新北师大版七年级数学下册易错专练：整式的乘除（含答案）

整式的乘除（易错专练）

一.科学记数法一表示较小的数（共2小题）

1.（2023春•蕉城区校级月考）一种花粉颗粒直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法表示

为（）

A.7.5x1。/B.0.75x10-5C.7.5xlO-5D.75xl0-7

2.（2023春•泰兴市期末）近来，中国芯片技术获得重大突破，7:西芯片已经量产，一举打破以美国为首的

西方世界的技术封锁，已知7加7?=0.0000007cm,则0.0000007用科学记数法表示为.

二.同底数暴的乘法（共2小题）

3.（2023•连平县校级开学）计算的结果正确的是（）

A.x5B.x6C.XsD.5

4.（2023春•皇姑区校级期中）已知〃是正整数，且""=3,a"=2,则■的值为（）

2

A.5B.1C.6D.-

3

三.塞的乘方与积的乘方（共7小题）

5.（2023春•永年区期中）计算（-1,21021X（.72023的结果等于（）

A.1B.-1c.--D.-i

49

6.（2023春•鹿城区校级期中）已知W=2,my=5,则m2工+＞值为（)

A.9B.20C.45D.m9

7.（2023春•西安月考）已知”=3,求（-2-）3+4（炉产的值.

8.（2023春•北塔区期中）计算："一5（废+1户时2）2+（优一1於一2）3（一户加+2）

9.（2023春•工业园区校级月考）若暧=/（。＞0且awl,加、〃是正整数），则机=〃.利用上面的结论解

决下面的问题：

（1）如果2x4，,x&=22i,求x的值；

（2）如果/2.5"+2=153"-4,求a的值.

10.（2023春•高陵区月考）已知d《优y=/,求2、的值.

11.（2023春•涕阳市校级月考）若x=2"'+l,y=3+4m.

（1）请用含x的代数式表示y；

（2）如果x=4,求此时y的值.

四.多项式乘多项式（共3小题）

12.（2023春•市南区校级期中）小明有足够多的如图所示的正方形卡片A,3和长方形卡片C,如果他要

拼一个长为（a+26）,宽为（a+加的大长方形，共需要C类卡片（)

b

A.3张B.4张C.5张D.6张

13.(2023•冀州区校级模拟)如图，一块空地是由边长为(2a+36)米，(2〃-36)米的两个正方形组成，计划

在左侧留出一个长方形区域作水池，剩余阴影部分作花坛.

(1)根据图中的数据，用含有。、6的数据表示出花坛的总面积；(结果化为最简)

(2)若a=2,b=-,求出此时花坛的总面积.

14.(2023春•新城区校级月考)如图：某市有一块长为(3a+6)米，宽为(2a+6)米的长方形地块，规划部门

计划将部分进行绿化，中间将修建一座雕像.

(1)则绿化的面积是多少平方米？(用a,b的代数式表示).

(2)若a,人满足(x+l)(x+3)=炉+〃工+力时，求该绿化面积.

五.完全平方公式的几何背景（共5小题）

15.（2023春•清远期末）完全平方公式：（。土6）2=/±2必+〃经过适当的变形，可以解决很多数学问题，

例如：若a+O=3,ab=lj求。2+廿的值.

角军：,：a+b—3,ab=lf

.,.（〃+=9,2ab=2,

a?+Z?2+2ab=9,

.,.a2+b2=7.

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

（1）①若x+y=8,x2+y2=34,贝1］孙=；

②若2々-/?=3,ab=2,则2Q+〃=.

（2）如图，。是线段AB上的一点，以AC,6C为边向两边作正方形，两个正方形的边长分别是阳和〃,

且AB=8,如果这两个正方形的面积和E+S2=20,求AAFC的面积.

E.---------------|D

FG

16.（2023春•扬山县校级期中）如图1,是一个长为2〃八宽为2〃的长方形，用剪刀沿图中的虚线剪开，把

它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形（中间是空的）.

图1图2

（1）观察图2,写出代数式（%+〃）2,（〃LW）2与之间的等量关系为

（2）根据（1）中的等量关系解决下面的问题：若x+y=5,x-y=4,求孙的值；

（3）如图3,S],邑分别表示边长为石，X2的正方形的面积，且A,B,C三点在同一条直线上.若H+$2=30,

AB=xl+x2=J,求图中阴影部分的面积.

