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文档简介
整式的乘除(易错专练)
一.科学记数法一表示较小的数(共2小题)
1.(2023春•蕉城区校级月考)一种花粉颗粒直径约为0.0000075米,将数据0.0000075用科学记数法表示
为()
A.7.5x1。/B.0.75x10-5C.7.5xlO-5D.75xl0-7
2.(2023春•泰兴市期末)近来,中国芯片技术获得重大突破,7:西芯片已经量产,一举打破以美国为首的
西方世界的技术封锁,已知7加7?=0.0000007cm,则0.0000007用科学记数法表示为.
二.同底数暴的乘法(共2小题)
3.(2023•连平县校级开学)计算的结果正确的是()
A.x5B.x6C.XsD.5
4.(2023春•皇姑区校级期中)已知〃是正整数,且""=3,a"=2,则■的值为()
2
A.5B.1C.6D.-
3
三.塞的乘方与积的乘方(共7小题)
5.(2023春•永年区期中)计算(-1,21021X(.72023的结果等于()
A.1B.-1c.--D.-i
49
6.(2023春•鹿城区校级期中)已知W=2,my=5,则m2工+>值为()
A.9B.20C.45D.m9
7.(2023春•西安月考)已知”=3,求(-2-)3+4(炉产的值.
8.(2023春•北塔区期中)计算:"一5(废+1户时2)2+(优一1於一2)3(一户加+2)
9.(2023春•工业园区校级月考)若暧=/(。>0且awl,加、〃是正整数),则机=〃.利用上面的结论解
决下面的问题:
(1)如果2x4,,x&=22i,求x的值;
(2)如果/2.5"+2=153"-4,求a的值.
10.(2023春•高陵区月考)已知d《优y=/,求2、的值.
11.(2023春•涕阳市校级月考)若x=2"'+l,y=3+4m.
(1)请用含x的代数式表示y;
(2)如果x=4,求此时y的值.
四.多项式乘多项式(共3小题)
12.(2023春•市南区校级期中)小明有足够多的如图所示的正方形卡片A,3和长方形卡片C,如果他要
拼一个长为(a+26),宽为(a+加的大长方形,共需要C类卡片()
b
A.3张B.4张C.5张D.6张
13.(2023•冀州区校级模拟)如图,一块空地是由边长为(2a+36)米,(2〃-36)米的两个正方形组成,计划
在左侧留出一个长方形区域作水池,剩余阴影部分作花坛.
(1)根据图中的数据,用含有。、6的数据表示出花坛的总面积;(结果化为最简)
(2)若a=2,b=-,求出此时花坛的总面积.
14.(2023春•新城区校级月考)如图:某市有一块长为(3a+6)米,宽为(2a+6)米的长方形地块,规划部门
计划将部分进行绿化,中间将修建一座雕像.
(1)则绿化的面积是多少平方米?(用a,b的代数式表示).
(2)若a,人满足(x+l)(x+3)=炉+〃工+力时,求该绿化面积.
五.完全平方公式的几何背景(共5小题)
15.(2023春•清远期末)完全平方公式:(。土6)2=/±2必+〃经过适当的变形,可以解决很多数学问题,
例如:若a+O=3,ab=lj求。2+廿的值.
角军:,:a+b—3,ab=lf
.,.(〃+=9,2ab=2,
a?+Z?2+2ab=9,
.,.a2+b2=7.
根据上面的解题思路与方法,解决下列问题:
(1)①若x+y=8,x2+y2=34,贝1]孙=;
②若2々-/?=3,ab=2,则2Q+〃=.
(2)如图,。是线段AB上的一点,以AC,6C为边向两边作正方形,两个正方形的边长分别是阳和〃,
且AB=8,如果这两个正方形的面积和E+S2=20,求AAFC的面积.
E.---------------|D
FG
16.(2023春•扬山县校级期中)如图1,是一个长为2〃八宽为2〃的长方形,用剪刀沿图中的虚线剪开,把
它分成四个形状和大小都相同的小长方形,然后按图2那样拼成一个正方形(中间是空的).
图1图2
(1)观察图2,写出代数式(%+〃)2,(〃LW)2与之间的等量关系为
(2)根据(1)中的等量关系解决下面的问题:若x+y=5,x-y=4,求孙的值;
(3)如图3,S],邑分别表示边长为石,X2的正方形的面积,且A,B,C三点在同一条直线上.若H+$2=30,
AB=xl+x2=J,求图中阴影部分的面积.
17.(2023春•七星区校级期中)如图1是长为4a,宽为6的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长
方形,然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2).
