云南省某中学2024-2025学年高二年级上册12月联考数学试题

云南省下关第一中学2024-2025学年高二上学期12月联考数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

Z72

1.设复数满足」=l+3i,则它的共粗复数的虚部为（）

l-2i

A.1B..C.〔D.;

i—i—i

2.设等差数列｛%｝的前〃项和为，且a,+%=-22,凡=-110，则S“取最小值时，〃的

值为（）

A.14B.15C.16D.15或16

3.已知函数外外=卜/-2办-。户<°在区上单调递增，则”的取值范围是（）

[er+ln（x+l）,x>0

A.(-oo,0]B.[-1,0]C,[-1,1]D.[0,+oo)

4.在等比数列｛%｝中，°5,%=6M2+〃io=5,则&_等于()

。10

A2T3D2c.2

A.一或一B.D.—2或—3

323232

5.如图所示，一个底面半径为6的圆柱被与其底面所成的角为45。的平面所截,

截面是一个椭圆，则下列结论错误的是（）

试卷第11页，共33页

A.椭圆的长轴长为4

B.椭圆的离心率为走

4

22

C.椭圆的方程可以为二+匕=1

42

D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2.百

6.一条光线从点/（_2,3）射出，经x轴反射后，与圆C：（x_3＞+3_2）2=1相切，则反射

后光线所在直线的斜率为（）

A.34或3士B.S2或43C.士3或24D.52或3士

34452335

7.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，

下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一

根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等

量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（）

A.9升B.]0.5升C.[2升口.]3.5升

8.已知双曲线c..一片=1缶＞06＞0）的左焦点为为坐标原点，若在C的右支上存

'a1b1V'

在关于x轴对称的两点p,0,使得△尸为正三角形，且OQ_L片尸，则C的离心率为

（）

A.41B-1+V2C.gD-1+V3

二、多选题

9.己知等差数列｛q,｝的前八项和为s“，且席＞几＞又，则下列结论中正确的是（）

试卷第21页，共33页

A..J是递增数列B.%>o时，”的最大值为13

C.数列｛$“｝中的最大项为用D.>0时，〃的最大值为27

10.已知点尸是抛物线了2=2x的焦点，过点下的直线交抛物线于M、N两点,则下列结

论正确的是（）

A.点加■到焦点尸的最小距离为1B.若点尸的坐标为（2,1），贝1取F|的最

小值为*

2

C.以为直径的圆与抛物线的准线相切D.4+」=2

\MF\|Ay|

1L八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正

B-OA+OC=-y/2OF

C-刀在砺上的投影向量为自砒

D.若点尸为正八边形边上的一个动点，则而的最大值为4.

试卷第31页，共33页

三、填空题

12.设等差数列｛.“｝的前〃项和为S.，若品-S3=35,%+%。=7,则数列｛%｝的公差为一

13.如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校

教学楼N2（高为（15百-15）米）与雕像之间的地面上的点屈处（B,M,。三点共线）测

得楼顶/及雕像顶C的仰角分别是15。和60°,在楼顶/处又测得雕塑顶C的仰角为30°,

假设/2、CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为米.

14.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每

一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上.设外围第

一个正方形4片£口的边长为1,往里第二个正方形为42c…，往里第〃个正方形

为44Goi•那么第7个正方形的周长是______，至少需要前个正方形的面积之和

超过2.（参考数据：lg2=0.301，lg3=0.477）.

试卷第41页，共33页

四、解答题

15.已知｛《,｝是各项均为正数的等比数列，为=1,且能,3%，4成等差数歹1r

(1)求｛6｝的通项公式.

⑵设勿=。"+108洱，求数列也“｝的刖”项和.

16.在四边形48c。中,ZA=45°,ZABC=105°,ZC=60°,BC=1,CZ>=2-

(1)求NC8Z)的大小；

(2)求ZB的值.

