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文档简介
2.3直线的交点坐标与距离公式14题型分类
彩题如工总
彩先也宝库
一、两条直线的交点
1.两直线的交点
已知直线。:4x+3u+Ci=0;b:/2工+5少+。2=0.点/(。,b).
⑴若点/在直线A4x+2u+Ci=0上,则有4。+56+。=0.
(2)若点4是直线h与h的交点,则有凿:北"梁
2.两直线的位置关系
方程组©叮始的解一组无数组无解
14加十台2、十。2一0
直线。与/2的公共点的个数一个无数个零个
直线/1与/2的位置关系相交重合平行
二、两点间的距离公式
1.两点间的距离公式:点尸1(修,乃),P检2,歹2)间的距离公式『01=5/□血—工1口2+口为一^1口2.特别
提醒:此公式与两点的先后顺序无关.
2.原点0(0,0)与任一■点尸(x,y)的距离|+俨.
三、点到直线的距离、两条平行线间的距离
点到直线的距离两条平行直线间的距离
定义点到直线的垂线段的长度夹在平行直线间公垂线段的长
|P(x0,y0)/
图示叭一~^M(x,y)
0/XO\7*
点尸(%0,次)到直线平行直线/i:Zx+W+Ci=0与
/:Ax-\-By-\-C—0的距离,2:Nx+5y+C2=0之间的距离
公式
\Axo+By0-\-C\.|C1-C|
d=-----/—d=.=2
,42+中"十炉
|彩能朋祕籍(一)
求相交直线的交点坐标
I1、两直线的交点:已知直线小4x+5i»+Ci=0;Z2:A2x+B?y+C2=Q,联立方程即可求解.
|2、求两相交直线的交点坐标.
](1)求两相交直线的交点坐标,关键是解方程组.
|(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.
I-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I题型1:求相交直线的交点
1-1.(24-25高二上•全国•课后作业)直线3%+2歹一18=0和一2x+5y—7=0的交点坐标为()
A.(-4,-3)B.(4,3)C.(-4,3)D.(3,4)
!1-2.(2024高二•江苏•假期作业)直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是()
A.(2,0)B.(2,1)
C.(0,2)D.(1,2)
1-3.(2024高二下•全国•课堂例题)判断下列各组直线的位置关系,如果相交,求出交点坐标:
!(1)^:y=2x+3fl2:2x-y+5=0;
1-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
!(2)/]:=2x+l,l2:x-2y=0;
⑶4:x=3,Z2:x=10;
i⑷4:y=2x+1,4:2x-y+1=0.
i-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
|题型2:求过两条直线的交点的直线方程
2-1.(2024高二上•天津•期末)过直线x+y+l=O和x-2y+4=0的交点,且与直线x+2k3=0垂直的直线I
|方程是().
A.2x-y+3=0B.2x-y+5=0
C.x+2y-4=0D.2x-y-3=0
22(2024高二下•河北张家口•开学考试)过直线》-2了+1=0与3x-y-2=0的交点,且垂直于直线
I工7+1=0的直线方程是.
2-3.(2024高二上•陕西宝鸡•阶段练习)已知直线/经过直线3》-〉-7=0和4x+y-14=0的交点,且直线/-
|在坐标轴上的截距相等,则直线/的方程是.
|题型3:由两条直线交点的个数或位置求参数
i3-1.(广东省广州市第一一三中学2023-2024学年高二上学期第一阶段考数学试题)直线
13无一伏+2)y+左+5=0与直线丘+(2左一3)y+2=0相交,贝。实数人的值为()
A.左二1或左片9B.左二1或左片一9C.左片1或左W9D.后二1且左片一9
f4x+6y=1
32(2024•上海崇明•一模)若关于x、V的方程组/。无解,则实数。=______
[ax-3y=2
;3-3.(2024高二•全国•课后作业)若直线区-了=左-1与直线如-》=2左相交且交点在第二象限内,则左的取
i值范围为()
A.k>\B.k<—C.0<^<—D.—<k<\
222
3-4.(2024高二上•全国•课后作业)若直线5x+4y=2m+l与直线2x+3,y=»7的交点在第四象限,则的取
i值范围是()
C.fD.
题型4:三条直线能否构成三角形问题
4-1.(2024高二上,浙江宁波,期末)若三条直线3x-y+l=0,x+y+3=0与依-y+2=0能围成一个直角三
角形,贝1u=.