17.（2023春•七星区校级期中）如图1是长为4a,宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长

方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）.

图1图2图3

（1）观察图2,请你写出（a+b）2、（a-%）?、仍之间的等量关系:

（2）根据（1）中的结论，若x+y=5,xy=—,求（尤-＞）?的值;

4

（3）请求解下面实际问题：

如图3,已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是4）、DC上的点，且AE=1,CF=3,长方形EMED

的面积是48,分别以破、DF为边长作正方形加W和正方形GFDH,求阴影部分的面积.

18.(2023春•城阳区期末)阅读理解:

若x满足(60-x)(x-40)=20,求(60-x)2+(x-40)2的值.

解：设60—xx—40=6,

贝”。。=20,a+/?=60—x+x—40=20.

(60-X)2+(X-40)2

=a2+b2

=(a+—2ab

=202-2x20=360；

类比探究：

(1)若x满足(70-尤)(尤一20)=—30,求(70-x)2+(x-20)2的值.

(2)若无满足(3-4x)(2x-5)=。，求(3-44+4(2尤一5『的值.

友情提示(2)中的4(2尤-5)2可通过逆用积的乘方公式变成［2(2x-5)f.

(3)若无满足(2023-+(2020-x)2=2061,求(2023-x)(2020-x)的值.

解决问题：

(4)如图，正方形AEGO和长方形重叠，重叠部分是长方形3EFC其面积是300,分别延长FC、

交AO和OG于。、H两点，构成的四边形ABCD和CFGH都是正方形，四边形ODCH是长方形.设

CM=x,KC=3CM=3x,KB=54,根=20,延长AO至P,使OP=28,延长AE至A,使鹿=23£,

过点尺作”、4?垂线，两垂线交于点N,求正方形的面积.(结果是一个具体的数值)

D0P

KBCH

EFG

RN

LM

19.（2023春•槐荫区期中）在图1中，三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形.

（1）根据图2中的阴影部分面积关系直接写出下列代数式（a+b）2,a2+b2,仍之间的数量关系：

(2)己知〃z+〃=-l,m2+n2=25,求mn和（7"-a）?的值;

(3)已知(无一98)2+(无一100)2=34,求（x-99f的值.

b

a

图1图2

六.完全平方式（共2小题）

20.（2022秋•路南区校级期末）已知多项式4=犬+2%+〃2,多项式3=2f+4x+3”?+3.

（1）若多项式x2+2x+/2是完全平方式，则〃=；

（2）有同学猜测3-2A的结果是定值，他的猜测是否正确，请说明理由；

（3）若多项式X。+2尤+〃2的值为-1,求x和〃的值.

21.(2023春•邦州区校级期中)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为

。的正方形，3种纸片是边长为6的正方形，C种纸片是长为a、宽为。的长方形，并用A种纸片一张，B

种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

(1)观察图2,请你写出下列三个代数式：(a+匕y，a2+b2,必之间的等量关系；

(2)若要拼出一个面积为(a+26)(a+»的矩形，则需要A号卡片1张，3号卡片2张，C号卡片一张.

(3)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b=5,a2+b2=11,求a力的值；

②已知(x-2019)2+(尤-202评=20,求x-2020的值.

七.平方差公式(共2小题)

22.(2023春•渭滨区期中)下列各式中，不能用平方差公式的是()

A.(3x—2y)(3x+2y)B.(a+b+c)(a—b+c)

C.(a—6)(—b—ct)D.(—x+y)(尤—y)

23.(2023春•长安区校级月考)对于任意整数,多项式(4"?-5)2-9都能被下列选项中的整式整除，则该

整式为()

A.8B.mC.m—1D.m+2

A.平方差公式的几何背景(共3小题)

24.(2023春•鄂邑区期末)如图1所示，边长为。的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由

图1中阴影部分拼成的一个长方形.

(1)设图1中阴影部分面积为图2中阴影部分面积为邑.请直接用含a，b的代数式表示Sl,S2；

(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；

(3)试利用这个公式计算：(2+0(22+1)(24+1)(28+1)+1.

a

图1图2

25.（2023春•杏花岭区校级月考）【探究】如图①，从边长为。的大正方形中剪掉一个边长为6的小正方形,

将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形.

（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积.

（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母表示）.

