中考数学几何图形专项训练：圆圆周角定理（含答案与解析）

圆周角定理（专项培优训练）

试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.44

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合

题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）

1.（2分）（2023•天宁区校级二模）如图，加为。。的直径，弦CD交AB于点、E,BC=BD,/CDB=30°,

2.（2分）（2019秋•宜兴市期中）如图，已知/彳是。。直径，ZAOC^130°,则等于（）

3.（2分）（2020•张家港市模拟）如图，4〃是上的两个点，8c是直径，若/—34°,则/勿。等

A.68°B.58°C.72°D.56°

4.（2分）（2019秋•清江浦区期末）如图，为。。的直径，点C、〃均在。。上，ZABC=58°,则N2

为（）

A.32°B.42°C.29°D.22°

5.（2分）（2022秋•阜宁县期末）如图，46为。。的直径，a，是。。上的两点，N%C=25°,AD^CD,

则/历1C的度数是（）

6.（2分）（2023•姜堰区二模）如图，在。。中，G9为直径，弦,AB〃CD,N40B=40°,连接47,贝!J/54C

等于（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

7.（2分）（2023•惠山区校级三模）如图，加是。。直径，点C,，将窟分成相等的三段弧，点尸在血上.已

知点。在AB上且N4gll5°,则点。所在的弧是（）

D

A.APB.PCC.CDD.DB

8.（2分）（2023•东海县二模）小明用一个破损的量角器按照如图所示的方式测量/质的度数，让//及:

的顶点恰好在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的4C两点.若点/、。对应的刻度分别为55。，

135°,则N/6C的度数为（）

C.145°D.150°

9.（2分）（2021•高新区校级二模）如图，矩形切中，AB=&,BC=9,以〃为圆心，3为半径作。〃

£为。，上一动点，连接以至'为直角边作RtZ\4。；使/应0=90°,tan/4F=工，则点尸与点。

3

的最小距离为（）

A.3V10-1B.377C.377-1D.X/109

10.（2分）（2021秋•常州期中）如图，已知直线为交。。于48两点，熊是。。的直径，点。为。。

上一点，且47平分/用£,过。作切，阳，垂足为〃且膜的=12,。。的直径为20,则46的长等于

A.8B.12C.16D.18

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）

11.（2分）（2023•盐都区三模）如图，点/是。。中优弧曲〃的中点，//劭=70°,。为劣弧初上一点,

12.（2分）（2023・工业园区校级二模）如图，在。。中，弦AB,切相交于点只N窃6=40°,/ABA

30°,则//如的度数为.

13.（2分）（2023•海陵区校级二模）如图，在RtZk/欧中，ZACB=90°,/胡C=30°,47=4,点，是

边47上一动点，连接物，以初为斜边作Rt△及应，使/应斤=30°,/物9=90°,连接磔则△侬

14.（2分）（2023•沛县三模）如图，在。。中，弦AB,切相交于点RZB=35°,/APD=77°,则//

的大小是度.

15.（2分）（2023•武进区一模）如图，正方形极力的边长为2,点£是a7边上一点，以为直径在正

方形内作半圆。，将△女为沿庞翻折，点C刚好落在半圆。的点尸处，则〃的长为

16.（2分）（2021秋•洪泽区校级期中）如图，在扇形力8中，//的=110°,将扇形沿过点8的直

线折叠，点。恰好落在弧相上的点，处，折痕交》于点C则弧4）的度数为.

