直线与圆、圆与圆综合问题-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第07讲直线与圆、圆与圆综合问题

【人教A版2019】

1.直线与圆的位置关系及判定方法

(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下:

位置相交相切相离

交点个数两个一个零个

)

图形归

d与r的关d<rd=rd>r

系

方程组有两组不

仅有一组解无解

解的情况同的解

(2)直线与圆的位置关系的判定方法

①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的

实数解，即A>o,则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即△=(),则直线与圆相切；若无实数解，即

A<o,则直线与圆相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径，的大小来判断，当时，直线与圆相交；当d=?"时，直线

与圆相切；当心r时，直线与圆相离.

2.圆的切线及切线方程

(1)自一点引圆的切线的条数：

①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

(2)求过圆上的一点(X。/。)的圆的切线方程：

①求法：先求切点与圆心连线的斜率%(际0),则由垂直关系可知切线斜率为-：，由点斜式方程可求

得切线方程.如果仁0或4不存在，则由图形可直接得切线方程.

②重要结论：

22

a.经过圆x?+y=r-上一点P(x0,y0)的切线方程为+yoy—r.

2222

b.经过圆(x—a)+(^—6)=r上一点P(xo,yo)的切线方程为(沏一a)(x—a)+(y0~b)(y—b)—r.

2

c.经过圆x?+y+Dx+Ey+F^0上一点尸&,3的切线方程为x()x+yoy+D-二“。+E-+F

=0.

3.圆的弦长问题

设直线/的方程为y=fcv+6,圆C的方程为(x—xoF+O—%)2=/，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径八圆心到直线的距离4、弦长/三者具有关系式：/=/+

(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为4(而,凶),2(孙,乃).

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

y—kxb

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程,由一元

22

(x—x0)+(V—Jo)=r-

二次方程中根与系数的关系可得+》2,X1•X2或％+了2,了1,乃的关系式，通常把|48|=|xi—Xzl或

\AB\=从一列叫作弦长公式.

4.解与圆有关的最值问题

(1)利用圆的几何性质求最值的问题

求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.

①如图251-4①,当直线/与圆C相交时,最小距离为0,最大距离为AD=r+d.其中厂为圆的半径，d

为圆心到直线的距离；

②如图2-5-1-4②,当直线/与圆C相切时,最小距离为0,最大距离为A£>=2r；

③如图251-4③,当直线/与圆C相离时,最小距离为BD=d-r,最大距离为AD=d+r.

图2-5-1-4

(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题

解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选

用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几

何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如"=上注的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

X-a

②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如(x—a)2+3—6尸的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.

5.直线与圆的方程的应用

(1)解决实际问题的步骤：

①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据；

②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程；

③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解；

④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释.

(2)建系原则

建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：

①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可

以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐

标轴.

②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形

的三个顶点全部放在坐标轴上.

►题型归纳

【题型1直线与圆的位置关系的判断】

【例1.1](23-24高二下・云南曲靖・期末)已知圆C:Q—2)2+必=16,直线1:7nx+y-3zn-1=0,则

下列结论中正确的是()

A.直线/恒过定点(2,1)B.直线/与圆C相切

C.直线/与圆C相交D.直线1与圆C相离

【解题思路】求出圆C的圆心和半径，直线2所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置

即可.

【解题思路】圆C:(x-2)2+y2=16的圆心C(2,0),半径r=4,

直线2:m(x-3)+y-1=0恒过定点(3,1),显然J(3-2尸+F=&<&=>

因此点(3,1)在圆C内，直线I与圆C相交，ABD错误，C正确.

故选：C.

【例1.2](23-24高二下.上海•期中)已知直线1:ax+by—产=o与圆c：/+丫2=产&>0),点a(a,b),

则下列说法错误的是()

A.若点a在圆c上，则直线/与圆c相切

B.若点a在圆c内，则直线，与圆c相离

C.若点4在圆C外，则直线I与圆C相离

D.若点a在直线[上，则直线1与圆c相切

【解题思路】利用点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系求解.

