中考数学二轮复习题型专练：与圆有关的证明及计算（解析版）

题型十六与圆有关的证明及计算

【要点提炼】

一、【证明切线】

①连半径，证垂直

证明垂直的方法大概分为三个知识点：平行；互余；全等

②做垂直，证半径

证明半径的方法一般是利用全等

二、【圆中的相似】

①常见的相似模型依旧可以在圆中取寻找，例如A型、K型、手拉手模型、X型、母子型、三垂直模

型等

②圆中还有一些比较特殊的模型，如下:

定理一：相交弦得相似一相交线定理

内容：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

【方法指引】：此题由相交弦定理可秒！

①通过同弧所对的圆周角相等可得到一对角相等；②再结合对顶角相等可证

相似。

其中此类题所得到的通式：a・b=c・d可作为结论记忆

定理证明：已知00中，AB、CD为弦，交于P,求证：PA・PB=PC・PD

另：【相交弦定理推论】若AB是直径，CD垂直AB于点P,则PC?=PA・PB

定理二：一条切线和一条割线得相似一弦切角定理

概念：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数

【方法指引】：弦切角顾名思义就是切线与弦的夹角，如例2图中，若连接BC、AC,NPCB即弦切

角，而在该定理中指出，弦切角/PCB等于CB所对的圆周角，例如/PAC、ZBCD；而此等角即可帮

我们推理出母子型相似

即弦切角定理一母子型相似的套路，可作为结论记忆

D

刃割线定理

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中

项(如例1题图：BA=BM•BN)

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等(例1题图，

若连接AN、DM,则可通过相似得出。V・CM=CD・G4)

【方法指引】：此类题如用切割线定理结合弦切角定理可秒，一般已知切线，并应用于求线段长度，

而切割线定理得到的通式a・Z>=c・d或〃=。・。可作为结论记忆

三、【圆中的三角函数】

一般情况下出现三角函数都会作垂线，但圆中出现三角函数时一般不作垂线，可以利用直径所对的

圆周角为直角构造直角三角形。

另外，此类题目中出现三角函数时，我们还会将角转移到与它相等的角上，在一道题目中，一个三

角函数可以在多个角中使用，并且在一个角上也可多次使用

四、【扇形面积及弧长】

2

cnnR1,nnR

S=------=-IK1=-------

3602180

【专题训练】

1.(2020•台州)如图，在△ABC中，ZACB=90°,将△ABC沿直线A2翻折得到△A2。，连接

CD交A8于点E是线段CM上的点，连接8E.尸是的外接圆与的另一个交点，

连接EP,BF.

(1)求证：△3EF是直角三角形；

(2)求证：ABEFs4BCA；

(3)当48=6,8C=机时，在线段CM上存在点E,使得EF和AB互相平分，求力的值.

B

备用图

【解答】(1)证明：t：ZACB=90°,将△ABC沿直线A3翻折得到△4灰),

ZADB=ZACB=90°,

♦：/EFB=NEDB,NEBF=NEDF,

：.NEFB+NEBF=ZEDB+ZEDF=ZADB=90°,

?.ZBEF=90°,

・・・ABE尸是直角三角形.

(2)证明：・：BC=BD,

:・/BDC=/BCD,

♦：NEFB=/EDB,

:./EFB=/BCD,

'：AC=AD,BC=BD,

：.ABLCD,

・・・NAMC=90°,

VZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90°,

：.ZBCD=ZCAB,

：.NBFE=/CAB,

'：ZACB=ZFEB=90°,

:•△BEfsMBCA.

(3)解：设石方交A3于/.连接AE.

•：EF与AB互相平分，

・・・四边形AFBE是平行四边形,

.ZEFA=ZFEB=90°,BPEFLAD,

'：BD±AD.