17.（2分）（2023春•亭湖区校级期末）如图，力6是半径为2的。。的弦，将篇沿着弦A6折叠，正好经

过圆心。，点。是折叠后窟的上一动点，连接并延长8c交。。于点〃点£是切的中点，连接/C,

18.（2分）（2022秋•东台市月考）如图，正方形48⑦的边长是4,户点是笈边的中点，点〃是切边上

的一个动点，以田为直径作。。，连接如'交。。于£点，连接龙，则线段庞的最小值

19.（2分）（2021秋•江阴市校级月考）如图，在矩形切中，AB=8,BC=6,尸为劭上一个动点，以

户为圆心,如长半径作。尸交劭、比'交于G、"两点不重合），半径加的长度范围为

连接掰将劣弧身沿着用翻折交加于点〃，则理=

BP

20.（2分）（2018秋•灌云县期中）如图，△/回中，/掰C=60°,ZABC^45°,46=4,2是线段6c

上的一个动点，以AD为直径作。。分别交AB、AC于E、F,连接EF,则线段EF长度的最小值

三、解答题（本大题共8小题，共60分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21.（6分）（2022秋•海陵区校级期末）如图，点/在y轴正半轴上，点方是第一象限内的一点，以48

为直径的圆交x轴于〃C两点.

（1）勿与勿满足什么条件时，AC=BC,写出满足的条件，并证明/C=6C；

（2）在（1）的条件下，若的=1,BD=3&，求切长.

22.(6分)(2022秋•太仓市期末)如图，。。的直径48=5,弦/C=4,连接比；以C为圆心，BC长为

半径画弧与。。交于点〃连接/ABD,初与/C交于点反

(1)请直接写出图中与NG48相等的所有角

(2)求47的长.

23.(8分)(2022秋•姑苏区校级期中)如图，46是。。的直径，弦CDLAB,垂足为£,"为弧〃'上一动

点，AK,%的延长线相交于点凡连接曲KD.

(1)求证：/AKD=/CKF；

(2)已知26=8,切=4愿，求NC7的的大小.

24.(8分)(2023•苏州模拟)如图，已知四是。。的直径，点〃点C均在。。上，连接加交于点2

N/=45°,tanNODE=3.

4

(1)若如=4,求方的长；

S,

(2)若记△〃史的面积为&,△/位的面积为S,求」的值.

S2

25.（8分）（2020•海陵区校级三模）如图，然为。。的直径，点。在。。上，过点。作。。切线必交物

的延长线于点D,过点。作如〃ZC交切线2c于点E,交比'于点F.

(1)求证：/B=NE；

(2)若48=10,COS6=4,求厮的长.

5

26.（8分）（2023•姜堰区二模）如图，△/回是。。的内接三角形，点小£分别在直径46、弦“'上，

点尸在线段龙的延长线上，连接6F.

（1）请从下列三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由.

®DE±AB；②CF=EF；③6F是。。的切线；

你选择的补充条件是,结论是;（填写序号）

（2）在（1）的条件下，若庞=10,EF=\3,tanB=--求。。的半径.

5

F

27.（8分）（2022秋•灌南县校级月考）已知。。的直径为10,点4点A点，在。。上，NC46的平分

线交。。于点〃

（1）如图①，若8c为。。的直径，AB=6,求〃；BD、切的长;

28.（8分）（2022秋•江都区月考）在。。中，然为直径，点，为圆上一点，将劣弧沿弦4c翻折交/方于

点D,连接CD.

(1)如图1,若点，与圆心。重合，力。=3,求。。的半径

(2)如图2,若点〃与圆心。不重合，/胡。=26°,请直接写出/小4的度数是,

(3)如图2,若点，与圆心。不重合，劭=5,AQ7,求/C的长.

圆周角定理（专项培优训练）

试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.44

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合

题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）

1.（2分）（2023•天宁区校级二模）如图，A6为。。的直径，弦CD交AB于点、E,BC=BD,NCDB=30°,

则OE=（）

A.近

B.M

解：；AB为。。的直径,BC=BD,

BC=BD,

AAB±CD,

VZBAC=ZCDB=30°,AC=2近,

.*.AE=AC・cos/BAC=3,

VAB为。。的直径，

AZACB=9O°,

/.AB=COSZBAC=4,

AOA=2,

/.OE=AE-OA=1.

