云南省文山州2024-2025学年度高二年级上册期末 数学试卷【含解析】

云南省文山州2024-2025学年度高二上学期期末数学试卷【含解析】

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.（5分）已知集合4=住*-2x-8<0},B=[-2,0,1,3},则AC8=（）

A.{0,1}B.{-2,0,1}C.{0,1,3}D.{-2,0,1,3}

2.（5分）已知复数z满足z?-2iz-1=0,贝旧=（）

A.-1B.1C.iD.-i

3.（5分）抛物线y=2f的焦点坐标是（)

1111

A.(-,0)B.(-,0)C.(0,-)D.(0,-)

2484

—>

4.（5分）在空间直角坐标系中，已知向量日=(3,2/2—m),b==(jYt,9,—3),若alb,则m=()

A.-2B.2C.4D.-4

5.（5分）若双曲线彳=1Q>0,b>0）的实轴长为4,焦距为48，则该双曲线的渐近线方程为

a2

（）

A.y=±2xB.y=+V2xC.y=+2xD.y=±~2-x

((a—2)%+5,x<l,

6.(5分)已知/(%)=在（-8,+8）上满足“久1）一"'2）〈0,则实数〃的取值

2

1—a%+%,x>1xr-x2

范围为（）

122

A.（0,2）B.2)C./2)D.&2)

7.（5分）已知长方体ABC。-AIBICLDI的体积为16,且A4i=2,则长方体ABC。-外接球表

面积的最小值为（）

20V5160V5

A.-------7TB.---------7TC.20nD.lOOn

33

8.（5分）已知点。（0,0）,点尸满足|尸。|=1,则点尸到直线x-my-3=0的距离的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符

合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分）

（多选）9.（6分）某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学,

每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗

诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同学有12名，则（）

A.这五个社团的总人数为100

B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%

C.这五个社团总人数占该校学生人数的5%

D.从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%

22

（多选）10.（6分）已知圆Ci：/+尸=1,C2;（x-3）+（y-3）=?（r>0）,则下列说法正确的是（）

A.当r=1时，圆。与圆C2有2条公切线

B.当r=2时，>=1是圆Ci与圆C2的一条公切线

C.当厂=3时，圆Ci与圆C2相离

D.当r=4时，圆Ci与圆C2的公共弦所在直线的方程为y=-x+1

（多选）11.（6分）已知抛物线C：/=4x的焦点为R准线为/,过点F的直线与抛物线交于P（犯，”），

Q（X2,y2）两点，点P在/上的射影为Pi,点。为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A.过点M（0,1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条

B.以尸。为直径的圆与x=0相切

C.设M（0,1）,则|PM|+|PPi|2a

D.若|尸。|=8,则△0尸。的面积为2夜

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.（5分）已知平面a过点O（0,0,0）,A（2,2,0）,B（0,-1,2）三点，直线/与平面a垂直.则

直线/的一个方向向量的坐标可以是.

13.（5分）将函数y=cos（2x-看）的图象向右平移s（0q〈今个单位长度后，所得函数为奇函数，则隼

14.（10分）1911年5月，欧内斯特•卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这箭论文中，他描述了用a

粒子轰击0.000045厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望a粒子能够通过

金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分a粒子从金箔工反弹.如图2显示了卢瑟福实验

中偏转的a粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为；如果a粒子的

路径经过点(20,10),则该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm.

四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.在锐角△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，已知1-cos2A=4sinAsinBsinC.

(2)若a=4,求△ABC的面积.

16.已知点A是圆C：(x-2)2+(y-2)2=4与y轴的公共点，点2是圆C上到x轴距离最大的点.

(1)求直线的方程；

(2)求经过A,B两点，且圆心在直线y=2x-5上的圆的标准方程.

17.已知函数/(x)=4X-a-2x.

(1)当a=2时，求/(x)在［-2,2］上的最值；

(2)设函数g(尤)=fCx)+f(-x),若g(x)存在最小值-8,求实数a的值.