图1图2图3
(1)观察图2,请你写出(a+b)2、(a-%)?、仍之间的等量关系:
(2)根据(1)中的结论,若x+y=5,xy=—,求(尤->)?的值;
4
(3)请求解下面实际问题:
如图3,已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是4)、DC上的点,且AE=1,CF=3,长方形EMED
的面积是48,分别以破、DF为边长作正方形加W和正方形GFDH,求阴影部分的面积.
18.(2023春•城阳区期末)阅读理解:
若x满足(60-x)(x-40)=20,求(60-x)2+(x-40)2的值.
解:设60—xx—40=6,
贝”。。=20,a+/?=60—x+x—40=20.
(60-X)2+(X-40)2
=a2+b2
=(a+—2ab
=202-2x20=360;
类比探究:
(1)若x满足(70-尤)(尤一20)=—30,求(70-x)2+(x-20)2的值.
(2)若无满足(3-4x)(2x-5)=。,求(3-44+4(2尤一5『的值.
友情提示(2)中的4(2尤-5)2可通过逆用积的乘方公式变成[2(2x-5)f.
(3)若无满足(2023-+(2020-x)2=2061,求(2023-x)(2020-x)的值.
解决问题:
(4)如图,正方形AEGO和长方形重叠,重叠部分是长方形3EFC其面积是300,分别延长FC、
交AO和OG于。、H两点,构成的四边形ABCD和CFGH都是正方形,四边形ODCH是长方形.设
CM=x,KC=3CM=3x,KB=54,根=20,延长AO至P,使OP=28,延长AE至A,使鹿=23£,
过点尺作”、4?垂线,两垂线交于点N,求正方形的面积.(结果是一个具体的数值)
D0P
KBCH
EFG
RN
LM
19.(2023春•槐荫区期中)在图1中,三种不同大小的正方形与长方形,拼成了一个如图2所示的正方形.
(1)根据图2中的阴影部分面积关系直接写出下列代数式(a+b)2,a2+b2,仍之间的数量关系:
(2)己知〃z+〃=-l,m2+n2=25,求mn和(7"-a)?的值;
(3)已知(无一98)2+(无一100)2=34,求(x-99f的值.
b
a
图1图2
六.完全平方式(共2小题)
20.(2022秋•路南区校级期末)已知多项式4=犬+2%+〃2,多项式3=2f+4x+3”?+3.
(1)若多项式x2+2x+/2是完全平方式,则〃=;
(2)有同学猜测3-2A的结果是定值,他的猜测是否正确,请说明理由;
(3)若多项式X。+2尤+〃2的值为-1,求x和〃的值.
21.(2023春•邦州区校级期中)数学活动课上,老师准备了若干个如图1的三种纸片,A种纸片是边长为
。的正方形,3种纸片是边长为6的正方形,C种纸片是长为a、宽为。的长方形,并用A种纸片一张,B
种纸片一张,C种纸片两张拼成如图2的大正方形.
(1)观察图2,请你写出下列三个代数式:(a+匕y,a2+b2,必之间的等量关系;
(2)若要拼出一个面积为(a+26)(a+»的矩形,则需要A号卡片1张,3号卡片2张,C号卡片一张.
(3)根据(1)题中的等量关系,解决如下问题:
①已知:a+b=5,a2+b2=11,求a力的值;
②已知(x-2019)2+(尤-202评=20,求x-2020的值.
七.平方差公式(共2小题)
22.(2023春•渭滨区期中)下列各式中,不能用平方差公式的是()
A.(3x—2y)(3x+2y)B.(a+b+c)(a—b+c)
C.(a—6)(—b—ct)D.(—x+y)(尤—y)
23.(2023春•长安区校级月考)对于任意整数,多项式(4"?-5)2-9都能被下列选项中的整式整除,则该
整式为()
A.8B.mC.m—1D.m+2
A.平方差公式的几何背景(共3小题)
24.(2023春•鄂邑区期末)如图1所示,边长为。的正方形中有一个边长为b的小正方形,如图2所示是由
图1中阴影部分拼成的一个长方形.
(1)设图1中阴影部分面积为图2中阴影部分面积为邑.请直接用含a,b的代数式表示Sl,S2;
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式;
(3)试利用这个公式计算:(2+0(22+1)(24+1)(28+1)+1.
a
图1图2
25.(2023春•杏花岭区校级月考)【探究】如图①,从边长为。的大正方形中剪掉一个边长为6的小正方形,
将阴影部分沿虚线剪开,拼成图②的长方形.
(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积.
(2)比较两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式:(用字母表示).
