线段中双（多）中点-2025年安徽中考数学常见几何模型解读与提分训练（解析版）

专题02线段中双（多）中点模型

线段是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先

由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写

出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。

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目录

模型1.线段中的双中点模型

模型解读

线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为

线段的双中点模型。

模型证明

条件：点M、N分别为线段A3、的中点，结论：MN=-AC.

2

证明：①当点5在线段AC上，如图1,

AMBNC

图1

N分别为A3、的中点,

ABM=-AB;BN’BC；

22

•；MN=BM+BN,

②当点B在线段AC的延长线上，如图2,

AMCNB

图2

N分别为48、BC的中点,

/.BM^-AB-,BN==BC;

22

,:MN=BM-BN,

1111

W=-AB--BC=-（AB-BC）=-AC

③当点B在线段CA的延长线上

BMAN

图3

N分别为AB、8c的中点,

11

；・BM=—AB;BN=—BC;

22

,:MN=BN-BM,

=一也乙回一网.AC;

模型运用

例1.已知点AB,C都在同一条直线上，AB=38C,D,E分别为AC,BC的中点.若以=6,则AC的长为.

【答案】8或16/16或8

【知识点】线段中点的有关计算

【分析】本题主要考查与中点有关的线段和差计算，分两种情况：点C在点8的左边时，点C在点B的右

边时，再根据相应线段的关系进行解答即可.

【详解】解：当点C在点8的左边时，如图所示.

IIIII

ADCEB

团3E分别为AC,3C的中点，

^DC=AD=^AC,CE=BE=~BC,

^DE=DC+CE,DE=6,

0-AC+-BC=6,

22

0AC+BC=12,即AB=12.

团AB=3BC,

团5C=4,

^AC=AB-BC=8；

当点C在点B的右边时，如图所示.

IIIII

ADBEC

HD,E分别为AGBC的中点，

SDC=AD=-AC,CE=BE=-BC.

22

团DE=DC—CE,DE=6,

^\-AC--BC=6,

22

^\AC-BC=12.

回AB=AC—BC,

国AB=12.

回AB=3BC,

0BC=4,

^AC=AB+BC=16.

综上所述，AC的长为8或16,

故答案为：8或16.

例2.如图，一条线段A8:5C:CD=3:2:4,E,尸分别是线段A民8的中点，且£F=22cm,则线段BC的

长为.

I____________I________________I________________________I_______________________I_______________________I

AEBCFD

【答案】8的/8厘米

【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算、线段的和与差

【分析】本题考查了两点之间的距离，关键是根据线段关系设未知数求解.设AB=3k,BC=2k,CD=4k,

由点E,尸分别是AB,。的中点可得E3,CF的长，已知EF=22cm,可列方程解得左的值，可得BC的

长.

【详解】解：丫AS：3C:CD=3:2:4,n\^AB=3k,BC=2k,CD=4k,

,••点E,歹分别是AB,CD的中点，

13”1

二.EB=-AB=—,CF=-CD=2k,

222

3“11”

EF=EB+BC+CF=—+2k+2k=—,

22

又'/EF=22cm,

11”

.-.—=22,解得攵=4,

BC=Ik=2x4=8(cm),

即线段5C的长为8cm.

故答案为：8cm.

例3.如下图，C为线段上一点，M为AC的中点，N为5c的中点，其中AC=8,AC<BC.若D为BC

上一点，且满足2cD=BN-4,试说明：。是线段MN的中点.

AMCDNB

IIII।।

【答案】说明见解析

【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算

【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，由线段的中点定义及线段的和差得地=4+CD,再根据线段

中点的定义及2CD=8N-4表示出£W=CD+4,即可说明问题.解题的关键是理解线段的中点定义：一条

线段的中点只有一个；某一点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件：点必须在这条线段上；它把

这条线段分为相等的两条线段.

【详解】解：回M为AC的中点，AC=8,

HMC=-AC=-X8=4,

22

SMD=MC+CD=4+CD,

S2CD^BN-4,

SBN=2CD+4,

回N为BC的中点,

©CN=NB=2CD+4,

国DN=CN—CD=2CD+4—CD=CD+4,

^MD=DN,

由题意及图形知：点。在线段MN上，

即。是线段MN的中点.

例4.如图，A,B,C,。是直线/上的四个点，M,N分别是AB,C。的中点.

