线段与角的等量代换模型解读与提分训练-2025年人教版七年级数学寒假分层作业

专题06线段与角的等量代换模型

等量代换是数学变形的最常见方式之一，它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活，给人留下深刻的印象。运用

它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换），还可以避免繁杂运算，具有计算

量小的独特优点，因此有着广泛的应用。

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例题讲模型

模型1.线段与角度的等量代换模型

习题练模型］

例题讲模型1

模型1.线段与角度的等量代换模型

模型解读

等量即相等的量，代换即替代、更换，等量代换的意思就是相等的量可以互换，更通俗点儿说，如果几个

量都等于某一个量，那么这几个量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了针对的对象必须是等式。

等量代换的一般形式：如果。=6,b=c,那么a=c,利用的是等式的传递性。

“等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。

模型证明

1）线段的等量代换

图1图2

条件：如图，已知：EG=HF；结论：EH=GF.

证明:如图1,•/EG=HF,EG-HG=HF-HG,：.EH=GF.

如图2,'：EG=HF,：.EG+HG=HF+HG,：.EH=GF.

2）角度的等量代换

(图中：ZAOD=Z1,ZBOC=Z2,ZBOD=Z3,ZAOC=Z4)

条件1：已知/AO8=NDOC=90。；结论：Z1=Z2,Z3+Z4=180°.

条件2：已知NAOB=N£)OC=90°；结论：Z1=Z2,Z3+Z4=180°.

证明：如图1,ZAOB=ZDOC,：.ZAOB-ZBOD=ZDOC-ZBOD,：.ZAOD=ZBOC,即：Z1=Z2.

ZAOB=ZDOC=90°,：.ZAOB+ZDOC^O°,

：.ZBOD+ZAOD+ZDOC=\SO°,：.ZBOD+ZAOC=]SO°,即：Z3+Z4=180°.

如图2,VZAOB=ZDOC,：.ZAOB+ZBOD=ZDOC+ZBOD,：.ZAOD=ZBOC,即：Z1=Z2.

,?ZAOB=ZDOC=90°,：.NAOB+NZ)OC=180。，

VZB0D+ZA0C+ZA0B+ZD0C^6Q°,：.ZBOD+ZAOC^O°,即：N3+N4=180°.

利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：

①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等;

模型运用

例1.（23-24•北京平谷•七年级统考期末）如图，点C,。在线段上，若=贝U（）

IIII

ACDB

A.AC=CDB.AC=BDC.AD=2BDD.CD=BC

【答案】B

【分析】根据初-CD=BD—"可得答案.

【详解】；AD=BC,：.AD-CD^BC-CD,即AC=B。.故选：B.

【点睛】本题主要考查了线段的和差，掌握各线段之间的数量关系是解题的关键.

例2.（23-24.重庆•七年级统考期末）如图，B、C是线段AD上两点，5.AB^CD,若AD=12,AB=5,那

么AC大小为（）

I1--------------1------------1

ABCD

A.3B.7C.10D.13

【答案】B

【分析】根据线段的和差关系计算即可得到结论.

【详解】解：VAB=CD,：.AB+BC=CD+BC,：.AC=BD

VAD=12,AB=5,：.BD=1,：.AC=1,故选:B.

【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键.

例3.（23-24七年级上•山西•阶段练习）如图，A、B、C、。四点在同一直线上.

ABCD

⑴若AB=CD.①比较线段的大小：ACBD（填或“<”）；

3

（2）^BC=—AC,且AC=16cm,则AZ）的长为cm；（2）若线段AD被点3、C分成了2：3：4三部分,

且A5的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm,求的长.

【答案】⑴①=,②20⑵27cm

【分析】（1）①根据等量代换，计算线段的和，后判断；②根据线段之间的关系，线段的和计算即可.

（2）设未知数，运用一元一次方程的思想求解即可.

【详解】（1）解：①：AB=CD,AAB+BC^CD+BC,所以AC=3D,故答案为：=；

3

(2)VBC=—AC,且AC=16cm,BC=12cm,/.AB=AC-BC-16cm-12cm=4cm,

4

VAB^CD,：.CD=4cm,AD=AC+CD=16cm+4cm=20cm；故答案为：20.