4-2.(2024高二•江苏•假期作业)若三条直线4:办+了+1=0,l2:x+ay+l=0,4:丫+了+。=0能构成三角
4-3.(2024高二上•全国•课后作业)使三条直线4x+y-4=0,机x+>=0,2x-3碎v-4=0不能围成三角形的实
数m的值最多有几个()
A.3个B.4个C.5个D.6个
彩他题祕籍
(二)
两点间的距离
1、两点间的距离公式:
⑴点PG1,为),Pi(x2,")间的距/公式尸1尸2尸J口工2—4山2+口及一石山2.
⑵原点。(0,0)与任一点尸(X,历的距离QP|=Jx2+俨.
2、计算两点间距离的方法
⑴对于任意两点P1(X1,为)和尸2(必,乃),则|尸0|=J□&—XI口2+□/—y1口2.
⑵对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特殊情况求解.
前直装一泵蔽而向卫浦
5-1.(2024高二•江苏•假期作业)直线/1:3办-夕-2=0和直线4:(2。-l)x+5qy-l=0分别过定点A和B,
则|4目=|.
5-2.(2024高二上•全国•课后作业)已知/(-1,2),8(0,4),点C在x轴上,且|/。|=忸。|,则点C的坐标为
()
5-3.(2024高二上・江苏南通•阶段练习)已知/,8两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+即=0上,
i且N3线段的中点为尸(0,3),则线段A8的长为()
A.11B.10C.9D.8
「画直播一由两溢而而泵施
6-L(2024高二上•新疆喀什•期末)已知点工(3,3。+3)与点5(a,3)之间的距离为5,则实数。的值
i为.
162(2024高二下•全国•课后作业)已知点44,12),尸为x轴上的一点,且点P与点/的距离等于13,则
!点P的坐标为.
,6-3.(2024高二下•全国裸后作业)已知0),8(0,10),且|/刃=17,贝巾=.
「赢彳忌丽丽诞画笳录函f
7-L(2024高二上•福建•期中)著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好,割裂分家万事休."事实上,
!有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:,(寸-4+5-6)2可以转化为点(x,j)到点(。泊)的距
I离,则-4x+8的最小值为().
A.3B.272+1C.24>D.岳
7-2.(2024高三下•江西•开学考试)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个
|内角均小于120。时,费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对的三角形三边的张
I角相等且均为120。.根据以上性质,.则F(x,y)=7(X-2>/3)2+/+7(x+1-V3)2+(y-1+A/3)2+yJx2+(y-2)2
I的最小值为()
A.4B.2+20C.3+273D.4+273
7-3.(2024高二上•甘肃武威•期中)函数/(x)=J/+2x+5+-6x+10的最小值是.
r
I彩健甄秘籍(二)
I运用坐标法解决平面几何问题
!1、利用坐标法解平面几何问题:(1)建系;(2)坐标表示;(3)几何关系坐标化;(4)将数“翻译”为
|形.
"、利用坐标法解平面几何问题常见的步骤:
I(1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;
I(2)用坐标表示有关的量;
i(3)将几何关系转化为坐标运算;
!(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.
「蓝薪£一甫至标丽旃而丽而菽
8-1.(2024高二上•河南•阶段练习)己知直线/:(m-2)x-(m+l)y+3m=0(,"wR),直线乙:4x+y+3=0和
Il2:3x-5y-5=0,
!⑴求证:直线/恒过定点;
1(2)设(1)中的定点为尸,/与4,乙的交点分别为A,B,若P恰为42的中点,求机.
82(2024高二上•安徽马鞍山•期中)已知ZUBC的顶点42边上的高所在的直线方程为
|4x-v-13=0,NC边上的中线所在的直线方程为5x-2y-12=0.
"1)求直线N3的方程;
(2)求点C的坐标.
8-3.(2024高二上•四川绵阳•阶段练习)在平面直角坐标系xQy中,。为坐标原点,已知直线4:2x-y-2=Q
[和4:x+>+3=0,
|⑴求直线4与,2的交点坐标;
(2)过点尸(3,0)作直线/与直线3分别交于点/、B,且满足方=;方,求直线/的方程.
