一元一次方程（9大题型）-2025年北师大版七年级数学寒假复习专练（含答案）

专题05一元一次方程

内容早知道

》第一层巩固提升练（9大题型）

题型——元一次方程及相关概念

题型二一元一次方程的解

题型三等式的性质

题型四一元一次方程的解法

题型五一元一次方程含参问题（含整数解）

题型六一元一次方程的错解与遮挡问题

题型七一元一次方程的同解问题

题型八一元一次方程的新定义问题

题型九一元一次方程的实际应用

台第二层能力培优练

台第三层拓展突破练

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题型一一元一次方程及相关概念

☆技巧积累与运用

1）方程：含有未知数的等式.

如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数.

2）一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程.

一元一次方程判断：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0;③未知数

的次数为1.

（23-24七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）

1.下列四个式子中，是方程的是（）

、一42

A.x—6B.3x+y=5C.-3+x>—2D.-=一

63

（23-24七年级上•江苏淮安•期中）

试卷第1页，共12页

2.下列等式中是一元一次方程的是（）

13

A.—+1=3B.—x-1=3xC.3x-y=4D.2x-l

x2

（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）

3.已知%片］-32=0是关于％的一元一次方程，则加的值是.

题型二一元一次方程的解

☆技巧积累与运用

1）方程的解：使方程两边相等的未知数的值.

2）一元一次方程的解：使一元一次方程两边相等的未知数的值，叫作一元一次方程的解,

也叫方程的根.

（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）

4.下列方程中，解为x=l的是（）

A.x+l=0B.2x-1=x

C.-x-2=xD.1—x=3

2

（23-24七年级上•陕西延安•阶段练习）

5.若方程加x-l=3x+2的解是％=2,则加的值为（）

997

A.-B.4C.D.一

222

（23-24七年级上•江苏徐州•期末）

6.若x=0.5是关于x的方程2"一36-5=0的解，贝！J代数式3〃一96-10=.

题型三等式的性质

☆技巧积累与运用

性质1:等式两边同加上（或同减去）同一个数或式，所得结果任是等式.

用字母可以表示为：如果4=6,那么a土c=b±c.

性质2：等式两边都乘或都除以同一个数或式，（除数不能为零），所得结果任是等式.

用字母可以表示为：如果那么ac=bc或色=2（50）.

cc

其他性质：①对称性：若a=b,则6=a；②传递性：若a=b,b=c,则a=c.

⑵-24七年级上•江苏苏州•期中）

7.已知工二7，则下列变形不一定成立的是（）

试卷第2页，共12页

A.x+a=y+aB.—=—C.x-a=y-aD.ax=ay

aa

（23-24七年级上•天津•期中）

8.下列说法错误的是（）

A.若-2x=-2y,则x=yB.^x2=5x,贝口=5

C.若a=b,贝!Ja-6=b-6D.若—=—，贝!]”=6

c+1c+1

（23-24七年级上•河北廊坊•期中）

9.天平托盘中形状相同的物体质量相等，能运用等式的性质说明如图所示的事实的是

（）

、回，、皿，xRIAz、⑥A,

nz___zi->

ZKZK

A.如果a=6,那么a+c=6+cB.如果a+c=b+c,那么a=b

C.如果a=b,那么q=@D.如果。=b,那么ac=6c

cc

题型四一元一次方程的解法

☆技巧积累与运用

解一元一次方程的步骤

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1.

注意：去分母、去括号、移项和合并同类项在方程变形中经常用到，去分母时注意方程的每

项都要成分母的最小公倍数；去括号时注意括号前面时“一”时注意变号；移项时应注意改变

项的符号.

