直线与方程题型归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题9-1直线与方程题型归类

目录

【题型一】直线倾斜角与斜率最值范围..............................................................3

【题型二】绕点旋转动直线........................................................................3

【题型三】含三角函数的圆切线型动直线............................................................4

【题型四】含参双动直线..........................................................................5

【题型五】关于直线对称..........................................................................5

【题型六】直线光学性质..........................................................................6

【题型七】三角形三大线：中线，高，角平分线......................................................6

【题型八】平行线.................................................................................7

【题型九】直线应用1：叠纸......................................................................7

【题型十】直线应用2：直线与曲线交点...........................................................8

【题型十一】直线应用3：直线与函数（切线型）....................................................8

【题型十二】直线应用4：距离公式................................................................9

【题型十三】直线应用5：直线与方程..............................................................9

【题型十四】直线与最值.........................................................................10

真题再现........................................................................................11

模拟检测........................................................................................12

综述

1.斜率公式

⑴若直线/的倾斜角aW90。，则斜率2tana.

（2）Pi（xi，yi）,私（小”）在直线/上，且/老血,贝心的斜率上二B

2.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y-yo=4>-xo)不含直线x=x（）

斜截式不含垂直于X轴的直线

y-yix-xi

两点式不含直线X=X1（X1/X2）和直线y=y\

y2-yix2—xi

截距式壬+{=]不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

一般式Ax+By+C^0(A2+B27^0)平面直角坐标系内的直线都适用

3.几种距离公式

⑴两点尸1(X1，%),22(X2,y2)之间的距离：|P1P2|=1(X2—二)2+&2—力产

|Aro+Byo+C|

(2)点Po(xo，州)到直线I：Ax~i~By~\~C—0的距禺：d—、害+加

⑶两条平行线Ac+By+G=0与Ax+8y+C2=0(其中C1WC2)间的距离：d=

4.两条直线的位置关系

(1)斜截式判断法：

①两条直线平行：对于两条不重合的直线/1、；2：

(i)若其斜率分别为左1、无，则有/i〃bo&=G(ii)当直线小/2不重合且斜率都不存在时，h//h.

②两条直线垂直：(1)如果两条直线小b的斜率存在，设为所、无，则有饱=—1.

(ii)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，Zi±/2.

(2)一般式判断法：设两直线Aix+Biy+G=0与42%+82丫+。2=0，则有：

①/1〃/204&=A2S且4C2WA2Cl；②///2=4的2+8山2=0.

5.直线系方程：

(1)平行线系：与直线Ax+8y+C=0平行的直线方程可设为：Ax+By+m=0(m^C)；

(2)垂直线系：与直线Ar+2y+C=0垂直的直线方程可设为：Bx—Ay+n—0；

(3)交点线系：过4尤+Biy+G=0与Azx+B2y+C2=0的交点的直线可设：Aix+Bij+Ci+2(A2x+B2y+

C2：)=0.

6.直线的对称问题:

(1)点关于线对称：方程组法，设对称后点的坐标为(无，y),根据中点坐标及垂直斜率列方程组；

(2)线关于线对称：①求交点；②已知直线上取一个特殊点，并求其关于直线的对称点；③两点定线

即可.

(3)圆关于线对称：圆心对称，半径不变.

(4)则对称直线必过圆心且与两点所在的弦中垂.

7.对称：

1.关于轴对称问题:

(1)点4(。㈤关于直线4+8y+C=。的对称点4(私办则有,

,a+m

A-----+C=0

2

(2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

2点关于直线对称：

求解点〃(。力)关于直线广质+帆的对称点”(尤,y)的基本方法如下:

①M与连线与直线>=履+"垂直，即TM=-1；

x-a

②MM'中点在直线丁=丘+加上，即空^=6W0+机；

22

_\ka—b+m\\kx-y+m\

③M与M'至U直线y=h+〃，的距离相等，即'.=/；；

收+17^+1

上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点AT坐标.