(2)解：如图：

i।।iii

AMBCND

AM=BM=xcm,根据已知得：AB=2xcm,BC=3xcm,CD=4.rcm,

AD=9.rcm,CN=ND=—CD=2xcm,

2

：MV=18cm,BM+BC+CN-18cm,所以x+3x+2x=18,解得x=3,

AD=9x=27(cm).答：AD的长是27cm.

【点睛】本题考查了线段之间的数量关系，线段的中点的意义，线段的和，一元一次方程的解法，熟练掌

握线段的关系，灵活解方程是解题的关键.

例4.(23-24广东广州•七年级校考期末)如图，

(1)若ZAOB=NCOD,则NAOC=N；

(2)若ZAOC=N3OD,则N=/________.

【答案】BOD/DOBAOB/BOACOD/DOC

【分析】(1)根据几何图形，结合等式的性质即可求解.

(2)根据几何图形，结合等式的性质即可求解.

【详解】解：(1),?ZAOB=Z.COD,ZAOB+Z.BOC=ACOD+NBOC,即ZAOC=NBOD,

故答案为：BOD；

(2)ZAOC=Z.BOD,：.ZAOC-ZBOC=ZBOD-Z.BOC,即ZAOB=ZCOD,

故答案为：AOB,COD.

【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键.

例5.(23-24七年级上•江苏•课后作业)如图所示，ZAOC=ZBOD=90°,ZAOB=68°,则NCO£>=

【答案】68

【分析】直接根据角的和差关系进行求解即可.

【详解】解：*/ZAOB=ZAOC-ZBOC,ZCOD=NBOD-NBOC,

又NAOC=NBC©=90。，ZAOfi=68°,/.ZAOBZCOD68°.故答案为68.

【点睛】本题主要考查互余角，关键是根据“同角的余角相等”可得角的等量关系，然后求解即可.

例6.（23-24天津南开•七年校考期中）如图所示，ZAOC=ZBOD=90°,ZCOD=30°,则NAQB的度数

【答案】D

【分析】求出ZA8的度数，然后根据N4O3=NAOD+NOO3,即可得出答案.

【详解】解：ZAOC=90°,NCOD=30。,:.AAOD=60°,

ZAOB=ZAOD+Z.DOB=60O+90°=150°,故选：D.

【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，求出幺OD的度数.

例7.（2023春・北京•七年级月考）如图，已知AC13C,ZA+Z1=9O°,则N2与/A的关系是（）

【答案】C

【分析】由NA+N1=9O。，Zl+Z2=90o,可知/2=/A,进而可得答案.

【详解】解：VZA+Z1=9O°,Nl+N2=90。；.N2=NA故选C.

【点睛】本题考查了余角.解题的关键在于明确同角的余角相等.

例8.（23-24广东佛山•七年级校考阶段练习）如图所示，48是一条直线，若N1=N2,则/3=/4,其理

由是（）

A.内错角相等B.等角的补角相等C.同角的补角相等D.等量代换

【答案】B

【分析】根据等角的补角相等判定即可.

【详解】=；./3=/4（等角的补角相等），故选：B.

【点睛】本题主要考查了补角的性质：同角或等角的补角相等.

例9.（23-24七年级上•湖北•期末）如图，两个直角/AO3,NC8有相同的顶点。，下列结论:

®ZAOC=ZBOD-,②/AOC+/3OD=90。；③若OC平分408,则平分NC8；

@ZAOD的平分线与/COB的平分线是同一条射线.

其中正确的是.（把你认为正确结论的序号都填上）

【答案】①③④

【分析】根据角的和差关系和角平分线的定义，对四个结论逐一进行判断即可.

【详解】解：①：ZAOB=NCOZ>=90。，

Z.ZAOC=90°-ZBOC,ZBOD=90°-ZBOC,:.NAOC=NBOD,①正确；

②;只有当OC,02分别为-AC次和NC8的平分线时，ZAOC+ZBOD^90°,②错误;

③,/ZAOB=ZCOD=90°,OC平分NAOB,

ZAOC=ZCOB=45°,则ZBOD=90°-45°=45°/.02平分ZCOD,③正确；

④,/ZAOB=ZCOD=90°,ZMJC=ZBOD；

...NAOD的平分线与NCOB的平分线是同一条射线，④正确；故答案为：①③④.