故选：D.

2.（2分）（2019秋•宜兴市期中）如图，已知46是。。直径，N/0C=13O°,则等于（）

A.65°B.25°C.15°D.35°

解："AOC=：L30°,

AZBOC=50°,

2

/.ZD=2ZBOC=25°,

故选：B.

3.（2分）（2020•张家港市模拟）如图，A,。是。。上的两个点，BC是直径,若/片34°,则等

解：VZAOC=2ZADC,ZADC=34°,

...NAOC=68°,

VOA=OC,

；.NOAC=NOCA=2（180°-68°）=56。,

故选：D.

4.（2分）（2019秋•清江浦区期末）如图，加为。。的直径，点C、〃均在上，//及：=58°,则/〃

为（）

A.32°B.42°C.29°D.22

解：TAB为。。的直径，

ZACB=9O°,

VZABC=58°,

；./A=90°-ZABC=32°,

.,.ZD=ZA=32O,

故选：A.

5.（2分）（2022秋•阜宁县期末）如图，为。。的直径，C,〃是。。上的两点，ZDAC=25°,AD=CD,

则/历1C的度数是（）

A.30°B.35°C.40°D.50°

解：连接BD,如图，

VAB为130的直径，

；.NACB=9O°,

•；NDAC=/DBC=25°,

,?DA=DC,

.,.弧AD=MCD,

NDBC=NABD=25°,

；.NABC=5O°,

.\ZBAC=90°-ZABC=90°-50°=40°.

故选：C.

6.（2分）（2023•姜堰区二模）如图，在。。中，⑺为直径，弦AB〃CD,NA加=40°,连接47,贝l|N掰。

等于（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

解：：OA=OB,

.•.ZOAB=ZOBA,

VZAOB=40°,

.•.NOAB=70°,

:弦AB//CD,

ZAOD=ZOAB=70°,

_1

.♦.NC=2NAOD=35。,

VAB/7CD,

；.NBAC=/C=35°.

故选：B.

7.（2分）（2023•惠山区校级三模）如图，加是。。直径，点C,〃将窟分成相等的三段弧，点户在京上.已

知点0在篇上且/加g115°,则点0所在的弧是）

A.APB.PCC.CDD.DB

解：VZAPQ=115°,

ZAPQ所对应优弧ABQ,

••・根据圆周角定理易知优弧痛所对圆心角为230。，

则劣弧APQ所对应圆心角/AOQ=130°,

：C、D为源的三等分点，

.,.ZAOD=120°

故Q应位于DB上，

故选：D.

8.（2分）（2023•东海县二模）小明用一个破损的量角器按照如图所示的方式测量的度数，让N/6C

的顶点恰好在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的4。两点.若点4C对应的刻度分别为55。，

135°,则N/6C的度数为（）

&

A.135°B.140°C.145°D.150°

解：连接OA,OC,DA,DC,设。0的直径为EF,如图，

B

「

D

VZAOE=55°,ZEOC=135°,

•\ZAOC=ZEOC-ZAOE=135°-55°=80°,

ZADC=vZA0C=40°

VZABC+ZADC=180°,

/.ZABC=180°-ZADC=18O°-40°=140°.

故选：B.

9.（2分）（2021•高新区校级二模）如图，矩形26切中，A8=6,BC=9,以〃为圆心，3为半径作。〃

tanN/*2，则点方与点。

£为。〃上一动点，连接力£,以丝为直角边作Rt△/阴使/应0=90°,

3

的最小距离为（）

D-109

解：如图，取AB的中点G,连接FG.FC.GC.

AE=3,

VAB=6,AG=GB,

.*.AG=GB=3,

VAD=9,

AG31

一9=3',

AD

AFAG

AEAD,

:四边形ABCD是矩形，

.•.NBAD=NB=NEAF=90°,

二NFAG=NEAD,

/.△FAG^AEAD,

AFG：DE=AF：AE=1：3,

VDE=3,

.\FG=1,

・••点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆,

•；GC=VBC2+BG2=3瓦，

，FC，GC-FG,

AFC^3\/T0-1,

ACF的最小值为3^/10-1.