：.EF//BD,

9

：AJ=JBf

：.AF=DFf

1rn

：.FJ=^BD=y,

:・EF=m,

•・・△ABCs/\CBM,

：.BC：MB=AB：BC,

771,2

：.BM=*,

o

♦：△BEJsABME,

：.BE：BM=BJ：BE,

rn

,•BE=万，

△BEFsLBCA,

tAC_BC

••--,

EFBE

„„V36-m2m

即-------=—,

解得加=2遮（负根己经舍弃）.

2.（2020•温州）如图，C,。为O。上两点，且在直径两侧，连接C£）交A3于点E,G是衣上

一点，ZADC^ZG.

(1)求证：Z1=Z2.

7

(2)点。关于0G的对称点为R连接C?当点尸落在直径上时，CF=10,tanZl=1,求

。。的半径.

【解答】解：(1)・.・NADC=NG,

：.AC=AD,

TAB为。。的直径，

：.BC=BD,

・・・N1=N2；

(2)如图，连接OR

G

U：AC=AD,A3是。。的直径,

C.ABLCD,CE=DE,

：.FD=FC=10,

•・•点C,尸关于0G对称，

：.DC=DF=10f

:・DE=5,

2

Vtan^l=百，

EB=DE・tanZl=2,

•・・N1=N2,

2

tanZ2=耳,

.4Z?_DE_25

29

：.AB=AE+EB=号，

29

・・・。。的半径为了.

4

3.（2020•宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角

称为该三角形第三个内角的遥望角.

（1）如图1,/E是△ABC中/A的遥望角，若NA=a,请用含a的代数式表示/E.

（2）如图2,四边形ABC。内接于。。，AD=BD,四边形ABC。的外角平分线。/交。。于点

F,连接8尸并延长交CD的延长线于点E.求证：N8EC是△ABC中N3AC的遥望角.

（3）如图3,在（2）的条件下，连接AE,AF,若AC是。。的直径.

①求/AED的度数；

②若43=8,CD=5,求△£）跖的面积.

图1图2图3

【解答】解：(1):BE平分/ABC,CE平分NACD,

111

：.NE=ZECD-NEBD='(ZACD-ZABC)==加,

(2)如图1,延长BC到点T,

图1

:四边形FBC。内接于OO,

：.ZFDC+ZFBC=1SO°,

又•；/FDE+/FDC=18。°,

:・NFDE=NFBC,

TO尸平分NA。。

・•・ZADF=ZFDE,

*/ZADF=ZABFf

：.ZABF=/FBC,

・・・5石是NA8C的平分线，

VAD=BD,

：.ZACD=ZBFDf

'：ZBFD+ZBCD=\SO°,NOCT+N5cO=180°,

:.ZDCT=/BFD,

：.ZACD=NDCT,

・・・C£是△ABC的外角平分线，

・・・ZBEC是△ABC中ZBAC的遥望角.

(3)①如图2,连接CR

图2

•・,ZBEC是AABC中ZBAC的遥望角,

:・/BAC=2/BEC,

•：NBFC=NBAC,

：./BFC=2/BEC,

•・・ZBFC=ZBEC+ZFCE,

：.ZBEC=ZFCEf

•：NFCE=NFAD,

:./BEC=/FAD,

又•：/FDE=NFDA,FD=FD,

.,.△FDE^AFDA(A4S),

:.DE=DA,

：.NAED=/DAE,

••,AC是。。的直径，

AZADC=90°,

AZAED+ZDAE=90°,

AZAED=ZDAE=45°,

②如图3,过点A作AGL3E于点G,过点尸作尸MJ_CE于点M,

图3

〈AC是。。的直径，

AZABC=90°,

〈BE平分NA8C,

1

・•・ZFAC=NEBC=/A8C=45。，

VZAEZ)=45°,

・•・ZAED=ZFAC,

•：/FED=/FAD,

ZAED-ZFED=ZFAC-NEW,

・•・ZAEG=ZCAD,

9：ZEGA=ZADC=90°,

.,.△EGA^AADC,

.AEAG

••-9

ACCD

:在Rt"BG中，AB=8,ZABG=45°,

：.AG=^-AB=4企，

在RtZXADE中，AE=&AD,

.42AD4V2

••—,

AC5

.AD4

••—二,

AC5

在RtZXADC中，AD2+Z）C2=AC2,

・••设AD=4x,AC=5x,贝！J有（4x）2+52=（5x）2,

••X-百，

20

：.ED=AD=^-.