【应用】请应用这个公式完成下列各题
①已知《机?一/=12,2相+〃=4,贝!J2加一〃的值为.
②计算:(2a+b-c)(2〃-b+c)
【拓展】①(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)...(232+1)+1结果的个位数字为
②计算:1002-992+982-972+...+42-32+22-I2.
26.(2023春•沙坪坝区校级期中)如图1所示,边长为。的正方形中有一个边长为6的小正方形,如图2中
阴影部分剪裁后拼成的一个长方形.
(1)设如图1中阴影部分面积为航,如图2中阴影部分面积为邑,请直接用含。,。的代数式表示航,邑;
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式;
(3)试利用这个公式计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
九.整式的混合运算(共4小题)
27.(2023秋•凉州区期末)计算:
(1)(-2a2/).(_2T4a3:;(2)5x(7+2x+l)-⑵+3)(x-5).
28.(2023春•六盘水期中)计算:
22
(1)2023-2024x2022;(2)5*.(-一苏,)+(—ah只.
102
29.(2023春•陈仓区期中)计算:81?63c2+(2"c)2.gac).
30.(2023春•阿克苏市校级期末)计算:(3x+2y)(2x-3y)-(-x—2y)(-x+2y).
一十.整式的混合运算一化简求值(共7小题)
31.(2023秋•凉山州期末)先化简,再求值:
,a、
已矢口一7/根丁5与2工6y1一〃是同类项,3m2n—\2rnn1—2(mn——m2n)]+3mn2的值.
32.(2023春•威宁县期末)先化简,再求值:伍-3)2-(〃-1)(Q+1)+2(Q+3),其中Q=3.
33.(2023春•新城区校级期末)先化简,再求值:(2x+y)(2x-y)-(8x3y-2xy3-x2y2)^r2xy,其中%=-1,
y=2.
34.(2023春•六盘水期末)已知A=(。+6)2-3/,B=2(a+b)(a-b)-3ab,
(1)化简A—3;
(2)若(a-3)2+16-41=0,求A—3的值.
35.(2023秋•原阳县期末)先化简,再求值:2尤2y-3龙(2孙-9)+2(-盯2+3fy),其中x,y满足
2,
|X--|+(J+2)2=0.
36.(2023春•抚州期末)先化简,再求值:[(o-26)2+(a+2b)(a-2b)]+2a,其中a,6满足:|a-21+(b+3了=0.
37.(2023春•衢江区期末)张老师在黑板上布置了一道题:
已知y=-l,求代数式[(尤+2»+(x+y)(y-x)-5y2]+(2尤)的值,小白和小红展开了下面的讨论:
根据上述情景,你认为谁说得对?并将代数式化简求值.
一十一.负整数指数幕(共3小题)
38.(2023春•尉氏县期末)计算(―)7_(T)TX2+2023°.
39.(2023春•礼泉县期中)计算:(5-3.14)°+(K3+|-2|xl.
40.(2023春•梅州期末)计算:2><(-1严3_|_2|+(7-2+(万+1)°.
参考答案与试题解析
整式的乘除(易错专练)
科学记数法一表示较小的数(共2小题)
1.(2023春•蕉城区校级月考)一种花粉颗粒直径约为0.0000075米,将数据0.0000075用科学记数法表示
为()
A.7.5x10^B.0.75xlO-5C.7.5x10^D.75x107
【分析】科学记数法的表示形式为。X10"的形式,其中L,|4|<10,"为整数.确定〃的值时,要看把原数变
成。时,小数点移动了多少位,”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值..10时,〃是正数;当
原数的绝对值<1时,〃是负数.
【解答】解:0.0000075=7.5x10^,
故选:A.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。x10"的形式,其中L,|。|<10,w为
整数,表示时关键要正确确定。的值以及"的值.
2.(2023春•泰兴市期末)近来,中国芯片技术获得重大突破,力侬芯片已经量产,一举打破以美国为首的
西方世界的技术封锁,己知力"w=0.0000007cro,则0.0000007用科学记数法表示为_7xl(r7_.
【分析】科学记数法的表示形式为axlO”的形式,其中L,|a|<10,〃为整数.确定〃的值时,要看把原数变
成。时,小数点移动了多少位,〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值..10时,〃是正整数;
当原数的绝对值<1时,〃是负整数.
[解答1解:0.0000007=7x107.
故答案为:7x10-7.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式,其中L,|可<10,〃为
整数,表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.
二.同底数募的乘法(共2小题)
3.(2023•连平县校级开学)计算尤2-3的结果正确的是()
A.x5B.x6C.x8D.5
【分析】同底数募相乘,底数不变,指数相加,据此计算即可.
