直线方程重难点题型巩固（定点最值对称等10类题型）原卷版-2024-2025学年人教版高二数学上学期

直线方程重难点题型巩固

（定点，最值，对称等10类题型汇总）

总览1题型解读

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【题型1］知识点梳理与概念辨析.................................................2

【题型2】由平行，垂直关系求参数...............................................5

【题型3】由截距求直线方程......................................................7

【题型4】斜率或倾斜角取值范围问题............................................10

【题型5】直线过定点问题.......................................................15

【题型6］3类与直线有关的对称问题.............................................18

【题型7】光的反射问题.........................................................21

【题型8】直线方程3类常考最值问题............................................25

【题型9】直线距离问题综合....................................................29

【题型10］坐标系中三角形三线综合问题.........................................33

题型汇编1知识梳理与常考题型

【题型1】知识点梳理与概念辨析

基础知识

1、lj/l2=%=月成立的前提条件

①两条直线的斜率存在分别为左1，左2；②4与4不重合；

补充当两条直线的斜率都不存在且不重合时，与4的倾斜角都是90°,则

2、公式4JL4=々•左2=-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在

补充：当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.

3、梳理清楚五类直线方程的表达式与限制条件

/“典型例题/

1.（易错）下列说法中正确的有（）

A.若两直线平行，则两直线的斜率相等

B.若两直线的斜率相等，则两直线平行

C.若两直线的斜率乘积等于-1,则两直线垂直

D.若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于-1

2,下列命题正确的是（）

A.经过定点的直线都可以用方程表示

B.直线/过点尸（%,%）.倾斜角为90。，则其方程为尤=无。

C.在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程二+』=1来表示

aa

D.直线＞=x+2在x轴上截距为2

3.（多选）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（）

A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角

B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率

C.若一条直线的斜率为tana,则该直线的倾斜角为a

D.若一条直线的倾斜角为a（a二90。），则该直线的斜率为tana

///巩固练习/

【巩固练习1］下列四个命题中，正确的是（）

A.直线3x+y+2=0在y轴上的截距为2

B.直线'=0的倾斜角和斜率均存在

C.若两直线的斜率左，内满足左=质，则两直线互相平行

D.若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等

【巩固练习2】下列四个命题：其中正确命题的个数是（）

①经过定点外（厮,%）的直线都可以用方程y-%=左@-%）表示；

②经过任意两个不同的点6（再,乂），心（孙力）的直线都可以用方程卜-X］）•（x-网）=（%-%）

（了一必）表示；

③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；

④经过定点工（0,9的直线都可以用方程了=丘+6表示.

A.0B.1C.2D.3

【巩固练习3】（多选）下列关于直线方程的说法正确的是（）

7T

A.直线x-ysin0+2=0的倾斜角可以是

B.直线/过点（-2,3）,并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y-l=0

C.过点%）的直线Ax+By+C=0的直线方程还可以写成/（X-X。）+8（卜％）=0

D.经过/（三,必）,8（马,打）两点的直线方程可以表示为之二五=忙土

必一为%一％2

【题型2】由平行，垂直关系求参数

基础知识

1、由一般式确定两直线平行的方法

判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设

/1:Atx+Biy+Cl=Q（4再不全为0）,12:A2x+B2y+C2=0（4，与不全为0），贝心

当4与一44^0时，直线4,相交;

当4与=44时，44直线平行或重合，代回检验；

2、由一般式确定两直线垂直的方法

判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设

/]：4x+8]_y+G=0不全为0）,4:A2X+B2y+C2=0（4,与不全为0）,贝!|：

当482-48产0时,直线44相交；

当4=0时，4/直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆.

/“典型例题/

4,若直线/[：（"l）x+（"2）y-l=0与直线乙：6工+（2”3）y-3=0垂直,则实数。的值为.

5.已知直线4：（加2+〃?-2）x+即一6=0与/2：2x+y-3=0平行，贝U实数加的值为（）

A.-1B.2

C.-1或2D.以上答案均不对

///巩固练习/

【巩固练习1】直线乙：ax+3y+2a=0与直线4：2x+（“—l）y+（a+1）=0平行，则"/["/z”是

“a=-2”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要

【巩固练习2】已知直线4：（加+2■+（加+3）＞一5=0和/2：6工+（2"?-1）〉-5=。，问实数加为何值时,

分别有:（1）乙与4相交？（2）分/4?（3）4与4重合?