【解题思路】圆心C(0,0)到直线Z的距离d

若点/(a,b)在圆C上，则小+庐=/2,所以d=>0),则直线/与圆C相切，故A正确；

yJaz+bz

2

若点Z(a,b)在圆C内，则02+82〈厂2,所以d="力r>厂&>0),则直线/与圆C相离，故B正确；

7a2+1)2

若点/(a,b)在圆C外，则出+匕2>丁2,所以d=vr(r>0),则直线/与圆C相交，故C错误；

\/az+bz

若点Z(a,b)在直线[上，则小+Z?2-r2=0,即小+炉=r2,所以d=7高至=r(r>0)直线/与圆C相切，

故D正确,

故选：c.

【变式1.1](2024.北京海淀.三模)已知直线Z:fcc-y+1-2=0和圆。。:％2+y2=产①>0),则什=企，，

是“存在唯一人使得直线/与。。相切”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】先由r=应，点到直线距离公式列出方程，求出此时k=-1,充分性成立；求出Lkx-y+l-

k=0所过定点，再由存在唯一上使得直线/与O。相切“，得到r=l或定点在圆上，得到方程，求出相应的

答案，必要性不成立.

【解题思路】r=鱼时，—y+l—k=0到O0:/+y2=2的距离为《骂=/，

V1+/C2

故1—2k+1=2+2卜2,解得k=-1,

满足存在唯一上使得直线/与O。相切”，充分性成立，

l:kx—y+1—k=0经过定点

若r=1,QO-.x2+y2—1,若k=0,此时直线=

直线2:y=1与。。相切，另一条切线斜率不存在，

故满足存在唯一女使得直线/与O。相切”，

当”(1,1)在OO-.x2+y2=r2(r>0)上，满足存在唯一左使得直线/与。。相切，

故产=1+1=2,

又r>0,解得r=V2,必要性不成立，

故“r=/”是“存在唯一人使得直线/与。。相切”的充分不必要条件.

故选：A.

【变式1.2](2024.安徽.模拟预测)已知直线+(1+a)y=2-a,圆C:/+V一6久+4y+12=0,

则该动直线与圆的位置关系是()

A.相离B.相切C.相交D.不确定

【解题思路】根据题意可得直线[表示过定点4(3,-1),且除去y=-l的直线，点力在圆上，可判断直线I与

圆C相交.

【解题思路】因为直线+(1+a)y=2-a,即x+y-2+a(y+1)=0,

当y+1=0时，x+y-2-0,解得[jl]],

所以直线/表示过定点4(3,-1),且除去y=-1的直线,

将圆C的方程化为标准方程为(x-3)2+(y+2)2=1,因为|4C|=1,点力在圆上，

所以直线Z与圆C可能相交，可能相切，相切时直线Z为y=-l,不合题意，

所以直线I与圆C相交.

故选：C.

【题型2弦长问题】

【例2.1](2024・湖北•模拟预测)过三点4(1,0),8(2,1),C(2,—3)的圆与直线x—2y—1=0交于M,N两

点，贝U|MN|=()

AAnACAnc尸

A.—4/5B.—6/5C.—8/5D.2V5

555

【解题思路】根据给定条件，求出圆ABC的方程，再利用弦长公式求解作答.

【解题思路】依题意，设圆4BC的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F^0,D2+E2-4F>0,

1+D+F=0

于是5+2D+E+F=0,解得。=—6,E=2,F=5,

、13+2D—3E+F=0

则圆ABC的方程为"+y2-6久+2y+5=0,即(x—3/+(y+=5,其圆心为(3,—1),半径r=有,

点(3,-1)到直线x-2y-1=0的距离为d=

■\/1+(-2)"V卜

所以|MN|=2Vr2-d2=26V5

5

【例2.2](23-24高二上•山东威海・期末)已知直线尤—y+1=0与圆久2+/-4%-2y+m=0交于A,B

两点，且|4例=2直，则实数租=()

A.4B.3C.2D.1

【解题思路】由题意将圆的方程化为标准方程，结合点到直线的距离公式以及弦长公式即可列方程求解.

【解题思路】由题意圆％2+y2—4%—2y+771=0即圆(％-2)2+(y-1)2=5-TH的圆心、半径分别为

(2,1),丁=V5—m,(m<5),

圆心(2,1)到直线％—y+1=0的距离为d=套=或，

所以|4B|=2Vr2-d2=2V5-m-2=2/，解得m=1.

