2022年北京市四中初三（下）4月月考数学试卷及答案

1/12022北京四中初三（下）4月月考数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.有人说2021年12月2日是世界完全对称日．事实上，世界完全对称日更严谨的叫法是“回文日”．将年月日表示为YYYYMMDD的形式，如果倒过来写成DDMMYYYY，和原先的数相同，则称该日期为回文日期．将2021年的回文日用下图表示，则该图形为（）A.既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.是轴对称图形，不是中心对称图形C.是中心对称图形，不是轴对称图形 D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形2.芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为10，E点表示的数为，则数所对应的点在线段（）上．A. B. C. D.4.从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2．从正面看图2的几何体，得到的平面图形是()A. B.C. D.5.如果，那么代数式的值为A. B. C. D.6.现有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则，其中真命题有（）个．A.3 B.2 C.1 D.07.如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（）．

A.六 B.八 C.十 D.十二8.如图1，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为P，与x轴交于A，B两点．若A，B两点间的距离为m，n是m的函数，且表示n与m的函数关系的图象大致如图2所示，则n可能为（）A.PA+AB B.PA-AB C. D.二、填空题（共16分，每小题2分）9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．10.如果实数m，n满足方程组，那么=______．11.与最接近的自然数是________．12.一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是___________．13.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为___．14.已知函数y＝mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则m的取值范围是_____．15.为了传承中华文化，激发学生的爱情怀，提高学生的文学素养（9）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小奕同学第三轮的得分为___分．第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮最后得分小恩aa27小地abc11小奕bb1016.已知n行n列的数表中，对任意的，都有或1．若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记表A中所有的和记为．（1）若数表，其中典型表是_________；（2）的最小值为________．三．解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.计算：．18.解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．19.下面是小明设计的“作一个直角三角形，使得其一个内角为”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l上一点A，如图1．

求作：，使得．作法：如图2．①在直线l上取点D；②分别以点A，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点B，E（B在E的上方）；③作直线，交直线l于点C；④连接，就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接．∵；∴是等边三角形．∴．∵________，∴四边形是菱形．∴（________）（填推理的依据）．∴．∴（_____________）（填推理的依据）．∴．20.已知，求代数式的值．21.某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．22.如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F.（1）求证：DF=2BF；（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD=时，若CD=，求AD长.23.如图，在平面直角坐标系中，函数图象经过点，直线与x轴交于点．（1）求的值；（2）过第二象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点D．①当时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．24.如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，时，求的长．25.某农科所甲、乙试验田各有水稻3万个，为了考察水稻穗长情况，于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲试验田穗长频数分布统计表如表1所示（不完整）：甲试验田穗长频数分布表（表1）分组/cm频数频率4.5≤x540.085≤x5.590.185.5≤x6n6≤x65110.226.5≤x7m0.207≤x7.52合计501.00b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图1所示：c．乙试验田穗长在6≤x6.5这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：试验田平均数中位数众数方差甲5.924585.80.454乙5.924w6.50.608根据以上信息，回答下列问题：（1）表1中m的值为，n的值为；（2）表2中w的值为；（3）在此次考察中，穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是；A．甲B．乙C．无法推断（4）若穗长在5.5≤x7范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为万个．26.在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．（1）当y0＝﹣1时，求m的值．（2）求y0的最大值．（3）当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是．（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．27.如图，已知，EF为射线OM上一长度为定值的动线段（点E不与点O重合），EF的垂直平分线交射线ON于点A，交射线OM于点D，连接AF，过点E作AF的垂线，垂足为B，延长BE交ON的反向延长线于点C．（1）依题意补全图形，证明：；（2）用等式表示线段OC，OA和OF的关系，并证明；（3）若，作，G在射线ON上．在线段EF的运动过程中，判断是否为定值，若是，直接写出该定值，若不是，说明理由．28.在平面直角坐标系中，对于点和实数，给出如下定义：当时，以点为圆心，为半径的圆，称为点的倍相关圆.例如，在如图1中，点的1倍相关圆为以点为圆心，2为半径的圆.（1）在点中，存在1倍相关圆的点是________，该点的1倍相关圆半径为________.（2）如图2，若是轴正半轴上动点，点在第一象限内，且满足，判断直线与点的倍相关圆的位置关系，并证明.（3）如图3，已知点，反比例函数的图象经过点，直线与直线关于轴对称.①若点在直线上，则点的3倍相关圆的半径为________.②点在直线上，点的倍相关圆的半径为，若点在运动过程中，以点为圆心，为半径的圆与反比例函数的图象最多有两个公共点，直接写出的最大值.