故选：A.

10.（2分）（2021秋•常州期中）如图，已知直线处交。。于46两点，/£是。。的直径，点C为。。

上一点，且/C平分/以£,过C作切，身，垂足为〃且减的=12,。。的直径为20,则的长等于

（）

A.8B.12C.16D.18

解：连接。C,过。作。F_LAB,垂足为F,

VOA=OC,

ZOCA=ZOAC,

VAC平分NPAE,

.".ZDAC=ZCAO,

AZDAC=ZOCA,

；.PB〃OC,

：CD_LPA,

.,.ZOCD=ZCDA=ZOFD=90°,

...四边形DCOF为矩形，

.*.OC=FD,OF=CD.

VDC+DA=12,

设AD=x,贝UOF=CD=12-x,

V0O的直径为20,

/.DF=OC=10,

.,.AF=10-x,

在RtAAOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2.

即(10-X)2+(12-X)2=102,

解得xl=4,x2=18.

：CD=12-x大于0,故x=18舍去,

.•.x=4,

・・・AD=4,AF=10-4=6,

VOF±AB,由垂径定理知，F为AB的中点，

.,.AB=2AF=12.

故选：B.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）

11.（2分）（2023•盐都区三模）如图，点4是。。中优弧期〃的中点，NABD=70°,。为劣弧加上一点,

解：••,点A是。。中优弧BAD的中点,

即第=⑥

；.NADB=/ABD=70°,

/.ZA=180°-ZABD-ZADB=40°,

VZA+ZBCD=180°,

.•.ZBCD=180°-40°=140°.

故答案为:140°.

12.（2分）（2023•工业园区校级二模）如图，在。。中，弦48,切相交于点只/。8=40°,ZABD=

30°,则///刃的度数为.

又,.•/A=ND=40°,ZB=3O°,

；./APD=/B+ND=70°,

故答案为：70。.

13.（2分）（2023•海陵区校级二模）如图，在麻△/欧中，ZACB^9Q°,/的C=30°,47=4,点。是

边47上一动点，连接初，以M为斜边作就△〃）£,使/皿'=30°,/㈣=90°,连接CF.则△优

面积的最大值是

解：过点E作EM_LAC,交AC的延长线于M,

；/ACB=9O°,/BAC=30°,

BCJ,

.-.AB"2,

VZBDE=3O°,ZBED=9O°,

.,.△ACB^ADEB,ZABD+ZDBC=ZCBE+ZDBC=60°,

BE_BD

/.BCAB,ZABD=ZCBE,

BE二BC

.-.BD"AB,

/.△ADB^ACEB,

CEBC_1

ADAB2,ZBAD=ZBCE=30°,

；.AD=2CE,

；./ECM=60°,

.,.ZCEM=30",

；.CE=2CM,

EM=VCE2-EM2=V3CM,

；.AD=2CE=4CM,

：.CD=(4-4CM)，

.SACDE=1^DXEH=yx(4-4CM)xV3CM=-273(CM2-CM)=-273(CM蒋)

近

.•.△CDE面积的最大值是2.

近

故答案为：2.

14.（2分）（2023•沛县三模）如图，在中，弦/区切相交于点2/8=35°,NAPD=77°,则

的大小是度.

ZA=ZD=ZAPD-ZB=77°-35°=42

故答案为：42.

15.（2分）（2023•武进区一模）如图，正方形极力的边长为2,点£是a7边上一点，以为直径在正

方形内作半圆。，将△〃四沿庞翻折，点C刚好落在半圆。的点尸处，则"的长为

解：如图：连接DO,OF,DE与CF相交于点G,

•/四边形ABCD是正方形，将4DCE沿DE翻折得到△DEF,

/.DC=DA,DC=DF,DE垂直平分CF,

/.DA=DF,

'DA=DF

-0A=0F

在△DAO与△DFO中，IDODO.