【题型3】求直线方程

基础知识

易错点：忽略截距式方程的限制

6.已知直线/经过(1,2)

(1)当直线的倾斜角为45。时，求直线/的方程；

(2)当直线/在两坐标轴上的截距相等时，求直线/的方程.

7,直线/过点4(2,3),则直线/与x轴、＞轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为()

A.9B.12C.18D.24

/“巩固练习/

【巩固练习1】过点4(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.x—y+l=OB.x+y-i=O

C.2x—y=0或x—y+l=0D.2x+y=0或x+歹+1=0

【巩固练习2】（23-24高二上•甘肃庆阳•阶段练习）已知直线/：y=办+2-。过定点P.

(1)求点尸的坐标；(2)若直线/在％轴和V轴上的截距相等，求。的值.

【巩固练习3】过点尸（3,4）的直线/

（1）求/在两个坐标轴上截距相等的方程；

（2）求/与xy正半轴相交，交点分别是3,当A4O2面积最小时的直线方程.

【题型4】斜率或倾斜角取值范围问题

基础知识

求斜率范围看直线能否竖直，直线能竖直则斜率范围带±00

求倾斜角范围看直线能否水平：直线能水平则倾斜角为范围带有0°和180°

/“典型例题/

8⑵-24高二上・湖南张家界•阶段练习）已知某直线的倾斜角.与争，则该直线的斜率上的

范围为______

9.已知直线4：y=fcv-4与直线乙：x+2y+2=0的交点在第三象限.则实数后的取值范围为（）

A.(-oo,-2)B.(-2,+co)C.D.(-2,0)

10.已知点4-2,4）,B（-l,-3）,若直线y=h与线段有公共点，则（）

A.ke(―8,—2]口[3,+8)B.kG[—2,3]C.kG(―,——]o[―,+

11.已知点4-1,3),8(3,2),过点尸的直线/与线段相交，则直线/的倾斜角的取值范围

为，直线/的斜率的取值范围为.

///巩固练习/

【巩固练习1】已知直线/的斜率左€卜1,6],则该直线的倾斜角a的取值范围为()

【巩固练习2】直线/的斜率k的取值范围是1右],则倾斜角a的范围是.

【巩固练习3】已知直线》+广3加=0和2x-y+2加-1=0的交点在第四象限，则掰的取值范围

为.

【巩固练习4】(23-24高二上•吉林延边•期中)设点44,-3),5(-2,-2),直线/过点PCM)且与线段N3

相交，则直线/的斜率上的取值范围是()

44

A.k>l^k<-4B.k>\^k<--C.-4<A：<1D.--<k<\

【巩固练习5】已知点次1,2)、8(0,-唐)，若经过点M(-1,0)的直线/与线段有公共点，则直线/

的倾斜角的取值范围为()

_兀271r71,,57171,.271兀兀…71271

A.B.[0,—]U[—C.[0,—]U[—,7i)D.[―,—)U(—

4J464342ZJ

【巩固练习6】已知点/(-1,3),8(3,2),过点的直线/与线段N8相交，则直线/的倾斜角的

取值范围为，直线I的斜率的取值范围为.

【题型5】直线过定点问题

核心•技巧

核心思路:把参数当成主元，把孙当成参数，当冽前面的系数为0时，则不管m为何值，方程恒成

立，即可推出等量关系

12,直线(mT)x+(2m-\)y=m-3(meR)恒过定点

13.已知点”(2,2),8(8,4),直线/:加x-y+6-4加=0,若直线/与线段有交点，则实数机的取

值范围为.

14.已知直线/方程为(2+加)x+(l-2加)丁+4-3/=0,

那加为时，点0(3,4)到直线/的距离最大，最大值为

/“巩固练习/

【巩固练习1】若直线Ax-y-24+3=0必过一定点，则该定点坐标是.

【巩固练习2】已知直线/：(3/Ul)x+(l-⑷丁+6-6几=0(/1为实数)过定点尸，则点尸的坐标

为.

【巩固练习3】已知点尸(2,-3),0(-3,-2),直线＞=g-左+1与线段尸。相交，则实数上的取值范围

是.