彩健题海籍
点到直线的距离
点到直线的距离的求解方法:
「(1):录舌函直香函函冢留「只需把直残而I花为二酸式丽£「面i应甬前蓟i颤的星I函公式添一
;解即可.
,(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或了=6求点到它们的距离时,既可以用点到直线
的距离公式,也可以直接写成d=|x()一旬或d=[”o—臼.
[(3)若已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
I巅直最一录云蓟鱼诿襁函
9-1.(2024高二・重庆•学业考试)点(1,1)到直线3x+4y-2=0的距离是()
A.1B.2C.V5
9-2.(2024高二上•全国•课后作业)已知44,0)至I]直线4无一3>+,=0的距离等于3,则°的值为()
A.-1B.-13或-19C.一1或一31D.-13
9-3.(2024高二下•辽宁•阶段练习)己知圆C经过点M(l,2),N(3,0),则点尸(2,-1)到圆心C的距离的最小
I值为()
A.2B.V3C.72D.1
9-4.(2024高二下•上海浦东新•期中)己知动点河(。力)在直线3x+4y+10=0上,则行工庐的最小值
|为.
9-5.(2024高二上•广东广州•期末)已知点尸(-2,1)到直线/:3x-4y+7%=0的距离为1,则机的值为()
A.-5或-15B.-5或15
C.5或-15D.5或15
196(2024•重庆•三模)已知直线/:y=©x-2)+l(keR)上存在一点尸,满足|0尸口,其中。为坐标原点.
则实数后的取值范围是()
A.gB.
C.D.
_°'1_°5__2?3_
题型10:直线围成的图形面积问题
10-L(2024高二上•江苏•专题练习)射线。4所在直线的方向向量为1=(1,后)(左>0),点P在44Ox内,
「“,。么于点河.
(1)若左=1,尸]|,鼻,求|0凹的值;
⑵若尸(2,1),AQPM的面积是求后的值.
10-2.(2024(Wj二上,广东湛江,期中)已知直线/:kx+y+k+2—0(kE.
⑴证明:直线/一定经过第三象限;
⑵设直线/与X轴,y轴分别交于/,B点,当点尸(1,0)离直线/最远时,求AP/5的面积.
10-3.(2024高二下•全国•课堂例题)己知△NBC的顶点4(-2,0),5(2,2),求△N2C的面积.
一频直G「福我直簿商而前应再一
11-1.(2024高二上,上海浦东新•阶段练习)已知点N(-1,2),8(1,4),若直线/过点M(-2,-3),且.、8到
直线/的距离相等,则直线/的方程为.
11-2.(2024•吉林•三模)已知4(-2,0),3(4,。)两点到直线/:3》-47+1=0的距离相等,贝|a=()
99
A.2B.-C.2或一8D.2或一
22
11-3.(2024高二•全国•课后作业)已知点田1,1),£(5,4)到直线/的距离都等于2,求直线/的方程.
彩得甄祕籍.
(五)
两平行线间的距离
求两条平行直线间距离的两种方法:
(1)转化法:将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离,即化线线距
为点线距来求.
⑵公式法:设直线。:Zx+5.v+Ci=0,/2:Ax+By+C2=Q,则两条平行直线间
|Ci~C|
的距离d=2
y/A2+B2'
一前直在「采拓际行线而i诵禽
12-L(2024高二下•河南洛阳•阶段练习)两条平行线4:3x+4y-6=O,£9x+12.y-10=0间的距离等于
()
12-2.(2024高二上•全国•课后作业)两条平行直线2x-7y+8=0与2x-7了-6=0间的距离为()
A.叵B.2C.14D..后
1453
12-3.(2024高二上•福建宁德•期中)若两条平行直线4:x-2y+m=0(m>0)与4:2x+号-6=0之间的距离是
275,贝!jm+n=.
