与圆有关的位置关系 学案（含答案）-2025年陕西中考数学一轮复习教材梳理

第2节与圆有关的位置关系

（6年6考,8分）

•命题分析

中考每年必考内容,题型为解答题.主要考查与切线性质有关的证明与计算，如今与其他

知识点结合，综合考查.比如相似三角形，全等三角形，锐角三角函数，勾股定理，四边形等.

【回归教材•过基础】

【知识体系】

三角形外接圆三角形内切圆

【知识清单】

知识点1与圆有关的位置关系检专

点与圆的位置关系（设圆

的半径为r,平面内任一

点在圆外od①r,如图中点A

点到圆心的距离为d）点在圆上od②r,如图中点B

、点在圆内od③r,如图中点C

直线与圆的位置关位置关系相离相切相交

系（设圆的半径为r,d与r的关系d④_______rd⑤______r_d⑥______r_

圆心到直线的距离

为d)不意图0

公共点的个数没有公共点有且只有一个公共点有两个公共点

知识点2切线第考

切线的性质:圆的切线⑦于过切点的半径(或直径)

切线的判定

'若直线与圆的公共点已知，连接过这点的半径，证明这条半径与要证直线垂直即可

,可简述:有公共点，连半径,证垂直

,若直线与圆的公共点未知，过圆心作要证直线的垂线，证明垂线段的长等于圆的半径即可

、可简述:无公共点，作垂直,证半径

切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长⑧，这一点和圆心的连线⑨—

两条切线的夹角.如图，过。0外一点P可引两条切线PA,PB,贝I]PA=⑩,P0平分/APB

知识点3三角形的内心畛有

(定义⑪叫作三角形的内切圆，⑫叫作三角形的内心

卜生质:三角形的内心到三角形⑬的距离相等;三角形的内心是⑭的交点

【真题精粹・重变式】

考向1与切线性质有关的证明与计算q年g考

1.(2022.陕西24题8分)如图,AB是。O的直径,AM是。O的切线,AC,CD是OO

的弦，且CDLAB,垂足为E,连接BD并延长，交AM于点P.

(1)求证:NCAB=NAPB.

(2)若OO的半径r=5,AC=8,求线段PD的长.

2.(2024.陕西24题8分)如图，直线1与OO相切于点A,AB是OO的直径，点C,D

在直线1上，且位于点A两侧，连接BC,BD,分别与。O交于点E,F,连接EF,AF.

(1)求证:NBAF=NCDB.

(2)若OO的半径r=6,AD=9,AC=12,求EF的长.

考向2与切线判定有关的证明与计算

3.如图，在RtAABC中,/©=90。,。0是4ABC的外接圆，点D在O0上，且检=包,

过点D作CB的垂线，与CB的延长线相交于点E,并与AB的延长线相交于点F.

(1)求证:DF是O0的切线.

(2)若。O的半径R=5,AC=8,求DF的长.

4.如图，在RtAABC中,NBAC=90o,NBAD=NC,点D在BC边上，以AD为直径的

。。交AB于点E,交AC于点F.

(1)求证:BC是O0的切线.

(2)已知AB=6,AC=8,求AF的长.

【核心突破・拓思维】

题型1切线的性质及其应用

如图，在RtAABC中,NBAC=90。,以AB为直径的。0交BC于点D,过点D

作OO的切线交AC于点E,连接AD.

⑴求证:AE=DE.

⑵若AB=10,BD=6,求AC的长.

,变式设问

1.如图,AB是。O的直径,BC是。O的切线,D为BC的中点，连接AD与。O交于

点E,连接CE并延长，与。O交于点F,且CF经过圆心O.

⑴求证:E为CF的中点.

⑵若AD=6,求。。的半径.

RDC

E如图,四边形ABDC内接于。O,AD平分NBAC,延长AC交。O的切线DE

于点E.

(1)求证:BC〃DE.

⑵连接DC,若cos/BADq,DC=10,求点C到DE的距离.

:变逋这问

2.如图，在△AOB中,O。与AB相切于点D,延长A0交。0于点C,连接CD,过点

A作AFLBO,交B0的延长线于点H,交。0于点F,ZB=ZC.

求证:(1)AF〃CD.

(2)AH2=OHBH.

题型2切线的判定及其应用

3如图，在△ABC中,NA=45。,以AB为直径的。0经过AC的中点D,E为。0

上的一点，连接DE,BE,DE与AB交于点F.

(1)求证:BC为。。的切线.

⑵若F为0A的中点,O0的半径为2,求BE的长.

,变式设问

3.如图,AB为。O的直径O过AC的中点D,DE，BC于点E.

(1)求证:DE为。。的切线.

⑵若DE=2,tanC=g,求。O的直径.

方法归纳

(1)切线性质的运用口诀:“见切点,连半径，得垂直,得等腰”.在运用切线的性质时，当连接半径

之后，会得到垂直条件，进而会出现直角三角形，同时圆的半径均为等线段，则会出现等腰三角形.利

用等腰三角形和直角三角形的性质，可完成等角转换.

(2)切线的判定:判定直线是不是圆的切线时，从以下两个维度入手.

①连半径，证垂直.通过连接半径，得到等线段，寻找等腰三角形进行等角转换(互余导角)，以此来证

明垂直；

②作垂直,证半径.通过作垂直，寻找全等三角形，利用全等三角形的性质来证明所作垂线段为半径.

参考答案

回归教材•过基础

知识清单

S②二③<@>⑤:@<⑦B直创目等@¥分⑩PB⑪

与三角形各边相切的圆⑫三角形内切圆的圆心⑬各边⑭三条角平分线

真题精粹.重变式

1.解析:⑴证明：：是。。的切线，.：ZBAM=9Q°.