18.如图，已知在四棱柱4BCO-431C1D1中，底面A3CD为梯形，AB//CD,底面ABCD,AD±

AB,其中AB=AAi=2,AD=DC=1,E是BiCi的中点，尸是。5的中点.

(1)求证：。归〃平面CNB

(2)求平面CB/与平面BBiCiC夹角的余弦值；

(3)求点A到平面CB1P的距离.

x2y21

19.已知椭圆C-+-=1(«>Z，>0)的离心率为丁其中一个焦点的坐标为(1,0).

(1)求C的方程；

(2)过左焦点的直线交C于A,B两点，点P在C上.

(z)若4曲的重心G为坐标原点，求直线AB的方程；

5)若的重心G在x轴上，求G的横坐标的取值范围.

参考答案与试题解析

题号12345678

答案CDCABBCD

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的)

1.(5分)已知集合4={4?-2x-8<0},B={-2,0,1,3},贝l]ACB=()

A.{0,1}B.{-2,0,1}C.{0,1,3}D.{-2,0,1,3}

【分析】先解一元二次不等式得集合A,再求交集即得.

【解答】解：集合4={尤|/-2x-8<0}={x|-2<尤<4},B={-2,0,1,3),

则An8={0,1,3).

故选：C.

【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.(5分)已知复数z满足z2—1=0,贝吃=()

A.-1B.1C.iD.-i

【分析】化简z2-2iz-1=0可得z=i,再由共轨复数的定义即可得出答案.

【解答】解：z2-2iz-1=7-2Z'Z+Z2=(Z-i)2=0,解得z=i,

由共轨复数的定义可知，z=-i.

故选：D.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共朝复数的定义，属于基础题.

3.(5分)抛物线y=2f的焦点坐标是()

1111

A.(一，0)B.0)C.(0,-)D.(0,-)

2484

【分析】直接利用抛物线的简单性质写出结果即可.

【解答】解：抛物线y=2f,化为/=%

它的焦点坐标为：(0,

8

故选：C.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题.

4.(5分)在空间直角坐标系中，已知向量展=(3,2,2-m),b=(m,9,一3),若发1b,则机=()

A.-2B.2C.4D.-4

【分析】利用向量数量积的坐标表示解方程可得结果.

TT->一

【解答】解：由a1b可得a-h=0,

因为向量Q=(3，2,2—171),b=(m,9,—3),

所以1•7=3机+2X9-3(2-m)=0,

解得m=-2.

故选：A.

【点评】本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题.

Y27—

5.(5分)若双曲线9=1(a>0,。>0)的实轴长为4,焦距为4次，则该双曲线的渐近线方程为

azbz

()

A.y=+lxB.y=±V2xC.y=±^xD.y=±苧X

【分析】根据实轴长以及焦距可得a=2,c=2痘,计算可得b=2&,再由渐近线方程的形式即可求

得结果.

【解答】解:实轴长为4,则2a=4,；.a=2,

焦距为4百，A2C=4V3,Ac=2V3；

.'.b2=c2-a2=12-4=8,.,.b=2V2；

渐近线方程y==±V2x.

故选：B.

【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题.

6.(5分)已知/(久)=[6—2)"+5'x<1,在(-8,+8)上满足“久1)一”—)V0,则实数。的取值

2

l-ax+x,x>1x1-x2

范围为()

122

A.(0,2)B.陵，2)C.岛2)D.导2)

【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可.

【解答】解：由f(x)=[("j)x+5,"〈I，在(一8,+8)上满足3二色2〈0,

i—ax2+x,x>1xi~%2

可得了（X）在（-8,+OO）上单调递减,

%—2Vo

所以7，解得;Wa<2;

12

—2d

—2+5>—a+1

即实数a的取值范围为g，2）.

故选：B.

【点评】本题主要考查了函数单调性定义，还考查了分段函数单调性的应用，属于中档题.