12-4.(2024高二下•河南周口•阶段练习)已知两条直线/1:H+2)X+(1-2)7+2X-5=0,
4:(后+1卜+(1-2左力+左一5=0,且〃4,当两平行线距离最大时,2+左=()
A.3B.4C.5D.6
题型13:距离公式的综合应用
13-1•【多选】(2024高二上•福建南平•期末)已知直线4:4x-3y-3=0,直线
Z2:+++m=0(mGR),则()
A.当加=一1时,lx-L/2B.当机=2时,4//4
C.当/"〃2时,4与4之间的距离为1D.直线4过定点(2,1)
13-2.【多选】(2024高二下•江苏南京•期末)已知动点43分别在直线4:3x-4y+6=0与/2:3x-4y+10=0
上移动,则线段N2的中点P到坐标原点。的距离可能为()
L7LL
A.B.-C.73D.-Js
13-3•【多选】(24-25高二上•全国•单元测试)已知两条直线44的方程分别为3x+4y+12=0与
◎+8y-ll=0,下列结论正确的是()
7
A.若〃%,则。=6B.若"4,则两条平行直线之间的距离为:
C.若…,则。=三32D.若。/6,则直线总乙一定相交
。得甄祕籍一
(A)
直线的对称问题
有关对称问题的两种主要类型
(1)中心对称:
①点尸(x,y)关于0(°,%)的对称点P'(x',/)满足二;
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
:(5)花苏一
n-b/A\
/_xI——)=-1,
[①点/(a,6)关于直线4c+2y+C=(W0)的对称点4(m,n),则有":工J'J”
\4——+S——+C=0.
22
i②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
「窗直五「直函函漏后嬴
14-1.(2024高二上•河北张家口•期中)点P(2,0)关于直线/:x-y+3=0的对称点。的坐标为().
A.(-3,5)B.(-1,-4)C.(4,1)D.(2,3)
14-2.(2024高二上•湖南郴州•阶段练习)已知入射光线经过点”(-3,4),被直线/:x-3=0反射,反射光
i线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.
i14-3.(2024高二上,黑龙江哈尔滨•阶段练习)直线x-2y+3=0关于点(1,1)对称的直线方程为.
14-4.(2024•上海静安•二模)设直线4:尤-2了-2=0与4关于直线/:2x-y-4=0对称,则直线人的方程是
()
A.1lx+2j-22=0B.llx+y+22=0
C.5x+j-ll=0D.10x+y-22=0
炼习与梭升
一、单选题
1.(2024高二•全国•课后作业)求直线x+2y—1=0关于直线x+2y+l=0对称的直线方程()
A.x+2y—3=0B.x+2y+3=0
C.x-\-2y—2=0D.x+2y+2=0
2.(2024高二上•江苏连云港•期中)若三条直线2x+0+8=0,x-y-1=0和2x-y=0交于一点,则上的值
为()
11
A.-2B.——C.3D.-
22
3.(2024高二上•新疆•期中)直线2x+3y+4=0关于y轴对称的直线方程为()
A.2x+3y-4=0B.2x—3y+4=0
C.2x-3y-4=0D.3x+2歹一4=0
4.(2024高二上•浙江•期中)已知点Q2)(Q>0)到直线/:x->+3=0的距离为1,则。等于()
A.41B.2-V2c.V2-1D.V2+1
5.(2024高二上•广东广州•期末)已知点尸(T2)到直线/:4x-3y+s=0的距离为1,则加的值为()
A.-5或-15B.-5或15C.5或-15D.5或15
6.(2024高二上•河北唐山,期中)唐代诗人李颁的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望烽火,黄昏饮
马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题一"将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,
先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为
x2+y2<3,若将军从点4(3,1)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=5,并假定将军只要到达军营所在区
域即回到军营,贝「将军饮马”的最短总路程为()
A.B.V10C.275-73D.2V5
7.(2024高二上•河南南阳•阶段练习)直线/:4x+3y-2=0关于点对称的直线方程为()
A.4x+3y—4=0B.4x+3y—12=0
C.4x—3j^—4=0D.4x—3j—12=0
8.(2024高二•全国•课后作业)工+>=1关于原点对称的直线是()
A.x-y-\=0B.x-y+\=0C.x+y+l=0D.x+y-\=0
9.(2024高二上•全国•课后作业)若直线2x-y-3=0与4x-2y+a=0之间的距离为右,则a的值为()
A.4B.V5-6C.4或一16D.8或一16
10.(2024高二下•河南南阳,阶段练习)若平面内两条平行线小x+(a-1万+2=0,4:ax+2y+l=0间的
距离为逑,则实数。=()
4
A.2B.—2或1C.-1D.-1或2