3.直线关于点对称：

(1方法一：可以取两个点，利用中点坐标公式求出对应点的坐标，再由两点求出直线方程)

(2)方法二：对称直线和原直线是互为平行线，且到点的距离相等，所以可以待定系数法，利用点到直

线距离公式求解(注意会有增根，增根对应的恰好是原直线方程)

4.对称技巧:

如果对称轴所在的直线斜率是土1,即直线是y=±x+b型，可以利用反解对称轴法直接求出对称变换式

子

y=±x0+b

<

x=;yo-b

⑴如果4(%,%)关于直线/：>=x+b的对称点为B,则B的坐标为(%-6,%+6)；

(2汝口果A(x0,%)关于直线l:y=-x+b的对称点为B,则B的坐标为(—%+b,-x0+b).

热点题型归纳

【题型一】直线倾斜角与斜率最值范围

【典例分析】

设直线/：x-ysin0+2=0,则直线的倾斜角的取值范围是()

A.[0,%)B.弓与C.弓寺D.弓,与弓,学)

42444224

【变式演练】

1.已知直线/的方程为xsin(z+百y-1=0,eeR,则直线/的倾斜角范围是()

-2、方5%可、

A.1—37T,71,B.

F、

C.D.H；u

2.已知点尸为曲线天二4x上一动点，A(l,0),5(3,0),则NAPS的最大值为()

A兀7i_n_n

A-6B.—C.一D.—

432

3.已知四边形Q4BC各顶点的坐标分别为。(0,0),42,1),8(1,3),。(-1,2),点。为边Q4的中点，点E在

线段OC上，且ADBE是以角B为顶角的等腰三角形，记直线03的倾斜角分别为a,万，贝U

sin(cr+力)=

A.一4c.3D.i

B.

5-555

【题型二】绕点旋转动直线

【典例分析】

已知定点尸(-2,0)和直线/:(1+34彳+(1+2九)产2+54法r)，则点尸到直线/的距离的最大值为()

A.2A/3B.V10

C.714D.2岳

【变式演练】

1.已知直线(3m-〃)x+5z+2")y-n=0则当相、〃变化时，直线都通过定点

2.下列对动直线(3+〃z)x+4y-3+3〃z=0(机eR)的四种表述不正确的是()

A.与曲线C：/+V=20可能相离，相切，相交

B.恒过定点(-3,3)

C.加=-3时，直线斜率是0

D.加=1时，直线的倾斜角是135。

3.已知。，b,c三个数成等差数列，直线fer-ay+c=0恒过定点A,且A在直线+冲+4=。上，其

17

中则——；+一的最小值为()

m+1n

24

A.-B.-C.2D.4

33

【题型三】含三角函数的圆切线型动直线

【典例分析】

)设直线系M：xcosO+(y—2)sinO=l,0W6W2万，对于下列四个命题：

(1)M中所有直线均经过一个定点；

(2)存在定点P不在"中的任意一条直线上；

(3)对于任意整数“，n>3,存在正〃边形，其所有边均在M中的直线上；

(4)"中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是()

A.(2)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)

【变式演练】

1.直线系4：(x-3)cosa+ysinc=2,直线系A中能组成正三角形的面积等于.

2.设直线系M：xcosO+(y-2)sinO=l(04。42])，则下列命题中是真命题的个数是()

①存在一个圆与所有直线相交；

②存在一个圆与所有直线不相交；

③存在一个圆与所有直线相切；

@M中所有直线均经过一个定点；

⑤不存在定点尸不在M中的任一条直线上；

⑥对于任意整数〃(〃23),存在正〃边形，其所有边均在M中的直线上；

⑦”中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

A.3B.4C.5D.6

3.已知集合S={直线/I*无+2y=l,其中枢”是正常数。«0,2兀)},下列结论中正确的是()

mn

jrri

A.当e=?时，s中直线的斜率为2

B.S中所有直线均经过同一个定点

C.当相之〃时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2〃

D.S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面

【题型四】含参双动直线

【典例分析】

设meR,过定点A的动直线x+my=。和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点尸（x,y）,贝I]|上4卜|依|