.'.△DAO^ADFO(SSS),

.,.NA=/DFO,

VZA=90°,

.,.ZDFO=90°,

又•.•/DFE=/C=90°,

.•.ZDFO=ZDFE=90°,

...点0、F、E三点共线,

设CE=EF=x,则OE=OF+EF=l+x,BE=2-x,OB=1,

；/OBE=90°,

.,.OB2+BE2=OE2,

12+(2-x)2=(1+x)2,

_2

解得片3,

即CE£

VDE垂直平分CF,

；.CF=2CG,ZDGC=90°，

:NDCB=90°,

.DE=7CD2-KE2=^22+(-1-)2=2V10

3

・户皿端端

2_

京二CG

2-/10"2

3,

CG平

解得5,

CF=2CG=^^

故答案为：5.

16.（2分）（2021秋•洪泽区校级期中）如图，在扇形的6中，ZW=110°,将扇形沿过点6的直

线折叠，点。恰好落在弧惑上的点。处，折痕交处于点4则弧的度数为

解：如图，连接OD,

由翻折的性质可知，OB=BD,

.\OB=BD=OD,

.•.NBOD=/OBD=/ODB=60°，

.,.ZAOD=ZAOB-ZBOD

=110°-60°

=50°,

即弧AD的度数为50°,

故答案为：50°.

17.（2分）（2023春•亭湖区校级期末）如图，A8是半径为2的。。的弦，将篇沿着弦折叠，正好经

过圆心。，点C是折叠后窟的上一动点，连接并延长"7交。。于点〃点£是切的中点，连接/C,/〃，

EO.则EO的最小值为.

解：连接OA和OB,作OFJ_AB.连接AE,EF.

由题知：AB沿着弦AB折叠，正好经过圆心0,

；.OF=2OA=2OB,

.•.ZAOF=ZBOF=60°,

ZAOB=120°,

.•.NACB=120°,

2

ND=2/AOB=60°,

/ACD=180°-/ACB=60°,

AACD是等边三角形，

VE是CD中点,

/.AE1BD,

又：OF_LAB,

F是AB中点，

即，EF是^ABE斜边中线，

；.AF=EF=BF,

即，E点在以AB为直径的圆上运动.

所以，当E、。、F在同一直线时，0E长度最,

此时,AE=EF,AEXEF,

:。。的半径是2,即0A=2,OF=1,

.\AF=V3（勾股定理），

/.OE=EF-OF=AF-0F=V3-1.

故答案为：Vs-1.

18.（2分）（2022秋•东台市月考）如图，正方形⑦的边长是4,尸点是a7边的中点，点〃是切边上

的一个动点，以田为直径作连接即交。。于£点，连接班；则线段龙的最小值为

FC

，NCEH=90°,

/.ZCEF=18O°-90°=90°,

...点E在以CF为直径的。M上,

连接EM、DM,

:正方形ABCD的边长是4,F点是BC边的中点，

_1

，BC=CD=4,ZBCD=90°,CF=2BC=2,

；.FM=MC=EM=1,

在RtZiDMC中，DM具CD"C2=V42+12=5/17,

:DENDM-EM,

.•.当且仅当D、E、M三点共线时，线段DE取得最小值,

线段DE的最小值为旧-1,

故答案为：717-1.

19.（2分）（2021秋•江阴市校级月考）如图，在矩形四切中，AB=8,BC=6,户为初上一个动点，以

户为圆心，阳长半径作。R。户交BD、BC交于G、〃（两点不重合），半径解的长度范围为

连接四将劣弧用沿着用翻折交物于点〃，则理=

BP

过P作PQ_LBD,连接PG、P'M、P，P交GH于点。,

图4

设BP=5x=PG=P'G=P'M,

则PO=P'O=3x,GO=4x,

2P'Q'PG=2GO・PPI

24

；.P'Q=5x,

-----------------7_

/.MQ=GQ=vP'G2-P/Q2=5x,

14

MG=5x,

11

APM=PG-MG=5x,

11

PMVx11

/.BP=5x=25.