【应用】请应用这个公式完成下列各题

①已知《机？一/=12,2相+〃=4,贝！J2加一〃的值为.

②计算：（2a+b-c）（2〃-b+c）

【拓展】①(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)...(232+1)+1结果的个位数字为

②计算：1002-992+982-972+...+42-32+22-I2.

26.(2023春•沙坪坝区校级期中)如图1所示，边长为。的正方形中有一个边长为6的小正方形，如图2中

阴影部分剪裁后拼成的一个长方形.

(1)设如图1中阴影部分面积为航，如图2中阴影部分面积为邑，请直接用含。，。的代数式表示航，邑；

(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；

(3)试利用这个公式计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

九.整式的混合运算(共4小题)

27.(2023秋•凉州区期末)计算:

(1)(-2a2/).(_2T4a3：；(2)5x(7+2x+l)-⑵+3)(x-5).

28.(2023春•六盘水期中)计算:

22

(1)2023-2024x2022；(2)5*.(-一苏,)+(—ah只.

102

29.(2023春•陈仓区期中)计算：81?63c2+(2"c)2.gac).

30.(2023春•阿克苏市校级期末)计算：(3x+2y)(2x-3y)-(-x—2y)(-x+2y).

一十.整式的混合运算一化简求值(共7小题)

31.(2023秋•凉山州期末)先化简，再求值：

,a、

已矢口一7/根丁5与2工6y1一〃是同类项，3m2n—\2rnn1—2(mn——m2n)]+3mn2的值.

32.(2023春•威宁县期末)先化简，再求值：伍-3)2-(〃-1)(Q+1)+2(Q+3),其中Q=3.

33.(2023春•新城区校级期末)先化简，再求值：(2x+y)(2x-y)-(8x3y-2xy3-x2y2)^r2xy,其中％=-1,

y=2.

34.(2023春•六盘水期末)已知A=(。+6)2-3/,B=2(a+b)(a-b)-3ab,

(1)化简A—3；

(2)若(a-3)2+16-41=0,求A—3的值.

35.（2023秋•原阳县期末）先化简，再求值：2尤2y-3龙（2孙-9）+2（-盯2+3fy）,其中x,y满足

2,

|X--|+(J+2)2=0.

36.(2023春•抚州期末)先化简，再求值：[(o-26)2+(a+2b)(a-2b)]+2a,其中a,6满足：|a-21+(b+3了=0.

37.（2023春•衢江区期末）张老师在黑板上布置了一道题:

已知y=-l,求代数式[（尤+2»+（x+y）（y-x）-5y2]+（2尤）的值，小白和小红展开了下面的讨论:

根据上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值.

一十一.负整数指数幕（共3小题）

38.(2023春•尉氏县期末)计算(―)7_(T)TX2+2023°.

39.(2023春•礼泉县期中)计算：(5-3.14)°+(K3+|-2|xl.

40.（2023春•梅州期末）计算：2><（-1严3_|_2|+（7-2+（万+1）°.

参考答案与试题解析

整式的乘除（易错专练）

科学记数法一表示较小的数（共2小题）

1.（2023春•蕉城区校级月考）一种花粉颗粒直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法表示

为（）

A.7.5x10^B.0.75xlO-5C.7.5x10^D.75x107

【分析】科学记数法的表示形式为。X10"的形式，其中L,|4|<10,"为整数.确定〃的值时，要看把原数变

成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值..10时，〃是正数；当

原数的绝对值<1时，〃是负数.

【解答】解：0.0000075=7.5x10^,

故选：A.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。x10"的形式，其中L,|。|<10，w为

整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

2.（2023春•泰兴市期末）近来，中国芯片技术获得重大突破，力侬芯片已经量产，一举打破以美国为首的

西方世界的技术封锁，己知力"w=0.0000007cro,则0.0000007用科学记数法表示为_7xl（r7_.

【分析】科学记数法的表示形式为axlO”的形式，其中L,|a|＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变

成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值..10时，〃是正整数;

当原数的绝对值＜1时，〃是负整数.

［解答1解：0.0000007=7x107.

故答案为：7x10-7.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中L,|可＜10,〃为

整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

二.同底数募的乘法（共2小题）

3.（2023•连平县校级开学）计算尤2-3的结果正确的是（）

A.x5B.x6C.x8D.5

【分析】同底数募相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可.

