2022年北京市四中初三（下）3月月考数学试卷及答案

1/12022北京四中初三（下）3月月考数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.如图，下列水平放置的几何体中，从上面看是矩形的是（）A. B.C. D.2.实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.3.2019年4月10日，天文学家召开全球新闻发布会，发布首次直接拍摄到的黑洞照片，这颗黑洞位于代号为的星系当中，距离地球5500万光年，质量相当于65亿颗太阳，太阳质量大约是千克，那么这颗黑洞的质量约是（）A.千克 B.千克 C.千克 D.千克4.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（）A.35° B.70° C.85° D.95°5.一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（）A. B.C. D.6.如果，那么代数式的值为（）A.12 B.6 C.2 D.7.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（）A. B.C. D.8.已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线y=+c上，其中y2=a+c．下列说法正确的是（）A.若|x1-x2|≤|x3-x2|，则y2≥y3≥y1B.若|x1-x2|≥|x3-x2|，则y2≥y3≥y1C.若y1＞y3≥y2，则|x1-x2|＜|x2-x3|D.若y1＞y3≥y2，则|x1-x2|＞|x2-x3|二、填空题（共16分，每小题2分）9.如图所示网格是正方形网格，△ABC的面积__△DEF的面积．（填“＞”，“＝”或“＜”）．10.写出一个满足的整数的值为_____．11分解因式：____________．12.如图，在中，，，则__________°．13.盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是．（1）用含的式子表示____________；（2）与满足___________函数关系．（从“一次”函数，“反比例”函数，“二次函数”中选一个）14.如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径为___________．15.如图，在四边形纸片中，，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为，若，则的长为___________．16.为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确实其中感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下轮检测，直至确定所有的感染者．例如，当待检测的总人数为8，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用如图所示．从图中可以看出，需要经过4轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者．（1）的值为___________；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值___________；三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．18.计算19.解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．20.下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图2．①在直线BC上取一点A，连接PA；②作∠PAC的平分线AD；③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠PAC，∴∠PAD＝∠CAD．∵PA＝PE，∴∠PAD＝，∴∠PEA＝，∴PE∥BC．（）（填推理依据）．21.已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)．(1)试说明：此方程总有两个实数根．(2)如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.22.如图，在▱ABCD中，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使得∠AFC=DEC，连接CF，DE．（1）求证：四边形DECF是平行四边形；（2）如果AB=13，DF=14，tan∠DCB=，求CF的长．23.有这样一个问题：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积（用含的式子表示）.小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：解：如图，令，，设的内切圆分别与相切于点，的长为根据切线长定理，得，，根据勾股定理得，整理，得所以请你参考小冬的做法.解决以下问题：（1）当时，求的面积；（2）当时，直接写出的面积（用含的式子表示）为.24.如图，直线与双曲线交于两点，点坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．（1）直接写出的值和点的坐标；（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值．26.如图，△ABC内接于以AB为直径⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF．（1）求证：AC＝CF；（2）若AB＝4，sinB，求EF长．27.品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎．节目规则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题．每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题．