【解答】解:x2-x3=x2+3=x5.
故选:A.
【点评】本题主要考查了同底数幕的乘法,熟记幕的运算法则是解答本题的关键.
4.(2023春•皇姑区校级期中)已知他、〃是正整数,且。"'=3,d=2,则暧+"的值为()
2
A.5B.1C.6D.-
3
【分析】根据同底数嘉的乘法法则计算即可.
【解答】解:•.•/〃、"是正整数,且。'"=3,an=2,
am+n=am-an=3x2=6.
故选:C.
【点评】本题主要考查了同底数募的乘法,同底数幕相乘,底数不变,指数相加.
三.累的乘方与积的乘方(共7小题)
5.(2023春•永年区期中)计算(Tg)2°2i(|)2°23的结果等于()
94
A.1B.-1C.--D.--
49
【分析】利用幕的乘方与积的乘方法则,进行计算即可解答.
【解答】解:(-l1)202Ix(1)2023
=(-|)2021x(|)2021x(|)2
=[(-|)x(|)产专
=(-l)202,x(|)2
=-lxi
9
4
=—,
9
故选:D.
【点评】本题考查了幕的乘方与积的乘方,熟练掌握幕的乘方与积的乘方法则是解题的关键.
6.(2023春•鹿城区校级期中)已知加"=2,机'=5,则疗值为()
A.9B.20C.45D.m9
【分析】根据幕的乘方与积的乘方,同底数幕的乘法法则,进行计算即可解答.
【解答】解:•.•W=2,m>'=5,
:.r^x+y=m2x-my
=(mx)2-my
=22X5
=4x5
=20,
故选:B.
【点评】本题考查了幕的乘方与积的乘方,同底数幕的乘法,熟练掌握它们的运算法则是解题的关键.
7.(2023春•西安月考)已知d"=3,求(-2铲)3+4(炉产的值.
【分析】利用幕的乘方与积的乘方法则进行计算,即可解答.
【解答】解:""=3,
.•.(-2/另+4(/产
=-8x6n+4x6"
=-4x6"
=-4(/)2
=Tx3?
=Tx9
=-36,
(-2/)3+4(/)3,的值为_36
【点评】本题考查了事的乘方与积的乘方,熟练掌握幕的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键.
8.(2023春•北塔区期中)计算:a"-5(an+1b3m-2)2+(an-'bm-2)3(-b3m+2)
【分析】先利用积的乘方,去掉括号,再利用同底数幕的乘法计算,最后合并同类项即可.
【解答】解:原式=面."/4)+°3"-3*-6(一*+2),
L-4+产3(_万6…),
—c~i3〃-3br6/71—4—c3in—3rb6m—4,
=0.
【点评】本题考查了合并同类项,同底数幕的乘法,幕的乘方,积的乘方,理清指数的变化是解题的关键.
9.(2023春•工业园区校级月考)若a"'=a"(a>0且m、”是正整数),贝利用上面的结论解
决下面的问题:
(1)如果2x4,x8,=22i,求x的值;
(2)如果3"+2.5"+2=153一,求0的值.
【分析】(1)根据幕的乘方与积的乘方,同底数塞的乘法法则,进行计算即可解答;
(2)根据哥的乘方与积的乘方,同底数幕的乘法法则,进行计算即可解答.
【解答】解:(1)=221,
21
.•.2X(22)XX(23)%=2,
.•.2X22XX23X=221,
.21+2%+3X_221
.21+5X_2,21
1+5x=21,
解得:尤=4,
1的值为4;
(3x5)a+2=153i,
.,.15渥=1530-4,
Q+2=3Q—4,
解得:4=3,
:.a的值为3.
【点评】本题考查了幕的乘方与积的乘方,同底数幕的乘法,熟练掌握它们的运算法则是解题的关键.
10.(2023春•高陵区月考)已知片.(/)2=/,求2工的值.
【分析】根据幕的乘方与积的乘方,同底数幕的乘法法则,进行计算即可解答.
【解答】解:,.々.3)2=/,
(75•a~'=/,
.•.产=以
;.5+2x=9,
解得:x=2,
.2=2?=4,
2、的值为4.
【点评】本题考查了幕的乘方与积的乘方,同底数幕的乘法,熟练掌握它们的运算法则是解题的关键.
11.(2023春课阳市校级月考)若x=2"+1,y=3+4m.
(1)请用含x的代数式表示y;
(2)如果x=4,求此时y的值.
【分析】(1)将4"变形,转化为关于2*的形式,然后再代入整理即可;
(2)把x=4代入解得即可.