（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中）

10.下列解方程变形错误的是（）

A.由一]尤=4得%=—8

B.由x-2（x-2）=3得x—2x+4=3

C.由5x=3x-15得5x-3x=-15

D.由---------=1得4x+2-x-l=6

36

（24-25七年级上•广东深圳•期中）

11.解方程

2）+l=x-（2x-1）；

试卷第3页，共12页

3x+2x-2

⑵工-丁1-亍

（23-24七年级上•重庆九龙坡•阶段练习）

12.解方程:

(1)2,x+1=2—x

(2)5x-2(7-5x)=x-4(5-3x)

山=小一1

“34

/0.5x-0.31O.lx-O.Ol

（4）------------=I----------------

~0.80.12

题型五一元一次方程含参问题（含整数解）

☆技巧积累与运用

（I）先解方程，将方程的解用含参数的代数式表示.

（2）方程的解一般是分子中不含参数，而分母中含有参数的形式.（如果不是，将其变形为

这样的形式）

（3）让分母等于分子的所有因数，求解含参数的方程即可.

（2024•上海杨浦•八年级期中）

13.当加取_时，关于x的方程%x+%=2x无解.

（2024•上海市八年级期中）

14.如果关于x的方程（0-3）%=2021有解，那么实数。的取值范围是（）

A.a<3B.a=3C.a>3D.aw3

（2023•沙坪坝•重庆一中）

ax—1Q

15.已知关于x的方程『=x+；的解为偶数，则整数。的所有可能的取值的和为（）

22

A.8B.4C.7D.-2

题型六一元一次方程的错解与遮挡问题

☆技巧积累与运用

一元一次方程中遇到看错符号或者算错的题目时，我们处理的方法也是“将错就错”.先按照

错误的解法得到正确的参数，然后将正确的参数带入原方程，得到正确的根.

（23-24七年级上•河北廊坊•期中）

16.嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“3x+7=・f，，中的常数被“■”遮

试卷第4页，共12页

挡.

⑴嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1,请你算一算X的值；

⑵老师说此方程的解与方程2x-g=gx+4的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？

（24-25七年级上•辽宁沈阳•阶段练习）

17.小明在计算有规律的算式1-2+3-4+5-…+19-20时，不小心把一个运算符号写错了

（“+”错写成“一”或“一”错写成“+”），结果算成了-28,则原式从左到右数，写错的运算符

号是（）

A.第5个B.第8个C.第10个D.第12个

（24-25七年级上•江苏盐城•期中）

18.方程2x+・=3x,■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=-2,那么■处的常数

是.

题型七一元一次方程的同解问题

☆技巧积累与运用

已知两个一元一次方程是同解方程，求其中待定字母的取值，主要有两种题型，其解法有所

不同：

（1）在两个同解方程中，如果只有一个方程中含有待定字母，一般先解不含待定字母的方

程，再把未知数的值代入含有待定字母的方程中，求出待定字母的值.

（2）如果在两个同解方程中都含有相同的待定字母，一般是分别解两个方程，用这个待定

字母分别表示两个方程的解，并建立等式，形成关于这个待定字母的方程，求出该待定字母

的值.

（24-25七年级上•浙江•阶段练习）

19.已知方程=一=^x-2与关于x的方程3a-8=2（x+a）-。的解相同.

⑴求。的值；

（2）若°、6在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，。是最大的负整数，求

（。一6+13c户24的值.

（24-25七年级上•北京•期中）

20.若方程2（x-4）-8=-3（x+2）的解与关于x的方程2ax—（3a+5）=5x+12a+20的解相同，

确定字母。的值.

试卷第5页，共12页

题型，\一元一次方程的新定义问题

☆技巧积累与运用

读懂新定义，还原成常规一元一次方程求解即可.

（24-25七年级上•广东•期中）

21.一般情况下=不成立，但有些数可以使得它成立，例如：俏=〃=0.我们

232—3

称使得=g可成立的一对数〃?，〃为“神奇数对”，记为（见〃）.

232-3

（1）若（&〃）是“神奇数对”，则〃的值为；

（2）若止匕时关于x的方程3x-6=〃与2x-l=3后的解相等，则左的值为.