7.（5分）已知长方体A3CD-4BICLDI的体积为16,且A4i=2,则长方体ABCD-AWCLDI外接球表

面积的最小值为（）

20^5160V5

A.-------nB.---------nC.20irD.100n

33

【分析】设AB=〃，AD=b,由柱体的体积可得。》=8,长方体A5CZ）-4囱。1。1外接球的半径为丁=

/十£+4,由基本不等式求出厂的最小值即可求出外接球表面积的最小值.

【解答】解：设AD=b,又44i=2,

，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为2必=16,：.ab=8,

长方体ABCD-AiBiCiDi外接球的直径2r即为长方体的体对角线，

/.2r=Va2+b2+4,

当且仅当a=b=2加时取等，.,.乐1配=逐，

长方体ABC。-AiBiCiDi外接球表面积的最小值为4nr=207t.

【点评】本题考查长方体的外接球，重要不等式的应用，属中档题.

8.（5分）已知点。（0,0）,点尸满足|尸。|=1,则点P到直线x-殁-3=0的距离的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】由题意知，点尸的轨迹为以点。为圆心，半径为1的圆，直线/：沙-3=0经过定点（3,

0）,结合图形可得，当且仅当Lx轴时，点P到直线x-my-3=0的距离最大，即可求得.

【解答】解：如图，因点尸满足1Poi=1,则点尸的轨迹为以点。为圆心，半径为1的圆，

又直线/：尤--3=0经过定点（3,0）,

由图知，要使点尸到直线尤-冲-3=0的距离最大，只需使圆心。到直线/的距离最大，（理由：过点

A（3,0）另作一条直线出过点。作OELni于点E,

在RtA4E。中显然有|04|>|0E|,故当且仅当Lx轴时，点。到直线x-my-3=0的距离最大）.

即当且仅当轴时，点P到直线x-my-3=0的距离最大，为3+1=4.

故选：D.

【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，是中档题.

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符

合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

（多选）9.（6分）某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学,

每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗

诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同学有12名，则（）

A.这五个社团的总人数为100

B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%

C.这五个社团总人数占该校学生人数的5%

D.从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%

【分析】根据朗诵社团的人数及其占比可计算出五个社团的总人数为80,即A错误，

再根据太极拳社团的人数计算出其占比，可得脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%,即2正确，

利用该校总人数可得C错误，

由古典概型概率计算公式可得D正确.

【解答】解：A项，参加朗诵社团的同学有8名，占比为10%,...这五个社团的总人数为：8・10%=

80人，故A项错误，

8项，太极拳社团的同学有12名，占比为：12+80=15%,

.••脱口秀社团的人数占五个社团总人数的1-30%-10%-25%-15%=20%,故8项正确，

C项，该校共有2000名，.•.这五个社团总人数占该校学生人数的80+2000=4%,故C项错误，

。项，脱口秀社团共有80X20%=16人，舞蹈社团共有80X25%=20人，两社团共有36人，

从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为36+80=45%,故。项正确.

故选：BD.

【点评】本题考查了随机抽样，属于基础题.

(多选)10.(6分)已知圆Ci：/+，=1,C2：(x-3)2+(y-3)2=Ar>0),则下列说法正确的是()

A.当r=l时，圆Ci与圆C2有2条公切线

B.当厂=2时，>=1是圆Ci与圆C2的一条公切线

C.当厂=3时，圆Ci与圆C2相离

D.当r=4时，圆Ci与圆C2的公共弦所在直线的方程为y=-x+1

【分析】根据两圆圆心距与半径间的关系判断各项中圆C1与圆C2的位置关系，结合点线距离与半径的

大小关系判断直线与圆的关系，相交情况下两圆方程相减求得公共弦所在直线的方程.