【解答】解:(1)■,-4m=22m=(2m)2,x=2m+l,
•.♦y=4"'+3,
:.y=(x-l)2+3,
即y=无?-2尤+4;
(2)把x=4代入y=f-2x+4=12.
【点评】本题考查幕的乘方的性质,解决本题的关键是利用幕的乘方的逆运算,把含机的项代换掉.
四.多项式乘多项式(共3小题)
12.(2023春•市南区校级期中)小明有足够多的如图所示的正方形卡片A,3和长方形卡片C,如果他要
拼一个长为(。+26),宽为(a+力的大长方形,共需要C类卡片()
10E
ba
I--a--1
A.3张B.4张C.5张D.6张
【分析】根据多项式乘多项式的法则得到(。+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2,得到需要一个边长为a的正方形,
2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab.
【解答】解:(a+2b)(a+b)=c^+3ab+2b2.
则需要C类卡片张数为3张,
故选:A.
【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算,熟练掌握运算法则并灵活运用,利用各个面积之和等于总的面
积是解题的关键.
13.(2023•冀州区校级模拟)如图,一块空地是由边长为(2a+36)米,(2。-3勿米的两个正方形组成,计划
在左侧留出一个长方形区域作水池,剩余阴影部分作花坛.
(1)根据图中的数据,用含有。的数据表示出花坛的总面积;(结果化为最简)
(2)若a=2,b-—,求出此时花坛的总面积.
3
【分析】(1)用总面积减去水池的面积即可.
(2)将字母的值代入计算.
【解答】解:(1)花坛的面积
22222
=(2a+34+(2。_36)2一+3b)(2a-36)=4a+I2ab+9b+4/-12ab+9b-4a+9b
=4/+27^.
(2)当a=2,6=g时,花坛面积为=4x2?+27x(gr=16+3=19.
【点评】本题考查列代数式解决实际问题,根据图形正确表示图形面积是求解本题的关键.
14.(2023春•新城区校级月考)如图:某市有一块长为(3a+3米,宽为(2。+6)米的长方形地块,规划部门
计划将部分进行绿化,中间将修建一座雕像.
(1)则绿化的面积是多少平方米?(用a,6的代数式表示).
(2)若a,6满足(x+l)(x+3)=f+依+6时,求该绿化面积.
【分析】(1)绿化的面积=大长方形面积-小长方形面积;
(2)根据(尤+1)(%+3)=彳2+ax+b求出a、。的值,代入(1)计算.
【解答】解:(1)绿化的面积是:(3a+6)(2。+6)-(。+6)(。+3
=6矿+5ab+b~—(a-+2ab+Z?-)
=6。2+5ab+—a~—2ab—b~
=5a2+3ab;
答:绿化的面积是(5/+3ab)平方米.
(2),,,(%+l)(x+3)=x2+ax+b,
/.x2+4x+3=x2+av+,
a=4,b=3,
5a2+3ab
=5x16+3x3x4
=80+36
=116.
答:该绿化面116平方米.
【点评】本题考查多项式与多项式相乘,掌握多项式与多项式相乘法则,理解题意列出算式是解题关键.
五.完全平方公式的几何背景(共5小题)
15.(2023春•清远期末)完全平方公式:(。±。)2=/±2"+〃经过适当的变形,可以解决很多数学问题,
例如:若a+〃=3,ab=\,求4+廿的值.
解:•/Q+/?=3,ab=lj
(a+b)2=9,2ab=2,
.a?+b?+2clb=9,
a2+b2=7.
根据上面的解题思路与方法,解决下列问题:
(1)①若%+y=8,x2+y2=34,则xy=15;
②若2a—Z?=3,ab=2,则2〃+Z?=.
(2)如图,。是线段AB上的一点,以AC,3C为边向两边作正方形,两个正方形的边长分别是阳和〃,
且AB=8,如果这两个正方形的面积和工+邑=20,求AAFC的面积.
【分析】(1)①根据完全平方公式得出(%+y)2-2孙二/+产,整体代入求值即可;
②将(2〃+力2利用完全平方公式转化为(2。_与2+8的,再整体代入求出(2Q+〃)2,最后求出2。十)的值;
(2)设AC=根,CF=n,可得根+〃=8,m2+n2=44,求出工相〃即可.
2
【解答】解:(1)①・.,(%+y)2-2孙=炉+,2,%+丁=8,x2+y2=34,
8?—2xy-34.
.\xy=15.
故答案为:15.
22
(2)(2a+Z?)=(2a-b)+Sab,2a—b=3fab=2.