17.在等差数列｛a,｝中，%=7,%=-5,｛0“｝的前”项和为5“・

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)求£的最大值;

(3)设/=同+同+同+…+同，求4

试卷第51页，共33页

18.如图，在四棱锥中，底面N8C£)为矩形,PZ)底面/8CZ)，

(1)求证：尸么〃平面£2必；

(2)求平面石1M与平面尸/D夹角的余弦值；

(3)在棱上是否存在一点“，使直线屏'与平面互沙所成角的正弦值为逅，若存在，求

3

出求线段存尸的长；若不存在，说明理由.

Dr

19.已知圆「：/+/=4,点0在圆「上，过。作y轴的垂线，垂足为0,动点尸满足

_o__.PC

国不，设动点的轨迹为曲线.

⑴求曲线C的方程；

(2)斜率存在且不过"o,2)的直线/与曲线C相交于M、N两点，8M与3N的斜率之积为

20

~9'

①证明：直线/过定点;

试卷第61页，共33页

②求1W面积的最大值.

试卷第71页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案CDBABABDBCBD

题号11

答案BCD

1.C

【分析】由题目条件可直接求出复数4Z，从而写出共辗复数Z即可得到共轨复数^Z的虚

部.

【详解】依题意，z=(l+3i)(l-2i)=7+i>因此彳=7-i，所以7的虚部为-L

故选：C.

2.D

【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前〃项和公式求基本量，结合%=0及数列单

调性确定Sn取最小值时〃的值.

【详解】由凡=11(%；为)=1=一1100&=T0，

由〃2+=2。5=—22=>%=—11，

所以数列｛〃“｝的公差d=七一%=>且。6=%+5d=6+5=-10=>%=-15，

所以须=%+15"=0,且数列｛%｝单调递增，

n

故Sn取最小值时，的值为15或16.

故选：D.

3.B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为/(x)在R上单调递增，且xNO时，/(力=砂+111(》+1)单调递增，

答案第11页，共22页

'-2aC-1V。V0

则需满足一云而2。，解得，

-a<e°+In1

即。的范围是

故选：B.

4.A

【分析】根据题设知出和须为方程x2-5x+6=0的两个根，即可求得%=2,1。=3或

电=3,%。=2，结合等比数列通项公式求目标式的值・

【详解】因为｛g｝是等比数列，所以％•%=出"。=6,又生+%。=5，

所以电和为。为方程一-5x+6=0的两个根，解得。2=2,4。=3或%=3,%。=2・

若等比数列｛°，的公比为‘，则组=%。，=组,所以组=。或2.

Ol0。2,q'23

故选：A.

5.B

【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的凡6，由此判断各选项.

【详解】设椭圆的长半轴长为“，椭圆的长半轴长为人，半焦距为c，

由图象可得2acos450=2/，,a=2，

又6=拒，c2=a2-b2'

,c=6

二椭圆的长轴长为4,A对，

椭圆的离心率为也，B错,

2

答案第21页，共22页

22

圆的方程可以为二+匕=1，C对,

42

椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2_0，D对，

故选：B.

6.A

【分析】求出圆心坐标与半径，点/(_2,3)关于x轴对称点的坐标，设过对称点与圆相切

的反射光线所在直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求出答案.

【详解】圆0：(；(:-3)2+(/-2)2=1的圆心坐标为(3,2)，半径为1,

点(-2,3)关于x轴对称点的坐标为(-2,-3)，

根据题意可得，点(一2,-3)在反射光线所在的直线上，

设反射光线所在的直线方程为夕+3=后卜+2)，即履-y+2«-3=0,

因为反射光线所在直线与圆a_3)2+(y-2)2=1相切，

所以d=色心竺121=1，解得左，或左=3,

7F7T34

故选：A.

7.B

【分析】根据给定条件，利用等差数列前〃项和公式计算即得.