【点睛】此题主要考查角的和差关系，角平分线的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题.

例10.（23-24河北省邢台市七年级期末）已知ZAOB=NCOD=90。，0E平分/AOC,O尸平分/BOD.

图1图2图3

(1)如图1,当OB,OC重合时，求/EO产的度数；

(2汝口图2,当0c在NABC内部时，若/BOC=20。，求NEC产的度数；

⑶当ZAOB和NCOD的位置如图3时，求ZEOF的度数.

【答案】(1)90°(2)90°(3)90°

【分析】(1)求解/BOE=」ZAO3=45。，ZBOF=-ZBOD=45°,可得答案；

22

(2)ZAOC=90°-20°=70°,ZBOD=90°-20°=70°,再证明NCOE=gZAOC=35。，

NBOF=g/BOD=35。,结合角的和差运算可得答案；

(3)设N8OC=a,可得ZAOC=NB8=90o+a,证明=,

ZBOF=1ZBOD=45°+再利用角的和差关系可得答案.

22

【详解】(1)解：vZAOB=ZCOD=90°,OB,OC重合，OE平分ZAOC,OF平分/BOD.

：.ZBOE=-ZAOB=45°,ZBOF=-ZBOD=45°,

22

/EOF=NBOE+NBOF=90°；

(2)：OC在，ABC内部，ZSOC=20°,ZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOC=90°-20°=70°,ZBOD=90°-20°=70°,

：OE平分NAOC,OF平分/BOD.

：.ZCOE=-ZAOC=35°,ZBOF=-ZBOD=35°,

22

ZEOF=35°+20°+35°=90°.

(3)设ZBOC=(z,ZAOB=ZCOD=90°,：.ZAOC=ZBOD=90°+«,

---OE平分NAOC,OF平分/BOD

：.ZCOE=-ZAOC=45°+-a,ZBOF=~ZBOD=45°+-a,

2222

ZEOF=ZCOE+ZCOF=ZCOE+ZBOF-ZBOC=45°+-a+45°+-a-a=90°.

22

【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练的利用角的和差运算进行计算是解本题关键.

例H.(23-24七年级上.河南南阳.期末)已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索

这两个角之间的数量关系

(1)如图1,ABIDE,BCLEF.N1与N2的数量关系是：一.

(2)如图2,ABLDE,BCLEF.根据小学学习过的四边形内角和为360。可得/I与N2的数量关系是:

(3)由(1)(2)你得出的结论是：如果一，那么

(4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40。，求这两个角度数.

【答案】(1)相等(2)互补

(3)一个角的两边与另一个角的两边分别垂直；这两个角相等或互补(4)20。，20。或55。，125。

【分析】(1)根据直角三角形的两锐角互余即可得解；

(2)根据四边形内角和即可求解；(3)由(1)(2)总结归纳，即可得出的结论；

(4)设一个角的度数为a,则另一个角的度数为3a-40。，根据这两角相等或互补即可求解.

【详解】(1)解：如图,

\'AB±DE,BCLEF,AZl+Z3=90°,Z2+Z4=90°,

VZ3=Z4,.*.Z1=Z2,故答案为：相等；

(2)解：'：ABIDE,BCLEF,AZl+Z2+90o+90°=360°,

AZl+Z2=360o-90°-90°=180o,故答案为：Zl+Z2=180°；

（3）解：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补，

故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直；这两个角相等或互补；

（4）解：设一个角的度数为a,则另一个角的度数为3a—40。，

根据题意可得，a=3a—40。或a+3a—40。=180。，解得a=20。或55。，

当a=20。时，3a—40。=20。，当a=55。时，3a—40。=125。，

这两个角的度数为20。，20。或55。，125。.

【点睛】此题考查了多边形的内角，余角的定义和垂直的定义，熟记多边形的内角和公式是解题的关键,

在解题的过程中，要注意分类讨论.

例12.（2023秋・河南鹤壁•七年级统考期末）如图，直线AB,相交于点0,OM±AB.

⑴若4=40。，Z2=30°,求NNOD的度数；

（2）如果/1=/2,那么ON与8互相垂直吗？请说明理由.

【答案】（l）NAOC=5（）o（2）ON_LC。，理由见解析

【分析】（1）利用余角、对顶角的定义计算即可；

（2）利用余角的定义，求得两个角的和为90。即为垂直.