每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分．现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：a．甲、乙两人参加比赛的得分统计图如下，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙二人在相同轮次的得分：b．丙参加比赛的得分统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）已知点A的坐标为，则此轮比赛中：甲的得分为_________，与甲同场答题的百人团中，有_______人答对；（2）这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有________轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为_______；（3）设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，则________（填“＞”，“＜”或“＝”）．28.已知，二次函数的图象为抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称．（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴垂线，交抛物线于点，分别作关于各自抛物线对称轴的对称点，连接，当为正方形时，求的值．（3）抛物线与抛物线围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个整点，直接写出的取值范围．30.如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM，求∠CAM的度数．31.对于平面直角坐标系上的点与图形，给出如下定义：若图形上有一点，使得，且以为旋转中心，把点顺时针旋转90°后的对应点也在图形上，则称点为图形的“初心点”；例如：如图1，给出点与轴，过点作轴于点，则可得点的坐标为，此时，且使点绕点顺时针旋转90°后得到的对应点也在轴上，因此点为轴的“初心点”．（1）如图2，已知点，，，，，，，．①点，，，，，中，为线段的“初心点”的是____；②已知反比例函数，若该反比例函数图象上只有1个点为线段的“初心点”，求的取值范围；（2）如图3，已知点为轴上的一个动点，以为圆心的半径长为，以，为端点的线段上同时存在2个点为的“初心点”，求的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.如图，下列水平放置的几何体中，从上面看是矩形的是（）A. B.C. D.【1题答案】【答案】D【解析】【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形，据此逐一判断即可得答案．【详解】解：A、圆柱的俯视图是圆，故此选项不合题意；B、圆锥的俯视图是有圆心的圆，故此选项不合题意；C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项不符合题意；D、长方体的俯视图是矩形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．2.实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【2题答案】【答案】D【解析】【分析】根据对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可．【详解】解：由题意得：A错误，B错误，C错误，D正确．故选D．【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的和的符号，积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．3.2019年4月10日，天文学家召开全球新闻发布会，发布首次直接拍摄到的黑洞照片，这颗黑洞位于代号为的星系当中，距离地球5500万光年，质量相当于65亿颗太阳，太阳质量大约是千克，那么这颗黑洞的质量约是（）A.千克 B.千克 C.千克 D.千克【3题答案】【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解．4.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（）A.35° B.70° C.85° D.95°【4题答案】【答案】C【解析】【分析】先据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再据角平分线定义求得∠BAD的度数，最后求得∠ADB度数．【详解】在△ABC中：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B＝60°，∠C＝50°∴∠BAC=；又∵AD平分∠BAC∴在△BAD中：∵∠B+∠ADC+∠BAD=180°∴∠ADB=．故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线意义．灵活运用三角形内角和定理、角平分线意义进行角的计算是解题关键．5.一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（）A. B.C. D.【5题答案】【答案】B【解析】【分析】根据题意分别求出∠α、∠β关系，做出判断即可.【详解】解：A.∠α、∠β互余,不合题意；B.根据根据同角的余角相等可得∠α＝∠β，符合题意；C.∠α=60°，∠β=75°，不合题意；D.∠α=45°，∠β=60°，不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了互为余角的意义.掌握同角的余角相等是解题的关键.6.如果，那么代数式的值为（）A.12 B.6 C.2 D.【6题答案】【答案】B【解析】【分析】先根据分式的运算法则化简代数式，再将代入求值即可．【详解】解：原式，∵∴原式．故选：B．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．7.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（）A. B.C. D.