直线的交点坐标与距离公式14题型分类（原卷版）-2024年高二数学选择性必修第一册题型练

2.3直线的交点坐标与距离公式14题型分类

彩题如工总

彩先也宝库

一、两条直线的交点

1.两直线的交点

已知直线。：4x+3u+Ci=0；b：/2工+5少+。2=0.点/（。，b）.

⑴若点/在直线A4x+2u+Ci=0上，则有4。+56+。=0.

（2）若点4是直线h与h的交点,则有凿:北"梁

2.两直线的位置关系

方程组©叮始的解一组无数组无解

14加十台2、十。2一0

直线。与/2的公共点的个数一个无数个零个

直线/1与/2的位置关系相交重合平行

二、两点间的距离公式

1.两点间的距离公式：点尸1（修，乃），P检2,歹2）间的距离公式『01=5/□血—工1口2+口为一^1口2.特别

提醒：此公式与两点的先后顺序无关.

2.原点0(0,0)与任一■点尸(x,y)的距离|+俨.

三、点到直线的距离、两条平行线间的距离

点到直线的距离两条平行直线间的距离

定义点到直线的垂线段的长度夹在平行直线间公垂线段的长

|P(x0,y0)/

图示叭一~^M(x,y)

0/XO\7*

点尸（%0，次）到直线平行直线/i：Zx+W+Ci=0与

/：Ax-\-By-\-C—0的距离，2：Nx+5y+C2=0之间的距离

公式

\Axo+By0-\-C\.|C1-C|

d=-----/—d=.=2

，42+中"十炉

|彩能朋祕籍(一)

求相交直线的交点坐标

I1、两直线的交点：已知直线小4x+5i»+Ci=0；Z2：A2x+B?y+C2=Q,联立方程即可求解.

|2、求两相交直线的交点坐标.

](1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组.

|(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.

I-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I题型1:求相交直线的交点

1-1.(24-25高二上•全国•课后作业)直线3%+2歹一18=0和一2x+5y—7=0的交点坐标为()

A.(-4,-3)B.(4,3)C.(-4,3)D.(3,4)

!1-2.(2024高二•江苏•假期作业)直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是()

A.(2,0)B.(2,1)

C.(0,2)D.(1,2)

1-3.(2024高二下•全国•课堂例题)判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：

!(1)^:y=2x+3fl2:2x-y+5=0；

1-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

!（2）/]：=2x+l,l2:x-2y=0；

⑶4:x=3,Z2:x=10；

i⑷4:y=2x+1,4：2x-y+1=0.

i-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

|题型2：求过两条直线的交点的直线方程

2-1.（2024高二上•天津•期末）过直线x+y+l=O和x-2y+4=0的交点，且与直线x+2k3=0垂直的直线I

|方程是（）.

A.2x-y+3=0B.2x-y+5=0

C.x+2y-4=0D.2x-y-3=0

22（2024高二下•河北张家口•开学考试）过直线》-2了+1=0与3x-y-2=0的交点，且垂直于直线

I工7+1=0的直线方程是.

2-3.（2024高二上•陕西宝鸡•阶段练习）已知直线/经过直线3》-〉-7=0和4x+y-14=0的交点，且直线/-

|在坐标轴上的截距相等，则直线/的方程是.

|题型3：由两条直线交点的个数或位置求参数

i3-1.（广东省广州市第一一三中学2023-2024学年高二上学期第一阶段考数学试题）直线

13无一伏+2）y+左+5=0与直线丘+（2左一3）y+2=0相交，贝。实数人的值为（）

A.左二1或左片9B.左二1或左片一9C.左片1或左W9D.后二1且左片一9

f4x+6y=1

32（2024•上海崇明•一模）若关于x、V的方程组/。无解，则实数。=______

[ax-3y=2

；3-3.（2024高二•全国•课后作业）若直线区-了=左-1与直线如-》=2左相交且交点在第二象限内，则左的取

i值范围为（）

A.k>\B.k<—C.0<^<—D.—<k<\

222

3-4.（2024高二上•全国•课后作业）若直线5x+4y=2m+l与直线2x+3,y=»7的交点在第四象限，则的取

i值范围是（）

C.fD.

题型4：三条直线能否构成三角形问题

4-1.（2024高二上,浙江宁波,期末）若三条直线3x-y+l=0,x+y+3=0与依-y+2=0能围成一个直角三

角形，贝1u=.