【详解】（1）解：OM1AB,:.ZAOM=90°,

Nl=40°,:.ZAOC^ZAOM-Z1=90°-40°=50°,

Z2=30°,ZNOD=ZDOC-ZAOC-Z.2=100°；

（2）ONLCD,证明：Z1+ZAOC=90°,Zl=N2,

.•./2+ZAOC=90°,即/CON=90°,：.ONLCD.

【点睛】本题考查的是余角、垂直的定义，解题的关键是熟练掌握余角、垂直以及对顶角的定义，会识别

余角、垂直、对顶角.

习题练模型

1.（2023•重庆七年级课时练习）如图，点C,D在线段AB上，若AC=DB,则（）

A.AC=CDB.CD=DBC.AD=2DBD.AD=CB

【答案】D

【详解】根据题意，由AC=DB,可知AC+CD=DB+CD,即AD=BC,而其余选项均无法判断.故选D.

【点睛】注意根据等式的性质进行变形，读懂题意是解题的关键.

2.（2023•广东深圳•七年级统考期末）如图，AB=10,点C、。分别是线段48上两点（CD>AC,CD〉BD）,

用圆规在线段8上分别截取CE=AC,DF=BD,若点E与点尸恰好重合，则8的长度为（）

AC_E^F）D-B

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】由作图可得点C和点。分别是AE、防的中点，再根据线段中点的定义可得答案.

【详解】解：CE=AC,DF=BD,点E与点尸恰好重合，

.・•点C和点£>分别是AE、的中点，=DFJBF,

22

:.CD=CE+DF=-AE+-BF=-AB=-xl0=5.故选：C.

2222

【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义.

3.（2023•山东聊城•七年级统考期中）如图，AOBD,比较线段AB与线段CD的大小（）

IIII

ACBD

A.AB=CDB.AB>CDC.AB<CDD.无法比较

【答案】B

【分析】由AB=AC+BC,CD=BD+BC,AOBD,贝U

【详解】"：AB=AC+BC,CD=BD+BC,AOBD,：.AB>CD.故选：B.

【点睛】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法.

4.（2023•黑龙江哈尔滨•七年级统考期末）如图，？AOC1BOC1DOE90?,则图中互补的角共有（）

A.7对B.6对C.5对D.4对

【答案】A

【分析】首先求出NAOE=/CO。，/COE=/BOD,然后根据互补的定义找出相加等于180。的角即可.

【详解】解：ZAOC=ZBOC=ZDOE=90°,

ZAOE+Z.COE=ZCOE+ZCOD=ZBOD+ZCOD,ZAOC+ZBOC=ZAOC+ZDOE=ZBOC+ZDOE=180°,

ZAOE=ZCOD,ZCOE=ZBOD,

ZAOE+ZBOE=ZCOD+ZBOE=ZCOE+ZAOD=ZBOD+ZAOD=180°,

综上，互补的角共有7对，故选：A.

【点睛】本题考查了角的和差计算，互补的定义，如果两个角的和等于180。，就说这两

5.（2023春・河南焦作・七年级统考期中）如果。+#=90。，，+7=90。，那么a与/的关系是（）

A.互余B.互补C.相等D.无法确定

【答案】C

【分析】根据题意可得。和/都是一的余角，则根据同角的余角相等可知a和y的关系相等.

【详解】解：•••£+4=90。，/+/=90。.•.£=/故选C.

【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，掌握相关定理是解题关键.

6.（2023春・山西太原•七年级校考期中）学完第二章后，同学们对“对顶角相等”进行了如图所示的推理，其

中“▲”处的依据为（）

4D

如图，因为直线AB,。相交于点0,

所以ZAOB与ZCOD都是平角.

所以/1+/2=180。，Z2+Z3=180°.

所以N1=N3（据：▲）

A.同角的余角相等B.同角的补角相等C.同位角相等D.平角的定义

【答案】B

【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可得到答案.

【详解】解：因为直线AB,CO相交于点0,

所以/AQB与NCOD都是平角，所以/l+N2=180。，Z2+Z3=180°.

由同角的补角相等，即可得至IJN1=N3.故选：B.

