一元一次方程的应用【十二大题型】（苏科版）原卷版

专题4.3元一次方程的应用【十二大题型】

【苏科版】

【题型1和、差、倍、分问题】.................................................................1

【题型2数字问题】...........................................................................2

【题型3行程问题】...........................................................................2

【题型4销售问题】...........................................................................4

【题型5工程问题】...........................................................................5

【题型6配套问题】..........................................................................5

【题型7调配问题】...........................................................................6

【题型8水流问题】...........................................................................7

【题型9隧道或过桥问题】.....................................................................8

【题型10几何图形问题】.......................................................................8

【题型11分段收费问题】.......................................................................9

【题型12方案选择问题】......................................................................10

。如声二

【题型1和、差、倍、分问题】

【例1】（2019•全国•七年级课时练习）一群学生参加夏令营活动，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休

息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：每位男生看到的白色与红色的帽子一样多，而每位女生

看到的白色帽子数量是红色的2倍.根据信息，这群学生共有人.

【变式1-1］（2021•全国•七年级课时练习）儿子今年13岁.父亲今年40岁，是否有一年父亲的年龄恰好

是儿子年龄的4倍？

【变式1-2］（2021•全国•七年级单元测试）学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完已

知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续

在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草

地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加社会实践活动的人数为人.

【变式1-3］（2021•全国,七年级专题练习）某初级中学初一年级学生在期中测试中，总成绩不达标的人数4

校区和B校区共有600人，其中不达标的人数中，4校区人数比B校区人数的3倍还多40人.辅差工作任重

而道远，年级组领导要求在期末测试中两区总成绩不达标的人数必须共减少120人，减少后使得两区总成

绩不达标的人数中4校区人数是B校区人数的3倍.

（1）期中测试中两个校区分别有多少名总成绩不达标的学生？

（2）要完成年级期末测试要求，两个校区应该分别减少多少名总成绩不达标的学生？

【题型2数字问题】

【例2】（2022•黑龙江绥化•期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取型框中的7个数（如阴影

部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（）

日二一四五六

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

28293031

A.63B.70C.91D.105

【变式2-1］（2022,全国,七年级专题练习）把9个数填入3x3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条

对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的"洛书"（图1）,是世界上最早

的"幻方图2是仅可以看到部分数值的"九宫格"，则其中。的值为（）

a8

53

2

【变式2-2］（2022•山东青岛•七年级期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1,若将个位与十

位上的数字对调，得到的新数比原数大9,设个位上的数字为x,十位上的数字为y,根据题意，可列方程

为：•

【变式2-3］（2022•全国•七年级）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数.例如：将0占转化为分数时,

可设0.3=x,则x=0.3+»解得x=£即0.3=1.仿照此方法，将0.45化成分数.

【题型3行程问题】

【例3】（2022•上海民办民一中学期中）甲、乙两车同时从A地出发，沿同一条笔直的公路匀速前往相距

360A"的2地，半小时后甲发现有东西落在A地，于是立即以原速返回A地取物品，当甲车到达A地时，

两车相距60千米，取到物品后立即以比原来速度每小时快10切1继续前往2地（所有掉头时间和领取物品

的时间忽略不计），当乙车行驶了3小时的时候被甲车追上，则甲车到达8地时，乙车离5地的距离是

________km.

【变式3-1］（2022•四川巴中•七年级期中）甲、乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动.若甲的速

度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的3倍，则甲运动|周，

甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的4倍，则甲运动［周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常

走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转周，时针和分针第一次相遇.

【变式3-2］（2022•全国•七年级课时练习）阅读下列材料，完成相应任务.

学习了一元一次方程之后，数学兴趣小组了解到如下信息：

我国的铁路旅客列车，按不同的进行速度、运行范围、设备配置、作业特征等，分为不同的级别，列车的

级别由车次开头的字母来表示（部分是纯数字）.如G字头，表示高速动车组旅客列车；。字动，表示动

车组旅客列车；C字头，表示城际旅客列车；K学头，表示快速旅客列年，等等.随着交通的发展吕梁站至

太原南站已并通了多次列车，其中"C150"次列车的平均速度是120km//i,"K1334”次列车的平均速度是

90km",并且"C150”次列车从吕梁站至太原南站所时间比"K1334"次列车少用30分钟（两列车中途停留时

间均除外）.