4-2.（2024高二•江苏•假期作业）若三条直线4：办+了+1=0,l2:x+ay+l=0,4：丫+了+。=0能构成三角

4-3.（2024高二上•全国•课后作业）使三条直线4x+y-4=0,机x+>=0,2x-3碎v-4=0不能围成三角形的实

数m的值最多有几个（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

彩他题祕籍

（二）

两点间的距离

1、两点间的距离公式：

⑴点PG1，为），Pi（x2,"）间的距/公式尸1尸2尸J口工2—4山2+口及一石山2.

⑵原点。（0,0）与任一点尸（X,历的距离QP|=Jx2+俨.

2、计算两点间距离的方法

⑴对于任意两点P1（X1,为）和尸2（必，乃），则|尸0|=J□&—XI口2+□/—y1口2.

⑵对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解.

前直装一泵蔽而向卫浦

5-1.（2024高二•江苏•假期作业）直线/1:3办-夕-2=0和直线4：（2。-l）x+5qy-l=0分别过定点A和B,

则|4目=|.

5-2.（2024高二上•全国•课后作业）已知/（-1,2）,8（0,4）,点C在x轴上，且|/。|=忸。|,则点C的坐标为

()

5-3.（2024高二上・江苏南通•阶段练习）已知/,8两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+即=0上,

i且N3线段的中点为尸（0,3）,则线段A8的长为（）

A.11B.10C.9D.8

「画直播一由两溢而而泵施

6-L（2024高二上•新疆喀什•期末）已知点工（3,3。+3）与点5（a,3）之间的距离为5,则实数。的值

i为.

162（2024高二下•全国•课后作业）已知点44,12）,尸为x轴上的一点，且点P与点/的距离等于13,则

!点P的坐标为.

，6-3.（2024高二下•全国裸后作业）已知0）,8（0,10）,且|/刃=17,贝巾=.

「赢彳忌丽丽诞画笳录函f

7-L（2024高二上•福建•期中）著名数学家华罗庚曾说过："数形结合百般好，割裂分家万事休."事实上，

!有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：，（寸-4+5-6）2可以转化为点（x,j）到点（。泊）的距

I离，则-4x+8的最小值为（）.

A.3B.272+1C.24>D.岳

7-2.（2024高三下•江西•开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个

|内角均小于120。时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张

I角相等且均为120。.根据以上性质，.则F（x,y）=7（X-2>/3）2+/+7（x+1-V3）2+（y-1+A/3）2+yJx2+（y-2）2

I的最小值为（）

A.4B.2+20C.3+273D.4+273

7-3.（2024高二上•甘肃武威•期中）函数/（x）=J/+2x+5+-6x+10的最小值是.

r

I彩健甄秘籍（二）

I运用坐标法解决平面几何问题

!1、利用坐标法解平面几何问题：（1）建系；（2）坐标表示；（3）几何关系坐标化；（4）将数“翻译”为

|形.

"、利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：

I（1）建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；

I（2）用坐标表示有关的量；

i（3）将几何关系转化为坐标运算；

!（4）把代数运算结果“翻译”成几何关系.

「蓝薪£一甫至标丽旃而丽而菽

8-1.（2024高二上•河南•阶段练习）己知直线/：（m-2）x-（m+l）y+3m=0（，"wR）,直线乙：4x+y+3=0和

Il2:3x-5y-5=0,

!⑴求证：直线/恒过定点；

1（2）设（1）中的定点为尸，/与4，乙的交点分别为A,B,若P恰为42的中点，求机.

82（2024高二上•安徽马鞍山•期中）已知ZUBC的顶点42边上的高所在的直线方程为

|4x-v-13=0,NC边上的中线所在的直线方程为5x-2y-12=0.

"1）求直线N3的方程；

（2）求点C的坐标.

8-3.（2024高二上•四川绵阳•阶段练习）在平面直角坐标系xQy中，。为坐标原点，已知直线4：2x-y-2=Q

［和4：x+>+3=0,

|⑴求直线4与，2的交点坐标；

（2）过点尸（3,0）作直线/与直线3分别交于点/、B,且满足方=；方，求直线/的方程.

彩健题海籍

点到直线的距离

点到直线的距离的求解方法：

「（1）：录舌函直香函函冢留「只需把直残而I花为二酸式丽£「面i应甬前蓟i颤的星I函公式添一

；解即可.