【详解】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列

则％+出=4,+%=2，%+%=。2+〃6=3，

所以这根竹子的装米量为邑=7(?+%)=10.5(升)

72

故选：B

答案第31页，共22页

8.D

【分析】连接尸工，利用中位线性质得到△尸久招是/耳片「=巳的直角三角形，在焦点三角

形中利用双曲线定义即可建立风。的关系，从而求得离心率.

【详解】设双曲线的焦距为2c(c>0)，右焦点为F,，直线交片产于点连接尸巴，

因为△尸4°为正三角形，OQLFlP所以〃为打尸的中点，所以(W//gP，

故";/迅=工，易知乙工片尸=工，所以「用=4尸4=出。，

26

由双曲线的定义知附曰叫=2。，即Gc-c=2a,得e，==i+6

aJ3T

【分析】利用等差数列的前附项和公式和等差数列的性质得到％3>0吗4<0,从而逐项判

断.

【详解1由己知,SQ>S[2=Sl2+a13>Sl2=al3>0,Sl3>514=513+a14a14<0，

所以等差数列｛见｝的前13项大于0,从第14项开始小于0,故B正确；

设等差数列｛4,｝的公式为d，则％>0,d<0，

答案第41页，共22页

所以｛%｝是递减数列，故A错误；

且与为等差数列｛%｝的前〃项和的最大值，故C正确；

因为邑7城里产!a7％,励，故D错误•

故选：BC.

10.BD

【分析】A由焦点弦的性质，结合抛物线上点到焦点距离的范围即可判断；B由抛物线定

义知共线，|〃巴单平|最小；C由抛物线焦点弦的性质判断正误；D设直线方程，

联立抛物线，应用韦达定理求人+4.

\MF\|AY|

【详解】如下图：吗,0）且准线为x=-g,

A：过尸的直线交抛物线于河、N，则该直线斜率存在时不为0，由抛物线性质知:

\MF\>\OF^,即"到焦点/没有最小距离，错误；

B：如上图，M4_L抛物线准线，要使性⑶印团^的最小，则共线，即

答案第51页，共22页

\MP\+\MF\=l^l=|>正确；

C：以v为圆心，।।为半径的圆或以MN为直径的圆与抛物线的准线相切，而以〃/为

直径的圆不与抛物线的准线相切，错误；

D：令MN为丫=蚊+；,联立抛物线可得：;20-1=0,则加+为=2仆加%=-1,

•」〃+XN"(%+B)+1=2左2+1,工/、=公加%+3%+6)+(=:

1,1.IW+MI=X.+/+1=2

叫肥阿IWH^I+；%+/)+；，正确.

故选：BD.

11.BCD

【分析】根据正八边形图形特征应用数量积公式得出A,应用和向量判断B,应用投影向

量判断C,应用数量积投影最大求解D.

【详解】由题意可知，正八边形每条边所对的角都是45。，中心。到各顶点的距离为2,

对于A,OB-OE^^0B\[0E\xCOSZBOE=2X2Xcosl350=-272；故A错误;

对于B,ZAOC=90^则以。4。。为邻边的正方形对角线长是|Q4|的近倍，

可得厉+反=夜砺=-夜丽，故B正确;

答案第61页，共22页

次在砺上的投影向量为再空砺=2x2cos45。痂=正加,故C正确;

对于c,

3『42

对于D,设正方的夹角为°,则而存=网网cos。,

其中|方|为定值，只需|"k°sO最大即可，DC1AB

延长℃交"'延长线于°，当,在线段℃上运动时，|"1c°s。最大,

易知"°AC为等腰直角三角形，且ZOAB=180°-45。=67.5。，

2

则在RtAG4。中，AQ=AC-COSZCAQ=ACCOS(67.5°-45°)=NC•cos22.5°>

在等腰三角形048中，AB=20A-sin22.5°>

则43)1nMe=/C-cos22.5°x2CU・sin22.5°=/CxO/xsin45°=2>/^x2x-^-=4'

综上，BCD正确.

故选：BCD.