MN

I_____________II1___________________111________

ABCD

⑴如果MB=2cm,NC=1.8cm,BC=5cm,则AD的长为cm；

（2）如果MN=10cm,BC=6cm,则AD的长为cm；

（3）如果肱V=a,BC=b,求AD的长，并说明理由.

【答案】⑴12.6；

⑵14；

（3）2a-b,见解析.

【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算

【分析】（1）根据线段的和，可得（M8+CN）的长，根据线段中点的性质，可得与MB的关系，CD与CN

的关系，根据线段的和，可得答案；

（2）先根据线段的和与差，计算出3M+CN的长，再根据线段中点的性质，可得48与MB的关系，CD与

CN的关系，根据线段的和，可得答案；

（3）根据（2）的解题过程，即可解答；

此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键.

【详解】（1）解：0MB=2cm,NC=1.8cm,

07WB+?/C=3.8（cm）,

,N分别是42,8的中点，

^AB=2BM,CD=2CN,

回AB+CD=2BM+2CN=2（+CN）=7.6（cm）,

0AD=AB+CD+BC=7.6+5=12.6（cm）,

故答案为：12.6：

（2）解：ElMN=10cm,BC=6cm,

0BM+C7V=ACV-BC=lO-6=4（cm）,

0M,N分别是48,CD的中点，

^AB^2BM,CD=2CN,

团AB+CD=23"+2C7V=2（3"+CZV）=8（cm）,

0AD=AB+CD+BC=8+6=14（cm）,

故答案为：14；

（3）解：SMN=a,BC=b,

SBM+CN=a-b,

0M,N分别是48,8的中点，

^AB=2BM,CD=2CN,

团AB+CD=2BM+2CN=2（BM+CN）,

团AB+CD=2（a—,

0AD=AB+CD+BC,

SAD=2^a—b^+b=2a—2b+b—2a—b.

模型2.线段中的多中点模型

模型解读

条件：如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MV=2a,第1次操作：分别取线段AM和AN的中点、

3•,第2次操作:分别取线段4%和AM的中点A/?,%；第3次操作:分别取线段AM?和AN?的中点AG，

N,；…连续这样操作〃次，结论：MN=

AN3M3N2M2N\M[NM

模型证明

证明：•.•"]、V是AM和AN的中点,

AM.=~AM,AN,=-AN,

22

/.MN=；AM.AN=；MN=a,

,:M»生是4必和AM的中点，

/.AM,=-AM.,AN,=-AN,,

22

M2N2=-^AMX——ANt=—MlNl=—«,

VM3,M是41%和4%的中点，

AM3=|AM2,AN3,

...发现规律：M“N”=(gj

M3N3=1A«2-^AN2=^M2N2=^a=^\-a,-a,

模型运用

例1.如图，图中数轴的单位长度为1.若原点。为48的四等分点，则C点代表的数为

ACB

【答案】-3或-1或1

【知识点】线段〃等分点的有关计算、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数

【分析】根据线段的四等分点有3个，分三种情况并结合图形即可得出答案.

【详解】解：回图中数轴的单位长度为1,

0A5=8,

①如图，当点0靠近点A时，

团原点。为的四等分点，

0AO=—AB=—x8=2,

44

团C点代表的数为1；

ACB

o

②如图，当点。恰好是线段A8的中点时，

回原点。为的四等分点，

[3AO=—AB=—x8=4,

22

回C点代表的数为-1；

ACB

IIIIIIIIIII1»

O

③如图，当点。靠近点3时,

回原点。为AB的四等分点，

0OB=-AB=-x8=2,

44

团C点代表的数为-3；

ACB

0

综上所述，C点代表的数为-3或-1或1,

故答案为：-3或-1或1.

【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论

的思想.解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成4份.

例2.如图，完全重合的两个等边VABC、等边DEF的边BC、E尸都在数轴上，点、B、C在数轴上所对应

的数分别为3、9.若将VABC向左平移机个单位，ADER向右平移加个单位.当点E、C为线段,的三

等分点时，则机的值为.

【知识点】利用平移的性质求解、等边三角形的性质、线段”等分点的有关计算、几何问题（一元一次方程

的应用）

【分析】根据题意可知3c=6,再根据分点E、C的位置不同，两种情况来考虑，根据线段间的关系结合

3C=6即可得出关于机的一元一次方程，解方程即可得出结论.