（23-24七年级上•江苏无锡•期末）

22.定义一种新运算：aSb=2a+b,a^.b=a2b1则方程（x+1）㊉2=（3Xx）-2的解是

（）

56

A.x=-B.x=-lC.x=—D.x=2

27

题型九一元一次方程的实际应用

☆技巧积累与运用

用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题方程登今解答.

由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、歹!I、解、检验、答.

（24-25七年级上•浙江•期中）

23.老师带着两个学生到离校33千米的博物馆参观.老师骑摩托车速度为25千米/小时，

这辆摩托车后座可以带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时.如果学生步行，速度为5

千米/小时.请你设计一种方案，使师生三人同时出发后用3小时同时到达博物馆.

（23-24七年级上•山西大同•阶段练习）

24.某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成;

工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能

使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？

试卷第6页，共12页

(24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中)

25.哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理.计划租用甲、

乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要20天，乙车队单独运完需要30天.乙车

队先运了5天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾.

(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？

(2)己知甲车队每天的租金170元，比乙车队少30元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租

金多少元？

(23-24七年级上•江苏盐城•期中)

26.某商场购进了N、8两种商品，其中/种商品每件的进价比8种商品每件的进价多20

元，购进/种商品3件与购进2种商品4件的进价相同.

(1)求/、2两种商品每件的进价分别是多少元？

(2)该商场购进了/、3两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，/种商品按标价

出售每件的利润率为25%,8种商品按标价出售每件可获利10元.若按标价出售/、8两

种商品，则全部售完商场共可获利多少元？

(23-24七年级上•浙江金华•期末)

27.中国移动全球通有两种通话计费方法(接听全免，接听时间不计入通话时间)：

计费方法/是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按

每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟

的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费.

(1)某使用计费方法/的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？

(2)用计费方法8的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？

(3)用计费方法8的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法/的方式，费用是增加还

是减少？相差多少？

(24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)

试卷第7页，共12页

28.运用等式性质进行的变形，正确的是（）

ab

A.若ac=bc,贝！Ja=6B.若一=—，则“=匕

cc

C.若2a-6=4,贝！|6=4-2aD.若一gx=6,贝！Jx=2

（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）

29.下列各式中，是一元一次方程的是（）

A.2+3=3+2B.Sy-9=9-y

C.X2+2X+1=4D.x—y=O

（23-24七年级上•江西新余•阶段练习）

30.下列方程变形正确的是（）

A.方程3x-2=2x+l移项得3x-2x=-l+2

x—0.1IQx-l100x,

B.方程一.二1化成------=1

0.225

C.若。尤=即，则x=y

D.方程3-x=2-5（x-l）,去括号，得3-x=2—5x-1

（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中）

31.关于x的方程3x+l=4与3x=18-3:“的解相同，则加等于（）

A.5B.4C.-4D.-5

（2023•河北承德•七年级期末）

32.如图，在大长方形NBC。（C。是宽）中放入六个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图

甲：我列的方程6+2x-x=14-3x,找小长方形的长作为相等关系;

乙：我列的方程6+2x=x+（14-3x）,找的是大长方形的长作相等关系.

A.甲对乙不完全对B.甲不完全对乙对

试卷第8页，共12页

C.甲乙都正确D.甲乙都不对

（23-24七年级上•江苏南京•阶段练习）

33.已知关于x的方程2x-3a-9=0的解是x=3,则。的值为.

（2024•河南驻马店•七年级期中）

34.已知关于x的一元一次方程x+2-工二X=M的解是x=71,那么关于V的一元一次方

2022

程〉+3-[5。+1）=机的解是.

（2024•安徽六安•模拟预测）

35.《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人和车各几

何？”其大意是：“今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车,

最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车.

（2024•山西忻州市•七年级期末）

36.阅读材料，完成任务.

七年级同学在学完解一元一次方程后，己掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一

元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特

点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果.小明是一名

喜欢动脑筋的学生，在解方程1+3（4e-3）=2（4工-3）时，不是直接给方程去括号，而是假设

4x-3=a,然后把方程变形为：

1+3〃=2〃，

3a-2a=1f

—1.