35

：.CE=CD+DE=^-f

,:NBEC=NFCE,

：.FC=FE,

*：FMLCE,

135

：.EM=^CE=琶，

:.DM=DE-EM=f,

o

VZFZ）M=45°,

：.FM=DM=l，

o

1?5

：.S^DEF=^DE-FM=芋

4.（2020•杭州）如图，已知AC,80为。。的两条直径，连接AB,BC,OE_LA8于点E,点尸是

半径0C的中点，连接£足

（1）设。。的半径为1,若/BAC=30°,求线段的长.

（2）连接BFDF,设0B与EF交于点、P,

①求证：PE=PF.

②若DF=EF,求/BAC的度数.

【解答】（1）解：-/OE±AB,ZBAC=30°,OA=1,

1[/Q

AZAOE=60°,OE=^0A=J,AE=EB=^OE=^,

VAC是直径，

AZABC=90°,

：.ZC=60°,

•・•OC=OB,

；•AOCB是等边三角形，

•：OF=FC,

：.BFLAC,

：.ZAFB=90°,

•；AE=EB,

：.EF=%8=多

(2)①证明：过点尸作EGJM8于G,交OB于H,连接EH.

•：ZFGA=ZABC=90°,

：.FG//BC,

:.△OFHsAocB,

FHOF1OE1

--=---=一，同理---=一，

BCOC2BC2

：.FH=OE,

•；OE工AB.FH1AB,

：.OE//FH,

・•・四边形。放站是平行四边形，

：.PE=PF.

②:OE//FG//BC,

EGOF

・__1

••一—1,

GBFC

:・EG=GB,

：・EF=FB,

■:DF=EF,

：.DF=BF,

•：DO=OB,

：.FOLBD,

：.ZAOB=90°,

•：OA=OB,

・・・AAOB是等腰直角三角形,

AZBAC=45°.

5.(2020•湖州)如图，已知△ABC是。。的内接三角形，是。。的直径，连接50,平分N

ABD.

(1)求证：ZCAD=ZABC；

(2)若AD=6,求前的长.

ZJ—/

【解答】解：(1);Be平分NAB。,

・•・ZDBC=ZABC,

,：ZCAD=ZDBC,

：.ZCAD=ZABC；

(2)'：ZCAD=ZABCf

:.cb=宿

・・・AO是。。的直径，AD=6f

[1q

CD的长=2x2xnX6=

6.(2019•湖州)已知在平面直角坐标系xOy中，直线/1分别交x轴和y轴于点A(-3,0),B(0,

3).

(1)如图1,已知OP经过点。，且与直线/1相切于点B,求。P的直径长；

(2)如图2,已知直线gy=3x-3分别交x轴和y轴于点C和点。，点Q是直线/2上的一个

动点，以。为圆心，2夜为半径画圆.

①当点。与点C重合时，求证：直线/1与OQ相切；

②设。。与直线相交于M，N两点，连接QM,QN.问：是否存在这样的点。，使得△QMN

是等腰直角三角形，若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

VZBOC=90°,，点尸在BC上,

尸与直线相切于点B,

AZABC=90°,而0A=08,

.'.△ABC为等腰直角三角形，

则。尸的直径长=8C=AB=3或；

(2)过点作CM±AB,

hh

D

图2

由直线/2：y=3x-3得：点C(1,0),

则CM=ACsin45°=4x孝=2V2=圆的半径,

故点M是圆与直线Zi的切点,

即：直线人与O。相切;

(3)如图3,

①当点M、N在两条直线交点的下方时,

由题意得：MQ=NQ,ZMQN=90°,

设点。的坐标为(m,3m-3),则点机+3),

则NQ=m+3-3冽+3=2夜，

解得：3—V2；

②当点M、N在两条直线交点的上方时，

同理可得：m=3+鱼；

故点。的坐标为(3-鱼，6-3V2)或(3+V2,6+3位).