【详解】解：回点8、C在数轴上所对应的数分别为3、9,

0BC=6,即等边三角形的边长为6,

EIVABC向左平移抑个单位，ADEF向右平移加个单位，

团点E、C是线段所的三等分点分两种情况：

①点E在点C的左边时，如图所示，

团E、C是线段B尸的三等分点，

团BE=EC=CF,

团BC=6,BE=2"i,

02m+2m=6,

3

解得：m=j；

②点E在点C的右边时，如图所示，

EIE、C是线段5F的三等分点，

团BC=EC=EF=6,

团BC=6,BE=2m,

S2m=6x2,

解得：m=6；

3

综上可知：.当点E、。为线段所的三等分点时，则相的值为万或6.

3

故答案为：|•或6.

【点睛】本题考查等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等.也考查了平移的性质、数轴上两点之

间的距离、三等分点的意义和一元一次方程的应用.运用分类讨论的思想是解题的关键.

例3.如图，将线段延长到点C,使=延长3C到点。，使=延长CD到点E,使

44

DE=-CD.

4

।IIII

ABCDE

⑴若AB=64cm,求AE的长；

⑵若AE=340cm,求A5的长.

【答案】（1）85cm

⑵256cm

【知识点】线段〃等分点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)

【分析】本题主要考出来线段的和差计算，一元一次方程的应用：

(1)先求出3C=！A5=16cm,进而求出。工3C=4cm,则。E=』CO=lcm,由此即可得到

444

AE=AB+BC+CD+DE=85cm；

(2)设AB=xcm,贝ljBC=」xcm,CD=—xcmDE=—xcm,根据题意，x+—x+—x+—x=340,

4166441664

解方程即可得到答案.

【详解】(1)解：0BC=-AB,AB=64cm

4

团BC=—AB=16cm,

4

团CO」5C=4cm,

4

团DE=—CD=1cm,

4

团AE=43+BC+CD+DE=64+16+4+l=85(cm).

(2)解：设A5=xcm,则,CD=—BC=—xcm,DE=—CD=—xcm.

44416464

根据题意，+—x+—x+—x=340,

41664

解得尤=256.

回AB的长为256cm.

例4.小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：

如图1,点C在线段上，M,N分别是AC,2C的中点.若A5=6,AC=2,求MN的长.

111II

AMCNB

图1

iiiii

AMCNB

图2

⑴根据题意，小明求得MN=.

⑵小明在求解(1)的过程中，发现"N的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始

深入探究.

设=C是线段A3上任意一点(不与点A,B重合)，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答.

①如图1,M,N分别是AC,BC的中点，则肱V=.

②如图2,M,N分别是AC,BC的三等分点，即AM=；AC,BN=；BC,求"N的长.

③若N分别是AC,8C的〃(“22)等分点，即AM=』AC,BN=-BC,则肱V=.

nn

【答案】⑴3

⑵①卜；②'fa；®——a

23n

【知识点】线段之间的数量关系、线段〃等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差

【分析】(1)由AB=6,AC=2,nBC=AB-AC=4,根据Af,N分别是AC,BC的中点，即得CM=

-AC=1,CN=-BC=2,故MN=CM+CN=3；

22

(2)①由M,N分别是AC,BC的中点，知AC,CN^-BC,即得放V=1AC+工BC=1力B,

22222

故ACV=-a；

2

ii22222

②由=—AC,3N=—3C,知CM=—AC,CN=-8C,即得MV=CM+CN=-AC+—BC=-2B,

3333333

2

故肱V=-a；

3

x-x11n—1R—1H—1ri—1

③由/VW=—AC,BN=—BC,知CM=——AC,CN=——BC,即得A£V=CM+GV=——AC+——

nnnnnn

BC=—AB,故MN="a.

nn

【详解】(1)解：:45=6,AC=2,

:.BC^AB-AC^4,

■：M,N分别是AC,BC的中点，

..CW」AC=1,CN=LBC=2,

22

:.MN=CM+CN=3；

故答案为：3；

(2)解：①N分别是AC,BC的中点，

AC,CN==BC,

22

.,.MN=—AC+—BC=—AB,

222

,/AB=a,

二.MN=­a；

2

故答案为：—a；

=|AC,BN《BC,

22

:,CM=-AC,CN=-BC,

33

222

:.MN=CM+CN=—AC+—BC=—AB,

333

AB=a,

2

.'.MN=—a；

3

AC,BN、BC,

nn

n—1n—\

:.CM=——AC,CN=——BC,

nn

n—1n—1n—1

:.MN=CM+CN=——AC+——BC=——AB,

nnn

*：AB=a,

n—1

MN=-----a9

n

故答案为：—~-a.

n

【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算.