故选：D.

【变式2.1](24-25高二上•陕西西安•开学考试)直线/过点(2,1),且与圆C：(%—2>+(y—4>=10相交

所形成的长度为整数的弦的条数为()

A.6B.7C.8D.9

【解题思路】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确

定弦的条数.

【解题思路】由题设，圆C的圆心为(2,4),且半径r=同，

而(2-2尸+(1—4尸=9<10,即点(2,1)在圆内，且圆心到该点的距离d=3,

当直线I与(2,1)、(2,4)的连线垂直时，弦长最短为2Ur2—d2=2,

而最长弦长为圆的直径为2VTU,故所有弦的弦长范围为[2,2同],

所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为2,3,4,5,6,

根据圆的对称性，弦长为3,4,5,6各有2条，弦长为2的只有1条，

综上，共9条.

故选：D.

【变式2.2](23-24高二下•广东茂名.阶段练习)已知圆C:(x—3)2+(y—4)2=9,直线/：(7n+3)%=

(m+2)y+m=0.则直线I被圆C截得的弦长的最小值为()

A.2A/7B.V10C.2V2D.V6

【解题思路】先求出直线Z所过的定点P(2,3),数形结合得到当CP1时，直线I被圆C截得的弦长最小，再由

垂径定理得到最小值.

【解题思路】直线Z:(m+3)x—(m+2)y+m-m(x—y+1)+3x—2y—0,

令｛1Nt1二〉解得二所以直线胆过定点P(2,3),

圆C:(x-3)2+(y—4)2=9的圆心为C(3,4),半径为r=3,

且|PC『=(2-3)2+(3-铲=2<9,即P在圆内，

当CP1E时，圆心C到直线/的距离最大为d=\PC\=V2,

此时，直线Z被圆C截得的弦长最小，最小值为2，产一d2=2位.

故选：A.

【题型3切线问题、切线长问题】

【例3.1](23-24高二上.天津•期末)过(1,0)点且与圆/+外一4x—4y+7=0相切的直线方程为()

A.2%-y—2=0B.3%—4y—3=0

C.2x—y-2=0或x=lD.3x—4y—3=0或x=1

【解题思路】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.

【解题思路】圆/+y2-一4y+7=0,即圆(x-2)2+(y-2)2=1的圆心坐标，半径分别为(2,2),1,

显然过(1,。)点且斜率不存在的直线为#=1,与圆(久—2)2+(y—2尸=1相切，满足题意；

设然过(1,0)点且斜率存在的直线为y=fc(x-1),与圆(％-2)2+(y-2)2=1相切，

所以d=¥^=l=r,所以解得

vfc2+l4

所以满足题意的直线方程为3x-4y-3=0或％=1.

故选：D.

【例3.2](23-24高三下.海南•阶段练习)过点P(-2,0)作圆/+必―切=1的两条切线，设切点分别为4,

B,贝!||4B|=()

.V30„V15c同„V15

A.44D.2C.2JJ.

【解题思路】根据条件，得到圆心为“(0,2),半径为r=遮，从而得到|MP|=2VLPA=PB=V3,再利

用等面积法，即可求出结果.

【解题思路】因为久2+/一®=1,即/+(y-2尸=5,故圆心为M(0,2),半径为r=遮，

又P(-2,0),所以|MP|=2企，故切线长|P川=|PB|=我。=遮,

由？x嘤x\PM\=ix\PA\x\MA\,得到网=2xg等=亨,

2222V22

故选：c.

【变式3.1](2024.广西南宁.一模)过点P(2,2)的直线k与圆(％-I)2+y2=1相切，则直线人的方程为()

A.3%—4y+2=0B.4%—3y—2=0

C.3x—4y+2=0或％=2D.4%—3y—2=0或％=2

【解题思路】当人斜率不存在时可知满足题意；当入斜率存在时，设其方程为y-2=k(x-2),利用圆心到

直线距离等于半径可构造方程求得鼠由此可得切线方程.