4x—3=1,

解，得x=1.

上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来

的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法.

任务：参照材料中的解题方法解方程与在=2（7]2如_1.

（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）

37.解方程：

~46

试卷第9页，共12页

（24-25七年级上•北京•期中）

38.下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.

3x—15x—71

------------------=1.

46

解：3（3x-l）-2（5x-7）=12…第一步

9x-3-10x-14=12...第二步

9x-10x=12+3+14…第三步

x=-29…第四步

x=-29…第五步

任务一：填空

（1）以上解题过程中，第一步是依据_进行变形的；

（2）第一步开始出现错误，这一步的错误的原因是」

任务二：请你求出方程正确的解.

（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中）

39.定义：如果两个一元一次方程的解之和为2,我们就称这两个方程互为“成双方程”.

例如：判断方程2x-l=2和2x-l=0,是否互为“成双方程

解：方程2x-l=2和2x-l=0是互为“成双方程”，理由如下：

31

解方程2无一1=2,解得x=彳.解方程2x-l=0,解得x=「.

22

31

：—+—=2,方程2x-l=2和2x-l=0互为“成双方程”.

22

（1）请判断方程4x-（x+5）=l与方程-2x-x=3是否互为“成双方程”，并说明理由；

（2）若关于x的方程3+加=0与方程3x-2=x+4互为“成双方程”，求m的值.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

（2024七年级上•江苏•专题练习）

40.已知方程（火-1）/+1=0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（）

A.1B.0C.-1D.y

（2024七年级上•江苏•专题练习）

试卷第10页，共12页

41.已知O、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示.根据祛码显示

的质量，求。=g,口=___g.

20g

VQOO/\DD/\OOOO/\AAAAAz\OOO/\AAAflz

—A~A二人「

（2024・重庆巴南•七年级期中）

42.从-4,-2,-1,1,2,4中选一个数作为人的值，使得关于x的方程1-巴芦=三鲁-%的解

43

为整数，则所有满足条件的人的值的积为（）

A.-32B.-16C.32D.64

（2024•福建仙游•初一月考）

43.已知关于x的方程2a（x-l）=（3-a）x+3b有无数多个解，那么ab=

（2023•浙江八年级期中）

44.实验室里,水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高）,底面半径之比为1:2:1,

用两个相同的管子在容器的5cm高度处（即管子底端离容器底5cm）连通.现三个容器中,

只有甲中有水，水位高1cm,如图所示、，若每分钟同时向乙和丙注入等量的水，开始注水1

分钟，乙的水位上升=cm,则注水分钟后，甲与乙的水位高度之差是2cm.

（23-24七年级上•湖北武汉•阶段练习）

45.据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信

息（如下表）:

1年龈都分瘀款不息成绩公的

比靠场次胜场仇场秋分

•'■I

128420

126618

1201211

小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题:

试卷第11页，共12页

（1）从表中可以看出，负一场积分，胜一场积分；

⑵某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由.

（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）

52

46.解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：2x+§=3的解为x=],恰巧

2+|5-3=|2,我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程亦+6=c的解满足

x=a+b-c,则称它为“巧合方程”，请解决以下问题.

3

⑴请判断方程3x+1=3是否是巧合方程：（直接写“是”或“不是”）；

（2）已知方程;x+6=l是巧合方程，请求出b的值；

n15

（3）若4x+"?="和3丁+万=1都是巧合方程，请求出2优〃-加+"的值.

（24-25七年级上•陕西榆林•期中）

47.我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）：

用户月用水量单价

不超过12m3的部分Q兀/m3

超过12m3但不超过20m3的部分1.5a元/n?

超过20m3的部分2。元/n?

（1）某户4月份用了13m3的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含“的式子表示）

（2）设某户月用水量为“m*当a=2.5,心20时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含〃的

式子表示）

（3）当。=2时，甲、乙两户一个月共用水32m3,已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户

这个月用水xn?,试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费.（可用含x的式子表示）

试卷第12页，共12页

1.B

【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断选择即可.