.•.(24+0)2=32+8x2=25.
「.2a+b=±5.
故答案为:±5.
(2)设AC=根,CF=n,
・・・AB=8,
/.m+n=8.
又・.・E+S2=20,
根2+〃2=20.
由完全平方公式可得,(m+〃)2=m2+2mn+n2,
/.82=20+2mn.
/.mn=22.
Swc~加2-11,
答:AAFC的面积为11.
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景,掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的关键.
16.(2023春•扬山县校级期中)如图1,是一个长为2相、宽为2〃的长方形,用剪刀沿图中的虚线剪开,把
它分成四个形状和大小都相同的小长方形,然后按图2那样拼成一个正方形(中间是空的).
图1图2
21
(1)观察图2,写出代数式(加+〃)2,(机-"A与加几之间的等量关系为—(m+ri)=(m-ri)+4mn—;
(2)根据(1)中的等量关系解决下面的问题:若%+y=5,x-y=4,求孙的值;
(3)如图3,S1,S2分别表示边长为七,4的正方形的面积,且A,B,C三点在同一条直线上.若E+其=30,
AB=X1+X2=7,求图中阴影部分的面积.
【分析】(1)利用面积法进行计算,即可解答;
(2)利用(1)的结论可得:(x+y)2=(x-y)2+4xy,然后进行计算即可解答;
(3)根据已知可得:尤;+第=30,然后利用完全平方公式进行计算,即可解答.
【解答】解:(1)由题意得:
(m+ri)2=(m—n)2+4mn,
故答案为:(根+ri)2=(m—ri)2+4mn;
(2)由(1)可得:(x+y)2=(x-y)2+4xy,
,.•%+y=5,x-y=4,
/.25=16+4对,
9
..xy———,
4
Q
.•.孙的值为Z;
(3)・.・SI+S2=30,
x;+x;=30,
•/AB=石+9=7,
,图中阴影部分的面积=2xg.x「尤2
=万[(再+X2)2+芸)]
=1x(49-30)
19
=—,
2
,图中阴影部分的面积为电.
2
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景,熟练掌握面积法是解题的关键.
17.(2023春•七星区校级期中)如图1是长为4a,宽为6的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长
方形,然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2).
图3
(1)观察图2,请你写出(a+b)2、(a-b)\"之间的等量关系:_(。+6)2=3-6)2+44
(2)根据(1)中的结论,若x+y=5,孙=:,求(x-y)2的值;
(3)请求解下面实际问题:
如图3,已知正方形ABCD的边长为x,E,尸分别是AD、DC上的点,且AE=1,CF=3,长方形
的面积是48,分别以A/尸、DF为边长作正方形加W和正方形GFDH,求阴影部分的面积.
【分析】(1)利用面积法,进行计算即可解答;
(2)利用(1)的结论,进行计算即可解答;
(3)根据已知易得:FM=DE=x-L,DF^x-3,然后设FM=DE=x—1=%,DF=x—3=n,从而可
得m-〃=2,再根据已知长方形的面积是48,可得切〃=48,最后利用(1)的结论可得:m+77=14,
再根据阴影部分的面积=正方形MFRN的面积-正方形GFDH的面积,进行计算即可解答.
【解答】解:(1)由题意得:(。+6)2=(。—6)2+4ab,
故答案为:(4+6)2=("6)2+4介;
(2)由(1)得:(x+了?=(彳一y)2+4冲,
u9
x+y=5,xy=—,
o
/.52=(x-y)2+4x—,
(x-y)2=16;
(3)・・•正方形ABCD的边长为x,AE=1,CF=3,
,\FM=DE=AD-AE=x-l,DF=CD-CF=x-3,
设FM=DE=x—l=m,DF=x—3—n,
/.m—n=x—1—(x—3)=2,
・・・长方形EMFD的面积是48,
.-.DEDF=48,
/.mn=48,
由(1)得:(机+〃)2=(加一〃)2+4mn,
(m+n)2=22+4x48=196,
*/m+n>0,
.*.m+n=14,
.♦.阴影部分的面积=正方形MFRN的面积-正方形GFDH的面积
=FM2-DF2
=nr-n2
=(根+ri)(m-n)
=14x2
=28,
二.阴影部分的面积为28.
【点评】本题考查了完全平方公式几何背景,熟练掌握面积法是解题的关键.
18.(2023春•城阳区期末)阅读理解:
若x满足(60-x)(x-40)=20,求(60-x)2+(无一40)2的值.
解:设60-x=a,x-40=&,
贝“"=20,a+/?=60—x+x—40=20.