【解答】解：由圆Ci：/+y=1,圆心Ci(0,0),半径n=l,

圆C2：(%-3)2+(j-3)2=r(r>0),圆心C2(3,3),半径厂；

故两圆圆心距为IQC2I=3V2,

对于选项A,当厂=1时，IQCJ=3V2>r+1,此时两圆相离，故圆Ci与圆C2有4条公切线，即A

选项错误；

对于选项B,当厂=2时，y=l是圆G的切线，

又圆心C2(3,3)到y=l的距离为"=2=r,即圆C2与y=l相切，

所以y=l是圆Ci与圆C2的一条公切线，即B选项正确；

对于选项C,当厂=3时，IQC2I=3VI>4=r+l,此时圆Ci与圆C2相离，即C选项正确；

对于选项。，当厂=4时，4-1=3<|CIC2|<5=4+1,此时圆。与圆C2相交，

将两圆方程相减可得2x+2y-1=0,即圆Ci与圆C2的公共弦所在直线的方程为y=-尤+,即。选项

错误.

故选：BC.

【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判断与应用，是中档题.

（多选）11.（6分）已知抛物线C：，二标的焦点为尸，准线为/,过点尸的直线与抛物线交于P（xi，刀），

Q（X2,以）两点，点P在/上的射影为尸1,点。为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A.过点M（0,1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条

B.以尸。为直径的圆与x=0相切

C.设>（0,1）,则|PM|+|PPi|2a

D.若|尸。|=8,则△。尸。的面积为2企

【分析】分别求出过点M（0,1）与抛物线相切以及斜率为0的直线，即可判断A;根据抛物线定义和

梯形中位线性质求得INN/=3|PQ|,即可判断B；由抛物线定义可知|PPi|=|PF|,利用三点共线求距离

之和最小值，即可判断C,设尸。的直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和弦长公式求解，即可判断

D.

【解答】解：对于4由抛物线性质知，

过点M（0,1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线必有尤=0,y=l,

当直线斜率存在时.，可设直线方程为>=丘+1,

当直线与抛物线C相切时，有且仅有一个公共点，

联立P2="：+1，化简：必/+⑵-4）x+l=0,

所以△=（2%-4）2-4狂=0,解得：k=l,所以切线方程为y=x+l,

综上可知，过点M（0,1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条，故A正确;

对于3,如图，设点。在/上的射影为Qi,取尸Q的中点为N,PiQi的中点为Ni,

由抛物线定义可知I尸尸i|+|Q0|=|PF|+|Qf]=|PQ|；

11

在梯形尸尸1QQ中,有INN/=*(|PPi|+|QQi|)=抑Q|,

所以以尸。为直径的圆与准线相切，切点为Ni,故3错误；

对于C易知/（1,0）,由抛物线定义可知|P尸i|=|尸F|,所以IPM+IP尸11=1尸盟+平川，

当P,F,M三点共线时，有最小值为|MF|=&,

所以|PM|+|PR|NVL故C正确；

对于设尸Q的方程为工=加>1,设P（xi,yi）,Q（电”），

联立｛“2二之+1，化简『-4my-4=0,可得△=（4m）2+16>0,因此加W0,

所以"+"=4机，yiy2=-4,

所以|PQI=41+形J（乃+丫2）2—4yly2=Vl+m27（4m）2+16

=4（1+m2）=8,

解得：m=±l,

V2

又到直线的距离为

0PQd=，

22

A1+m

所以SAOPQ=；x¥x8=2a,故£）正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.（5分）已知平面a过点。（0,0,0）,A（2,2,0）,B（0,-1,2）三点，直线/与平面a垂直.则

直线/的一个方向向量的坐标可以是（-2,2,1）（答案不唯一）.

【分析】根据平面法向量的求法求出一个法向量7=（-2,2,1）,即可得出直线/的一个方向向量.

【解答】解：平面a过点O(0,0,0),A(2,2,0),B(0,-1,2)三点,

—>—>

所以。4=(2,2,0),0B=(0,-1,2),

可设平面a的一个法向量为£=（%,y,z）,

可得出三=0,^x+2y=o令y=2,可得x=-2,z=l；

CDnl—y+ZZ—U

10B-n=0）

所以蔡=（—2,2,1）；

因为直线/与平面a垂直，所以直线/的一个方向向量与£=（-2,2,1）共线，

所以直线/的一个方向向量的坐标可以是（-2,2,1）.