【点睛】本题考查了补角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

7.（2023秋•广东深圳•七年级校考期末）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则N1、

/2、/3三个角的数量关系为（）

A.Zl+Z2+Z3=90°B,Zl+Z2-Z3=90°C.Zl-Z2+Z3=90°D.Zl+2Z2-Z3=90°

【答案】A

【分析】先根据同角的余角相等得到22=/4,即可得到结论.

【详解】解：•••将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，

ZfiOC+N2=90。，/3OC+/4=90。，N2=N4,

XVZl+Z4+Z3=90°,/.Zl+Z2+Z3=90°,故选：A.

【点睛】本题考查同角的余角相等，其关键要弄清哪两个角互余及角的和差，并利用数形结合的思想解决

问题.

8.（23-24七年级上•安徽黄山•期末）如图，C,。是线段A5上两点（点。在点C右侧），E,尸分别是线段

AD,8C的中点.下列结论：

@EF=^AB-®^AE=BF,则AC=3。；③AB—CD=2EF；④AC-BD=EC-DF.

iIIIIi

AECDFB

其中正确的结论是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和

差关系.结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系逐一进行分析，即可进行解答.

【详解】解：尸分别是线段的中点=尸=[gC,

22

EF=AB-AE-BF=AB-^AD+BC）=AB-^AB+CD）=^AB-^CD,故①不符合题意；

VAE=BF,：.^AD=^BC,即AD=3C,

AAD-CD=BC-CD,：.AC=BD,故②符合题意；

EF=-AB--CD,AB-CD=2EF,故③符合题意；

22

④：AC=AE+CE=-AD+CE,BD=BF+DF=-BC+DF,

22

AC-BD=^AD+CE^-^BC+DF^=^AD-BC）+（CE-DF）,

：.2（AC-BD）=（AD-fiC）+2（CE-DF）,2（AC-fiD）=（AC-fiD）+2（CE-DF）

；.AC-BD=2（EC-DF）,故④不符合题意；故选：B.

9.（23-24七年级上.广东汕头・期末）如图，点A,0,3在一条直线上，于点。，如果N1与N2互

余，那么图中相等的角有（）

A.6对B.5对C.4对D.3对

【答案】B

【分析】根据互余的性质得出相等的角即可得出答案.

【详解】解：图中相等的角有Nl=NCOA,N2=NBOD,ZAOE=NBOE,NCOD=NBOE,ZCOD=NAOE,共

5对故选：B.

【点睛】此题考查了找等角的问题，解题的关键是掌握互余的性质.

10.（海南澄迈县2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）已知/3+/1=180。且Nl+N2=180。，则

22=/3,依据是（）

A.等角的补角相等B.补角的定义C.同角的余角相等D.同角的补角相等

【答案】D

【分析】本题主要考查了等角或同角的补角相等的性质，根据同角的补角相等进行解答.

【详解】VZ3+Zl=180°,Zl+Z2=180°,

二N3是N1的补角，N2是N1的补角，

二/2=/3（同角的补角相等）.

故选:D

11.（23-24福建省福州市七年级期中）由4+N2=90。，Zl+Z3=90°,得到-2=/3的依据是（）

A.同角的余角相等B.等角的余角相等C.同角的补角相等D.等角的补角相等

【答案】A

【分析】根据互余的概念及性质即可求解.

【详解】解：•.•4+12=90。,Zl+Z3=90°,

Z1+Z2=Z1+Z3=9O°,

：.N2=/3,是根据同角的余角相等，

故选：A.

【点睛】本题主要考查余角的性质，掌握互余的概念及性质是解题的关键.

12.（23-24云南昆明•七年级校考期末）如图，/AO3和NCC©都是直角.下列结论：

@ZAOC=ZBOD；②NAOZ）+N3OC=180。；③若08平分NCOD,则OC平分/A03；

④ZAOD的平分线和N3OC的平分线是同一条射线.其中正确的是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可.

【详解】解：①：NAOB=NCOZ＞=90。，

ZAOC=90°-ZBOC,ZBOD=90°-ZBOC,:.ZAOC=NBOD；故①正确.