故答案为：0<PBW5,25.

20.（2分）（2018秋•灌云县期中）如图，△/a'中，ZBAC=6Qa,ZABC=45°,46=4,〃是线段8c

上的一个动点，以力〃为直径作。。分别交于E、F,连接EF,则线段用长度的最小值为.

解：由垂线段的性质可知，当AD为^ABC的边BC上的高时，直径AD最短,

如图，连接OE,OF,过。点作OH_LEF,垂足为H,

:在RtZ\ADB中，ZABC=45°,AB=4,

；.AD=BD=2衣，即止匕时圆的直径为2圾，

由圆周角定理可知NEOH=NFOH=/BAC=60°,

V3逅

・••在RSEOH中，EH=OE*sinZEOH=V2x2=2,

由垂径定理可知EF=2EH=遍，

故答案为：Vs.

BD

三、解答题（本大题共8小题，共60分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21.（6分）（2022秋•海陵区校级期末）如图，点/在y轴正半轴上，点6是第一象限内的一点，以4B

为直径的圆交x轴于〃C两点.

（1）勿与勿满足什么条件时，AC=BC,写出满足的条件，并证明/C=8C；

（2）在（1）的条件下，若如=1,BD=3V2）求切长.

当OA=OD时，AC=BC,

证明：：/AOD=90°,

...△AOD是等腰直角三角形,

；./ODA=45°,

NODA=NABC=45°,

VAB是圆的直径，

；./ACB=90°,

/BAC=45°,

ZBAC=ZABC,

，AC=BC；

(2)TAB是圆的直径，

；./ADB=90°,

.,.ZAOC=ZADB=90°,

VZACO=ZABD,

.,.△AOC^AADB,

AOC：DB=OA：AD,

•：AD=MOA=®,

.'.OC：3近=1：近,

.•.OC=3,

；.DC=OC-OD=3-1=2.

22.（6分）（2022秋•太仓市期末）如图，。。的直径45=5,弦/C=4,连接8C,以。为圆心，BC长为

半径画弧与。。交于点〃连接力〃，BD,即与AC交于点、E.

（1）请直接写出图中与/窃彳相等的所有角;

（2）求力（的长.

解：(1)VCB=CD,

CB=CD,

ZCAB=ZCBD=ZCAD；

故答案为：ZCBD,ZCAD；

(2)TAB为直径，

ZACB=ZADB=90",

在RtAACB中，BC=VAB2-AC2=VS2-42=3,

VZCBE=ZCAB,NBCE=NACB,

/.△CBE^ACAB,

ACE：CB=CB：CA,即CE：3=3：4,

9

解得CE=4,

2Z

；.AE=AC-CE=4-4=4,

在RtZ\BCE中，BE=VBC2CE2+（4）=4,

VZDAE=ZCBE,ZD=ZC,

/.△ADE^ABCE,

215

/.AD：BC=AE：BE,即AD：3=4：4,

7_

解得AD=5,

7_

即AD的长为亏.

23.（8分）（2022秋•姑苏区校级期中）如图，也是。。的直径，肱CDLAB,垂足为£,人为弧上一动

点，AK,%的延长线相交于点先连接％,KD.

（1）求证：ZAKD=ZCKF-,

（2）已知48=8,切=4«,求/，尸的大小.