【巩固练习4】(23-24高二上•山东•期中)已知直线/过点(1,2).

(1)若/在两坐标轴上的截距相等，求/的方程；

(2)设。为坐标原点，若/与x轴正半轴交于点4/与了轴正半轴交于点8,求ACMB面积的最小值.

【题型6】与直线有关的对称问题

/核心•技巧/......................................

类型一：点关于直线对称

方法：待定系数法解方程组

类型二：直线关于直线对称

方法：求一个对称点和交点联立得两点式方程

类型三：直线关于点对称

中心对称后斜率不变，再求一个对称点即可得出点斜式方程

/“典型例题/

一、点关于点对称

15.若直线4：了=去-左+1与直线4关于点(3,3)对称，则直线4一定过定点()

A.(3,1)B.(2,1)C.(5,5)D.(0,1)

二、点关于直线对称

16.点。，2)关于直线x+y-2=0的对称点是()

A.(1,0)B.(0,1)C.(0,-1)D.(2,1)

三、直线关于直线对称

17,(23-24高二上•河北石家庄•阶段练习)直线y=x+l关于直线丁=2x对称的直线方程为()

A.3x-y-l=0B.4x-y-2=0C.-3=0D.lx-y-5=0

四、直线关于点对称

18.与直线版-4了+5=0关于坐标原点对称的直线方程为()

A.3x+4y—5=0B.3x+4>+5=0C.3x—4y+5=0D.3x—4y—5=0

/“巩固练习/

【巩固练习1】与直线/：3x-4y+5=0关于V轴对称的直线的方程为.

【巩固练习2】已知点M(-l,2),直线/：2x+y-5=0,点M关于直线/的对称点。的坐标是

【巩固练习3】点关于直线/：x-y+l=O对称的点的坐标为.

【题型7】光的反射问题

H核心•技巧/...................................................

在直线方程的学习中，我们经常遇到光的反射问题，比如求人(反)射光线方程、求从确定入射点到确

定反射点所走的路程、求从确定入射点出发经过几次反射又返回最初入射点的最短路程问题，这些

问题的快速解决基本上都离不开“对称法”.

/“典型例题/

19.(23-24高二上•浙江宁波・期中)如图，一束光线从/(1,0)出发，经直线x+y+l=O反射后又经

过点3(6,-5),则光线从N到8走过的路程为()

A.V55B.2旧C.屈D.2715

20.(23-24•山东潍坊・期中)如图，在直角坐标系xOy中，已知/(3,0),B(0,3),从点尸(1,0)射出

的光线经直线为8反射到y轴上，再经、轴反射后又回到点尸，则光线所经过的路程的为

/“巩固练习/

【巩固练习1]一条光线沿经过点”(1,2)且斜率为、的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的

直线方程为.

【巩固练习2】(23-24高二上•广东佛山•阶段练习)已知光线从点/(-1,2)射出，经直线了=一工反射,

且反射光线过点8(4,-2),则入射光线所在直线的方程是()

A.2x+y=0B.2x+y+4=0C.x-2y+5=0D.x+2y-3=0

【巩固练习3】一条光线沿直线2x-y+2=0入射至I]直线x+y-5=0后反射，则反射光线所在直线的

一般方程为.

【巩固练习4】从点发出的光线经过直线＞=丈+1反射，反射光线刚好通过坐标原点，则反

射光线所在直线的方程为.

【题型8】直线方程3类常考最值问题

心•技157

类型一：点到直线距离最值即两定点之间的距离

类型二：线段和差最值问题一半需要做对称

类型三：由代数最值转化为几何将军饮马问题

21.点（0，T）到直线y=-x+l）距离的最大值为（）

A.1B.y/2C.73D.2

22.（22-23高二上•河南南阳•阶段练习）已知点42,0）、5（-2,-4）,尸在直线/：x-2y+8=0上，则

闷+网的最小值等于.

23,已知实数x，y满足x+y+l=。，则+（y-1丫+&x-2f+y2的最小值为（）

A.45B.272C.厢D.275

/“巩固练习/

【巩固练习11（23-24高二上•江苏宿迁・期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好,

隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当

/（x）=Jd-2x+10+-1Ox+29取得最小值时，实数x的值为（）

【巩固练习2】设x-y+l=O,求＜7=4+/2+6x-10y+34+G+/+4x-30y+229的最小值

是.