习题练模型

一、单选题

1.如图，延长线段AB至点C,使5C=2AB,延长线段84至点。，使E是线段的中点，F

是线段AC的中点.若£F=10cm,则A3的长度为（）

Iiiii।

DEABFC

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】B

【知识点】线段的和与差、线段之间的数量关系、线段中点的有关计算

【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，先根据题意得出==

2

135

AF=-AC=-AB,再根据W=3£+A/一A3=]A5=10cm,求出A3的长度即可.

【详解】解：^1AD=3AB,

团DB=AD+AB=4AB,

回E是线段。5的中点，

⑦BE」DB=2AB,

2

国BC=2AB,

^AC=AB+BC=3AB,

团尸是线段AC的中点，

13

^\AF=-AC=-AB,

22

BEF=BE+AF-AB=-AB=10cm,

2

团AB=4cm.

故选B.

2.如图，线段AB=16cm,点C为线段AB上的一点，点。，E分别为线段AC,BC的中点.则线段DE的

长为（）cm.

ADCEB

A.4cmB.8cmC.10cmD.12cm

【答案】B

【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差

【分析】本题主要查了线段中点的定义.根据线段中点的性质，可得CD=[AC,CE=\BC根据线段的和差,

22

可得。E的长.

【详解】解：回点。，E分别为线段AC,的中点.

I3CD=|AC,C£=|BC,

BDE=CD+CE=-AC+-BC=-（AC+BC}=-AB=-x16=8cm.

222''22

故选：B

3.已知点C是线段AB的中点，点。是线段BC的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若AB=24cm,

则AD的长为（）

A.8cmB.16cmC.4cm或8cmD.16cm或20cm

【答案】D

【知识点】线段〃等分点的有关计算、线段中点的有关计算

2

【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得AC=12cm,再分CD=：3C=8cm和

CD=gBC=4cm两种情况，画出图形，分别求解即可.

【详解】解：回AB=24cm,点C是线段AB的中点，

0AC=BC=-AB=12cm,

2

回点D是线段BC的三等分点，

CD=—BC=4cm,如图，贝ljAD=AC+CD=16cm；

3

।i।।

ACDB

2

若CD=-3C=8cm,如图，则AT>=AC+CD=20cm,

3

।।।।

ACDB

综上，AD的长为16cm或20cm,

故选：D.

4.已知线段48,点尸在直线AB上，直线AB上共有三条线段：AB,上4和P3.若其中有一条线段的长

度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段A8的“奇妙点"，那么线段的"奇妙点"的个数是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【知识点】线段之间的数量关系、线段〃等分点的有关计算

【分析】根据"奇妙点"的定义即可求解.本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解

答本题的关键.

【详解】解：线段A3的2个三等分点与线段的中点都是线段的"奇妙点"，同理，在线段A3延长线

和反向延长线也分别有3个"奇妙点”.

，线段AB的"奇妙点”的个数是9个.

故选：C.

二、填空题

5.已知线段AB=20cm,点C是直线AB上一点，3c=8cm,若M为A8中点，N为BC中点，则线段

的长度为cm.

【答案】6或14

【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差

【分析】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，难点在于要分情况讨论.

本题需要分两种情况讨论：①当点C在线段上时；②当点C在线段的延长线上时；根据线段中点

的定义，计算即可.

【详解】解：如图，当点C在线段上时，

AMCNB'-'M是&C的中点，

:.AM=BM=-AB=10cm,

2

QN是2C的中点，

：.CN=BN=-BC=4cm,

2

MN=BM-BN=10-4=6cm-,

如图，当点C在线段AB的延长线上时，

J(-：M是AB的中点，N是BC的中点，

:.MN=MB+BN=-AB+-BC=10+4=14cm,

22

综上所述，线段的长度是6cm或14cm,

故答案为：6或14.

6.如图，已知点C是线段上一点，点M是线段AC的中点，点N是线段8C的中点，给出下面4个结

论：@AM+BN=^AB'.®MN=^AB；③若BN=3AM,则BM=8AAf；④若AB=1O,BN=2MC,

则CN=¥•上述结论中，所有正确结论的序号是.