，（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或了=6求点到它们的距离时，既可以用点到直线

的距离公式，也可以直接写成d=|x（）一旬或d=［”o—臼.

［（3）若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.

I巅直最一录云蓟鱼诿襁函

9-1.（2024高二・重庆•学业考试）点（1,1）到直线3x+4y-2=0的距离是（）

A.1B.2C.V5

9-2.（2024高二上•全国•课后作业）已知44,0）至I］直线4无一3>+，=0的距离等于3,则°的值为（）

A.-1B.-13或-19C.一1或一31D.-13

9-3.（2024高二下•辽宁•阶段练习）己知圆C经过点M（l,2）,N（3,0）,则点尸（2,-1）到圆心C的距离的最小

I值为（）

A.2B.V3C.72D.1

9-4.（2024高二下•上海浦东新•期中）己知动点河（。力）在直线3x+4y+10=0上，则行工庐的最小值

|为.

9-5.（2024高二上•广东广州•期末）已知点尸（-2,1）到直线/:3x-4y+7%=0的距离为1,则机的值为（）

A.-5或-15B.-5或15

C.5或-15D.5或15

196（2024•重庆•三模）已知直线/：y=©x-2）+l（keR）上存在一点尸，满足|0尸口，其中。为坐标原点.

则实数后的取值范围是（)

A.gB.

C.D.

_°'1_°5__2?3_

题型10：直线围成的图形面积问题

10-L（2024高二上•江苏•专题练习）射线。4所在直线的方向向量为1=（1,后）（左>0）,点P在44Ox内,

「“，。么于点河.

（1）若左=1,尸］|，鼻，求|0凹的值；

⑵若尸(2,1),AQPM的面积是求后的值.

10-2.(2024(Wj二上,广东湛江,期中)已知直线/：kx+y+k+2—0(kE.

⑴证明：直线/一定经过第三象限；

⑵设直线/与X轴，y轴分别交于/,B点,当点尸(1,0)离直线/最远时，求AP/5的面积.

10-3.(2024高二下•全国•课堂例题)己知△NBC的顶点4(-2,0),5(2,2),求△N2C的面积.

一频直G「福我直簿商而前应再一

11-1.(2024高二上,上海浦东新•阶段练习)已知点N(-1,2),8(1,4),若直线/过点M(-2,-3),且.、8到

直线/的距离相等，则直线/的方程为.

11-2.(2024•吉林•三模)已知4(-2,0),3(4,。)两点到直线/:3》-47+1=0的距离相等，贝|a=()

99

A.2B.-C.2或一8D.2或一

22

11-3.(2024高二•全国•课后作业)已知点田1,1),£(5,4)到直线/的距离都等于2,求直线/的方程.

彩得甄祕籍.

(五)

两平行线间的距离

求两条平行直线间距离的两种方法：

(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距

为点线距来求.

⑵公式法：设直线。：Zx+5.v+Ci=0,/2：Ax+By+C2=Q,则两条平行直线间

|Ci~C|

的距离d=2

y/A2+B2'

一前直在「采拓际行线而i诵禽

12-L(2024高二下•河南洛阳•阶段练习)两条平行线4：3x+4y-6=O,£9x+12.y-10=0间的距离等于

()

12-2.(2024高二上•全国•课后作业)两条平行直线2x-7y+8=0与2x-7了-6=0间的距离为()

A.叵B.2C.14D..后

1453

12-3.（2024高二上•福建宁德•期中）若两条平行直线4：x-2y+m=0（m>0）与4：2x+号-6=0之间的距离是

275，贝！jm+n=.

12-4.（2024高二下•河南周口•阶段练习）已知两条直线/1：H+2）X+（1-2）7+2X-5=0,

4：（后+1卜+（1-2左力+左一5=0,且〃4，当两平行线距离最大时，2+左=（）

A.3B.4C.5D.6

题型13:距离公式的综合应用

13-1•【多选】（2024高二上•福建南平•期末）已知直线4：4x-3y-3=0,直线

Z2:+++m=0（mGR）,则（）

A.当加=一1时，lx-L/2B.当机=2时，4//4

C.当/"〃2时，4与4之间的距离为1D.直线4过定点（2,1）

13-2.【多选】（2024高二下•江苏南京•期末）已知动点43分别在直线4：3x-4y+6=0与/2：3x-4y+10=0

上移动，则线段N2的中点P到坐标原点。的距离可能为（）

L7LL

A.B.-C.73D.-Js

13-3•【多选】（24-25高二上•全国•单元测试）已知两条直线44的方程分别为3x+4y+12=0与

◎+8y-ll=0,下列结论正确的是（）

7

A.若〃%,则。=6B.若"4,则两条平行直线之间的距离为:

C.若…,则。=三32D.若。/6,则直线总乙一定相交

。得甄祕籍一

（A）

直线的对称问题

有关对称问题的两种主要类型

（1）中心对称：

①点尸（x,y）关于0（°,%）的对称点P'（x'，/）满足二;

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.

:（5）花苏一

n-b/A\

/_xI——）=-1,

[①点/（a,6）关于直线4c+2y+C=（W0）的对称点4（m,n）,则有":工J'J”

\4——+S——+C=0.

22

i②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

「窗直五「直函函漏后嬴

14-1.（2024高二上•河北张家口•期中）点P（2,0）关于直线/:x-y+3=0的对称点。的坐标为（）.

A.（-3,5）B.（-1,-4）C.（4,1）D.（2,3）

14-2.（2024高二上•湖南郴州•阶段练习）已知入射光线经过点”（-3,4）,被直线/：x-3=0反射，反射光

i线经过点N（2,6）,则反射光线所在直线的方程为.

i14-3.（2024高二上,黑龙江哈尔滨•阶段练习）直线x-2y+3=0关于点（1,1）对称的直线方程为.

14-4.（2024•上海静安•二模）设直线4：尤-2了-2=0与4关于直线/：2x-y-4=0对称，则直线人的方程是

（）

A.1lx+2j-22=0B.llx+y+22=0

C.5x+j-ll=0D.10x+y-22=0

炼习与梭升

一、单选题

1.（2024高二•全国•课后作业）求直线x+2y—1=0关于直线x+2y+l=0对称的直线方程（）

A.x+2y—3=0B.x+2y+3=0

C.x-\-2y—2=0D.x+2y+2=0

2.（2024高二上•江苏连云港•期中）若三条直线2x+0+8=0,x-y-1=0和2x-y=0交于一点，则上的值

为（）

11

A.-2B.——C.3D.-

22

3.（2024高二上•新疆•期中）直线2x+3y+4=0关于y轴对称的直线方程为（）

A.2x+3y-4=0B.2x—3y+4=0

C.2x-3y-4=0D.3x+2歹一4=0

4.（2024高二上•浙江•期中）已知点Q2）（Q>0）到直线/:x->+3=0的距离为1,则。等于（）

A.41B.2-V2c.V2-1D.V2+1

5.（2024高二上•广东广州•期末）已知点尸（T2）到直线/:4x-3y+s=0的距离为1,则加的值为（）

A.-5或-15B.-5或15C.5或-15D.5或15

6.（2024高二上•河北唐山,期中）唐代诗人李颁的诗《古从军行》开头两句说："白日登山望烽火，黄昏饮

马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题一"将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,

先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为

x2+y2<3,若将军从点4（3,1）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=5,并假定将军只要到达军营所在区

域即回到军营，贝「将军饮马”的最短总路程为（）

A.B.V10C.275-73D.2V5

7.（2024高二上•河南南阳•阶段练习）直线/：4x+3y-2=0关于点对称的直线方程为（）

A.4x+3y—4=0B.4x+3y—12=0

C.4x—3j^—4=0D.4x—3j—12=0

8.（2024高二•全国•课后作业）工+>=1关于原点对称的直线是（）

A.x-y-\=0B.x-y+\=0C.x+y+l=0D.x+y-\=0

9.（2024高二上•全国•课后作业）若直线2x-y-3=0与4x-2y+a=0之间的距离为右，则a的值为（）

A.4B.V5-6C.4或一16D.8或一16

10.（2024高二下•河南南阳,阶段练习）若平面内两条平行线小x+（a-1万+2=0,4：ax+2y+l=0间的

距离为逑，则实数。=（）

4

A.2B.—2或1C.-1D.-1或2

11.（2024高二上•河北石家庄•阶段练习）两直线2x+3y-左=0和x+12=0的交点在y轴上，贝k的值

是（）

A.-24B.6C.+6D.24

12.（2024高二•全国•课后作业）若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与⑪-了+2=0共有两个交点，则实