【7题答案】【答案】C【解析】【分析】根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．详解】解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，∴，∴，，∴；故选C．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．8.已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线y=+c上，其中y2=a+c．下列说法正确的是（）A.若|x1-x2|≤|x3-x2|，则y2≥y3≥y1B.若|x1-x2|≥|x3-x2|，则y2≥y3≥y1C.若y1＞y3≥y2，则|x1-x2|＜|x2-x3|D.若y1＞y3≥y2，则|x1-x2|＞|x2-x3|【8题答案】【答案】D【解析】【分析】可确定抛物线的顶点坐标为，即，分a>0与a<0两种情况，结合抛物线的图象与性质即可完成．【详解】∵∴抛物线的顶点坐标为，即当a>0时，，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大；抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；当a<0时，，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大；A、当a>0时，，顶点B为最高点，则最大当|x1-x2|≤|x3-x2|时，表明A点离对称轴的距离不超过C点离对称轴的距离，则∴当a<0时，，顶点B为最低点，则最小当|x1-x2|≤|x3-x2|时，表明A点离对称轴的距离不超过C点离对称轴的距离，则∴故A选项错误B、当a>0时，，顶点B为最高点，则最大当|x1-x2|≥|x3-x2|时，表明A点离对称轴的距离不小于C点离对称轴的距离，则∴当a<0时，，顶点B为最低点，则最小当|x1-x2|≥|x3-x2|时，表明A点离对称轴的距离不小于C点离对称轴的距离，则∴故B选项错误C、∵y1＞y3≥y2∴最小∴B点为抛物线上的最低点∴，即a<0∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小∵y1＞y3∴|x1-x2|＞|x2-x3|故选项C错误D、由C知，选项D正确故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．二、填空题（共16分，每小题2分）9.如图所示的网格是正方形网格，△ABC的面积__△DEF的面积．（填“＞”，“＝”或“＜”）．【9题答案】【答案】=【解析】【分析】根据三角形面积公式：S=ah，列出算式计算即可求解．【详解】解：∵△ABC的面积2×3＝3，△DEF的面积2×3＝3，∴△ABC的面积＝△DEF的面积．故答案为：＝．【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是熟悉正方形网格特点以及三角形面积公式．10.写出一个满足的整数的值为_____．【10题答案】【答案】2或3（写一个即可）【解析】【分析】先估算和的范围，再得出整数即可．【详解】解：∵，，∴满足的整数的值是2或3，故答案为2或3（写一个即可）．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出和的范围是解此题的关键．11.分解因式：____________．【11题答案】【答案】【解析】【分析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行分解因式即可．【详解】原式【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．12.如图，在中，，，则__________°．【12题答案】【答案】25°【解析】【分析】由⊙O中，OA⊥BC，利用垂径定理，即可证得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角∠ADC的度数．【详解】如图，连接OC，∵OA⊥BC，∴，∴∠AOC=∠AOB=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故答案为25°．【点睛】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．13.盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是．（1）用含的式子表示____________；（2）与满足___________函数关系．（从“一次”函数，“反比例”函数，“二次函数”中选一个）【13题答案】【答案】①.②.一次【解析】【分析】盒中有枚黑棋和枚白棋，棋子总数为，根据概率公式列出关系式，变形即可用含的式子表示，再根据表达式判断与满足的函数关系．【详解】解：盒中有枚黑棋和枚白棋，棋子总数为，摸到围棋的概率为，变形得，用含的式子表示为：，满足一次函数表达式，与满足一次函数关系．故答案为：；一次．【点睛】本题主要考查概率计算、一次函数表达式的特点，本题中根据概率公式找到与的关系是解题关键．14.如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径为___________．【14题答案】【答案】【解析】【分析】由∠A=得到BC是圆的直径，根据求出AB，设圆锥的底面圆的半径为Rm，利用弧长公式等于底面圆的周长求出R．【详解】解：∵∠A=∴BC是圆的直径，∴BC=1m，∵AB=AC，∴m，设圆锥的底面圆的半径为Rm，∴,解得R=m，故答案为：．【点睛】此题考查了弧长公式，圆周角定理，勾股定理，由圆周角定理及勾股定理求出AB的长是解题的关键．15.如图，在四边形纸片中，，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为，若，则的长为___________．【15题答案】【答案】【解析】【分析】由折叠知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，得∠BFG=90°，过点A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，求出AM的长度，再证四边形AMFG是矩形，从而得出AM=GF，即可得出结论．