②：ZAOD+ZBOC=ZAOB+ZCOD=180°,故②正确；

@*/ZAOB=ZCOD=90°,OB平分NCOD,：.ZBOC=ZBOD=45°,则ZAOC=90°—45°=45°,

OC平分NAO3；故③正确.@VZAOB=ZCOD=90°,ZAOC=ZBOD（已证）；

ZAOD的平分线与NCO3的平分线是同一条射线.故④正确.故选：A.

【点睛】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题.

13.（2023春・广东佛山•七年级统考期末）如图，ZACB=90°,CD,AB于点。.若NACD=35。，KljZABC

的度数是.

【分析】根据垂直的定义分别得到NACD+N3CD=90。，ZBCD+ZABC=90°,再利用同角的余角相等可

得结果.

［详解］解：：ZACB=90°,ZACD+ZBCD=90°,

CD1AB,：.NCDB=90°,即ZBCD+ZB=90°,

/.ZACD=ZABC=35°,故答案为：35°.

【点睛】本题考查了余角的性质，解题的关键是掌握同角的余角相等.

14.（2023春•陕西宝鸡・七年级统考期中）如图，/A08和NCOD都是直角，则N1___Z2（填＞,=,＜）.

【答案】=

【分析】由/A03和NCOD都是直角，得N1+NBOC=90。，Z2+ZBOC=90°,从而即可得到答案.

【详解】解：NAOB和ZCOD都是直角，

AZI+ZBOC=90°,Z2+ZBOC=90°,:.Z1=Z2,故答案为：=.

【点睛】本题主要考查了同角的余角（补角）相等，熟练掌握该知识点是解题的关键.

15.（2023秋・山东荷泽•七年级统考期末）如图，点C,£＞在线段A3上，且AC=CD=£＞3,点E是线段D8

的中点，若CE=12cm,则AB的长为.

II］II

ACDEB

【答案】24cm/24厘米

［分析］根据线段中点的定义，可得A3==2CCD+DE）=2CE，代入数据进行计算即可得解求出AB

的长.

【详解】解：：AC=CZ）=D3,点E是线段08的中点，

:.AB=AD+BD=2（CD+DE）=2CE=24.故答案为：24cm.

【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键.

16.（2023秋・山西长治•七年级统考期末）如图，C,。是线段上两点，且点C在点。的左侧，M,N分

别是线段AD,BC的中点.若=BD=3,则AB的长为.

I11111

/MCDNB

【答案】9

【分析】先M是线段AO的中点，得出=根据相＞=及饮，得出即可得出

AM=MD=BD,从而得出AS=36Z）=3x3=9.

【详解】解：是线段4。的中点，=

*.*AD=BM,:・AM+MD=MD+BD,**•AM=BD,

AM=MD=BD9•»AB=3BD=3x3=9.故答案为：9.

【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，解题的关键是根据题意得出AM=MD=&）.

17.（23-24福建省仙游县七年级期末）如图，两个直角NAOC和N30Q有公共顶点O,下列结论：

@ZAOB=ZCOD；@ZA0B+ZC0D=9r）c;③若08平分NAOC,则OC平分/B。。；

④NA。。的平分线与NBOC的平分线是同一条射线，其中正确的是.（填序号）

【答案】①③④.

【分析】根据同角的余角性质可判断①与②，根据角平分线定义可判断③，设/A。。的平分线为。区设/

8OC的平分线为。尸，根据角平分线定义可算出/BOE=/COE=22.5。，则NBOF=NCOE=22.5。，然后得出

0E与。尸重合即可

【详解】因为NAOC和NB。。是两个直角，所以NA08与NC。。都与/BOC互余，所以NAOB=NC。。；

故①正确；也能得出②错误；

VOB^ZAOC,则/AOB=N2OC=45。，从而得出/COD=45。，故③正确；

此时NAOZ）=135。，设NAOO的平分线为0E,可算出N8OE=NCOE=22.5。，

设/80C的平分线为。/，贝|/2。/=/。0/=22.5。，得NAO。的平分线与N20C的平分线是同一条射线,

故④正确；综上所述，正确的序号是①③④.

【点睛】本题考查余角性质，角平分线定义，掌握余角性质，角平分线定义是关键.

18.（23-24七年级上•湖南长沙•期末）如图：己知民C在线段上，E,尸分别为线段A民CD的中点，且

AB=CD.