【详解】A.x-6,不是等式，不是方程，不符合题意；

B.3x+y=5是方程，符合题意；

C.-3+x>-2不是等式，不符合题意；

42

D.w=二不含有未知数，不符合题意；

63

故选B.

【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键.

2.B

【分析】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含一个

未知数，并且未知数的最高次数为1次的整式方程，进行解答，即可.

【详解】A、,+1=3不是整式方程，不符合题意；

X

3

B、/x-l=3x是一元一次方程，符合题意；

C、3x-y=4有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；

D、2x-l不是等式，

故选：B.

3.2

【分析】本题考查了一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义得到〃7-1=1,求出〃?

即可.

【详解】解：根据题意得：加-1=1,

解得：m=2,

故答案为：2.

4.B

【分析】此题主要考查了一元一次方程的解.直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得

出答案.

【详解】解：A、当x=l时，x+l=2w0,故此选项不符合题意；

B、当x=l时，2x-1=1,故此选项符合题意；

C、当x=l时，-x-l=-3wl,故此选项不符合题意；

答案第1页，共24页

D、当x=l时，l-gx=g#3,故此选项不符合题意.

故选：B.

5.A

【分析】将x=2代入方程，进行求解即可.掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是

解题的关键.

【详解】解：：方程加x-l=3x+2的解是x=2,

9

•t-2w-1=3x2+2,解得：；«=—；

故选A.

6.5

【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念，本题属

于基础题型.将尤=0.5代入原方程即可求出。-36=5,然后将其整体代入求值.

【详解】解：将x=0.5代入原方程可得：a-3b=5,

.•.3a-96-10=3,-36）-10=15-10=5,

故答案为：5

7.B

【分析】此题主要考查了等式的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两

边加（或减）同一个数（或式子），结果仍得等式.（2）等式两边乘同一个数或除以一个不

为零的数，结果仍得等式.

根据等式的性质逐项判定即可.

【详解】解：A、门=九.〔x+a=y+a成立，故此选项正确，不符合题意；

Bx=y,当。=0时，，土二上不成立，故此选项不正确，符合题意；

aa

C、・•・x=y,.1x-ar-a成立，故此选项正确，不符合题意；

在、Tx=y,.•.公=即成立，故此选项正确，不符合题意；

故选：B.

8.B

【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的

基本性质是解题的关键.

【详解】解：A、•.一2--2兀根据等式的基本性质：”等式两边同时除以同一个不为0的

答案第2页，共24页

数，两边仍然相等"可得x=y,

・•.A正确，不符合题意；

B、・・•/=5x,当xwO时，根据等式的基本性质：”等式两边同时除以同一个不为0的数，

两边仍然相等“，可得x=5；当x=0时，0=0,可得x=0,

■,■X=0或5,

・•.B错误，符合题意；

C、"=6,根据等式的基本性质:“等式两边减去同一个数，两边仍然相等“，可得a-6=6-6,

・•.C正确，不符合题意；

Hh

D、,・・$=3，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等“，可

C+1C+1

得。=6,

・・・D正确，不符合题意；

故选：B.

9.A

【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数(或式子)结果仍得等式；

等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键.

【详解】解：观察图形，左图得等式右图得等式a+c=6+c,利用等式性质1：等

式两边加或减去同一个数(或式子)结果仍得等式；符合题意；

故选：A.

10.D

【分析】本题主要考查了一元一次方程.根据一元一次方程的解法判断即可.

【详解】解：A、由-gx=4得尤=-8,故选项A不符合题意；

B、由1-2(%-2)=3得工一2工+4=3,故选项B不符合题意；

C、由5x=3x-15得51-3%=-15,故选项C不符合题意；

D、由要-二■=1去分母得4x+2-x+l=6,故选项D符合题意；

故选：D.