(60—无y+(x-40)2
=a2+b2
=(a+b)2—2ab
=202-2x20=360;
类比探究:
(1)若x满足(70-x)(x-20)=-30,求(70-幻2+(彳-20)2的值.
(2)若无满足(3-4x)(2x-5)=|,求(3-4"+4(2x-5)2的值.
友情提示(2)中的4(2x-5)2可通过逆用积的乘方公式变成[2(2x-5)/.
(3)若无满足(2023一%)2+(2020-x)2=2061,求(2023一尤)(2020-%)的值.
解决问题:
(4)如图,正方形AEGO和长方形重叠,重叠部分是长方形班FC其面积是300,分别延长FC、
3c交AO和OG于。、H两点,构成的四边形ABCD和CFG”都是正方形,四边形ODC”是长方形.设
CM=x,KC=3CM=3x,KB=54,RW=20,延长AO至P,使。尸=2">,延长AE至R,使鹿=2BE,
过点P、A作好、4?垂线,两垂线交于点N,求正方形的面积.(结果是一个具体的数值)
A.__^0__P
K----------------B-----------C---11rr
EFG
RN
LM
【分析】(1)根据例题的解题思路进行计算,即可解答;
Q
(2)将(3-4x)(2x-5)=:转化为(3—4x)[2(2尤一5)]=9,BP(3-4x)(4%-10)=9,再根据例题的解题思路进
行计算,即可解答;
(3)根据例题的解题思路进行计算,即可解答;
(4)根据已知可得3C=3x-54,CF=x-2Q,从而可得2CCF=(3x-54)(x-20)=300,再根据题意得:
AB=BC=3x—54,CF=BE=x—20,从而可得3R=33E=3(x-20),进而可得A7?=(3x-54)+(3x-60),
然后利用(3)的解题思路进行计算,即可解答.
【解答】解:(1)设70-x=a,x-20=b,
贝=—30,a+b—10—x+x—20—50,
.•.(70-尤)2+(%-20)2
-a2+b2
=(a+Z?)~—2ab
=502-2x(-30)
=2500+60
=2560,
.-.(70-尤了+(x-20)2的值为2560;
9
(2)v(3-4x)(2%-5)=-,
/.(3-4x)[2(2x-5)]=9,
/.(3-4x)(4%-10)=9,
设3—4%=相,4%一10=〃,
贝!J加+〃=3—4%+4x—10=—7,mn=9,
.•.(3-4x)2+4(2%-5)2
=(3-4X)2+[2(2X-5)]2
=(3-4X)2+(4X-10)2
=疗+》
=(m+n)2—2mn
=(-7)2-2x9
=49-18
=31>
二.(3-4x)2+4(2%-5)2的值为31;
(3)设2023-x=p,2020-x=q,
贝!!p-4=2023-x-(2020-x)=3,p2+^2=2061,
2Pq=p。-(p-q¥
=2061-32
=2061—9
=2052,
(2023-x)(2020-x)=pq=1026,
(2023-x)(2020一x)的值为1026;
(4)•.•CM=x,KC=3CM=3x,KB=54,FM=20,
BC=KC-KB=3x-54,CF=CM-FM=x-20,
长方形BEFC的面积是300,
:.BCCF=(3%-54)(%-20)=300,
由题意得:AB=BC=3x-54fCF=BE=x-2Q,
・.ER=2BE,
BR=3BE=3(x-20),
:.AR=AB-]-BR=(3x-54)+3(x-20)=(3x-54)+(3%-60),
・・・(3%—54)(x—20)=300,
.\(3x-54)[3(x-20)]=900,
.\(3x-54)(3x-60)=900,
设3光一54=i,3x—60=b,
贝!Ja-b=3九一54—(3%—60)=6,"=900,
正方形ARNP的面积=AR2
=[(3x-54)+(3x-60)]2
=(a+Z?)2
二(〃-by+4ab
=62+4x900
=36+3600
=3636,
正方形ARNP的面积为3636.
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景,理解例题的解题思路是解题的关键.
19.(2023春•槐荫区期中)在图1中,三种不同大小的正方形与长方形,拼成了一个如图2所示的正方形.
(1)根据图2中的阴影部分面积关系直接写出下列代数式(〃+与2,4+从,/之间的数量关系:
2
__Q2+Z?=(〃+b)2—2ab__;
(2)已知帆+〃=-1,m2+n2=25,求相〃和(加一疗的值;
(3)已知(%-98)2+(X—100)2=34,求(%-99)2的值.