Ill111

AEBCFD

（1）如图，线段AD上共有6个点，则图中共有一条线段；

（2）比较线段的大小：AC_BD,（填“>”、“<”或“="）（3）若AD=18,£8=2,求BC的长度.

【答案】（1）15（2）=（3）10

【分析】（1）根据线段的条数等于业二D（其中〃为点的个数）即可得；

2

（2）根据AC=AB+BC,BO=a）+BC,再结合AB=CD即可得出答案；

（3）先根据线段中点的定义可得钻=4,从而可得C£»=4,再根据3c=AD-AB-8即可得.

【详解】（1）解：•线段AD上共有6个点，

图中线段的条数为安=15（条），

故答案为：15.

(2)解：AC=AB+BC,BD=CD+BC,且AB=CD,

/.AC=BD,

故答案为：=.

(3)解：E是AB的中点，EB=2,

:.AB=2EB=4,

AB=CD,

:.CD=4,

AD=18f

.\BC=AD-AB-CD=18-4-4=10.

【点睛】本题考查了线段的条数问题、与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键.

19.(23-24七年级上•河南新乡•期末)如图，已知点3、C在线段AD上，且AB=CD.

I，1----------------------------1，J

AMBCND

(1)比较线段的大小；AC50；(填“>”"=”或“V”)

⑵如果AT>=18,5C=12，"是A3的中点，N是。的中点，求线段MN的长度.

⑶在(2)中，如果AT>=a,3C=8,其他条件不变，那么=.(用含。力的式子表示)

【答案】(1)=;(2)15；⑶等.

【分析】本题考查线段的和与差，与线段中点有关的计算.理清线段之间的数量关系，是解题的关键.

(1)根据线段的和的关系，进行比较即可；

(2)先求出AB,CD的长，中点，求出BM+CN的长，再根据90+3C+CN,求出的长即可；

(3)同法(2),进行计算即可.

【详解】(1)解：：AB=CD,

：.AB+BC^CD+BC,即：AC=BD；

故答案为：=;

(2),：AD=18,BC=12,

：.AB+CD=AD-BC=6,

〈A/是AB的中点，N是8的中点，

BM=-AB,CN=-CD,

22

：.BM+CN=g(A8+Cr))=3,

・•・MN=BM-^-BC+CN=12+3=15；

(3)*.*AD=a,BC-b.

AB+CD=AD—BC=a+b,

是AB的中点，N是CD的中点,

/.BM=-AB,CN=-CD,

22

BM+CN=^AB+CD)=^(a-b),

：.MN=BM+BC+CN=；(a—b)+b=^^

故答案为：等

20.(23-24七年级上•湖南怀化•期末)如图403=120。，ACOD=60°.

图一图二

(1)图一，若NCOD在—AO3的内部，ZAOC=18°,求/BOD；

(2)NCOD绕点0顺时针旋转，若0C，Q4,请说明OB是Z.COD的平分线；

(3)图二中，OC在-403的内部，请推断/AOD与ZBOC的关系.

【答案】(1)48=42。

(2)证明见解析

⑶/AOD+/BOC=180。

【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义:

(1)根据角度之间的关系进行求解即可；

(2)根据垂线的定义得到/AOC=90。，进而得到ZBOC=30。，则/BOC=」/COD,即08是NCOD的平

2

分线；

(3)根据NAOD=NAO3+NCOr>-NBOC=180。，即可得到NAOD+/BOC=180。.

【详解】(1)解：VZAOB=120°,ZCOD=60°,ZAOC=18°,

NBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD=42°；

(2)证明：9：OC1OA,

：.^AOC=90°,

ZAOB=120°,

ZBOC=ZAOB-ZAOC=120°-90°=30°,

・・・ZCOD=60°,

ZBOC=-ZCOD,

2

/.02是NCOD的平分线；

（3）解：VZAOB=120°,ZCOD=60°,

：.ZAOD=ZAOB+/COD-ZBOC=180°,

ZAOD+ZBOC=180°.

21.（2024春•广东珠海•七年级开学考试）对“如果N1和/2都是/々的余角，那么/1=/2”的说理过程，在

括号内填上依据.

理由：因为/1+/。=90。（已知），所以4=90。-（等式的性质）.

因为/2+/0=90。（），所以Z2=90。-/"（）.所以/1=/2（）.