数。的值为（）

A.1B.-2C.1或-2D.-1

13.（2024高二上•辽宁沈阳•阶段练习）两直线方程为4：3x-2y-6=0,4：x-y-2=0,贝以关于4对称的

直线方程为（）

A.3x-2y-4=0B.2x+3歹一6=0

C.2x—3y—4=0D.3x—2y—6=0

14.（2024•全国）如果直线歹="+2与直线>关于直线>=x对称，那么（）

A.a=-,b=6B.a=-.b=-6C.a=3,b=—2D.a=3,b=6

33

15.（2024高二下•贵州）若直线"+尸4=0与直线x-2=0的交点位于第一象限，则实数。的取值范围

是（）

A.。<一1或Q〉2B.a>-lC.a<2D.-1<a<2

16.（2024高二下•贵州黔东南•阶段练习）点尸在直线3x-4y-5=0上，。为原点，则|。巴的最小值是

（）

A.1B.2C.45D.2-75

17.（2024高二上•广西河池・期末）已知直线4』+即+2=0,/2：2x+4y+3=0相互平行，则入。之间的距

离为（）

AV5RV5r275石

10552

18.（2024高二上•江苏淮安•期中）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮

马傍交河"，诗中隐含着一个有趣的数学问题一一"将军饮马"问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出

发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为

8（-2,0）,若将军从山脚下的点/（1,0）处出发，河岸线所在直线的方程为x+j=3,贝〃将军饮马”的最短总

路程为（）

A.V27B.5C.V15D.729

19.（2024高一下•全国•课后作业）直线/：x+2y-l=0关于点（1,-1）对称的直线/，的方程为（）

A.2x—y—5—0B.%+2）—3—0C.x+2y+3=0D.2x—y—1=0

20.（2024高二上•四川遂宁•期末）已知点/与点2（2,1）关于直线x+y+2=0对称，则点N的坐标为（）

A.（-1,4）B.（4,5）

C.（-3,-4）D.（-4,-3）

21.（2024高二上•江苏连云港•阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过："数无形时少直觉，形少数时难入微

事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：瓜石F7彳可以转化为平面上点M（xj）

与点N（a,6）的距离.结合上述观点，可得f（x）=Jx2+1Ox+26++6x+13的最小值为（）

A.5B.V29C.V13D.2+V13

22.（2024高三下•河北石家庄•开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角

形三个内角均小于120。时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三

边的张角相等均为120。.根据以上性质，z=-炉+/+加+厅+/+商+（.-的最小值为（）

A.2B.y/3C.2-y/3D.2+5/3

二、多选题

23.（2024高二上•全国,课后作业）三条直线x+y=O,x-y=0,x+即=3构成三角形，贝匹的值不能为

（）

A.1B.2

C.-1D.-2

三、填空题

24.（2024高二上•全国•课后作业）直线y=3x-4关于点尸（1,1）对称的直线方程为.

25.（2024高三•全国•课后作业）若直线》=G+2与y=3x-6关于直线N=x对称，则实数0=.

26.（2024高二•江苏•假期作业）己知点“«-4）与点N（2,3）间的距离为7亚，则》=.

27.（2024高二•全国•课后作业）直线2x+5y-3=0关于点M（-l,2）对称的直线方程是.

28.（2024高二•全国•课后作业）设直线/经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点，且与两坐标轴围成等

腰直角三角形，则直线/的方程为.

29.（2024高二•全国•课后作业）如果直线＞=ox+2与直线＞=3x-6关于直线V=x对称，那么a=,

b=.

30.（2024高二•全国•课后作业）若直线4：y=-x+b与直线4：5x+3y-31=0的交点在第一象限，则实数b

的取值范围是.

31.（2024高三•全国•专题练习）直线2x-y+3=0关于直线x—y+2=0对称的直线方程是.

32.（2024高二•全国•课后作业）如果直线/与直线x+y-l=O关于夕轴对称，那么直线/的方程是.

fx+2y=4

33.（2024•上海奉贤•二模）若关于x,V的方程组，•〈有唯一解，则实数a满足的条件是______.

[3x+ay=0

34.（2024高三•全国•对口高考）过点尸（0,1）且和《（3,3）,5（5,-1）的距离相等的直线方程是.

,[lx-by=3

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