12.3

【分析】根据题意，由等差数列下标和的性质代入计算，即可得到为+%。=10,从而得到

结果.

H

【详解1由S1o-S3=35n&+05-----Fq。=35n彳"2——=35a4+al0=10>

所以公差d=(a4+a10)-(a3+a10)=a4-a3=10-7=3,

故答案为：3

13-3073

答案第71页，共22页

【分析】在中利用锐角三角函数求出/M，再由正弦定理求出CM，最后根据锐

角三角函数求出Co；

Rt^ABM.AB里—=3。/

【详解】解：在中，sm=7M,解得"”=而正

4

其中sinl5°=sin（45。-30。）=sin45°cos30°-cos45°sin30°

V2V3V21V6-V2

---X--------X—=--------

22224

在△/CM中，ZCAM=30°+\5°=45°,ZAMC=180°-15°-60°=105°,

所一”8—,由正弦定理得，

—x30V2

sinNCAM.__sin45°•30后

故CM=---------------AM=-------------------^―j——=60.

sinZACMsin30°

2

在中，"M)=60;所以。=CMsin60'60x"=305估算该雕像的高度

2

为306米・

故答案为：30A/3

14,迎4

729

【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、

前〃项和公式进行求解.

【详解】

答案第81页，共22页

B

//

D,4n

因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上,

所以44

由勾股定理有：45「加瓯HA*

设第〃个正方形ARCR的边长为/“，则

上一尉可率•

/+,/“/=TL1

所以仆图：樗:

\J7kJ7

//-\6

=4《=4></=迎

所以第7个正方形的周长是44=4x

6

\373729729'

⑸7-1

,2=

第〃个正方形的面积为＜=[3)[9)

则第1个正方形的面积为片干：=1,

答案第91页，共22页

则第2个正方形的面积为二二户］=9,

则第3个正方形的面积为个=,

n-1

则第〃个正方形的面积为/25

9

5

n-i1一

前〃个正方形的面积之和为s“=i+f|595

+…+9

949

2

当〃=1=p当"=2时，邑［514

时,5141-___,

9一9

当〃=33151,当〃=45丫1484-

时,时,1------->2'

81St9729

所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2.

故答案为：—,4.

729

6(I)。­"-

⑵2々一1

【分析】（1）根据等比数列定义构造方程解得公比qQ2,可得其通项公式；

（2）代入%=2"T得到也,｝的通项公式，利用分组求和计算可得结果.

【详解】（1）因为数列｛”"｝是各项均为正数的等比数列，%=1，且％,3%,%成等差数歹人

答案第101页，共22页

所以6%=%+•

设数列｛%｝的公比为q>0,则q2+g_6=0，

解得《用2,或g=-3（舍），

所以=a\Qn1=2"-—

（2）由（1）知0_2"-',

因为6,=a“+log2a“，所以"=2'T+〃-1，

设数列也｝的前”项和为S“，

121

则S“=61+Z?2+Z>3+---+Z>„=（2°+0）+（2+1）+（2+2）+---+（2"-+«-1）

=（2°+2'+22+L+2"-'）+（O+l+2+L+M-1）

"0+〃-1）*一，

-I—乙\1

1-222

即数列｛4｝的前〃项和为S=2〃+止2一1.

〃2

16.⑴90°

⑵逑

2

【分析】（1）根据题意利用余弦定理可得出，结合勾股定理分析求解;

（2）分析可知N/D8=120。，利用正弦定理运算求解即可•

【详解】（1）在△80中，由余弦定理得

答案第111页，共22页

BD=dCD2+BC2-2CD-BCcosC=,+1?一2x2xlxg=5

由8C=1,CD=2，^BC2+BD-=CD-'可得NC5O=90;

(2)因为//。。=360。-//-//8。-/。=360--45°-105°-60°=150°，

由(1)得NCAD=90°，且NC=60°，

所以NBDC=30°>ZADB=/ADC-/BDC=150°-30°=120°-

在中，由正弦定理得_丝_=_"，

sinZADBsin//

BDsinNADB3A/2

所以48=

sinZAr

2

17.（Da“=13-2”

（2）36

⑶T\12n-n2,n<6,neN*

"\n2-I2.n+72,n>7,neN*

【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式；

（2）利用等差数列的前〃项和公式，即可求得答案；

（3）判断数列也,｝的项的正负情况，讨论〃的取值，结合等差数列的前”项和公式，即可

求得答案.