兴趣小组提出了以下两个问题：

⑴"C150"次列车和"K1334"次列车从吕梁站至太原南站所用时同分别是多少？

⑵吕梁站至太原南站的路程为多少km?

小彬列的方程是喻一沪言’

任务一：①小彬同学所列方程中的x表示，

②小彬同学列方程所用的数量关系为（"路程+速度=时间"除外）；

任务二：小亮的做法是：设"K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为y小时，请你帮助小亮解决上述

两个问题，写出解答过程.

【变式3-3］（2021•全国•七年级单元测试）问题一：如图①，甲，乙两人分别从相距30切1的A,8两地同

时出发，若甲的速度为40初1/人乙的速度为306"，设甲追到乙所花时间为动，则可列方程为；

问题二：如图②，若将线段AC弯曲后视作钟表的一部分，线段对应钟表上的弧AB（1小时的间隔），

已知13Ao2=30°.

（1）分针OC的速度为每分钟转动度；时针OD的速度为每分钟转动度；

（2）若从1：00起计时，几分钟后分针与时针第一次重合?

（3）在（2）的条件下，几分钟后分针与时针互相垂直（在1：00~2：00之间）?

【题型4销售问题】

【例4】（2022,重庆巴蜀中学二模）某商家为母亲节促销活动做准备，采购了一批三种品牌的燕窝：小仙

炖、燕之屋、仰燕堂，它们的数量（盒）之比为2：3：1.由于品质优良宣传力度大，预订量暴增，于是加

紧采购了第二批同种类型的燕窝，其中小仙炖增加的数量占总增加数量的之，此时小仙炖总数量达到三种燕

窝总量的右而燕之屋和仰燕堂的总数量恰好相等.若小仙炖、燕之屋、仰燕堂三种燕窝每盒的成本分别为

500元、420元，380元，小仙炖的售价为每盒640元，活动中将小仙炖的;作为样品给到店买家免费品尝，

促销结束后两批燕窝全部卖完，总利润率为16%,且燕之屋的销售单价等于另外两种燕窝销售单价之和的意

则仰燕堂单价为元.

【变式4-1］（2020・黑龙江牡丹江•中考真题）某种商品每件的进价为120元，标价为180元.为了拓展销

路，商店准备打折销售.若使利润率为20%,则商店应打折.

【变式4-2］（2022,山东滨州•八年级期末）"黄金1号"玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2kg以上

的种子，超过2kg部分的种子价格打8折.若王大叔一次付款90元，则能购买到—kg的种子.

【变式4-3］（2022•江苏•九年级专题练习）某超市第一次以4450元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件

数是甲商品件数的2倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润=售价一进价）

甲乙

进价（元/件）2030

售价（元/件）2540

⑴该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？

⑵该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次

的2倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得

的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？

【题型5工程问题】

【例5】（2021•全国•七年级单元测试）学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完已知两

片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大

片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰

好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加社会实践活动的人数为人.

【变式5-1］（2021•江苏•无锡市太湖格致中学七年级阶段练习）挖一条水渠，甲、乙两队单独做分别需要

20天、15天完成.现在先由甲队单独挖6天，然后两人合作挖一条水渠要用一天.

【变式5-2］（2019•安徽•中考真题）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决

定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工

作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队

多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

【变式5-3］（2022•全国•七年级专题练习）某市有甲、乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲

工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多也

⑴求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？

⑵现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？

⑶已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总费用政府拨款70000

元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？

【题型6配套问题】

【例6】（2021,全国•七年级课时练习）某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4

块小月饼.制作1块大月饼要用0。5kg面粉，1块小月饼要用0.02kg面粉.现共有面粉4500kg,制作两种月

饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？

【变式6-1］（2022,全国•七年级专题练习）一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果Im?木料可以做方

桌的桌面40个或做桌腿240条，现有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，

做出的桌面和桌腿恰好配套？设用x立方米木料做桌面，由题意列方程，得.

【变式6-2］（2022•陕西汉中•七年级期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女

工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个.