【解答】解：x2-x3=x2+3=x5.

故选：A.

【点评】本题主要考查了同底数幕的乘法，熟记幕的运算法则是解答本题的关键.

4.（2023春•皇姑区校级期中）已知他、〃是正整数，且。"'=3,d=2,则暧+"的值为（）

2

A.5B.1C.6D.-

3

【分析】根据同底数嘉的乘法法则计算即可.

【解答】解：•.•/〃、"是正整数,且。'"=3,an=2,

am+n=am-an=3x2=6.

故选：C.

【点评】本题主要考查了同底数募的乘法，同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

三.累的乘方与积的乘方（共7小题）

5.（2023春•永年区期中）计算（Tg）2°2i（|）2°23的结果等于（）

94

A.1B.-1C.--D.--

49

【分析】利用幕的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答.

【解答】解：(-l1)202Ix(1)2023

=(-|)2021x(|)2021x(|)2

=[(-|)x(|)产专

=(-l)202，x(|)2

=-lxi

9

4

=—，

9

故选：D.

【点评】本题考查了幕的乘方与积的乘方，熟练掌握幕的乘方与积的乘方法则是解题的关键.

6.(2023春•鹿城区校级期中)已知加"=2,机'=5,则疗值为()

A.9B.20C.45D.m9

【分析】根据幕的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法法则，进行计算即可解答.

【解答】解：•.•W=2,m>'=5,

：.r^x+y=m2x-my

=(mx)2-my

=22X5

=4x5

=20,

故选：B.

【点评】本题考查了幕的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键.

7.(2023春•西安月考)已知d"=3,求(-2铲)3+4(炉产的值.

【分析】利用幕的乘方与积的乘方法则进行计算，即可解答.

【解答】解：""=3,

.•.(-2/另+4(/产

=-8x6n+4x6"

=-4x6"

=-4(/)2

=Tx3?

=Tx9

=-36,

(-2/)3+4(/)3,的值为_36

【点评】本题考查了事的乘方与积的乘方，熟练掌握幕的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键.

8.(2023春•北塔区期中)计算：a"-5(an+1b3m-2)2+(an-'bm-2)3(-b3m+2)

【分析】先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幕的乘法计算，最后合并同类项即可.

【解答】解：原式=面."/4)+°3"-3*-6(一*+2),

L-4+产3(_万6…)，

—c~i3〃-3br6/71—4—c3in—3rb6m—4,

=0.

【点评】本题考查了合并同类项，同底数幕的乘法，幕的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键.

9.(2023春•工业园区校级月考)若a"'=a"(a>0且m、”是正整数)，贝利用上面的结论解

决下面的问题：

(1)如果2x4，x8，=22i,求x的值；

(2)如果3"+2.5"+2=153一，求0的值.

【分析】(1)根据幕的乘方与积的乘方，同底数塞的乘法法则，进行计算即可解答；

(2)根据哥的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法法则，进行计算即可解答.

【解答】解：(1)=221,

21

.•.2X(22)XX(23)%=2,

.•.2X22XX23X=221,

.21+2%+3X_221

.21+5X_2,21

1+5x=21,

解得：尤=4,

1的值为4；

(3x5)a+2=153i,

.,.15渥=1530-4,

Q+2=3Q—4,

解得：4=3,

：.a的值为3.

【点评】本题考查了幕的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键.

10.(2023春•高陵区月考)已知片.(/)2=/,求2工的值.

【分析】根据幕的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法法则，进行计算即可解答.

【解答】解：,.々.3)2=/,

(75•a~'=/，

.•.产=以

;.5+2x=9,

解得：x=2,

.2=2?=4,

2、的值为4.

【点评】本题考查了幕的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键.

11.(2023春课阳市校级月考)若x=2"+1,y=3+4m.

(1)请用含x的代数式表示y；

(2)如果x=4,求此时y的值.

【分析】(1)将4"变形，转化为关于2*的形式，然后再代入整理即可；

(2)把x=4代入解得即可.

【解答】解：(1)■,-4m=22m=(2m)2,x=2m+l,

•.♦y=4"'+3,

:.y=(x-l)2+3,

即y=无？-2尤+4；

（2）把x=4代入y=f-2x+4=12.

【点评】本题考查幕的乘方的性质，解决本题的关键是利用幕的乘方的逆运算，把含机的项代换掉.