【详解】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为，BF=GF，∠BFE=∠GFE，∠BFE=45°，∠BFG=90°，在中，，AM⊥BC，，，，AD//BC，∠GAM=∠AMB=90°，∠GAM=∠AMB=∠BFG=90°，四边形AMFG是矩形，FG=AM=，BF=GF=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．16.为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确实其中感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下轮检测，直至确定所有的感染者．例如，当待检测的总人数为8，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用如图所示．从图中可以看出，需要经过4轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者．（1）的值为___________；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值___________；【16题答案】【答案】（1）7（2）2、3、4【解析】【分析】（1）由图可计算得到n的取值．（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此得到所有可能的结果．【小问1详解】由题意可知，第1轮需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次，∴故答案为7．【小问2详解】由（1）可知，若只有1个感染者，则只需7次检测即可，经过4轮9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都进行检查，即对最后四个人进行检查，可能的结果如下图所示：故答案为：2、3、4

【点睛】本题考查了数学建模能力，正确理解题意并合理建模是解答本题的关键．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．18.计算【18题答案】【答案】1【解析】【分析】本题涉及乘方、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂五个考点，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】===1【点睛】本题考查实数的综合运算能力，属于基础题，解决本题的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握乘方、负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．19.解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．【19题答案】【答案】不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．

【解析】【分析】先解不等式组求出x的取值范围，然后找出符合范围的非负整数解.【详解】解：由不等式①得：x≥－2，由不等式②得：，，∴不等式组的解集为：，∴x的非负整数解为：0，1，2，3.20.下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图2．①在直线BC上取一点A，连接PA；②作∠PAC的平分线AD；③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠PAC，∴∠PAD＝∠CAD．∵PA＝PE，∴∠PAD＝，∴∠PEA＝，∴PE∥BC．（）（填推理依据）．【20题答案】【答案】（1）详见解析；（2）∠PEA，∠CAD，内错角相等两直线平行．【解析】【分析】（1）根据要求作图即可；（2）根据等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义求解可得．【详解】（1）如图所示：直线PE即为所求．（2）证明：∵AD平分∠PAC，∴∠PAD＝∠CAD．∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠PEA，∴∠PEA＝∠CAD，∴PE∥BC．（内错角相等两直线平行）．故答案为∠PEA，∠CAD，内错角相等两直线平行．【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义．21.已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)．(1)试说明：此方程总有两个实数根．(2)如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.【21题答案】【答案】(1)见解析；(2)m=-1,-3.【解析】【分析】（1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x1=，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值．【详解】解:（1）∵m≠0，∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）∵x=，∴x1=-，x2=1，∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．22.如图，在▱ABCD中，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使得∠AFC=DEC，连接CF，DE．（1）求证：四边形DECF是平行四边形；（2）如果AB=13，DF=14，tan∠DCB=，求CF的长．【22题答案】【答案】（1）见解析；（2）15【解析】【详解】试题分析：（1）由已知可知AD∥BC，从而得∠ADE＝∠DEC，再根据∠AFC＝∠DEC，从而得∠AFC＝∠ADE，继而得DE∥FC，问题得证；（2）过点D作DH⊥BC于点H，由已知得到∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13，再根据tanA＝tan∠DCH＝，从而得到DH、CH的长，从而得到CE、DE的长，继而得CF的长.