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.有人说2021年12月2日是世界完全对称日．事实上，世界完全对称日更严谨的叫法是“回文日”．将年月日表示为YYYYMMDD的形式，如果倒过来写成DDMMYYYY，和原先的数相同，则称该日期为回文日期．将2021年的回文日用下图表示，则该图形为（）A.既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.是轴对称图形，不是中心对称图形C.是中心对称图形，不是轴对称图形 D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形【答案】C【解析】【详解】由图可知，该图形不是轴对称图形，是中心对称图形故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念，即把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2.芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将0.00000201表示成的形式，其中，，进而可得结果．【详解】解：将0.00000201表示成的形式，其中，为负整数∵，∴0.00000201表示成故选C．【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于求出的值．3.如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为10，E点表示的数为，则数所对应的点在线段（）上．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题意表示出AE、AB的长，再求出与AB的倍数关系，即可判断数所对应的点在哪段线段上．【详解】A点表示数为10，E点表示的数为在AB段故选：A【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离以及数轴上数的表示，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．4.从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2．从正面看图2的几何体，得到的平面图形是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据从正面看两个直角三角形，即可得出答案.【详解】从正面看图2的几何体，看到的平面图形是两个直角三角形.故选D.【点睛】此题主要考查的是从不同方向看几何体，题目比较简单，通熟练掌握简单的几何体的观察方法是解决本题的关键.5.如果，那么代数式的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：根据分式混合运算的法则进行化简，再把整体代入即可.详解：原式，∵，∴原式．故选A.点睛：考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.6.现有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则，其中真命题有（）个．A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】根据幂的乘方、不等式的性质和开平方运算判断即可．【详解】①若，则，原命题是假命题；②若，则，是真命题；③若，则或，原命题是假命题；综上，真命题有②故选：C．【点睛】本题考查命题与定理，涉及幂的乘方、不等式的性质和开平方运算，熟练掌握知识点是解题的关键．7.如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（）．

A.六 B.八 C.十 D.十二【答案】D【解析】【分析】分别求出∠AOB和∠COB，从而得到∠AOC，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB，∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，∴,，∴，∴，故选D．