7.(2019•绍兴)在屏幕上有如下内容:

如图，△ABC内接于O。，直径43的长为2,过点C的切线交AB的延长线于点。.张老师要求

添加条件后，编制一道题目，并解答.

(1)在屏幕内容中添加条件/。=30°,求的长.请你解答.

(2)以下是小明、小聪的对话：

小明：我加的条件是8。=1,就可以求出的长

小聪：你这样太简单了，我加的是/A=30°,连接0C,就可以证明△ACB与△£>(%)全等.

参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目(可以添线添字母)，并解答.

【解答】解：(1)连接0C,如图，

为切线，

OCLCD,

：.ZOCD=90°,

VZD=30°,

：.OD=2OC=2,

.•.AZ)=AO+OD=1+2=3；

(2)添加NQCB=30°,求AC的长，

解：：AB为直径，

AZACB=90°,

VZACO+ZOCB=90°,NOCB+NDCB=90°,

ZACO=NDCB,

'：ZACO=ZA,

：.ZA=ZDCB=3Q°,

在RtAACB中，BC=1,

：.AC=V3BC=V3

8.(2019•金华)如图，在回。4BC中，以。为圆心，。4为半径的圆与8C相切于点8,与OC相交

于点D.

(1)求劭的度数.

(2)如图，点E在O。上，连接CE与。。交于点R若斯=AB,求/。CE的度数.

是圆的切线，J.OBLBC,

：四边形OABC是平行四边形,

C.OA//BC,：.OB±OA,

...△AO8是等腰直角三角形，

...NABO=45°,

前的度数为45°；

(2)连接OE,过点。作OHLEC于点X,设EH=f,

OHLEC,

:・EF=2HE=2t,

,/四边形OABC是平行四边形，

：.AB=CO=EF=2t,

・・・AAOB是等腰直角三角形，

OA=V2z,

则HO=VOE2-EH2=V2t2-t2=6

•・•0C=20H,

：.ZOCE=30°.

9.（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O,ODLBC于点O,连接。A.

（1）若NB4C=60°,

①求证：00=为4.

②当。4=1时，求△ABC面积的最大值.

（2）点E在线段。4上，OE=OD,连接DE,设ZACB=nZOED（m,n

是正数），^ZABC<ZACB,求证：根-”+2=0.

【解析】解：（1）①连接。8、OC,

fE

B\D~/C

图1

1

则ZBOD=*NBOC=ZBAC=60°,

：.ZOBC=30°,

11

：.OD=^OB=^OA；

②・・・3。长度为定值，

・・・△A5C面积的最大值，要求5c边上的高最大，

当4。过点。时，AO最大，即：AD=AO+OD=

△ABC面积的最大值=|义BCXAD=1x2OBsin60°xj=季;

ZZZ4

则NA5C=mx,ZACB=nxf

则N8AC=180°-ZABC-ZACB=180°—mx-©=RBOC=NDOC,

'：ZAOC=2ZABC=2mx,

ZA(?£)=ZCOZ)+ZAOC=180°-mx-2mx=180°+nu-nx,

VOE=OD,：.ZAOD=180°-2x,

即：180°+mx-nx=180°-2x,

化简得：m-几+2=0.

10.(2019•温州)如图，在△ABC中，ZSAC=90°,点E在BC边上，且CA=CE,过A,C,E

三点的。。交AB于另一点凡作直径A。，连接。E并延长交4B于点G,连接CDCF.