四.多项式乘多项式（共3小题）

12.（2023春•市南区校级期中）小明有足够多的如图所示的正方形卡片A,3和长方形卡片C,如果他要

拼一个长为（。+26）,宽为（a+力的大长方形，共需要C类卡片（）

10E

ba

I--a--1

A.3张B.4张C.5张D.6张

【分析】根据多项式乘多项式的法则得到（。+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2,得到需要一个边长为a的正方形,

2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab.

【解答】解:（a+2b）（a+b）=c^+3ab+2b2.

则需要C类卡片张数为3张，

故选：A.

【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面

积是解题的关键.

13.（2023•冀州区校级模拟）如图，一块空地是由边长为（2a+36）米，（2。-3勿米的两个正方形组成，计划

在左侧留出一个长方形区域作水池，剩余阴影部分作花坛.

（1）根据图中的数据，用含有。的数据表示出花坛的总面积；（结果化为最简）

（2）若a=2,b-—,求出此时花坛的总面积.

3

【分析】（1）用总面积减去水池的面积即可.

（2）将字母的值代入计算.

【解答】解：(1)花坛的面积

22222

=(2a+34+(2。_36)2一+3b)(2a-36)=4a+I2ab+9b+4/-12ab+9b-4a+9b

=4/+27^.

(2)当a=2,6=g时，花坛面积为=4x2?+27x(gr=16+3=19.

【点评】本题考查列代数式解决实际问题，根据图形正确表示图形面积是求解本题的关键.

14.(2023春•新城区校级月考)如图：某市有一块长为(3a+3米，宽为(2。+6)米的长方形地块，规划部门

计划将部分进行绿化，中间将修建一座雕像.

(1)则绿化的面积是多少平方米？(用a,6的代数式表示).

(2)若a,6满足(x+l)(x+3)=f+依+6时，求该绿化面积.

【分析】（1）绿化的面积=大长方形面积-小长方形面积；

（2）根据（尤+1）（%+3）=彳2+ax+b求出a、。的值，代入（1）计算.

【解答】解：（1）绿化的面积是：（3a+6）（2。+6）-（。+6）（。+3

=6矿+5ab+b~—（a-+2ab+Z?-）

=6。2+5ab+—a~—2ab—b~

=5a2+3ab；

答：绿化的面积是（5/+3ab）平方米.

（2）,,,（%+l）（x+3）=x2+ax+b,

/.x2+4x+3=x2+av+,

a=4,b=3,

5a2+3ab

=5x16+3x3x4

=80+36

=116.

答：该绿化面116平方米.

【点评】本题考查多项式与多项式相乘，掌握多项式与多项式相乘法则，理解题意列出算式是解题关键.

五.完全平方公式的几何背景（共5小题）

15.（2023春•清远期末）完全平方公式：（。±。）2=/±2"+〃经过适当的变形，可以解决很多数学问题,

例如：若a+〃=3,ab=\,求4+廿的值.

解：•/Q+/?=3,ab=lj

（a+b）2=9,2ab=2,

.a?+b?+2clb=9,

a2+b2=7.

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

（1）①若%+y=8,x2+y2=34,则xy=15；

②若2a—Z?=3,ab=2,则2〃+Z?=.

（2）如图，。是线段AB上的一点，以AC,3C为边向两边作正方形，两个正方形的边长分别是阳和〃,

且AB=8,如果这两个正方形的面积和工+邑=20,求AAFC的面积.

【分析】（1）①根据完全平方公式得出（％+y）2-2孙二/+产，整体代入求值即可；

②将（2〃+力2利用完全平方公式转化为（2。_与2+8的，再整体代入求出（2Q+〃）2,最后求出2。十）的值;

（2）设AC=根，CF=n,可得根+〃=8,m2+n2=44,求出工相〃即可.

2

【解答】解：（1）①・.,（％+y）2-2孙=炉+,2,%+丁=8,x2+y2=34,

8?—2xy-34.

.\xy=15.

故答案为：15.

22

(2)(2a+Z?)=(2a-b)+Sab,2a—b=3fab=2.

.•.(24+0)2=32+8x2=25.

「.2a+b=±5.

故答案为：±5.

(2)设AC=根，CF=n,

・・・AB=8,

/.m+n=8.

又・.・E+S2=20,

根2+〃2=20.