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．8.如图1，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为P，与x轴交于A，B两点．若A，B两点间的距离为m，n是m的函数，且表示n与m的函数关系的图象大致如图2所示，则n可能为（）A.PA+AB B.PA-AB C. D.【答案】C【解析】【详解】;设A(,0)，B(,0)，则m=|−|=(x1+x∵顶点P(,)∴顶点P纵坐标为∴PA=∵PA+AB=PA−AB=由图2可知,n可能是故选：C点睛:本题考查了抛物线与x轴交点，根与系数等知识，首先用m表示出PA,写出PA+PB，PA-AB，，根据图象来判断，解题关键是会用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（共16分，每小题2分）9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】x＞3，【解析】【分析】根据分式和二次根式的定义，列式运算求解即可．【详解】解：由题意得，2x﹣6＞0，解得，x＞3，故答案为：x＞3．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的取值，熟悉掌握分式和二次根式的定义是解题的关键．10.如果实数m，n满足方程组，那么=______．【答案】1【解析】【分析】方程组中的两个方程相减可得，然后整体代入所求式子计算即可．【详解】解：对方程组，①－②，得，所以．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和代数式求值，灵活应用整体的思想是解题的关键．11.与最接近的自然数是________．【答案】2【解析】【分析】先根据得到，进而得到，因为14更接近16，所以最接近的自然数是2．【详解】解：，可得，∴，∵14接近16，∴更靠近4，故最接近的自然数是2．故答案为：2．【点睛】本题考查无理数的估算，找到无理数相邻的两个整数是解题的关键．12.一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是___________．【答案】【解析】【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．【详解】解：画树状图如下：由图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为0的有6种结果，∴抽取的两张卡片上数字之积为0的概率为，故选：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．13.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为___．【答案】（0，12）或（0，﹣12）【解析】【详解】试题分析：设线段BA的中点为E，∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）.（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=.以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA=∠BPA=45°，则点C即为所求.过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，在Rt△PFC中，PF=1，PC=，由勾股定理得：，∴OC=OF+CF=5+7=12.∴点C坐标为（0，12）.（2）如答图2所示，根据圆满的对称性质，可得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）.综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）.14.已知函数y＝mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则m的取值范围是_____．【答案】m≤1【解析】【分析】所给的一元二次方程中二次项的系数时一个字母，要根据字母的取值进行讨论，当m=0，m<0，m>0三种不同的情况进行讨论，得到结果．【详解】解：①当m=0时，y=-3x+1．令y=0，则-3x+1=0，得．∵，∴；②当m<0时，令x=0，则y=1，即当二次函数的y=mx2+（m-3）x+1图象向下时，该抛物线与y轴交于正半轴，所以方程mx2+（m-3）x+1=0有一正一负两个根，符合题意；③当m>0，则，解得，0<m≤1．综上所述，得m≤1．故答案为：m≤1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，要分类讨论，以防漏解或错解．15.为了传承中华文化，激发学生的爱情怀，提高学生的文学素养（9）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小奕同学第三轮的得分为___分．第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮最后得分小恩aa27小地abc11小奕bb10【答案】2【解析】【分析】根据三维同学的最后得分情况列出关于，，的等量关系式，然后结合且，，均为正整数确定，，的值，从而确定小奕同学第三轮的得分．【详解】解：由题意可得：，，，，均为正整数，若每轮比赛第一名得分为4，则最后得分最高的为，必大于4，又，最小取3，，，，，小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二；小地同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三；又表格中第二轮比赛，小地第一，小奕第三，第二轮比赛中小恩第二，第三轮中小恩第一，小地第三，小奕第二，小奕的第三轮比赛得2分，故答案为：2．【点睛】本题考查了逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键．16.已知n行n列的数表中，对任意的，都有或1．若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记表A中所有的和记为．（1）若数表，其中典型表是_________；（2）的最小值为________．【答案】①.C②.13【解析】【分析】（1）有题意典型表的定义，结合给定的数表判断即可；（2）根据题设及给定数表可表示出5行5列的数表A，即可得到答案．【详解】（1）对于数表B有，而，数表B不为典型表；对于数表C有，总有数表C为典型表；故答案为：C；（2）要使最小，即典型表A中的“1”最少或则或，则有的最小值为13故答案为：13．【点睛】本题考查数字类规律，能准确理解题意且根据题意得出一定的规律是解题的关键．三．解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.计算：．【答案】【解析】【分析】根据绝对值，二次根式的性质化简，特殊角三角函数值，负整数指数幂的计算法则求解即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了绝对值，二次根式的性质化简，特殊角三角函数值，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．18.解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．【答案】不等式组的解集为：，在数轴上表示见解析【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：解不等式得，，解不等式得，，所以，不等式组的解集为：，将不等式组的解集在数轴上表示为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．19.下面是小明设计的“作一个直角三角形，使得其一个内角为”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l上一点A，如图1．

求作：，使得．作法：如图2．①在直线l上取点D；②分别以点A，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点B，E（B在E的上方）；③作直线，交直线l于点C；④连接，就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接．∵；∴等边三角形．∴．∵________，∴四边形是菱形．∴（________）（填推理的依据）．∴．∴（_____________）（填推理的依据）．∴．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）按照题目要求作图即可；（2）先证是等边三角形．得到．再证四边形是菱形．得到得到，即可推出．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；