(1)求证：四边形DCFG是平行四边形.

(2)当BE=4,CD=148时，求。。的直径长.

【解析】(1)证明：连接AE,

VZJ?AC=90°,

，。7是0。的直径，

'：AC=EC,

CFLAE,

是OO的直径，

/.ZAE£>=90°,

即GDYAE,

J.CF//DG,

是OO的直径，

AZACD=90°,

?.ZACD+ZBAC=180°,

J.AB//CD,

四边形DCFG是平行四边形;

(2)解：由CD=^AB,

设CD=3%，A2=8x,

：.CD=FG=3x,

:ZAOF=ZCOD,

：.AF=CD=3x,

BG=Sx-3x-3x=2x,

,:GE〃CF,

.BEBG2

EC~GF~3

•・,5E=4,

，AC=CE=6,

ABC=6+4=10,

：.AB=V102-62=8=8x,

•»x=1,

在RtZXAC/中，AF=3,AC=6,

CF=V32+62=3V5,

即OO的直径长为3

11.(2019•宁波)如图1,OO经过等边△ABC的顶点A,C(圆心。在△ABC内)，分别与A3,

CB的延长线交于点D,E,连接。E,BfUEC交AE于点凡

(1)求证：BD=BE.

(2)当AREF=3：2,AC=6时，求AE的长.

、“AF

(3)设——X,tanXDAE—y.

EF

①求y关于x的函数表达式；

②如图2,连接OROB,若△AEC的面积是△。总面积的10倍，求y的值.

.,.ZBAC=ZC=60°,

,：ZDEB=ZBAC=60°,ZD=ZC=60°,

・•・NDEB=ND,

：.BD=BE；

(2)如图1,过点A作AG_LBC于点G,

•••△ABC是等边三角形，AC=6,

11

：.BG=^BC=^AC=3,

・・・在RtAABG中，AG=V3BG=3V3,

VBF±EC,

：.BF//AG,

.AFBG

••——,

EFEB

VAF：EF=3：2,

2

：.BE=|BG=2,

・•・EG=BE+BG=3+2=5,

在RtAAEG中，AE=y/AG2+EG2=J(3V3)2+52=2V13；

(3)①如图1,过点E作E”，A£)于点”，

...在RtZXB即中，一=sin60°=一,

BE2

：.EH=^BE,BH=^BE,

..BGAF

•——X,

EBEF

BG=xBE,

：.AB=BC=2BG=2xBE,

ii

：.AH=AB+BH=2xBE+^BE=⑵+方）BE,

BE

...在RtZ\AHE中，tanZ£AD=EH_4

丽—（2x+；）BE4x+l

24^+l;

②如图2,过点0作OMLBC于点M,

..BGAF

*.*—=----=X,

EBEF

CG=BG=xBE=ax,

EC=CG+BCh~BE=a+2ctJC,

・11

EM=2EC=-^a+ax,

.1

・・BM=EM-BE=ax--^a,

'JBF//AG,

:.AEBFsAEGA,

.BFBEa1

*AGEGa+ax1+x

VAG=WBG=V3ax,

1\/3ax

BFAG

-=^lx+1

•△0b8的面积=写”J3ax/1、

x'xTT（""—2"），

/.AAEC的面积="芋。=2xV3ax（a+2ax）,

VAA£C的面积是△。尸8的面积的10倍，

1r~1^3dX1

xV3ax(a+2ax)=10x-x-(ax--a),

A2X2-7x+6=0,

解得：%】=2,x2=I，

・・y=f或〒

12.(2019•衢州)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,以AC为直径作。0交8。于点。，过点。作

DE±AB,垂足为E.

(1)求证：。石是。。的切线.

(2)若。回=遍，ZC=30°，求助的长.

