等腰三角形？若存在，请直接写出0点的坐标.

【分析】(1)将、=夫+5和夕=-2x+10组成方程组，方程组的解就是交点坐标；

(2)根据系数的积的比为-1,判断出两直线垂直，得到△阳。为直角三角形.

(3)过户作比J_X轴于反少点坐标为(2,0),根据勾股定理求出序的长，直接求出a,a,«,作第

LAP,求出解析式，得到a的坐标.

【解答】解：如图：

(1)将v=ix+5和v=-2x+10组成方程组得卜=)+5,

"2ly=-2x+10

解得｛；鼠，

可得尸(2,6).

(2)尸/+5的比例系数为匕4：y=-2x+10的比例系数为-2,

可得gx(-2)=-1,

AZ^=90°,△阳。为直角三角形.

(3)过P作比_Lx轴于£,

少点坐标为(2,0).

,:P(2,6),A(-10,0),

：.PA=V62+122=6A/5,

可见,(9fl=6V5-10,

a(6V5-io,o),a(-6Vs-io,o),

作GQ.VAP,设微解析式为y=-2x+6,〃坐标为(-4,3),

将〃(-4,3)代入y=-2x+6得，3=-2X(-4)+b,

解得b=-5,

•・y―2JC~5,

当＞=0时，x=——,Qi(——,0),Q(14,0).

【点评】本题考查了一次函数综合题，熟悉函数和方程的关系，充分利用图形，根据一次函数的特点，分

别求出各点的坐标再计算.

12.如图，在矩形AO?中，BC=4,蚌3,直线过点4/掰4N加C,点户是直线上的一个动点

（不与点/重合