试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，又∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE，∴DE∥FC，∴四边形DECF是平行四边形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，如图所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13，又∵tanA＝＝tan∠DCH＝，∴DH＝12，CH＝5，∵DF＝14，∴CE＝14，∴EH＝9，∴DE＝＝15，∴CF＝DE＝15.23.有这样一个问题：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积（用含的式子表示）.小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：解：如图，令，，设的内切圆分别与相切于点，的长为根据切线长定理，得，，根据勾股定理得，整理，得所以请你参考小冬的做法.解决以下问题：（1）当时，求的面积；（2）当时，直接写出的面积（用含的式子表示）为.【23题答案】【答案】（1）35；（2）【解析】【分析】（1）模仿例题求解即可解决问题;

（2）探究规律，利用规律即可解决问题．【详解】（Ⅰ）如图，令设的内切圆分别与相切于点，的长为根据切线长定理，得，，，据勾股定理得，整理，得所以（Ⅱ）由（1）可知：【点睛】本题考查了三角形的面积，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．24.如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．（1）直接写出的值和点的坐标；（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值．【24题答案】【答案】（1）k=6，B（2，3）；（2）【解析】【分析】（1）将点A的坐标为（m，-3）代入直线中，可求得A（-2，-3），即可求得k=6，解方程组，即可求出点B的坐标；（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，则BE∥CF，△DCF∽△DBE，利用相似三角形性质即可求得C（6，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，运用勾股定理即可求得答案；【小问1详解】解：将点A的坐标为（m，-3）代入直线中，得-3=，解得：m=-2，∴A（-2，-3），∴k=-2×（-3）=6，∴反比例函数解析式为，由，得或，∴点B的坐标为（2，3）；小问2详解】解：如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∴，∵BC=2CD，BE=3，∴，∴，∴CF=1，∴C（6，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，∵B′（-2，3），C（6，1），∴，∴BG+GC=B′C=【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称性质，最短问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题．26.如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF．（1）求证：AC＝CF；（2）若AB＝4，sinB，求EF的长．【26题答案】【答案】（1）见解析；（2）EF【解析】【分析】（1）先根据圆的切线性质和圆周角定理得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后由圆周角定理可得，等量代换得，最后根据等角对等边即可得证；（2）由相似三角形的判定定理可得，再由相似三角形的性质得，由题（1）可知，因此只需求出BE的长即可；在中，解直角三角形可得BD和AD的长，然后在中，解直角三角形可得CD的长，从而可得DE的长，最后根据线段的和差可得BE的长.【详解】（1）∵AD是⊙O的切线∵AB是⊙O的直径是等腰三角形，且（等腰三角形的三线合一性质）又（圆周角定理）；（2）由（1）可知，在中，设，则在中，，即，即又故EF的长为.【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键.27.品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎．节目规则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题．每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题．每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分．现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：a．甲、乙两人参加比赛的得分统计图如下，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙二人在相同轮次的得分：b．丙参加比赛的得分统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）已知点A的坐标为，则此轮比赛中：甲的得分为_________，与甲同场答题的百人团中，有_______人答对；（2）这五轮比赛中，甲得分高于乙得分比赛共有________轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为_______；（3）设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，则________（填“＞”，“＜”或“＝”）．