【解析】(1)证明：连接OD；

•：OD=OC,

:・/C=/ODC,

VAB=AC,

：.ZB=ZC,

：.ZB=ZODC,

：.OD//AB,

：.ZODE=ZDEB；

iCDELAB,

，NDEB=90°,

：.ZODE=90°,

即DELOD,

・・・。石是。。的切线.

(2)解：连接AD,

〈AC是直径,

?.ZADC=90°,

9：AB=AC,ZC=30°,

AZB=ZC=30°,BD=CD,

：.ZOAD=60°,

U：OA=OD,

・•・△AO。是等边三角形，

AZAOD=60°,

'：DE=V3,N3=30°,NBED=9U°,

JCD=BD=2DE=2V3,

AOD=AD=tan30°・CD=等X2A/3=2,

13.（2018•宁波）如图1,直线/：y=—与x轴交于点A（4,0）,与y轴交于点8,点C是线

段0A上一动点（0<ACV善）.以点A为圆心，AC长为半径作0A交x轴于另一点。，交线段

A2于点E,连接0E并延长交于点?

C

°\\*°\A^\JDx

图1图2备用图

（1）求直线1的函数表达式和tanZBAO的值；

（2）如图2,连接CE,当CE=EF时，

①求证：△OCES/\O£A；

②求点E的坐标；

（3）当点C在线段OA上运动时，求的最大值.

【解析】解：:•直线/：y=与X轴交于点A（4,0）

3

・・・一]x4+Z?=0,

:・b=3,

直线l的函数表达式y=—靠+3,

：.B(0,3),

・\OA=4,03=3,

在RtZkAOB中，tanNBAO=诋=东

(2)①如图2,连接。凡・：CE=EF,

:・/CDE=NFDE,

：.ZCDF=2ZCDE,

•：/0AE=2/CDE,

：・N0AE=N0DF,

,/四边形是OA的圆内接四边形，

：./0EC=/0DF,

：・/OEC=/OAE,

NC0E=/E0A,

.•.△COEsAEOA,

②过点E作EMLOA于M,

由①知，tanNOA8=],

设EM=3m，则AAf=4相，

.\0M=4-4m,AE=5m,

:・E(4-4m,3m),AC=5m,

OC=4-5m,

由①知，ACOE^AEOA,

・OCOE

••—,

OEOA

・・・O序=OA・OC=4(4-5m)=16-20m,

•:E(4-4m,3m),

(4-4m)2+9m2=25m2-32m+16,

25m2-32m+16=16-20m,

.\m=0(舍)或相=/

...52c36

••4-4根=

5236

:・E(——，——)，

2525

(3)如图，设OA的半径为r,过点。作OGLA5于G,

VA(4,0),B(0,3),

AOA=4,05=3,

：.AB=5,

11

：.-ABXOG=^OAXOB,

22

12

・・.OG=^,

・什_OG_124_16

•・AG=tan^OAB=TX3=T'

.".£G=AG-AE=^-r,

连接切，

是OA直径，

：.EH=2r,ZEFH=90°=ZEGO,

'：ZOEG=ZHEF,

:.AOEGsAHEF,

.OEEG

••=,

HEEF

1680128

：.OE・EF=HE・EG=2r(y-r)=-2(r-|)+詈，

14.（2018•台州）如图，△ABC是O。的内接三角形，点D在坑■上，点E在弦AB上（E不与A重

合），且四边形BDCE为菱形.

(1)求证：AC=CE；

(2)求证：BC2-AC2=AB-AC；

(3)已知。。的半径为3.

①若次=］，求BC的长；

Xi3

【解析】解：(1)•••四边形EBDC为菱形,

ZD=NBEC,

:四边形A8DC是圆的内接四边形，

AZA+ZZ)=180o,

XZBEC+ZAEC=180°,

ZA=ZAEC,

：.AC=AE；

(2)以点C为圆心，CE长为半径作OC,与2C交于点R于BC延长线交于点G,则b=CG,

由(1)知AC=CE=CD

：.CF=CG=AC,

:四边形