⑴该工厂有男工、女工各多少人？

（2）该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮

男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？

【变式6-3］（2021•上海市南洋模范初级中学期末）某家具厂的设计师根据1:10的比例尺，并按斜二侧画

法在图纸上设计了一套柜子，柜子由一个框架、三个抽屉、两扇门组成.一个工人每天可以制作2个框架、

或者制作3个抽屉、或者制作5扇门.

八13

⑴由刻度尺在图纸上测量可得，AB=4cm、BC=1.5cm>BD=6cm,所以这个柜子的表面积是dm2,

体积是dm3.

（2）工人有38名工人，如何分配工人的工作才能使每天恰好配套完成一定数量的柜子，并写出每天完成的柜

子数量是多少只？

【题型7调配问题】

【例7】（2021•全国•七年级专题练习）甲车队有汽车56辆，乙车队有汽车32辆，要使两车队汽车一样多，

设由甲队调出x辆汽车给乙队，则可得方程（）

A.56+%=32—%B.56—%=32+%C.56—%=32D.32+%=56

【变式7-1］（2021•湖北省麻城市华英学校七年级阶段练习）某工厂甲车间有54人，乙车间有48人，要使

甲车间人数是乙车间人数的2倍，则需要从乙车间调往甲车间人.

【变式7-2］（2022•河北保定•七年级期末）在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生用硬纸制作圆柱形

茶叶筒.七年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或剪

筒底120个.

⑴七年级2班有男生、女生各多少人？

⑵原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能

配套吗?如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？

【变式7-3］（2020,浙江杭州•七年级期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220人，在乙处植树

的有96人.

（1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，应从乙处调多少人去甲处？

（2）为了尽快完成植树任务，现调m人去两处支援，其中90<m<100,若要使甲处植树的人数仍然是乙

处植树人数的3倍，则应调往甲，乙两处各多少人？

【题型8水流问题】

【例8】（2022•全国,七年级专题练习）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了4小时，从乙码头返回

甲码头逆流而行，用了6小时，已知船在静水的平均速度是30千米/小时，求水流速度.

【变式8-1］（2022•全国•七年级专题练习）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3h,从乙码头返回

甲码头逆流而行，用了4h.已知水流的速度是3km/h,求船在静水中的平均速度.

【变式8-2］（2022•全国•七年级专题练习）如图，是学习列方程解应用题时，老师板书的问题和两名同学

列的正确方程.

例2.一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h.已知水流

的速度是3km/h,求船在静水中的平均速度.

兵兵：2（%+3）=2.5（%-3）倩倩：^-^=3x2

根据以上信息，有下列四种说法：①兵兵所列方程中的x表示船在静水中的平均速度；②倩倩所列方程中

的尤表示船在静水中的平均速度：③兵兵所列方程中的x表示甲乙两码头的路程；④倩倩所列方程中：x

表示甲乙两码头的路程；其中，正确的是（）A.①③B.①④C.②③D.②④

【变式8-3］（2020•贵州•沿河县第五中学七年级阶段练习）"绿水青山就是金山银山”的科学论断，强调不

以环境为代价推动经济增长.2017年10月"树立和践行绿水青山就是金山银山的理念”写入中国共产党的党

代会报告，且在表述中与“坚持节约资源和保护环境的基本国策"一并成为新时代中国特色社会主义生态文明

建设的思想和基本方略.某游客乘坐一艘轮船在A,B两个码头之间航行旅游，顺水航行需4h,逆水航行需

5h.已知水流速度为2km/h.

（1）求轮船在静水中的航行速度.

（2）求轮船在A,B两个码头之间航行旅游往返一次的平均速度.

（3）若游客从A码头轮船启动顺水出发时，其中携带的一个旅游包不慎掉入水中，游客到达B码头后才发

现旅游包不见了，立刻恳请船长将船调头按船在静水中的速度原路返回查找，（假设旅游包能从A码头自

由漂流到B码头），请问游客从B码头出发多少时间与旅游包相遇？

【题型9隧道或过桥问题】

【例9】（2022•全国•七年级专题练习）已知某铁路桥长1600米.现有一列火车从桥上通过，测得火车从开

始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒.则这列火车长米.

【变式9-1］（2022•全国•七年级）问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一

座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在挤

上的时间是148秒.已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度.