的最大值是（）

A.4B.10C.5D.9

【变式演练】

1.设meR,过定点A的动直线X+冲T=°和过定点B的动直线如一y-2m+3=0交于点P（x,y）,则

归H+户口的最大值为（）

A.275B.6C.3D.3亚

2.过定点M的直线以+y-l=0与过定点N的直线x-ay+3a-2=O交于点P,则|PM|+|PN|的最大值为

（）

A.2B.20C.4D.8

3.设meR,过定点A的动直线无+冲=。和过定点8的动直线"a-y+3=0相交于点尸（P与不重

合），则△R4B面积的最大值是（）

A.MB.5C.26D.1

【题型五】关于直线对称

【典例分析】

若曲线y=e・关于直线了=%+根（〃件0）的对称曲线是y=ln（x+a）+6,则:的值为（）

A.2B.-1C.1D.不确定

【变式演练】

1.设函数的图象与＞的图象关于直线丁=-%对称，若，〃?+〃=2020,f（-2m）+/（-2"）=2,

则〃二（）

A.1011B.1009C.-1009D.-1011

2.设函数“X)的图象与＞=2i的图象关于直线，=-%对称，若，“2+〃=2020/(一2'")+/'(-2")=2,

贝!]〃=()

A.1011B.1009C.-1009D.-1011

3.已知直线4：依一y+3=0与直线4关于直线/：%+y—1=0对称，直线，2与直线4：%+3y—1=0垂直,

则。的值为（）

A.—B.—C.3D.—3

33

【题型六】直线光学性质

【典例分析】

在直角坐标系中，已知"(2,1)和直线/:尤-y=。，试在直线/上找一点尸，在x轴上找一点。，使三角形

MPQ的周长最小，最小值为

【变式演练】

1.已知等腰直角三角形三个顶点4(0,0),以2,0)和C(0,2),尸为A8的中点，一质点从点尸出发，经BC,

C4反射后又回到点P(如图)，则△尸火。的周长为()

C.710D.4

2.已知点A(3,0),2(0,3),M(l,0),O为坐标原点，P,。分别在线段AB,30上运动，贝•加尸。的周长的最

小值是()

A.245B.75C.5D.734

3.如图，平面上两点尸(0,1),。(3,6),在直线y=x上取两点使卜立，且使|。叫+|MN|+|N0的

值取最小，则N的坐标为.

【题型七】三角形三大线：中线，高，角平分线

【典例分析】

已知在一ABC中，其中8(1,4),C(6,3),44C的平分线所在的直线方程为了-丁+1=0,则ABC的面积

为()

A.572B.100C.8D.2^/10

【变式演练】

1.若△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2无一y—5=0,AC边上的高友/所在直

线方程为X—2y—5=0,则直线BC的方程为.

2.已知AABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为。（0,2）,斜边上中线CE所在直线方程为

3x+y-7=0,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为.

3.若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1,则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为

【题型八】平行线

【典例分析】

若直线机被两平行线4：》->+1=0与4：尤7+3=0所截得的线段的长为2四，则m的倾斜角可以是①15。,

②30。，③45。，@60°,⑤75。.其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）.

【变式演练】

1.若三条直线4：4x+y=3,：》u+y=0,/3：%-冲=2不能围成三角形，则实数加的取值最多有（）

A.2个B.3个

C.4个D.6个

21

2.已知直线/i：x+2(Q_l)y+l=0；/2：汝+>_2=0,若a,b都是正数，且d，则一;+丁的最小值为

Q+1b

()

29

A.9B.7C.—D.一

34

3.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=Q,已知a,6是方程/+x+c=O的两个实根，且

04c4：,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（

O

A.1,BD.1,显

B.出1

332

【题型九】直线应用1:叠纸

【典例分析】

折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中，。（0,0）,A（2,0）,C（0,l）,

将矩形折叠，使。点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为3则左的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[-1,0]D.[-2,0]

【变式演练】

1.将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点A（0,2）与3（4,0）重合，若此时点。（0,4）恰与点。重合，则点

D的坐标是.