【解题思路】当过P(2,2)的直线匕斜率不存在时，方程为光=2,与圆(x-iy+f=1相切，满足题意；

当过P(2,2)的直线4斜率存在时，设方程为y-2=k(x-2),即"—y-2k+2=0,

・•・圆(x-1)2+y2=1的圆心到％的距离d==1,解得：k=[,

O1

•••—y+--0,即3x—4y+2=0；

・・.直线%的方程为3x-4y+2=。或x=2.

故选：C.

【变式3.2](2024.湖北.模拟预测)已知点P为直线1:3x—4y+12=0上的一点，过点P作圆C:(久一3尸+

(y-2尸=1的切线PM,切点为M,则切线长|PM|的最小值为()

A.工B.至C.叵D.叵

5555

【解题思路】分析可知CM1PM,由勾股定理可得|PM|=JiPCF-1,当|PM|取小值时，PC1I,求出圆

心到直线/的距离，作为|PC|的最小值，结合勾股求解即可.

【解题思路】由题意可知，圆C的圆心为C(2,3),半径为|CM|=1,

由圆的几何性质可知，CM1PM,

由勾股定理可得|PM|=y/\PC\2-\CM\2=y/\PC\2-1,

所以要使切线长|PM|取最小值，只需|PC|取最小值即可.

当直线PC与直线2:3%-4y+12=0垂直时，|PC|取最小值d=粤粤=”，

'V32+(-4)25

则|PM|的最小值是一1=/

故选：A.

【题型4圆上的点到直线距离个数问题】

【例4.11(23-24高二上•湖南长沙•期末)r=2是圆Q+2)2+(y-I)2=产上恰有两个点到直线x+y—1=

。的距离等于鱼的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【解题思路】首先计算圆心到直线的距离，再结合直线与圆的位置关系，以及充分，必要条件的定义，即

可求解.

【解题思路】若r=2,则圆心(一2,1)到直线x+y-l=0的距离d=气|工=VL

则圆(％+2)2+(y-I)2=4上恰有两个点到直线x+y-1=0的距离等于VL

反过来，若圆(％+2)2+(y-I)2=N上恰有两个点到直线％+丫_1=0的距离等于企，

则0<\r\<2vL即-2&<r<0或0<r<2vL不一定r=2,

2

所以r=2是圆(x+2)2+(y-I)=，上恰有两个点到直线*+y-1-0的距离等于鱼的充分不必要条件.

故选：A.

【例4.2】(23-24高三上•贵州贵阳・期末)若圆C:小+*—12x+10y+25=0上有四个不同的点到直线

/:3x+4y+c=0的距离为3,贝Ue的取值范围是()

A.(一8,17)B.(-17,13)C.(-13,17)D.(-12,18)

【解题思路】求出与直线I平行且到直线I的距离为3的直线的方程分别为3x+4y+c-15=0、3x+4y+

c+15=0,由题意可知，这两条直线与圆C都相交,根据直线与圆的位置关系可得出关于实数c的不等式组，

即可解得实数c的取值范围.

【解题思路】将圆C的方程化为标准方程为(x-6)2+(y+5)2=36,圆心为C(6,-5),半径为6,

设与直线I平行且到直线，的距离为3的直线的方程为3%+4y+m=0,

则=3,解得m=c+15或m=c-15,

V32+42

所以，直线3%+4y+c—15=0、3%+4y+c+15=0均与圆C相交，

f|-3-x-6--4--x-5-+-c-1-5-|<6,

所以，〈3X642+「+”1，解得一13<c<17,

。一十C十

-|3-X---------_L-b|<6,

I5

因此，实数c的取值范围是(-13,17).

故选：C.

【变式4.1](2024•全国•模拟预测)已知直线l:y=依+/，圆/+*=4上恰有3个点到直线的距离都

等于1,则k=()

A.1或aB.一1或一位C.a或一1D.1或一1

【解题思路】结合题意，利用点到直线的距离公式列式求解，再进行验证即可.

【解题思路】如图所示，圆/+y2=4的半径为2.设点P(x,y)在圆久2+y2=4上运动.

圆心。到直线=kx+&的距离d=令=]，贝!Jk=±1.

y/l+k2vl+fc2

①当k=l时，与直线y=x+/平行且距离等于1的直线是丫=x,y=x+2>/2,

与圆的三个交点是Pi，P2,P3,满足题意.