由完全平方公式可得，(m+〃)2=m2+2mn+n2,

/.82=20+2mn.

/.mn=22.

Swc~加2-11，

答：AAFC的面积为11.

【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的关键.

16.(2023春•扬山县校级期中)如图1,是一个长为2相、宽为2〃的长方形，用剪刀沿图中的虚线剪开，把

它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形(中间是空的).

图1图2

21

(1)观察图2,写出代数式(加+〃)2,(机-"A与加几之间的等量关系为—(m+ri)=(m-ri)+4mn—；

(2)根据(1)中的等量关系解决下面的问题：若％+y=5,x-y=4,求孙的值;

(3)如图3,S1，S2分别表示边长为七，4的正方形的面积，且A，B,C三点在同一条直线上.若E+其=30,

AB=X1+X2=7,求图中阴影部分的面积.

【分析】(1)利用面积法进行计算，即可解答；

(2)利用(1)的结论可得：(x+y)2=(x-y)2+4xy,然后进行计算即可解答；

(3)根据已知可得：尤;+第=30,然后利用完全平方公式进行计算，即可解答.

【解答】解：(1)由题意得：

(m+ri)2=(m—n)2+4mn,

故答案为：(根+ri)2=(m—ri)2+4mn；

(2)由(1)可得：(x+y)2=(x-y)2+4xy,

,.•%+y=5,x-y=4,

/.25=16+4对，

9

..xy———，

4

Q

.•.孙的值为Z；

(3)・.・SI+S2=30,

x；+x；=30,

•/AB=石+9=7,

，图中阴影部分的面积=2xg.x「尤2

=万[(再+X2)2+芸)]

=1x(49-30)

19

=—,

2

,图中阴影部分的面积为电.

2

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握面积法是解题的关键.

17.(2023春•七星区校级期中)如图1是长为4a,宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长

方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2).

图3

（1）观察图2,请你写出（a+b）2、（a-b）\"之间的等量关系：_（。+6）2=3-6）2+44

（2）根据（1）中的结论，若x+y=5,孙=：，求（x-y）2的值；

（3）请求解下面实际问题：

如图3,已知正方形ABCD的边长为x,E,尸分别是AD、DC上的点，且AE=1,CF=3,长方形

的面积是48,分别以A/尸、DF为边长作正方形加W和正方形GFDH,求阴影部分的面积.

【分析】（1）利用面积法，进行计算即可解答；

（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答；

（3）根据已知易得：FM=DE=x-L,DF^x-3,然后设FM=DE=x—1=%，DF=x—3=n,从而可

得m-〃=2,再根据已知长方形的面积是48,可得切〃=48,最后利用（1）的结论可得：m+77=14,

再根据阴影部分的面积=正方形MFRN的面积-正方形GFDH的面积，进行计算即可解答.

【解答】解：（1）由题意得：（。+6）2=（。—6）2+4ab,

故答案为：(4+6)2=("6)2+4介；

(2)由(1)得：(x+了?=(彳一y)2+4冲，

u9

x+y=5,xy=—,

o

/.52=(x-y)2+4x—,

(x-y)2=16；

(3)・・•正方形ABCD的边长为x,AE=1,CF=3,

,\FM=DE=AD-AE=x-l,DF=CD-CF=x-3,

设FM=DE=x—l=m,DF=x—3—n,

/.m—n=x—1—(x—3)=2,

・・・长方形EMFD的面积是48,

.-.DEDF=48,

/.mn=48，

由(1)得：(机+〃)2=(加一〃)2+4mn,

(m+n)2=22+4x48=196,

*/m+n>0,

.*.m+n=14,

.♦.阴影部分的面积=正方形MFRN的面积-正方形GFDH的面积

=FM2-DF2

=nr-n2

=(根+ri)(m-n)

=14x2

=28,

二.阴影部分的面积为28.

【点评】本题考查了完全平方公式几何背景，熟练掌握面积法是解题的关键.

18.(2023春•城阳区期末)阅读理解：

若x满足(60-x)(x-40)=20,求(60-x)2+(无一40)2的值.

解：设60-x=a,x-40=&,

贝“"=20,a+/?=60—x+x—40=20.

(60—无y+(x-40)2

=a2+b2

=(a+b)2—2ab

=202-2x20=360；

类比探究：

(1)若x满足(70-x)(x-20)=-30,求(70-幻2+(彳-20)2的值.