故答案为：（-2,2,1）（答案不唯一）.

【点评】本题考查平面的法向量的求法，属于基础题.

13.（5分）将函数y=cos（2x-看）的图象向右平移s（0q＜刍个单位长度后，所得函数为奇函数，则隼

71

——6—.

【分析】根据平移规则可得平移后的解析式，再利用奇偶性以及0V?V狎可得W屋.

【解答】解：函数y=cos（2x一看）的图象向右平移＜p个单位以后可得y=cos（2x一2（p一看）；

即）/=cos（2%—2。一看）为奇函数，因此可得一2。一曰=*+ATT,kEZ,即0=—5一号兀，kEZ；

又0VW〈］，可知当％=7时，9=看符合题意.

n

故答案为：

6

【点评】本题考查了平移的变换，三角函数的诱导公式，奇函数的定义，是基础题.

14.（10分）1911年5月，欧内斯特•卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这箭论文中，他描述了用a

粒子轰击0.00004^/7厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望a粒子能够通过

金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分a粒子从金箔工反弹.如图2显示了卢瑟福实验

中偏转的a粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为_VI_；如果a粒子的路径经过点（20,

10）,则该粒子路径的顶点距双曲线的中心_10遮―的.

【分析】根据渐近线倾斜角可得离心率为鱼，代入点坐标计算即可得双曲线方程，求得结果.

【解答】解：由题意几何图形可知双曲线的一条渐近线方程为y=tan45°-x=^x,即=1,

即a=b,所以禺心率为e=J展—1+=Vl+1—V2；

双曲线是等轴双曲线，设双曲线的方程为

将(20,10)代入双曲线方程，得2。2-1。2=/，

解得a=10V3；

所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心10baw.

故答案为：V2；10V3.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，关键在于利用题目信息，根据渐近线倾斜角得出离心率,

再由过的点坐标得出实半轴长，是中档题.

四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.在锐角△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，已知1-cos2A=4sinAsinBsinC.

(2)若a=4,求△ABC的面积.

【分析】(1)利用二倍角公式以及两角和的正弦公式以及同角三角函数的商数关系计算可得结果;

(2)由正弦定理以及三角形面积公式求解可得.

【解答】解：(1)由1-cos2A=4sinAsinBsinC及倍角公式,

可得2sin2A=4sinAsinBsinC,

又4G(0,J),所以sinAWO,

故sinA=2sinBsinC,

又A+5+C=e则sinA=sin(3+C),

则有sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

由锐角△ABC可知8,Ce(0,舒，故cosBcosCWO,

1sinBcosC+cosBsinC2sinBsinC

因L此-------------------=----------，

cosBcosCcosBcosC

整理可得tanB+tanC=2tanBtanC,

11

所以7—n+7~7=2;

tanBtanC

(2)由(1)中sinA=2sinBsinC,

利用正弦定理可得〃=2加in。，

因为〃=4,所以加inC=2,

,11

则S-BC=qabsinC=,x4x2=4.

【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的应用，属中档题.

16.已知点A是圆C：(x-2)2+(y-2)2=4与y轴的公共点，点2是圆C上到x轴距离最大的点.

(1)求直线的方程；

(2)求经过A,B两点,且圆心在直线y=2x-5上的圆的标准方程.

【分析】(1)根据给定条件，求出点A、2的坐标，再利用直线的两点方程求解，可得答案；

(2)求出线段AB的中垂线方程，求出直线的交点坐标，再求出圆的半径，即可得到所求圆的标准方

程.

【解答】解：(1)在圆C：(x-2)2+(y-2)2=4中令x=0,解得y=2,

可知圆C与y轴切于点A(0,2),

结合BCJ_x轴，|BC|=4,点B在无轴上方，可知8(2,4),

所以直线AB的方程为^—=---，化简得x-y+2=0.