【巩固练习3】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代

数问题可以转化为几何问题加以解决，如：Ja-a『+（y-6）2可以转化为平面上点”（无,心与点

N（a,6）的距离.结合上述观点，可得,=川？一2工+5+1苫2-6工+25的最小值为（）

A.2厢B.2及C.V2+V10D.3+0

【题型9】直线距离问题综合

孑核心•技巧/

一、两点间的距离

平面上任意两点4（国,为），鸟（马/2）间的距离公式为1461=J（》2—苞）2+（》2一%）2

特别地，原点。（0,0）与任一点P（x,y）的距离IOP|=M+y2.

二、点到直线的距离

7IAxr,+Bya+C

平面上任意一点到直线/：Zx+坊+。=0的距离~'°

3+/

三、两条平行线间的距离

一般地，两条平行直线4：4x+4y+G=0（Zj+BjwO）和（：^2X+^i.y+Q=0

（+8；彳0）间的距离d=L12=.

--"+§2

/II典型例题/

24.已知点尸（*,1+3。到直线/：y=21的距离为增，则点P的坐标为（）

A.（0,-2）B.（2,4）C.（0,-2）或（2,4）D.（1,1）

25.已知直线/经过点（3,4）,且点/（-2,2）,8（4,-2）到直线/的距离相等，则直线/的方程为.

26.已知点尸（一2,2）,直线/:（2+2）x-（X+l）y-44-6=0,则点尸到直线/的距离的取值范围

为_______.

/“巩固练习/

【巩固练习1】（23-24高二上•湖北十堰・期末）（多选）点/（2,7）,5（-23）到直线/：ax-2y+a-\=Q

的距离相等，则。的值可能为（）

A.12B.2C.9D.11

【巩固练习2】已知/(-2,0),3(4,加)两点到直线/：x-y+l=O的距离相等，则机=()

A.-2B.6C.-2或4D.4或6

【巩固练习3】已知尸(-L3),0(3,6),若p,。到直线/的距离都等于g,则满足条件的直线/共

有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【巩固练习4】至IJ直线x+后+/=0的距离不超过2,则实数/的取值范围是.

【巩固练习5】已知三条直线k:2x—y+a=0(a>0),/2:—4x+2y+1=0,/3:x+y—1=0,且多与I?

间的距离是述.

10

⑴求。的值.

(2)能否找到一点尸，使P同时满足下列三个条件？若能，求点尸的坐标；若不能，说明理由.

①点P在第一象限；

②点p到乙的距离是点p到4的距离的③点尸到4的距离与点P到4的距离之比是0：。.

【题型10】坐标系中三角形三线综合问题

核心•技巧

中线处理策略：设点坐标，再表示出中点坐标，带入中线方程

高线处理策略：斜率之积为一1

角平分线处理策略：把一个顶点关于角平分线做对称

/“典型例题/

27.（23-24高二上•江苏无锡・期中）已知ZUBC的顶点N（4,2）,顶点C在x轴上，4B边上的高所

在的直线方程为》+27+加=0.

（1）求直线的方程；（2）若/C边上的中线所在的直线方程为x-y-4=0,求冽的值.

28,（23-24高二上•福建三明•期中）已知△NBC的顶点/（5,1）,边23上的中线CN所在的直线方程

为2x-y-5=0,边/C上的高3〃所在的直线方程为x-2y-5=0.求：

（1）直线NC的一般式方程；（2）求△ZBC的边N8的长.

29.（23-24高二上•河北石家庄•阶段练习）在中，顶点/在直线了=》上，顶点8的坐标为

（-4,0）,边的中线CD所在的直线方程为5x+7y-2=0,3c边的垂直平分线的斜率为：.

（1）求直线/C的方程；（2）若直线/过点2,且点/、点C到直线/的距离相等，求直线/的方程.

30,(22-23高二上•辽宁大连•期中)在平面直角坐标系xOy中，ZUBC的顶点A的坐标为(T,2),AB

边上的高线CM所在的直线方程为2x+y-2=0,ZB的角平分线所在