11.(2024高二上•河北石家庄•阶段练习)两直线2x+3y-左=0和x+12=0的交点在y轴上,贝k的值
是()
A.-24B.6C.+6D.24
12.(2024高二•全国•课后作业)若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与⑪-了+2=0共有两个交点,则实
数。的值为()
A.1B.-2C.1或-2D.-1
13.(2024高二上•辽宁沈阳•阶段练习)两直线方程为4:3x-2y-6=0,4:x-y-2=0,贝以关于4对称的
直线方程为()
A.3x-2y-4=0B.2x+3歹一6=0
C.2x—3y—4=0D.3x—2y—6=0
14.(2024•全国)如果直线歹="+2与直线>关于直线>=x对称,那么()
A.a=-,b=6B.a=-.b=-6C.a=3,b=—2D.a=3,b=6
33
15.(2024高二下•贵州)若直线"+尸4=0与直线x-2=0的交点位于第一象限,则实数。的取值范围
是()
A.。<一1或Q〉2B.a>-lC.a<2D.-1<a<2
16.(2024高二下•贵州黔东南•阶段练习)点尸在直线3x-4y-5=0上,。为原点,则|。巴的最小值是
()
A.1B.2C.45D.2-75
17.(2024高二上•广西河池・期末)已知直线4』+即+2=0,/2:2x+4y+3=0相互平行,则入。之间的距
离为()
AV5RV5r275石
10552
18.(2024高二上•江苏淮安•期中)唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮
马傍交河",诗中隐含着一个有趣的数学问题一一"将军饮马"问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出
发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为
8(-2,0),若将军从山脚下的点/(1,0)处出发,河岸线所在直线的方程为x+j=3,贝〃将军饮马”的最短总
路程为()
A.V27B.5C.V15D.729
19.(2024高一下•全国•课后作业)直线/:x+2y-l=0关于点(1,-1)对称的直线/,的方程为()
A.2x—y—5—0B.%+2)—3—0C.x+2y+3=0D.2x—y—1=0
20.(2024高二上•四川遂宁•期末)已知点/与点2(2,1)关于直线x+y+2=0对称,则点N的坐标为()
A.(-1,4)B.(4,5)
C.(-3,-4)D.(-4,-3)
21.(2024高二上•江苏连云港•阶段练习)著名数学家华罗庚曾说过:"数无形时少直觉,形少数时难入微
事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:瓜石F7彳可以转化为平面上点M(xj)
与点N(a,6)的距离.结合上述观点,可得f(x)=Jx2+1Ox+26++6x+13的最小值为()
A.5B.V29C.V13D.2+V13
22.(2024高三下•河北石家庄•开学考试)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角
形三个内角均小于120。时,费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对的三角形三
边的张角相等均为120。.根据以上性质,z=-炉+/+加+厅+/+商+(.-的最小值为()
A.2B.y/3C.2-y/3D.2+5/3
二、多选题
23.(2024高二上•全国,课后作业)三条直线x+y=O,x-y=0,x+即=3构成三角形,贝匹的值不能为
()
A.1B.2
C.-1D.-2
三、填空题
24.(2024高二上•全国•课后作业)直线y=3x-4关于点尸(1,1)对称的直线方程为.
25.(2024高三•全国•课后作业)若直线》=G+2与y=3x-6关于直线N=x对称,则实数0=.
26.(2024高二•江苏•假期作业)己知点“«-4)与点N(2,3)间的距离为7亚,则》=.
27.(2024高二•全国•课后作业)直线2x+5y-3=0关于点M(-l,2)对称的直线方程是.
28.(2024高二•全国•课后作业)设直线/经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点,且与两坐标轴围成等
腰直角三角形,则直线/的方程为.
29.(2024高二•全国•课后作业)如果直线>=ox+2与直线>=3x-6关于直线V=x对称,那么a=,
b=.
30.(2024高二•全国•课后作业)若直线4:y=-x+b与直线4:5x+3y-31=0的交点在第一象限,则实数b
的取值范围是.
31.(2024高三•全国•专题练习)直线2x-y+3=0关于直线x—y+2=0对称的直线方程是.
32.(2024高二•全国•课后作业)如果直线/与直线x+y-l=O关于夕轴对称,那么直线/的方程是.
fx+2y=4
33.(2024•上海奉贤•二模)若关于x,V的方程组,•〈有唯一解,则实数a满足的条件是______.
[3x+ay=0
34.(2024高三•全国•对口高考)过点尸(0,1)且和《(3,3),5(5,-1)的距离相等的直线方程是.
,[lx-by=3
35
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