【27题答案】【答案】（1）26，74；（2）2，乙；（3）＜【解析】【分析】(1)根据图a可知甲得分为26，已知甲得分为百人团答错的人数，则百人团答对的人数为100-26=74；(2)图b中丙的得分在第4，5轮为0，而甲与乙比较，乙的得分较多；(3)方差是体现整组数据的差距，差距越大，方差越大；【详解】(1)根据图a可知甲得分为26，已知甲得分为百人团答错的人数，则百人团答对的人数100-26=74；故答案为：26，74(2)图b中丙的得分在第4，5轮为0，而甲与乙比较，观察坐标可知纵坐标数据和大于横坐标数据和，因此乙的得分较多；故答案为：2，乙；(3)方差是体现整组数据的差距，差距越大，方差越大；由图可知乙组数据的差距大于甲组数数据的差距，因此乙的方差＞甲的方差，故答案为：＜【点睛】此题考查了学生对于题意的准确解，以及对坐标的意义准确的理解及应用，此外还考查了方差的定义，属于中档题．28.已知，二次函数的图象为抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称．（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴垂线，交抛物线于点，分别作关于各自抛物线对称轴的对称点，连接，当为正方形时，求的值．（3）抛物线与抛物线围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个整点，直接写出的取值范围．【28题答案】【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，得到抛物线的顶点坐标，由此得到函数解析式；（2）当x=1时，得到B，C的坐标，根据点C关于x=2对称点为，得到C=2，利用正方形的边长相等的性质得到BC=C=2，分两种情况列得①1-3a-（3a-1）=2，②3a-1-（1-3a）=2，求出a；（3）由题意可知，封闭区域内，在x轴上的整数点可以是3个或5个，则G与x轴围城的区域的整数点为4个或3个，分两种情况a>

0时，和a<0时，分别考虑图象边界点的情况，即可确定a的取值．【小问1详解】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为（2，1-4a），∵抛物线与抛物线关于轴对称，∴抛物线的顶点坐标为（2，4a-1），且开口方向相反，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】解：当x=1时，B（1，1-3a），C（1，3a-1），∵点C关于x=2对称点为，∴C=2，∵正方形，BC=C=2，∴①1-3a-（3a-1）=2，解得a=0，舍去；②3a-1-（1-3a）=2，解得a=；综上，a的值为；【小问3详解】解：函数的对称轴为x=2，函数G的顶点坐标为(2，1-4a)，∵抛物线与抛物线关于轴对称，∴整数点也是对称的出现，∵抛物线与抛物线围成的封闭区域内，在x轴上的整数点可以是3个或5个，∴G与x轴围城的区域的整数点为4个或3个，当a>

0时，坐标轴上有3个点，则两个区域各有4个整点，当x=1时，-2≤1-3a<-1，∴，当x=2时，-31-4a<-2，∴<a1，∴；当a

<0时，坐标轴上有5个点，则两个区域各有3个整点，当x=2时，1<1-4a≤2，∴，当x=-1时，5a+10，a，∴，综上所述，或．【点睛】此题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质，正方形的性质，不等式的知识，正确理解关于x轴对称的图象的特点是解题的关键．30.如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM，求∠CAM度数．【30题答案】【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）∠CAM＝30°．【解析】【分析】（1）根据DE∥AB，CE∥AM，同位角相等，又BD＝DC，可证得△ABD≌△EDC，继而证得结论；（2）作MG∥DE交CE于G，易证四边形DMGE是平行四边形，利用(1)的方法证得△ABD≌△EDC，继而证得结论；（3）取线段CH的中点I，连接MI，证得MI＝BH＝AM，MI⊥AC，易证得结论.【详解】（1）∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠ABM，∵CE∥AM，∴∠ECD＝∠ADB，∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD＝DC，∴△ABD≌△EDC，∴AB＝ED，∵AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）结论成立，理由如下：如图2，过点M作MG∥DE交CE于G，∵CE∥AM，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED＝GM，且ED∥GM，∵MG∥DE∥AB∴∠GMC＝∠ABM，∵CG∥AM，∴∠GCM＝∠AMB，∵AM是△ABC的中线，∴BM＝MC，∴△ABM≌△GMC，∴AB＝GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形；（3）如图3取线段CH的中点I，连接MI，∵BM＝MC，∴MI是△BHC的中位线，∴MI∥BH，MI＝BH，∵BH⊥AC，且BH＝AM，∴MI＝AM，MI⊥AC，∴∠CAM＝30°．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，用到了平行线的性质、三角形中位线的性质，构建合适的辅助线是解题的关键.31.对于平面直角坐标系上的点与图形，给出如下定义：若图形上有一点，使得，且以为旋转中心，把点顺时针旋转90°后的对应点也在图形上，则称点为图形的“初心点”；例如：如图1，给出点与轴，过点作轴于点，则可得点的坐标为，此时，且使点绕点顺时针旋转90°后得到的对应点也在轴上，因此点为轴的“初心点”．（1）如图2，已知点，，，，，，，．①点，，，，，中，为线段的“初心点”的是____；②已知反比例函数，若该反比例函数图象上只有1个点为线段的“初心点”，求的取值范围；（2）如图3，已知点为轴上的一个动点，以为圆心的半径长为，以，为端点的线段上同时存在2个点为的“初心点”，求的取值范围．【31题答案】【答案】（1）①，，，；②或；（2）存在2个点为的“初心点”时：或或【解析】【分析】（1）①由新定义可以得到，，，四点符合题意；②由①可知，的所有“初心点”都在线段和线段上，即该反比例函数图象上只有1个点为线段的“初心点”，该反比例函数图象”与