【答案】已知，等式的性质，等量代换

【分析】根据各步前后式的逻辑关系写出依据.

【详解】N1=N2,理由如下：

因为Nl+Ntz=90。（已知），

所以4=90。-/a（等式的性质）.

因为Z2+Na=90。（己知）,

所以Z2=90。-/。（等式的性质）.

所以N1=N2（等量代换）.

故答案为：己知，等式的性质，等量代换.

【点睛】本题考查推理步骤的应用，根据各步前后式的逻辑关系写出推理依据是解题关键.

22.（2023春•贵州铜仁•七年级统考期中）已知ZAOB=120。，NCOD在，AO8内部，ZCOD=60°.

(D如图1,若/BOD=30。，求/AOC的度数；

(2)如图2,若OE平分/BOC,请说明：NAOC=2NDOE；

(3)如图3,若在/AOB的外部分别作NAOC,N8OD的余角NAOP,ZBOQ,求NAOP+N3OQ的度数.

【答案】(1)30。(2)见解析(3)120°

(分析】(1)由ZAOB=120°,ZCOD=60°,得至I」ZAOC+ZBOD=ZAOB-ACOD=120°-60。=60。，而ZBOD=30°,

即可求出/AOC的度数；

(2)由角平分线定义，得至1]40£>=6。°-1/80(7,而ZAOC=1200_ZBOC,即可证明/AOC=2/OOE；

(3)由余角的定义，得至1]44。尸+义8。。=180。一(440。+/80£>),而ZAO3=120。，ZCOD=60°,即可

求出/AOP+/B。。的度数，从而得出结论.

【详解】(1)解：QZAOB=120°,NCOD=60。，

ZAOC+ZBOD=ZAOB-ZCOD=120°-60°=60°,

ZBOD=30°,.•.ZAOC=60o-30o=30°；

(2)OE平分NBOC,:.ZCOE=-ZBOC,

2

ZEOD=ZCOD-ZCOE,/COD=60。，z.ZEOD=60°--ZBOC,

2

.ZAOC=ZAOB-ZBOC,ZAOB=120°,ZAOC=120°-ZBOC,:.ZAOC=2ZEOD■

(3),ZAOP+ZAOC=90°,..ZAOP=900-ZAOC,

ZBOQ+ZBOD=90°,ZBOQ=900-ZBOD,

ZAOP+ZBOQ=180°-(ZAOC+ZBOD)=180°-(ZAOB-ZCOD),

QZAOB=120°,ZCOD=60°,z.ZAOP+ZBOQ=180°-（120°-60°）=120°.

【点睛】本题考查余角和补角，角平分线定义，关键是应用角平分线定义，角的和差表示出有关的角.

23.（2023秋・湖北鄂州・七年级统考期末）如图，ZAOB=90°,/COD=90。，Q4平分/COE,/BOD=n。

（0<n<90）.

⑴求NOOE的度数（用含〃的式子表示）；

请将以下解答过程补充完整：

解：因为NAO3=90。，所以/BOD+/AOD=90。，

因为NCOD=90。，所以NAOC+NAC©=90。，

所以NBOD=/①,（理由：②）,

因为/BOD=〃。，所以NAOC=〃。，

因为。4平分/COE,所以N③=2NAOC,（理由：④）

所以ZDOE=/COD—N⑤=⑥°,

（2）用等式表示ZAOD与-3OC的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）①AOC:②同角的余角相等；@COE；④角平分线的定义；⑤COE；®（90-2«）

（2）ZAOD+Z.BOC=180°,理由见解析

【分析】（1）由同角的余角相等可得/3OD=/AOC,结合角平分线的定义可得/COE=2/AOC,进而可

求解〃OE的度数；（2）由角的和差问题可求解NAOD+/BOC=180。，即可求解.

【详解】（1）解：QZAOB=90°,:.Z.BOD+ZAOD=90°,

ZCOD=90°,ZAOC+ZAOD^90°,:.ZBOD=ZAOC（理由：同角的余角相等），

ZBOD=n°,ZBOD=n°,以平分/COE,

:.ZCOE=2ZAOC（理由：角平分线的定义），.•./r>OE=NCOD-NCOE=（9（A2”）。，

故答案为：①AOC；②同角的余角相等；