"."CD±AB,/.ZCEA=90°,.".AM//CD,

•：/CDB=/APB.

VZCAB=ZCDB,.：ZCAB=ZAPB.

(2)如图，连接AD

为。。的直径，

r.ZCDB+ZADC=9Q°.

VCD±AB,

r.ZCAB+ZC=9Q°.

VZCDB=ZCAB,

r.ZADC=ZC,

.'.AD=AC=8.

VAB=10,

.：BD=Vnn2-AD2=6,

"/ZADB=ZPAB,ZABD=ZPBA,

；.&ADBsAPAB,

・nnWO50

・・PB=--=—,

□□63'

ZPZ)=--6=-.

33

2.解析:⑴证明：丁直线/与。。相切于点A,A3是O。的直径,

.：ABLCD,.".ZBAC=ZBAD=90°.

是。。的直径，

/.ZAFB=9Q°.

,."ZBAF+ZABD=9Q°,ZCDB+ZABD=9Q°,

•：/BAF=/CDB.

(2)在RtAA3。中，

'/AB=2r=12AD=9,

/.BD=j92+122=15.

在R3ABC中，

：*AB=124C=12,

.：BC=7122+122=12V2.

"/ZABF=ZDBA,ZAFB=ZBAD,

BAFSABDA,

：.BF：BA=BA：BD,^BF；12=12；15,

解得

"/ZBEF=ZBAF,ZBAF=ZCDB,

/.ZBEF=ZCDB.

"/ZEBF=ZDBC,

.：△BEFsABDC,

.：EF：DC=BF：BC^EF；21=y/12A/2,

解得E7三半，即ER的长为华.

3.解析:⑴证明:如图，连接。。并延长，与AC相交于点P.

/.DPLAC,

,：ZDPC=90°.

VDE±BC,

/.ZCED=90°.

：,ZC=90°,

.：ZODF=90°,

.：D尸是。。的切线.

⑵7ZC=90°,

/.AB=2R=10.

在R3ABC中,5C=J□口2一口口2=6.

7ZDPC+ZC=180°,

.'.PD//CE,

r.ZCBA=ZDOF.

VZC=ZODF,

.：AABCsAFOD,

4.解析:⑴证明：7/胡。=90。，

r.ZDAC+ZBAD=90°.

VZBAD=ZC,/.ZDAC+ZC=9Q°,

r.ZADC=9Q°.

又：ND是。。的直径，

.：3。是。。的切线.

(2)如图，连接

在RtAABC中,

AB=6AC=8,

.：3。国口口2+口口2=1。

：$△ABC=-ABAC=-BCAD,

22

Z-x6x8=-xlOxA£),

22

解得

:ND是。。的直径，

.：ZAFD=90°,

/.ZAFD=ZADC.

又VZDAF=ZCAD,

.：△ADRS^AC。，

24

,BPZ=^,.：AF=-.

□□on58二'25

5

核心突破•拓思维

例1解析:⑴证明:如图，连接OD

:2A4c=90。,。石是0。的切线，

.'.Z0AD+ZDAE=9Q°,0DLDE,

.：/。。£=90°,即/。。4+/4。£=90。.

\"OA=OD,

/.ZOAD=ZODA,

.：/DAE=/ADE,

.".AE=DE.

⑵：N3是。。的直径，

/.AD±BC,ZB+ZBAD=90°.

"."AB=10,BD=6,

.：Ar)=Vnn2-BD2=8,

在△ABC和△DA4中，

VZBAC=ZBDA=9Q°,ZCBA=ZABD,

.：△ABC^ADBA,

，:四二四即以四

□□68'

.：AC=-.

3

变式设问L解析:

⑴证明:如图，连接底

:,在。。中,NA=NENR=N03R,

r.ZA=ZOBF,

.".AD//BF.

：Z＞为BC的中点，

.：E为CT的中点.

⑵设。。的半径为厂,由⑴可知,"=CE=2r,

,'.0C=0E+EC=3r.

:，BC为。。的切线,.：ZABC=9Q°.

在RtAOBC^3,0C=3r,0B=r,

.：BC=Vnn2-OD2=2V2r,

/.BD=CD=^BC=41r.

在RtAA3。中,A3=2r,AD=6,且AD?=A"+BD2

.：62=4^+27,解得尸=述.

.：。。的半径为述.

例2解析:⑴证明:如图，过点。作于点H.

A

DGE

:/。平分NA4C,

.：/CAD=/BAD,

/.BD=CD.

:'DHLBC,

是BC的中垂线，

必经过圆心点Q

:Z)E是。。的切线，

.'.DH±DE,

/.BC//DE.

(2)如图，过点。作CG,DE于点G

由(1)知3。〃。自

r.ZBCD=ZCDE.

.：/BAD=/BCD,

•：/CDE=/BAD.

3

：*DC=10,cosZBAD=|,

.:在RtACDG,cosZCDE=—=—=~,

'□□105'

・：DG=6,

.：CG=J口EDNJ1()2_62=8,即点c到DE的距离为8.

变式设问2.证明:⑴如图，连接OD

;。。与A3相切于点D,

.'.OD±AB,

/.ZBDO=9Q°,

/.ZB+ZBOD=90°.

r/B=/c,

/.ZC+ZB0D=9Q°.

；OC=OD,

/.ZODC=ZC,

r.ZODC+ZBOD=90°,

ZDMO=180°-(ZODC+ZBOD)=90°,

•：DC1BH.

：'AF±BH,.：DC//AF.

(2)7DC//AF,

•：/OAH=/C.

VZB=ZC,

/.ZOAH=ZB.

VZAHO=ZBHA,

.".^AHO^ABHA