AMCNB

【答案】①②④

【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算

【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义得到

AM=CM=^AC,BN=CN=^BC,再由线段的和差关系即可判断①②；求出BC=6A〃，进而可得

BM=BC+CM=1AM,据此可判断③；求出3c=4MC,则可求出AB=6MC=10,据此可判断④.

【详解】解：回点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，

^AM=CM=-AC,BN=CN=-BC,

22

SAM+BN^-AC+-BC=-（AC+BC）^-AB,MN=CM+CN=-AC+-BC=-（AC+BC）=-AB,故

2222

①②正确；

^\BN=3AM,

团BC=2BN=6AM,

ElCM=AM,

SBM=BC+CM=1AM,故③错误；

^BN=2MC,

SBC=4MC,

又团AC=2MC,

SAB=AC+BC=4MC+2MC=W,

0MC=-,

3

0CN=BN=2MC=q,故④正确；

团正确的有①②④，

故答案为：①②④.

7.如图，VABC中，。是3C边上的一点（不与8,C重合），点E,尸是线段AO的三等分点，记V3OF的

面积为M，3CE的面积为$2,若工+邑=4,则VABC的面积为.

【答案】12

【知识点】与三角形的高有关的计算问题、线段”等分点的有关计算

【分析】本题考查了三角形的面积，点E,尸是线段AD的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底

边之比，可得出冬9=35-SAADC=3S2,最后便可以求出VABC的面积，

解题的关键是掌握同高三角形面积之比等于对应底边之比.

【详解】解：国点石产是线段a。的三等分点，

团DF=—AD,AE=—AD

33

回SAABD=3sl,SAADC=3S2,

团S4ABC-S4ABD+^AADC

=3S,+3S2

=3（£+昆）

=3x4

=12,

故答案为：12.

8.（2024・河北・中考真题）如图，VABC的面积为2,AO为5c边上的中线，点A,C,,C2,G是线段

的五等分点，点A,2，2是线段的四等分点，点A是线段3月的中点.

（1）△AGA的面积为；

（2）△与。4。3的面积为.

【答案】17

【知识点】线段〃等分点的有关计算、根据三角形中线求面积、全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角

形的判定与性质综合

【分析】（1）根据三角形中线的性质得S△9=Soc°=<S2BC=1，证明AAGA&AAaXSAS）,根据全等

三角形的性质可得结论;

(2)证明△做A四△ABD(SAS),得皿=Sa°=l,推出a、R、与三点共线，得

%ABIG=，△阴。[+S^ACR=2,继而得出SAAB&=4s△叫G=8,S&ABR=3s△明£>]=3,证明△C3A。3s△CAD,

4

得％03仍=9S4CAD=9,推出=§S/\c3A£>3=12，最后代入S3C4D3=%4。4。3+ZABIR—S/\AB1c4即可.

【详解】解：(1)连接42、与4、BC、Bg、C3D3,

EIVABC的面积为2,AD为BC边上的中线，

团S^ABD=S4ACD=]^/XABC~21,

团点A,C,,C2,C3是线段CQ的五等分点，

团AC=AC]=CjC2=C2G=C3c4=~CC4,

团点A,2，。2是线段。2的四等分点，

回AD=AD]=D}D2=D2D3=；DD3,

团点A是线段8月的中点，

团AB=AB}=gBB{,

在△ACQ和△ACD中，

AQ=AC

<ZC.AD^ZCAD,

AR=AD

回一。]。]之△ACD(SAS),

回S^AGD=§4人3=1,NCRA=Z.CDA,

团△AGR的面积为1,

故答案为：1；

(2)在△A3Q和△AB。中，

AB{=AB

<NB]A。]=/BAD,

AD,=AD

团AABIR名△ABQ(SAS),

0S/XABWi=S^ABD—1，NBQA=ABDA,

团NBZM+NCZM=180。，

团NBRA+NCBA=180°,

团G、2、d三点共线，

=

团SAAB1G=%4用口+^AAQD]1+1=2,

团AQ=CXC2=C2c3=C3c4,

@SK=4"=4?28,

团AD】=D]D?=D2D3,SAAB、D、=1,

团S△物R=3s向=3x1=3,

在和“18中，

ATAn

回经1=3=吗，ZC3AD3=ACAD,

ACAD33

团△CsAD3s△CAO,

回S«G妆=（当_]=32=9,

S^CADIACJ

团SM3AD3=9s△a。=9x1=9,

团AC^=GG=c2c3=c3c4,

44

=x

团^AAC4D3§^AC3AD3=~9=12,

+

团S△鸟。也=^AAC4D3S^A用A_AB1c4=12+3—8=7

回△耳。4。3的面积为7,

【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意

义，三角形的面积.掌握三角形中线的性质是解题的关键.