②当k=-l时，与直线y=-刀+/平行且距离等于1的直线是丫=-%,y=-x+2V2,与圆的三个交点

是B，「2，Pq,满足题意.

综上，k=±1.

【变式4.2](2024.山西•二模)己知。是坐标原点，若圆C:/+丫2+2%一4丫+a=0上有且仅有2个点到

直线2x-y-1=0的距离为2,则实数a的取值范围为()

A.(—4—4V5,4V5—4)B.[-4-475,475-4]

C.(-2-2V5,2V5-2)D.[-2-2V5,2V5-2]

【解题思路】求出平行于直线2x-y-1=0且距离为2的直线方程，再求出与圆心较近的直线与圆相交,

另一条平行直线与圆相离的a的范围.

【解题思路】圆C:。+I)2+⑶-2)2=5-a(a<5)的圆心C(一1,2),半径r=V5^a,

设与直线2乂—y-1=0平行且距离为2的直线方程为2x-y—t=0(t力1),

则丁W=2,解得t=±24+l,直线4：2久-y+2遍-1=0,Z2:2x-y-2V5-1=0,

点C(一1,2)到直线匕的距离刈=匕窄包=V5-2,到直线I2的距离=匕%回=V5+2,

V5V5

由圆C上有且仅有2个点到直线2%-y-1=0的距离为2,得圆C与直线人相交，且与直线办相离，

贝杷1了，即第一2Vz解得一4一4时<a<4岔一4,

所以实数a的取值范围为(-4-4V5,4V5-4).

故选：A.

【题型5直线与圆中的面积问题】

【例5.1](2024.湖北•模拟预测)已知A,8是直线小龙+gy—2=0上的两点，且|4B|=1,尸为圆D：

x2+y2+2x-l=0上任一点，则4P4B面积的最大值为()

A.-+V2B.-+—

242

C.--V2D.---

242

【解题思路】根据题意，求得圆心到直线的距离，得到dmax=%+/，结合三角形的面积公式，即可求解.

【解题思路】由圆+y2+2x-1=0,可得圆心£)(—1,0),半径为r=&,

设点P到直线Z的距离为d,圆心。到直线/的距离为h,

可得无=-J121--则dmax=ft+V2=|+V2,

J12+(V3)2

又由|4B|=1,所以AP4B面积的最大值为Jx仔+技)x1

2\2/42

故选：B.

【例5.2](23-24高二上.河北邯郸•期末)过直线—y+4=0上的动点P向圆心为C(2,0),半径为2的圆

引两条切线P4PB(4,8为切点)，则四边形P4CB的面积的最小值为()

A.2V7B.2V14C.V14D.3V2

【解题思路】由圆的切线性质，四边形P4CB的面积S=S^PBC+ShPAC=+\PA\)=rJ|PC『-产,

当PC11时,PC最小，即可求出.

【解题思路】由圆的切线性质，四边形P4CB的面积

S=SAPBC+S“4c=j\PB\\BC\+j\PA\\AC\=jr(|PB|+|P/|)=r\PA\=一』,

当PCLZ时，PC最小，所以四边形pacB的面积最小，

此时|PC|=写?=3隹

V1+1

所以Smm=2j(3夜产-22=2V14.

【变式5.1](23-24高二下.河南.开学考试)已知P是圆0:/+V=9上的动点，点Q满足而=(3,—4),记

Q的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程.

(2)直线I:(m+V3)x+(V3m-2)y+呼一m=0与圆。交于力,B两点，M是曲线E上一点.当伊B|取得最小值

时，求AMAB面积的最大值.

【解题思路】(1)设出点Q坐标，由题意得到点P坐标，代入圆的方程可得；

(2)先求出直线/过定点N,确定过点N的弦的最小值，再求三角形高的最大值，从而确定所求三角形面积

的最大值.

―>

【解题思路】(1)由题意，设Q(x,y),由PQ=(3,—4),得P(x—3,y+4),

P为圆。：/+丫2=9上的动点，所以(%—3)2+(y+4)2=9,

所以Q点的轨迹方程为：(x-3)2+(y+4>=9.