合作探究：

（1）请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥

的路程为X米，所以动车的平均速度可表示为米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为

（x-120）米，所以动车的平均速度还可以表示为米/秒.再根据火车的平均速度不变，可列方

程.

（2）小颖认为：也可以设动车的平均速度为v米/秒，列出方程解决问题.请你按照小颖的思路求动车经过

的这座大桥的长度.

【变式9-2］（2023•江苏•七年级专题练习）一列火车长110米，现在以30km/h的速度向北缓缓行驶，9：

20追上向北行走的路人甲，15秒离开甲，9：26迎面遇上向南行走的路人乙，12秒钟后离开乙.若路人甲、

乙行走速度不变，请问路人甲和乙相遇时间是火车迎面遇上路人乙后分钟.

【变式9-3］（2022・广东•九年级专题练习）一列火车匀速行驶，经过（从车头进人到车尾离开）一条长300m

的隧道需要20s的时间.隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s.求这列火车

的长度.

【题型10几何图形问题】

【例10】（2021•全国,七年级单元测试）如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板，一块长4厘米、宽

1厘米的长方形纸板，一块小正方形以及另两块长方形的纸板，恰好拼成一个大正方形，求大正方形的面积.

【变式10-1】（2022•全国•七年级专题练习）一个长方形的周长为28cm,若把它的长减少1cm,宽增加3cm,

就变成一个正方形，则这个长方形的面积是（）

A.48cm2B.45cm2C.40cm2D.33cm2

【变式10-2】（2022•全国•七年级专题练习）在边长为9cm的正方形ABC。中，放置两张大小相同的正方形

纸板，边EF在4B上，点K,/分别在BC,CD上，若区域/的周长比区域回与区域团的周长之和还大6cm,则正

方形纸板的边长为cm.

【变式10-3】（2022•全国•七年级单元测试）如图，长方形ABC。中，AB=8cm,AD=6cm,P,。两动点

同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达8点后停止运动，。点的

运动路线为B玲。玲。，P,。点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点

也同时停止运动.设两动点运动的时间为f秒，要使AMP和"CQ的面积相等，满足条件的，值的个数为

（）

A.2B.3C.4D.5

【题型11分段收费问题】

【例11】（2022•四川德阳•七年级期末）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如

下表.某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（）元.

汽车修理费尤元赔偿率

0<x<50060%

500<x<100070%

1000<x<300080%

A.2687B.2687.5C.2688D.2688.5

【变式11-1]（2022•山东滨州•八年级期末）"黄金1号"玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2kg以上

的种子，超过2kg部分的种子价格打8折.若王大叔一次付款90元，则能购买到_kg的种子.

【变式11-2】（2022•江苏无锡・七年级期末）近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政

策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，"一户多人口"政策同步调整.

用气量（立方米）

价格（元/

气量分档

立方米）

调整前调整后

第一档年用气量S300年用气量“002.73

第二档300＜年用气量4600400＜年用气量410003.28

第三档年用气量＞600年用气量＞10003.82

人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加

60立方米、120立方米）.

⑴若小明家有5口人，年用气量1000立方米.则调整前气费为元，调整后气费为元；

⑵小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？

【变式H-3]（2019•全国•七年级单元测试）某市为促进节约用水，提高用水效率，建设节水型城市，将自

来水划分为"家居用水"和"非家居用水根据新规定，"家居用水"用水量不超过61,按每吨1.2元收费；如

果超过6t,未超过部分仍按每吨1.2元收费，而超过部分则按每吨2元收费.如果某用户5月份水费平均

为每吨1.4元，那么该用户5月份应交水费多少元？

【题型12方案选择问题】

【例12】（2021・浙江•九年级专题练习）某班级想购买若干个篮球和排球，某文具店篮球和排球的单价之和

为35元，篮球的单价比排球的单价的2倍少10元.

（1）求篮球和排球的单价各是多少元；

（2）该文具店有两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案.方案一：所有商品打7.5折销售；方案二:

全场购物每满100元，返购物券30元（不足100元不返券，使用购物券消费不再返券），购物券全场通用,

若该班级需要购买15个篮球和10个排球，则哪一种方案更省钱，并说明理由.

【变式12-1】（2022,新疆塔城,七年级期末）北京某景区，门票价格规定如下表:

购票张数1〜