2.将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点（2,0）与点（-2,4）重合，点

（2021,2022）与点重合，则加+〃=（）

A.1B.2023C.4043D.4046

3.已知一张纸上面有半径为4的圆。，在圆。内有一个定点4且。4=2,折叠纸片，使圆上某一点A刚

好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当H取遍圆上所有点时，所有折痕与OA的交

点形成的曲线记为C,则曲线C上的点到圆。上的点的最大距离为.

【题型十】直线应用2：直线与曲线交点

【典例分析】

“、X+1

在平面直角坐标系中，函数/（x）=w或的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为

0,则这条直线必过定点（）

A.J'。］B.C.（-1,-1）D.（1,1）

【变式演练】

1.直线、=尤+。与曲线”=定手有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）

A.网=0B.-l<b<l^b=-42

C.—1<<1D.—yf2<Z?<—1

2.曲线>二”+l（_2〈xW2）与直线、=区-2左+4有两个不同的交点时实数上的范围是（）

纣3,£3"小,+8

A-翁湍B.C.D.

354⑵[4

3.对于任意放置的椭圆，经过椭圆上的任意一点有且仅有一直线与该椭圆有一个交点，则称该直线为椭圆

的切线.椭圆兰+丁=1绕坐标原点逆时针旋转45。后得到的椭圆中最高点与原点的距离为.

4.

【题型十一】直线应用3：直线与函数（切线型）

【典例分析】

2-x1<x<2

已知函数/（元）={1,小、C-，如果函数g（x）=/（x）-/x-l）恰有三个不同的零点，那么实数上的取

-/（2x）0<x<l

值范围是________

【变式演练】

x?+1,-24x41

1.己知函数/（X）=若关于X的方程/（力-6=0有两个解，则实数。的取值范围是

-2/+3x,-24%<0

2.已知/(x)={1,若g(x)=|/(x)|—6ix—a的图象与X轴有3个不同的交点，则实数。的

In-----,0<x<2

x+1

取值范围为.

21T—1,0〈尤V2

3.已知〃尤)是定义在R上的奇函数，当x>0时，〃x)=1,有下列结论:

5/(x-2),x>2

①函数"X)在(-6,-5)上单调递增；

②函数/(X)的图象与直线y=x有且仅有2个不同的交点

③若关于尤的方程4"(x)］2=1的实数根之和为8；

④函数〃尤)的值域为

其中所有正确答案的编号是.

【题型十二】直线应用4：距离公式

［典例分析］______________

己知尤,yeR,贝1JJ(y-l)2+4+"(x-2)2+l+Jd+y2的最小值为()

A.75B.3

C.2小D.6

【变式演练】

1.若不等式-6)2+(a-In6)2训对任意aeR,匕40,讨)恒成立，则实数机的取值范围是(

1五

A.—00,—B.—00,-------C.-co,D.(-«,2]

22

2

贝I(x-»+^x+-

2.已知,I的最小值为()

显

AB,cD.2V2--

-z2-12

【题型十三】直线应用5：直线与方程

【典例分析】

已知Pi(ai,bi)与尸2(。2,历)是直线>=丘+1(%为常数)上两个不同的点，则关于/八aix+biy-1

0和；2：a2x+b2y-1=0的交点情况是()