(2)若无满足(3-4x)(2x-5)=|,求(3-4"+4(2x-5)2的值.

友情提示(2)中的4(2x-5)2可通过逆用积的乘方公式变成[2(2x-5)/.

(3)若无满足(2023一%)2+(2020-x)2=2061,求(2023一尤)(2020-%)的值.

解决问题：

(4)如图，正方形AEGO和长方形重叠，重叠部分是长方形班FC其面积是300,分别延长FC、

3c交AO和OG于。、H两点,构成的四边形ABCD和CFG”都是正方形，四边形ODC”是长方形.设

CM=x,KC=3CM=3x,KB=54,RW=20,延长AO至P,使。尸=2">,延长AE至R,使鹿=2BE,

过点P、A作好、4?垂线，两垂线交于点N,求正方形的面积.(结果是一个具体的数值)

A.__^0__P

K----------------B-----------C---11rr

EFG

RN

LM

【分析】(1)根据例题的解题思路进行计算，即可解答；

Q

(2)将(3-4x)(2x-5)=：转化为(3—4x)[2(2尤一5)]=9,BP(3-4x)(4%-10)=9,再根据例题的解题思路进

行计算，即可解答；

(3)根据例题的解题思路进行计算，即可解答；

(4)根据已知可得3C=3x-54,CF=x-2Q,从而可得2CCF=(3x-54)(x-20)=300,再根据题意得：

AB=BC=3x—54,CF=BE=x—20,从而可得3R=33E=3(x-20),进而可得A7?=(3x-54)+(3x-60),

然后利用(3)的解题思路进行计算，即可解答.

【解答】解：(1)设70-x=a,x-20=b,

贝=—30,a+b—10—x+x—20—50,

.•.(70-尤)2+(%-20)2

-a2+b2

=(a+Z?)~—2ab

=502-2x(-30)

=2500+60

=2560,

.-.(70-尤了+(x-20)2的值为2560；

9

(2)v(3-4x)(2%-5)=-,

/.(3-4x)[2(2x-5)]=9,

/.(3-4x)(4%-10)=9,

设3—4%=相,4%一10=〃,

贝！J加+〃=3—4%+4x—10=—7,mn=9,

.•.(3-4x)2+4(2%-5)2

=(3-4X)2+[2(2X-5)]2

=(3-4X)2+(4X-10)2

=疗+》

=(m+n)2—2mn

=(-7)2-2x9

=49-18

=31>

二.(3-4x)2+4(2%-5)2的值为31；

(3)设2023-x=p,2020-x=q,

贝!!p-4=2023-x-(2020-x)=3,p2+^2=2061,

2Pq=p。-(p-q¥

=2061-32

=2061—9

=2052,

(2023-x)(2020-x)=pq=1026,

(2023-x)(2020一x)的值为1026；

(4)•.•CM=x,KC=3CM=3x,KB=54,FM=20,

BC=KC-KB=3x-54,CF=CM-FM=x-20,

长方形BEFC的面积是300,

:.BCCF=(3%-54)(%-20)=300,

由题意得：AB=BC=3x-54fCF=BE=x-2Q,

・.ER=2BE,

BR=3BE=3(x-20),

:.AR=AB-]-BR=(3x-54)+3(x-20)=(3x-54)+(3%-60),

・・・(3%—54)(x—20)=300,

.\(3x-54)[3(x-20)]=900,

.\(3x-54)(3x-60)=900,

设3光一54=i,3x—60=b,

贝!Ja-b=3九一54—(3%—60)=6,"=900,

正方形ARNP的面积=AR2

=[(3x-54)+(3x-60)]2

=(a+Z?)2

二(〃-by+4ab

=62+4x900

=36+3600

=3636,

正方形ARNP的面积为3636.

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键.

19.(2023春•槐荫区期中)在图1中，三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形.

(1)根据图2中的阴影部分面积关系直接写出下列代数式(〃+与2,4+从，/之间的数量关系：

2

__Q2+Z?=(〃+b)2—2ab__；

(2)已知帆+〃=-1,m2+n2=25,求相〃和(加一疗的值;

(3)已知(％-98)2+(X—100)2=34,求(％-99)2的值.