三、解答题

9.如图，C是线段AB上的一点，且A3=8,AC=3BC,。为A8的中点，E为BC的中点.

•-------------------•---------•------•----•

ADCEB

⑴线段3c的长为；

⑵求线段DE的长.

【答案】⑴2；

（2）3.

【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差

【分析】（1）根据AC+3C=AB,AB=8,AC=3BC^3BC+BC=8,据此可得8c的长；

（2）根据AB=8,。为AB的中点得。8=：A8=4,再由（1）可知3C=2,则OC=D5-3C=2,然后

根据E为BC的中点得CE=1BC=1,由此可得DE的长.

2

此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键.

【详解】（1）解：回C是线段上的一点，

回AC+BC=AB,

又团AB=8,AC=3BC,

⑦3BC+BC=8,

团5C=2,

故答案为：2.

（2）解：13AB=8,。为A3的中点，

SDB=-AB=4,

2

由（1）可知3c=2,

SDC=DB-BC=4-2=2,

又I3E为BC的中点，

0CE=-BC=1,

2

团DE=DC+CE=3.

10.如图，已知A、B、C、D、E五点在同一直线上，。是线段48的中点，点E是线段5C的中点，线段

AC=12.

ADCEB

⑴写出AC、DC、CB的数量关系；

⑵求线段DE的长.

【答案】(1)AC=CB+2CD

(2)6

【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差

【分析】本题考查了两点间的距离，能求出AC=2CE+2CD是解此题的关键.

(1)根据线段的中点求出AL>=3。，CE=BE,BC=2CE,求出AC=AD+r>C=2CE+2CD即可;

(2)根据(1)得出AC=2CE+2CE>=12,再求出CE+CD即可.

【详解】(1)解：回。是线段A3的中点，点E是线段BC的中点，

QAD^BD,CE=BE,BC=2CE,

SAC=AD+DC

=BD+DC

=BE+CE+DC+DC

=2CE+2CD

=CB+2CD,

即AC、DC、CB的数量关系是AC=CB+2CD；

(2)解：由(1)知：AC=2CE+2CD=12,

团CE+CD=6,

即DE=CE+CD=6.

11.如图，线段AB=18,点C是线段AB的中点，点。是线段BC的中点.

IIII1IIII

ACDBANCDB

①②

(1)如图①，求线段AD的长；

(2)如图②，点N是线段AC上的一点，且满足NC:AN=3:1,求ON的长度.

27

【答案】(Dy

衅

【知识点】线段”等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差

【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键.

(1)根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可；

(2)由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可.

【详解】(1)解：•••点C是线段AB的中点，

AC=BC=-AB=9,

2

19

又•.•点。是线段3c的中点，.•.8=8。=万灰：=',

:.AD=AC+CD

=9+2

2

_27

=万；

(2)解：：NC:AN=3:1,

327

:.NC=——AC=—

3+14f

中DN=NC+CD

T19

=1——

42

_45

12.已知线段AB=90cm,C是线段A3上任意一点(不与点A,3重合).

Ilill

AMCNB

⑴若M,N分别是AC,8C的中点，求MN的长度；

(2)若AW=；AC,BN=；BC,求的长；

(3)在(2)的条件下，若BC=30cm且G点在直线A3上，G3=15cm,求MG的长度.

【答案】⑴45cm

⑵60cm

(3)55cm或85cm

【知识点】线段〃等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差

【分析】本题考查了线段的"等分点有关的计算，线段的和差，理解线段”等分点的定义是解答本题的关

键.

(1)由中点的定义可得MC=：AC,CN=；BC,然后根据MV=MC+CV求解即可;

1122

(2)由AM=LAC,BN=-BC可得MC=—AC,CN=-BC,然后根据跖V=MC+CV求解即可；

3333

(3)先求出线段MB的长，然后分点G在线段A3上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可.

