小学奥数版讲义：任意四边形、梯形与相似模型（一）（学生版+解析）

r任意四边形、梯形与相似模型

F1做]题潟窗

板块一任意四边形模型

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:

①1：S?=S4：$3或者WX星=8xS&②AO：OC=(H+S?)：($4+$3)

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边

形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.

【例1】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形

的面积分别是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

【例2】如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、3。分成四个部分，AAOB面积为1平方

千米，△BOC面积为2平方千米，△<%>£>的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千

米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【例3]一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15%,黄色三角形的面

积是21平方厘米.问：矩形的面积是多少平方厘米？

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形3GC的面

积；⑵AG:GC=?

［例4］四边形ABCD的对角线AC与比）交于点0（如图所示）.如果三角形ABD的面积等于三角形以券的

面积的1,且AO=2,DO=3,那么CO的长度是DO的长度的倍.

3

【例5】如图，平行四边形ABCD的对角线交于。点，△CEF、AOEF、AODF、ZXBOE的面积依次是

2、4、4和6.求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积.

【例6】如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积为

【巩固】如图，每个小方格的边长都是1,求三角形ABC的面积.

E

【例7】如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC,CF=FD,求三角形AEG的面积.

ADAD

BECBEC

【例8】如图，长方形ABCD中，BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,三角形DEG的面积为2平方厘米，求长

方形ABCD的面积.

【例9】如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为中点，F为CE中点,G为BF中点,求三

角形肛?的面积.

日_____DAr______£________D

1CBC

【例10］如图，在AABC中，已知M、N分别在边AC、BC±,&W与AV相交于O,若AAOM、AABO和

ABON的面积分别是3、2、1,则AWC的面积是_____.

B—N

【例11】正六边形aAAAAA的面积是2009平方厘米，用生员自用线分别是正六边形各边的中点；那么

图中阴影六边形的面积是平方厘米.

【例12］如图，A8C。是一个四边形，M、N分别是45、CD的中点.如果△ASM、A/rB与AOSN的面

积分别是6、7和8,且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABC。的面积为.

【例13】已知ABCD是平行四边形，BC.CE=3:2,三角形ODE的面积为6平方厘米。则阴影部分的面积

是平方厘米。

【例14】正方形ABCD边长为6厘米，AE=-AC,CF=-BCo三角形DEF的面积为平方厘米。

33-----

【例15］如图4,在三角形ABC中，已知三角形AOE、三角形OCE、三角形3co的面积分别是89、28、

26,那么三角形O8E的面积是0

C

r任意四边形、梯形与相似模型

mwm初题潟窗

板块一任意四边形模型

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”卜

①H：S?=$4：S?或者S]X邑=邑XS4②A。：0C=(4+邑)：($4+$3)

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边

形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.

【例16】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形

的面积分别是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答

【解析】在.ABE,_CDE中有NAEB=NCED,所以ABE,^CDE的面积比为（AE*£B）XCExZJE）.同

理有ADE,BCE的面彳只比为（AExDE）:（BExEC）.所以有S—诋x=S=ADExS_BCE，也就是

说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、

下部分的面积之积等于左右部分的面积之积.即5-_^*6=5_皿^7,所以有ABE与ADE的面积

比为7:6,S.ABF=-2—/39=21公顷，S..ADE=-£-X39=18公顷.

6+76+7

显然，最大的三角形的面积为21公顷.

【答案】21

【例17］如图，某公园的外轮廓是四边形ABC。，被对角线AG2。分成四个部分，AAOB面积为1平方

千米，△BOC面积为2平方千米，△CO。的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千

米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答

【关键词】小数报

【解析】根据蝴蝶定理求得5掺8=3乂1+2=1.5平方千米，公园四边形ABCO的面积是1+2+3+15=7.5平

方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米

【答案】0.58

【例18】一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15%,黄色三角形的面

积是21平方厘米.问：矩形的面积是多少平方厘米？

【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】解答

【关键词】华杯赛，初赛，第7题

【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%,而绿色三角形面积占矩形面积的15%,所以

黄色三角形面积占矩形面积的50%—15%=35%已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面

积等于21—35%=60（平方厘米）

【答案】60

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面

积；（2）AG:GC=?