3

11.(1)^=-

(2)X=T

【分析】本题主要考查解一元一次方程,熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键.

答案第3页，共24页

（1）方程根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1,求出未知数的值即可；

（2）方程根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1,求出未知数的值即可.

【详解】（1）解：3（x-2）+l=x-（2x-l）,

去括号得，3x-6+l=x-2x+l,

移项得，3x-x+2x=l+6-l,

合并得，4x=6,

3

系数化为1,得：%=

去分母得，6x—2（3x+2）=6—3（x—2）,

去括号得，6x-6x-4=6-3x+6,

移项得，6x-6x+3%=6+6+4,

合并得，3x=16,

系数化为1,得：X=y.

12.（1）%=|

（2）x=-3

⑶y=1

（4）尤=1

【分析】本题考查了解一元一次方程

（1）方程移项合并，将X系数化为1,即可求出解；

（2）方程去括号，移项合并，将x系数化为1,即可求出解；

（3）方程去分母，去括号，移项合并，将了系数化为1,即可求出解；

（4）先利用分数性质把分母变成整数，方程去分母，去括号，移项合并，将丁系数化为1,

即可求出解.

【详解】（1）解：2x+l=2-xf

2x+x=2—1,

3x=1,

答案第4页，共24页

（2）解：5x-2（7-5x）=x-4（5-3x）,

5x—14+1Ox-x—20+12x,

5x-12x+1Ox—x=-20+14,

2x=-6,

x=-3；

（3）解：当」=号一1,

4（2y-l）=3（y+2）-12,

8》一4=3y+6-12,

8y—3y=6—12+4,

5V=-2,

2

尸一丁

/、50.5x-0.31O.lx-O.Ol

（4）解：--------=1----------------，

0.80.12

5x-310x-l

=1,

812

3（5x-3）=24-2（10x-l）,

15x-9=24-20x+2,

15x+20x=24+2+9,

35x=35,

x=l；

13.2

【分析】由一元一次方程无解的条件确定出a的值，先移项、合并同类项，最后再依据未知

数的系数为。求解即可.

【详解】解：移项得：mx-2x=-m,

合并同类项得：（加-2）x=-m.

・•・关于x的方程mx+m=2x无解，

•••冽-2=0.

解得：m=2.

故答案为：2.

答案第5页，共24页

【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

14.D

【分析】根据方程有解确定出。的范围即可.

【详解】解：•.■关于x的方程(a-3)x=2021有解，

二。-3片0,

二。*3；

故选：D.

【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键.

15.A

【分析】本题考查了解一元一次方程，偶数的概念等知识，首先将该方程的解表示出来，然

后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可，解题的关键是分工=±10或工=±2两种情

况进行讨论.

【详解】解：系数化1得，ax-l=2x+9,

移项得，ax-2x=9+l,

合并同类项得，(a-2)x=10,

解得，x=鸟，

a-2

•••该方程的解为偶数，

・•.£为偶数，

a-2

•.•10=1x10=2x5,

•••1=±10或％=±2,

①当x=±10时，x=10,Q—2=1,。=3,x=—10,a—2=—1,a=\,

②当x=±2时，x=2,a-2=5,Q=7,x=-2,a-2=-5,。=-3,

综上所述，。可取3,1,7,-3,

・•.〃的所有可能的取值的和为，3+1+7-3=8,

故选：A.

3

16.(1)^=--

(2)遮挡的常数是19

【分析】本题主要考查了解一元一次方程；

答案第6页，共24页

(1)根据题意得出方程3x+7=l-x,然后解方程即可；

(2)先解方程2x-2=?x+4得出x=3,设遮挡的常数为°,然后把x=3代入方程得

22

3x3+7=a—3,求出a的值即可.

解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算.

【详解】(1)解：由题意得3x+7=l-x,

移项,得3x+x=-7+l,

合并同类项，得4x=-6,

3

系数化为1,得x=-：.