【小问2详解】证明：连接．∵；∴是等边三角形．∴．∵ED，∴四边形是菱形．∴（菱形的性质）（填推理的依据）．∴．∴（直角三角形两锐角互余）（填推理的依据）．∴．

【点睛】本题主要考查了尺规作图—作三角形，等边三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，直角三角形两锐角互余等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．20.已知，求代数式的值．【答案】1.【解析】【详解】试题分析：将化为，整体代入化简后的代数式即可.∵∴∵∴当时，原式=1考点：1.代数式求值；2.整体思想的应用．21.某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．【答案】甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元【解析】【分析】设甲种树苗价格是x元/棵，则乙种树苗价格是（x+10）元/棵，根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设甲种树苗价格是x元/棵，则乙种树苗价格是（x+10）元/棵，依题意得：＝，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，x+10＝30+10＝40（元），答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题关键是设出未知数，根据题目中的等量关系列出方程，注意：分式方程要检验．22.如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F.（1）求证：DF=2BF；（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD=时，若CD=，求AD长.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【详解】（1）由四边形ABCD为平行四边形得出AD//BC，证得△BEF∽△DAF即可得出结论；（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求出AB、DF即可得到AD的长.(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD//BC，AD=BC，AB=CD∵点E为BC的中点∴BE=BC=AD∵AD//BC,∴△BEF∽△DAF∴∴DF=2BF（2）解：∵CD=∴AB=CD=∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°∴设AF=x，则BF=2x∴AB==，x=∴x=1，AF=1，BF=2∵DF=2BF∴DF=4∴AD==.23.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线与x轴交于点．（1）求的值；（2）过第二象限点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点D．①当时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．【答案】（1）．（2）①判断：．理由见解析；②或．【解析】【分析】（1）利用代点法可以求出参数；（2）①当时，即点P的坐标为，即可求出点的坐标，于是得出；②根据①中的情况，可知或再结合图像可以确定的取值范围；【详解】解：（1）∵函数的图象经过点，∴将点代入，即，得：∵直线与轴交于点，∴将点代入，即，得:(2)①判断：．理由如下：当时，点P的坐标为，如图所示：∴点C的坐标为，点D的坐标为∴，．∴．②由①可知当时所以由图像可知，当直线往下平移的时也符合题意，即，得；当时，点P的坐标为∴点C的坐标为，点D的坐标为∴，∴当时，即，也符合题意，所以的取值范围为：或．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数，熟练求反比例函数和一次函数解析式的方法、坐标与线段长度的转化和数形结合思想是解题关键.24.如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，时，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）BP=．【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论；（2）根据切线的判定定理得到是切线，求得，连接，得到，根据平行线分线段长比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论．【详解】解：（1）连接，，，，，是的直径，，，又，，是切线；（2），为半径．是切线，，连接和交于由切线长定理可得:在和中：，在和中：，，，，，，是的中点，且是的中位线，，，，，，．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段长比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．25.某农科所甲、乙试验田各有水稻3万个，为了考察水稻穗长的情况，于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：甲试验田穗长频数分布表（表1）分组/cm频数频率4.5≤x540.085≤x5.590.185.5≤x6n6≤x65110.226.5≤x7m0.207≤x7.52合计501.00b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图1所示：c．乙试验田穗长在6≤x6.5这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：试验田平均数中位数众数方差甲5.9245.85.80.454乙5.924w6.50.608根据以上信息，回答下列问题：（1）表1中m的值为，n的值为；（2）表2中w的值为；（3）在此次考察中，穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是；A．甲B．乙C．无法推断（4）若穗长在5.5≤x7范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为万个．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】（1）由频数等于频率乘以数据的总数可得的值，先求解5.5≤x6这组的频数，再利用频数除以数据的总数可得的值，从而可得答案；（2）由乙组一共有个数据，排在最中间的数据为第个数据，而第个数据落在6≤x6.5这一组，把这一组的数据按从小到大重新排列为：6.1，6.2，6.2，6.2，6.3，6.3，6.3，6.4，6.4，所以第个数据为：再按照中位数的概念可得答案；（3）由中位数的含义可判断穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田，由方差的含义可判断稻穗生长（长度）较稳定的试验田，从而可得答案；（4）先穗长在5.5≤x7范围内的稻穗占比：再利用样本估计总体可得甲试验田所有“良好”的水稻约为万个．【详解】解：（1）由表格中的数据可得：所以：5.5≤x6这组的频数为：故答案为：（2）由乙组一共有个数据，排在最中间的数据为第个数据，而第个数据落在6≤x6.5这一组，把这一组的数据按从小到大重新排列为：6.1，6.2，6.2，6.2，6.3，6.3，6.3，6.4，6.4，所以第个数据为：所以故答案为：（3）由甲组的中位数是乙组的中位数为所以穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲，由甲组的方差是乙组的方差为而＜所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲，故选：（4）由穗长在5.5≤x7范围内的稻穗占比：所以：甲试验田所有“良好”的水稻约为万个．故答案为：【点睛】本题考查的是频数分布表，频数直方图，频数与频率，中位数与方差的含义，利用样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键．26.在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．（1）当y0＝﹣1时，求m的值．（2）求y0的最大值．（3）当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是．（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【答案】（1）或﹣1；（2）；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞或≤m＜1【解析】【分析】（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，当m＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝或（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m的值为或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴m＝时，y0的最大值为，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得≤m＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．即或﹣m≤2m﹣2＜0，解得≤m＜1，综上所述，满足条件m的值为m＝0或m＞或≤m＜1．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．27