【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答

x

【解析】⑴根据蝴蝶定理,S.BGC1=2x3,那么S,BGC=6；

⑵根据蝴蝶定理,AG:GC=(l+2):(3+6)=l:3.

【答案】1:3

［例19］四边形ABCD的对角线AC与交于点0（如图所示）.如果三角形瓶。的面积等于三角形38的

面积的1,且49=2,DO=3,那么CO的长度是DO的长度的倍.

3

【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】填空

【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种“不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已

知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条

件5秒0：5BCD=1：3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法•又观察题目中给出的已

知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改

造这个“不良四边形”，于是可以作垂直于H,CG垂直8D于G,面积比转化为高之比.再

应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法，使学

生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题.

解法一：AO:OC=S..:S.=1:3,7OC=2x3=6,7OC:8=6:3=2:1.

ISADBUn/SDBUnCr

解法二：作于H,CG_L3D于G.

.=3M廿--AH=^CG,•••SAA8=gsAD℃，AO^CO,：.OC=2x3=6,

：.00:8=6:3=2:1.

【答案】2倍

【例20］如图，平行四边形ABCD的对角线交于。点，△CEF、△OEF、△ODF、△反旭的面积依次是

2、4、4和6.求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积.

【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】解答

【解析】⑴根据题意可知，ABCD的面积为2+4+4+6=16,那么他。。和ACDO的面积都是16+2=8,

所以△&下的面积为8-4=4;

⑵由于均。的面积为8,ABOE的面积为6,所以△OCE的面积为8—6=2,

根据蝴蝶定理，EG:FG=SAC°E：SACOF=2：4=1:2,所以40c石：之叩=叼：/G=1:2,

I12

丹口么SAGCE=Y^S^CEF=§X2=§.

【答案】-

3

【例21】如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积为

【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空

【关键词】清华附中，入学测试题

【解析】连接AD、CD、BC.则可根据格点面积公式，可以得到AABC的面积为：1+壮-1=2,AACD的

2

34

面积为：3+/—1=3.5,AABD的面积为：2+万一1=3.所以：&AS=2：3.5=4:7,

,,4412

所以S^BO=--------x58力=—x3=—.

恻°4+7AA1111

【答案】—

11

【巩固】如图，每个小方格的边长都是1,求三角形ABC的面积.

【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答

【解析】因为BD:CE=2:5,且BD〃CE,所以ZM:AC=2:5,S..nr=-^—S,nRr=-x2=—.

【答案】—

7

【例22］如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC,CF=FD,求三角形AEG的面积.

【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答

【关键词】人大附中考题

【解析】连接EF.

因为BE=2EC,CF=FD,所以5AoM=gxgxg)S钻⑦=gs

因为与^=35^8,根据蝴蝶定理，AG:GF=1：1=6:1,

所以66j_

尸"人SAAGD=6、AGDF=~^MDF=5X^3ABCD二五3ABCD,

1322

所以SMGE=S^AED-S^GD=5SABCD~瓦S舫。。=ABCD

7

7

即三角形AEG的面积是*.

7

【答案】-

7

【例23］如图，长方形ABCD中，BE:EC=2:3,DF.FC=1:2,三角形“G的面积为2平方厘米，求长

方形ABCD的面积.

【考点】任意四边形模型

【解析】连接钻，FE.

3111

因为BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,^^S=(-X-X-)5

DEFMCD=-5mcD.

因为S.=：S长方诩sc。，AG-.GF=^=5-.l,所以S4⑺=5S诩=10平方厘米，所以S”0=12平

方厘米.因为S"„=工5长为如所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.

U6TXzJ形Ad”

【答案】72

【例24］如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米,E为AD中点,F为CE中点，G为BF中点,求三

角形BDG的面积.

【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答

【解析】设加与CE的交点为O,连接BE、DF.

由蝴蝶定理可知EO：OC=S皿：SBS，而SBED=1sAecD，SBCD=；SABCD，所以

EO:OC=SDBlhELJD：SDHvC^LDJ=1:2,itEO=-EC.

由于尸为CE中点，所以政=^EC,故EO:EF=2:3,FO:EO=1:2.