【详解】(1)0M,N分别是AG的中点，

BMC=-AC,CN=-BC,

22

SMN=MC+CN=-AC+-BC=-AB.

222

回AB=90cm,

团MN=45cm；

(2)^\AM=-AC,BN=-BC,

33

22

团MC=—AC,CN=—BC,

33

222

BMN=MC+CN=-AC+-BC=-AB,

333

团AB=90cm,

团MN=60cm；

(3)回AB=90cm,BC=30cm,

团AC=AB-BC=60cm.

^\AM=-AC,

3

团AM=20cm,

团MB=90-20=70cm.

当点G在线段A5上时，MG=MB-GB=10-15=55cm；

当点G在线段A3的延长线上时，MG=Affi+GB=70+15=85cm.

综上可知，MG的长度为55cm或85cm.

13.如图，已知点C在线段AB上，点。、E分别在线段AC、上，

I___________________I________I______I______________I

ADCEB

(1)观察发现：若。、£分别是线段AC、BC的中点，且AB=12,则OE=；

(2)拓展探究；若AD=2OC,BE=2CE,且AB=10,求线段DE的长；

(3)数学思考：若AD=⑦C,BE=kCE(左为正数)，则线段OE与AB的数量关系是.

【答案】(1)6；(2)y；(3)AB=[k+\)DE

【知识点】线段”等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差

【分析】(1)根据中点的定义，结合线段的和、差计算即可

(2)利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可

(3)结合(2)的求解，再利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可

【详解】(1),:D、E为线段AC,的中点

DC=^AC,CE=^BC

DC+CE=1(AC+BC)

:DE=DC+CE,AB=AC+BC

:.DE=-AB

2

AB=12

DE=—xl2=6

2

(2)AD=2DC,BE=2CE

AJB-AJD+DC+CE+BE,

AB=2DC+DC+CE+2CE=3(DC+CE)

-AB=10,DE=DC+CE

3DE=AB

3DE=10

:.DE=—

3

(3)*.*AD=kDC,BE=kCE

•：AB=AD+DC+CE+BE,DE=DC+CE

:.AB=kDC+DC+CE+kCE=(k+\)(DC+CE)

:.(k+l)DE=AB

【点睛】本题考查了线段〃等分点的有关计算，掌握线段之间和、差倍数关系是解题关键.

14.如图，点。是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点8在数轴上位于原点右侧，AB=m.

AOB

--------------------------------1------------------------------1----------1---------------------------------------------

⑴当机=8,A3=403时，点A表示的数为一点8表示的数为二

⑵若点C、。为数轴上任意两点，点M是线段AC的中点，点N是线段的中点.

①当点C与点。重合时，探究与MN的数量关系，并说明理由.

②当CD=”时，直接写出的长度(用形，”表示).

【答案】⑴-6,2

(2)①②MN=■或MN=或MN=

2222

【知识点】线段中点的有关计算、数轴上的动点问题、用数轴上的点表示有理数

【分析】本题考查了数轴上点的表示，线段中点的相关计算，数轴上动点问题；

31

(1)由线段关系可求OA=—A3=6,0B=—AB=2,即可求解；

44

(2)①分类讨论：当C(0在A的左边时，当C(0在A、B之间时，当C(D)在B之间右边时，即可求解;

②当C、。在A的左边，且C在。的左边，由线段的中点得AM=；AC,BN=；BD,由线段和差得

AN=AB-BN=AB--BD,由朋N=AM+AN,即可求解；C、。其它不同位置情况同理可求；

2

掌握线段的中点，能根据动点不同位置进行分类讨论是解题的关键.

【详解】(1)解：••・AB=4O5,m=8,

3

:.OA=-AB=6,

4

0B=-AB=2,

4

，点A表示的数为-6,点8表示的数为2；

故答案：-6,2；

(2)解：@MN=-AB,理由如下：

2

如图，当。(。)在A的左边时，

—氢?)¥_------X_2---------A;点M是线段AC的中点，点N是线段BD的中点，

AM=-ACBN=-BC,

2f2

•：AN=AB-BN

=AB--BC

2

:.MN=AM+AN

=-AC+AB--BC

22

=AB+-（AC-BC）

2'7

=AB--AB

2

=-AB；

2

如图，当C（D）在A、B之间时,

《必q（D）川,p

A，.,点M是线段AC的中点，点N是线段8。的中