【分析】(1)由图2中阴影部分的面积表示可得:/+尸=m+6)2一2";
(2)将已知条件代入(1)所得等式,即可求出答案;
(3)设a=x-98,/=x-100,可得(x-99)?=(审了,从而求得此题结果.
【解答】解:(1)阴影两部分求和为"+廿,用总面积减去空白部分面积为(4+»2-2",
根据阴影部分的面积相等得"+廿=(a+b)2-2ab,
222
故答案为:a+b=(a+b)-2ab;
(2)由(1)同理得:m2+n2=(m+n)2-2mn,
•.•根+〃=—1,m2+H2=25,
.'.25=1—2mn,
:.mn=—V2,
(m-n)2=m2+n2-2mn=25+24=49;
(3)设々=%—98,Z?=x—100,
可得〃+b=2(%—99),a—6二(1一98)—(无一100)=2,
・.・(〃-b¥=a2-lab+/,(九一98)2+(x-100)2=34,
lab=(/+/)_(〃_疗=(x-98)2+(x-100)2-[(x-98)-(x-100)]2=34-4=30,
(x-99)2=(*)2=42…=^±12=16.
244
【点评】本题主要考查了完全平方公式,掌握完全平方公式及变形,看懂和理解题图是解决本题的关键.
六.完全平方式(共2小题)
20.(2022秋•路南区校级期末)已知多项式A=/+2X+"2,多项式3=+4x+3/+3.
(1)若多项式f+2x+/是完全平方式,则力=±1;
(2)有同学猜测3-2A的结果是定值,他的猜测是否正确,请说明理由;
(3)若多项式/+2x+〃2的值为-1,求x和〃的值.
【分析】(1)根据完全平方式的定义计算即可;
(2)把A=Y+2X+〃2,2=2/+4.丫+3"+3代入3—2A计算即可;
(3)由题意可得r+Zx+*nT,整理后利用非负数的性质求解即可.
【解答】解:(1)•.•/+2》+*是一个完全平方式,
%2+2尤+〃~=(x+1)-»
/.“2=1,
Z2=+1.
故答案为:±1;
(2)猜测不正确,理由:
*.*A=x~+2x+n~,B=2x~+4x+3*+3,
:.B—2A=2x?+4x+3〃~+3—2(无?+2x+)=2尤?+4.x+3〃~+3—2龙?一4x—21T=n~+3,
•.•结果含字母”,
.•.3—2A的结果不是定值;
(3)由题意可得/+2尤+“2=-1,
JC+2x++1=0,
(JV+1)~+=0,
x+1=0,n=0>
x=一1•
【点评】本题考查了完全平方式以及整式的加减,记住完全平方式的特征是解题的关键,形如"±2"+"
这样的式子是完全平方式.
21.(2023春•邺州区校级期中)数学活动课上,老师准备了若干个如图1的三种纸片,A种纸片是边长为
。的正方形,3种纸片是边长为6的正方形,C种纸片是长为a、宽为6的长方形,并用A种纸片一张,B
种纸片一张,C种纸片两张拼成如图2的大正方形.
(1)观察图2,请你写出下列三个代数式:(。+匕y,a2+b2,m之间的等量关系;
(2)若要拼出一个面积为(a+2力(a+6)的矩形,则需要A号卡片1张,6号卡片2张,C号卡片3张.
(3)根据(1)题中的等量关系,解决如下问题:
①已知:Q+Z?=5,a2+b2=11,求的值;
②已知(石一2019)2+(x-2021)2=20,求%-2020的值.
【分析】(1)用两种方法表示拼成的大正方形的面积,即可得出(〃+。)2,4+/,必三者的关系;
(2)计算3+2勿(1+切的结果为片+3出7+2/,因此需要A号卡片1张,5号卡片2张,。号卡片3张;
(3)①根据题(1)公式计算即可;②令1=%—2020,从而得至!Ja+l=x—2019,a-l=x-2021,代入计
算即可.
【解答】解:(1)大正方形的面积可以表示为:(〃十份2,或表示为:4+从+2";
2
因止匕有(a+b)=/+/+2ab;
(2)(a+2b){a+b)=a2+3ab+2b2,
・•・需要A号卡片1张,5号卡片2张,。号卡片3张,
故答案为:3;
(3)(1)(«+Z?)2=a2+b2+2ab,a+b=5,a2+b2=1\,
25=ll+2a〃,
/.ab=l,
即必的值为7;
②令。=九一2020,
x—2019
=[%-(2020-1)]
=光—2020+1
=a+l,
x-2021
=—(2020+1)]
=%-2020-1
=a—1,
•••(x-2019)2+(无-2021)2=20,
.-.(a+l)2+(a-l)2=20,
解
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