2

由蝴蝶定理可知SBF。：S“=PO:EO=1:2，所以SBFD=〈s回=!S'

Zo

那么SBeMLsMoMLsABmu'xlOxlOuGZS(平方厘米).

I5KJL)2DrL)]$AoCiJ]$

【答案】6.25

【例25］如图，在AA5c中，已知Af、N分别在边AC、BC±,3M与AV相交于O,若AAOAZ、AABO和

ABON的面积分别是3、2、1,则AMZVC的面积是.

【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空

【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.

X

SAAOMXS^BON_31_3

根据蝴蝶定理得S^ON

22

设S2tON=x，根据共边定理我们可以得

3

3+弓3+2

—2=丁，解得％=22.5.

x,3

^^MNC°AA/BC1H----FX

2

【答案】22.5

【例26】正六边形AAAAAA的面积是2009平方厘米,旦鸟鸟坊网线分别是正六边形各边的中点；那么

图中阴影六边形的面积是・平方厘米.

【考点】任意四边形模型

【关键词】迎春杯，6年级。初赛

【解析】如图，设线&与耳人的交点为。，则图中空白部分由6个与刈。4一样大小的三角形组成，只要求

出了A4OA,的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.

连接A6A3、B6BI、B6A.

设的乌线的面积为”i“，则反出线面积为"1"，八44线面积为“2“，那么A&A氏面积为MAI的

2倍，为“4"，梯形A4AA的面积为2x2+4x2=12,刈线人的面积为“6"，然&&的面积为2.

12

根据蝴蝶定理，BQ=A3O=Sm):SW6=1:6,故s..=含Z

T

1?1

所以也网：s梯形型2M=亍：12：1：7，即MOA,的面积为梯形A44A面积的］，故为六边形

113

A4AAAA面积的点，那么空白部分的面积为正六边形面积的点x6=2,所以阴影部分面积为

2009x(1-1

1148（平方厘米）.

【答案】1148

【例27］如图，ABC。是一个四边形，M、N分别是A3、CD的中点.如果△ASM、与ZkOSN的面

积分别是6、7和8,且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形A3C。的面积为.

c

【考点】任意四边形模型【难度】5星【题型】填空

【关键词】迎春杯，高年级组，决赛，12题

【解析】连接MN、AC.BD.

由于Af是AB的中点，所以AAA4N与ABMN的面积相等，而AMTB比AA5M的面积大1,所以AMSN

比AM77V的面积大1;又由于N是CD的中点，所以AOMV的面积与ACMN的面积相等，那么AC刀V

的面积比ADSN的面积大1,所以ACTTV的面积为9.

假设AM7N的面积为“，则AMSN的面积为a+1.根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知AASD的

面积为MTC的面积为袋.

。+1a

要使这两个三角形的面积为整数，a可以为1,3或7.

由于AAZW的面积为AABD面积的一半，ABCN的面积为ABCD面积的一半，所以AADM与XBCN

的面积之和为四边形ABCD面积的一半，所以MDM与ABC7V的面积之和等于四边形BMDN的面

积，即：

48“63__1。尸4863.

-------F6H------l-n9=7+a+q+l+8,仔-----1----=2a+1•

a+\aa+1a

将。=1、3、7分别代入检验，只有。=7时等式成立，所以AM7N的面积为7,AMSN、AASZ）、NBTC

的面积分别为8、6、9.

四边形ABCD的面积为（6+7+8+9）x2=60.

小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的.

【答案】60

【例28］已知ABCD是平行四边形，BC.CE=3:2,三角形ODE的面积为6平方厘米。则阴影部分的面积

是平方厘米。

【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级，第五题

【解析】连接AC。由于ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2,所以CE:AD=2:3,根据梯形蝴蝶定理，

SCOE：SAOC:SDOE-SAOD=22：2X3:2X3:32=4:6:6:9,所以Saoc=6（平方厘米），SAOD=9（平

方厘米），又5ABe=SAS=6+9=15（平方厘米），阴影部分面积为6+15=21（平方厘米）。

【答案】21

【例29】正方形ABCD边长为6厘米，AE=-AC,CF=-BCo三角形DEF的面积为平方厘米。

33

【考点】任意四边形模型【难度