【详解】（1）由题意知在等差数列｛与｝中，％=7,09=-5,设公差为d，

贝U%—%=6d=—12，解得"=-2，贝q=4-2"=11，

故a,,=q=13-2”，

答案第121页，共22页

所以通项公式为=13一2"(〃€1\)

(2)由(1)可得前项和S“=11"+x(-2)=12〃-=—(〃-6)2+36,

所以当〃=6时，Sn取最大值36.

(3)因为=13—2〃,

所以当13-2〃20时,得“0,

2

即当〃<6时有%>0；当“27时有<0；

当时，Tn=同+同+同+…+|。“卜％+电+%+…+%=S.=12〃一〃2，

a

当〃27时,Tn=ax+a2-\---卜％一%----n

=2(4+Q2H—++电+。3+—[■4“)

=256-5〃=2(12x6-36)-(⑵-叫="_12〃+72，

综上，<6,〃£N*

7rT"-[n2-12«+72,M>7,neN*

18.(1)证明见解析

⑵逅

6

(3)存在；分BF的长为上3或？9

24

【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；

(3)假设棱PB存在一点尸使得丽=几而，且潴=昂+潴，即可求出而，利用向量的

答案第131页，共22页

夹角公式列出关于2的方程求解即可・

【详解】(1)连接/c,父3。于点0,连接OE，

点E是尸°的中点，点0是4c的中点，

所以尸///0£，0£^平面瓦＞8，己4＜2平面瓦＞2，

所以PA〃平面瓦(8；

(2)如图，以向量房，后,而为x，N，z轴的正方向建立空间直角坐标系,

即。(0,0,0)，S(1,2,0)-£(0,1,1)>则丽=(1,2,0),反=(0,1,1)，

EDBrn=(xvz\DB•应=x+2>=0

设平面的法向量’‘，贝仁

DE•应=y+z=0'

令y=_l得X=2,z=l，所以平面应■的法向量成=(2,-1,1)，

平面P4D的一个法向量为亢=(0,1,0)，

设平面EDB和平面PAD的夹角为0，

则cosO=|E叶株£邛

所以平面和平面""的夹角的余弦值为逅;

6

答案第141页，共22页

(3)由(2)知。(0,0,0)，5(1,2,0)-£(0,1,1)'尸(0,0,2)，

丽丽=(-1,-2,2"BF=A5P=(-A,-2A,2A)(O<A<1),

£F=EB+5F=(l,l,-l)+(-A,-2A,2A)=(l-A,l-2A,-l+2A)'

由(2)知平面的法向量加=(2,7,1)，

设直线EF与平面切澄的夹角为a，

|/钎-\||2(1-A)-(1-2A)-1+2A|c/［八

川Isinez=cos(Er,m)\=/———=-----,0<A<1

则I、，/I向而彳球EWxC3

整理得8万-104+3=0,解得2=1.或2=3,

24

117Q

故当4=—时，BF=~；当4=±时，BF;二

2244

则B的F长为士3或？9.

24

19.(1)^+£=1

94

⑵①7(0,-3);②5

答案第151页，共22页

【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解；

（2）①联立直线与椭圆方程，利用韦达定理与已知条件得到关于左,6的方程，解之即可得

解；②利用三角形面积公式，结合韦达定理与基本不等式即可得解.

【详解】（1）依题意,设尸则。（。,%>

因为西=］匠，所以（x0,O）=§（x,y_%）,

,解得

因为0伉,%）圆「V+广