即曲线E的方程为：(x-3)2+(y+4)2=9.

(2)将/的方程整理为(x+V3y-l)m+V3x-2y+学=0,

令3b「解得/所以1过定点N.

V3x—2yH---=0,v=—'乙乙/

2I，2'

如图：

当ABION时，|4B|取得最小值，此时岫可=一百，所以心B=-V*3TTIW—2.=¥3，解得巾=一6¥，

直线48的方程为久—V3y+2=0,

\ON\=+(f)2=1,\AB\=2V9^1=4V2.

由(1)可知，曲线E是圆心为E(3,—4),半径为3的圆，点E到Z的距离为阳4：+2|=|+2日,所以点M至"的

距离dWa+2V3+3=万+2^/3,

故a面积的最大值为［x4V2x(y+2V3)=11V2+4V6.

【变式5.2］(23-24高二上•广西南宁•开学考试)已知圆C：%2+(y—I)2=3,直线1：y=%+m(mER).

⑴若直线［与圆C相切，求m的值；

(2)若6=-2,过直线Z上一点P作圆C的切线P4PB,切点为4B,求四边形PACB面积的最小值及此时点

尸的坐标，

【解题思路】（1）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可,

（2）当m=-2时，直线/的方程为y=%-2,而四边形P4CB的面积S=2SAPQC=遍出川，由圆的性质可

得当|PC|最小时，切线长出川最短，此时PC1Z,求出直线PC的方程，联立两直线方程可得点P的坐标.

【解题思路】（1）由已知，圆心C（O,1）到直线Ax-y+m=O的距离等于半径百，

即d=吃码=V3.

V2

解得：m=1+乃或zn=1—V6.

（2）当爪=一2时，直线/的方程为y=%-2,四边形P4CB的面积S=2SAPAC=8仍川

：APAC为直角三角形，\PA\2=|PC|2-3

当|PC|最小时，切线长|P川最短，显然当PC11时，附/=5

四边形P4C8的面积最小值为Smm=当.

此时，kpc=-1，C(O,1),

直线PC：y—1=-1x(x—0),即y=—x+1.

3

X=-

4="1,解得2,即p仔Y

由1

y=x-2y=——

J2

【题型6直线与圆中的最值问题】

【例6.1］（24-25高一上•湖南•开学考试）如图，在矩形4BCD中，AD=2AB=2V5,以C为圆心，遍为半

径作圆.点P在对角线BD上，直线PE与圆相切于点E,则|P4|+|PE|的最小值为（）

AD

C.V6D-2

【解题思路】建立平面直角坐标系，设P（x,y）,计算|P川+\PE\=|P*+J|PC『一|CE『,并将皆岁表

示为关于y（0<y<西）的函数，然后转化为动点到两定点M,N的距离即可.

【解题思路】如图①所示，分别以2C,84为轴建立平面直角坐标系，连接PC,EC,

则4(0,西),C(2V^,0),P(x,y),直线BD:y=)

所以|PZ|=lx2+(y—V5)2=5y2—2y/5y+5,

22222

\PE\=yj\PC\-\CE\=(x-2V5)+y-3=5y-8V5y+17,

日nlP川+|PE|rz2^~~,二嬴~17

即ry+]+Jy—R+F

故上式相当于点尸（0,y）到点M（等,g）,N（f,卓）的距离之和，且0WyW遮,

即处噌£1=\\+|FM|,

V5FN

如图②所示，作N关于y轴的对称点N1(-，,誓)，

则|FN|+\FM\>(|FN|+|FM|)min==J(g+,尸+(’—等尸=蜉,

所以|P川+\PE\>^xV5=3V2.

所以|P2|+|PE|的最小值为3a.

故选：B.

图①图②

【例6.2]（2024•陕西西安・一模）已知圆。的方程为：/+必=1,点皿2,0）,5（0,2）,P是线段力B上的动

点，过P作圆。的切线，切点分别为C,D,现有以下四种说法：①四边形PC。。的面积的最小值为1；②四

边形PC。。的面积的最大值为倔③丽•丽的最小值为-1；④丽•丽的最大值为|.其中所有正确说法的

序号为（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①④

【解题思路】利用数形结合，将面积PCOD的最值转化为求|OP|的最值，即可判断①②；利用数量积和三角

函数表示瓦•PD,再转化为利用对勾函数的单调性求最值.