4-22-0

(2)由(1)知A(0,2),B(2,4),

所以线段AB的中点为(1,3),且直线AB的斜率左=1,

可得线段的中垂线方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0,

由解得［二；所求圆的圆心为(3,1),半径r=J(0-3尸+(2—1)2=VTU.

所以所求圆的标准方程为(%-3)2+(y-1)2=10.

【点评】本题主要考查直线的方程、圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题.

17.已知函数尤)=4X-a-2x.

(1)当a=2时，求/(x)在［-2,2］上的最值；

(2)设函数g(尤)=/(%)+/(-x),若g(无)存在最小值-8,求实数。的值.

【分析】(1)根据题意，设t=2Xe£,4］,由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结

果；

(2)根据题意，令4=2工+2—2242-2—=2,结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果.

【解答】解：已知函数/(x)=4X-a-2x,

(1)当a=2时，f(x)=4X-2-2x=(2与2-2-2A；

设4］,则刀⑺=r-2f,开口向上，对称轴r=l,

所以函数力G)在1］上单调递减，(1,4］上单调递增，

所以/?(/)min=h(1)=-1,h(r)ina.x=h(4)=8,

所以/(x)在［-2,2］上的最小值为-1,最大值为8.

(2)g(无)=/(尤)tf(-x)=4X-a'2x+4'x-a-2x=(2,2一、)2-0«(2^+2^)-2,

设4=2」+2TN272乂•2T=2,当且仅当2入=2),即x=0时取得等号，

所以y=P-办-2,g(A)=A2-cik-2,Ae［2,+8),对称轴2

当±22,即心4时，尸针-a入-2在［2,刍上单调递减，(£,+8)上单调递增，

2zz

2

所以4=多时，ymin=―^—2=—8,解得a=2遍或a=—2①(舍去)，

当5W2,即a/4时，y=A2-aA-2,在［2,+°°)上单调递增，

则当入=2时，＞加加=2-2a=-8,解得a=5,不满足题意；

综上，实数a的值为2巡.

【点评】本题考查函数的性质，属于中档题.

18.如图，已知在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面A2CD为梯形，AB//CD,底面ABCD,AD±

AB,其中AB=44i=2,AD=DC=\,E是BiG的中点，尸是。5的中点.

(1)求证：。归〃平面CNB

(2)求平面CB1F与平面BB1CC夹角的余弦值；

(3)求点A到平面CBiF的距离.

【分析】（1）利用空间位置关系的向量表示可得结论;

（2）求出两平面的法向量，再由面面角的向量求法计算可得结果;

（3）利用点到平面距离的向量求法计算即可.

【解答】解：（1）证明：因为441，底面ABCD,AD±AB,

所以以A为坐标原点，AB,AD,AAi所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如下图所示:

Q1

可得4(0,0,0),B(2,0,0),B](2,0,2),E(|,j,2),F(0,1,1),C(l,1,0),

C](l,1,2),D(0,1,0),Di(0,1,2),

则CBi=(L-L2),CF=(-1,0,1),BB1=(0,0,2),DrE=(|,0),

设平面CBiF的一个法向量为蔡=（尤，y,z）,

T—(TT

乎1丁，则CBr-m=x—y+2z=0

则TT，

CF-m=—x+z=0

令x=l,可得y=3,z=l,

即m=(L3,1),

因为£>iE•巾=(1,3,-p0)=0,可得D/lzn,

且DiEC平面CBiF,

所以O1E〃平面CBTF

(2)设平面551cle的一个法向量为九=(%>yr,Zi),

'-->

1

咤。则CBr-n=xr—yr+2zr=0

则7T

,BB11n、BB1,n=2zi=0

解得zi=0,令xi=l,可得yi=l,

即ri=(1/L0),

m-n42/22

所以cosOn,n>=

|m||n|J1TX4211

2V22

因此平面C8ib与平面881cle夹角的余弦值为:一；

11

(3)易知=(2,0,2),

平面CBLF的一个法向量为蔡=(L3,1),

T—>-----

所以点A