(2)解：2x—=—x+4,

22

移项，得2x—X=—I-4,

22

39

合并同类项，得=

22

系数化为1,得x=3,

设遮挡的常数为a,

把x=3代入方程得3x3+7=a—3,

解得a=19.

故遮挡的常数是19.

17.B

【分析】本题考查了有理数的加减，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程

是解题的关键.

先求出这列数的和为-10,再由题意可知是“+”错写成设写错符合的数是。，则

-lx9-«-(a+l)=-28,解得。=9,即可确定写出的运算符号是第8个.

【详解】解:1一2+3-4+5…+19-20

=(1-2)+(3-4)+(5-6)+--+(19-20)

=-1x10

=-10,

'''运算结果-28比-10小，

“+”错写成“一”,

设写错符号的数是a,

答案第7页，共24页

—1x9—Q—(Q+1)=-28,

解得〃=9,

「•写错的运算符号是第8个，

故选：B.

18.-2

【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解的定义，熟练掌握方程的解就是能够使方程左

右两边相等的未知数的值是解题的关键.将x=-2,代入方程2x+・=3x中，求出■的值即

可.

【详解】将、=—2,代入方程2x+・=3x中，

得2x(—2)+・=3x(—2),

解得■=-2,

故答案为：-2.

19.⑴〃=6

(2)1

【分析】本题考查同解方程，有理数的乘方运算：

(1)先求出方程标=：x-2的解，再把解代入方程%-8=2(x+a)-a中，进行求解即

可；

(2)易得。力互为相反数，c=-l,然后根据有理数的运算法则进行计算即可.

3x-]3

【详解】(1)解:—=jx-2,

2(3x-l)=15x-20,

解得：x=2,

把x=2代入3a-8=2(x+a)-a,得：3a-8=2(2+。)-a,

解得：fl=6；

(2)-a、6在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，

/.b=—6,

•••C是最大的负整数，

・•・c=-l,

・・・(a—b+l3c)2024=(6+6—13)2024=1.

答案第8页，共24页

Cl——

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程

2（x-4）-8=-3（x+2）得到x=2,再由题意可得x=2是关于x的方程

2G-（3a+5）=5x+12a+20的解，贝I]4a—（3a+5）=5x2+12a+20,解方程即可得至!j答案.

【详解】解：2（x-4）-8=-3（x+2）

去括号得：2x-8-8=-3x-6,

解得x=2,

•.•方程2（X—4）-8=-3@+2）的解与关于》的方程2办一（3q+5）=5》+12。+20的解相同，

••X=2是关于x的方程2ax—（3a+5）=5x+12o+20的解，

4。-（3。+5）=5x2+12a+20,

**•4〃—3。—5—10+12。+20,

解得。=-135|.

21.93

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，新定义：

（1）根据新定义可得方程;-g=2,解方程即可得到答案；

232-3

（2）根据（1）所求得到关于x的方程3x-6=n即为关于x的方程3x-6=9,解方程得到x=5,

再把把x=5代入2x-1=3后中求出左的值即可得到答案.

【详解】解：（1）•••（&〃）是“神奇数对”,

8n8-77

^2~3~2^3"

故答案为：9；

（2）由（1）得蕊=9,

，关于工的方程3工-6=〃即为关于x的方程3%-6=9,

解方程3、-6=9得x=5,

,・,关于％的方程3%-6=〃与2%-1=3左的解相等,

答案第9页，共24页

二把x=5代入2x-1=3左中得2x5-1=34，

解得左=3,

故答案为：3.

22.C

【分析】本题考查解一元一次方程、有理数的混合运算.根据。㊉6=2a+6,踞b=/b,

可以求得题目中方程的解.

【详解】解：5㊉6=2a+6,d^b-a2b,(x+1)㊉2=(3Xx)-2,

2(x+1)+2=3~2,

整理得7x=6,

解得：尤=。；

故选：C.