A.存在七P1,尸2使之无交点

B.存在％,P1,尸2使之有无穷多交点

C.无论上Pl,尸2如何，总是无交点

D.无论鼠P1,尸2如何，总是唯一交点

【变式演练】

/的有向距离分别是4,力.以下命题正确的是（）

A.若dl—d2=0,则直线产产2与直线/平行

B.若办+办=0,则直线PP2与直线/平行

C.若力+4=0,则直线BP2与直线/垂直

D.若力@<0,则直线凸尸2与直线/相交

2.若方程/（x,y）=0表示定直线I,为不在/上的定点，则方程/。,〉）-/（%,%）=。一定是

A.过点M且与直线/相交的直线B.过点M且与直线/平行的直线

C.过点M且与直线/垂直的直线D.以上均不对

3.已知直线/过点（工,%）,倾斜角ae（O,乃），下列方程可以表示直线/的是（

A.y-y0=tana(x-x0)B.cot«(y-y0)=x-x0

.x-xy-y

00D.sincr(j;-x)-cos«(y-y)=0

cosasina00

【题型十四】直线与最值

【典例分析】

已知a>0、人>0,直线（：x+（a-4）y+l=0,4：2bx+y-2=0,且/1，贝1J—+二的最小值为（）

a+\2b

24

24

57

【变式演练】

1.已知。为坐标原点，直线/：、=履+（2-2与上存在一点P,使得|0升=应，则%的取值范围为（）

B.(―8,2—[2++co)

C.[2-73,2+^]D.(-oo,73-2]u[>/3+2,+oo)

2.已知在平面直角坐标系中直线/恒过定点（2,1）.与尤正半轴y正半轴分别相交A、B两点，0为坐标

原点，则aAO5周长的最小值是.

3.已知点M,N分别在直线jx+y=。与直线Lx+y-3=0,且MN口，点尸（一1,一3）,则

|PM+|QM的最小值为（）

A.姮B.V15C.屈D.3百

2

真题再现

1.直线2x+3y-6=0关于点（-1,2）对称的直线方程是（）

A.3x—2y—10=0B.3%—2y—23=0

C.2x+3y-4=0D.2%+3y—2=0

2020年山东省春季高考数学真题

2.已知直线/：y=xsin6+cos。的图像如图所示，则角。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2020年山东省春季高考数学真题

3.己知点O（0,0）,A（-2,0）,B（2,0）.设点尸满足|网-|尸2|=2,且尸为函数尸3,4-。图像上的

点,则|OP|=（）

A.叵B.C.出D.V10

25

2020年浙江省高考数学试卷

4.点（0,-1）到直线y=M无+1）距离的最大值为（）

A.1B.72C.6D.2

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标m）

5.在等腰直角三角形ABC中，AB=4C=4,点P是边上异于A,B的一点，光线从点P出发，经

BC,C4发射后又回到原点P（如图）.若光线QR经过ABC的重心，则曾等于

A.2B.1

C.9D.1

33

全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷）

6.在平面直角坐标系中，记d为点P（cos8,sin。）到直线x-"沙-2=0的距离，当。、变化时，，的最

大值为

A.1B.2

C.3D.4

2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）

7.设点A（-2,3）,B（0,a）,若直线AB关于丫=。对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2=l有公共点，贝lj°的取

值范围是.

2022年新高考全国II卷数学真题

8.已知函数/（》）=卜-1|,玉<0,%>0,函数Ax）的图象在点（玉））和点3卜2，/仇））的两条切线互

相垂直，且分别交y轴于N两点，则取值范围是.

2021年全国新高考II卷数学试题

4

9.在平面直角坐标系xQy中，尸是曲线丁=龙+—（％〉0）上的一个动点，则点尸到直线1+广0的距离的最

小值是.

2019年江苏省高考数学试卷

10.在平面直角坐标系中，设三角形48（7的顶点坐标分别为4（0,4）,33,0）,。90）,点/0,初在线段。4

上（异于端点），设。也GP均为非零实数，直线8RCP分别交于点E,F,一同学已正确算出OE

的方程：=。，请你求OF的方程：.

普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）

H.在平面直角坐标系丫6中，尸为双曲线『-J-=1右支上的一个动点.若点尸到直线'•一J一1二°的

距离大于C恒成立，则实数C的最大值为

全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）

12.设“zwR,过定点A的动直线尤+%>=0和过定点B的动直线加x-y-"?+3=0交于点尸（x,y）,贝！|

1MHp目的最大值是.

全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷）

13.在平面直角坐标系尤Oy中，设定点A（a,a）,P是函数（x>0）图象上一动点.若点P,A之间的

X

最短距离为2夜，则满足条件的实数a的所有值为.

全国普通高等学校招生统一考