【解题思路】如图，当点P是4B的中点时，此时。P14B,|OP|最短，最小值为企，

当点P与点力或点B重合时，此时|OP|最长，最大值为2,

因为PC,是圆。的切线，所以PCLOC,PD1OD,

则四边形PCOD的面积为|PC||OC|=|PC|=y/\PO\2-1,

所以四边形PC。。的面积的最小值为=I=1,最大值为"^=百，故①②正确;

PC-PD=[PC\\PD\cos/.CPD=|PC|2x(2cos2Z.OPC-1),

42(|PO|2-1)2

2|PC|-|PO|2+1,

时-同I时

=|而广+嵩―3,国/e[2,4],

设、=t+：—3,te[2,4],函数单调递增,最小值为0,最大值为|,故③错误，④正确.

故选:B.

【变式6.1](23-24高二上•江苏泰州.期中)已知时(须、),4(1,2),8(-2,-1),且|用)=夜|用6|,点Q(-2,2).

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)求匕|的最大值和最小值；

X—2

(3)求y-x的最大值和最小值.

【解题思路】(1)由|M2|=a|MB|求出点M的轨迹，结合两点间距离即可求；

(2)将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算；

(3)将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算.

【解题思路】(1)由题意，因为

所以J(x-l)2+(y-2)2=Q/J+2)2+。+1)2,

整理得(x+5尸+(y+4)2=36,

所以点M的轨迹为以(—5,—4)为圆心，6为半径的圆.

所以点(一5,-4)到Q(-2,2)的距离为J(—5+2尸+(—4—2尸=3遍，

所以|MQ|的最小值为3遍-6,最大值为3西+6.

(2)设匚=k,则kx—y—2k+2=0,

x-2

由题意/cr-y-2k+2=0与(％+5)2+(y+4)2=36有交点，

Ct；pi\-5k+4-2k+2\|-7fc+6|

所以M-淅：W6,

解得。

所以匕f的最大值为今最小值为0.

x-213

(3)设y—x=b,则久一y+b=0

当直线与圆相切时，截距b取到最值，

所以।=6,解得b=1—6鱼或b=1+6V2,

V2

所以y—x的最大值为1+6VL最小值为1—6五.

【变式6.2](23-24高二上•山西吕梁・期末)已知圆C:/+y2一2刀—2my+4=0.

(1)求6的取值范围；

(2)当加取最小正整数时，若点P为直线4x-3y+12=0上的动点，过P作圆C的一条切线，切点为力，求线

段P4的最小值.

【解题思路】(1)根据题意，结合方程表示圆的条件，列出方程，即可求解；

(2)由(1)得到圆心C(l,2),半径为厂=1,得至U|P4|=J|PC|2—1,结合圆心到直线的距离，即可求解.

【解题思路】(1)由方程C：%2+y2-2%-2my+4=0表示圆，则满足4+(2171)2-16>0,

即m2>3,解得m<—遮或TH>V3,

所以血的取值范围是(一8,一百)U(百,+8).

(2)由(1),因为m取最小正整数，所以血=2,

所以圆C:(%—1)2+(y—2)2=1,可得圆心C(l,2),半径为丁=1,

又因为|尸川=，附|2-|砌2=J|PC|2_1,

所以|P川取最小值时|PC|取最小值，而|PC|取最小值，

即为圆心C到直线4x-3y+12=0的距离，可得|PC|min==2,

所以IP川min=JlPCImi/T=疗

【题型7直线与圆中的定点定值问题】

【例7.1](23-24高三上.黑龙江哈尔滨.期末)圆G经过点(2,2遍),(-4,0),圆心在直线y=x上.

(1)求圆G的标准方程；

⑵若圆G与％轴分别交于M,N两点，力为直线/:久=16上的动点，直线力M,4N与曲线圆G的另一个交点分别为

E,F,求证直线EF经过定点，并求出定点的坐标.