23.老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生,

整个过程在路上共计花了3个小时

【分析】本题考查了一元一次方程的应用一行程问题，包含相遇与追及问题，用线段图来表

示行程问题中的变化，可以使过程变得更清晰，是解决本题的关键，数形结合是数学中常用

的一种数学思想.

如图1中，73=33千米，第一个学生在C点下车后步行到博物馆，此时老师在C点，第二

个学生步行到。点，。。段存在一个老师与第二个学生之间的相遇问题.从时间上产生等

量关系，即：老师从C点单车返回到E点的时间+带第二个学生从£点到3点的时间=第一

个学生从C点步行到8点的时间.若设/C=x千米，则BC=33-x,用含x的代数式表示

出该等量关系，即可得方程解出问题.

【详解】解：如图，

AIIDIEICIB

y1

设第一个学生搭乘摩托车的路程为x千米，即ZC=x,贝|J5C=33-x,AD=--x5=-x,

204

对于。C段的相遇问题，可设老师与第二个学生相遇的时间为/小时，

于是得方程：(5+25)"x-；x

1

t=—X

40

答案第10页，共24页

3

.-.BE=33-AE=33——x

8

由时间关系，可得方程

解方程得x=24

则在路上共计用的时间为2言4+三33-兰24=3

即：老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生,

整个过程在路上共计花了3个小时.

24.安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套，

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用.设安排无人生产支架，则安排（45-x）人生

产脚踏板，根据“每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板”，即可求解.

【详解】解：设安排x人生产支架，则安排（45-x）人生产脚踏板，

由题意，得2X60X=96（45-X）,

解得x=20,

45-20=25（人）.

答：安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套，

25.（1）10天

（2）4700元

【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解

题关键；

（1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送£，乙车效率为每天运送据此设甲、

乙两车合作还需要x天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可；

（2）根据甲车队每天的租金170元，比乙车队少30元，计算求解即可；

【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要x天运完垃圾，

根据题意得：豪4*L

解得：x=10,

答案第11页，共24页

答：甲、乙两车合作还需要10天运完垃圾.

(2)解：乙队一共工作了15天，甲队一共工作了10天，

(170+30)x15+170x10=4700,

答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金4700元.

26.(1)/种商品每件的进价是80元，2种商品每件的进是60元；

(2)全部售完共可获利1450元.

【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问

题.

(1)设/种商品每件的进价是x元，由购进N种商品3件与购进8种商品4件的进价相同

得：3x=4(x-20),即可解得答案；

(2)设购进/种商品。件，则购进8商品(100-。)件，由所用资金为6900元得

80a+60(100-a)=6900,解出°的值，即可列式求出答案.

【详解】(1)设/种商品每件的进价是x元，则8种商品每件的进价是(x-20)元，

由题意得：3x=4(x-20),

解得x=80,

•••80-20=60(元)，

答：/种商品每件的进价是80元，8种商品每件的进价是60元；

(2)设购进/种商品。件，则购进2商品件，

由题意得80a+60(100-a)=6900,

解得a=45,

.­.100-0=100-45=55,

80x25%x45+10x55=1450(元)，

答：全部售完共可获利1450元.

27.(1)某使用计费方法”的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元

⑵用计费方法3的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟

(3)若改用计费方法/的方式，费用增加了，相差9.5元

【分析】本题考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，理解两种“计费方法”的意义是

答案第12页，共24页

正确解答的关键.

（1）根据计费方法/的计费标准进行计算即可；

（2）先估算通话时间，再利用计费方法8的解法标准进行计算即可；

（3）求出用计费方法2的用户某个月累计费用126元的通话时间，再根据通话时间与计费

方法/计算费用，比较得出答案.

【详解】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费48+0.25x（100-50）=60.5（元），

答：某使用计费方法/的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元；

（2）解：由于用计费方法8的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于

200分钟，设通话时间是x分钟，

则88+0.19x（x-200）=107,

解得x=300,

答：用计费方法3的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟；

（3）解：设通话时间是十分钟，由题意可得

88+0.19（加一200）