【分析】(1)由图2中阴影部分的面积表示可得：/+尸=m+6)2一2"；

(2)将已知条件代入(1)所得等式，即可求出答案；

(3)设a=x-98,/=x-100,可得(x-99)?=(审了，从而求得此题结果.

【解答】解：(1)阴影两部分求和为"+廿，用总面积减去空白部分面积为(4+»2-2",

根据阴影部分的面积相等得"+廿=(a+b)2-2ab,

222

故答案为：a+b=(a+b)-2ab；

(2)由(1)同理得：m2+n2=(m+n)2-2mn,

•.•根+〃=—1,m2+H2=25,

.'.25=1—2mn,

:.mn=—V2,

(m-n)2=m2+n2-2mn=25+24=49；

(3)设々=%—98,Z?=x—100,

可得〃+b=2(%—99),a—6二(1一98)—(无一100)=2,

・.・(〃-b¥=a2-lab+/，(九一98)2+(x-100)2=34,

lab=(/+/)_(〃_疗=(x-98)2+(x-100)2-[(x-98)-(x-100)]2=34-4=30,

(x-99)2=(*)2=42…=^±12=16.

244

【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式及变形，看懂和理解题图是解决本题的关键.

六.完全平方式(共2小题)

20.(2022秋•路南区校级期末)已知多项式A=/+2X+"2,多项式3=+4x+3/+3.

(1)若多项式f+2x+/是完全平方式，则力=±1；

(2)有同学猜测3-2A的结果是定值，他的猜测是否正确，请说明理由；

(3)若多项式/+2x+〃2的值为-1,求x和〃的值.

【分析】(1)根据完全平方式的定义计算即可；

(2)把A=Y+2X+〃2,2=2/+4.丫+3"+3代入3—2A计算即可；

(3)由题意可得r+Zx+*nT,整理后利用非负数的性质求解即可.

【解答】解：(1)•.•/+2》+*是一个完全平方式，

%2+2尤+〃~=(x+1)-»

/.“2=1,

Z2=+1.

故答案为：±1；

(2)猜测不正确，理由：

*.*A=x~+2x+n~,B=2x~+4x+3*+3,

:.B—2A=2x?+4x+3〃~+3—2(无？+2x+)=2尤？+4.x+3〃~+3—2龙？一4x—21T=n~+3,

•.•结果含字母”，

.•.3—2A的结果不是定值；

(3)由题意可得/+2尤+“2=-1,

JC+2x++1=0,

(JV+1)~+=0,

x+1=0,n=0>

x=一1•

【点评】本题考查了完全平方式以及整式的加减，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如"±2"+"

这样的式子是完全平方式.

21.(2023春•邺州区校级期中)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为

。的正方形，3种纸片是边长为6的正方形，C种纸片是长为a、宽为6的长方形，并用A种纸片一张，B

种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

(1)观察图2,请你写出下列三个代数式：(。+匕y，a2+b2,m之间的等量关系；

(2)若要拼出一个面积为(a+2力(a+6)的矩形，则需要A号卡片1张，6号卡片2张，C号卡片3张.

(3)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题:

①已知：Q+Z?=5,a2+b2=11,求的值;

②已知(石一2019)2+(x-2021)2=20,求％-2020的值.

【分析】(1)用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出(〃+。)2,4+/，必三者的关系;

(2)计算3+2勿(1+切的结果为片+3出7+2/，因此需要A号卡片1张，5号卡片2张，。号卡片3张;

(3)①根据题(1)公式计算即可；②令1=%—2020,从而得至！Ja+l=x—2019,a-l=x-2021,代入计

算即可.

【解答】解：(1)大正方形的面积可以表示为：(〃十份2,或表示为：4+从+2"；

2

因止匕有(a+b)=/+/+2ab；

(2)(a+2b){a+b)=a2+3ab+2b2,

・•・需要A号卡片1张，5号卡片2张，。号卡片3张，

故答案为：3；

(3)(1)(«+Z?)2=a2+b2+2ab,a+b=5,a2+b2=1\,

25=ll+2a〃，

/.ab=l,

即必的值为7；

②令。=九一2020,

x—2019

=[%-(2020-1)]

=光—2020+1

=a+l,

x-2021

=—(2020+1)]

=%-2020-1

=a—1,

•••(x-2019)2+(无-2021)2=20,

.-.(a+l)2+(a-l)2=20,

解