【解题思路】(1)设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；

(2)设出直线的方程和直线2N的方程，分别与圆的方程联立写出E、F的坐标，进而写出直线EF的方

程，化简即可证明直线EF经过定点，并求出定点的坐标.

【解题思路】(1)因为圆心在直线y=x上，设圆心为(a,a),

又因为圆G经过点(2,2百),(-4,0)

则(a-2)2+(a-2B)=(a+4)2+a2,解得a=0,

所以圆心(0,0)泮径为“0+4尸+。2=4,

所以圆G的标准方程为/+丫2=16

(2)由圆G与x轴分别交于M,N两点，不妨设M(—4,0),N(4,0),

又4为直线2：x=16上的动点，设4(16,t)Q力。)，则k4M=，，[=或，

则4M方程为y=媪(久+4),4N方程为y=5(久-4),

设EOi,%)/G：2,y2)，

联立方程=茄（”+4）,解得（400+t2）x2+8t2x+16（t2-400）=0,

lx2+y2=16

（2）（2）

所以-4/16t-400，即第i=嗡*，儿=上，即跳-4t-400160t\

400+t2,400+t2/400+t2/*

=济-4）,

联立方程y解得（144+t2）x2-8t2%+16（产-144）=0,

%2+y2=16

（2）（2）（产-）

所以4万216t-144,即％2=4t-144，力=五含p即F('4144-96t\

144+t2144+t2,144+t2/144+t2/

160t-96t

当tH±4“^时，k=400+出144+M_32t

EF4（/400）4（*2一144）240-t2,

400+t2144+t2

-96t32t4（产-144）

所以直线EF的方程为y-X2

144+t2240-t2144+t

化简得y=京，(％-1),所以直线EF过定点(1,0).

当t=±46时，%!=x2=1,此时EF过定点(1,0).

综上，直线EF过定点(1,0).

【例7.2](23-24高二上•浙江杭州•期中)已知圆C过点4(2,6),圆心在直线y=x+l上，截y轴弦长为2班.

⑴求圆C的方程；

(2)若圆C半径小于10,点。在该圆上运动，点B(3,2),记M为过B、。两点的弦的中点，求M的轨迹方程；

(3)在(2)的条件下，若直线BD与直线=久一2交于点N,证明：|BM|•|BN|恒为定值.

【解题思路】(1)设圆心为C(a,a+1),设圆C的半径为r,根据圆的几何性质可得出关于a、r的方程组,

解出这两个量的值，即可得出圆C的方程；

(2)利用圆的几何性质得CM利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程；

(3)设直线C8与直线/交于点尸，通过斜率关系得CELZ,利用几何关系得ACBMsANBF,从而|BM|•

\BN\=\BC\­\BF\,利用点到直线的距离公式及两点距离公式求解即可.

【解题思路】(1)解：设圆心为C(a,a+1),设圆C的半径为r,

圆心到y轴的距离为|a|,且圆Cy轴弦长为2时，则产=a?+5,①

且有r=\AC\=J(a-2)2+(a-5)2②,

联立①②可得C或｛::/蛊,

所以，圆C的方程为(％-2)2+(y—3)2=9或(x-12)2+(y-13)2=149.

(2)解：因为C半径小于10,则圆C的方程为(万一2尸+。一3)2=9,

由圆的几何性质得CM1ED即CM1EM,所以两•俞=0,

设M(x,y),则面=(x—2,y—3),前=(x-3,y-2)

所以(％-2)(x-3)+(y-3)(y-2)=0,即M的轨迹方程是(无一|)+(7-|)=|.

⑶解：设直线CB与直线咬于点F,由C(2,3)、8(3,2)可知直线。8的斜率是嗫=三=—1，

因为直线2的斜率为1,则BCJ.Z,贝“BMC=NBFN=90。，Z.CBM=Z.NBF,

所以，4CBMs^NBF,因此，\BM\■\BN\=\BC\■\BF\,

又E至”的距离出F|=与第i=专，\BC\=J(2—3尸+(3—2产=仿

所以，\BM\'\BN\=V2-^=1,故|BM|•|BN|恒为定值2

【变式7.1](23-24高二上.广东广州.期末)已知圆心C在直线y=-2%上，并且经过点4(2,-1),与直线x+

y—1