B

VZCKF是圆内接四边形ADCK的外角,

/.ZCKF+ZAKC=180°,ZAKC+ZADC=180°

.,.ZCKF=ZADC,

：AB为。。的直径，弦CDJ_AB,

BD=BC,

/.AT=AC,

.,.ZADC=ZAKD,

.\ZAKD=ZCKF；

(2)解:连接OD,

VAB为OO的直径，AB=8,

.,.OD=OA=4,

:弦CD_LAB,CD=4近，

_1

.,.DE=CE=2CD=2«,

在RtZ\ODE中，OE=V0D2-DE2=2,

；.AE=6,

AE6

在RtAADE中，tan/ADE=DE=2>/3=V3,

.•.ZADE=60°,

,/ZCKF=ZADE=60o.

24.(8分)(2023•苏州模拟)如图，已知"是。。的直径，点〃点C均在。。上，连接加交46于点£,

ZJ=45°,tan/0DE=

4

(1)若2=4,求。的长；

S,

(2)若记应的面积为Si,△4F的面积为5,求的值.

So

D

解：（工）连接oc,如图,

VOA=OC,

；./OCA=/A=45°,

/.ZAOC=90°,

VOC=OD,

.•.ZOCD=ZD,

OE3_

在RtZ\OCE中，tan/OCE=OC=tanD=4,

3.

.*.OE=40c=3,

...CE=VOE2-K)C2=VS2+42=5；

(2)过C点作OH_LCD于H点，如图，则CH=DH,

OE3,

在RtZkOCE中，tan/OCE=OC=tanD=4,

设0E=3x,0C=4x,

22

.•.CE=V0E-K)C=5X,

2OH*CE=2QC-OE,

3x・4x12

；.0H=5x=5x,

I~22J(4x)2-(丝x)2—

在RtZiOCH中，CH=vOC-OH=V5=5x

16

DH=5x,

162

HE=CE-CH=5x-5x=5x,

2622

•*.DE=DH-HE=5x-5x=5x,

1±127_12

VS1=2OH-DE=2•5x・5x,S2=2OC・AE=2・4x・7x,

25.(8分)(2020•海陵区校级三模)如图，/为。。的直径，点。在。。上，过点C作。。切线切交掰

的延长线于点D,过点。作应'〃力。交切线2c于点E,交比'于点F.

(1)求证：NB=4E；

(2)若/夕=10,COS5=A,求环的长.

5

(1)证明：连接OC,如图所示:

VAB为。0的直径,

AZACB=ZACO+ZOCB=90°.

VDE是。O的切线，

/.ZOCD=ZACO+ZACD=90°,

.•.NOCB=NACD,

VOB,OC是。O的半径,

.,.OB=OC,

/.ZB=ZOCB,

VOE/7AC,

/.ZACD=ZE,

.,.ZB=ZE；

BC

(2)解：在Rt/XACB中，cosB=AB=5,AB=10,

；.BC=8,

：OC=OA=OB,

_1_1

；.oc=2AB=2xio=5,

2222

.­.AC=VAB-BC=V10-8=6,

VZACB=ZOCE=90°,NB=/E,

/.△ACB^AOCE,

ACAB旦此

/.OC=OE,即5=OE,

25

.\OE=3,

VOF/7AC,。为AB中点，

_1

/.OF=2AC=3,

2516

26.（8分）（2023•姜堰区二模）如图，△Z6C是。。的内接三角形，点久£分别在直径46、弦“'上，

点尸在线段以的延长线上，连接6F.

（1）请从下列三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由.

①DELAB；②CF=EF；③CF是。。的切线；

你选择的补充条件是,结论是；（填写序号）

（2）在（1）的条件下，若庞=10,哥'=13,tnB=-）求。。的半径.

a5

F

解：补充条件是①②，结论是③，理由如下:

连接0C,

VOA=OC,

ZA=ZOCA,

;CF=EF,

...NFCE=NFEC,

VZAED=ZFEC,

ZFCE=ZAED,

VED±AB,

ZA+ZAED=90°,

AZOCA+ZFCE=90°,

半径OC_LFC,

AC